Captulo 1

Problemas de omplejos

1.1. Vetores

1. Demostrar que son iertas las siguientes armaiones:

a) |z1 z2| |z1|+ |z2| z1, z2 Cb) |z1 + z2| |z1|+ |z2| z1, z2 C (Desigualdad triangular)

Cundo se umple la igualdad?

2. Utilizando la frmula de Hern

(A =

p(p a)(p b)(p c)

), alular el rea del

tringulo uyos vrties son los ajos de los omplejos raes de la euain

z3 (5 + 2i)z2 + (3 + 9i)z + (4 4i) = 0. (Nota: i es una de las raes).

3. Indiar el signiado geomtrio de las operaiones:

a) Conjugado de un vetor.

b) Opuesto de un vetor.

) Opuesto del onjugado de un vetor.

d) Conjugado del opuesto de un vetor.

e) Multipliain de un omplejo por su onjugado.

1.2. Operaiones

4. Demostrar que en C se satisfaen las siguientes propiedades:

1

2 CAPTULO 1. PROBLEMAS DE COMPLEJOS

a) e0 = 1

b) ez 6= 0 z C

) ez1 ez2 = ez1+z2 z1, z2 Cd) |ez | = eRe(z) z Ce) ez = 1 z = 2kpii k Zf ) ez1 = ez2 z1 z2 = 2kpii k Z

5. Qu ondiiones deben de umplir los argumentos de dos nmeros omplejos para

que el produto de dihos nmeros sea un nmero real?.

6. Qu ondiiones deben de umplir los argumentos de dos nmeros omplejos para

que su oiente sea un nmero omplejo imaginario puro?.

7. Dado a R, se onsidera el nmero omplejo z = 3 2ai4 3i Determinar a para que se

umpla, en ada aso, que

a) Sea un nmero imaginario puro

b) Sea un nmero real

) Est sobre la bisetriz del primer uadrante

8. Calular el valor de a que umple:

a)

a+ i

a i es real

b)

a+ i

a i es imaginario puro

9. Calular A y B siendo

A = 1 + cos2pi

n+ cos

4pi

n+ + cos 2(n 1)pi

n

B = sen2pi

n+ sen

4pi

n+ + sen 2(n 1)pi

n

( Sugerenia: A+ Bi =

n1k=0

rk donde rk =n

1)

10. Demostrar que n N n 2 y z C, la suma de las raes ensimas de z es

ero. Qu puede deirse del produto de las raes?

11. Deir si son verdaderas o falsas las siguientes armaiones, razonando la respuesta:

a) |ez | = e|z|, z Cb) ez = ez, z C

) |z1 z2| es la distania que hay entre los ajos de los omplejos z1 y z2

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1.3. APLICACIONES: GIROS, TRASLACIONES Y HOMOTECIAS 3

d) i i R.e) z = ln ez z Cf ) ln

z1

z2= ln z1 ln z2 z1, z2 C

12. Analizar el siguiente razonamiento:

(z)2 = z2 2 ln(z) = 2 ln z ln(z) = ln z z = z (onoida omoparadoja de J. Bernouilli).

1.3. Apliaiones: giros, traslaiones y homoteias

13. Indiar el signiado geomtrio de las operaiones:

a) Multipliar un omplejo por un nmero real positivo. Ver los asos en los que el

nmero es mayor que la unidad o menor que ella.

b) Multipliar un omplejo por un nmero real negativo.

) Multipliar un omplejo por el nmero 1.

d) Multipliar un omplejo por el nmero r. (Ayuda: r = r 1)Apliarlo a los extremos de un segmento y a un polgono.

14. Los puntos (2, 3) y (2, 5) son vrties opuestos de un otgono regular. Calular losrestantes vrties.

15. Un tringulo equiltero tiene el entro en (1, 1) y un vrtie en (1, 3), Hallar los otrosdos vrties.

1.4. Otras apliaiones

16. Se onsidera un iruito de orriente alterna, de freuenia , formado por una resis-

tenia, una bobina y un ondensador. Se dene la impedania de diho iruito omo

el nmero omplejo

Z = R + (L 1C

)i

donde R es la resistenia medida en ohmios, L es la indu

in de la bobina medida en

henrios y C es la apaidad del ondensador medida en faradios.

Si E = E0 sen t es la fuerza eletromotriz e I =E

Zla intensidad del iruito, se pide:

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4 CAPTULO 1. PROBLEMAS DE COMPLEJOS

a) Hallar el ngulo que forman los vetores I y E (ngulo de desfase).

b) Para un valor jo de R, hallar la relain entre L y C para que I sea mxima

(iruito resonante)

1.5. Funiones irulares e hiperblias

17. Deir si son verdaderas o falsas las siguientes armaiones, razonando la respuesta:

a) cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 + sen z1 sen z2 z1 C, z2 Cb) ch(z1 + z2) = ch z1 ch z2 + sh z1 sh z2 z1 C, z2 C

) ctg(iz) = i cth zd) sen(iz) = i sh z

e) cos z =

1 cos 2z

2

18. Resolver las euaiones y representar gramente las soluiones, de las euaiones :

a) sen z = 3

b) sen(iz) + 2 i ch(z) = 1

) cotg z = 1 + i

d) sen z + cos z = 1

1.6. Lugares geomtrios

19. Identiar, en ada aso, y representar geomtriamente el lugar geomtrio de los

ajos de los omplejos z que verian:

a) z = 1z

b) |z 1 + i| < 2

) Arg(z) =

pi

6

d)

z

z=

z

z

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