1 Un ahorrista busca asegurar el futuro de sus hijos y deposita $ 1200 en una cuenta de ahorros al 9% anual capitalizable semestralmente por un periodo de 5 años, si el cambio es de 3.50 por dólar, calcular: a. El monto en dólares b. El monto en soles

SOLUCIÓN

C= $1200, i= 0.09/2=0.045, n=10; por tanto:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 1200(1.045)10 = $ 1863.563

a. El monto en dólares: S=$ 1863.563 b. El monto en soles S= $ 1863.563 × 𝑆/ 3.50

$ 1= 6522.472

2 Un jefe de familia deja en un banco al fallecer S/.30000, los cuales ganan el 18% anual para que se entreguen a sus hijos cuando cumplan 18 años respectivamente. Si la edad de los hijos es de 12, 9 y 6 años y el capital se distribuye previamente en forma proporcional a las edades ¿cuánto recibió cada hijo al cumplir 18 años?

SOLUCIÓN

Sean 𝐶𝐴, 𝐶𝐵, 𝐶𝐶 las cantidades que les corresponde a los hijos de 12, 9 y 6 años respectivamente al depositar el capital de S/. 30000, también designemos por 𝑆𝐴, 𝑆𝐵, 𝑆𝐶 los montos que reciben A, B y C al cumplir 18 años.

Hacemos: 𝐶𝐴= 12K, 𝐶𝐵= 9K, 𝐶𝐶=6K, entonces:

12𝐾 + 9𝐾 + 6𝐾 = 30000 → 𝐾 = 30000/27

Con lo que: 𝐶𝐴= 12K= S/.13333.33, 𝐶𝐵= 9K= S/.10000, 𝐶𝐶=6K= S/.6666.66

i= 0.18, 𝑛𝐴=6, 𝑛𝐵 = 9, 𝑛𝐶 = 12; por tanto:

𝑆𝐴 = 𝐶𝐴(1 + 𝑖)𝑛𝐴 = 13333.33(1.18)6 = 𝑠/.35994.05

𝑆𝐵 = 𝐶𝐵(1 + 𝑖)𝑛𝐵 = 10000(1.18)9 = 𝑠/.44354.54

𝑆𝐶 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖)𝑛𝐶 = 6666.66(1.18)12 = 𝑠/.48583.90

3 Se invierte S/. 2000 ahora, S/. 1500 dentro de 2 años y S/. 1000 dentro de 4 años, todos al 15% anual ¿Cuál será la cantidad acumulada después de 10 años?

SOLUCIÓN

Sean 𝐶𝐴, 𝐶𝐵, 𝐶𝐶 las cantidades que se invierten y 𝑆𝐴, 𝑆𝐵, 𝑆𝐶 los montos que generan cada una de estas cantidades

Tenemos:

𝐶𝐴= S/. 2000, i= 0.15, 𝑛𝐴=10 por tanto:

𝑆𝐴 = 𝐶𝐴(1 + 𝑖)𝑛𝐴 = 2000(1.15)10 = 𝑠/.8091.12

𝐶𝐵= S/. 1500, i= 0.15, 𝑛𝐵 = 8 por tanto:

𝑆𝐵 = 𝐶𝐵(1 + 𝑖)𝑛𝐵 = 1500(1.15)8 = 𝑠/.4588.53

𝐶𝐶= S/. 1000, i= 0.15, 𝑛𝐶 = 6 por tanto:

𝑆𝐶 = 𝐶𝐶(1 + 𝑖)𝑛𝐶 = 1000(1.15)6 = 𝑠/.2313.06

4 Si un banco paga el 20% de interés compuesto anual con capitalización trimestral sobre los depósitos en ahorros ¿Cuál será el capital a colocarse para obtener un monto de S/.65000 al cabo de 4 años?

SOLUCIÓN

S=S/. 65000, i= 0.2/4=0.05, n=16; por tanto:

De 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 → 𝐶 = 𝑆(1 + 𝑖)−𝑛 = 65000(1.05)−16 = 29777.2

El capital debe ser: C= 29777.2 5 Se contrae una deuda de S/.16140 con un interés compuesto del 20% anual con capitalización trimestral a liquidarse dentro de 3 años ¿Cuál será el interés acumulado a pagar? SOLUCIÓN

Con: C= S/.16140, i= 0.2/4=0.05, n=12; Hallamos el monto a pagar:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 16140(1.05)12 = 28985.12

Por tanto, el interés total a pagar es: 𝐼 = 𝑆 − 𝐶 = 28985.12− 16140 = S/.12845.12 6 Un documento de valor nominal de S/.5500 que vence dentro de 5 años, se somete a un descuento a la tasa del 20% anual con capitalización semestral. Calcular su valor efectivo y el descuento racional. SOLUCIÓN

S=S/. 5500, i= 0.2/2=0.1, n=10; por tanto:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 → 𝐶 = 𝑆(1 + 𝑖)−𝑛 = 5500(1.1)−10 = 2120.49

El valor efectivo es: C= S/. 2120.49 Y el descuento racional 𝐷𝑟 = 𝑆 − 𝐶 = 5500− 2120.49 = 3379.51

7 Un documento de valor nominal S/. 3000 que vence dentro de 4 años, se somete a descuento bancario a interés compuesto de 22%, calcular el descuento comercial.

SOLUCIÓN

S=S/. 3000, d= 0.22, n=4; por tanto:

𝐶 = 𝑆(1 − 𝑑)𝑛 = 3000(0.78)4 = 1110.45

El descuento comercial es: 𝐷 = 𝑆 − 𝐶 = 3000− 1110.45 = S/. 1189.55

8 Un documento cuyo valor actual asciende a S/.2800 afectado con un interés compuesto del 22% anual con capitalización bimestral en 2 años ¿Cuál será su valor nominal?

SOLUCIÓN

C= S/.2800, i= 0.22/6, n=12; por tanto:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 = 2800(1 + 0.22/6)12 = 4313.48

El valor nominal de documento es: S=S/.4313.48

9 Una letra se deposita en el banco para su descuento racional, cuyo valor nominal es de S/.8300 con vencimiento dentro de 2 años dos meses con interés del 25% anual con capitalización semestral. ¿Cuál será el valor actual de la letra?

SOLUCIÓN

S=S/. 8300, i= 0.25/2=0.125, n=13/3; por tanto:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 → 𝐶 = 𝑆(1 + 𝑖)−𝑛 = 8300(1.125)−13/3 = 4982.15

El valor actual de la letra es: 𝐶 = 4982.15

10 ¿Al cabo de cuánto tiempo un capital de S/.12800 acumulará un monto de 22000 al 16% anual con capitalización trimestral?

SOLUCIÓN

C= S/.12800, S=22000, i= 0.16/4=0.04;sea “x” el número de años, entonces n = 4x:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 → 22000 = 12800(1.04)4𝑥 → (1.04)4𝑥 =2200012800

Tomando logaritmos:

4𝑥 log(1.04) = log(22000) − log (12800)

0.068133𝑥 = 4.342423− 4.10721

𝑛 = 1.28 𝑎ñ𝑜𝑠

11 ¿A qué tasa efectiva estuvo colocado un capital de S/.4000 para que en 3 años produjera S/. 2600 de interés, si la capitalización de los intereses se efectúa trimestralmente?

SOLUCIÓN

C= S/.4000, S= S/.6600, n=12, hallemos primero la tasa nominal.

De la igualdad 6600 = 4000(1 + 𝑖)12 tenemos

log(6600) = log(4000) + 12 log (1 + 𝑖)

Por tanto,

1 + 𝑖 = 1.0426 → 𝑖 = 0.0426 𝑦 𝑗 = 4𝑖 = 0.1704 𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑒𝑙 17.04%

Denotemos por “I” la tasa efectiva, luego:

En un año, el monto de 1 a la tasa I es 1+I y a la tasa j=0.1704 convertible trimestralmente es (1.0426)4; igualando

1 + 𝐼 = (1.0426)4

𝐼 = 0.1816 𝑜 𝑠𝑒𝑎 18.16%

12 Durante que tiempo estuvo colocado un capital de S/. 7500 para que al 14% de interés compuesto anual capitalizable semestralmente se convierta en S/.12240

SOLUCIÓN

C= S/.7500, S= S/.12240, i= 0.14/2=0.07; con lo cual:

12240 = 7500(1.07)𝑛 → (1.07)𝑛 =122407500

Tomando logaritmos

𝑛 log(1.07) = log(1224)− log (750)

0.0293838𝑛 = 3.08778− 2.875061

𝑛 = 7.24 𝑎ñ𝑜𝑠

13 Si en la fecha se dispone de un monto de S/. 2600 producto de un depósito de S/. 680 impuesto hace 4 años y 6 meses, determinar la tasa nominal y efectiva, teniendo en cuenta que la capitalización fue trimestral.

SOLUCIÓN

Sea “j” la tasa nominal e “i” la tasa efectiva, entonces:

Para “j”: S=S/. 2600, C= S/. 680, n=18; tenemos:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑗/4)𝑛 → 2600 = 680(1 + 𝑗/4)18

𝑗 = 4 × � �2600680

18− 1� = 0.3094

Por tanto: La tasa nominal debe ser: j = 30.94%

Para “i”: S=S/. 2600, C= S/. 680, n=9/2; tenemos:

𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 → 2600 = 680(1 + 𝑖)9/2

𝑖 = ���2600680

�29

− 1� = 0.3472

Por tanto: La tasa efectiva debe ser: i = 34.72%

Un deudor tiene a su cargo los siguientes pagarés S/. 20000 a 4 años de plazo, S/. 50000 a 3 años de plazo, S/.40000 a un año de plazo y S/. 50000 exigibles de inmediato. Si con su acreedor se ponen de acuerdo liquidar las deudas de la manera siguiente: S/. 30000 de inmediato y el saldo a 2 años de plazo, calcular el valor del pago único al 12% de interés con capitalización anual

SOLUCIÓN

Designemos por “x” el pago requerido y tomemos al día de hoy como fecha focal, entonces:

Igualando la suma de los valores de las deudas con los valores de los pagos, tenemos

30000 + 𝑥(1.12)−2 = 50000 + 20000(1.12)−4 + 50000(1.12)−3 + 40000(1.12)−1

Resolviendo 𝑥 = 130474.735

Por tanto: El valor del pago único es S/. 130474.735

Calcular el vencimiento medio de las siguientes obligaciones S/. 15000, S/.26000 y S/.10000 con vencimientos a 2, 4 y 6 años respectivamente a la tasa de interés del 16% anual con capitalización trimestral.

SOLUCIÓN

Designemos con x (años) el tiempo equivalente .Tomando el día de hoy como fecha focal, la ecuación de valor es

51000(1.04)−4𝑥 = 15000(1.04)−8 + 26000(1.04)−16 + 10000(1.04)−24

Entonces, (1.04)−4𝑥 = 0.563592

𝑥 = −log (0.563592)

4log (1.04)= 3.655 𝑎ñ𝑜𝑠

Un comerciante después de 20 años de haber depositado en un banco la cantidad de S/.1000 al final de cada año, desea retirar totalmente su dinero para invertirlo en un negocio. Si el banco paga el 22% anual capitalizable anualmente. ¿A cuánto ascenderá el monto a recibir?