Problemas de selectividad. Análisis...Departamento de Matemáticas Página 1 I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO Problemas de selectividad. Análisis 14.01.- Sea la función f(x) =

Departamento de Matemáticas Página 1

I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO

Problemas de selectividad. Análisis 14.01.- Sea la función f(x) = - 2x

3 + a ∙ e

– x + b ∙ x – 1

a) Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en el

punto x = 0 y que la gráfica de la función pasa por el punto ( 0, 0).

b) Para a = 0 y b = 1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

la función en el punto de abscisa x = - 1.

14.02.- Sea la función definida por

0

05)(

2

2

xsibx

xsiaxxxf . Determine los

valores que han de tomar a y b para que la función f sea derivable en x = 0

14.03.- Sea la función dada por

2

1

2)(

2

xsix

bxxsiaxx

xf .

a) Determine los valores de a y b sabiendo que dicha función es derivable.


la función en el punto de abscisa x = 1.

14.04.- El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite

entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora t, mediante la función

S (t) = 660− 231 t + 27 t 2 – t

3, 6 ≤ t ≤ 12

a) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y

al cierre?

b) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas

sintonizan el programa a dichas horas?

14.05.- Sea la función f(x) = x 3

– 3 x 2 + 3 x.

a) Estudie la monotonía de f y halle los extremos relativos que posea.

b) Estudie su curvatura y calcule su punto de inflexión.

c) Represente la gráfica de la función f.

14.06.- Sea la función

14

1)1()(

2

xsix

xsixxf

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio.

b) Determine sus asíntotas, en caso de que existan.

c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

14.07.- La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la

cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y

viene dada por f(x) = - 2 x2 + 36 x + 138, x ≥ 0.



a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho

beneficio óptimo.

b) Calcule f ´(7) e interprete el signo del resultado.

c) Dibuje la función beneficio f (x). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el

beneficio es de 138 mil euros?

14.08.- Sea la función f definida por

260

2)(

2

xsix

xsiabxbxxf

a) Obtenga los valores de a y b para que la función sea continua y derivable.

b) Para a = 48 y b = 3, estudie la monotonía de f (x) y calcule sus extremos.

14.09.- Sean las funciones )(ln)12()(432

xxxf y 1

)(2

2 2

x

exg

xx

.

Determine el valor de f ’( -1 ) y de g’ ( 0 ).

14.10.- Represente gráficamente la función f(x) = x3 – 6 x

2 + 12 x, estudiando

previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía,

extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

14.11.- Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros,

que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos

beneficios viene dada por B(t) = 2 t 3

– 36 t 2 + 162 t – 6, con 0 ≤ t ≤ 10.

a) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = 0) y al final del décimo año

(t = 10)?

b) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron

sus cuantías?

14.12.- Sea la función f(x) = - x2 + px + q.

a) Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función f

pase por el punto ( -4, -5) y presente un máximo en el punto de abscisa x = - 1.

Determine el valor de f (x) en ese punto.

b) Represente la gráfica de f para p = 2 y q = -1 y halle la ecuación de la recta

tangente a esta gráfica en el punto de abscisa x = - 2.

13.01.- Los beneficios de una empresa en sus 8 primeros años vienen dados, en millones

de euros, por la función 80,934

)(2

3

tttt

tB donde la variable t

indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.

a) Estudie la monotonía y los extremos de B(t).

b) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [ 0, 8] y explique, a partir de ella, la

evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.



13.02.- Sea f(x) una función cuya derivada, f ’(x), tiene por gráfica una parábola

que corta al eje OX en los puntos ( -1, 0) y ( 5, 0) y con vértice en ( 2,-4).

a) Estudie razonadamente la monotonía de f(x).

b) Determine las abscisas de los extremos relativos de la función f(x).

c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la f(x) en el punto de

abscisa x = 2, sabiendo que f(2) = 5.

13.03.- Estudie la derivabilidad de la función

326

301

0

)(2

xsixx

xsi

xsie

xf

x

.


166

12

1

)(2

xsixx

xsixxf .

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función.

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de

abscisa x = 0.

13.05.- Consideremos la función

54112

4256)(

2

xsix

xsixxxf

a) Estudie la derivabilidad de la función f(x) en el punto de abscisa x = 4.

b) Represente gráficamente la función f(x) e indique dónde alcanza su máximo y

su mínimo absolutos. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo?

13.06.- Sea la función 322

1

3

1)(

23 xxxxf .

a) Determine sus máximos y mínimos relativos.

b) Consideremos la función g(x) = f ’(x). Calcule la ecuación de la recta tangente a

la gráfica de la función g(x) en el punto de abscisa x = 2.

c) Dibuje la gráfica de g(x) y de la recta tangente calculada en b).

13.07.- En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un

trabajador depende de los días trabajados según la función 1,122

1711)(

t

t

ttM

donde t es el número de días trabajados.

a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar

cinco montajes diarios?

b) ¿Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?

c) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los

días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.

d) Dibuje la gráfica de la función.




22

21)(

2

xsiax

xsibxxxf

a) Determine los valores de a y b para que dicha función sea continua en x = 2

y, además, tenga un mínimo en x = 1.


la función en el punto de abscisa x = -2.


21

233

3122

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f(x) en su dominio.

b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

c) Calcule los extremos relativos.

13.10.- Sea la función xxxxf 424)(23 .

a) Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.

b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de

abscisa x = -2.

c) En el punto de abscisa x = 1, ¿la función es creciente o decreciente?

13.11.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)

2

32

3

5)(

x

xxf

b) 227

5)( xxexfx c)

3

)1ln()(

2

x

xxxf

13.12.- Se considera la función

134

11)(

2

3

xsixx

xsixxf

a) Determine el dominio y estudie la continuidad de la función.

b) Obtenga los extremos de la función.

c) Estudie su curvatura.

12.01.- De la función f se sabe que su función derivada es .583)´( 2 xxxf

a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f.

b) (1 punto) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la

ecuación de la recta tangente en dicho punto.

12.02.- a) (1.25 puntos) Dada la función baxxxf 22)( , determine los valores de

a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en

.2x

b) (1.25 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función

123)( 2 xxxg , en el punto de abscisa .1x



12.03.- a) (0.75 puntos) Para la función f definida de la forma bx

axxf

)( ,

determine, razonadamente, los valores de a y b sabiendo que tiene como asíntota

vertical la recta de ecuación 2x y como asíntota horizontal la de ecuación

.3y

b) (1.75 puntos) Para la función g, definida de la forma 23)( 23 xxxg ,

determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos

relativos. Con esos datos haga un esbozo de su gráfica.


2si2

2si2)(

2

xbx

xxaxxf .

a) (1.5 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y

presente un mínimo en x = 1.

b) (1 punto) Represente gráficamente la función para a = 1.5 y b = 0.5.

12.05.- Se considera la función .2

21)(

xxf

a) (0.8 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función.

b) (0.8 puntos) Calcule sus asíntotas.

c) (0.9 puntos) Represéntela gráficamente.

12.06.- a) (1.5 puntos) Sea la función

.2si4

2si3)(

2

2

xbxx

xxaxxf

Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en x = 2.

b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

1

2)(

x

xxg en el punto de abscisa x = 0.

12.07.- Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un

cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:

5si5

250100

50si

)(

2

tt

t

tt

tP .

a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad de la función P.

b) (0.75 puntos) Estudie la derivabilidad de P en t =5.

c) (0.75 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del

porcentaje de células afectadas.

d) (0.5 puntos) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer

50?



12.08.- Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los

próximos 10 años viene dado por la función

106si2

60si)(

2

tt

ttattB , siendo t

el tiempo transcurrido en años.

a) (0.75 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función

continua.

b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la

función crecerá o decrecerá.

c) (0.75 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio

en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.

12.09.- (2.5 puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función

1si4

1si7)(

2

xbx

xaxxxf sea derivable en .R

12.10.- En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie

afectada, en 2km , viene dada por la función 2

2011)(

t

ttf , siendo t el tiempo

transcurrido desde que empezamos a observarla.

a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a

medirla?

b) (1.25 puntos) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo.

c) (0.75 puntos) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?

12.11.- Sean dos funciones, f y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas

son, respectivamente, .2)´(y 2)´( xgxxf

a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g.

b) (0.75 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas

tiene algún punto en el que su derivada es nula.

c) (0.75 puntos) ¿Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer

grado? ¿Por qué?

12.12.- Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

a) (0.8 puntos) ).52ln()( 3 xexf x

b) (0.8 puntos) .1

3)(

2

2

xxg

x

c) (0.9 puntos) .ln)153()( 262 xxxxxh



11.01.-

11.02.-

11.03.-

11.04.-

11.05.-



11.06.-

11.07.-

11.08.-

11.09.-

11.10.-



11.11.-

11.12.-

10.01.-

10.02.-

10.03.-



10.04.-

10.05.-

10.06.-

10.07.-

10.08.-



10.09.-

10.10.-

10.11.-

10.12.-

09.01.-



09.02.-

09.03.-

09.04.-

09.05.-

09.06.-



09.07.-

09.08.-

09.09.-

09.10.-

09.11.-



09.12.-

08.01.-

08.02.-

08.03.-

08.04.-

08.05.-



08.06.-

08.07

08.08

08.09

08.10.-

08.11.-



08.12

07.01.-

07.02.-

07.03.-

07.04.-

07.05.-



07.06.-

07.07.-

07.08.-

07.09.-

07.10.-



07.11.-

07.12.-

06.01.-

06.02.-

06.03.-



06.04.-

06.05.-

06.06.-

06.07.-



06.08.-

06.09.-

06.10.-

06.11.-

06.12.-

05.01



05.02.-

05.03.-

05.04.-

05.05.-

05.06.-

05.07.-



05.08.-

05.09.-

05.10.-

1. Las ganancias de una empresa, en millones de pesetas, se ajustan a la función

52

10050

x

xxf , donde x representa los años de vida de la empresa, cuando

0x .

a) (2 puntos) Represente gráficamente la función xfy , para ,x ,

indicando: dominio, corte con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento.

b) (0.5 puntos) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas?

c) (0.5 puntos) A medida que transcurre el tiempo, ¿están limitados sus beneficios? En caso afirmativo, ¿cuál es su límite?

2. Sea la función

0 si

0 si)(

2

2

xxx

xxxxf .

a) (1 punto) Represéntela gráficamente.

b) (0.5 puntos) Estudie su continuidad.

c) (1 punto) Obtenga, si existe, la derivada de f en x = 1/2, x = -1/2 y x = 0.



d) (0.5 puntos) Indique si posee máximos y mínimos relativos y en qué puntos.

4. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “h” (en metros) a la que se encuentra en cada instante “t” (en segundos) viene dada por la expresión:

ttth 405)( 2

a) (0.75 puntos) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura?

b) (1 punto) Represente gráficamente la función h(t).

c) (0.75 puntos) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura?

d) (0.5 puntos) ¿En qué instante llega al suelo?

5. La gráfica de la función derivada de una función )(xf es una parábola de

vértice 4,1 que corta al eje de abscisas en los puntos 0,1 y 0,3 . A

partir de la gráfica de ´f :

a) (1.75 puntos) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f . ¿Para qué

valores de x se alcanzan los máximos y mínimos relativos?

b) (1.25 puntos) Esboce la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea la parábola dada.

6. La gráfica de la función derivada de una función )(xf es una parábola de

vértice 4,1 que corta al eje de abscisas en los puntos 0,1 y 0,3 . A

partir de la gráfica de ´f :

c) (1.75 puntos) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f . ¿Para qué

valores de x se alcanzan los máximos y mínimos relativos?

d) (1.25 puntos) Esboce la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea la parábola dada.

7. Calcule las funciones derivadas de las siguientes:

a) (1 punto)2

L)(

x

xxf ( xL indica logaritmo neperiano de x)



b) (1 punto) xxxg cos)1()( 3

c) (1 punto)xe

xxxh1

54)( 3

8. Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es “x” euros, su beneficio diario, en euros, será:

21010010)( 2 xxxB .

a) (1 punto) Represente la función precio-beneficio.

b) (1 punto) Indique a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máximo beneficio. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

(1 punto) Determine a qué precios de la caja obtiene pérdidas el agricultor.

9.

10.

11.

13.



14.

15.

16.

17.



18.

19.

20.

21.

22. a) (1 punto) Halle la función derivada de la función

1)(

x

xLxf y

simplifique el resultado.

b) (1 punto) Obtenga las asíntotas de la función 13

32)(

x

xxf .

c) (1 punto) Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función

23

2

3)( xxxf .



23. Sea la función

.

1si24

1si

)(2

2

xxx

xx

xf

a) (1 punto) Analice su continuidad y su derivabilidad.

b) (1.5 puntos) Estudie la monotonía, determine sus extremos y analice su curvatura.

c) (0.5 puntos) Represente la gráfica de la función.

24. Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado) :

a) (0.75 puntos) .)5(13

)( 22xxx

xxf

b) (0.75 puntos) . )1()( 2 xLxxg

c) (0.75 puntos) .2)( 5xxh

d) (0.75 puntos) .)1()6()( 323 xxxxi

25. a) (1.25 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a 1

1

xy en el

punto de abscisa .2x

b) (1.25 puntos) ¿En qué punto de la gráfica de la función 132)( 2 xxxf , la

recta tangente es paralela a 53 xy ?

c) (0.5 puntos) Sea axxxg 82)( 2 . Halle a para que el valor mínimo de g sea

3.

26. La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión:

.40con1040)( 2 ttttT

a) (1.5 puntos) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza.

b) (1.5 puntos) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante?

27. a) (1.5 puntos) Dada la función bxaxxf 2)( , calcule a y b para que la

función tenga un extremo relativo en el punto (1, 4).



b) (1.5 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la

función xLx

xg 2

)( en el punto de abscisa 1x .

28. Sea la función

3si30162

3si9

)(2

2

xxx

xx

xf .

a) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad.

b) (1 punto) Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.

c) (1 punto) Represéntela gráficamente.

29. a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la función

baxxxf 23)( tenga un extremo relativo en el punto 3,2 .

b) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 243 xxy

en su punto de inflexión.

30. A) (2 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función:

.3si

2

4

3si74

)(

2

x

x

xxx

xf

b) (1 punto) Calcule la derivada de .)1()( 12 xexxg

31. De una función f se sabe que su función derivada es .693)´( 2 xxxf

a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f.

b) (1.5 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0, 1), calcule la ecuación de

la recta tangente en dicho punto.

32. Sea la función .96)( 23 xxxxf

a) (1 punto) Estudie la monotonía y calcule los extremos relativos de f.

b) (1 punto) Estudie la curvatura y calcule el punto de inflexión de f.

c) (1 punto) Represente gráficamente la función.

33. Sea la función .22

14)(

x

xxf



a) (2 puntos) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus

asíntotas, y represéntela gráficamente.

b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva )(xfy en el

punto de abscisa x = 0.

34. a) (1.5 puntos) Sea la función f (x) x2 ax b . Calcule a y b para que su gráfica

pase por el punto (0, –5) y que en este punto la recta tangente sea paralela a la recta

y 4x.

b) (1.5 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función g cuya derivada

tiene por gráfica la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (3, 1).

35.

36.



37.

38.

39.

40.

41.

42.



43.

44.

45.

46. Dada la función

2 si

22 si

2 si22

xx

xa

xax

xf (a).

a) (1 punto) Calcule el valor de “ a ” para que f sea continua en 2x .

b) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f cuando 2a .

(1 punto) Dibuje la gráfica de la función que se obtiene cuando 2a .



47. El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x

millones de pesetas produce una ganancia de f(x) millones de pts, siendo:

5 si2

5

50 si5

8

25

8

50)(

2

xx

xxx

xf .

a) (1 punto) Represente la función f(x).

b) (0.75 puntos) Halle la inversión que produce máxima ganancia.

c) (0.75 puntos) Halle el valor de la inversión que produce ganancia nula.

d) (0.5 puntos) Razone lo que ocurre con la rentabilidad si la inversión se incrementa indefinidamente.

48. (3 puntos) Determine los valores que han de tomar “a” y “b” para que la función:

1 si76

1 si4)(

2 xxax

xbxxf

sea derivable.

49. El consumo de luz (en miles de pesetas) de una vivienda, en función del

tiempo transcurrido, nos viene dado por la expresión:

1201025

1 2 ttttf

a) (1 punto) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el consumo? ¿En cuál disminuye?

b) (1 punto) ¿En qué instante se produce el consumo máximo? ¿Y el mínimo?

c) (1 punto) Represente gráficamente la función.

50. Sea la función:

3x

3x1

1x

si

si

si

30162

9123

1

)(2

2

2

xx

xx

x

xf .

a) (2 puntos) Dibuje su gráfica y, a la vista de ella, estudie monotonía y extremos.

b) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad.



51. (1.5 puntos) Dada la función cbxxxf 3)( , determine los valores de

“b” y “c” sabiendo que dicha función alcanza un máximo relativo en el punto (-1 , 3).

a) (1.5 puntos) Calcule “a” para que el valor mínimo de la función

axxxg 2)( 2 sea igual a 8.

52. a) (1.5 puntos) Dada la función cbxxxf 3)( , determine los valores de

“b” y “c” sabiendo que dicha función alcanza un máximo relativo en el punto (-

1 , 3).

b) (1.5 puntos) Calcule “a” para que el valor mínimo de la función

axxxg 2)( 2 sea igual a 8.

53.

54.

55.

Documents

Problemas de selectividad. Análisis...Departamento de Matemáticas Página 1 I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO Problemas de selectividad. Análisis 14.01.- Sea la función f(x) =