PROBLEMAS   1-8 9-19

2.9. Problemas

1. Sea { Xn } una cadena de Markov con espacio de estados (0, 1, 2), vector de probabilidades iniciales   = (1/4, 1/2, 1/4) y matriz de transición P dada por :

a) Calcule p(0, 1, 1) = Pr(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 0)b) Demuestre que Pr(X1 = 1, X2 = 1/ X0 = 0) = p01 p11

c) Calcule 

d) Calcule e) Demuestre que la cadena es Irreducible.f) Encuentre el valor de las probabilidades estacionarias.

2. Dos jugadores A y B juegan de la siguiente manera: Si A gana un juego recibe $2 y si pierde paga $1. La probabilidad de que A gane un juego es 1/3 y que pierda es 2/3. El dinero total disponible es $N. Si el capital de cualquiera de los dos jugadores cae por debajo del punto donde pueda pagar exactamente si pierde el próximo juego, entonces el juego termina. Sea {Xn} el capital del jugador A después de n jugadas.

a) Encuentre la matriz de transición para esta cadena de Markov. b) Suponga que ambos jugadores acuerdan que si el capital de uno de ellos llega a ser $1, realizarán la próxima jugada de $1 con igual probabilidad de ganar o perder. Encuentre la matriz de transición para este caso.

3. Una represa se utiliza para generar energía eléctrica y para el control del flujo de aguas. La capacidad de la represa es 3 unidades. La función de probabilidad de la cantidad de agua que fluye a la represa -W- en el mes la siguiente:

Si el agua en la represa excede la capacidad máxima, el agua sobrante se bota a través del vertedero, que es de flujo libre. Para generar energía se requieren mensualmente dos unidades que se sueltan al final de cada mes. Si hay menos de dos unidades en la represa, se genera energía con el agua disponible, es decir, se suelta toda el agua.

Sea Xn la cantidad de agua en la represa en el mes n, después de que se suelta el agua. Suponga que inicialmente la represa está vacía.

a) Es { Xn } una cadena de Markov ?b) Si { Xn } es una cadena de Markov, encuentre la matriz de transición.

4. El propietario de una barbería local que solamente posee una silla para prestarle el servicio a sus clientes piensa agrandar su negocio pues le parece que siempre hay mucha gente esperando ser atendidos. Las observaciones indican que en el tiempo requerido para motilar una persona pueden llegar 0, 1, 2, o 3 personas con probabilidades de 0.3, 0.4, 0.2 y 0.1, respectivamente. La barbería tiene una capacidad fija de 6 asientos, incluyendo aquel en que se sienta el que está siendo

atendido. Sea Xn el número de personas en la barbería cuando se completa el servicio al n-ésimo cliente.

a) Demuestre que { Xn } es una cadena de markov.b) Encuentre la matriz de transición.c) Determine la proporción de tiempo, a largo plazo, que en la barbería hay seis personas, o que hay 4 personas.

5. Suponga que Usted ha realizado una serie de pruebas en un procedimiento de destreza manual y encuentra que la siguiente matriz de probabilidad describe el curso de respuestas “correctas” e “incorrectas”.

a) Qué proporción de respuestas correctas se podría esperar de una persona completamente entrenada ?b) Qué proporción de respuestas correctas se podría esperar de una persona después de repetir cinco veces el procedimiento, si la respuesta inicial tiene igual probabilidad de se correcta o incorrecta ?c) Cual es la probabilidad de que una respuesta correcta se obtenga por primera vez, exactamente después de cuatro ensayos con respuesta incorrecta ?

6. Suponga que la línea de ensamblaje de SOFASA tiene las siguientes reglas:

Un Renault X no puede seguir a otro Renault X porque el contenido de trabajo desbalancearía la línea.

Un Renault Y debe ser seguido por un Renault Z para balancear la línea. Un Renault Z debe ser seguido por un Renault X o un Renault Y pero no por

otro Renault Z.

a) Encuentre una matriz de transición para este proceso. Use las letras a, b, c,..., cuando los valores de las probabilidades de transición no estén numéricamente definidas.b) Es esta cadenas irreducible ?c) Cual es la probabilidad de que después de un Renault X el siguiente Renault X ocurra en la línea después de otro vehículo ?d) Si P es una matriz de transición, que interpretación daría Usted al elemento   para n grande?

7. Una partícula se mueve en un círculo en el sentido de las manecillas del reloj, a través de cinco puntos marcados con los números 0, 1, 2, 3 y 4. En cada etapa la partícula tiene una probabilidad   de dar un paso en el sentido de las manecillas del reloj y 1 -   de moverse en sentido contrario. Sea Xn la posición de la partícula en el círculo después de dar n pasos.

a) Es { Xn , n   0} una cadena de Markov ?b) Si { Xn } es una cadena de Markov, encuentre la matriz de transición.c) Calcule las probabilidades límites. Cómo se interpretan ?

8. Una fábrica tiene dos máquinas y una cuadrilla de reparación. Suponga que la probabilidad de que una máquina se dañe en un día cualquiera es  . Suponga, además, que si la cuadrilla de reparación está trabajando en una de las máquinas,

la probabilidad de que termine la reparación en un día mas es  . Sea Xn el número de máquinas en operación al final del n-ésimo día. Asuma que el comportamiento de { Xn } puede modelarse mediante una cadena de Markov. (Qué simplificaciones deben hacerse para que esta suposición sea completamente válida?).

a) Encuentre la matriz de transición.b) Si ambas máquinas están funcionando cuando el sistema se inicia, cual es la probabilidad de que ambas estén trabajando dos días después?

PROBLEMAS 1-8 9-19 20-27

9. Una moneda “honesta” se lanza al aire sucesivamente hasta que ocurran tres caras seguidas. Sea { Xn } la longitud de la secuencia de caras que terminan en el n-ésimo lanzamiento. Cual es la probabilidad de que haya al menos 8 lanzamientos sucesivos de la moneda ?.

10. Considere el experimento de lanzar un dado de manera repetida. Sea Xn el máximo de los números que ocurren en los primeros n lanzamientos. Si { Xn } es una cadena de marco:

a) Encuentre la matriz de transición.b) Encuentre   y 

11. Tres niños A, B y C juegan con una pelota de la siguiente manera: Si A tiene la pelota siempre se la pasa a B, y B siempre se la pasa a C, pero este se la pasa a A o a B indistintamente. Sea Xn la n-ésima persona en recibir la pelota. Es { Xn } una cadena de Markov?. Si es así,

a) Encuentre la matriz de transición.b) Calcule   sabiendo que inicialmente C tiene la pelota.c) Calcule las probabilidades límites.

12. Se tienen 6 bolas, tres blancas y tres negras, las cuales se distribuyen al azar en dos urnas, de tal forma que cada una contenga tres. En cada etapa se retiran, simultaneamente, una bola de cada urna, y se deposita en la urna contraria. Sea Xn el número de bolas blancas en cada urna después de n intercambios.

a) Explique por qué { Xn } es suna cadena de markov.b) Encuentre la matriz de transición.c) Cual es la probabilidad de que haya tres bolas blancas en la primera urna después de n intercambios.d) Cual es la probabilidad, a largo plazo, de que haya dos bolas blancas en la primera urna?

13. Suponga que el estado del tiempo en un día cualquiera depende de las condiciones del tiempo en los dos días anteriores. Así, si llovió hoy y también ayer, la probabilidad de que llueva mañana es 0.7. S hoy llovió pero no ayer, lloverá mañana con una probabilidad de 0.5. Si no llovió hoy paro sí ayer, la probabilidad de que llueva mañana es 0.4. Si en los dos últimos días no ha llovido, la probabilidad de que llueva mañana es 0.2. 

a) Defina el proceso como una cadena de Markov. Defina apropiadamente los estados.b) Encuentre la matriz de transición.c) Si el lunes y martes de esta semana llovió, cual es la probabilidad de que llueva el jueves?

d) Cual es la probabilidad de que llueva en los próximos cuatro días si hoy está lloviendo ?e) Es esta una matriz irreducible ?

14. Considere el siguiente problema de inventarios: Un almacén de artículos fotográficos almacena un tipo particular de cámara que puede ordenarse semanalmente. Sea D1 , D2 , ... la demanda de este tipo de cámara durante la primera, segunda semana,...,Se asume que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de probabilidad conocida. Sea Xn el número de cámaras disponibles (en inventario) al final de la n-ésima semana. El almacén tiene inicialmente tres cámaras. Los sábados en la tarde el almacén coloca una orden que es entregada al lunes siguiente, antes de que el almacén abra sus puertas al público. El almacén usa la siguiente política de reabastecimiento (s, S): Si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s = 1 (no hay inventario), el almacén ordena S = 3 cámaras. En caso contrario, el almacén no hace ningún pedido. Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede al inventario. Si la demanda semanal sigue una distribución de Poisson con una media de 1.5 artículos por semana,

a) Es { Xn } una cadena de Markov ?b) Si { Xn } es una cadena de Markov, encuentre la matriz de transición.c) Encuentre la proporción de tiempo que hay i cámaras en inventario al final de la semana ?d) Suponga que se incurre en un costo C(Xn ) cuando el inventario al final de la semana es Xn . Cual es el costo esperado por semana ?. Suponga

15. Una matriz de transición P se dice que es doblemente estocástica si la suma de los elementos de cada columna es igual a la unidad. Si tal cadena es aperiódica e irreducible, con espacio de estados (0, 1, 2,...,M), demuestre que las probabilidades límites están dadas por:

 = 1/(M + 1), j = 0, 1,..., M

16. Sea { Xn } una cadena de Markov con espacio de estados (0, 1, 2, 3, 4) y matriz de transición P. Para cada uno de los casos siguientes determine las clases cerradas comunicadas y los estados absorbentes. Analice, además, el comportamiento probabilístico cuando n    .

17. Comprobar la periodicidad de las siguientes matrices de transición y su período. Determine, además, los estados periódicos:

18. Comprobar si las siguientes matrices de transición son periódicas y oscilantes

19. Considere una cadena de markov con espacio de estados 0, 1,...,5 y definida por la siguiente matriz de transición. Determine cuales estados son recurrentes y cuales son transitorios.

 

PROBLEMAS 9-19 20-27 28-35

20. Considere una cadena de Markov con espacio de estados (0, 1, 2, 3, 4 ) y matriz de transición dada por:

a) Determine las clases comunicadas cerradas y los estados transitoriosb) Para cada clase comunicada cerrada, encuentre las probabilidades ti de que el sistema entre a la clase i dado que inicialmente estaba en el estado transitorio i

21. Suponga que en una estación de trabajo las partes a ser procesadas llegan en una caja a través de una banda transportadora, y la caja sólo trae una pieza para ser procesada. Suponga, además, que en el tiempo que transcurre entre la llegada de dos cajas sucesivas, la estación de trabajo puede completar 0, 1 ó 2 partes con probabilidades de 3/8, ½ y 1/8 respectivamente. Suponga además que la estación puede acumular (en un almacenamiento temporal) máximo una pieza, además de la que está procesando. Si la banda transportadora llega con la caja, y la estación está inactiva o tiene una parte en operación entonces la pieza es descargada y se coloca a un lado para ser procesada cuando haya la oportunidad. Si la estación ya tiene una parte en operación y otra en almacenamiento temporal, entonces la pieza que llega pasa de largo y se pierde.

Sean los estados del proceso 0, 1, 2 que representan una estación vacía, una estación con una parte en proceso y una estación con una parte almacenada, El proceso se observa justo antes de la llegada de la banda transportada con la parte.

a) Encuentre la matriz de transición en una etapa.b) Encuentre la proporción de tiempo que el proceso pasa en cada estado en el largo plazo

c) Si la estación empieza el día vacía, cual es la probabilidad de que la tercera caja que llegue no pueda ser descargada?

22. En cierta ciudad hay dos supermercados: y . Los clientes visitan los supermercados una vez a la semana pero unas veces van al supermercado y otras al aunque algunos clientes siempre van al mismo.

Una encuesta sobre preferencias indica que hay una probabilidad de 0.15 de que un cliente que fue al supermercado una semana vaya la próxima a y una probabilidad de 0.10 de que un cliente de una semana vaya la próxima a Inicialmente el 60% de los clientes compran en y el 40% en .

a) Cuál será la distribución de clientes cinco semanas después?b) Cuáles serán los porcentajes de participación a largo plazo?

23. El mercado de exportación de un país, bajo condiciones político-económicas estables, puede ser modelado por una cadena de Markov en tres estados:

0 Incremento en más del 5% con respecto al año anterior.

1 Fluctuación menor del 5%

2 Disminución en más del 5% con respecto al año anterior.

La matriz de transición es:

Qué información puede extraerse de estos datos?

24. En una investigación de mercados se comprobó que el 90% de las personas que compraban la marca de cierto producto volvían a comprar la misma marca en la próxima ocasión, mientras que el 20% de los que no la habían comprado lo hacían en la próxima oportunidad.

Cuál será el porcentaje real de consumidores de la marca a largo plazo?

25. En la fabricación en serie de un producto este debe pasar por tres departamentos y al final de cada uno se realiza una inspección y dependiendo de la calidad, el artículo se rechaza, se acepta y pasa al proceso siguiente o se devuelve para reprocesarlo en el departamento en el que fue detectada la falla. Si las probabilidades son respectivamente 0.1, 0.7 y 0.2 defina esta situación como una cadena de Markov y diga cuál es el porcentaje de artículos que salen dentro de las especificaciones de calidad de la totalidad que empiezan el proceso durante la jornada.

26. Dada la matriz de transición

Calcular   limite   y diga cuál es la probabilidad de que el proceso pueda estar en el estado 1.

27. Dada la siguiente matriz de transición

Encontrar los valores de para que el número esperado de pasos hacia la absorción sea de 4 y la probabilidad de ser absorbido por el estado 2 sea el triple de probabilidad de ser absorbida por el estado 3.

PROBLEMAS 20-27 28-35 36-45

28. El propietario de una peluquería esta pensando en ampliarla pues le parece que su clientela tiene que esperar demasiado tiempo para ser atendida. Observaciones indican que durante el tiempo requerido para realizar un corte de cabello pueden llegar 0,1,2, ó 3 clientes adicionales con probabilidad 0.3, 0.4, 0.2 y 0.1 respectivamente.

La peluquería tiene una capacidad máxima de seis clientes incluyendo el que esta recibiendo el servicio, sea Xn el número de clientes en la peluquería al finalizar el n-simo servicio.

a) Demuestre que es una cadena de Markov. b) Encuentre la matriz de probabilidades de transición. c) Determine el porcentaje de tiempo que a largo plazo se mantendrá a su máxima

capacidad. 

29. Dada la cadena de Markov representada por la matriz.

con 0 < p < 1 y 0 < q < 1. Calcule   y las probabilidades limites por medio de:

Sugerencia: utilice el proceso de diagonalización o representación expectral.

30. Dada la matriz de transición

representativa de una cadena de Markov. Diga cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado 1 después de 5 etapas, si la cadena al principio se encuentra en cualquiera de los estados con igual probabilidad.

31. Dada la cadena de Markov definida por la matriz.

Calcule el número esperado de pasos antes de alcanzar por primera vez el estado 2.

32. Un taller de reparaciones atiende camiones a medida que llegan. Solo hay espacio para estacionar dos camiones antes del servicio. Se han acumulado los siguientes datos:

La probabilidad de completar un servicio en un periodo de una hora es de 0.7 siempre que haya una unidad para ser atendida, la probabilidad de tener más de un servicio es, pues cero.

a) Formular esta situación como una cadena de Markov.b) El número esperado de unidades en el sistema (1.14 camiones).c) El número esperado de unidades en la cola (0.47 camiones).

33. Un estudio muestra que el número de clientes que están en el momento ocupando la estación afecta la probabilidad de una nueva llegada. Si se supone que la probabilidad de servicio es 0.5, formular esta situación como una cadena de Markov, determinar el número esperado en el sistema y la utilización del sistema, dada la siguiente tabla:

34. Encontrar la matriz estocástica que describe la siguiente cadena: El control de calidad en cierta empresa se realiza de acuerdo a la política de inspeccionar artículo por articulo y rechazar el lote de producción si se encuentra una unidad defectuosa o aceptarlo si se encuentran tres unidades seguidas que cumplen las especificaciones. Si sabe que el 85% de la producción sale con las especificaciones deseadas.

35. Por el método de diagonalización de matrices, encuentre:

a) b) El porcentaje del tiempo que el proceso permanece en el estado 2.

si la cadena está representada por la matriz

PROBLEMAS 28-35 36-45 46-50

36. Una máquina funciona durante un determinado período de tiempo con una probabilidad de falla de 0.3. El 60% de las veces la falla puede repararse exactamente en el período, y en los demás casos se requieren exactamente dos periodos para la reparación. Se puede suponer que las fallas se presentan al final de un período. El costo por tiempo perdido es de $50.00 por período.

a) Formular esta situación como una cadena de Markov, describir los estados y las suposiciones, y desarrollar una matriz de transición.b) Es posible contratar un ayudante adicional, con un costo de $20 por período de tiempo, con el objeto de que la falla siempre sea reparada dentro del mismo período. Es conveniente hacer esto?

37. En un determinado proceso de producción, cada artículo pasa por dos etapas de fabricación. El final de cada etapa, los artículos se desechan (probabilidad de 0.2) se regresan para rehacerlos (probabilidad de 0.3) o pasan a la etapa siguiente (probabilidad de 0.5).

a) Describir esta situación como una cadena de Markov y establecer la matriz de transición.b) Cuál es el número esperado de pasos hacia la absorción? (2.45 si empieza en E1, 1.43 si empieza en E2).c) Si en un lote se comienzan 100 partes, cuál es el número esperado de partes buenas que pueden completar? (Solución: 51 partes).

38. Uno de los aficionados a la cacería de patos solamente le dispara a un pato en cada ocasión independientemente de cuantos vuelen juntos.

La probabilidad de un acierto es 0.2. El máximo número de patos cazados en un día es dos. Describir esta situación como una cadena de Markov absorbente. Hallar el número esperado de disparos que debe hacer el cazador antes de lograr su limite.

39. En un proceso de producción se realiza inspección secuencial y el lote se acepta si salen dos artículos seguidos dentro de los estándares de calidad, de lo contrario se rechaza. Si la probabilidad de que un artículo salga dentro de las normas de calidad es del 90%, se pregunta:

a) La probabilidad de aceptar la producción. (Solución: 0.81)b) Número esperado de pasos entes de que el proceso sea absorbido, para cada uno de los estados absorbentes.

40. Se efectúa una encuesta de mercadeo de tres marcas de alimentos , y de la que se ha extraído la siguiente información relativa a las preferencias de los consumidores por las distintas marcas. Se pregunta:

a) El comportamiento de estos productos en el mercado de futuros.b) El número esperado de pasos para que un cliente que posee ahora la marca Xcompre por primera vez la marca Y

41. Una compañía distribuidora de artículos para oficina vende además de otros artículos, dos tipos de calculadora A y B, las cuales han de importarse.

Todo pedido grande que reciba la distribuidora ha de ser pasado a la matriz en el extranjero, demorándose dos meses en la recepción del mismo si la calculadora es de tipo A y solo un mes si la calculadora es de tipo B. Para hacer un nuevo pedido es necesario que se haya recibido el anterior, por lo cual, si se hace un pedido de calculadora A, habrá que esperar dos meses para hacer un nuevo pedido, ya sea de A o de B.

Los clientes de la distribuidora no aceptan que sus pedidos se encuentren en línea de espera, optando en este caso por comprar otro tipo de calculadora a otra compañía diferente, temiéndose entonces que si se presentan simultáneamente pedidos de A y Bhabrá que elegir uno y rechazar otro.

Si la probabilidad de que se presente un pedido de A es 1/6 y la de un pedido de B es de 1/4, qué pedido se debe elegir en caso de ser simultáneos?. Considérese que un pedido de la A arroja una utilidad de $50.000, mientras la utilidad para un pedido de Bes de $30.000.

42. Mediante el calculo de   encuentre el vector de probabilidades limites en la cadena definida por la matriz:

43. Dada la cadena definida por la matriz:

Diga cuál es el número esperado de pasos para que la cadena entre en el estado 1, sabiendo que se encuentra ahora en el estado 3.

44. En una oficina de representaciones hay tres agentes viajeros para visitar a los clientes. Las correrías empiezan los lunes pero antes deben sostener una reunión conjunta. Solo pueden salir de viaje dos de los agentes, pues siempre debe permanecer uno en la oficina. Cuando un agente sale de correría, puede demorarse en ella exactamente una o máximo dos semanas con probabilidad 2/3 y 1/3 respectivamente. Al iniciar una correría siempre salen los dos agentes disponibles. Formule esta situación como una cadena de Markov, encontrando la matriz de probabilidades de transición en una etapa.

45. La tierra Oz de es en muchos aspectos una tierra bendita, pero no en lo que respecta al tiempo. Sus habitantes nunca gozan de dos días buenos seguidos. Si tienen un buen día, es tan probable que caiga nieve como que llueva al día siguiente. Si nieva (o llueve) hay igual probabilidad de que se mantenga el tiempo así al día siguiente. Si se produce algún cambio en días de nieve o lluvia, solo la mitad de las veces el cambio da origen a un tiempo bueno. Hoy es un buen día en la tierra Oz . Formular la presenta situación como una cadena de Markov.

PROBLEMAS 36-45 46-50 51-57

46. En una investigación de mercados se realizó una encuesta sobre cuatro marcas de detergentes: Axión, Ajax, Inextra, Fab. Se han encuestado 1000 consumidores, los cuales cambian de marca según la publicidad, promoción, precios o siguen fieles a la misma.

Los resultados obtenidos se observan en la siguiente tabla:

Los ceros de la diagonal principal indican la capacidad que tiene cada marca para retener sus propios clientes.

Las filas de la matriz nos representan las pérdidas. Las columnas representan las ganancias.

a) Hallar la matriz de transición, teniendo en cuenta que la probabilidad de que una marca retenga clientes es igual a número de clientes retenidos al fin del periodo dividido por el número de clientes al iniciar el período y la probabilidad de que una marca pierda clientes es igual al número de clientes cedidos al finalizar el período dividido por el número de clientes al iniciar el período.b) Hallar la participación de las marcas en el mercado cuando n = 0, n = 1, n = 2.c) Hallar la participación de las marcas en le estado estacionario, es decir en el mercado de futuros.

47. El 2 de Febrero de 1983 la Empresa Pepa, controlaba el 30% del mercado total, Fabri el 40% y Teji el 30%; de un estudio sobre mercadeo se obtuvieron los siguientes datos:

Pepa retiene el 90% de sus clientes y gana el 5% de los clientes de Fabri y el 10% de los de Teji; Fabri retiene el 85% de sus clientes y gana el 5% de los de Pepa y el 7% de los de Teji; Teji retiene el 83% de sus clientes y gana el 5% de los de Pepa y el 10% de los de Fabri. Cuál es la participación de cada Empresa en el mercado al 2 de Febrero de 1986 (n = 2); y la participación de cada Empresa en el estado de equilibrio.

48. Una máquina incorporada al proceso productivo del articulo X, se descompone muy periódicamente debido a lo delicado y excesivo del trabajo que le toca realizar. Al clasificar el estado en el que queda la máquina al finalizar la semana en cuatro posibilidades a saber:

Estado 1: En perfectas condiciones de funcionamiento.Estado 2: Operable, pero produce artículos con ligeras fallas que se pueden enmendar a un costo relativamente bajo.Estado 3: Operable, pero produce muchos artículos desechables.Estado 4: Definitivamente mala, es decir, ya no se puede poner a operar.

De datos históricos se ha obtenido la siguiente información:

Si la máquina comienza la semana en el estado 1 existe una probabilidad de 14/16 de que termine en el estado 2; 1/16 de que termine la semana en el estado 3 y 1/16 de que termine en el estado 4.

Si la máquina comienza la semana en el estado 2 existe una probabilidad de 6/8 de que termine la semana en ese mismo estado 2; 1/8 de que termine en el estado 3 y 1/8 de que termine en el estado 4.

Por ultimo, si la máquina comienza la semana en el estado 3 existe igual probabilidad de que termine en ese mismo estado o en el estado 4.

La empresa incurre en los siguientes costos de operación de la máquina:

Estado Costos de operación

0 $01 $1000/semana2 $3000/semana

Además la empresa incurre en unos costos adicionales de $2000 por la producción que se deja de obtener y de $4000 en gastos de instalación cada vez que se decida cambiar la máquina actual por una nueva.

Bajo las anteriores consideraciones, y entre las siguientes alternativas: Cuál es la mejor política de reemplazo para la empresa?

a) Remplazarla cada que la máquina entre al estado 2.b) Remplazarla cuando entre al estado 3.c) Remplazarla únicamente cuando entre al estado 4.Solución: La b); $1.727/semana

49. Una aerolínea, con vuelo diario a las 7 a.m. entre las ciudades A y B, no desea que éste salga retrasado dos días consecutivos; de modo que si el vuelo sale retrasado un día cualquiera la aerolínea realiza esfuerzos especiales para que el vuelo salga a tiempo al día siguiente y logra este objetivo el 90% de las veces. Si el vuelo no sale con retraso, la aerolínea no hace ningún arreglo especial y al día siguiente el vuelo sale cumpliendo itinerario, de acuerdo con lo programado, el 60% de las veces. Qué porcentaje de vuelos salen con retraso? (Solución: 30.77%)

50. El programa de entretenimiento para supervisor de producción de cierta compañía tiene dos fases:

La fase 1 consta de 3 semanas de estudio teórico en el aula y la fase 2 consta también de 3 semanas de práctica bajo la dirección de supervisores veteranos. De experiencias anteriores se espera que el 60% de los que inician el estudio teórico pasen a la fase de práctica y el 40% restante abandona el programa. De los que ya se encuentran en la fase de práctica el 70% logra graduarse, 10% debe repetir esta fase y el 20% restante abandona el programa. Cuántos nuevos supervisores graduados espera tener la compañía del actual programa de entrenamiento si hay 45 aspirantes en la fase teórica y 21 ya se encuentran en la fase práctica? (Solución: aproximadamente 37 nuevos supervisores).

 

PROBLEMAS 46-50 51-57 siguiente>

51. Una costurera trabaja exclusivamente en una fase del proceso de producción de una prenda de vestir. Demora exactamente ½ hora para ejecutar su labor en una prenda. Cada ½ hora pasa un mensajero para recoger las prendas que ya están listas y dejarle, de paso, nuevas prendas para que la costurera les haga su labor. Las nuevas prendas por coser que el mensajero lleva en cada visita es aleatorio así: el 30% no lleva ninguna; el 50% de las veces lleva 1 y el 20% de las veces lleva 2 prendas. El mensajero tiene instrucciones de nunca dejar mas de tres prendas por coser a la costurera.

Calcular el porcentaje de tiempo que esta costurera permanece ociosa (Solución: 14.21%)

52. Una empresa dedicada a la administración de “Unidades Residenciales” cuenta con el siguiente historial: Al clasificar las urbanizaciones administradas por esta compañía en solo tres estados “Buena Condición”, “Condición Promedia” y “Mala Condición”. Se dispone de las siguientes estadísticas: el 50% de las “Unidades Residenciales” que empiezan al año en “Buena Condición” terminan el año también en “Buena Condición”; el otro 50% se deteriora a una “Condición Promedio”; de todas las “urbanizaciones” ó “Unidades Residenciales” que empiezan el año en “Condición Promedio” el 30% permanecen en este mismo estado y el otro 70% mejoran a “Buena Condición”; y finalmente, de todas las Urbanizaciones administradas por esta empresa, y que empiezan el año en “Mala Condición” el 90% permanecen en este estado y el 10% mejoran a “Buena Condición”. Si estas tendencias y circunstancias se mantuvieran hacia el futuro, a) determine la condición esperada, a largo plazo de la “Unidades Residenciales” administradas por esta empresa. (Solución: El 58.33% terminan en Buena Condición, el 41.67% terminan en Condición Promedio, ninguna terminan en Mala Condición, b) Entonces es recomendable contratar los servicios de esta empresa?

53. Una empresa especializada en la producción de jabones de tocador clasifica sus ventas en dos niveles: “alto” y “bajo”. Las ventas dependen de varios factores, entre los principales están:? Si se hace o no publicidad? Si los competidores desarrollan y comercializan un nuevo producto.

Este segundo factor está, obviamente, fuera de control de la compañía, pero, de todas maneras, la empresa está interesada en estableces la mejor política publicitaria.

Se tienen los siguientes datos estadísticos y contables: La campaña publicitaria cuesta US $1.000.000; las utilidades, en promedio, han sido de US $4 millones si las ventas durante el trimestre han sido “altas” y de US $2 millones si son “bajas”, estas utilidades no incluyen los costos de la campaña publicitaria; los datos históricos indican que si se hace publicidad y las ventas durante un trimestre han sido “altas” al semestre siguiente también son “altas” con probabilidad ¾ y si fueron “bajas” al trimestre siguiente serán “altas” con probabilidad ½ .Estas probabilidades se han disminuido a ½ y a ¼ si no se hace publicidad.

El gerente de Mercadeo ha recomendado que se haga publicidad si las ventas durante el presente trimestre son “bajas” y que no se haga publicidad si las ventas durante el presente trimestre, han sido “altas”.

Cuál es la mejor estrategia publicitaria si estos datos se conservaran en el futuro? (Solución: No hacer publicidad ($ 2.333; 2.667.2) US millones. Seria interesante analizar la respuesta). 

54. En la oficina de Admisiones y Registro de cierta universidad se ha obtenido la información necesaria para las siguientes estadísticas sobre un programa de Magíster que dura tres niveles: el 70% de los estudiantes que ingresan al primer nivel pasan con éxito al segundo nivel, el 10% lo tiene que repetir y el 20% restante se retira por diferentes motivos; de todos los estudiantes que pasan al segundo

nivel, el 80% accede al tercer nivel, el 8% repite y el 12% restante sale del programa por bajo nivel académico o por otras razones; de todos los estudiantes que ingresan al tercer nivel el 90% se ha graduado, el 6% lo tiene que repetir, y el 4% restante no puede optar al titulo y los retiran por no cumplir las normas estipuladas.a) Cuántos alumnos lograran el titulo de Magíster de un grupo de 100 aspirantes que se matricularon en el primer nivel?b) Si cada nivel dura un semestre, durante cuando años se deberá ofrecer este “Magíster” si la región y el país necesitan, aproximadamente 500 especialistas en esta área, sabiendo que esta universidad sólo está en capacidad de recibir, como máximo, 50 alumnos nuevos cada semestre? (Solución:   65 alumnos, aproximadamente 8 años).

Es conveniente analizar los resultados, desde el punto de vista académico-administrativo.

55. Un almacén de artículos electrodomésticos puede colocar pedidos de refrigeradores al inicio de cada mes y de entrega inmediata. Se tienen los siguientes datos contables: El hacer un pedido le cuesta al almacén US $100; el costo de almacenamiento mensual es de US $5 y se incurre, además, en unos costos de penalización por agotamiento de existencias de US $150 por refrigerador y por mes si se presenta la demanda y no hay existencias para satisfacerla.

De datos históricos se ha podido concluir que la demanda mensual de este producto es aleatoria y se comporta de acuerdo con la siguiente distribución de probabilidades:

La política del almacén ha sido la de no mantener más de dos refrigeradores en existencia durante cualquier mes.

Establecer la mejor política de pedidos. (Soluciones:  , si el inventario final del mes es de 0 unidades, [US $207.80; US $ 150.90])

56. Considere un sistema de comunicaciones que transmite los dígitos 0 y 1. Cada dígito transmitido debe pasar a través de varias etapas en cada una de las cuales hay una probabilidad p de que el dígito que entra no sea cambiado cuando sale.Sea Xn el dígito que entra a la primera etapa del sistema, y para n   1 sea Xn el dígito que sale en la n-ésima etapa del sistema de comunicación. Se pide:

a) Calcular la matriz de transiciónb) Calcular la matriz de transición en n etapas.c) Demostrar que la probabilidad de que un dígito transmitido como 1 efectivamente haya entrado como un 1 al sistema está dada por:

donde   = Pr(X0 = 1) y  = Pr(X0= 1) = 1 - 

57. Una recepcionista puede encontrarse en uno de dos estados : Ociosa, limpiándose las uñas, o trabajando. Se supone que sus hábitos de trabajo pueden modelarse mediante una cadena de Markov de dos estados, y se han hecho observaciones cada cinco minutos para estimar las probabilidades de transición. A continuación se dan los datos de las primeras observaciones.

a) Encuentre los estimativos máximo verosímiles para los elementos de la matriz de transición.b) Puede suponerse que el proceso observado es una realización de una cadena de Markov con la siguiente matriz de transición ?