Problemas Calculo 2

Cálculo Diferencial E Integral Prof. Milton Aycho F.

Ivan Quiñones Reyna

1

Trabajo De Cálculo

Problema 1: hallar el dominio de

2

2

1. ( ) 3 2

3 2f x x x

x x

2

2

1: 3 2 0

1: ( 2)( 1) 0

1: ;1 2;

2 : 3 2 0

2 : ( 3)( 1) 0

2 : 1;3

D x x

D x x

D x

D x x

D x x

D x

;1 2; 1;3

Df(x) : 1;1 ^2;3

Problema 2: hallar el dominio, rango, grafico de la función

2 si x 0;3( )

2 si x 3;5

xf x

x

1( ) 0 3

0 2 6 2 0,1,2,3,4..

2 n 2x<n+1

1 1 ; 0;3

2 2 2 2

para n= 0,1,2,6

x x

x x

x n

n n n nx x x



2

10 0,

2

11 ;1

2

32 1;

2

33 ;2

2

54 2;

2

55 ;3

2

76 3;

2

2( ) 3<x 5

3< 5 4,5

1

f x

x x

x n n x n

; 1 3;5 para n=4,5

8, 4;52( )

10, 5;6

x n n x

f x

Problema 3: demostrar si la función ( )f x es inyectiva

2

1 2 1 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( )=1- 4 5 x -1 es inyectiva

( ) ( )

1- 4 5 1- 4 5

4 5 4 5

4 5 4 5

4( ) 0

( )( 4) 0

a cero

1

f x x x

f x f x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

igualando

x x x x x

( ) es inyectivaf x



3

Problema 4: sea f una función definida por :2

( ) , 0;2 2;4

xf x x

x

determinar si f es biyectiva por:

Hallando el dominio de ( )f x

2 4 0 2x x

Nos ayudamos con la grafica:

Problema 5: demostrar el limite

3lim3 3 0x

x

0 3

1 3 1

2 4

6 3 12

x

x

x

x

6 3 2 3

6 3 3 3 3 2 3

3 3 3

6 3 3 3 3 2 3

x

x

x



4

3 3 0

3 3

3 3 3 3 .

3 3

x

x

xx

x

9 3

3 3

3( 3)

3 3

3. 3

3 3

3 3

3 2 3

2 3 3

3

x

x

x

x

xx

x

Problema 6: calcular si existe 5

lim ( )x

f x

donde

2

5, si x 5

1 4( )

12 35, si x<5

5

x

xf x

x x

x

5 5

2

5

2

5

5

5

lim ( ) = lim ( )

12 35 ( 5)( 7)lim 7

5 5

12 35lim 2

5

1 4 55 1 4lim .

51 4 1 4

lim1 4 2

x x

x

x

x

x

f x f x

x x x xx

x x

x x

x

x xx x

xx x

x



5

Problema 7: calcular los límites

2

4

2

4

2

4

16 1lim

(4 ) 5 1

16 1 16 16 1 1lim

0(4 ) 5 1 (4 4) 5 4 1

16 1 16 16 1 1lim

0(4 ) 5 1 (4 4) 5 4 1

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x x

Problema 8: hallar las asíntotas de:

2

4 2 3

2 2

4 2 3 2

12 2 8 32

12 2 8 32 ( 2)( 4)( 2)

/ 2, 4

xy

x x x x

x xy

x x x x x x x

D x x x

Asíntota es igual a: y = mx + b

m = pendiente

4 2 3

3

2 3 4

( )m= lim lim( )

12 2 8 32

1

= lim( ) 012 2 8 32

1

x x

x

f x x

x x x x x

x

x x x x

Interceptó lim ( )x

f x mx

2

4 2 3lim

12 2 8 32

x

x x x x

2

2 3 4

1

lim( ) 0 la asintota y=012 2 8 32

1x

xb

x x x x



6

Problema 9: calcular máximo y mínimo

2

7

2 2 2

5

22 3

3 3

3

( ) (1 )

( ) x 0 D= / 0

derivada

f(x)=x (1 )

( ) 7 162 0 (4 7 ) 0 x=

( ) 2 49

16 16: x 0; decrece: x ;

49 49

16, : MIN,R:

49

f x x x x

Df x x x

primera

x x x x

df xx x x x x

d x

entonces

crece

MAX R

0

Problema 10: hallar la concavidad

2 2 2

2

2

2

3 2

2 ( ) 1( ) ( )

3 3 1

( ) / 1

1 1: x ; ;

2 2

d ( ) derivada:

2 4 4 0

2 4 4 0 2 (2 3) 0

30 x=

2

hacia abajo:

3 3 x ;0 ;

2 2

x x x

arctg x xf x arctg

x

df x x x

crece

xsegunda

dx

xe xe xe

x x x x x

x

concavidad



7

Problema 11:encontrar el área del mayor triángulo isósceles que tenga un

perímetro de 18pulg.

Base : x Altura : h

Área A: 2

xh

Perímetro 2P :2

22 184

xh x

2 2 2 2 2136 324 4 36 324 4 81

9x x h x x h x h

En el área : 2 31A= (81 ) (81 )

18 18

hh h h

Derivamos respecto a “h” para encontrar el máximo valor del área

2

2

1 81(81 3 ) 0 3 3

18 3

3 3(81 27) 9 3

18

dAh h

dh

A u

Problema 12: el área de cierto cono aumenta a razón de 3cm. Por hora y la

altura disminuye a razón de 4cm por hora. Calcule como varia el área total del

cono cuando el radio mide 7cm y la altura 24cm.

Área total del cono 2 2 2A= R R H R

2 2

2 2

2 2

2 2

2

(2 2 )

22

4 / 3 / R=7cm H=24cm

7(3) 24( 4)7 24 (3) 2 (7)(3)

2 7 24

108 /

dR dHR R H

dA dR dRdt dtR H Rdt dt dtR H

dA dRcm H cm H

dt dt

dA

dt

dAcm h

dt



8

Problema 13:

2

( ) 1 ( )X

X Ln x d x

M= 2

( ) 1 ( ).X

X Ln x d x por sustitución: 2Xu x

2( ) ( )

( ( )) (2 )`

x

I

Ln u Ln X

Ln u xLnX

Diferenciando

2 ( )du x

Ln x dxu x

2 ( ) 1du u Ln x dx 2 ( ) 1du

Ln x dxu

Pero 2Xu x

( ) 12

XduX Ln x dx

Ahora sustituyendo

2

2

( ) 1

1

2 2 2

x

X

I X Ln x dx

du Xu C C

Problema 14: calcular las siguientes integrales indefinidas.

22 41 91

( 1)( 3)( 4)

x xI dx

x x x

Hacemos descomposición de fracciones parciales

22 41 91

( 1)( 3)( 4) ( 1) ( 3) ( 4)

x x A B C

x x x x x x

22 41 91 ( 3)( 4) ( 4)( 1) ( 1)( 3)x x A x x B x x C x x



9

Y ahora por puntos críticos

1 2 41 91 (4)( 3) (0) (0) 12 48 4

3 18 123 91 (0) (28) (0) 28 196 7

4 32 164 91 (0) (0) (3)(7) 21 105 5

x A B C A A

x A B C B B

x A B C C C

Luego

4 5

7

4 7 5( 1) ( 3) ( 4)

4ln( 1) 7 ln( 3) 5ln( 4)

( 1) .( 4)ln

( 3)

dx dx dxI

x x x

x x x

x xI C

x

Problema 15:

2 16 xdx

x

4sec( )

4sec( ) ( ) ( )

x

x tg d

2 2 2

2

2

2

16 16sec ( ) 16 16 ( )

16 ( )4sec( ) ( ) ( )4 ( ) ( )

4sec( )

4 sec ( ) 1 ( ) 4 ( )

x tg

tg tg dI tg d

I d tg C

Se sabe:

sec4

x

2

2

16 4 arcsin( )

4 4

( 16) 4arcsin( )4

x xI C

xI x C



10

Problema 16:

3

21

2( )

1

x

a

dt

sen t

a

dtf x

sen t

Mediante primer teorema

3

3

2

2

2

2

1( )

11

1

x

a

x

a

dt

sen t af x

sen adtsen

sen t

3

3

2 3 2

2

2

1 ( ) 1( )

11

x

a

ax

sen x sen af x

dtsen

sen t

3

2

2 2 3

2

3( )

1 . 1 ( )1

x

a

xf x

dtsen sen x

sen t

Problema 17: calcular

2 82

0

2 7

1lim ( )

h

h

h

sen t dth

Aplicamos H`opital

2 2

0

2 2

lim ( ) ( 8) ( ) (7)2 8 2 7

8 ( ) 7 ( )2 2

2 28( ) 7( )

2 2

15 2

2

hsen sen

h h

L sen sen

L

L



11

Problema 18: hallar el área de la superficie limitada por las curvas 2

1 4y x ;

2 4 4y x

4

1 2

0

42

0

42

0

43

2

0

2

4 4 4

4

23

64 64 322(16) 32

3 3 3

A F F dx

A x x dx

A x x dx

xA x

A u



12

Problema 19: hallar la longitud del arco de la curva 2 24y x x comprendidos

entre los dos puntos en que corta al eje X

2 2 24 4y x x x x

Derivando

2 2

2

2

2 2 2

2 2

4 4 4

2 2 2 20 0 0

44 4

2 20 0 0

4 2 2

2 4 4

2

4

2 4 4 41 1

4 4

4 41 2

4 4 4 4

22 2 2arcsin

22 4 4 2

dy x x

dx x x x x

xdy

dx x x

xdy x x x x

dx x x x x

dy dx dxL dx

dx x x x x x x x x

dx dx xL

x x

L

2arcsin(1) 2arcsin( 1) 2 2 22 2



13

Problema 20: hallar el volumen engendrado por el área menor comprendido

entre las curvas 2 2 25x y y 23 16x y al girar alrededor del eje X

Limites 2 2 163 16

3

yx y x y ahora remplazamos en

2 2 25x y

2

2

1625

3

3 16 75 0

3 3 25 0 3, x= 4

yy

y y

y y y

Aplicamos el método del anillo

4

1 2

4

442

0

43 5

0

2

92 25

256

92 25

3 1280

64 36 21442 100

3 5 15

V y y dx

xV x dx

x xV x dx

V u

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