Problemas de Potencial Eléctrico Boletín 2 – Tema 2 · Calcular el potencial a 4 m del origen suponiendo que el potencial de referencia está en el infinito ( ) b) Calcular el

Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

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Problemas de Potencial Eléctrico

Boletín 2 – Tema 2

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2010/11



Problema 1Ocho partículas con una carga de 2 nC cada una están uniformemente distribuidas sobre el perímetro de una circunferencia de 10 cm de radio. Calcule: a) el potencial electrostático en el centro de la circunferencia y b) el campo eléctrico. Si ahora las cargas se distribuyen de una forma aleatoria sobre el perímetro de la circunferencia: c) ¿cambia el potencial? d) ¿Y el campo eléctrico?

0

20 0

( ) 4

2 nC= 8 8 1440 V4 4 10 10 m

i

i i

qV rr

qr

πε

πε πε −

= =

= =× ⋅

∑

a)qi=q=2nCri=r=10cm

R=10 cm

El potencial debido a un sistema de cargas puntuales:

Sabemos:



b)

[ ] 2 20 0

4 4

i

i i

q qr rπε πε

+ + +== ∑ …i 1 2 8u u u uE

10 cm

2 nC unitarios en las direcciones de qi a O

Por simetría, la suma vectorial de todos esos vectores se cancela dos a dos

0 =E en el origen

c) Si las cargas se distribuyen aleatoriamente sobre la circunferencia, el potencial no cambia en O, debido a que es una cantidad escalar que sólo depende de los módulos de las distancias de las cargas a O (que no cambian); mientras que el campo eléctrico sí cambia, porque lo harían los unitarios que posicionan el punto O desde cada carga. Si la distribución es aleatoria, en general no se cancelarían.

d)

Problema 1



Una carga positiva de 2 mC se encuentra en el origen de coordenadas. a) Calcular el potencial a 4 m del origen suponiendo que el potencial de referencia está en el infinito ( ) b) Calcular el trabajo que debe realizar un agente exterior para llevar una carga de 3 mC desde el infinito hasta una distancia de 4 m del origen, admitiendo que la carga de 2 mC se mantiene fija.

Problema 2

a)

4mq=2 μC

y

O

( ) 0V ∞ =

0

( )

= 13.5 mJ4

W Q V P

qQrπε

= =

=

P

El potencial V(P) es el trabajo que haría el campo de q para llevar a la carga unidad desde el punto P hasta el infinito,

Y es idéntico al que tiene que hacer el agente externo contra el campo para realizar el camino inverso, y llevarla desde el infinito hasta P. Para una carga Q cualquiera:

q=2 μCQ= 3 μC

4mV(P)

3

0

( ) (4 m) = 4.5 10 V4

qV P Vrπε

= = ×

b)Q= 3 μC



Un protón ( ) se desplaza una distancia d=0.5 m en línea recta en el interior de un acelerador lineal. El campo eléctrico a lo largo de esa línea se puede considerar constante, de valor . Hallar a) la fuerza sobre el protón. b) El trabajo que el campo eléctrico realiza sobre él, c) la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final del recorrido.

Problema 3

0.5 md =

191.602 10 Cq −= ⋅

19

-12

7O bien

(1.602 10 C) (7.5 MV) =

: = (2.4 10 N) (0.5 m) = = 1.2 10 J = 7.5 MeV

( )A Bcampo q V VW −= = ⋅

=

⋅

−

⋅⋅F d

Electronvoltio

+71.5 10 V/mE = ⋅

a) 19 7

7

7

(1.602 10 C) (1.5 10 V/m)= = 2.4 10 N = 1.5 10

eV/m

F q E −=

⋅

⋅

= ⋅ ⋅

c)

b)

7(1.5 10 V/m)(0.5 m)= = 7.5 M

V

A BV V− ⋅ = ⋅= E d

191.602 10 C q −= ⋅

71.5 10 V/mE = ⋅



En el tubo de imagen de un televisor los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una región en la que existe una diferencia de potencial de 30.000 V antes de golpear sobre el revestimiento de material de fósforo de la pantalla. Calcular la velocidad con la que los electrones chocan con la pantalla. Datos:

Problema 4

31 199.11 10 kg, 1.602 10 C e em q− −= ⋅ = − ⋅

( ) 0 at= =f ov vPantalla

ΔV=30.000 V

Sería un movimiento acelerado,

v0=0e- donde la aceleración es la que le

imprime el campo eléctrico:

=

Vqq E da =e

e e e

F= m m m

No sabemos d



2

2 2 2

12

d at

a t

=

=fv

2

8

2 = 2 = 2

= 2 = 10 m/s

e e

e

Vq qVda d dm m

qVm

= ⋅f

f

v

v

Si todo está en unidades internacionales, vtambién, sin necesidad de hacer derivaciones.

Pero no hace falta:

Problema 4



Una gota esférica de agua transporta una carga de 30 pC uniformemente distribuida en su volumen, y el potencial en su superficie es 500 V (considerando el potencial de referencia (V=0 en el infinito). a) ¿Cuál es el radio de la gota? b) ¿Cuál es el valor del potencial en el centro de la gota? , c) Si la gota se combina con otra del mismo radio y la misma carga para formar una sola gota, determinar el potencial en la superficie de la nueva gota.

Problema 5

R

a)

-12 30 pC =30 10 C q = ⋅

500 V V =Radio?

El potencial sobre la superficie de una esfera cargada:

Sabemos:

0

1( ) = 500 V R = 0.54 mm4

qV RRπε

= →



b)

Problema 5

0

20

r R3

r R

4

Q

r

rε

πε

ρ⎧ ≤⎪⎪⎨⎪ ≥⎪⎩

=E 2 2 2

0 0 0

32

0 0 0

R

r

= = = 3 3 2 3 2 2

4 R 1 R 3 = ( ) = 4 4 3

R R

r r

R

r R rd dr

qd V RR R

rε ε ε

π ρ ρπε πε ε

ρ ρ ρ

∞

⎛ ⎞⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅ = =

∫ ∫

∫

E r

E r

( ) ( ) = + = R

r r RV r V d d d

∞ ∞− ∞ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫rE E r E r

Necesitamos calcular el potencial en un punto del interior.

Potencial en el centro de la gota?

Sabemos:

2 2 2 2 2

20 0 0

R R ( ) ( ) 13 3 2 2 2 3

= R r rV r VR

ρ ρε ε ε

ρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ∞ = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Integramos

V(R), dato: 500 V



2

0

R ( 0) = 3 2 2

=750 Vk QV rR

ρε

= =

29

20

1 Nm9 104 C

Kπε

= = ⋅34 R 3

Q π ρ=

Problema 5



c)

R

ρ

R RR

ρρ

2 m m m+ =

=+RT

La masa de las dos gotas es la misma, y la densidad del agua, también (las gotas no se comprimen por el hecho de fundirse). Por tanto, el volumen de la nueva gota:

3 342 23

2 π= → ==V V R R RT T

Y el potencial de la nueva gota sobre susuperficie:

2 /3

3 30 00 0

3

2 2

4 3

2 2 V2 2( ) = =

4 34 2 3 2

TT

T

R

QQ R RV R

R R

π

ρ

ρ ρπε επε ε

= =

= =

= 794 V

Potencial de la 1º gota sobre su superficie

=500 V

Problema 5



Un dipolo consta de dos cargas iguales y opuestas de valor q, separadas una distancia 2 a. Supongamos que se encuentra alineado con el eje x y centrado en el origen de coordenadas. Calcule a) el potencial eléctrico en cualquier punto del eje x. y b) el campo eléctrico en un punto muy alejado del dipolo.

Problema 6

a)

En cla

se



Problema 6

Imagen del potencial en el plano de un dipolo eléctrico. El potencial debido a cada carga es proporcional a la carga e inversamente prop. a la distancia.

© 1990 Richard Menga /Fundamental Photographs



Problema 6

Si tuviéramos dos cargas de igual signo como éste (ya no sería un dipolo):

Otro ejemplo, del mismo tipo:

Su potencial:



Un plano infinito con densidad de carga superficial s uniforme, se encuentra en el plano x=0. Calcular el potencial en función de la distancia x al plano de carga.

Problema 7

0

0

x 02

x 02

E

σεσε

⎧ ≥⎪⎪= ⎨⎪− ≤⎪⎩

i

i

00

( ) - (0)= 2

xdV V x V xσ

ε= −∫

dV d= −E

Sabemos:

Y que:

x

Así que, operamos:Así que, operamos:

E integramos: E integramos:

( )0

0

dx dy dz = 2

= dx 2

dV d σε

σε

⎛ ⎞= − = − ⋅ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

−

E i i j k

0 VPotencial de referencia en x=0

00

( ) 2

V x V xσε

= −O sea:

σ

x=0

Para x>0

EE



00

( ) - (0)= 2

xdV V x V xσ

ε=∫ +

( )0

0

dx dy dz = 2

= dx 2

dV d σε

σε

⎛ ⎞= − = − − ⋅ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

E i i j k

Para x<0:

00

( ) 2

V x V xσε

= +

00

( )2

V x V xσε

= −

x∀

Problema 7



Una varilla delgada de longitud 2L posee una carga Q uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. La barra se encuentra alineada sobre el eje y, con su centro en el origen. a) Determinar el potencial en función de la posición al eje x. b) Demostrar que el potencial obtenido en el apartado anterior se reduce al de una carga puntual Q para x>>L.

Problema 8

dy

x2L

y 2 2 1/ 20

2 2

2 20

( ) =4 ( )

= ln4

L

L

dyV Px y

L x LL x L

λπε

λπε

+

−

=+

+ +

+ −

∫/ 2Q L

P

2 2 1/2( )r x y= +

a) Potencial sobre el eje x?



2 3 41ln(1 ) ( 1)

2 3 4

nnx x x xx x

n++ − + − + − +∼ … …

1ln ln ln 1 ln 1 2

1

Lx L L L Lx

Lx L x x xx

++ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠−∼ ∼

1 1x− ≤ ≤

Límite cuando x>>L?

Sabemos:

Cuando x>>L

2 2x L x+ →

b)

Despreciando términos de orden mayor

0 0 0

2 1 2 1( ) 4 4 2 4

L Q L QV Px L x x

λπε πε πε

= = =

Problema 8



Una esfera conductora hueca, de radios a y b tiene en su centro una partícula cargada con carga q. Suponiendo que la esfera no tiene carga neta y que estáaislada, calcule el potencial al que se encuentra, y la carga sobre sus superficies interior y exterior.

Problema 9

a)

En cla

se



Problema 9



Una esfera conductora hueca, (corteza esférica), de radio R y carga Q.

Problema 10

En cla

se



Problema 11Dos conductores cargados, de radios R1 y R2, conectados por un alambre conductor.

En cla

se

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