Problema Derivada direccional y Gradiente

Tito Orellana Mendoza

1. Gradiente y derivada direccional. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado:

a) f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12jb) f(x; y) = exy + yz, (x0; y0; z0) = (1; 1; 1), d = (1; -1; 1)

SOLUCIÓN

a) Recordando que Duf(x0) = f(x0)·u, debemos hallar el gradiente de la función y un vector unitario en la dirección dada.

b) En este caso tendremos:

2. Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - ax2 - by2

, donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y

norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z están medidas en metros). En el punto (1; 1), ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1; 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar?

SOLUCIÓN

Una función aumenta más rápidamente en la dirección del vector gradiente, y disminuye más rápidamente en la dirección opuesta al mismo. En nuestro caso:

Ésa es la dirección de máximo crecimiento. La canica rodará en la dirección en la cual más rápidamente disminuya la altura, es decir, la opuesta a la recién hallada:

Máximo decrecimiento

3. El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición (x; y; z), viene

dada por , donde x, y y z vienen dados en metros. Actualmente está en el punto (1; 1; 1).

a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura?b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección?c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que

grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa.

SOLUCIÓN

a) La dirección de máximo decrecimiento u será la dirección unitaria opuesta al vector gradiente.

b) El valor de e8 m/s que nos dan es la rapidez (módulo de la velocidad) de la nave. El vector velocidad vendrá dado por el producto de ese módulo por la dirección unitaria de avance. Así:

Queremos obtener la tasa de variación de la temperatura, y lo logramos mediante la regla de la cadena:

c) En el punto anterior vemos que la máxima velocidad de crecimiento de la temperatura es el doble de lo que la nave puede tolerar. Para que no se cuartee, es necesario avanzar en otra dirección, cuyo vector unitario podemos llamar u = (a; b; c). En ese caso tendremos que el vector velocidad será v = (a; b; c)e8, y podremos escribir:

Esta tasa de variación de la temperatura debe ser negativa y su módulo debe ser menor que . Por lo tanto:

Moviéndose en cualquier dirección unitaria u = (a; b; c) que cumpla con esas condiciones el cohete se enfriará sin cuartearse.