Problemas de razonamiento ejemplo 4-1

Aplicaciones de la derivada.G. Edgar Mata Ortiz

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Máximos y mínimos relativosEjemplo 4.1. Proceso de solución iniciando con una aproximación sin cálculo, empleando primero aritmética y geometría, luego geometría analítica y finalmente la derivada.

Enunciado del problema

Enunciado del problema

• La figura muestra la forma en que seconstruirá la caja una vez recortados loscuadrados en las esquinas.

Análisis del problema

• Observa el diagrama que representa elproblema planteado.

• ¿Crees que el tamaño del cuadrado que serecorta haga que cambie el volumen de lacaja?

Procedimiento de solución

• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.

Si se recortan cuadrados de 2 cm por lado, ¿cuáles serán las dimensiones de la caja resultante?


• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.

En la figura podemos observar las dimensiones: longitud (36) y ancho (26) de la caja.


• La longitud y ancho de la caja ya los conocemos, ¿y la altura? ¿cuánto será?


• Una vez determinadas las dimensiones, calculamos el volumen.


• Si se recortan cuadrados de 3 cm por lado las dimensiones y el volumen cambian.


• Ya vimos que al aumentar el tamaño del cuadrado que se recorta, el volumen aumenta.

• Vamos a probar con otros valores.

• Para facilitar el proceso organizaremos la información en una tabla con valores.

Tamaño del recorte

Longitud de la caja

Ancho de la caja

Altura de la caja

Volumen de la caja

2 36 26 2 1872

3 34 24 3

4 32 22


• Probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.


• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.

El volumen de la caja sigue

aumentando, pero cada vez

menos.



El volumen de la caja

disminuyó…






• Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.


• Las dimensiones de la caja son:

• Longitud = 28 cm

• Ancho = 18 cm

• Altura = 6 cm

• Volumen = 3024 cm3





• Ancho = 18 cm

• Altura = 6 cm






• Ancho = 18 cm

• Altura = 6 cm


• ¿Estamos seguros de este resultado?

• Hemos tomado solamente valores enteros para el tamaño del cuadrado que se recorta

• ¿No puede ser un valor decimal?


• Encontramos un tamaño de recorte que aumenta le volumen.

Volumen máximo




• Ancho = 19 cm

• Altura = 5.5 cm

• Volumen = 3030.5 cm3

• ¿Estamos seguros de este resultado?

• Hemos tomado algunos decimales, pero…

• ¿No puede ser un valor con dos o tres decimales?

Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:


• Ancho = 19 cm

• Altura = 5.5 cm


• Está claro que no podemos obtener la solución exacta.

• Siempre habrá la posibilidad de que existan medidas de cuadrados que mejoren más el volumen.

• Tal vez debemos considerar otras herramientas.

Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:


• Ancho = 19 cm

• Altura = 5.5 cm


• La geometría y la búsqueda de mayor exactitud aumentando el número de decimales no es suficiente

• Vamos a trazar la gráfica con los datos obtenidos en la tabulación.




Vo

lum

en

máxim

o

Procedimiento de soluciónEn la gráfica se observa que la solución está entre 5 y 6,

pero no podemos

obtener un resultado más

exacto.Aparentemente se trata de una

parábola… V

olu

me

n m

áximo


• Si podemos determinar que se trata de una parábola, será sencillo encontrar la solución, ya que el volumen máximo se encontraría en el vértice de la parábola.

• Vamos a determinar la ecuación que describe el volumen en función del tamaño del cuadrado que se recorta para construir la caja.


• Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”.


• El volumen se obtiene multiplicando longitud por ancho por altura.


• No es una parábola, ya que la ecuación de esta curva es de segundo grado y se obtuvo una cúbica.

• La estrategia de determinar el punto máximo mediante el vértice no puede aplicarse en este problema.


Trazando la curva sobre los

puntos que tenemos como datos podemos observar que, efectivamente no se trata de una parábola, ya que no es

simétrica.

Procedimiento de soluciónQuitando los

puntos se observa mejor que no se trata

de una parábola, sólo para verificar

seguimos graficando para valores mayores

de equis en la siguiente

diapositiva


Esta es la gráfica de una función cúbica con tres

soluciones reales distintas. Observa en qué

puntos la gráfica corta el

eje de las equis.x1 = ?x2 = ?x3 = ?


Esta es la gráfica de una función cúbica con tres

soluciones reales distintas. Observa en qué

puntos la gráfica corta el

eje de las equis.x1 = 0

x2 = 15x3 = 20

Procedimiento de soluciónSoluciones de la función cúbica.

x1 = 0x2 = 15x3 = 20

¿Qué significan, en el problema de la caja, estos

valores?Recuerda que x es la medida del

cuadrado que se recorta.

Procedimiento de soluciónx1 = 0

Significa no recortar nada, no se forma ninguna

caja

x2 = 15Significa recortar 15 cm, se termina

la hoja

x3 = 20Significa recortar 20 cm, se termina la hoja en el otro

lado…


• El uso de la función cúbica nos ha permitido entender más el problema, pero no lo hemos resuelto.

• Todavía tenemos solamente una solución aproximada que, en ocasiones, pude ser útil, pero no es suficiente para nosotros.



• Ancho = 19 cm

• Altura = 5.5 cm



• Comenzamos planteando el problema con las herramientas básicas; aritmética y geometría.

• Después tratamos de usar funciones y gráficas y algo de geometría analítica, pero no se obtuvo una ecuación de segundo grado.

• Necesitamos otra herramienta: El cálculo diferencial.


• El procedimiento para resolver este problema mediante derivadas recibe el nombre de máximos y mínimos relativos.

• Es un proceso sencillo:

1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio

2. Determinar la primera derivada

3. Igualar a cero la derivada

4. Resolver la ecuación obtenida


1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio.

• Este paso ya lo realizamos, se trata de la función que expresa el volumen en función de la medida del cuadrado que se va a recortar:

• y = 4x3 – 140x2 + 1200x


2. Determinar la primera derivada.

• Aplicando las fórmulas obtenemos:

• La derivada también puede representarse como y’ (ye prima).

3 2

2

4 140 1200

12 280 1200

y x x x

dyx x

dx


3. Igualar a cero la derivada

• Al igualar a cero la derivada estamos tratando de encontrar los puntos críticos de las función.

2

0

12 280 1200 0

dy

dx

x x



• La ecuación obtenida es una ecuación de segundo grado que podemos resolver mediante la fórmula general.

2

2

12 280 1200 0

4

2

x x

b b acx

a

2 0

12

280

1200

ax bx c

a

b

c



• Sustituyendo en la fórmula general

2

2

12 280 1200 0

( 280) ( 280) 4(12)(1200)

2(12)

x x

x



• Efectuando operaciones

2( 280) ( 280) 4(12)(1200)

2(12)

280 78400 57600

24

280 20800

24

280 144.22205

24

x

x

x

x



• Dos soluciones.

1

2

2

1 17.675918792439

280 144.22205

2

5.6574145408933

4

280 144.22205

24

280 144.22205

24

x

x

x

x

x

Este resultado necesita ser interpretado.

¿Por qué hay dos soluciones?¿Cuál solución es la correcta?

¿Ambas son correctas?Si solo una solución es

correcta:¿Por qué aparecen dos?

¿Qué significa la que no es correcta?


• Hemos resuelto la ecuación y obtuvimos dos resultados, para entender por qué es necesario observar la gráfica.

• Específicamente debemos observar, ¿dónde se encuentran las soluciones encontradas en la gráfica?

1 217.675918792439 5.6574145408933x x


1 17.6759x

2 5.6574x


Para entender mejor el resultado que nos da la

derivada debemos recordar que aplicamos una herramienta que se

llama:“Máximos y mínimo

relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero

el método nos da también el mínimo.


Para entender mejor el resultado que nos da la

derivada debemos recordar que aplicamos una herramienta que se

llama:“Máximos y mínimos

relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero

el método nos da también el mínimo.

La solución a nuestro problema es el valor que maximiza el volumen: x2

Respuesta al problema

• Lo que nos preguntan es:

• ¿Cuánto deben medir los cuadrados que se recorten?

• ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja?

• ¿Cuánto es el volumen máximo?

• El valor de x2 responde solamente a la primera pregunta.

Respuesta al problema

• Se deben recortar cuadrados que midan 5.65741454 cm por lado.

• Las dimensiones de la caja serán:

• Longitud = 28.6851709

• Ancho = 18.6851709

• Altura = 5.65741454

• Para un volumen máximo de:

• 3032.3024606

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

PBL – Problem Based Learning

Es una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un problema que conduzca al alumno a la necesidad de aprender dicho tema.

El objetivo del presente material es abordar el tema de derivadas a partir de un problema.

Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos al cálculo,.

Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas herramientas y finalmente se plantea la solución mediante máximos y mínimos relativos.

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