Problemario de cónicas

Universidad de GuadalajaraEscuela Preparatoria de Tonalá

PROBLEMARIO 2

1. El arco de un puente semielíptico tiene un largo de 6m y una altura de 5m. Un camión de 4m de altura desea pasar por abajo ¿cuál es el ancho permitido para el camión?

x

y

P(x,4)

altura del camión 4 m

altura del puente 5 m

base del puente 6 m

Después de graficar todos los elementos que nos proporcionan en el problema, entendemos que se desea calcular la coordenada de x del punto P(x ,4) que pertenece a la semielipse con centro en el origen C (0,0) y semieje mayor a=5 yb=3.

Como es una elipse vertical, la ecuación de la elipse es:

x2

9+ y

2

25=1

En esta ecuación sustituimos x y y por las coordenadas de P(x ,4)

x2

9+ 4

2

25=1

Despejamos x

x2

9=1− 42

25

x2

9=1−16

25

Mtra. Patricia Jaime Pérez


x2

9= 925

x2=( 925 )9x2=81

25

x=√ 8125x=1.8

x

y

P(1.8,4)

altura del camión 4 m

altura del puente 5 m

base del puente 6 m

x=1.8 m

En la grafica se observa que el valor de x que acabamos de encontrar representa solo la mitad del ancho del camión, por lo que el ancho máximo que puede tener el camión para poder pasar por el puente debe ser menor a 3.6 metros.

2. Un jardinero quiere trazar una elipse que tenga un ancho de 6m, ayudado con un lazo y dos estacas. Las estacas las coloca en los focos separadas entre sí por 7m. ¿Cuál es la longitud del lazo?Esta forma de trazar una elipse es conocida como el método del jardinero, las estacas quedan colocadas en los puntos fijos que se toman como referencia para definir una elipse, estos puntos son los focos. En este problema las estacas son colocadas a 7 m una de la otra por lo que el centro de la elipse se ubica en medio de ellas dos y la distancia focal “c” es la mitad de la distancia entre ambas estacas, es decir, c=3.5. También nos dicen que el ancho de la elipse es 6m por lo que el valor de b es 3.



x

y

ab

c

F1F2

V1V2

Empleando la ecuación que nos relaciona los parámetros de la elipse a, b y c, (que se deriva del teorema de Pitágoras) calculamos el valor que nos falta, en este caso a.

a2=b2+c2

a=√32+3.52a=√9+12.25a=√21.25a=4.6

La longitud de la cuerda es 2a, por lo que la longitud de la cuerda es 2(4.6)=9.2 m. La longitud de la cuerda es 9.2m.

3. Una antena parabólica tiene tres metros de ancho en la parte donde está situada su aparato receptor, ¿a qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales?

Hay que recordar que por la propiedad de reflexión de la parábola, el receptor de la parábola debe estar ubicado en el foco de la misma para que cumpla su objetivo de recibir todas las señales por lo cual lo que tenemos que calcular son las coordenadas del foco de la parábola.

Nos dicen que el diámetro de la parábola a la altura del receptor son 3m por lo que el lado recto LR=3. Sabemos también que LR=4p, entonces solo hay que despejar p de la expresión 3m=4p de donde obtenemos que p=3/4 m. La distancia a la que se encuentra el receptor del fondo de la parábola son 75 cm.



4. Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 metros y su altura máxima es de 15 metros es colocado en un eje de coordenadas en donde dos de los puntos por donde pasa la parábola son (-7,0) y (7,0) respectivamente, y el V (0,15). Hallar la ecuación de dicho arco parabólico.

Los elementos que tenemos son:

V(0,15) y dos puntos de la parábola P1(-7,0) y P2(7,0).

La ecuación de la parábola con concavidad hacia abajo es:

(x−h)2=−4 p( y−k ),

Sustituyendo los valores del vértice (en lugar de h y k ) y uno de los puntos (en este ejemplo voy a sustituir las coordenadas de P1 en lugar de x y y)para calcular el valor de la distancia focal p.

(−7−0)2=−4 p(0−15)

Despejamos p y obtenemos:

(−7)2=−4 p(0−15)

49=604 p

4960

=p

Podemos quedarnos con el valor de p como un irracional o calcular su expansión decimal

.8166=p

Una vez que calculamos el valor de p, volvemos a sustituirlo en la ecuación de la parábola junto con las coordenadas del vértice.

x2=−4( 4960 )( y−15)

x2=−( 4915 )( y−15)Esta es la ecuación reducida y la ecuación general es:


NOTA: Si usamos el equivalente decimal podemos tener errores en el resultado porque generalmente usamos una aproximación cuando no es un decimal exacto. Mejor usa el racional (quebrado).


x2+( 4915 ) y+49=0


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