La densidad del hierro b.c.c. es de 7900 Kgm-3 y su peso atómico 56. Calcular el lado de la celda unidad cúbica y el espaciado interatómico. [Sol.: (a) 2.87 Å (b) 2.48 Å]

Problema 1 Tema 3

Apdo.(a)

= 7900 Kg·m-3; A = 56.

Cada celda bcc aporta 2 átomos

Nbcc·a3=V (Nbcc = nº de celdas bcc)

Apdo.(b)

El sodio, Na, cristaliza en forma de una red cúbica centrada en el centro siendo la distancia entre dos átomos vecinos d=3.71 Å. Calcular su energía de Fermi. [Sol.: EF = 3.15 eV]

[puesto que m se pone en Kg h se debe poner en el S.I.]

Una muestra de de Germanio, Ge, tiene una constante de Hall, RH, de –7.5·103 m-3/C y una resistividad de 10-1 m. Determinar: (a) el tipo de portadores; (b) la movilidad; y (c) la concentración. [Sol.: (a) electrones; (b) m =0.075 m 2 /Vs ; (c) n = 8.32·10 20 m -3 ]

Apdo.(a)

El signo de RH determinaba el tipo de portadores electrones. RH = 1/(nq)

Apdo.(b)

Apdo.(c)

n= 1/(q·RH) = 8,33·1020 m-3

En un experimento de efecto Hall, una tira rectangular de Au de 1mm de grosor transporta una corriente de 20 A. Para un campo magnético B = 1.27T, se encuentra que la tensión de Hall vale VH=2.6 V. (a) ¿Cuál es la concentración de electrones libres?; (b) Compárese este resultado con la respuesta obtenida considerando que el oro es monovalente con un peso molecular de 197 g/mol y una densidad = 19.3 gcm-3. [Sol.: (a) 5.77·10 28 m -3 ; (b) 5.9·10 28 m -3 ]

Apdo. (a)

Apdo. (b)

ne=n [oro monovalente]

Calcular (a): la densidad de electrones libres en el cobre si el peso atómico vale 63.5 g/mol y su densidad 8950 Kgm-3, suponiendo que hay un electrón por átomo; (b): su energía de Fermi [Sol.: (a) n = 8.48·10 28 m -3 ; (b) EF=7.03 eV]

Apdo.(a)

Apdo.(b)

¿En qué intervalo de energía, expresado en unidades de kBT, la función de distribución de Fermi-Dirac cambia de valor 0.90 a 0.10? [Sol.: 4.4 k BT ]

Estimar la fracción de electrones libre en el cobre que están excitados a temperatura ambiente. EF(Cu)=6.95 eV. [Sol.: 1%]

A una temperatura de 300 K (EF = 5.1eV), ¿cuál es la probabilidad de que un estado esté ocupado para energías de 5 y 6 eV?. ¿A qué temperatura la probabilidad de ocupación del estado de energía E= 5.2eV es de 0.1? [Sol.: 0.979, 7.08·10 -16 , 528 K ]

Sabiendo que la energía de Fermi para el cobre es de 7.0 eV, determínese a 1000K: (a) la energía a la que la probabilidad, fF(E), del estado que ocupará un electrón de conducción sea de 0.9; (b) la función distribución de estados o densidad de estados, g(E), por unidad de volumen; y (c) la función de distribución de partículas dn(E)=g(E)fF(E). [Sol.: (a) 6.81 eV; (b y c) 1.79·10 28 m -3 eV - 1 ; 1.60·10 28 m -3 eV -1 ]

Problema 9 Tema 3

Apdo.(a)

 

Apdo.(b)

Un cubo muy pequeño de Cu tiene 0.1mm de lado. ¿Cuántos electrones de conducción contiene que posean energías comprendidas entre 5 y 5.025 eV? [Sol.: 3.8·10 14 electrones]

L = 10-4 m

El magnesio es un metal bivalente con un peso atómico de 24.32 g/mol y una densidad de 1.74 g/cm-3. (a) ¿Cuál es la densidad de electrones libres?; (b) ¿Cuál es la energía de Fermi?; y (c) ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de los electrones en el nivel de energía de Fermi?. Sol. [(a) 8.4·1028 m-3; (b) 7.07 eV; (c) 4.62 Å]

Los niveles energéticos electrónicos en un pozo infinito de potencial tridimensional

están dados por la expresión: Encontrar las diferencias

fraccionales, , en la energía entre los pares de estados dados por: (a) E(1,1,1) y E(1,1,2); (b) E(10,10,10) y E(9,10,11); y (c) E(100,100,100) y E(99,100,101). (d) ¿Qué conclusión puede ser deducida de estos resultados? Sol: [(a); (b); (c) y (d)]

kB= 1.38·10-23JK-1 = 8.63·10-5eVK-1; h = 6.6·10-34Js = 4.1·10-15eVs; me = 9.1·10-31 Kg.

Apdo.(b)

Apdo.(c)

Cada vez hay menos diferencia relativa, los estados están más juntos.

Semiconductores intrínsecos y extrinsecos

La energía de la banda prohibida del germanio puro es Eg = 0.67 eV. (a) Calcular el número de electrones por unidad de volumen en la banda de conducción a 250 K, 300 K, y a 350 K. (b) Hacer lo mismo para el silicio suponiendo que Eg = 1.1 eV. La masa efectiva de los electrones y huecos son en el germanio es 0.12 me y 0.23 me, y en el silicio 0.31 me y 0.38 me, donde me = 9.1·1031

Kg es la masa de electrón libre. Solución.

Apdos. (a) y (b)

T (k)

Germanio (m-3) Silicio (m-3)

NC NV N NC NV n

250

0,79·1024

2,1·1024

0,023·1019

3,29·1024

4,4·1024

0,03·1016

300

1,04·1024

2,8·1024

0,40·1019

4,33·1024

5,9·1024

0,29·1016

350

1,31·1024

3,5·1024

3,24·1019

5,5·1024

7,4·1024

7,7·1016

Supóngase que la masa efectiva de los huecos en un material es 4 veces la de los electrones. A que temperatura el nivel de Fermi estará un 10% por encima del punto medio de la banda prohibida. Sea Eg = 1 eV. Sol: [557,6 K]

La banda de energía en el germanio es 0.67 eV. Las masa efectivas de electrones y huecos son 0.12 me y 0.23 me, respectivamente, donde me es la masa del electrón libre. Calcular (a) la energía de Fermi, (b) la densidad de electrones en la banda de conducción, (c) la densidad de huecos en la banda de valencia, a T = 300 K. Sol. [(a) EF=0,3476 eV; (b) n = 4,05·10 18 m -3 (c) p = 4,5·10 18 m -3 ]

Apdo. (a)

Apdo. (b) y (c)

Los valores de la conductividad del germanio puro a las temperaturas en K: (300, 350, 400, 450, 500) son respectivamente en -1m-1: (2,13,52,153,362). a) Hacer una gráfica de ln frente a 1/T. b) Determinar Eg para el germanio. Sol. [(a) Gráfica; (b) Eg = 0,67 eV]

Apdo.(a)

ln = [0,693; 2,56; 3,95; 5,03; 5,89]

1/T = [0,0033; 0,0029; 0,0025; 0,0022; 0,0020]

Sale una recta.

Apdo.(b)

Suponer que la energía de Fermi de un semiconductor intrínseco está en mitad de su banda de energía prohibida y que la anchura de ésta es grande en comparación con kT. Demostrar que la probabilidad de ocupación de un estado de energía E está dada

aproximadamente por (a) para un electrón en la banda de conducción

y (b) para un hueco en la banda de valencia.

El Ge es un semiconductor con una banda prohibida (BP), Eg = 0.7eV. Dentro de esta BP aparecen niveles de energía debidos a impurezas. Medidos respecto a la BV estos niveles están a 0.01 eV para el Al y 0.69 para el P. ¿Cuál de estas impurezas actúa como donadora y cuál como aceptora?. Razona la respuesta. Sol. [(a) El Al aceptora; (b) razonamiento]

Apdo.(a)

El Al, al estar más cerca de la banda de valencia (BV), actúa como impureza aceptora. Pueden pasar fácilmente e- de la BV al nivel de la energía aceptora, EA. Por tanto el Al es aceptor.

Apdo.(b)

El P actúa como impureza donadora ya que el nivel energético: 0,6 está muy próximo a la BC: EC y es fácil hacer pasar e- del nivel ED al EC, tan sólo se requieren 0,01eV.

Se utiliza como resistencia de una zona de un circuito integrado una barra de silicio tipo N de 2 mm de longitud y de 2.5·10-5m2 de sección. Sabiendo que la concentración de átomos donadores es ND = 5·1013cm-3 y que la movilidad de electrones es n = 1500 cm2/Vs, determinar su resistencia a 300 K demostrando que la contribución de huecos es despreciable a la conductividad. Datos: p = 475 cm2/Vs; ni = 1.45·1016 m-3. Sol. [R=66,67 W ]

A una barra de Ge de 10 cm de longitud y 2 cm2 de sección se le aplica una d.d.p. de 10 V entre sus extremos. Conociendo como datos la concentración intrínseca de portadores, ni = 2.36·1019m–3, que n (300K) = 0.39m2/Vs y que p (300K) = 0.182 m2/Vs, determinar: (a) la resistividad del Ge; (b) la resistencia de la barra; (c) la velocidad de arrastre de electrones y huecos; y (d) la corriente que circula por la barra. Sol. [(a) r =1/ s =0,462 W ·m ; (b) R= 231,2 W ; (c) vn = 39 m/s, vp = 18 m/s; (d) I=43mA]

n = p = ni que es un semiconductor intrínseco.

Apdo.(a)

Apdo.(b)

Apdo.(c)

Apdo. (d)

Las bandas prohibidas para el Si y el Ge son respectivamente 1.1 eV y 0.7 eV. Calcular la frecuencia mínima que debe tener una radiación electromagnética para poder producir conductividad en estos semiconductores. Sol. [n Si = 2,66·10 14 Hz, n Ge= 1,69·10 14 Hz]

Cuando un fotón de energía E >>Eg penetra en un semiconductor produce pares electrón hueco (e/h), esto es, se excitan electrones desde el borde de la BV hasta el fondo de la BC. Un cristal de Ge (Eg = 0.67 eV) se usa como detector de rayos (fotones de alta energía). Determinar: (a) ¿cuál es el número máximo de pares e/h que puede producir una radiación de 1.5 MeV?; (b) si la resolución del detector es de 4·103 pares e/h, ¿cuál es la resolución de la energía óptima del detector? Sol. [(a) 2,38·10 6 pares ; (b) 2,68·10 3 eV ]

Apdo. (a)

Apdo. (b)

La luz visible del espectro está compuesta por fotones con energías entre 1.8 y 3.1 eV. Para el diamante el ancho de la BP es de 6 eV. Explicar por qué el diamante es transparente. Así mismo, explicar por qué el Si cuya BP es de 1.1 eV es transparente al infrarrojo (IR) de frecuencia comprendida entre 1012 y 1014 Hz y no lo es a la radiación visible. [(a); (b)]

Apdo.(a)

Para que pueda ser absorbida la energía y deje de ser transparente a la radiación, E Eg. Como 1,8 E < 3,1 resulta que esta radiación no se aborbe, luego es transparente.

Apdo.(b)

Para el I.R. de = 1014 Hz; E = h = 4,13·10-15·1014 eV = 4,13·10-4 eV = 0,413 eV < Eg.

Sin embargo, para el visible E=3,1 eV > Eg, es capaz de ser absorbida dicha radiación y crear pares e-/h. El número de pares de e-/h que puede crear es: N = 3,1/1,1 = 2,8 2

La conductividad del Ge puro se incrementa en un 50% cuando la temperatura pasa de 20 a 30 grados centígrados. (a) ¿Cuál es la anchura de la banda prohibida?; (b) Teniendo en cuenta que para el Si, Eg = 1.1 eV, ¿cuál es el porcentaje de cambio en la conductividad para el mismo cambio de temperatura? Sol. [(a) Eg=0,61 eV; (b) 105%]

Apdo.(a)

Apdo.(b)

La anchura de la banda prohibida para el Ge es Eg = 0.67eV. Las masas efectivas de

electrones y huecos son respectivamente (m es la masa del electrón libre). Calcular a 300K: (a) la energía de Fermi; (b) la densidad de electrones; y (c) la densidad de huecos. Sol. [(a) EF=0,348 eV; (b) n =4·10 18 m -3 ; (c) p =4·10 18 m -3 ]

Apdo. (a)

Apdo. (b) y (c)

Una muestra de Ge tipo N posee una concentración de impurezas donadoras dada por ND = 1015cm-3. Determinar la concentración de electrones y huecos a 500 K sabiendo que la concentración intrínseca viene dada por la expresión: ni = CT3/2 exp (–Eg/(2kT)), siendo C = 1.91·1021m-3K-3/2, Eg = 0.67 eV. Sol. [p =8,345·10 21 m -3 n =9,34·10 21 m -3 ]

 

En una muestra de Si tipo N, en equilibrio térmico y a 300K, se conoce la resistividad, =5 m, n = 1600 cm2/Vs, p = 600 cm2/Vs, ni =1.4·1010cm-3 y la densidad efectiva de estados en la BC, NC = 1019cm-3. Con estos datos, determinar: (a) la concentración de electrones y huecos a partir de las expresiones de la conductividad y de la ley de acción de masas; (b) la localización del nivel de Fermi a partir de la expresión: n = NC exp[(EF–EC)/(kT)]; (c) la probabilidad de que un estado del nivel donador esté ocupado y la probabilidad de que no lo esté, sabiendo que EC–ED = 0.05 eV. Sol. [(a) n =0,8·10 15 m -3 p=2,45·10 5 m -3 ; (b) 0,244 eV; (c) 0,058%]

Apdo.(a)

Apdo.(b)

Apdo.(c)

 

Una muestra de Si es dopada con P. Sabiendo que y que el nivel de energía de los átomos donadores a 300K está 0.045 eV por debajo de Ec y el nivel de Fermi a 0.01 eV sobre ED, calcular la concentración de electrones y huecos.

Se desea dopar una barra de Si de longitud 30 mm y sección 5 mm2 de forma que al ser sometida a una d.d.p. de 10 V sea circulada por una intensidad de 2mA. Calcúlese la concentración de donadores, ND, con que debe doparse la barra. Nota: despréciese la concentración de huecos en el análisis y estímese el error cometido por este motivo en el valor de la resistencia de la barra. Datos: ni = 1.45·1016 m-3, n= 1500 cm2/Vs y p = 475 cm2/Vs. Solución.

Calculemos la resistividad que debe tener la barrita...