3ª Sesión (Jueves 14 de abril)

Existen dos tipos de problemas:

1.) Cálculo de una función con condiciones:

Calcular los coeficientes de una función, para que esta tenga: - El máximo o el mínimo en un punto dado

P(x,y) - El punto de inflexión en Q(x,y).

2.) Cálculo de una función a partir de las gráficas de las derivadas.

1.) Cálculo de una función con condiciones:

- Nos deben dar la ecuación general de la función o decir el tipo de función.

- Para hallar los coeficientes de la función general, se necesitan tantas ecuaciones como incógnitas tengan la función general. Estas ecuaciones vienen dadas por: - Máximos o mínimos relativos – Nos da la información de la Primera

derivada . - Puntos de inflexión- Nos da la información de la segunda derivada.

dcxbxaxxf 23)(

Ejemplo 1: - Calcular el valor de a y b para que la función:

tenga un mínimo relativo en el punto P(1,-4).bxaxxxf 23)(

Pasa por P(1,4) 34)1()1()1()1( 23 babaf

Mínimo en x=1 xbaxxxf 23)(' 2

3201213)1(' 2 babaf

Resolver el sistema

9366

3

32

3 )12(

bb

a

ba

ba

ba FF

Ejemplo 2 - Calcular el valor de a y b para que la función:

tenga un punto de inflexión P(1,-1).

34)( bxaxxf

Ejemplo 3: - Calcular el valor de a y b para que la función:

tenga un punto de máximo relativo en P(3,4).

5)( 23 bxaxxf

2.) Definir algunas características de una función:

A partir de la gráfica de la 1ª derivada: - La monotonía. - La pendiente de la recta tangente en un punto. - Máximos o mínimos relativos. - Hacer una representación aproximada de la función.

A partir de la gráfica de la 2ª derivada. - La curvatura - Puntos de inflexión. - Hacer una representación aproximada de la función.

Ejemplo 4: Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f’(x) es la recta

siguiente: - Calcula f(x) sabiendo que pasa por (0,0)

Monotonía

Máximos o mínimos

Crece: )1,(

Decrece: ),1(

En x=1

MÁXIMO

Función 1ª derivada Recta

Función Cuadrática (Parabola)

Ejemplo 4: La función solución es una parábola: - Al pasar por el origen (0,0): - La Primera derivada: - Máximo en x=1: -La segunda derivada < 0:

FUNCIÓN SOLUCIÓN:

cxbxaxf 2)(0000)0( 2 ccbaf

bxaxf 2)('abbaf 2012)1('

)0,(2)( 2 axaxaxf

002)('' aaxf

Ejemplo 5: Sea una función f(x) tal que la gráfica de su derivada f’(x) es la recta

siguiente: - Calcula f(x) sabiendo que pasa por (0,0)

Monotonía

Máximos o mínimos

Crece:

Decrece:

Función 1ª derivada

Función