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DEPARTAMENTO DE MATEMTICA APLICADA
(BIOMATEMTICA)
Problemas de Matemticas I. Grado en Geologa. Curso 2011/2012
1.- Determinar el dominio de definicin de las siguientes
funciones:
a) 2
1( )
4
xf x
x
b) 2( ) ln( 1)f x x c)
1
( ) xf x e
d) 2( ) 3 2f x x x e)
1( )
2 7
xf x
x
f)
1( )
2
xf x
x
2.- Hallar g f y f g para los siguientes pares de funciones:
a) 2( ) 1f x x , ( ) 2g x x b) ( ) ln( 1)f x x , 1( ) xg x e
c) ( ) 1f x x , 2( ) 3g x x
3.- Expresar la funcin inversa de cada una de las siguientes
funciones:
a) ( ) 2 3f x x b) ( )1
xf x
x
c) 2 1( ) 3 xf x e
d) ( ) ln(2 1)f x x
4.- Calcular los lmites siguientes:
a)
3 2
3
2 3lim
4 2 1x
x x
x x
b)
2
0
1limx
x senx
c)
2
3
9lim
3x
x
x
d)
3 2lim
1x
x
x
e) limx x
x xx
e e
e e
f)
2lim
4 3x
x
x g)
22
1lim
4x
x
x
h)
2
22
1lim
2x
x
x x
5.- a) Hallar a y b de para que la siguiente funcin sea
continua:
f x
a x si x
b x si x
xsi x
( )
( )
sen( )
1 0
0
2
b) Hallar el valor de k en las siguientes funciones para que
sean continuas en todo su dominio:
2
21)(
xxk
xxxf
01
0)(
2 xx
xkxxf
1
11
1)(
4
xk
xx
xxf
1
11
1)(
xk
xx
xxf
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6.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones para los
distintos valores del parmetro a:
2
2)(
2
2
xxa
xaxxxf
02
0)(
xax
xexf
ax
7.- Dada la funcin
1
2
12
10
4
4
)(2
xe
xx
xfx
. Observamos que f est definida en
[0, 1] y que verifica f(0)=-10, pero no existe ningn 1,0c tal
que 0)( cf . Contradice el teorema de Bolzano?. Razona la
respuesta.
8.- Se sabe que f(x) es continua en [a, b] y que f(a)=3 y
f(b)=5. Es posible
asegurar que para algn c del intervalo [a, b] se cumple que
f(c)=7?. Razona la respuesta.
9.- Tiene alguna raz real la siguiente ecuacin?:
012sen xx . Si la respuesta es afirmativa, determina un
intervalo de amplitud menor que 2
en el que se encuentre la raz.
10.- Demuestra que la ecuacin 015 xx tiene, al menos, una
solucin real.
11.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes
funciones:
a) 2 2
( )2 1 2
x xf x
x x
b)
2( ) 2 1f x x x
c) 2
1
0( )
0 0
xxe xf x
x
d) 1
0( ) 1
0 0
x
xx
f x e
x
12.- Determinar las funciones derivadas de las siguientes
funciones:
a) 3( ) 3 1f x x x b) 2 7( ) ( 2 )f x x x c) ( ) (3 ) cos(5 )f x
xsen x x
d) 2 1( )
x
xf x e e) 2
1( ) ln
xf x x
x
d)
2
1( )f x arctg
x
13.- Escribir la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la
funcin
( ) ln(2 1)f x x en el punto de abscisa x=1. Recurrir a ella
para aproximar el
valor de la funcin en 1
110
x
14.- Determinar el valor mximo y mnimo de la funcin 3 2( ) 2 3
12 1f x x x x
en el intervalo 2,3
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15.- Calcular a, b, c y d sabiendo que la funcin 3 2( )f x ax bx
cx d tiene un
extremo en x=0, (-1,2) es un punto de la grfica que es otro
extremo y f(0)=1.
16.- Estudiar y representar grficamente las funciones:
a)
2
2
1( )
1
xf x
x
b)
2( )
1
xf x
x
c)
2
( )1
xf x
x
d) 3( ) ( 2) xf x x e e) 2
( )3
xef x
x
f) 2( ) ln(4 )f x x
g)
2
2( )x
f x xe
h) 2( ) 9f x x x
17.- Disear un contenedor en forma de paraleleppedo regular de
altura dada, h,
sin tapa superior, de forma que pueda albergar un determinado
volumen, V, de
mineral y tenga superficie mnima.
18.- En una finca se quiere construir un pozo cilndrico de un
determinado volumen,
V, con el mnimo hormign posible; cul debe ser la profundidad del
pozo?.
19.- El cauce de un ro puede considerarse ajustado a la curva
parablica 2y x . Si
se pretende construir un canal recto con el menor coste posible
desde el punto
(3,0) al cauce, de qu punto del ro debe partirse?.
20.- Sobre el centro de una placa circular de 8 m de dimetro, se
vierte a una
velocidad constante de 10l/h un fluido oleaginoso. El vertido
produce una
mancha circular que se extiende sobre la placa, de modo homogneo
y
progresivo, manteniendo un grosor de 2 cm.
a) Construir el modelo, en cm/h, que describe la velocidad de
variacin del
radio del vertido.
b) Calcular la velocidad con la que vara el radio en el instante
en que ste
mide 1 cm.
21.- Un depsito abierto, de hoja de lata, con fondo cuadrado,
debe tener capacidad
para v litros. Qu dimensiones debe tener dicho depsito para que
en su
fabricacin se necesite la menor cantidad de hoja de lata?.
22.- De un tronco redondo, de dimetro d, hay que cortar una viga
de seccin
rectangular. Qu anchura x y altura y deber tener esta seccin
para que la
viga tenga la resistencia mxima posible: a) a la compresin y b)
a la flexin?.
Observacin. La resistencia de la viga a la compresin es
proporcional al rea
de su seccin transversal, mientras que la que a la flexin es al
producto de la
anchura de esta seccin por el cuadrado de su altura.
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23.- Calcular el polinomio de Taylor de grado n de las
siguientes funciones en el
punto que se indica:
a) ( ) lnf x x , n=4, a=1
b) 2
( ) xf x xe , n=3, a=0
c) ( ) 2f x xsen x , n=4, a=0
24.- Calcular las siguientes integrales indefinidas; es decir,
el conjunto de primitivas
de la funcin subintegral:
24.1 3 2 5x x
dxx
24.2
54 2 32 1x x x x dx
24.3 27
xdx
x 24.4
(ln )sen xdx
x
24.5 23 1
xdx
x 24.6
1
1 xdx
e
24.7 2
1
3 1dx
x 24.8
22
dx
x
24.9 2 3xx e dx 24.10 cos(2 )x x dx
24.11 ( )arctg x dx 24.12 21
2dx
x x
24.13
2
2
1
2
xdx
x x
24.14
2
3 3
3 2
xdx
x x
24.15 3 2
1
2 3
xdx
x x x
24.16
2xe senxdx
25.- Calcular el rea del recito limitado por el eje OX, la recta
1
2x y la curva
2 1
xy
x
26.- Calcular el rea del recito plano limitado, en el primer
cuadrante, por las
siguientes lneas: 1
yx
, 2y x , 4x , 0y
27.- Calcular el rea de la regin comprendida entre las lneas 3
23 10y x x x ,
2 2y x x
28.- Calcular la longitud del arco de curva de ecuacin
3 1
6 2
xy
x comprendido
entre los puntos de abscisa 1
2x y 2x .
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29.- Se quiere construir un depsito cuya forma coincida con el
cuerpo de
revolucin obtenido al girar el recinto plano limitado por las
lneas ( 20)y x x
0y , 2x , 18x , 360 alrededor del eje OX. Si la unidad est dada
en dm,
hallar la capacidad del depsito.
30.- Situada una determinada comarca en la geometra de un
sistema de referencia
cartesiano, dos pueblos A y B se encuentran en los puntos (9,
18) y (81, 486),
respectivamente, unidos por una carretera de ecuacin 2
3y x x . Calcular,
sobre la carretera, la distancia entre los pueblos, tomando el
Km como unidad
de medida.
31.- Construir un modelo para describir la velocidad con la que
vara la altura de un
lquido que se vierte en una bolsa semiesfrica. Si el radio de la
semiesfera es
de 30 m y entra lquido a una velocidad de 5000 litros por hora,
determinar la
concrecin del modelo para tal caso y calcular la velocidad
cuando la altura es
de 10 m.
32.- Indicar el dominio de definicin de las siguientes
funciones:
a) 2 2( , ) 4 4f x y x y b)
2ln( )( , )
x yf x y
y
c)
1
( , ) x yf x y e
d) 2 2
1( , )
x yf x y
x y
33.- Dibujar las curvas de nivel de las siguientes
funciones:
a) 2( , )f x y x y b) 2 2( , ) 4f x y x y c) ( , )f x y x y
34.- Calcular las derivadas parciales primeras de las siguientes
funciones:
a) 3 2( , ) 2 5 2f x y x xy y b)
82( , ) 2f x y x y xy
c)
2
3( , )
yf x y
x d) 3( , ) ln( )xf x y e xy e) ( , )
1 2 xyx
f x ye
f) ( , ) cos( )f x y xy x y
35.- Calcular la derivada direccional de 3 2( , )f x y y x y en
el punto (2, 1) en la
direccin del vector 2 1
,5 5
v
.
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36.- Supngase que la superficie de una montaa se adapta a la
ecuacin 2 22000z x y y que se adopta el metro como unidad de medida
lineal. Si
un alpinista se sita en la cota del punto (-10, 5):
a) A qu altura se encuentra?.
b) En qu direccin debe desplazarse para conseguir que su ascenso
sea el
ms rpido posible?.
c) En qu direccin debe desplazarse para conseguir que su
descenso sea el
ms rpido posible?.
37.- La temperatura de una placa metlica est controlada por el
modelo:
2 2( , ) 100 2T x y x y . Situndose en el punto (2, -3), en qu
direccin
aumenta ms rpidamente la temperatura de la placa?. Con qu
velocidad se
produce ese aumento?.
38.- Dada la funcin 2( , ) xyf x y xe , se pide:
a) Ecuacin del plano tangente a la superficie ( , )z f x y en el
punto (2, 1, 2).
b) usar el plano tangente para aproximar el valor de la funcin
en el punto
(1.9,1.02).
c) Polinomio de Taylor de grado 2 de ( , )f x y en el punto (2,
1).
39.- Estudiar los extremos relativos de las siguientes
funciones:
a) 3 3( , ) 8 1f x y xy x y b)
4 1( , ) 2f x y xy
x y
c) 32 2( , ) 1f x y x y y
