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gilmer-espinoza-alvarado
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Inferencia estadística
Estudia como sacar conclusiones generales para toda la
población a part ir del estudio de una muestra, y el grado de
f iabi l idad o s ignif icación de los resultados obtenidos.
Muestreo probabilístico
Cons is te en e leg i r una muestra de una pob lac ión a l azar . Podemos
d is t ingu i r var ios t ipos de muestreo :
Muestreo aleatorio simple
Para obtener una muestra , se numeran los e lementos de la
pob lac ión y se se lecc ionan a l azar los n e lementos que cont iene la
muestra .
Muestreo aleatorio sistemático
Se e l ige un ind iv iduo a l azar y a part i r de é l , a in terva los
constantes , se e l igen los demás hasta completar la muestra .
Por e jemplo s i tenemos una pob lac ión formada por 100 e lementos
y queremos extraer una muestra de 25 e lementos , en pr imer lugar
debemos estab lecer e l in terva lo de se lecc ión que será igua l a 100/25 =
4 . A cont inuac ión e leg imos e l e lemento de arranque, tomando
a leator iamente un número entre e l 1 y e l 4 , y a part i r de é l obtenemos
los restantes e lementos de la muestra .
2, 6, 10, 14, . . . , 98
Muestreo aleatorio estratif icado
Se d iv ide la pob lac ión en c lases o est ratos y se escoge,
a leator iamente, un número de ind iv iduos de cada est rato proporc iona l
a l número de componentes de cada est rato .
En una fábr ica que consta de 600 t raba jadores queremos tomar
una muestra de 20. Sabemos que hay 200 t raba jadores en la secc ión A ,
150 en la B , 150 en la C y 100 en la D.
Un muestreo puede hacerse con o s in repos ic ión , y la pob lac ión de
part ida puede ser in f in i ta o f in i ta .
En todo nuestro estudio vamos a l imitarnos a una población
de part ida inf inita o a muestreo con reposic ión .
S i cons ideremos todas las pos ib les muestras de tamaño n en una
pob lac ión, para cada muestra podemos ca lcu lar un estadíst ico
(media, desviación t ípica, proporción, . . . ) que var iará de una a
ot ra .
As í obtenemos una d is t r ibuc ión de l estad ís t ico que se l lama
distr ibución muestral .
Intervalos característicos
P[Μ - K < X < Μ + K ] = P
Hal lar e l in terva lo caracter ís t ico de una d is t r ibuc ión normal N(0 ,
1) correspondiente a la probabi l idad p = 0 .9 .
E l nivel de confianza (p) se des igna mediante 1 - α .
El nivel de s ignif icación se des igna mediante α.
El valor cr ít ico (k) como z α / 2 .
P(Z>z α / 2) = α/2 P[-z α / 2 < z < z α / 2] = 1- α
Valores críticos
1 - α α/2 z α / 2
0.90 0.05 1.645
0.95 0.025 1.96
0.99 0.005 2.575
En una d is t r ibuc ión N(μ, σ ) e l in terva lo caracter ís t ico
correspondiente a una probabi l idad p = 1 - α es :
(μ - z α / 2 · σ , μ + z α / 2 · σ )
1 - α α/2 z α / 2 Intervalos característicos
0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)
0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )
0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )
Teorema central del l ímite
Si una pob lac ión t iene media μ y desv iac ión t íp ica σ , y tomamos
muestras de tamaño n (n>30, ó cua lqu ier tamaño s i la pob lac ión es
"normal" ) , las medias de estas muestras s iguen aprox imadamente la
d is t r ibuc ión:
Consecuenc ias :
1.Permite aver iguar la probabi l idad de que la media de una
muestra concreta esté en un c ier to in terva lo .
2.Permite ca lcu lar la probabi l idad de que la suma de los
e lementos de una muestra esté , a pr ior i , en un c ier to in terva lo .
3. In fer i r la media de la pob lac ión a part i r de una muestra .
Las bo lsas de sa l envasadas por una máquina t ienen μ = 500 g y σ
= 35 g . Las bo lsas se empaquetaron en ca jas de 100 un idades .
1.Calcu lar la probabi l idad de que la media de los pesos de las
bo lsas de un paquete sea menor que 495 g .
2.Calcu lar la probabi l idad de que una ca ja 100 de bo lsas pese
más de 51 kg .
Estimación de parámetros
Es e l proced imiento ut i l i zado para conocer las caracter ís t icas de
un parámetro pob lac iona l , a par t i r de l conoc imiento de la muestra .
Con una muestra a leator ia , de tamaño n , podemos efectuar una
est imac ión de un va lor de un parámetro de la pob lac ión; pero también
neces i tamos prec isar un:
Intervalo de confianza
Se l lama as í a un interva lo en e l que sabemos que está un
parámetro , con un n ive l de conf ianza espec í f i co .
Nivel de confianza
Probabi l idad de que e l parámetro a est imar se encuentre en e l
in terva lo de conf ianza.
Error de est imación admisible
Que estará re lac ionado con e l rad io de l in terva lo de conf ianza.
Estimación de la media de una población
Intervalo de confianza para la media
El intervalo de confianza , para la media de una pob lac ión, con
un nivel de confianza de 1- α , s iendo x la media de una muestra de
tamaño n y σ la desv iac ión t íp ica de la pob lac ión, es :
El error máximo de est imación es :
Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra , n , menor es el
error .
Cuanto mayor sea el nivel de confianza , 1 -α , mayor es el
error .
Tamaño de la muestra
Si aumentamos el nivel de confianza , aumenta el tamaño de
la muestra .
S i disminuimos el error , tenemos que aumentar el tamaño de
la muestra .
E l t iempo que tardan las ca jeras de un supermercado en cobrar a
los c l ientes s igue una ley normal con media desconoc ida y desv iac ión
t íp ica 0 ,5 minutos . Para una muestra a leator ia de 25 c l ientes se obtuvo
un t iempo medio de 5 ,2 minutos .
1.Calcu la e l in terva lo de conf ianza a l n ive l de l 95% para e l
t iempo medio que se tarda en cobrar a los c l ientes .
2. Ind ica e l tamaño muestra l necesar io para est imar d icho t iempo
medio con un e l er ror de ± 0 ,5 minutos y un n ive l de conf ianza de l
95%.
n ≥ 4
Estimación de una proporción
Si en una población , una determinada caracter ís t ica se presenta
en una proporc ión p , la proporc ión p' , de ind iv iduos con d icha
caracter ís t ica en las muestras de tamaño n , se d is t r ibu i rán según:
Intervalo de confianza para una proporción
El error máximo de est imación es :
En una fábr ica de componentes e lect rón icos , la proporc ión de
componentes f ina les defectuosos era de l 20%. Tras una ser ie de
operac iones e invers iones dest inadas a mejorar e l rend imiento se
ana l i zó una muestra a leator ia de 500 componentes , encontrándose que
90 de e l los eran defectuosos . ¿Qué n ive l de conf ianza debe adoptarse
para aceptar que e l rend imiento no ha suf r ido var iac iones?
p = 0 .2 q = 1 - p =0.8 p '= 90/ 500 = 0 .18
E = 0 .2 - 0 .18 = 0 .02
P (1 - z α / 2 <1.12) = 0 .86861 - 0 .8686 = 0 .1314
0.8686 - 0 .1314 = 0 .737
Nivel de confianza: 73.72%
Contrastes de hipótesis
Hipótesis estadísticas
Un test estadíst ico es un proced imiento para , a part i r de una
muestra a leator ia y s ign i f i cat iva , extraer conclusiones que permitan
aceptar o rechazar una hipótesis p rev iamente emit ida sobre e l va lor
de un parámetro desconoc ido de una pob lac ión.
La h ipótes is emit ida se des igna por H 0 y se l lama H I P Ó T E S I S N U L A .
La h ipótes is contrar ia se des igna por H 1 y se l lama H I P Ó T E S I S
A L T E R N A T I V A .
Contrastes de hipótesis
1. Enunciar la hipótesis nula H 0 y la alternativa H 1 .
Bilateral H0=k H1 ≠ k
Unilateral
H0≥ k H1 < k
H0 ≤k H1> k
2.A part ir de un nivel de confianza 1 - α o el de s ignif icación
α . Determinar :
El valor z α / 2 (bi laterales), o bien z α (uni laterales)
La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p' ) .
3. Calcular: x o p' , a part ir de la muestra.
4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona
de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de
s ignif icación α. Si no, se rechaza .
Contraste Bilateral
Se presenta cuando la h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ = k (o b ien
H 0 : p = k ) y la h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ≠ k (o
b ien H 1 : p≠ k ) .
El nivel de s ignif icación α se concentra en dos partes (o
colas) s imétr icas respecto de la media.
La región de aceptación en este caso no es más que e l
correspondiente in terva lo de probabi l idad para x o p ' , es dec i r :
o b ien:
Se sabe que la desv iac ión t íp ica de las notas de c ier to examen de
Matemát icas es 2 ,4 . Para una muestra de 36 estud iantes se obtuvo una
nota media de 5 ,6 . ¿S i rven estos datos para conf i rmar la h ipótes is de
que la nota media de l examen fue de 6 , con un n ive l de conf ianza de l
95%?
1. Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : μ = 6 La nota media no ha var iado.
H 1 : μ ≠ 6 La nota media ha var iado.
2. Zona de aceptac ión
Para α = 0.05 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α / 2 = 1.96 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza para la media :
(6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)
3. Ver i f i cac ión.
Va lor obten ido de la media de la muestra : 5,6 .
4. Dec is ión
Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión
de l 5%.
Contraste unilateral
Caso 1
La hipótesis nula es de l t ipo H 0 : μ ≥ k (o b ien H 0 : p ≥ k ) .
La hipótesis alternativa , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ < k (o b ien
H 1 : p < k ) .
Valores críticos
1 - α α z α
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33
El n ive l de s ign i f i cac ión α se concentra en una parte o co la .
La reg ión de aceptac ión en este caso será :
o b ien:
Un soc ió logo ha pronost icado, que en una determinada c iudad,
e l n ive l de abstenc ión en las próx imas e lecc iones será de l 40% como
mín imo. Se e l ige a l azar una muestra a leator ia de 200 ind iv iduos ,
con derecho a voto , 75 de los cua les estar ían d ispuestos a votar .
Determinar con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, s i se puede admit i r
e l pronóst ico .
1. Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : p ≥ 0.40 La abstenc ión será como mín imo de l 40%.
H 1 : p < 0.40 La abstenc ión será como máximo de l 40%;
2. Zona de aceptac ión
Para α = 0.01 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α = 2.33 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza para la media :
3.Ver i f i cac ión.
4.Decis ión
Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Podemos af i rmar , con un
n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, que la La abstenc ión será como mín imo
de l 40%.
Caso 2
La h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ ≤ k (o b ien H 0 : p ≤ k ) .
La h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ > k (o b ien
H 1 : p > k ) .
E l n ive l de s ign i f i cac ión α se concentra en la ot ra parte o co la .
La reg ión de aceptac ión en este caso será :
o b ien:
Un in forme ind ica que e l prec io medio de l b i l le te de av ión entre
Canar ias y Madr id es , como máximo, de 120 € con una desv iac ión
t íp ica de 40 € . Se toma una muestra de 100 v ia jeros y se obt iene que
la media de los prec ios de sus b i l le tes es de 128 € .
¿Se puede aceptar , con un n ive l de s ign i f i cac ión igua l a 0 ,1 , la
a f i rmac ión de part ida?
1. Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : μ ≤ 120
H 1 : μ > 120
2.Zona de aceptac ión
Para α = 0.1 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α = 1.28 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza:
3. Ver i f i cac ión.
Va lor obten ido de la media de la muestra : 128 € .
4. Dec is ión
No aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de
s ign i f i cac ión de l 10%.
Errores de tipo I y t ipo I I
Error de t ipo I . Se comete cuando la hipótesis nula es
verdadera y , como consecuenc ia de l contraste , se rechaza .
Error de t ipo I I . Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y ,
como consecuenc ia de l contraste se acepta .
H0 Verdadera Falsa
Aceptar
Decisón correcta
Probabil idad = 1
- α
Decisión
incorrecta:
ERROR DE TIPO II
Rechazar
ERROR DE TIPO I
Probabil idad = α
Decisión
correcta
La probabi l idad de cometer Error de t ipo I es e l nivel de
s ignif icación α .
La probabi l idad de cometer Error de t ipo I I depende de l
verdadero va lor de l parámetro . Se hace tanto menor cuanto mayor
sea n .
Inferencia estadística. Resumen
Inferencia estadística
Estudia cómo sacar conclusiones generales para toda la
población a part ir del estudio de una muestra, y el grado de
f iabi l idad o s ignif icación de los resultados obtenidos.
Muestreo probabilístico
Cons is te en e leg i r una muestra de una pob lac ión a l azar . Podemos
d is t ingu i r var ios t ipos :
Muestreo aleatorio simple:
Para obtener una muestra , se numeran los e lementos de la
pob lac ión y se se lecc ionan a l azar los n e lementos que cont iene la
muestra .
Muestreo aleatorio sistemático:
Se e l ige un ind iv iduo a l azar y a part i r de é l , a in terva los
constantes , se e l igen los demás hasta completar la muestra .
Muestreo aleatorio estratif icado:
Se d iv ide la pob lac ión en c lases o est ratos y se escoge,
a leator iamente, un número de ind iv iduos de cada est rato proporc iona l
a l número de componentes de cada est rato .
Intervalos característicos
El nivel de confianza (p) se des igna mediante 1 - α .
E l nivel de s ignif icación se des igna mediante α.
El valor cr ít ico (k) como z α / 2 .
P(Z>z α / 2) = α/2 P[-z α / 2 < z < z α / 2] = 1- α
En una d is t r ibuc ión N(μ, σ ) e l in terva lo caracter ís t ico
correspondiente a una probabi l idad p = 1 - α es :
(μ - z α / 2 · σ , μ + z α / 2 · σ )
1 - α α/2 z α / 2 Intervalos característicos
0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)
0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )
0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )
Distribución de las medias muestrales
Teorema central del l ímite
Si una pob lac ión t iene media μ y desv iac ión t íp ica σ , y tomamos
muestras de tamaño n (n>30, ó cua lqu ier tamaño s i la pob lac ión es
"normal" ) , las medias de estas muestras s iguen aprox imadamente la
d is t r ibuc ión:
Consecuenc ias :
1.Permite aver iguar la probabi l idad de que la media de una
muestra concreta esté en un c ier to in terva lo .
2.Permite ca lcu lar la probabi l idad de que la suma de los
e lementos de una muestra esté , a pr ior i , en un c ier to in terva lo .
3. In fer i r la media de la pob lac ión a part i r de una muestra .
Estimación
Intervalo de confianza
Se l lama as í a un interva lo en e l que sabemos que está un
parámetro , con un n ive l de conf ianza espec í f i co .
Nivel de confianza
Probabi l idad de que e l parámetro a est imar se encuentre en
e l in terva lo de conf ianza.
Error de est imación admisible
Que estará re lac ionado con e l rad io de l in terva lo de
conf ianza.
Estimación de la media de una población
Intervalo de confianza para la media
El intervalo de confianza , para la media de una pob lac ión,
con un nivel de confianza de 1- α , s iendo x la media de una
muestra de tamaño n y σ la desv iac ión t íp ica de la pob lac ión, es :
El error máximo de est imación es :
Tamaño de la muestra
Estimación de una proporción
Si en una población , una determinada caracter ís t ica se
presenta en una proporc ión p , la proporc ión p' , de ind iv iduos
con d icha caracter ís t ica en las muestras de tamaño n , se
d is t r ibu i rán según:
Intervalo de confianza para una proporción
El error máximo de est imación es :
Hipótesis estadísticas
Un T E S T E S T A D Í S T I C O es un proced imiento para , a part i r de
una muestra a leator ia y s ign i f i cat iva , extraer conclusiones que
permitan aceptar o rechazar una hipótesis p rev iamente
emit ida sobre e l va lor de un parámetro desconoc ido de una
pob lac ión.
La h ipótes is emit ida se des igna por H 0 y se l lama H I P Ó T E S I S
N U L A .
La h ipótes is contrar ia se des igna por H 1 y se l lama H I P Ó T E S I S
A L T E R N A T I V A .
Contrastes de hipótesis
1. Enunciar la hipótesis nula H 0 y la alternativa H 1 .
Bilateral H0=k H1 ≠ k
Unilateral
H0≥ k H1 < k
H0 ≤k H1> k
2.A part ir de un nivel de confianza 1 - α o el de
s ignif icación α . Determinar :
El valor z α / 2 (bi laterales), o bien z α (uni laterales)
La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p' ) .
3. Calcular: x o p' , a part ir de la muestra.
4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la
zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel
de s ignif icación α. Si no, se rechaza .
Contraste Bilateral
Se presenta cuando la h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ = k
(o b ien H 0 : p = k ) y la h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l
t ipo H 1 : μ≠ k (o b ien H 1 : p≠ k ) .
E l n ive l de s ign i f i cac ión α se concentra en dos partes (o
co las) s imétr icas respecto de la media .
La reg ión de aceptac ión en este caso no es más que e l
correspondiente in terva lo de probabi l idad para x o p ' , es dec i r :
o b ien:
Contraste unilateral
Caso 1
La h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ ≥ k (o b ien H 0 : p ≥ k ) .
La h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ < k (o
b ien H 1 : p < k ) .
Valores críticos
1 - α α z α
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33
La reg ión de aceptac ión en este caso será :
o b ien:
Caso 2
La h ipótes is nu la es de l t ipo H 0 : μ ≤ k (o b ien H 0 : p ≤ k ) .
La h ipótes is a l ternat iva , por tanto , es de l t ipo H 1 : μ > k
(o b ien H 1 : p > k ) .
La reg ión de aceptac ión en este caso será :
o b ien:
Errores
Error de t ipo I . Se comete cuando la hipótesis nula es
verdadera y , como consecuenc ia de l contraste , se rechaza .
Error de t ipo I I . Se comete cuando la hipótesis nula es
falsa y , como consecuenc ia de l contraste se acepta .
H0 Verdadera Falsa
Aceptar
Decisón correcta
Probabil idad = 1
- α
Decisión
incorrecta:
ERROR DE TIPO II
Rechazar
ERROR DE TIPO I
Probabil idad = α
Decisión
correcta
La probabi l idad de cometer Error de t ipo I es e l nivel
de s ignif icación α .
La probabi l idad de cometer Error de t ipo I I depende de l
verdadero va lor de l parámetro . Se hace tanto menor cuanto
mayor sea n .
Problemas de inferencia estadística
1En una fábr ica que consta de 600 t raba jadores queremos tomar
una muestra de 20. Sabemos que hay 200 t raba jadores en la secc ión A ,
150 en la B , 150 en la C y 100 en la D.
2En c ier to barr io se qu iere hacer un estud io para conocer mejor e l
t ipo de act iv idades de oc io que gustan más a sus hab i tantes . Para e l lo
van a ser encuestados 100 ind iv iduos e leg idos a l azar .
1.Expl icar qué proced imiento de se lecc ión ser ía más adecuado
ut i l i zar : muestreo con o s in repos ic ión . ¿Por qué?
2.Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en e l barr io
v iven 2 .500 n iños , 7 .000 adu l tos y 500 anc ianos , poster iormente se
dec ide e leg i r la muestra anter ior ut i l i zando un muestreo est rat i f i cado.
Determinar e l tamaño muestra l correspondiente a cada est rato .
Para e fectuar un muestreo a leator io est rat i f i cado, será necesar io
que la muestra re f le je f ie lmente los est ratos ex is tentes en la pob lac ión;
deben cons iderarse los est ratos formados por : n iños , adu l tos y
anc ianos .
El tamaño muestra l de cada est rato deberá ser proporc iona l a la
presenc ia de l mismo en la pob lac ión or ig ina l :
Pob lac ión tota l : 2500 + 7000 + 500 = 10 000.
3En c ier ta cadena de centros comerc ia les t raba jan 150 personas
en e l departamento de persona l , 450 en e l departamento de ventas , 200
en e l departamento de contab i l idad y 100 en e l departamento de
atenc ión a l c l iente . Con ob jeto de rea l i zar una encuesta labora l , se
qu iere se lecc ionar una muestra de 180 t raba jadores .
1¿Qué t ipo de muestreo deber íamos ut i l i zar para la se lecc ión de
la muestra s i queremos que inc luya a t raba jadores de los cuatro
departamentos menc ionados?
2¿Qué número de t raba jadores tendr íamos que se lecc ionar en
cada departamento atend iendo a un cr i ter io de proporc iona l idad?
4Sea la pob lac ión de e lementos : {22,24, 26} .
1.Escr iba todas las muestras pos ib les de tamaño dos , escog idas
mediante muestreo a leator io s imple .
2.Calcu le la var ianza de la pob lac ión.
3.Calcu le la var ianza de las medias muestra les .
M 1 = {22, 24}, M 1 = {22, 26}, M 1 = {24, 26}
2.Calcu le la var ianza de la pob lac ión.
3.Calcu le la var ianza de las medias muestra les .
5Las bo lsas de sa l envasadas por una máquina t ienen μ = 500 g y
σ = 35 g . Las bo lsas se empaquetaron en ca jas de 100 un idades .
1.Calcu lar la probabi l idad de que la media de los pesos de las
bo lsas de un paquete sea menor que 495 g .
2.Calcu lar la probabi l idad de que una ca ja 100 de bo lsas pese
más de 51 kg .
1.Calcu lar la probabi l idad de que la media de los pesos de las
bo lsas de un paquete sea menor que 495 g .
2.Calcu lar la probabi l idad de que una ca ja 100 de bo lsas pese
más de 51 kg .
6El t iempo que tardan las ca jeras de un supermercado en cobrar a
los c l ientes s igue una ley normal con media desconoc ida y desv iac ión
t íp ica 0 ,5 minutos . Para una muestra a leator ia de 25 c l ientes se obtuvo
un t iempo medio de 5 ,2 minutos .
1.Calcu la e l in terva lo de conf ianza a l n ive l de l 95% para e l t iempo
medio que se tarda en cobrar a los c l ientes .
2. Ind ica e l tamaño muestra l necesar io para est imar d icho t iempo
medio con un e l er ror de ± 0 ,5 minutos y un n ive l de conf ianza de l 95%.
1.Calcu la e l in terva lo de conf ianza a l n ive l de l 95% para e l t iempo
medio que se tarda en cobrar a los c l ientes .
2. Ind ica e l tamaño muestra l necesar io para est imar d icho t iempo
medio con un e l er ror de ± 0 ,5 minutos y un n ive l de conf ianza de l 95%.
n ≥ 4
7En una fábr ica de componentes e lect rón icos , la proporc ión de
componentes f ina les defectuosos era de l 20%. Tras una ser ie de
operac iones e invers iones dest inadas a mejorar e l rend imiento se
ana l i zó una muestra a leator ia de 500 componentes , encontrándose que
90 de e l los eran defectuosos . ¿Qué n ive l de conf ianza debe adoptarse
para aceptar que e l rend imiento no ha suf r ido var iac iones?
p = 0 .2 q = 1 - p =0.8 p '= 90/ 500 = 0 .18
E = 0 .2 - 0 .18 = 0 .02
P (1 - z α / 2 <1.12) = 0 .86861 - 0 .8686 = 0 .1314
0.8686 - 0 .1314 = 0 .737
Nivel de confianza: 73.72%
8 La var iab le a l tura de las a lumnas que estud ian en una escue la
de id iomas s igue una d is t r ibuc ión normal de media 1 ,62 m y la
desv iac ión t íp ica 0 ,12 m. ¿Cuál es la probabi l idad de que la media de
una muestra a leator ia de 100 a lumnas sea mayor que 1 .60 m?
9Se ha tomado una muestra de los prec ios de un mismo producto
a l iment ic io en 16 comerc ios , e leg idos a l azar en un barr io de una
c iudad, y se han encontrado los s igu ientes prec ios :
95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111,
103, 110.
Suponiendo que los prec ios de este producto se d is t r ibuyen según
una ley normal de var ianza 25 y media desconoc ida:
1.¿Cuál es la d is t r ibuc ión de la media muestra l?
2.Determine e l in terva lo de conf ianza, a l 95%, para la media
pob lac iona l .
1.¿Cuál es la d is t r ibuc ión de la media muestra l?
2.Determine e l in terva lo de conf ianza, a l 95%, para la media
pob lac iona l .
95% → z α / 2 =1.96
(104 - 1 .96 · 1 . 25, 104 + 1 .9 · 1 .25) = (101.55; 106.45)
10La media de las estaturas de una muestra a leator ia de 400
personas de una c iudad es 1 ,75 m. Se sabe que la estatura de las
personas de esa c iudad es una var iab le a leator ia que s igue una
d is t r ibuc ión normal con var ianza σ 2 = 0 ,16 m 2 .
1.Construye un interva lo , de un 95% de conf ianza, para la media
de las estaturas de la pob lac ión.
2.¿Cuál ser ía e l mín imo tamaño muestra l necesar io para que
pueda dec i rse que la verdadera media de las estaturas está a menos de
2 cm de la media muestra l , con un n ive l de conf ianza de l 90%?
1.Construye un interva lo , de un 95% de conf ianza, para la media
de las estaturas de la pob lac ión.
n=400 x =1.75 σ=0.4
1 - α=0.95 z α / 2=1.96
(1.75 ± 1.96 · 0.4/20 ) → (1.7108,1.7892)
2.¿Cuál ser ía e l mín imo tamaño muestra l necesar io para que
pueda dec i rse que la verdadera media de las estaturas está a menos de
2 cm de la media muestra l , con un n ive l de conf ianza de l 90%?
La muestra debe tener al menos 1083 personas.
11Las ventas mensuales de una t ienda de e lect rodomést icos se
d is t r ibuyen según una ley normal , con desv iac ión t íp ica 900 € . En un
estud io estad ís t ico de las ventas rea l i zadas en los ú l t imos nueve
meses , se ha encontrado un interva lo de conf ianza para la media
mensual de las ventas , cuyos extremos son 4 663 € y 5 839 € .
1. ¿Cuá l ha s ido la media de las ventas en estos nueve meses?
2. ¿Cuá l es e l n ive l de conf ianza para este in terva lo?
1. ¿Cuá l ha s ido la media de las ventas en estos nueve meses?
n = 9 x = (4663 + 5839) / 2 ; x =5251
2. ¿Cuá l es e l n ive l de conf ianza para este in terva lo?
E= ( 5839 - 4663) / 2 = 588
588 = z α / 2 · 900 / 3 z α / 2 = 1 .96
1-α = 0.95 → 95%
12Se desea est imar la proporc ión, p , de ind iv iduos da l tón icos de
una pob lac ión a t ravés de l porcenta je observado en una muestra
a leator ia de ind iv iduos , de tamaño n .
1. S i e l porcenta je de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es igua l
a l 30%, ca lcu la e l va lor de n para que, con un n ive l de conf ianza de
0 ,95, e l er ror comet ido en la est imac ión sea in fer ior a l 3 ,1%.
2.Si e l tamaño de la muestra es de 64 ind iv iduos , y e l porcenta je
de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es de l 35%, determina, usando
un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, e l correspondiente in terva lo de
conf ianza para la proporc ión de da l tón icos de la pob lac ión.
1. S i e l porcenta je de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es igua l
a l 30%, ca lcu la e l va lor de n para que, con un n ive l de conf ianza de
0 ,95, e l er ror comet ido en la est imac ión sea in fer ior a l 3 ,1%.
1- α=0.95 z α / 2 =1.96
Al menos 840 individuos.
2.Si e l tamaño de la muestra es de 64 ind iv iduos , y e l porcenta je
de ind iv iduos da l tón icos en la muestra es de l 35%, determina, usando
un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, e l correspondiente in terva lo de
conf ianza para la proporc ión de da l tón icos de la pob lac ión.
α=0.01 1- α=0.99 z α / 2 =2.575
13En una pob lac ión una var iab le a leator ia s igue una ley normal
de media desconoc ida y desv iac ión t íp ica 2 .
1.Observada una muestra de tamaño 400, tomada a l azar , se ha
obten ido una media muestra a l igua l a 50. ¿Ca lcu le un interva lo , con e l
97 % de conf ianza, para la media de la pob lac ión.
2.Con e l mismo n ive l de conf ianza, ¿qué tamaño mín imo debe
tener la muestra para qué la ampl i tud de l in terva lo que se obtenga sea,
como máximo, 1?
1.Observada una muestra de tamaño 400, tomada a l azar , se ha
obten ido una media muestra a l igua l a 50. ¿Ca lcu le un interva lo , con e l
97 % de conf ianza, para la media de la pob lac ión.
2.Con e l mismo n ive l de conf ianza, ¿qué tamaño mín imo debe
tener la muestra para qué la ampl i tud de l in terva lo que se obtenga sea,
como máximo, 1?
n ≥ 76
14La cant idad de hemoglob ina en sangre de l hombre s igue una
ley normal con una desv iac ión t íp ica de 2g/d l .
Ca lcu le e l n ive l de conf ianza de una muestra de 12 extracc iones
de sangre que ind ique que la media pob lac iona l de hemoglob ina en
sangre está entre 13 y 15 g /d l .
15Se sabe que la desv iac ión t íp ica de las notas de c ier to examen
de Matemát icas es 2 ,4 . Para una muestra de 36 estud iantes se obtuvo
una nota media de 5 ,6 . ¿S i rven estos datos para conf i rmar la h ipótes is
de que la nota media de l examen fue de 6 , con un n ive l de conf ianza
de l 95%?
1. Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : μ = 6 La nota media no ha var iado.
H 1 : μ ≠ 6 La nota media ha var iado.
2. Zona de aceptac ión
Para α = 0.05 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α / 2 = 1.96 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza para la media :
(6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)
3. Ver i f i cac ión.
Va lor obten ido de la media de la muestra : 5,6 .
4. Dec is ión
Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión
de l 5%.
16Un soc ió logo ha pronost icado, que en una determinada c iudad,
e l n ive l de abstenc ión en las próx imas e lecc iones será de l 40% como
mín imo. Se e l ige a l azar una muestra a leator ia de 200 ind iv iduos , con
derecho a voto , 75 de los cua les estar ían d ispuestos a votar .
Determinar con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, s i se puede admit i r e l
pronóst ico .
1. Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : μ ≥ 0.40 La abstenc ión será como mín imo de l 40%.
H 1 : μ < 0.40 La abstenc ión será como máximo de l 40%;
2. Zona de aceptac ión
Para α = 0.01 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α = 2.33 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza para la media :
3.Ver i f i cac ión.
4.Decis ión
Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Podemos af i rmar , con un n ive l
de s ign i f i cac ión de l 1%, que la La abstenc ión será como mín imo de l
40%.
17Un in forme ind ica que e l prec io medio de l b i l le te de av ión entre
Canar ias y Madr id es , como máximo, de 120 € con una desv iac ión t íp ica
de 40 € . Se toma una muestra de 100 v ia jeros y se obt iene que la
media de los prec ios de sus b i l le tes es de 128 € .
¿Se puede aceptar , con un n ive l de s ign i f i cac ión igua l a 0 ,1 , la
a f i rmac ión de part ida?
1. Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : μ ≤ 120
H 1 : μ > 120
2.Zona de aceptac ión
Para α = 0.1 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α = 1.28 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza:
3. Ver i f i cac ión.
Va lor obten ido de la media de la muestra : 128 € .
4. Dec is ión
No aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de
s ign i f i cac ión de l 10%.
18Una marca de nueces a f i rma que, como máximo, e l 6% de las
nueces están vac ías . Se e l ig ieron 300 nueces a l azar y se detectaron 21
vac ías .
1.Con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, ¿se puede aceptar la
a f i rmac ión de la marca?
2.Si se mant iene e l porcenta je muestra l de nueces que están
vac ías y 1-α = 0 .95, ¿qué tamaño muestra l se neces i tar ía para est imar
la proporc ión de nueces con un error menor de l 1% por c iento?
1.Con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 1%, ¿se puede aceptar la
a f i rmac ión de la marca?
1 Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : p ≤ 0.06
H 1 : p >0.06
2Zona de aceptac ión
α = 0.01 z α = 2.33 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza:
3Ver i f i cac ión.
4Decis ión
Aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de s ign i f i cac ión
de l 1%.
2.Si se mant iene e l porcenta je muestra l de nueces que están
vac ías y 1-α = 0 .95, ¿qué tamaño muestra l se neces i tar ía para est imar
la proporc ión de nueces con un error menor de l 1% por c iento?
1 - α = 0 , 9 5 z α / 2 = 1 , 96
19La durac ión de la bombi l las de 100 W que fabr ica una empresa
s igue una d is t r ibuc ión normal con una desv iac ión t íp ica de 120 horas de
durac ión. Su v ida media está garant izada durante un mín imo de 800
horas . Se escoge a l azar una muestra de 50 bombi l las de un lo te y ,
después de comprobar las , se obt iene una v ida media de 750 horas . Con
un n ive l de s ign i f i cac ión de 0 ,01, ¿habr ía que rechazar e l lo te por no
cumpl i r la garant ía?
1 Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : µ ≥ 800
H 1 : µ <800
2Zona de aceptac ión
α = 0.01 ; z α = 2.33
Determinamos e l in terva lo de conf ianza:
3Ver i f i cac ión.
x = 750
4Decis ión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de s ign i f i cac ión
de l 1%.
20Un fabr icante de lámparas e léct r icas está ensayando un nuevo
método de producc ión que se cons iderará aceptab le s i las lámparas
obten idas por este método dan lugar a una pob lac ión normal de
durac ión media 2400 horas , con una desv iac ión t íp ica igua l a 300. Se
toma una muestra de 100 lámparas produc idas por este método y esta
muestra t iene una durac ión media de 2320 horas . ¿Se puede aceptarr la
h ipótes is de va l idez de l nuevo proceso de fabr icac ión con un r iesgo
igua l o menor a l 5%?
1 Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : μ = 2400
H 1 : μ ≠2400
2Zona de aceptac ión
α = 0.05 z α = 1.96 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza para la media :
3Ver i f i cac ión.
Va lor obten ido de la media de la muestra : 2320 .
4Decis ión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión
de l 5%.
21El contro l de ca l idad una fábr ica de p i las y bater ías sospecha
que hubo defectos en la producc ión de un modelo de bater ía para
te lé fonos móvi les , ba jando su t iempo de durac ión. Hasta ahora e l
t iempo de durac ión en conversac ión seguía una d is t r ibuc ión normal con
media 300 minutos y desv iac ión t íp ica 30 minutos . S in embargo, en la
inspecc ión de l ú l t imo lo te produc ido, antes de env iar lo a l mercado, se
obtuvo que de una muestra de 60 bater ías e l t iempo medio de durac ión
en conversac ión fue de 290 minutos . Suponiendo que ese t iempo s igue
s iendo Normal con la misma desv iac ión t íp ica :
¿Se puede conc lu i r que las sospechas de l contro l de ca l idad son
c ier tas a un n ive l de s ign i f i cac ión de l 2%?
¿Se puede conc lu i r que las sospechas de l contro l de ca l idad son
c ier tas a un n ive l de s ign i f i cac ión de l 2%?
1 Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : µ ≥ 300
H 1 : µ < 300
2Zona de aceptac ión
α = 0.02; 1- α = 0. 98; P(1.96)= 0. 98; z α = 1.96 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza:
3Ver i f i cac ión.
µ = 290
4Decis ión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ive l de s ign i f i cac ión
de l 2%.
22Se cree que e l n ive l medio de protombina en una pob lac ión
normal es de 20 mg/100 ml de p lasma con una desv iac ión t íp ica de 4
mi l ig ramos/100 ml . Para comprobar lo , se toma una muestra de 40
ind iv iduos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml . ¿Se puede aceptar
la h ipótes is , con un n ive l de s ign i f i cac ión de l 5%?
1 Enunc iamos las h ipótes is nu la y a l ternat iva :
H 0 : μ =20 mg/100 ml
H 1 : μ ≠ 20 mg/100 ml
2Zona de aceptac ión
Para α = 0.05 , le corresponde un va lor c r í t i co : z α / 2 = 1.96 .
Determinamos e l in terva lo de conf ianza para la media :
3Ver i f i cac ión.
Va lor obten ido de la media de la muestra : 18.5 .
4Decis ión
Rechazamos la hipótesis nula H 0 , con un n ive l de s ign i f i cac ión
de l 5%.
http://www.vitutor.com/estadistica/inferencia/i_e.html