Problemas Mecánica UNED 2012-2013

7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013

http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 1/71

È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ý Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ð Ì Ñ ½ Ò Ñ Ø

¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾

½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò S ′ × Ó Ø Ò Ô Ö Ø Ö Ù Ò Ö Ó Ø Ò ¿ ¼ Ö Ó ×

Ý Ù Ò Ø Ö × Ð Ò

R = (1, 1) Ð × × Ø Ñ

S º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó

P

Ò

S × Ò Ó Õ Ù Ò

S ′× Ó Ò

r′ = (2, 1)º

Ä Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ó Ó Ö Ò × S S ′ Ó Ò × × Ø Ò Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ù Ý Ñ Ø Ö Þ ×

R =

cos 30 sen 3 0− sen 30 cos 30

=

1

2

√ 3 1

−1√

3

Ý Ù Ò Ø Ö × Ð Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × Ú Ø Ó Ö

R = (1, 1)º È Ö × Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ó Ó Ö ¹

Ò × × Ñ Ó × Õ Ù

r′ = R(r−R)

È Ö Ó Ð Ó Õ Ù Ô Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ò Ú Ö × Õ Ù Ò Ó × Ð Ð Ú

S ′

S × Ø Ó × ¸ Ò × Ø Ñ Ó ×

Ü Ô Ö × Ö

r Ò Ù Ò Ò

r′¸ Ô Ö Ð Ð Ó Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ñ Ó × Ô Ó Ö Ð Ö Ð Ü Ô Ö × Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ó Ö Ð Ø Ö × Ô Ù × Ø

Ð Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò

RT r′ = RT R(r−R) = r−R

È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸

r = RT r′ + R =1

2

√ 3 −1

1√

3

21

+

11

=

√ 3 + 1

2√ 3

2+ 2

È Ö Ó Ð Ñ ¾ × Ø Ù Ó Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö × Ó Õ Ù Ö Ù × Ò × Ð Þ Ö × Ó Ö Ù Ò

Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ù Ò × Ó Ö Ó

R Ó Ñ Ó Ð Ð Ù Ö Õ Ù Ö Ù × Ò × Ð Þ Ö º Ì Ó Ó Ð × Ó Ö Ó Ò

Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω Ò Ø Ó Ö Ò Ó × Ù × Ñ Ø Ö º

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð S Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ó Ö Ð Ó × × XY Z Ü Ø Ö Ò Ó Ð × Ó Ó Ñ Ó Ð

Ð Ù Ö º È Ö Ö Ø Ö Þ Ö Ò Ø Ó Ó Ø Ñ Ô Ó Ð Ô Ó × Ò Ð × Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó

XY Ò Ð Ù Ð × × Ö Ö Ó Ð Ð

× Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ¸ Ò × Ø Ö Ñ Ó × Ó × Ó Ó Ö Ò × º Ä Ð Ñ Ñ Ó ×

x Ó Ó Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ð

× Ó Ó Ò Ð × Ù Ð Ó ´

Aµ º × Ø Ó Ó Ö Ò Ð Ô Ó × Ò Ð Ð Ò Ö Ó ¸ Ó × Ö Ú × Õ Ù Ø Ñ Ò Ò Ó × Ð

Ô Ó × Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ò Ö Ó ´ O µ º Ð Ò Ù Ð Ó θ Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ó OA Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ö Ó

Ö Ö Ò Ñ Ö Ó × Ó Ö Ð Ð Ò Ö Ó Ô Ö Ó Ö ´

OG Ò Ð Ù Ó µ Ò Ó × Ò Ó Ö Ñ × Ó Ö Ù Ò Ø Ó Ö Ó

Ð × Ó × Ó Ö × Ñ × Ñ Ó º Ë Ò Ó Ý × Ð Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ö ¸ × Ð Ù Ö Ô Ó Ò Ó Ô Ø Ò × Ó Ö Ð × Ù Ð Ó ¸ Ð ×

Ó Ó Ö Ò ×

xÝ

θÒ Ó × Ó Ò Ò Ô Ò Ø × ¸ Ô Ù × Ð × Ð Ó Ò Ø Ù × Ò Ò Ø × Ñ Ð × Ö Ó Ö Ö × Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó

Ó Ò Ø Ø Ó × Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý × Ó Ö Ð Ð Ò Ö Ó × Ó Ò Ù Ð × ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Rdθ = dx Ó Ð Ó Õ Ù × Ù Ð

Rθ= ˙

x

Õ Ù × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö º Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð S Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ×

Ù Ò Ú Ø Ó Ö Õ Ù Ò Ø Ö Ò Ð Ô Ô Ð × Ò Ð Ö Ð Ð Ñ Ò Ó Ö ¸ ω = (0, 0,−w) = (0, 0,−θ)º

Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó × Ô Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Ó × Ñ Ò Ö × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × ¸ Ô Ò Ò Ó Ð × × Ø Ñ

Ö Ö Ò Ð Ó

½



R

S

G

Ox

Y

XA

θ

x

.

½ º Ì Ó Ó Ð × Ó Ö Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω Ò Ø Ó Ö Ò Ó × Ù × Ñ Ø Ö ´ Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù

Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ó Ñ Ò Ó

Oµ ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ù Ú Þ × Ø Ö × Ð Ó Ò

Ú Ð Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð

x = Rθº Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó È Ð × Ó × Ø Ù Ó Ù Ò × Ø Ò

r Ð

× Ñ Ø Ö º Ä Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó È ¸ Ð Ù Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó ´ Õ Ù

× Ö Ò Ó Ø Ô Ó Ö Ô Ö Ñ × Ô Ö Ö Ò Ö Ð Ó µ Ø Ò Ö Ú Ð Ó Ö v′P = ω

×OP × Ö ¸ Ð Ú Ð Ó

Ø Ò Ñ Ù Ð Ó v′ p = ωr Ý × Ø Ö × Ñ Ô Ö Ö Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ò Ø OP º

S

x

Y

XA

O

B

Ù Ö ½ Î Ð Ó × Ð Ù Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó O ¸ Ò Ó Ø × Ô Ó Ö

Ô Ö Ñ × º Ä Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó v′

0= 0 Ý Ð Ð Ô Ù Ò Ø Ó A Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð O × v′

A = −Rθi ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð

Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó B Ø Ó Ñ Ö Ð Ú Ð Ó Ö v′

B = Rθi × Ö ¸ × Ó Ò Ù Ð Ñ Ù Ð Ó Ý Ö Ò Ô Ö Ó × Ò Ø Ó ×

Ó Ò Ø Ö Ö Ó × º

¾ º Ð × Ó × Ø Ö Ò Ó Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ó Ò Ð × Ù Ð Ó ¸ Ð Ù Ð

× Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ó º

Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð S Ö Ó Ö Ñ Ó × Ô Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ö Ö Ó È Ð Ö Ñ Ù Ð Ð

Ö Ð Ò Ð × Ú Ð Ó ×

v p = v0 + ω ×OP

Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ð × Ó Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð

A × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó

Ò × Ø Ò Ø Ò Ó ¸ Ó Ó Ó Ø Ö Ñ Ò Ö ¸ Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó

A Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð Ü Ø Ö Ò Ó

S Ö × Ö Ò Ù Ð Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù

vA = v0 +ω ×OA = xi +

i j k

0 0 −θ

0 −R 0

= (x−Rθ)i ≡ 0

Ó Ò × Ó Ø Ò Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö x = Rθ º

Í × Ò Ó × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ð Ð Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó

B Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð

Ü Ø Ö Ò Ó

S Ð Ð Ñ Ó ×

vB = v0 + ω ×OB = xi +

i j k

0 0 −θ

0 R 0

= (x + Rθ)i ≡ 2xi

¾



S

G

x

Y

XA

.

2x

Rx.

x

.B

O

Ù Ö ¾ Î Ð Ó × Ð Ù Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ò Ö Ð S Ü Ø Ö Ò Ó Ð × Ó º

Ë ¸ Ó Ñ Ó Ñ Ó × Ó ¸ x Ñ Ð Ú Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð

S Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ó Ò Ð × Ù Ð Ó A × Ö Ò Ù Ð vA = 0 Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó B

Ø Ó Ñ Ö Ð Ú Ð Ó Ö 2xº

È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ó Ø Ó Ð Ö Ñ Ò Ø × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ð Ö Ò

Ó Ò × Ø Ò Ø º Ç Ø Ò Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ø Ó Ò Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò ¸ Ù Ò Ó Ò Ö Ô Ó × Ó

× Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö Ý Ó Ø Ö Ó Ñ Ó Ú Ò Ó × Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ö Ñ Ö × × Ø Ñ Ö Ö Ò

Ó Ò Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ý Ô Ö Ð Ð Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö º

È Ö Ù Ò Ó × Ö Ú Ó Ö Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò S × Ø Ù Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö ¸

Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ø Ó Ø Ó × Ö Ø Ð Ò Ò Ð Ð × Y ¸ Ô Ù × g × Ð Ð Ö Ò Ö Ú

Ó Ò × Ö Ò Ð Ð ×

Y º È Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò

S Ð Ú Ð Ó Ð Ó Ø Ó ×

v = (0,−gt)Ý Ð

Ô Ó × Ò × Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó

x(t) = x0,

y(t) = y0 −1

2gt2

Ó Ò

(x0, y0) × Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ó Ø Ó Ò S º Ë Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð S ′ Õ Ù × Ñ Ù Ú Ó Ò Ú ¹

Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø

V = (V, 0, 0) Ó Ò Ö × Ô Ø Ó S º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ó × Ó Ö Ò × Ñ Ó ×

Ö Ö Ò Ð × Ó Ò Ò Ý Õ Ù Ð Ó × × × Ó Ò Ô Ö Ð Ð Ó × Ò Ø Ó Ó Ø Ñ Ô Ó º Ù Ö Ó Ó Ò Ð × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò

Ð Ð Ó ¸ Ð Ú Ð Ó Ð Ó Ø Ó Ò Ð × × Ø Ñ

S ′ ×

v′ = v−V = (−V,−gt)º Á Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó

Ð Ú Ð Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ô Ó × Ò Ð Ù Ö Ô Ó Ò Ð × × Ø Ñ S ′

x′(t) = x(t)−

V t = x0

−V t,

y′(t) = y(t) = y0 −1

2gt2

Ë Ö × Ó Ð Ú Ñ Ó × Ó Ö Ñ Ü Ô Ð Ø × Ø × × Ø Ñ Ó × Ù Ó Ò × ¸ Ð Ñ Ò Ò Ó Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ Õ Ù Ð Ô Ö Ñ Ö

Ù Ò ×

t =x0 − x′

V

Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö

y′ = y0 −1

2gt2 = y0 −

g

2V 2(x0 − x′)2

´ ½ µ

Ë Ö Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × y′ Ò Ù Ò Ò x′

¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ø Ó Ò Ð Ö Ú × Ø ×

Ð Ö Ö Ð S ′ × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ò Ú Ö Ø ´ Ú Ö Ù Ö ¿ µ º

È Ö Ó Ð Ñ Ó Ø Õ Ù Ó Ò Ú Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú × Ø Ò Ó × × × Ø Ñ × Ö ¹

Ö Ò ¸ Ù Ò Ó Ð Ð Ó × Ö Ó Ø Ò Ó

¿



1 2 3 4 5 6 7 X

80

60

40

20

20

40

Y

È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø × x0

Ù Ö ¿ Ì Ö Ý Ø Ó Ö Ô Ö Ð Ú × Ù Ð Þ Ô Ó Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò S ′ Ð Ù Ö Ô Ó Õ Ù ¸ × Ò Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò S

Ò Ð Ö Ú Ö Ø Ð Ó Ð Ò Ð Ö Ú º È Ö Ñ Ø Ö Ó × Ù Ø Ð Þ Ó × ¸ g = 10 ¸ V = 1 ¸ x0 = 3 ¸ y0 = 40 º

3 2 1 0 1 x

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

y

x0

, y0

4 3 2 1 1 2 3 4 x

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

y

0,

0

Ù Ö Ì Ö Ý Ø Ó Ö × Ð Ó Ø Õ Ù Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ú × Ù Ð Þ × Ô Ó Ö Ð Ó × Ó × Ó × Ö Ú Ó Ö × Ô Ö

0 < t < 10 Ð Þ Õ Ù Ö Ô Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò S Ý Ð Ö Ô Ö Ð S ′ º È Ö Ñ Ø Ö Ó × Ù Ø Ð Þ Ó × ¸ w = 2π ¸

vg = 1¸

x0 = 0¸

y0 = 5¸

z0 = 0º È × Ö

× Ø Ù Ñ Ó × Ò Ù Ú Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó Ø × Ð Ð Ù Ú Ò Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò

S Ý

S ′ Ó Ò

S × Ø Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ý

S ′Ö Ó Ø Ó Ò × Ù Ö Ó Ø Ò Ð Ó

Ð Ö Ó Ð

Z

S Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø º ´ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸

R = 0, V = 0, A = 0µ º

Ä Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò Õ Ù Ö Ø Ö Þ Ð Ö Ó Ð × × Ø Ñ S ′ Ö × Ô Ø Ó S × Ø Ô Ó Ö

R(t) =

cos(ωt) sen (ωt) 0− sen(ωt) cos(ωt) 0

0 0 1

´ ¾ µ

Ý × Ù Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × ω = (0, 0, θ) × Ö ¸ × Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ð z Ý × Ù Ñ Ò Ø Ù ×

Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ú Ð Ó Ñ Ó Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ò

θº Ä Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö ¸ Ð × Ö Ð Ú Ð Ó

Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ × Ò Ù Ð

α = ω = 0º

Æ × Ö Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Þ Ö × Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø º Ó Ñ Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ñ Ó × Ö ¹

Ö Ò Ð × Ó Ò Ò ¸ Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ó Ø × Ö x0 = x′0

¸ y0 = y′0

¸ z0 = z′0

º Ú Ñ Ó × Ò Ð

Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö S Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ø Õ Ù Ô Ö Ø Ð

Ô Ó × Ò Ò Ð

(x0, y0, z0) ×

x(t)y(t)z(t)

=

x0

y0 − vgt

z0

´ ¿ µ

Ä × Ú Ð Ó × Ð Ó Ø Ñ × Ò

S × Ó Ò

x(t)y(t)z(t)

=

0−vg

0

´ µ



Ä Ô Ó × Ò Ò Ð × × Ø Ñ

S ′ × Ø Ô Ó Ö

r′(t) = R(t)[r(t)−R(t)] = R(t)r(t)

=

cos(ωt) sen (ωt) 0− sen(ωt) cos(ωt) 0

0 0 1

x0

y0 − vgt

z0

´ µ

Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ð Ñ Ò Ø Õ Ù Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ð × × Ø Ñ

S ′× Ó Ò

x′(t)y′(t)z′(t)

=

x0 cos(ωt) + (y0 − vgt)sen(ωt)−x0 sen(ωt) + (y0 − vgt)cos(ωt)

z0

´ µ

Ä Ú Ð Ó Ý Ð Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ

S ′× Ó Ø Ò × Ò Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ú Ò Ó × Ø × Ü Ô Ö × Ó Ò × Ó Ò

Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ × Ö

v′(t) =

(−ωx0 − vg)sen(ωt) + ω(y0 − vgt)cos(ωt)

(−ωx0 − vg)cos(ωt)− ω(y0 − vgt)sen(ωt)

0

a′(t) =

ω(−ωx0 − vg)cos(ωt)− ω2(y0 − vgt)sen(ωt)− ωvg cos(ωt)

ω(ωx0 + vg)sen(ωt)− ω2(y0 − vgt)cos(ωt) + ωvg sen(ωt)

0

´ µ

Ò Ð Ù Ö × Ó × Ö Ú Ò Ð × Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ð Ó Ø Ð Ð Ù Ú Ò Ð Ó × Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò Ð × ¸ Ô Ö Ø Ò Ó

Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ð º

¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ø Ð Ð Ù Ú Õ Ù Ó Ò × Ù Ú Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø

Ò Ù × Ò Ú Ò Ø Ó º Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ø Ú × Ø Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ö Ú Ó Ö Ò

Ö Ô Ó × Ó Ý Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ö Ú Ó Ö Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ó Ø Ó Ò Ú Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ö Ø Ð º À Ð Ð Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö

Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ö Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ù Ô Ö Ð

Ø Ö Ö º

È Ö Ó Ð Ñ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ø Ð Ñ Ó Ó Õ Ù ¸

Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ò × Ø Ò Ø ¸ × Ù Ô Ó × Ò ¸ Ú Ð Ó Ý Ð Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ó × Ð Ñ × Ñ Ó Ú Ð Ó Ö

Ò Ù Ñ Ö Ó º Ö Ð Ô Ó × Ò

x Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ô Ö × Ó Ò Ö Ù Ò Ð Ò × Ð Ó Ð Ø Ó Ù Ò × º Ç Ø Ö Ô Ö × Ó Ò

× Ø Ù Ò Ð Ð Ð Ù Ò × Ø Ò

lÑ × Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ð Ò ¸ Ð Ò Þ

× Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ù Ò Ô Ð Ó Ø Ó Ð Ó Ò Ú Ð Ó

v0 Ý Ö Ò Ð Ð Ò º Ë Ð

Ð Ò × Ò Ó Ù Ò Ð Ø Ù Ö h Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Õ Ù Ð Ô Ð Ó Ø Ó Ð Ð Ó Ð Ô ¸ ú Ù Ð

× Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð Ô Ð Ó Ø Ó Ð

È Ö Ó Ð Ñ ú Ó Õ Ù Ò Ù Ð Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø × Ø Ò Õ Ù Ð Ò Þ Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó ×

Ù Ò × Ø Ó Ð Ú Ó Ð Ø Ù Ö h0 Ô Ö Õ Ù Ð Ù Ö Ô Ó Ð Ó Ñ × Ð Ó × Ô Ó × Ð Ä Ú Ð Ó

Ò Ð Ð Ù Ö Ô Ó ×

v0 º



È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ý Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ð Ì Ñ ¾ Ò Ñ

¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾

½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ó Ö Ù Ò Ø Ð Ñ ×

M Õ Ù Ô Ù × Ð Þ Ö Ð Ö Ñ Ò Ø × Ó Ö Ù Ò

× Ù Ô Ö Ð × ¸ × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

mº Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ø Ø Ó

Ò Ø Ö Ð Ø Ð Ý Ð Ù Ö Ô Ó ×

µe Ý Ð Ó Ò Ø Ò Ñ Ó ×

µd º Ë Ó Ö Ð Ù Ö Ô Ó Ø Ù Ò

Ù Ö Þ

F Ó Ò × Ø Ò Ø º µ À Ð Ð Ö Ð × Ð Ö Ó Ò × Ð Ø Ð Ý Ð Ñ × Ù Ò Ó Ð Ù Ö Þ

F Ô Ð × Ø Ò Ô Õ Ù Õ Ù Ñ × Ñ × × × Ñ Ù Ú Ò Ó Ò Ð Ñ × Ñ Ð Ö Ò º µ Á Ñ

Ù Ò Ó Ð F × × Ù Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Ú Ó Ñ Ó Ô Ö Õ Ù Ð × Ð Ö Ó Ò × Ð Ù Ö Ô Ó Ý

Ð Ø Ð × Ò Ö Ò Ø × º µ Ø Ö Ñ Ò × Ð Ú Ð Ó Ö

F c Ð Ù Ö Þ Ô Ó Ö Ó Ð Ù Ð Ð ×

Ð Ö Ó Ò × Ð Ù Ö Ô Ó Ý Ð Ø Ð × Ó Ò Ù Ð × º

Ë Ó Ð Ù Ò µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ô Ð × Ð Ó × Ù Ò Ø Ñ Ò Ø Ô Õ Ù Ó Ñ Ó Ô Ö Õ Ù Ò Ó

Ý Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ö Ð Ø Ú Ó Ò Ø Ö Ð × Ó × Ñ × × º Ò × Ø × Ó Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ð Ù Ö Ô Ó

Ý Ð Ø Ð × Ó Ò Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø

ma = F − F r

M a = F r,´ ½ µ

À Ñ Ó × × Ù Ô Ù × Ø Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ð Ù Ö Ò Ù Ò Ñ Ò × Ò ¸ Ø Ó Ñ Ñ Ó × × Ò Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ð Ñ Ó ¹

Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ö Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ö Þ

F Ø Ò × Ö Ò º È Ó Ñ Ó × × Ô Ö Ð × Ó ×

Ò Ò Ø ×

F r, a Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó

a =F

M + m

F r =M

M + mF

´ ¾ µ

Ä Ô Ö Ñ Ö Ù Ò Ò Ó × Õ Ù Ó Ñ Ó Ð Ó × Ó × Ù Ö Ô Ó × × Ñ Ù Ú Ò × Ó Ð Ö Ñ Ò Ø ¸ × Ó Ñ Ó × Ø Ù Ú Ö Ñ Ó ×

Ù Ò Ò Ó Ù Ö Ô Ó Ñ ×

M + mº Ä × Ù Ò Ù Ò Ò Ó × Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ù Ñ Ò Ø Ó Ò Ð

Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò Ô Ð ¸ × Ö ¸ × Ú Ù × Ø Ò Ó Ó Ò Ð Ò Õ Ù Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó × Ñ × × ×

× Ó Ð Ö Ó º È Ó Ö × Ù Ô Ù × Ø Ó ¸ Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ò Ó Ô Ù Ù Ñ Ò Ø Ö Ò Ò Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Õ Ù Ð × × Ô Ö Þ ×

Ò Ø Ö Ð × Ó × × Ù Ô Ö × Õ Ù Ô Ö Ó Ù Ò Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ô Ó Ö Ö º × Ó Ó Ù Ö Ö Ù Ò Ó × Ð Ð

Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ø Ø Ó º × Ø Ó Ö Ñ

Ù Ò Ó

F r = µemg¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ø Ó

F c Ô Ð

µemg =M

M + mF c → F c = µemg

M + m

M ´ ¿ µ

Ù Ò Ó

M × Ñ Ù Ý Ö Ò Ý Ð Ø Ð × Ñ Ù Ý Ò Ö Ø ¸ × Ø Ù Ö Þ × Ö Ù Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ó Ò Ó Ó

F c =µemg º

Ë Ð Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò × Ù Ô Ö × Ø Ú Ð Ó Ö Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ñ × × × × Ô Ð Þ Ò Ù Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó

Ð Ó Ø Ö Ý Ð Ö Ò Ø Ó Ñ × Ù Ú Ð Ó Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ó Ñ Ù Ð Ó F r = µdmg º Ä × Ù Ó Ò × Ð ×

Ñ × × × Ó Ò Ó Ö

ma1 = F − µdmg

M a2 = µdmg´ µ

½



Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð × Ð Ö Ó Ò × º

a1 =F − µdmg

m

a2 =µdmg

M ´ µ

È Ö Ó Ð Ñ ¾ Ë Ó Ö Ù Ò Ù Ñ × M Ý Ò Ù Ð Ó α Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Õ Ù Ô Ù

× Ð Þ Ö × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

mº Ë Ô Ù Ó Ò × ¹

Ö Ö Õ Ù Ð Ó × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ð Ù Ý Ð Ù Ö Ô Ó × Ó Ò × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º Ø Ö Ñ Ò Ò × Ð ×

Ð Ö Ó Ò × Ð Ù Ö Ô Ó Ý Ð Ù º

Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ö Ñ Õ Ù Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ø Ð

X Ý Ò Ð Ú Ö Ø Ð

Ð

Y ¸ Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ù Ö Ò × Ø Ô Ð Ò Ó ¸ Ò Ó × × Ô Ö Ó Ù Ô Ñ Ó × Ð

Z º Ä Ù × Ø

Ù Ó Ö Ñ Õ Ù Ù Ò Ó Ð Ñ × ¸ Ð Ù × × Ô Ð Þ Ð Ö º

Ë Ó Ö Ð Ñ ×

m Ø Ò Ó × Ù Ö Þ × ¸ × Ù Ô × Ó p = (0,−mg)

Ý Ð Ò Ó Ö Ñ Ð n = n(− sen α, cos α)º Ë Ó Ö

Ð Ù Ø Ò Ø Ö × Ù Ö Þ × ¸ Ð Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ð Ó

N = (0, N ) Ð Ô × Ó

P = (0,−M g)Ý Ð Ö Ò Ð

Ò Ó Ö Ñ Ð Õ Ù Ð Ñ × Ý Õ Ù Ú Ð

N = −n = n(sen α,− cos α)º Ä × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ò

Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó

max = −n sen α

may = −mg + n cos α

M Ax = n sen α

M Ay = N −M g − n cos α´ µ

Ó Ò

a = (ax, ay) × Ð Ð Ö Ò Ð Ñ × Ý

A = (Ax, Ay)Ð Ð Ù º Ò × Ø × Ù Ø Ö Ó

Ù Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó × × × Ò Ò Ø ×

ax, ay, Ax, Ay, n , N º Æ × Ø Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ó × Ù Ó Ò × Ñ × º

× Ø × Ô Ö Ó Ú Ò Ò Ð × Ð Ù Ö × Ò Ñ Ø × Õ Ù × Ó Ò Õ Ù Ð Ù Ò × Ù Ò Ò × Ð Ú Ò Ø Ð × Ù Ð Ó Ý ¸

Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸

Ay = 0Ý Õ Ù Ð Ñ × Ô Ö Ñ Ò Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó º × Ø Ð Ø Ñ

Ó Ò Ò × Ô Ù Ü Ô Ö × Ö ×

y

x−X = tan α → y = tan α(x−X )

´ µ

Ó Ò

x, y × Ð Ô Ó × Ò Ð Ñ × Ý

X × Ð Ô Ó × Ò Ð Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ù º Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×

Ð Ö Ó Ò × ¸ × Ø Ö × Ø Ö Ò × × Ö ´ Ö Ú Ò Ó Ó × Ú × Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó µ Ó Ñ Ó

ay = tan α(ax −Ax)´ µ

È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × Ù Ó Ò × Ö × Ó Ð Ú Ö × Ó Ò

max = −n sen α

may = −mg + n cos α

M Ax = n sen α

0 = N −M g − n cos α

ay = tan α(ax −Ax)´ µ

Ù Ý × Ó Ð Ù Ò ×

n =mg cos α

sen 2α(1 + m/M ) + cos2 α

ax = −g sen α cos α

sen 2α(1 + m/M ) + cos2 α

ay = −g +g cos2 α

sen2

α(1 + m/M ) + cos2

αAx =

mg sen α cos α

sen 2α(M + m) + M cos2 α

N = M g +mg cos2 α

sen 2α(1 + m/M ) + cos2 α´ ½ ¼ µ

¾



È Ù Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Õ Ù Ù Ò Ó

M → ∞ × Ø × Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ð Ù Ò Ñ × Ý Ò Ó Ô Ó Ö Ù Ò

Ô Ò Ò Ø Ò Ù Ð Ó

α× Ò Ö Ò ´ Ó Ñ Ô Ö Ð Ó µ

È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ò Ò Ð Ó Ö Ù Ò Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ù Ö

h × Ô Ö Ù Ò Ð Ò

Ö Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó

v0 º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ö Ò Ó Ò Ð Ö Ù Ò

Ù Ö Þ Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð Ð Ú Ð Ó ¸ × Ô µ Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ð ¸

µ Ð × Ó Ð Ù Ò Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ¸ µ Ð Ñ Ü Ñ Ó Ð Ò Õ Ù Ô Ù Ø Ò Ö Ð

Ò µ Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ð Ð Ò Ð Ð Ö Ð × Ù Ð Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò

µ Ð Ñ Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ó Ö Ò × Ø Ð Ô Ð Ò Ø Ð Ó ¸ Ó Ò Ð Ð ×

x Ò

Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ð Ð ×

z Ò Ð Ú Ö Ø Ð º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ó Ð × Ö

r(0) = (0, 0, h)Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù × Ù Ú Ð Ó Ò Ð × Ö v(0) = (v0, 0, 0)

Ä × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ò Ó × Õ Ù

mr = F Ó Ò r × Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ð Ð Ý F ×

Ð × Ù Ñ Ð × Ù Ö Þ × Õ Ù Ø Ò × Ó Ö Ð Ð º Ò × Ø × Ó Ð × Ù Ö Þ × × Ó Ò

F = Fg + Fr Ó Ò

Fg = (0, 0,−mg)Fg = −α(vx, vy, vz)

´ ½ ½ µ

Ä Ù Ö Þ Ð Ö Ú Ú Ó Ò Ð Ö Ò

z¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ×

Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð Ð Ú Ð Ó Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð

αÝ Ø Ò × Ò Ø Ó Ó Ô Ù × Ø Ó Ð Ú Ð Ó

Ý Õ Ù Ö Ò Ð Ó Ð º

Ä Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ¸

mx = −αvx

my = 0

mz = −mg − αvz ´ ½ ¾ µ

µ Î Ñ Ó × Õ Ù Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ô Ö × Ó Ô Ð ¸ × Ö ¸ Ò Ó Ô Ò Ú Ö Ð × Ð × Ó Ø Ö ×

Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ô Ó Ñ Ó × Ö × Ó Ð Ú Ö Ù Ò Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ò Ö Ò Ô Ò Ò Ø º Î Ñ Ó ×

Ð Ô Ö Ñ Ö Ù Ò ¸ Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ñ Ó

mvx = −αvx ´ ½ ¿ µ

× Ø Ù Ò × Ð Ø Ô Ó

v = −γv¸ Ó Ò

γ = α/m Ù Ý × Ó Ð Ù Ò × Ù Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð Ð Ø Ô Ó

v(t) =exp{−γt}v(0)

Ó Ñ Ó Ô Ù Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Ð Ö Ú Ö × Ø Ù Ò Ò ¸ Ý Ð Ú Ö Õ Ù Ô Ö

t = 0 v(t) = v(0)

Ó Ñ Ó × Ö º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù

vx(t) = exp−α

mt v0 ´ ½ µ

× Ø Ù Ò ¸ × Ù Ú Þ ¸ Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø

x Ð Ô Ó × Ò Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó ¸

x(t)Ý Õ Ù × Ô Ù Ò Ø Ò Ö Ó Ñ Ó Ð × Ù Ò Ø Ù Ò Ö Ò Ð

x(t) = exp−

α

mt

v0 ´ ½ µ

Á Ò Ø Ö Ò Ó × Ø Ù Ò

t = 0

t = t¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×

t0

dt′x(t′) =

t0

dt′ exp−

α

mt

v0

x(t)− x(0) = −α

m

v0 exp−α

m

t− 1 ´ ½ µ

Ó Ò Ñ Ó × Ô Ð Ó Ð Ö Ð Ö Ö Ó Û Ò Ð Þ Õ Ù Ö Ð Ù Ò Ý Ð Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ð Ð

Ü Ô Ó Ò Ò Ð ´ Õ Ù × Ð Ð Ñ × Ñ ¸ Ó Ò Ø Ó Ö × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ó × µ º È Ó Ñ Ó × × Ö Ö × Ø × Ó Ð Ù Ò ×

x(t) = x(0) +α

mv0

1− exp

−

α

mt

´ ½ µ

¿



Ó Ò Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø

x Ð Ð Ô Ò Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ó Ñ Ó Ð Ú Ð Ó

Ò Ð º È Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ó Ö Ò Ó × Ð Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

x(0) = 0º

È × Ñ Ó × Ö × Ó Ð Ú Ö Ó Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø y Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ð º Ä × Ó Ð Ù Ò Ð Ù Ò

Ö Ò Ð

my = 0 × ¸ × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø

y(t) = y(0) + vy(0)t¸ Ó Ñ Ó Ô Ù Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Ð Ö Ú Ö Ó × Ú ×

Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ Ý × Ù Ö Ö × Õ Ù Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ó × Ò Ó Ñ Ó Ð Ú Ð Ó Ò Ð × Ó Ò

y(0)Ý

vy(0)

Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º Ó Ñ Ó Ò × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ

y(0) = 0Ý

vy(0) = 0 Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ×

y(t) = 0 × Ö Ð

Ð × Ñ Ù Ú × Ñ Ô Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó

y = 0 Ó Ñ Ó × Ô Ö Ö º

Ä Ð Ø Ñ Ù Ò Ö Ò Ð Ö × Ó Ð Ú Ö × Ð Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø

z¸ × Ö

mvz = −mg − αvz ´ ½ µ

Ë Ò Ñ Ó ×

v′z = vz + mg/α × Ø Ù Ò Ú Ò

mv′z = −αv′z ´ ½ µ

Õ Ù Ø Ò × Ó Ð Ù Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð

v′z(t) = exp{−α/mt}v′z(0)º × Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð Ó Ø Ò Ñ Ó ×

vz(t) =gm

αexp{−

α

m

t} − 1 + exp{−α

m

t}vz(0)´ ¾ ¼ µ

Ò Ò Ù × Ø Ö Ó × Ó ¸ Ð Ó Ò Ò Ò Ð ×

vz(0) = 0º Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø

z Ð Ð × Ó Ø Ò

Ó Ò × Ö Ö × Ø Ù Ò Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð

z(t) =gm

α

exp{−

α

mt} − 1

´ ¾ ½ µ

Á Ò Ø Ö Ò Ó Ñ Ó × Ñ Ñ Ö Ó × Ò Ø Ö Ð Ó × Ø Ñ Ô Ó ×

0, tØ Ò Ö Ñ Ó ×

t0

d

dtz(t′)dt′ =

t0

gm

α

exp{−

α

mt} − 1

dt′

z(t)− z(0) = −gm2

α2exp{−

α

m

t} − 1 −gm

α

t´ ¾ ¾ µ

Ó Ñ Ó

z(0) = hÔ Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Ð Ù Ð

z(t) = 0Õ Ù × Ù Ò Ó Ð Ð Ð Ó Ò Ó

Ð Ò Ø Ð Ó º × Ø Ñ Ô Ó × Ð × Ó Ð Ù Ò Ð Ù Ò

hα2

gm2+ 1 = exp{−

α

mt}+

α

mt

´ ¾ ¿ µ

× Ø × Ù Ò Ù Ò Ø Ö × Ò Ò Ø Ð Ó Ö Ñ

e−x−x = yÕ Ù × Ö Ö × Ù Ð Ø Ò Ò Ö Ð Ô Ó Ö Ñ Ø Ó Ó ×

Ò Ù Ñ Ö Ó × º Ø Ó × Ó Ö Ñ × ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù × Ñ Ó × Ð × Ó Ð Ù Ò

× Ø Ù Ò Ý Ú Ð

tcaida º Ò × Ø Ø Ñ Ô Ó ¸ Ð Ð Ö Ö Ó Ö Ö Ó Ù Ò × Ø Ò

x(tcaida) =

α

m tcaidav0 α

m tcaida −

hα2

gm2

´ ¾ µ

× Ø × Ð Ð Ò Ñ Ü Ñ Ó Ð Ð º

È Ö Ó Ð Ñ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Õ Ù Ó Ò Ù Ò Ù Ó Õ Ù Ö Ó Ø Ú Ð Ó

Ó Ò × Ø Ò Ø º

Ë Ó Ð Ù Ò Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ð Õ Ù Ó × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S ′

× Ó Ð Ö Ó Ð Ù Ó Ý Õ Ù Ö Ó Ø Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò ´ Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø µ Ò Ö Ð Ð

Ì Ö Ö º Ð Ñ Ó × × Ø × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S ′Ò Ó Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Õ Ù × Ù

z × Ø Ð Ó Ð Ö Ó Ð

Ö Ó Ø Ò Ý × Ù Ó Ö Ò × Ø Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ð Õ Ù Ó º

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ô Ó Ö Ò Ô Õ Ù Ð Õ Ù Ó ¸ Ñ ×

mÕ Ù × Ø Ò Ð × Ù Ô Ö

Ð Ð Õ Ù Ó º × Ø Ô Ó Ö Ò × Ø × Ó Ñ Ø Ú Ö × Ù Ö Þ × × Ù Ô Ö Ó Ô Ó Ô × Ó mg ¸ Ð Ð Ö Ò Ò Ø Ö Ù

Õ Ù S ′ × Ò Ó Ò Ö Ð ¸ mω×(ω×r) Ó Ò r × Ð Ô Ó × Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò S ′ Ý ¸ Ò Ð Ñ Ò Ø

Ð Ù Ö Þ Ô Ö × Ò P Ð Ö × Ø Ó Ð Ù Ó Ý Õ Ù Ñ Ô Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ù Ó Ò Ö Ô Ó × Ó Ò

Ð × Ù Ô Ö × Ñ Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ó º Ä Ó Ö Ñ Ù Ò Ó Ò Ð × Ø Ù Ö Þ Ô Ö × Ò Ò Ó Ð

Ó Ò Ó Ñ Ó × ¸ Ô Ö Ó × × Ñ Ó × Õ Ù × × Ñ Ô Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö Ð Ð Õ Ù Ó º



È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø ×

y

m

ω

x

Ë Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ö Ø Ø Ö Ò × Ú Ö × Ð Ð × × Ø Ñ Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ô Ð Ò Ó

x, z¸ Ð Ó Ö Ñ Ð × Ù Ô Ö

Ð Ð Õ Ù Ó × Ù Ò Ù Ö Ú Ô Ó Ö Ð Ù Ò

z(x)º Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó

x Ó ¸ Ð Ù Ö Ú Ø Ò Ô Ò Ò Ø

Ô Ó Ö Ð Ö Ú

z′(x) Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ò Ù Ð Ó

αÕ Ù Ó Ö Ñ Ð Ð Ò Ø Ò Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð

× Ø Ô Ó Ö

tan α = z′(x)º Ó Ñ Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ó × Ñ Ù Ú ¸ Ó Ù Ö Ö Ö Õ Ù mg + mω × (ω ×

r) + P = 0º Ä × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × × Ø Ó × Ú Ø Ó Ö × × Ó Ò

mg = (0, 0,−mg) mω × (ω × r) = (ω2x, 0, 0)Ý

P = (−P sen α, 0, P cos α) Ó Ò Ð Ó Ò Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ú Ò

P sen α = mω2x

P cos α = mg´ ¾ µ

Ú Ò Ó Ñ × Ù Ó Ò × Ó Ø Ò Ñ Ó ×

tan α = z′(x) =ω2

gx

´ ¾ µ

× Ø × Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð Ù Ý × Ó Ð Ù Ò × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø

z(x) =ω2

2gx2 + x0 ´ ¾ µ

Ó Ñ Ó Ñ Ó × × Ù Ô Ù × Ø Ó Õ Ù Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × × Ø Ò Ð × Ù Ô Ö ¸

x0 = 0º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ó Ö Ñ

Ð × Ò Ø Ö Ò × Ú Ö × Ð Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Õ Ù Ó Õ Ù Ö Ó Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð º Ä × Ù Ô Ö Ñ × Ñ

× Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ò º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ú Ò × × Ô Ð Þ × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ù Ò Ð Ø Ù Ö Ý Ú Ð Ó

´ × Ô Ñ Ò Ø × Ù Ñ Ù Ð Ó µ Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ù × Ò Ò Ò Ò Ø Ô Ó Ó Ö Ö Ò Ø × Ö º

Ë Ù × Ñ Ó Ø Ó Ö × × Ð Ó Ö Ò Ù Ö Þ × Ú Ö Ø Ð × Ñ Ò Ö Õ Ù Ô Ö Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ð Ð Ø Ù Ö

Ó Ò × Ø Ò Ø º × Ø Ñ Ó Ó ¸ Ð Ú Ò Ú Ø Ó Ó Ð Ó Ö Ø Ó Õ Ù Ô Ù Ö º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ô × Ö

× Ø Ó ¸ Ð Ú Ò × Ö Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ù Ð Ö Ú × Ø × Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ë Ð Ø Ö Ö Ò Ó Ö Ö ¸ Ð Ú Ò × Ù Ö Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ñ × Ö Ø Ô Ó × Ð Ý Õ Ù Ò Ó × Ò Õ Ù

Ð × Ù Ð Ø Ù Ö × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö × Ù Ð Ø Ù Ö × Ñ Ô Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ö Ö Ù Ò

Ù Ö Þ Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ö Ö ´ Ý Õ Ù × Ò Ó × Ù Ö Ò Ð Ò Ö Ø Ý × Ð Ö Ð

Ø Ö Ö µ º Ð Ú Ò Ò × Ø × Ó Ø Ö Þ Ö Ù Ò Ö Ù Ð Ó Ù Ý Ó Ò Ø Ö Ó × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ö Ö º

Ó Ñ Ó Ð Ø Ö Ö × Ñ Ù Ú ¸ Ñ Ó × Ò Ð Þ Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù × Ò Ó Ð Ù Ò Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ð

× × Ø Ñ Ò Ó Ò Ö Ð Ð Ì Ö Ö ¸ Õ Ù ×

ma′ = RFng + mg′efectiva −m2ω′ × v′ ´ ¾ µ

Õ Ù

a′ × Ð Ð Ö Ò Ð Ú Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ó Ò Ö Ð Ò Ð × Ù Ô Ö Ð

Ø Ö Ö ¸

g′efectiva × Ð Ö Ú Ø Ú ´ Ö × Ù Ð Ø Ó Ð Ó Ñ Ò Ò Ð Ö Ú Ö Ð Ý Ð Ù Ö Þ

Ò Ø Ö Ù µ ¸

Fng × Ð Ù Ö Þ Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Õ Ù × Ø Ø Ù Ò Ó × Ó Ö Ð Ú Ò Ý

RFng × Ó Ò



Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ù Ö Þ Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ó Ø Ò Ø Ð Ø Ö Ö º Ò Ð Ñ Ò Ø Ð

Ð Ø Ñ Ó Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ù Ö Þ Ó Ö Ó Ð × ¸ Ù Ý Ü Ô Ö × Ò Ü Ô Ð Ø × Ø Ô Ó Ö Ò

−2ω′ × v′ = 2ωT

(v′y sen λ− v′z cos λ)e′x − v′x sen λe′y + v′x cos λe′z

Ó Ñ Ó Ò Ó × Ò Õ Ù Ð Ú Ò Ú Ù Ð Ð Ø Ù Ö Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ô × Ö Õ Ù a′z = 0,v′z = 0

º Ä Ù Ö Þ

Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó × Ó Ð Ñ Ô Ù Ð Ó × Ñ Ó Ø Ó Ö × Ð Ú Ò Õ Ù × Ù Ö Ò Õ Ù × Ø × Ñ Ô Ö

Ð Ø Ù Ö Ó Ò × Ø Ò Ø º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô × Ö Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ñ Ô Ù Ð Ó × Ñ Ó Ø Ó Ö ×

Fng Ò Ð Ù Ð Õ Ù Ö

Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ú Ö Ø Ð Ð Ú Ò Ý Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ð Ù Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó

x, y´ × Ô Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ö Ö Ó Ö ×

Ó × Ð Ù Ö Ú Ø Ù Ö Ð Ø Ö Ö µ º Ä Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò × Ô Ð Ò Ó ×

a′ = 2ωT sen λ

v′ye′

x − v′xe′

y

´ ¾ µ

× Ö

v′x = 2ωT sen λv′y

v′y = −2ωT sen λv′x ´ ¿ ¼ µ

× Ø × Ù Ó Ò × Ó Ò Ò Ó Ò Ð × Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ Ó Ú Ò Ó × Ò Ô Ö × Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ó

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ú Ò × Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ù Ð Ö º

È Ö Ó Ð Ñ × Ú Ò Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ú Ö Ø Ð

Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S ′ Ò Ó Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö Ó Ò Ð

Z ′ Ò Ð Ö Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ö Ö ¸ Ð

Y ′ Ð Æ Ó Ö Ø Ý Ð

X ′ Ð × Ø ¸ Ð Ù Ð Ö

Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ð Ö Ð ´

Z ′µ º × Ø Ñ Ö Ó Ò Ù Ð Ó

Ò Ð × Ù × Í × Ù ´ Ì Ö Ö Ù Ó ¸ Ö Ò Ø Ò µ ¸ È Ö × Ý Ò Å Ð Ó ´ Ù Ò

Ù Ø Ó Ö Ð µ º Ì Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ó Ñ Ó Ø Ö Ö × Ø Ö Ð Ú Ð Ó Ö R = 6370 Ñ ωT = 7,29× 10−5×

−1Ý

Ó Ñ Ó Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ð Ö Ú Ø Ö Ö × Ø Ö

g = 9, 81Ñ » ×

2º

Ý Ù Ä Ø Ø Ù Í × Ù −54,8◦Ë ¸ È Ö ×

48,86◦Æ Ý Å Ð Ó

3,75◦Æ º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ä Ð Ö Ò Ø Ú × Ò Ó Ñ Ó

gefectiva = g− ω × (ω ×R)´ ¿ ½ µ

Ò Ð Ñ × Ö Ó Æ Ó Ö Ø Ø Ò Ñ Ó ×

gN efectiva = −ω2T R cos λ sen λe′y + (ω2

T R cos2 λ− g)e′z ´ ¿ ¾ µ

Ò Ð Ñ × Ö Ó Ë Ù Ö Ø Ò Ñ Ó ×

gS efectiva = ω2T R cos λ sen λe′y + (ω2

T R cos2 λ− g)e′z ´ ¿ ¿ µ

Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ð Ö Ð

Z ′× Ò Ó Ò

tan α = gy′

efectiva

gz′

efectiva

´ ¿ µ

Ä Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø

Z ′ Ð Ö Ú Ø Ú Õ Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö ×

Ñ Ü Ñ Ò Ð Ó × Ô Ó Ð Ó × Ý Ñ Ò Ñ Ò Ð Ù Ó Ö º

Ò Ð Ñ × Ö Ó Æ Ó Ö Ø Ø Ò Ñ Ó ×

tan αN =−ω2

T R cos λ sen λ

ω2T R cos2 λ− g

´ ¿ µ

Ò Ð Ñ × Ö Ó Ë Ù Ö Ø Ò Ñ Ó ×

tan αS =ω2T R cos λ sen λ

ω2T R cos

2

λ− g

´ ¿ µ

Ó Ò Ó Ó × Ð Ó × Ø Ó × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ñ Ó ×

È Ö È Ö ×

αN = 0,0981099◦

È Ö Å Ð Ó

αN = 0,0129482◦

È Ö Í × Ù

αS = −0,0932381◦



¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Ù Ö × Ñ Ù × Ø Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ó × Ð Ó Õ Ù × Ù Ò Ó × Ô Ó Ö Ù Ò

Ù Ö Ò Ü Ø Ò × Ð Ý Ñ × × Ô Ö Ð º Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ó × Ó ×

Ð Ó Õ Ù × Ý Ò Ø Ö Ð Ñ ×

m1 Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ×

µº ú Ù Ð × Ð Ù Ö Þ Ô Ð × Ó Ö

m1 Ô Ö Õ Ù × Ñ Ù Ú Ó Ò Ú Ð Ó

v0 Ó Ò × Ø Ò Ø

Vom1

m2

Ò Ø ×

FT

Fr

Fr’

P1=m1g

N

N’

Fr’

N’

P1=m1g

T


Ù Ö ½

È Ö Ó Ð Ñ Ë Ó Ö Ù Ò Ð Ó Õ Ù Ñ ×

M × Ø Ù Ó × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ø Ù Ò

Ù Ö Þ

F Õ Ù Ù Ý Ö Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó

θ Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð ´ Ú Ö Ù Ö µ º Ð Ó Ò Ø

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ×

µº µ Ñ Ø Ò Ó Ð × Ó Ò Ð Õ Ù

F >> M g¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ò Ù Ð Ó

θÑ Ü Ñ Ó Ô Ö Ð Ù Ð

F Ò Ó Ô Ù Ö Õ Ù × Ð Ð Ð Ó Õ Ù Ù Ð Õ Ù Ö Õ Ù × × Ù

Ñ Ò Ø Ù º µ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ö Ð Ò F/Mg Ò Ù Ò Ò θ Ý µ Ø Ð Õ Ù Ð Ð Ó Õ Ù Ñ Ô

× Ð Þ Ö º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ö Ð Ò × Ö Ù Ð Ö × Ô Ù × Ø Ð Ô Ö Ø Ó µ Ò Ð Ð Ñ Ø

F >> Mgº

M

θF

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

m× Ù Ù Ò Ð Ý Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

x(t) = a cos kt,y(t) =b sen kt

º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ù Ö Þ

F Õ Ù Ô Ö Ó Ú Ó × Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ô Ò × Ð Ó Ð Ô Ó × Ò

Ð Ù Ö Ô Ó º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ × m Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø × Ù Ò Ð Ø Ù Ö h Ò Ù Ò Ñ Ó

Ú × Ó × Ó ¸ Ø Ð Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð × Ù Ú Ð Ó º Ð Ñ × Ñ Ó

Ø Ñ Ô Ó × Ð Ò Þ × Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ö Ö Ù Ò × Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ù Ð

Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ú Ð Ó

v× Ò Ð Ú Ö Ø Ð º Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ò

Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ð × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × º È Ù × Ö Ý Ù

dx1+x

= ln(1 + x).

È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

mÔ Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó Ý ¸ Ó Ð Ò Ð

Ö Ú ¸ Ø Ö Ú × Ù Ò Ñ Ó Ú × Ó × Ó Õ Ù Ó Ô Ó Ò Ù Ò Ö × × Ø Ò Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð Ð Ù Ö Ó

Ð Ú Ð Ó ´ Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð

β µ º Ë Ô µ × Ö Ö Ð Ù Ò Ð

Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð µ × Ò Ö × Ó Ð Ú Ö Ð Ù Ò ¸ ú Ô Ò × Î º Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð ¸

× Ô Ù × Ù Ò Ø Ñ Ô Ó Ñ Ù Ý Ð Ö Ó ¸ × Ô Ö Ö Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ö × Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ò Ñ Ò Ø

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Ä × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ö e Ð Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð

Ö Ñ Ò Ó Ý Ò Ô Ö × Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò

r + ω20r = −

e

mcr×B



Ð Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ó

B Ô Ù Ò Ø Ò Ð Ö Ò Ð

Z º Ë Ù Ô Ò × Õ Ù

ωL = eB2mc

≪ ω0 º

Ò Ð Þ Ö Õ Ù Ø Ô Ó × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × × Ó Ò Ô Ó × Ð × Ð Ó Ö Ñ

r(t) = r0e−iωtÝ Ù Ð × × Ó Ò × Ù ×

Ö Ù Ò × ω º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Í Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ù Ð Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ô Ó × Ó º ú É Ù Ò Ù Ð Ó

Ó Ö Ñ Ö Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð Ù Ò Ó Ð Ð Ö Ò Ð Ó ¸ Ñ Ó Ú Ò Ó × Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸

×

100 cm/s2

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ð Ó Õ Ù Ô Ö Ñ Ò Ò Ö Ô Ó × Ó Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ñ × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ö Ù Ó ×

Õ Ù Ö

20Ö Ô Ñ º Ð Ð Ó Õ Ù × Ø

150 cm Ð Ö Ó Ø Ò º ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ð Ó Ò Ø

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ú Ñ Ó Ô Ó Ö Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ñ Ü Ñ Ó



È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ì Ñ ¿ Ó Ñ Ø Ö Ð Ó × × × Ø Ñ ×

Ô Ö Ø Ù Ð ×

¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾

½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ó × Ô Ö Ø Ù Ð ×

Ö Ò Ø Ñ × ¸ Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ø Õ Ù Ð × Ù Ò ¸ Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð

Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ü Ô Ö × Ö Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ò Ð Ñ × Ö Ù º

Ë Ó Ð Ù Ò Ê × Ù Ð Ø Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ø Ò × Ù Ó Ö Ò Ò Ð

Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × Ó Ö Ñ Õ Ù × Ù

Y × Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ö Ø Õ Ù Ù Ò Ð × Ñ × × Ý

Ð

X × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö ´ Ð

Z × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ó × µ º Ë Ò

r1, r2 Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ù Ò

Ð × Ñ × × ¸ × Ù Ô Ù × Ø × Ô Ù Ò Ø Ù Ð × ¸ Ó Ò Ö × Ô Ø Ó × Ø × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S º Ä Ô Ó × Ò Ð Ò Ø Ö Ó

Ñ × × ×

Rcm =m1r1 + m2r2

m1 + m2

´ ½ µ

Õ Ù ¸ Ô Ó Ö Ò Ò ¸ Ú Ð

Rcm = 0º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ó Ñ Ó

r1 = (0, r1, 0) r2 = (0, r2, 0)Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

r1 = −m2

m1

r2 ´ ¾ µ

Ë Ò Ñ Ó ×

r Ó Ñ Ó Ð × Ø Ò Ò Ø Ö Ñ × Ñ × × ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

r = |r1| + |r2| Ý ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ò

Ø Ö Ñ Ò Ó × × Ø × Ø Ò Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

|r1| =m2

m1 + m2

r

|r2| =m1

m1 + m2

r´ ¿ µ

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ó × Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ð

I xx Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö

Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Õ Ù Ø Ò Ô Ö × Ñ Ò Ø × Ù X Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó º Ó Ñ Ó

Ý Ñ Ó × Ð Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ô Ö Õ Ù × Ù

X × Ø Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó ¸ × Ð Ó Ø Ò Ñ Ó ×

Õ Ù Ð Ù Ð Ö

I xx =

i mi(y2i + z2i )Õ Ù ×

I xx = m1r21

+ m2r22

=m1m2

m1 + m2

r2 = µr2´ µ

× Ò Ó µ Ð Ñ × Ö Ù º

È Ö Ó Ð Ñ ¾ Ù Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ð × Ò Ø × × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ò Ð Ó × Ú Ö Ø × Ù Ò Ù Ö Ó

Ð Ó

aº Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S Ù Ý Ó × ×

x, y × Ø Ò

Ð Ó Ð Ö Ó Ð × Ó Ò Ð × Ý × Ù Ó Ö Ò × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ó º Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö

Ò Ö Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S ′ Ò Ð Õ Ù Ð Ó × ×

x, y× Ó Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö × Ð Ó ×

Ð Ó × Ð Ù Ö Ó º À Ð Ð Ö Ð Ó × × Ô Ö Ò Ô Ð × Ð × × Ø Ñ º

Ë Ó Ð Ù Ò

½



Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S Ð × Ñ × × Ø Ò Ò Ó Ó Ö Ò ×

r1 = a

0, 1√ 2

, 0

¸

r2 = a

1√ 2

, 0, 0

¸

r3 = a

0, − 1√ 2

, 0

¸ r4 = a− 1√

2, 0, 0

º Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×

I =

N i=1 mi(yi

2 + zi2) −

N i=1 mixiyi −

N i=1 mixizi

−N

i=1 miyixiN

i=1 mi(xi2 + zi

2) −N

i=1 miyizi

−N

i=1 mizixi −N

i=1 miziyiN

i=1 mi(xi2 + yi

2)

´ µ

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù

zi = 0Ý Õ Ù

xiyi = 0Ô Ö Ø Ó × Ð × Ñ × × ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ú Ò

× Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø

I =

N i=1 miyi

2 0 0

0

N i=1 mixi

2 0

0 0N

i=1 mi(xi2 + yi

2)

= ma2

1 0 0

0 1 0

0 0 2

´ µ

Ò Ð × × Ø Ñ

S ′¸ Ð × Ó Ó Ö Ò × Ð × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ó Ò

r1 = a1

2, 12

, 0

¸

r2 = a1

2,−1

2, 0

¸

r3 =a−1

2,−1

2, 0

¸ r4 = a−1

2, 12

, 0

º Ò × Ø × Ó ¸ Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ø Ó Ñ Ø Ñ Ò Ð Ó Ö Ñ

I = ma2

1 0 0

0 1 0

0 0 2

´ µ

Î Ñ Ó × Ô Ù × ¸ Õ Ù Ø Ò Ø Ó Ò Ð × × Ø Ñ

S Ó Ñ Ó Ò Ð

S ′ Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò Ð º Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×

× Ø Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ñ Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ý Ò

× Ô Ö Ò Ô Ð × Ð × × Ø Ñ º

È Ö Ó Ð Ñ ¿ Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò Ð Ô × Ó Ó Ñ Ó Ò Ó Ñ ×

M Ö × Ô Ø Ó

Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ù Ý Ó × × × Ø Ò Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó × × Ð Ð Ô × Ó º Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó

x,y,z Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Ô × Ó Ù Ñ Ô Ð

x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1

º Ë Ù Ô Ò × Õ Ù

a > b > cº

Ë Ó Ð Ù Ò À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ø × Ð Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó º É Ù Þ × Ù Ò

Ó Ö Ñ Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ö × Ð Ö Ð Ó × × Ð Ð Ô × Ó Ô Ö Ó Ò Ú Ö Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò

× Ö Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ó × Ð Ù Ð Ó × × Ó Ò Ñ Ù Ý × Ò Ð Ð Ó × º Ê × Ð Ö Ò × Ø × Ó × Ò ¸ × Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ö

Ñ Ó × Ú Ö Ð × Ò Ð × Ò Ø Ö Ð × Õ Ù Ò Ò Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö º Ä Ó × Ö Ú Ò × Ð × Ù Ò Ø

Ä Ù Ò Ð Ð Ô × Ó ×

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

´ µ

Ë Ò Ø Ö Ó Ù Ñ Ó × Ú Ö Ð ×

x1, y1, z1 Ò × Ù Ö Ó Ó Ò Ð × Ö Ð Ó Ò ×

x = ax1 ¸

y = by1 ¸

z = cz1 ¸

Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×

(x1, y1, z1) Ù Ñ Ô Ð Ò Õ Ù

x21

+ y21

+ z21

= 1´ µ

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó × Ø Ò Ò Ð × Ù Ô Ö Ù Ò × Ö Ö Ó Ù Ò º

Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ð Ô × Ó × Ð Ù Ð

V =

V

dxdydz = abc

V 1

dx1dy1dz1 ´ ½ ¼ µ

Õ Ù

V × Ð Ö Ò Ó Ù Ô Ô Ó Ö Ð Ð Ô × Ó ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù

V 1 × Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð × Ö Ö Ó Ù Ò º

Ä × Ù Ò Ö Ð Ò × Ð Ó Ö Ñ Ò Õ Ù × Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ð Ñ Ù Ð Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð º

¾



Ó Ñ Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ù Ò × Ö Ö Ó Ù Ò ×

4/3π¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ð Ô × Ó ×

V = 4/3πabcº

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Z Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ô × Ó ´ Ó Ò × ¹

Ö Ó Ó Ñ Ó Ò Ó µ ×

I zz = ρ

(x2

+ y2

)dxdydz =

M

V abc V 1(a

2

x2

1 + b2

y2

1)dx1dy1dz1´ ½ ½ µ

Æ × Ø Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ú Ð Ù Ö Ò Ø Ö Ð × Ð Ó Ö Ñ V 1

x21dx1dy1dz1 =

V 1

z21dx1dy1dz1 ´ ½ ¾ µ

È Ö Ð Ð Ó Ñ Ó × Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × × Ö × V 1

z21dx1dy1dz1 =

1

0

drr2 π0

dθ sen θ

2π

0

dφ(r cos θ)2

= 10 drr

2 π0 dθ sen θ

2π0 dφ(r cos θ)

2

=

1

0

drr4 π0

dθ sen θ cos2 θ

2π

0

dφ = 2π2

3

1

5=

4πa2

15´ ½ ¿ µ

È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ (a2x2

1+ b2y2

1)dx1dy1dz1 =

4π

15(a2 + b2)

´ ½ µ

Ý Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö

I zz = ρ V (x

2

+ y2

)dxdydz =

M

V abc V 1(a

2

x2

1 + b2

x2

2)dx1dy1dz1 =

1

5 M (a2

+ b2

)´ ½ µ

Ó Õ Ù × Ø Ò Ð × × Ô Ù × Ö Ô Ð Ó Ù Ð Õ Ù Ö ¸ Ð Ó × Ó Ø Ö Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ö × Ö Ò

I 1 = ρ

(z2 + y2)dv =

M

V abc

(c2x23 + b2x22)dx1dy1dz1 =

1

5M (b2 + c2)

I 2 = ρ

(z2 + x2)dv =

M

V abc

(c2x2

3+ a2x2

1)dx1dy1dz1 =

1

5M (a2 + c2)

´ ½ µ

Ä Ó × Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ò Ö Ð Ó Ö Ñ

I xy = −ρ V dxdydzxy

× Ð Ú Ö Õ Ù × Ò Ù Ð Ò Ô Ó Ö × Ñ Ø Ö

I xy = −ρ V xydxdydz = −ρabcab

V 1 x1y1dx1dy1dz1 = 0

´ ½ µ

Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ð × Ó Ö

x1 ¸ Ô Ó Ö Ú Ð Ó Ö

x1 Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ý Ó Ø Ö Ó Ú Ð Ó Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù

Ð Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ð º Ë Ò Ó × Ø Ó Ò Ú Ò Ó ¸ Ù Ø Ð Ó Ó Ö Ò × × Ö × Ô Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ö Ð Ó º

Î Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Õ Ù Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò Ð Ò Ð × × Ø Ñ × Ð Ó ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð × Ø Ó ×

× × Ó Ò × Ô Ö Ò Ô Ð × º

È Ö Ó Ð Ñ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ô Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ñ × Ø Ó Ø Ð

M

Ý Ð Ö Ó

aÝ Ò Ó

b Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù

Ò Ø Ö Ó Ñ × × º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð ¸ Õ Ù × Ø Ñ Ò × Ù Ò Ø Ö Ó

Ñ × × ´ Ó Ñ Ô Ö × µ Ý Ù Ý Ó × × × Ø Ò Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö ¸ Ó Ò Ð

Z Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð

Ô Ð º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Õ Ù Ò Ó × Ô Ò ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ð Ð Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ò Ð

I zz Ð Ø Ò × Ó Ö

Ò Ö º È Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ô Ð Ò Ó × Ø Ù Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó

X, Y Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×

¿



O−a/2

b/2

Y

X

a/2

−b/2

x

y dm

I xx =

y2dm I xy =

(−xy)dm I xz = 0

´ ½ µ

I yx = I xy I yy =

x2dm I yz = 0

´ ½ µ

I zx = I xz I zy = I yz I zz = (x2 + y2)dm´ ¾ ¼ µ

Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ô Ð × Ó Ñ Ó Ò Ý Ð Ò × Ñ × × Ù Ô Ö Ð ×

σ = M ab ¸ Ð Ñ Ó × Ù Ò

Ö Ò Ð Ñ × Ö Ø Ö Ö Ó Ö Ø Ò Ù Ð Ö

dm Ð Ó ×

dxÝ

dy× Ø Ù Ó Ò Ù Ò × Ó Ó Ö Ò ×

(x, y)º

Ì Ò Ñ Ó × Õ Ù Ô Ó Ö Ó Ñ Ó Ò Ð Ô Ð × × Ø × Ö Õ Ù

dm = σdxdyº Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö

Ô Ó ×

I zz =

S

ρ2dm =

b/2−b/2

a/2−a/2

σρ2dx

dy =

b/2−b/2

a/2−a/2

σ(x2 + y2)dx

dy =

M

12(a2 + b2).

¾ ½ µ

È Ö Ó Ð Ñ Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ô Ð Ù Ö ¸ Ð Ý

Ö ¸ Ð Ó

aÝ Ñ ×

M Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù

Ò Ø Ö Ó ×

I z = M a2/6 Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ö × Ô Ø Ó ´ µ Í Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö

Ð Ó Ò Ð º ´ µ Í Ò Ô Ö Ð Ð Ó Ù Ò Ð Ó Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ë Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò × Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ó Ò Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð ¸ Ð

z× Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ô Ð Ý Ð Ó × ×

x

yÔ Ö Ð Ð Ó × Ð Ó × Ð Ó × ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó × × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö ×

Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

I z = I x + I y = 2I x

Ó Ò Ñ Ó × Ø Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù

I x = I yº È Ö Ó Ù Ð Ñ Ò Ø × Ô Ù Ò Ø Ó Ñ Ö Ð Ó × ×

x

y Ð Ó Ð Ö Ó

Ð × Ó Ò Ð × Ý Ó Ñ Ó Ò × Ø × Ó Ø Ñ Ò × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù

I x = I y Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó º

È Ö Ó Ð Ñ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ù Ñ ×

mÝ Ö Ó ×

R1 Ý

R2 Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ø Ò Ò Ø × Ù × Ù Ô Ö º Ó Ò × Ö

R1 > R2 º



Ë Ó Ð Ù Ò

È Ö Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ö Ô Ó × Ù Ó × ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò

Ù Ö Ô Ó Õ Ù Ò Ó Ù Ö Ù Ó Ý Ö × Ø Ö Ð Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ù Ý Ó Ö Ñ × Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð

Ð Ù Ó º × Ø Ó × × Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ø Ú Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ð × Ð

Ù Ö Ô Ó º

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ñ Ø Ö Ó ×

I = mR2/5Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ö Ù ×

I =2

5(m1R2

1− m2R2

2) =

2

5m

R51− R5

2

R31− R3

2

Ó Ò

m1, R1 Ý

m2, R2 × Ó Ò Ð × Ñ × × » Ö Ó × Ð × Ö Ñ Þ Ö Ó Ñ Ý Ó Ö Ý Ð Ù Ó Ò Ø Ö Ò Ó ¸

Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º Ô Ð Ò Ó Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ë Ø Ò Ö ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Õ Ù × Ø Ò Ò Ø

Ð × Ù Ô Ö ×

I ′ = I + mR2

1=

2

5m

R51− R5

2

R31− R3

2

+ mR2

1

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × × Ø Ñ Ø Ö × Ô Ö Ø Ù Ð × Ù Ð Ñ × Ø Ò Ò Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ú Ø Ó Ö ×

Ô Ó × Ò

r1 = (b, 0, b) r2 = (b,b, −b) r3 = (−b,b, 0).

Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ý Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ö º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ë Ò Ó Ñ Ö Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ñ Ó

X 1, X 2, X 3 Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò

I 11 = i

mi(x2

i,2 + x2

i,3) = mb2 + m(2b2) + mb2 = 4mb2,

I 22 =i

mi(x2i,1 + x2i,3) = 5mb2,

I 33 =i

mi(x2i,1 + x2i,2) = 5mb2,

I 12 = I 21 = −i

mixi,1xi,2 = −m(b2) − m(−b2) = 0,

I 13 = I 31 = −i

mixi,1xi,3 = 0,

I 23 = I 32 = −i

mixi,2xi,3 = mb2,

´ ¾ ¾ µ

Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×

I = mb2

¼ ¼

¼ ½

¼ ½

Ä Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ö × Ó Ò Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò Ð × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ò Ð × × Ø Ñ

× Ô Ö Ò Ô Ð × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ó Ò Ð Þ Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ´ × Ö ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ù ×

Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ú Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × µ º Ë Ò Ð Ø Ó Ö Ñ × Ô Ø Ö Ð ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ñ Ó × Ó Ò × Ø Ö Ù Ö Ô Ö

Ð Ð Ó Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ö Þ

mb2

¹

λ¼ ¼

¼ ¹

λ½

¼ ½ ¹

λ



Õ Ù × Ö Ö Ó º Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ý Ð Ó Ù Ð Ñ Ó × Ö Ó Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó

(4 − λ)

(5 − λ)2 − 1

= 0´ ¾ ¿ µ

× Ø Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ø Ö Ö Ö Ó Ø Ò Ô Ó Ö × Ó Ð Ù Ó Ò ×

λ1 = 4 λ2 = 4 λ3 = 6Õ Ù Ò Ó × Ò Ö Ø Ñ Ò Ø

Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö º × Ø Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ö × Ù Ð Ø Ò × Ö Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò Ð × Ð

Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ò Ð × × Ø Ñ × Ô Ö Ò Ô Ð × º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ö

× Ö Ò

I 1 = 4mb2¸

I 2 = 4mb2¸

I 3 = 6mb2º Ð × Ö Ù Ð × Ó × Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ö

I 1 = I 2 ¸ Ð

Ô Ö Ò Ô Ð × Ó Ó

I 3 × Ö × Ñ Ø Ö º

¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ú Ö Ð Ð Ð

1 m Ð Ó Ò Ø Ù Ø Ò Ù Ò Ñ × × Ô Ö Ð º Ë

Ó Ð Ó Ò Ñ × × Ô Ù Ò Ø Ù Ð ×

1 kg Ù Ò ¸ × Ø Ù ×

0, 00 m

0, 25 m

0, 50 m

0, 75 m

Ý

1, 00 mÖ × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø Ù Ò Ó Ð Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð

× × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ú Ö Ð Ð Õ Ù Ô × Ø Ö Ú × Ð × Ù Ò

Ñ × º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ð Ú Ö Ð Ð º

È Ö Ó Ð Ñ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ù Ò Ú Ö Ð Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù

lÝ Ñ ×

mÕ Ù Ô Ú Ó Ø Ð Ö Ó Ö

Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ú Ö Ð Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ù × Ü Ø Ö Ñ Ó × º Ð Ù Ð Ö × Ù

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ö × Ô Ø Ó Ó º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ù Ð Ö × Ø Ö

Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ð Ñ × Ô Ö Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ù Ô Ù × Ø Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð

Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ù × Ù Ð Ð Ð Ú Ö Ð Ð º ´ Ä × Ø Ò × Ø Ô Ù Ò Ø Ó Ð

× Ù × Ô Ò × Ò × Ð Ð Ñ Ö Ó Ö Ó º µ

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ µ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ú Ö Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù

aÝ Ñ ×

m

Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ð Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º µ Ô Ö Ø Ö Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸

Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ð Ñ Ò Ð Ý Ù Ö Ð Ó

aÖ × Ô Ø Ó

Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò Ð Ò Ö Ó Ó Ñ Ó Ò Ó Ñ ×

M Ö × Ô Ø Ó

Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ù Ý Ó Ó Ö Ò × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ø Ò × Ù

z Ð Ó

Ð Ö Ó Ð Ð Ð Ò Ö Ó

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ó Ñ ×

mÝ Ö Ó

rÖ × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ñ × Ñ Ó Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó ×

I = 1/2 mr2¸ Ð Ù Ð Ö

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ó Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ð × Ó Ý Ø Ò Ò Ø

Ð Ñ × Ñ Ó º

m

r

x

y

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Ë Ò Ó × Ñ × × Ù Ð × Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ú Ö Ð Ð Ö Ñ × × Ô Ö Ð

Ý Ð Ó Ò Ø Ù

l¸ Õ Ù Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó

θ Ó Ò Ð

X × Ò × Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ò Ð Ù Ö º Ð

Ó Ö Ò Ñ Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò × Ø × Ø Ù Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ö Ð Ð º

´ µ Ð Ù Ð Ö Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ø Ò × Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ö Ö × Ð Ó × ×

X,Y.

´ µ Á Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ó × ×

X ′, Y ′.ú Ù Ð × × Ó Ò Ð Ó × × Ô Ö Ò Ô Ð × Ð × × Ø Ñ



m

m

X’

X

YY’

θ



È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ì Ñ Ò Ñ Ð Ó × × × Ø Ñ × Ô Ö Ø Ù Ð ×

½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ó × Ñ × ×

m1 Ý

m2 × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ð Ó Ò Ü Ø Ò × Ð Õ Ù Ô × Ø Ö Ú ×

Ù Ò Ô Ó Ð Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö Ð Þ Õ Ù Ö º Ä Ù ¸ Ò Ù Ð Ó

αÔ Ù × Ð Þ Ö × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ Ô Ö Ó Ý Ù Ò Ó Ò Ø

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ù Ý Ð Ñ ×

m2 Õ Ù × Ù Ð

µº Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ð Ò Ò Ø Ö

m1

Ý

m2 Ô Ö Õ Ù µ Ð Ù × × Ô Ð Ð Ö ¸ µ Ð Ù × × Ô Ð Ð

Þ Õ Ù Ö ¸ µ Ð Ù × Ø Ò Õ Ù Ð Ö Ó º

m1

m2

α

Ë Ó Ð Ù Ò

Ó Ñ Ó × Ó Ö Ð × × Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × Ò Ð Ö Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ö ¹

Þ Ó Ò Ø Ð Ð Ò Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú º × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù Ð Ù Ø Ò Õ Ù

Ñ Ó Ú Ö × Ò Ð × Ó Ò Ð Õ Ù Ð × Ó × Ñ × × × Ñ Ù Ú Ò º

Ë Ó Ö Ð Ñ ×

m2 Ø Ò Ù Ø Ö Ó Ù Ö Þ × Ð Ø Ò × Ò

T = T (− cos α, sen α, 0) Ð Ù Ö ¸ Ð

Ò Ó Ö Ñ Ð

N = N (sen α, cos α, 0) Ð × Ù Ô Ö Ð Ù ¸ × Ù Ô Ö Ó Ô Ó Ô × Ó

P = mg(0,−1, 0)Ý Ð

Ù Ö Þ Ö Ò Ff = ±µN (− cos α, sen α, 0)º Ò Ù Ò × × Ø Ñ × Ó Ò Ð

yÔ Ö Ô Ò Ù Ð Ö

Ð × Ù Ô Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý Ð

xÔ Ö Ð Ð Ó ¸ × Ø × Ù Ö Þ × Ø Ò Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ñ × × Ò Ð Ð × ¸ × Ô Ó Ö

T′ = −T (1, 0, 0) N′ = N (0, 1, 0) P′ = m2g(sen α,− cos α, 0)Ý F′

f = ±µN (1, 0, 0) Ó Ò Ð × Ò Ó

Ô Ó × Ø Ú Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð × Ó Ò Õ Ù Ð Ñ ×

m2 × Ø × Ù Ò Ó Ý Ð Ò Ø Ú Ó Ù Ò Ó ´ Ý Õ Ù

Ð Ö Ò × Ó Ô Ó Ò × Ñ Ô Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó µ º Ä Ù Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø × Ó Ö Ð Ñ ×

m2 × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸

F′ = T′ + N′ + P′ + F′

f = (T + m2g sen α ± µN,N −m2g cos α, 0)º Ó Ñ Ó × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ ×

m2

Ò Ó × Ñ Ù Ú Ò Ð Ö Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó ¸ × Ù Ö Õ Ù

N

−m2g cos α = 0

Ó Ò

N = m2 cos αº È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ × Ð Ô Ó Ð Ø Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ø Ò × Ò × Ö

Ù Ð Ð Ô × Ó Ð Ñ ×

m1 ¸

T = m1g¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ö × Ù Ð Ø Ò Ø

F′ Ð Ó

Ð Ö Ó Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ù ×

−m1g + m2g sen α±µm2g cos αº Ë × Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ô Ó × Ø Ú ¸ Ò Ø Ó Ò ×

Ð Ñ ×

m2 ´ × Ñ Ù Ú Ð Ö µ × × Ò Ø Ú ¸ × Ù º Ò Ð Ô Ö Ñ Ö × Ó Ù Ñ Ô Ð Ö ×

Õ Ù

−m1 + m2 sen α− µm2 cos α > 0 ´ ½ µ

È Ö Õ Ù

m2 × Ù Ù Ñ Ô Ð Ö × Õ Ù

−m1 + m2 sen α + µm2 cos α < 0´ ¾ µ

× Ö

m1

m2

< sen α− µ cos α (baja)

m1

m2

> sen α + µ cos α (sube)´ ¿ µ

½



Ù Ò Ó Ò Ó Ô × Ò Ù Ò Ó × Ò Ð Ó Ø Ö ¸ × Ö Ù Ò Ó

sen α− µ cos α < m1/m2 < sen α + µ cos α. ´ µ

Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ × Ò × Ù Ò Ý Ð × × Ø Ñ × Ø Ò Õ Ù Ð Ö Ó º

È Ö Ó Ð Ñ ¾ Ë × Ô Ö Ù Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ñ × m Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ð v0 Ý Ó Ö Ñ Ò Ó Ù Ò

Ò Ù Ð Ó

α Ó Ò Ð

OX º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ú Ø Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö L(t)

Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó

× Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ò

m, v0, αº

Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ó Ó Ö Ò × Ó Ò Ó Ö Ò Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ô Ö Ó ¸

x Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸

yÚ Ö Ø Ð Ý Ð

zÔ Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ó × º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ò × Ø × × Ø Ñ Ö Ö Ò ×

Ò Ó Ñ Ó L(t) = mr(t)× v(t) Ó Ò r(t)

× Ð Ô Ó × Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ò Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò

Ý v(t)× Ù Ú Ð Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ô Ó × Ò Ý Ú Ð Ó Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Ù Ò

Ø Ö Ó Ô Ö Ð Ó º Ó Ñ Ó × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ð Ö Ò × Ð Ú Ø Ó Ö Ó Ò × Ø Ò Ø a = (0,−g, 0)Ð Ú Ð Ó Ý

Ô Ó × Ò × Ø Ò × Ô Ó Ö

v(t) = (v0 cos α, v0 sen α−

gt, 0)

r(t) = (v0t cos α, v0t sen α− 1

2gt2)

´ µ

Î Ñ Ó × Õ Ù Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ø Ò Ð Ô Ð Ò Ó

x, yÝ ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ö Ò Ð Ö Ò

Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö

L(t) = m(xy − yx)ez = −1

2mgv0 cos αt2ez ´ µ

È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

m × Ø × Ó Ñ Ø Ð Ò Ó × Ù Ö Þ × Í Ò

Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð

F1 Ý Ù Ò Ù Ö Þ Ö Ò

F2 × Ô Ó Ö

F1 = f (r)r

r, F2 = −λv

Ó Ò

λ > 0Ý

v × Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ú Ø Ó Ö

r Ò Ð Ô Ó × Ò

Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × Ý Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ø Ò Ò Ð Ñ Ò Ø

Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö L0 Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ó Ó Ö Ò ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ð Ú Ø Ó Ö Ñ Ó ¹

Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ø Ñ Ô Ó Ô Ó × Ø Ö Ó Ö º Ý Ù È Ö Ö × Ó Ð Ú Ö Ð Ù Ò Ö Ò Ð

× Ö Ö Ð Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×

Lº

Ë Ó Ð Ù Ò

Ð Ú Ø Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ò Ó Ñ Ó

L = mr × vÝ × Ù Ö Ú × Ø

Ô Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð × Ù Ö Þ × Õ Ù Ø Ò × Ó Ö Ð Ð ¸

dL

dt= r× F ´ µ

Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó F = F1 + F2 ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×

dL

dt= −λr× v = − λ

mL ´ µ

× Ø × Ù Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ð Õ Ù ¸ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ¸ Ø Ò Ô Ó Ö × Ó Ð Ù Ò Ù Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð º

Ì Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ð Ú Ð Ó Ö Ò Ð Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ¸ Ð × Ó Ð Ù Ò ×

L = e−λt/mL0 ´ µ

È Ö Ó Ð Ñ Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ù Ð Ñ × × Ø Ò Ù Ò Ó × Ô Ó Ö Ù Ò Ð Ò Ð × Ô Ó

Ü Ø Ö Ó Ö ¸ Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ð Ö Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ò Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ó ¸ Ñ Ó × Ñ Ô Þ Ò Ø Ö Ô Ö Ô Ó Ö Ð Ð Ð Ó Ø Ö Ó × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ø Õ Ù Ö Ù Ò

× Ù × Ø Ò Ð Ñ Ø º ú Ò Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ò Ø Ó × Ù Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ë Ð Ð ×

¾



Ñ Ù Ý Ð Ö Ó ¸ ú É Ù Ú Ð Ó Ø Ò × Ø Ö Ó Ò Ù Ø ´ × Ù Ô Ù × Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ù Ð µ Ù Ò Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ò

Ð Ó Ø Ö Ó

Ë Ó Ð Ù Ò

Ð × × Ø Ñ Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð Ó × Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ò Ó × Ø × Ó Ñ Ø Ó Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð × Ó Ò × Ö Ú Ý Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ä ×

Ù Ö Þ × Ò Ø Ö Ò × ´ Ð Õ Ù Ù Ò × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ó Ö Ð Ó Ø Ö Ó µ × Ó Ò Ò Ø Ö Ð × ¸ Ô Ó Ö Õ Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð

Ù Ö Þ × Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ñ Ò × Ó Ò × Ö Ú º

Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ò Ð Ñ Ò Ø × Ö Ù Ð Ö Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ Ó Ò Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ò Ð

Ö Ò Ö Ð Ý Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ù Ò Ú Ø Ó Ö

Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Õ Ù Ó Ò Ø Ò Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ñ Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × º Ë Ù Ñ Ù Ð Ó × Ø Ó Ô Ó Ö

L = 2mR0V 0 Ó Ò

R × Ð × Ø Ò Ò Ð Ð Ó Ö Ò Ý

V 0 Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó × Ø Ö Ó Ò Ù Ø

Ò Ð Ñ Ò Ø º

× Ô Ù × Ø Ö Ô Ö Ô Ó Ö Ð Ù Ö × Ð Ð Ð Ó Ò Ù Ö Ò Ò Ð Õ Ù Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ù × Ò Ó

Ö Ù Ð Ö º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ö

L1 = 2mR1V 1 Ó Ò

R1 = R0/2 × Ð × Ø Ò

× Ø Ö Ó Ò Ù Ø Ð Ó Ö Ò Ý V 1 × Ð Ò Ù Ú Ú Ð Ó º Ó Ñ Ó L1 = L0 ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù V 1 = 2V 0 º

Ò Ò Ö Ð ¸ Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ö Ù Ò Õ Ù

V 1 = R0

R1V 0 Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ ×

R1 → 0


V 1

→∞º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð × Ø × Ù Ö Ð Ù Ö Þ Ö × × Ø Ò Ð Ö Ý Ð Ö Ò Ð × × Ø Ò Ø ×

Ô Þ × Ð Ð Ø º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ø × Ù Ö Þ × × Ð Ó Ö Ñ

F =λv

Ó Ò

λ = 4 N · s/mÝ

v × Ð Ú Ð Ó Ð Ð × Ø º Ò Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ñ Ü Ñ Ó

Ö Ò Ñ Ò Ø Ó ¸ Ð Ð × Ø Ô Ù Ò Ö Ö

600 W Ô Ó Ø Ò Ô Ö Ó Ô Ù Ð × Ò º ú Ù Ð × Ð Ñ Ü Ñ

Ú Ð Ó Õ Ù Ô Ù Ð Ò Þ Ö Ò Ð Ð Ò Ó Ý × Ò Ú Ò Ø Ó

Ë Ó Ð Ù Ò Ù Ò Ó × Õ Ù Ð Ð × Ø Ô Ù Ò Ö Ö Ù Ò Ô Ó Ø Ò × Ò Õ Ù Ô Ù

Ö Ö Ù Ò Ù Ö Þ × Ó Ö × Ñ × Ñ Ó Ó Ò Ð Ý Ù × Ù × Ô Ö Ò × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ó Ö Ð Ð × Ø Ø Ò

Ó × Ù Ö Þ × Ð × Ù × Ô Ö Ò × Ý Ð Ð Ö Ò º Ñ × Ø Ò Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ú Ð Ó Ö Ý × Ò Ó ×

Ó Ô Ù × Ø Ó × Ù Ò Ó Ð Ð × Ø Ú Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ò Ð Ñ Ü Ñ Ó Ö Ò Ñ Ò Ø Ó ¸ Ð × Ô Ó Ø Ò

× Ù Ñ Ò × Ø Ö

600Û × Ö Ù Ð Ð Ô Ó Ø Ò × Ô Ô Ó Ö Ð Ö Ò Õ Ù ×

F v = λv2

¸ Ñ Ò Ö Õ Ù

v2 =600

4→ v = 12,2m/s

È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò × Õ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ó Ò Ò Ö

500×106 eV × Ô Ö Ó Ü Ñ Ò ×

Ð Ò Ò Ø Ó Ð Ù Ò Ó Ð Ó Ø Ö Ó Ò × Ò Ø Ó × Ó Ô Ù × Ø Ó × º Ë × × Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ð Ò Ò Ø Ö Ò × Ð

Ð Ø Ö Ó × Ø Ø ¸ ú Ù Ð × Ð × Ø Ò Ñ Ò Ñ Ð Õ Ù Ð Ð Ò Ô Ö Ó Ü Ñ Ö ×

Ë Ó Ð Ù Ò

Ä × Ø Ò Ñ Ò Ñ × Ö Õ Ù Ð Ð Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ò Ö Ð Ø Ö Ó × Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò × ´ Õ Ù ×

Ö Ô Ð Ò Ó Õ Ù Ø Ò Ò Ö Ð Ñ × Ñ Ó × Ò Ó µ Ù Ð Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò × ¸ × Ù Ñ

× Ù × Ò Ö × ¸

1000 × 106 eV = 16 × 10−11J º Ä Ò Ö Ð Ø Ö Ó × Ø Ø Ò Ð × × Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ð ×

(1/4πǫ0)q 2/r¸ × Ò Ó

q Ð Ö Ð Ô Ö Ó Ø Ò Ý

rÐ × Ø Ò Õ Ù Ð Ó × × Ô Ö º × ¸ Ð × Ø Ò Ñ Ò Ñ

Ú Ò Ö Ô Ó Ö

rmin = 1, 44 10−18 mº

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ó Õ Ù Ñ ×

m × Ð Þ × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ù Ö º Ä Ô Ö Ø

Ò Ø Ö Ð Ô Ó × Ù Ò Ð Ó Ò Ø Ù

Lº Ò Ð × Ô Ó Ö Ó Ò × Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ð × Ù Ô Ö Ò Ó Ü × Ø

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó ×

µº

Ë Ð Ð Ó Õ Ù Ô Ö Ø × Ù Ò Ð Ø Ù Ö

h Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ø Ö Ñ Ò Ö ´ µ Ð Ú Ð Ó Ö Õ Ù

Ø Ò Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ñ Ú Ð × Ø Ò Ò Ð Ñ Ø Ð

Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð º ´ µ Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ñ Ú Ð × Ø Ò Ò

Ð Ü Ø Ö Ñ Ó Ó Ô Ù × Ø Ó Ð Ð Ø Ù Ö

h/2º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ð Ù Ð Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ð Ó Õ Ù Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð ¸ Ô Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò

Ð Ò Ö º

¿



L

h

Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ñ × Ù Ò Ó × Ø Ö Ö × ¸ Ø Ó Ñ Ò Ó Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ð

Ó Ò Ó Ð × Ù Ô Ö ¸

mghº Ì Ó × Ø Ò Ö × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ð Ö Ð Ü Ø Ö Ñ Ó

Ò Ö Ó Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ù Ö Ú ´ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ð Ó Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ô Ó Ö

mgh = mv2/2

× Ö ¸

v =√

2ghµ º Ó Ö Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Õ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ø Ð Ò × Ó Ñ Ø

Ù Ò Ù Ö Þ Ö Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Ö

F f = µN Ó Ò

N × Ð Ù Ö Þ Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¸ Õ Ù

Ó Ò Ó Ò Ð Ô × Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð ¸

mgº Ù Ö Ò Ø Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð × × Ô Ò Ö Ó

Ð Ö Ò º Ð Ø Ö Ó Õ Ù Ù Ö Þ × Ö Ö Ó Ð Ð ×

F f d Ó Ò

d × Ð × Ø Ò Ö Ó Ö Ö º È × Ñ Ó ×

Ô Ö Ø Ó

µ Ë Õ Ù Ö Ñ Ó × Õ Ù Ø Ó Ð Ò Ö Õ Ù Ø Ò Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ø Ù Ð × × Ô Ò Ù Ò × Ø Ò

d = L/2¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×

mgh = F f L

2= µmg

L

2

µ =2h

L

µ Ë Õ Ù Ö Ñ Ó × Õ Ù × Ô Ù × Ô × Ö Ô Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ð Õ Ù Ø Ó Ú Ò Ö

Ô Ö × Ù Ö × Ø

h/2Ø Ò Ö Ñ Ó ×

mgh = F f L + mgh

2

µ =h

2L

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

m× Ñ Ù Ú Ò Ó × Ñ Ò × Ó Ò × Ò Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð

V (x, y) = 6x2 + 24y2 º Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ù Ò Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ò r = 4 j × Ò Ó j Ð

Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ð

Y º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ä Ù Ö Þ

FÕ Ù Ø Ù × Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ó Ø Ò Ô Ö Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð ¸

× Ö ¸ Ø Ò Ô Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×

F(r) = −

∂V

∂x(r),

∂V

∂y(r),

∂V

∂z(r)

= − (12x, 48y, 0)

´ ½ ¼ µ

Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó

r = (0, 4, 0) × Ø Ù Ö Þ Ú Ð

F = (0, 192, 0)º × ¸ Ð Ð Ö Ò × Ö

a = F/m =(0, 192/m, 0)

º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ù Ñ ×

M Ý Ò Ù Ð Ó

α × Ò × × Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð

× Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º Ë Ó Ö Ð Ù × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

mÕ Ù Ô Ù × Ð Þ Ö × Ò

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ù Ó Ð Ù Ö Þ Ð Ö Ú º Í × Ò Ó Ð ×

Ð Ý × Ó Ò × Ö Ú Ò Ý Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ð × × Ø Ñ × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó ¸ Ð Ù Ð Ö

Ð × Ú Ð Ó × Ð Ù Ý Ð Ù Ö Ô Ó Ù Ò Ó Ð Ù Ö Ô Ó Ó Ù Ò Ð Ø Ù Ö Ú Ö Ø Ð h× Ó Ö Ð × Ù Ô Ö º ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ð Ù Ö Ô Ó Ò Ð × Ó M >> m

Æ Ó Ø Ê × Ó Ð Ú Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò × × Ø Ñ Ó Ó Ó Ö Ò × Ý Ò Ó Ø Ö

Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ø Ú Ð Ù Ö Ô Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ù Ò Ó Ó Ò Ó Ò × Ù Ú Ð Ó

× Ó Ð Ù Ø º



V

u

v

α

Ë Ó Ð Ù Ò

Ò Ð Ù Ö Ú Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó × Ò × Ø Ò Ø × Ø Ñ Ô Ó Ñ Ù Ý Ö Ò Ó × ¸

tÝ

t + dtº Ò × Ø Ò Ø Ö Ú Ð Ó ¸

Ð Ñ × m × Ù Ö Ù Ò × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó vdt Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ð Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó ¸ Ó Ò v × Ð Ú Ø Ó Ö

Ú Ð Ó Ò Ó × × Ø Ñ º È Ó Ö × Ù Ô Ö Ø Ð Ù × Ù Ö Ù Ò × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó Vdtº Ð Ù Ö Ó × Ö Ú Ñ Ó ×

Õ Ù × Ø Ò Ð Ö Ð Ò Ú Ø Ó Ö Ð udt + vdt = VdtÓ ¸ × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø u + v = V º ´ Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù

−u × Ð

Ú Ð Ó Ð Ñ × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ù µ º × Ö Ñ Ó × Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×

Ú Ø Ó Ö

v = (−vx,−vy)

V = (V, 0)

u = (V + vx, vy)´ ½ ½ µ

Ó Ò Ñ Ó × Ð Ó vx, vy, V Ø Ó × Ò Ø × Ô Ó × Ø Ú × º Ð Ö Ñ Ò Ø ¸ Ó Ñ Ó Ð Ú Ø Ó Ö u × Ø Ò Ð

Ö Ò Ð Ô Ò Ò Ø Ð Ù ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ö Ð Ò

tan(α) =uyux

=vy

V + vx´ ½ ¾ µ

Õ Ù × Ù Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Õ Ù Ò Ó × × Ö Ñ Ó Ò × Ö Ð × Ú Ð Ó × Ð Ñ × Ý Ð Ù

Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ñ × Ò Ó × × Ô Ù Ð Ù Ò × Ù Ò Ò Ð Ð º

Ó Ñ Ó Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó ´ Ô Ù × Ò Ó Ý Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó µ ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ô Ð Ö Ð × Ð Ý × Ó Ò × Ö ¹

Ú Ò º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × Ý Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × ´ Ð Ö Ú Ý Ð Ù Ö Þ Ò Ó Ö Ñ Ð Õ Ù Ð × Ù Ô Ö

Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ó Ö Ð Ù Ý Õ Ù Ñ Ô Õ Ù × Ø Ð Ó Ö Ò Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó µ º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó × Ó Ò × Ö Ú Ò Ò Ö Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ø Ó × × Ø × Ù Ö Þ × Ø Ò Ò × Ð Ó Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ú Ö Ø ¹

Ð ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × × Ó Ò × Ö Ú º Ó Ñ Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ð × × Ø Ñ × Ö Ó ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù

−mvx + M V = 0´ ½ ¿ µ

Ä Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú º Ë Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð × Ù Ô Ö

Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ý Ò Ñ Ó ×

H Ó Ñ Ó Ð Ð Ø Ù Ö Ò Ð Ð Ñ × × Ó Ö × Ù Ô Ö ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ò Ö

Ò Ð Ð × × Ø Ñ × × Ð Ó Ô Ó Ø Ò Ð Ù Ð

mgH ´ Ù Ò Õ Ù ¸ Ò Ô Ö Ò Ô Ó ¸ Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ð Þ Ö Ð

Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù ¸ × Ø Ò Ó Ú Ö Ö ¸ Ó Õ Ù × Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × × Ñ Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ò

Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö × Ø × Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó Ö Ö Ð Ú Ò Ø µ º × ¸ Ù Ò Ó Ð Ñ ×

m

Ý Ó × Ø Ù Ò Ð Ø Ù Ö

h¸ Ð Ò Ö Ð × × Ø Ñ × Ü Ô Ö × Ó Ñ Ó

m

2(v2x + v2y) +

M

2V 2 + mgh = mgH

´ ½ µ

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ý Ð Ò Ö Ñ Ô Ð Ò Ó × Ù Ó Ò × Ô Ö Ø Ö × Ò Ò Ø ×

vx, vy, V ¸ Ô Ù × h × Ø µ º È Ó Ö × Ó Ò × Ø Ñ Ó × Ù Ò Ø Ö Ö Ù Ò ¸ Õ Ù × Ð Ö Ð Ò Ò Ñ Ø

´ ½ ¾ µ ¸ Ô Ö Ô Ó Ö × Ô Ö Ð × Ø Ö × Ò Ò Ø × º Ä Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ´ ½ ¿ µ

vx = M m

V ´ ½ µ

Ð Ö Ð Ò Ò Ñ Ø ´ ½ µ

vy = (V + vx)tan α´ ½ µ



Ý × Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó × Ø × Ü Ô Ö × Ó Ò × Ò Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö × Ó Ø Ò ¸ × Ô Ù × Ù Ò Ô Ó Ó

Ð Ö ¸

V 2

2

1 +

M

m

M + tan2 α(m + M )

= mg(H − h)

´ ½ µ

× Ö

V =

2mg(H − h)

1 + M m

[M + (m + M )tan2 α]

1/2´ ½ µ

Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó ´ ½ µ Ò ´ ½ µ Ý ´ ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð × Ó Ð Ù Ò Ò Ð Õ Ù Ò Ó ×

vx, vy , V Ò Ù Ò Ò

h

´ Õ Ù ¸ × Ù Ú Þ ¸ × Ù Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó µ º

Ù Ò Ó M ≫ m ¸ m/M ≈ 0Ý Ð Ü Ô Ö × Ò ´ ½ µ V ≈ 0

× Ö ¸ × Ð Ñ × Ð Ù × Ñ Ù Ó

Ñ × Ö Ò Õ Ù Ð Ð Ù Ö Ô Ó ¸ × Ø Ô Ò × × Ñ Ù Ú º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ó Ö Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × Ù × Ö Ð Ù Ò

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ´ ½ ¿ µ ¸ Ý Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

M V Ò Ó Ø Ò Ô Ó Ö Õ Ù × Ö Ô Õ Ù Ó ´ Ò Ö Ò ¸ Ò Ó × Ñ Ó × µ Ô Ó Ö Õ Ù

M × Ñ Ù Ý Ö Ò Ý

V Ñ Ù Ý Ô Õ Ù Ó Ý × Ù Ô Ö Ó Ù Ø Ó Õ Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó º

Ä Ñ Ò Ö Ô Ö Ó Ö Ò × Ø × Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ö

V Ò × Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó

x = m/M Õ Ù

× Ù Ò Ò Ñ Ö Ó Ô Õ Ù Ó º È Ó Ñ Ó × × Ö Ö ´ µ Ò Ð Ó Ö Ñ

V = x

2g(H − h)

(1 + x) [1 + tan2 α(1 + x)]

1/2≈ x

2g(H − h)

1 + tan2 α

1/2=

m

M

2g(H − h)

1 + tan2 α

1/2´ ½ µ

Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ò

xº Ó Ñ Ô Ö Ò Ó Ó Ò Ð Ù Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ´ ½ µ ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Õ Ù

vx =

2g(H − h)/(1 + tan2 α),

Ý Ð Ö Ð Ò Ò Ñ Ø ´ ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×

vy

= 2g(H −

h)/(1 + tan2 α)tan α.

Æ Ø × Õ Ù Ð × Ó

α = π/2Õ Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ù Ò Ð Ö ¸ Ð Ü Ô Ö × Ò Ò Ø Ö Ó Ö × Ö Ù

vy =

2g(H − h)º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Ò Ð Ó Õ Ù Ð Ù Ö Ð Ó Ð Ð Ð Ö ½ Ñ ×

mÝ Ö Ó

r Ó

Ó Ò Ð × Ó Ø Ö × Ó × Ó Ð × ´ ¾ Ý ¿ µ Ö Ó R Ý Ñ × M Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º Ì Ò Ò Ó Ò

Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ó Ð ½ Ó × Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ø Ö × Ó × ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ú Ð Ó × ¸

Ö Ò Ý Ñ Ù Ð Ó ¸ × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ × Ù Ô Ù × Ø Ó Õ Ù × Ø × Ð × Ø Ó º

1

2

3

Ë Ó Ð Ù Ò Ò Ó Ñ Ò Ñ Ó ×

v1,v2,v3 Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ú Ð Ó Ó Ð Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ý

v′1,v′2,v′3 ¸ × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò º Ð Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ö Ñ Õ Ù Ð

x × Ø Ò Ð Ö Ò Ð



Ú Ð Ó Ð Ó Ð ½ ¸ Ð

y × Ø Ò Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó × Ò Ø Ö Ó × Ð × Ó Ð × ¾ ¸ ¿ Ý Ð

z ×

Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ô Ð º Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

v1 = (v0, 0, 0)

v2 = (0, 0, 0)

v3 = (0, 0, 0)´ ¾ ¼ µ

× Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×

v1 = (v′, 0, 0)

v2 = (V ′ cos α, V ′ sen α, 0)

v3 = (V ′ cos α,−V ′ sen α, 0)´ ¾ ½ µ

Ó Ò α × Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó × Ò Ø Ö Ó × Ð × Ó Ð × ½ Ý ¾ Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Õ Ù

Ô Ù Ð Ù Ð Ö × Ô Ó Ö Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ø Ö Ó Ñ Ó

α = arctan Rr+R º Ð × Ö Ö Ð Ó Ö Ñ × Ø × Ú Ð Ó ×

× Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ñ Ó × × Ó Ô Ö Ø Ó Ð × Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ò Ó Õ Ù Ð Ó Ð ¾ ×

Ñ Ù Ú Ó Ñ Ó Ð Ö Ü Ò × Ô Ù Ð Ö Ð ¿ Ý Õ Ù Ñ × × Ñ Ù Ú Ò Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ô Ð ´ Ò Ð Ó ×

Õ Ù × Ø Ò Ð Ó × × Ü ¸ Ý µ

È Ð Ò Ø Ñ Ó × Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð Ý Ð Ò Ö ´ Ð × Ö Ù Ò Ó Õ Ù Ð × Ø Ó × Ó Ò × Ö Ú

Ð Ò Ö µ

mv1 = mv′1 + M v′2 + M v′3m

2v21 =

m

2v′2

1 +M

2v

′22 +

M

2v

′23 ´ ¾ ¾ µ

Ð × Ø Ö × Ù Ó Ò × Õ Ù Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ð Ó Ù Ò

× Ò Ó Ø Ö Ú Ð ¸ Ð Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø

xº × ¸ Ü Ô Ö × × Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ó × Ñ Ó Ù Ð Ó × ¸ Ð × Ù Ó Ò ×

Ó Ò × Ö Ú Ò Ø Ó Ñ Ò Ð Ó Ö Ñ

mv0 = mv′ + 2M V ′ cos αm

2v20 =

m

2v

′2 + M V ′2

´ ¾ ¿ µ

× Ø Ó × Ó Ò Ó × Ù Ó Ò × Õ Ù Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ò Ó Ø Ò Ö Ð × Ó × Ò Ò Ø ×

v′, V ′

V ′ =v0 cos α

1 + 2M m cos2 α

v0 =v0

1 + 2M m cos2 α

´ ¾ µ

È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Í Ò Ô Ð Ó Ø Ñ ×

m Ó Ð × Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ù Ñ Ö

Ò Ö Ô Ó × Ó Ñ × M × Ø Ù Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ñ Ù × Ø Ö Ð Ù Ö º Ä

Ú Ð Ó Ð Ù × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ×

V º ú Ù Ð × Ð Ð Ø Ù Ö Ñ Ü Ñ Ð Õ Ù Ð Ð

Ð Ó Ð ¸ × × Ó × Ö Ú Ó Õ Ù × Ù Ú Ð Ó × Ð × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò × Ú Ö Ø Ð

Ö Ö Æ Ó Ø Ò Ð × Ó Ð Ù Ò Ó Ò × Ö Ö × Õ Ù Ð Ñ ×

M T Ð Ì Ö Ö Ú Ö

Õ Ù

M T ≫ M Ý Õ Ù

M T ≫ m

Ë Ó Ð Ù Ò º

Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

mv = M V =⇒ V = mv/M

0 = mvf − (M + M T )V f =⇒ V f =mvf

M +M T Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö

1

2mv2 =

1

2mv2f +

1

2M V 2 +

1

2(M + M T )V 2f

=1

2mv2f +

1

2M V 2 +

1

2mv2f

m

M + M T ≃ 1

2mv2f +

1

2M V 2



m

L 8

Ù Ö ½

È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸

v2 = v2f +M

m(

m

M v)2 =⇒ v2f = v2

1− m

M

Ý Ð Ð Ø Ù Ö Ð Õ Ù Ð Ð Ö Ð Ô Ð Ó Ø ×

h =

v2(1

−m/M )

2g

Æ Ó Ø Ò Ó × Ò × Ö Ó Ó Ò Ó Ö

V º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò Ð Ó Õ Ù Ñ Ö Ñ ×

m × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ý Ù Ò Ó Ù Ò Ñ Ù Ð Ð

Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ö Ù Ô Ö Ó Ö

kÝ Ð Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ù Ö Ð

lº Ð Ó Ø Ö Ó Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ñ Ù Ð Ð × Ø

Ù Ò Ó Ù Ò Ô Ö ¸ Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö º Ò Ù Ò Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ù Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ñ ×

m4

Ý Ú Ð Ó

v0 × Ñ Ô Ó Ø Ö Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Ð Ð Ó Õ Ù º Ë Ò Ó Ü × Ø Ò Ò Ù Ò Ù Ö Þ

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ò Ñ × Ø Ò Ð Ô Ö Ð Õ Ù Ð Ð Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ø Ö × Ð

Ñ Ô Ø Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ð × Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ó Õ Ù Ò Ð × Ø Ó ´ Ô Ö Ó Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ó × Ó Ò × Ö Ú µ º È Ó Ö

Ø Ò Ø Ó

−m

4v0 =

5m

4v′

v′

= −v05

´ ¾ µ

Ô Ö Ø Ö Õ Ù Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð × Ò Ö Ù × Ø Ó Ò Ð Ñ Ö ¸ Ð Ò Ö × × Ó Ò × Ö Ú º Ð Ñ Ù Ð Ð ×

Ó Ñ Ô Ö Ñ Ý Ð Ð Ó Õ Ù Ð Ð Ù Ò × Ø Ò Ñ Ò Ñ

x Ð Ô Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð ¸ × Ö ¸

1

2

5m

4v2f =

1

2k(x − l)2

x = l±

m

20kV 0 ´ ¾ µ

Ð × Ù Ð × × Ð Ó Ø Ò × Ò Ø Ó Ð Ö Þ Ò Ø Ú º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ö Ø Ö ¸ Ù Ò Ó 2000 kg Ñ × ¸ Õ Ù Ú

Ð × Ù Ö ¸ Ò Ó Ö × Ô Ø Ù Ò × Ð Ô Ö Ý Ó Ó Ò Ù Ò Ù Ö Ó Ò Ø

6000 kg¸ Õ Ù

Ú Ð Ó × Ø º Ð Ó Õ Ù Ù Ø Ð Õ Ù Ð Ó × Ó × Ú Ù Ð Ó × ¸ Ù Ò Ø Ó × ¸ × × Ð Þ Ö Ó Ò Ù Ö

Ð Ö Ö Ø Ö ¸ Ò Ö Ò × Ù Ó × Ø º Í Ò Ø × Ø Ó Ð Ó × Ó × Ö Ñ Õ Ù Ð Ú Ð Ó

Ð Ù Ö Ó Ò Ø Ö

80 Km/hº ´ µ ú × Ø Ù × Ø Ù Ö Ó Ó Ò Ð Ø × Ø Ó ´ Ð Ó × Ð Ù Ð Ó ×



Ò × Ö Ó × Ô Ö Ó Ò Ö Ñ Ö × Ù Ù Ö Ó Ó × Ù Ö Ó µ º ´ µ ú É Ù Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ò Ø

Ò Ð × Ó Ò Ú Ö Ø Ò Ó Ø Ö × Ó Ö Ñ × Ò Ö Ù Ö Ò Ø Ð Ó Õ Ù

Ë Ó Ð Ù Ò

È Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ø Ò

m1v1 x + m2v2 y = (m1 + m2) v (sen45 x + cos 45 y)

Ù Ð Ò Ó Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ó × Õ Ù

m1v1 = (m1 + m2)v

√ 2

2

m2v2 = (m1 + m2)v

√ 2

2

Ë Ð Ú Ð Ó

v2 = 80 Km/hÓ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

v1 =m1 + m2

m1v

√ 2

2 = 240 Km/h

Õ Ù Ô Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ü × Ú Ø Ó × Ð Ù × º

Ð Ù Ð Ò Ó Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ð Ý Ò Ð × Ð Ð Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Õ Ù

E ci = 2, 67E cf ¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù

Ù Ò Ô Ö Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ó × Ó × Ú Ù Ð Ó × × Ô Ö Ò Ð Ó Õ Ù º

¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ö Ò Ñ ×

m × Ø Ó Ð Ó Ò Ð Ó Ö Ù Ò Ø Ð Ñ ×

M Ý

Ð Ó Ò Ø Ù

LÕ Ù Ó Ø Ð Ö Ñ Ò Ø × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Ó º Ä Ö Ò × Ð Ø Ð Ó Ø Ö Ó

Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ø Ð Ó Ò Ù Ò Ò Ù Ð Ó

αÖ × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º ú Ù Ð × Ö Ð Ú Ð Ó

Ò Ð ¸

v0 ¸ Ð Ö Ò Ô Ö Õ Ù Ó Ò Ð × Ð Ø Ó Ð Ð Ù Ù × Ø Ó Ð Ó Ø Ö Ó Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ø Ð Ë

× Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ù Ò Õ Ù Ð Ñ × Ð Ö Ò × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ñ × Ð Ø Ð ¸ Ò Ó × Ô Ù

× Ô Ö Ö Ù Ò Ö Ò Ø Ð Ó Ø Ö º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ð Ð Ò Ö Ò Ñ × Ø Ó Ø Ð

M × Ø Ù × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó

Ò Ù Ð Ó

α Ñ Ô Þ × Ð Þ Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ð Ö Ó Ù × Ð

Ö Ú º Ô Ù × × Ô Ð Þ Ö × Ù Ò × Ø Ò

s× Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó ¸ Ù Ò Ô Ö

Ñ ×

mÑ Ó Ú Ò Ó × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ð Ô Ð º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð

Ú Ð Ó v Ð Ô Ö Ô Ö Õ Ù Ð × Ø Ò Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù º

Ó Ò × Ö Õ Ù Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ý Ð × Ø Ò Ó Ò Ø Ò Ó × Ò Ù Ò

Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ð Ó Ò Ó Ù Ò Ö Ó Ð Õ Ù Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω × Ø Ù Ö Ø Ó

Ó Ò Ù Ò Ô Ð Ó Ö Ó × Ó Ö Ù Ò Ó Ö Ñ º Ô Ö Ø Ö Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó × Ö Ö Ø

× Ò Õ Ù Ð Ð Ù × Ð Ö Ù Ð Ö Ô Ò Ø º ú × Ó Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ô Ò Ø

Ñ Ý Ó Ö ¸ Ù Ð Ó Ñ Ò Ó Ö Ð Ò Ð Â Ù × Ø Õ Ù × Ù Ö × Ô Ù × Ø º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ò Ù Ø Ö Ó Ñ × × Ù Ð × × Ø Ù × Ò Ð Ó × Ú Ö Ø × Ù Ò Ù Ö Ó Ý

Ù Ò × Ô Ó Ö Ñ Ù Ð Ð × Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø

kÝ Ð Ó Ò Ø Ù Õ Ù Ð Ö Ó

Lº Ð × × Ø Ñ Ö Ó Ø Ó Ò

Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø

ω Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö

Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ó º

½ º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò º

¾ º Ð Ù Ð Ö Ð Ó Ö Ñ Ò

∆L Ð Ó × Ñ Ù Ð Ð × º



M

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

m Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó × Ô Ó Ò Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

Ó Ð Ó × Ø Ó × Ù Ò Ù Ö Þ Ó Ò × Ø Ò Ø

Fº ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ð Ô Ó Ø Ò × Ö Ö Ó Ð Ð Ô Ó Ö Ð

Ù Ö Þ Ò Ð Ò × Ø Ò Ø

t

È Ö Ó Ð Ñ ½ È Ö Ñ Ö Ð Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Õ Ù × Ð Þ × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó

Ò Ð Ò Ó Õ Ù Ó Ö Ñ

30o× Ó Ö Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ñ Ð Ú Ð Ó

vi Ó Ò Ð Õ Ù Ð Ù Ö Ô Ó

Ò Ð × Ù Ý Ð Ú Ð Ó

vf Ó Ò Ð Õ Ù Ú Ù Ð Ú Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó º ú É Ù × Ø Ò Ö Ó Ö Ö

× Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó Ò Ø × Ø Ò Ö × ú Ù Ð × Ð Ó Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó

È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¼ Í Ò Ù Ø Ó Ñ Ú Ð × Ù Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ò Ò Ø Õ Ù Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó α Ó Ò Ð Ó Ö ¹

Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ø Ò Ó Ù Ò Ô Ó Ø Ò

P Ý × Ù Ö Ò Ó Ù Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ö Ý Ó Ò Ð Ö Ö Ø Ö

Õ Ù Ö × Ù Ð Ø × Ö Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð × Ù Ú Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ò ¸ × Ø Ó × ¸

βv(t)º Ë Ð Ñ × Ð Ó

×

M ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ñ Ü Ñ Õ Ù Ð Ò Þ

È Ö Ó Ð Ñ ¾ ½ Í Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ð Ó Ò Ø Ù L = 0,2m × Ñ Ù Ú Ô Ó Ö × Ù Ò Ö

Ù Ò × Ñ Ô Ð Ò Ó Ó Ø Ö Ó ¸ Ø Ò Ò Ó Ù Ò Ú Ð Ó Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ò Ð Ñ Ø Ò Ø Ö Ð Ó × Ó ×

× Ñ Ô Ð Ò Ó × º Ä Ó × Ó Ò Ø × Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ø Ð Ý Ð Ó × Ó × × Ñ Ô Ð Ò Ó × × Ó Ò

k1 = 0,2Ý

k2 = 0,7º

ú Ù Ð × Ö Ð Ú Ð Ó Ð Ø Ð Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Õ Ù × Ù Ö Ò Ø Ö Ù Þ Ð Ð Ò

Ð Ñ Ø Ô Ö Õ Ù Ô × Ð × Ù Ò Ó × Ñ Ô Ð Ò Ó Ù Ò Ô Ö Ø Ð Ø Ð Ó Ò Ð Ó Ò Ø Ù l = 4/5L

È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¾ Í Ò Ó Ð Ð Ö Ñ Ò Ø × Ù Ò Ð Ø Ù Ö

h× Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð

× Ó Ö Ð Õ Ù Ò Ó Ý Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ Ð Ó Ð Ö Ó Ø Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó

u

Ñ Ò Ó Ö Ð Õ Ù Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ö × Ð Ó Õ Ù Ù Ö Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ð × Ø Ó º Ó Ò Ø Ò Ù ¹

Ò × Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ð × Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó ¸ Õ Ù Ó Ö Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó

α Ó Ò

Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ö Ò ¸ Ð Ò Ù Ð Ó β Ð Ó Ð × Ô Ù × Ð Ö Ó Ø º

È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¿ Ð Ó Ò Ø Ö × Ø Ø Ù Ò

r Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ò

Ñ Ò Ø Ð Ö Ð Ò

v2f − v1f = r(v1i − v2i) Ý Ø Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ö Ò Ø Ö ¼ Ý ½ º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð

Ô Ö Ò Ö É ¸ Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ö Ó Ò Ø Ð Ô Ö Ð Ñ Ò Ø Ò Ð × Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð

Ñ ×

m1 Ý Ú Ð Ó

v1 Ý Ó Ø Ö Ñ ×

m2 Ò Ö Ô Ó × Ó × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó

Q = (1− r2)1

2µv1

2

Ó Ò

µ = m1m2/(m1 + m2) × Ð Ñ × Ö Ù º ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ö

r Ò Ù Ò Ó Õ Ù

Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ð × Ø Ó ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð É Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ò Ð × Ø Ó

È Ö Ó Ð Ñ ¾ Í Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ñ ×

mÝ Ú Ð Ó

v = vx Ó Ó Ò Ù Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ñ ×

M Ý Ð Ó Ò Ø Ù

lÕ Ù × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ô Ó × Ó º × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð Õ Ù

Ò Ö Ù × Ø Ó Ò Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ð Ù Ð Ó Ñ Ò Þ Ó × Ð Ö º Ø Ö Ñ Ò Ö µ Ð Ò Ù Ð Ó Ñ Ü Ñ Ó

Ó × Ð Ò Ð Ô Ò Ù Ð Ó µ Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ô Ö Ø Ö Ð Ù Ð Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ò Ú Þ

Ó × Ð Ö Ð Ú Ù Ð Ø º

½ ¼



È Ö Ó Ð Ñ × Ê × Ù Ð Ø Ó × Ý È Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ì Ñ

½ ½ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾

½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ô × Ò Ö Ô Ó × Ó Ó Ö Ñ Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ö × Ö × Ù Ð × Ö ¹

Ñ Ò Ø Ù Ò × Ò Ø Ö × Ó Ð × Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ø Ö Ö × Ö Ò Ø Ð × Ò Ø Ö Ó Ö × º Ë Ù

Ú Ð Ó V × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó × Ò Ø Ö Ó × Ð Ô × Ý × Ø Ö

Ð Ò Ø Ö Ó Ù Ò × Ù × × Ö × × Ò × Ò Ò Ð Ù Ö º Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ð Ó Ð ×

Ø Ö × × Ö × Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ô Ó × Ø Ö Ó Ö Ð Ó Ð × Ò º

Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð × Ò Ò Ð Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ò × Ö Ú º Ñ × ¸ Ô Ó Ö

Ð × Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ò Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ¸ Ô Ó Ö

Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ð Ó Ö Ó × × Ò Ð Ð Ó Ö × Ó Ð Ú Ö º Î Ñ Ó × Ð Ó º

Ù Ò Ó Ð × Ö Ó Ó Ò Ù Ò Ð × × Ö × Ð Ô × ¸ Ð × Ù Ö Þ × Ù Ö Ò Ø Ð Ó Ð × Ò Ò Ø Ö Ñ ×

× Ø Ò Ü Ð Ù × Ú Ñ Ò Ø Ö × Ò Ö Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð × Ù Ô Ö Ð × × Ö × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ø ×

Ù Ö Þ × Ø Ò Ò Ö Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ò Ó Ô Ö Ó Ù Ö Ò Ò Ò Ò × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ø Ð Ð Å Ð Ô × º

Ñ Ò Ö Õ Ù × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ Ø Ò Ø Ó Ð × Ö Ó Ñ Ó Ð Å Ð Ô × × Ñ Ó Ú Ö Ò Ò Ð i º

Ñ × ¸ Ð × Ö Ð Ù Ö Þ Ñ Ô Ù Ð × Ú Ò Ð Ó Ð × Ò Ù Ò Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð ´ Ú Ö Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ö Ò

Õ Ù Ù Ò Ð × × Ö × Õ Ù Ó Ò µ ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú º

Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Õ Ù Ø Ò Ð Ð × X Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ð Ò Ó Ð × Ò ¸ Ð

Ð ×

Y Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ô × ¸ Ý × Ù Ó Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ô × Ý Ò Ð Õ Ù Ð

Ô × × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò º

Ä Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð × × Ö Ó Ñ Ó

mV = mv + mv1 + mv2 = mv + 2mu

Ó Ò V = V i × Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð × Ö ¸ v = vi × Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð × Ö ¸ v1,2 × Ð

Ú Ð Ó Ð × Ö

1, 2 Ð Ô × Ý u = ui × Ð Ú Ð Ó Ð Å Ð Ô × × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò º

Ó Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ñ Ó Ú Ö Ð Ó Ð Ö Ó Ð

xÐ Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ö Ú Ð × Ù Ò

× Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð i × Ö

mV = mv + 2mu´ ½ µ

Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ó ¸ Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ×

mr×V = mr′ × v+ L ´ ¾ µ

Ó Ò r × Ð Ô Ó × Ò Ð × Ö ´ Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø ¸ Ù Ð Õ Ù Ö ¸ Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò µ ¸ r′

× Ð Ô Ó × Ò

Ð × Ö ´ Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø ¸ Ù Ð Õ Ù Ö ¸ × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò µ Ý L × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ô ×

½



× Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò º × Ù Ú Þ ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù L = L p + Lcm Ó Ò L p × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Å

Ð Ô × Ý Lcm × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ö Ð Å Ð Ô × º Ó Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ñ Ù Ú

Ò Ù Ò Ð Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ó Ö Ò Ð Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Å × Ö Ò Ù Ð Ó º Ñ × ¸ × Ñ Ó ×

Õ Ù Lcm = I·ω Ó Ò I × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ö × Ô Ø Ó Ð Å Ð Ô × Ý

ω × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö º

È Ó Ö Ð × Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ó × Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö × Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ö Ñ Ó

Ô Ó Ö Ð × Ö Ý Ð Ô × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ó Ò Ù Ð Ð Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ð Ò ´ ¾ µ Ø Ó Ñ Ð

Ó Ö Ñ

mRV = mRv + Iω´ ¿ µ

Ó Ò

I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ô × Ð Ö Ó Ö Ð Ö Ó Ø Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Å Ð

Ô × º Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ð Ö Ó Ö Ù Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó ×

2/5mR2Ý Õ Ù Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó × × Ô Ö Ð Ð Ó × ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ð Ö Ó Ö

Ù Ò Ø Ò Ò Ø × Ù × Ù Ô Ö ×

2/5mR2 + mR2 = 7/5mR2¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù

I = 14/5mR2º È Ó Ö Ó Ø Ö

Ô Ö Ø ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ú Ð Ò × Ø × Ó

ω = u/R

Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö × × Ö

12

mV 2 = 12

mv2 + mu2 + 12

Iω2, ´ µ

Ä Ó × Ó × Ð Ø Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ò Ó × × Ó Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ø Ö × Ð Ò Ý Ö Ó Ø Ò Ð Ô × º

Ä × Ù Ó Ò × ´ ½ µ ¸ ´ ¿ µ Ý ´ µ Ø Ò Ò Ô Ó Ö × Ó Ð Ù Ò

v = − 1

13V

¸

u = 7

13V

Ý

ω = 5

13

V R º Ó Ò Ö × Ô Ø Ó

Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × ¸ Ù × Ø Ó × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ð × Ö × Ù Ô Ö Ó Ö Ø Ò Ù Ò

Ú Ð Ó v′

1= ω × r1 = (0, 0, ω) × (0, R, 0) = −ωRi ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð × Ö Ò Ö Ó Ö Ø Ò Ú Ð Ó

v′

2= ω × r2 = (0, 0, ω) × (0,−R, 0) = ωRiº Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó Ð × Ú Ð Ó × × Ó Ò

v1 = v′

1+ Vcm = −ωR + u =

2

13V

v2 = v′

2 + Vcm = −ωR + u =12

13V ´ µ

È Ö Ó Ð Ñ ¾ Í Ò Ú Ö Ð Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù

2l × Ø Ö Ò Ó × Ó Ö Ù Ò Ñ × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð

Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Ë × Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø

Ø Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω0 Ý Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ñ × ×

µ

Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ø Ò Ö × º

Ë Ó Ð Ù Ò Ò × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ý Ó Ò Ó Ò Ù Ò × Ñ Ø Ö Ð × Ð Ó

Ö Ó º Ð Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ó Ö Ò × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ö Ð Ð ¸ Ý Ð Ô Ð Ò Ó

Ð Ñ × × Ð

XY º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ý Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ò Ð Ó × Ó × Ò Ð

Z º Ó Ñ Ó Ð

Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó ¸ Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ø × Ð Ó Ö Ó × Ð Ó Ø Ò Ù Ò Ö Ó Ð Ö Ø Õ Ù

× ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö º

Ä Ú Ö Ð Ð × Ø Ò Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ù Ö Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º Ë Ù Ò

Ð Ñ Ò Ø Ó

dm Ú Ö Ð Ð × Ø Ù Ó Ù Ò × Ø Ò

r Ð Ò Ø Ö Ó º Ë Ñ Ó × Õ Ù

ρ = m/2l × Ð Ò × Ð Ò Ð

Ð Ú Ö Ð Ð Ý

dmg = ρdrg × Ð Ô × Ó Ð Ð Ñ Ò Ø Ó Ñ × º Ä Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Õ Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø

Ó Ð Ñ Ò Ø Ó × Ö

F r = µdmgº

Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Õ Ù Ø × Ó Ö Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ó

dm Ú Ö Ð Ð

× Ø Ù Ó Ù Ò × Ø Ò

r Ð Ò Ø Ö Ó ×

|dM| = |Fr × r| = µdmgr = µgρrdr,

È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ò Ó Ò Ó Ò × Ö Ò Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ø Ö Ø Ù Ò

Ñ Ò Ø Ù Ú Ø Ó Ö Ð Õ Ù Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × × Ø Ò Ø Ó × Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ð Ó × Ð Ó × Ð Ò Ø Ö Ó ¸ Ð

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ð Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ð Ú Ö Ð Ð ×

M = µgρ

l0

rdr −

0

−lrdr

= µgρl =

1

2µmgl

¾



È Ö × Ø Ø Ô Ó Ô Ö Ó Ð Ñ × Ò Ð Ó × Õ Ù Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ý Ó Ò Ó Ò Ù Ò × Ñ Ø Ö ¸ Ð ×

Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ù Ò

M = Iα Ó Ò

α × Ð Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö Ý

I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ò Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Z Õ Ù Ò × Ø × Ó Ú Ð

I = l

−lr2dm =

2

3ml2,

Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö ´ Ó Ò × Ø Ò Ø µ Õ Ù Ö Ò Ð Ú Ö Ð Ð Ø Ò Ñ Ù Ð Ó

α =M

I =

3

4

µg

l.

Ä Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó ×

ω(t) = ω0 − αtº × Ø Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × Ô Ó × Ø Ú Ý

Ú Ö Ò Ó × Ø Õ Ù × Ò Ù Ð º Í Ò Ú Þ × Ò Ù Ð ¸ Ð Ú Ö Ð Ð Õ Ù Ò Ö Ô Ó × Ó º Ð Ø Ñ Ô Ó Ð Õ Ù × Ø Ó

Ó Ù Ö Ö ×

t =ω0

α=

4

3

ω0l

µg

È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ò × Ø Ó Ñ × m × Ø Ó Ð Ó Ó Ò Ð Ó Ö Ù Ò × Ó Ô Ð Ò Ó Ù Ò Ó Ö Ñ

Ñ ×

M Ý Ö Ó

R =Õ Ù × Ø Ö Ò Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω0 Ð Ò × Ø Ó

× Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ó º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ù Ò Ó × Ø Ð × Ø Ò

r

Ð Ò Ø Ö Ó ¸ Ý Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ò Ø Ð × × Ø Ñ Ò × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó º ú Ë Ó Ò × Ö Ú

Ð Ò Ö Ñ Ò Ð × × Ø Ñ × Ó ¹ Ò × Ø Ó ú Ò Ú Ò × Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ö

Ò Ø Ý Õ Ù × Ù Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó Ú Ù Ð Ú Ð Ô Ö Ö

Ë Ó Ð Ù Ò Ò × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ý Ó Ò Ó Ò Ð × Ñ Ø Ö Ð × Ð Ó

Ö Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ð Ó Õ Ù Ö Ø Ö Þ Ó Ò Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ó ¸ Ó Ò ¸

Ô Ó Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Õ Ù Ø Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ö Ó Ø Ò º Ð Ñ Ó × ×

Ó Ó Ö Ò Ó × Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó Ó Ö Ñ Õ Ù Ð

z × Ø Ò Ð Ö Ò Ð

Ö Ó Ø Ò º

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ñ Ô Ù × Ø Ó × Ó · Ò × Ø Ó × Ó Ò × Ö Ú º Î Ñ Ó × Ô Ó Ö Õ Ù º Ù Ò Ó

Ð Ò × Ø Ó × Ø Ò Ð Ó Ö Ð × Ó Ò Ö Ô Ó × Ó Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ó Ò Ö Ð Õ Ù Ö

Ó Ò Ð × Ó ¸ × Ó Ö Ð Ø Ù Ò Ó × Ù Ö Þ × ¸ Ð Õ Ù Ð × Ó × Ó Ö Ð ´ Ø Ö Ú × Ð Ö Ò × Ø Ø

Ò Ø Ö Ð × Ô Ø × Ð Ò × Ø Ó Ý Ð × Ù Ô Ö Ð × Ó µ Ý Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Õ Ù Ô Ö Ô Ó Ö × Ö Ð × × Ø Ñ

Ò Ó Ò Ö Ð º Ñ × × Ø Ò Ö × Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ò × Ø Ó Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ó Ý

× Õ Ù Ð Ö Ò Ü Ø Ñ Ò Ø Ô Ö Ö Ð Ò × Ø Ó Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Õ Ù Ö º Ê × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ

Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó × Ó Ö Ð Ò × Ø Ó × Ð Ó Ø Ð Ù Ö Þ Ö Ò Õ Ù × Ð Õ Ù Ö Ö Ð Ò × Ø Ó º Ä Ù Ö Þ

Ö Ò Õ Ù Ð Ò × Ø Ó × Ó Ö Ð × Ó × Ù Ð Ý Ó Ô Ù × Ø Ý × Ø Ö Ð º Ó Ñ Ó Ð

× Ó Ò Ó Ñ Ð Ô Ó × Ò × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × ¸ Ñ Ó × Ò Ö Ö Õ Ù Ð × Ø Ò Ó × Ó Ö Ð

× Ó Ù Ò Ù Ö Þ Ù Ð Ý Ó Ô Ù × Ø Ð Õ Ù Ð Ò × Ø Ó × Ó Ö Ð × Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ó Ö Ð × Ó ·

Ò × Ø Ó × Ø Ø Ù Ò Ó Ù Ò Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò Õ Ù × Ø Ò Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ò × Ø Ó Ý Ð º × Ø Ù Ö Þ ¸

Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ò Ó Ò Ö Ò Ò Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ù Ö Þ Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð ×

Ó Ò × Ö Ú º

Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ð ¸ Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó × Ð Ð Ò Ð Ó Ö ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð

×

I 0 =1

2M R2 + mR2

Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó × Ø Ù Ò × Ø Ò

r Ð ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö ×

I (r) =1

2M R2 + mr2

Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ò

I 0ω0 = I (r)ω(r) =⇒ ω(r) =1

2M R2 + mR2

1

2M R2 + mr2

ω0 = ω0

1 + 2mM

1 + 2mr2

MR2

Ó Ò

ω(r) × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × Ó Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó × Ø × Ø Ò

r Ð º

¿



Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ò Ø ×

∆E c =1

2I (r)ω(r)2 −

1

2I 0ω2

0 =I 0ω2

0

2

I 0

I (r)− 1

=

I 0ω20

2

1 − r2

R2

1

2M R2 + mr2

Ä Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò ´ × Ó Ö Ð µ × Ö Ö Ó Ð Ð Ù Ò Ø Ö Ó × Ó Ö Ð × × Ø Ñ ¸ Ý Õ Ù × Ø Ö Ò × Ñ Ø Ò Ø Ö ¹

Ñ Ò Ø Ð Ò × Ø Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ö Þ × Ó Ö Ð Ò × Ø Ó Ð × Ù Ò Ø Ø Ö Ó

W R→r =

rRF(r) · dr =

rR

mω(r′)2dr′ =

rR

dr′mω20

1 + 2m

M

1 + 2mr′2

MR2

r′dr′

=I 0ω2

0

2

1 − r2

R2

1

2M R2 + mr2

´ µ

È Ö Ó × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × Ô Ö × Ñ Ò Ø

∆E c º Î Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Õ Ù Ð Ú Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ò Ð

× × Ø Ñ × Ò Ø Ð Ø Ö Ó Ö Ð Þ Ó Ô Ó Ö Ð Ò × Ø Ó Ó Ò Ø Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù º Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó

Ú Ù Ð Ú Ð Ó Ö ¸ Ð Ø Ö Ó Ñ × Ò Ó Ô Ó Ö Õ Ù Ó Ö Ð Ò × Ø Ó Ú Ú Ó Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù

Ý × Ú Ù Ð Ú Ð Ú Ð Ó Ö Ò Ð Ð Ò Ö Ò Ø º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × Ò Ö Ù Ò Ù Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ð

V (r) = −W R→r × Ó Ð Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ö × Ó Ö Ð Ò × Ø Ó ´ Ø Ö Ú × Ð × Ó µ º

Ò Ø Ó Ò × Ð × Ù Ñ × Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ñ × Ð Ò Ö Ò Ø Ð × × Ø Ñ × Ó · Ò × Ø Ó ×

Ó Ò × Ö Ú º

È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ñ × ×

m1 Ý

m2 × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ö Ò Ü Ø Ò × Ð Ý × Ò Ñ ×

Ø Ö Ú × Ù Ò Ô Ó Ð Ñ × m0 º Ð Ù Ð Ö µ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ º µ

Ä Ð Ö Ò Ó Ò Õ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ð × Ñ × × º

1m

m2

m0

Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Õ Ù Ð × Ð Ó Ö Ó ¸ Ð Ô Ó Ð ¸ × Ñ Ù Ú Ó Ò Ù Ò Ö Ó Ø Ò

Ó Ý Õ Ù Ó Ò Ó Ò Ù Ò × Ñ Ø Ö Ð × Ð Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ù × Ö Ð Ù Ò Ù Ò Ñ Ò × Ó Ò Ð

I ω = M Ó Ò

I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ð Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò ¸

ω × Ð Ú Ð Ó

Ò Ù Ð Ö Ý

M × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð × Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò º Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó × × Ø Ñ

Ö Ö Ò Ò Ö Ð Ù Ò Ó Ó Ò Ó Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ó Ð º

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ö Ð × Ù Ñ Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ù Ð Ö × Ù Ò Ð ×

Ñ × × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ð Ô Ó Ð Ñ × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ó Ð ¸ × Ö

L = m1r1 × v1 + m2r2 × v2 + I0 ·ω

Ó Ò r1 × Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ð Ñ ×

m1 Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ç Ý I0 × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö º

Ù Ò Ð × Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × Ð Ú Ø Ó Ö L × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ò Ð Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ô Ð Ý ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð

Ñ Ù Ð Ó L Ô Ù Ð Ù Ð Ö × Ó Ñ Ó Ð × Ù Ñ ´ Ó Ò Ð Ó × × Ò Ó × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø × µ Ð Ó × Ñ Ù Ð Ó ×

Ó Ò Ø Ö Ù Ò º × Ö

|m1r1 × v1| = m1Rv1¸

|I0 ·ω| = I 0ω = I 0v1/R¸ Ó Ò

I 0 Õ Ù × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ò Ö º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó

L = (m1 − m2)vR + I 0v/R

Ó Ò

v × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ù Ð Õ Ù Ö Ð × Ñ × × º × Ø Ú Ð Ó Ò Ó × Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ý Õ Ù

× Ð × Ñ × × × Ó Ò × Ø Ò Ø × × Ø Ö Ò Ð Ö × º Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð Ð Ö Ò Ó Ò Ð Ù Ò Ð Ò Ñ



Ð × Ð Ó Ö Ó Ô Ð Ð Ô Ó Ð º Ì Ö Ò Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ó × Ñ Ù Ð Ó × Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ð ×

Ù Ö Þ × ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×

Iα = T 1R − T 2R

Ó Ò

T 1, T 2 × Ó Ò Ð × Ø Ò × Ó Ò × Ð Ù Ö ´ Õ Ù Ò Ó Ó Ò Ò Ó Ò Ð Ó × Ô × Ó × µ º È Ö Ð Ð Ö × Ø × Ø Ò × Ó Ò ×

Ô Ð Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ñ ×

m1g − T 1 = m1a

T 2 − m2g = m2a´ µ

Õ Ù Ù Ò Ø Ó Ó Ò

α = a/RÔ Ö Ñ Ø Ù Ö Ð × Ø Ö × Ò Ò Ø ×

T 1, T 2, a × Ø × Ø Ö × Ù Ó Ò × º Ð Ö × Ù Ð Ø Ó

Ò Ð ×

a =(m1 − m2)gR2

I 0 + (m1 + m2)R2

Ð × Ø Ö Ð Ö × ¸ Ð Ú Ð Ó Ð × Ñ × × × Ú Þ Ñ Ý Ó Ö Ý Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ

Ù Ñ Ò Ø Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó º

Ð Ð Ù Ð Ó Ð Ð Ö Ò

aØ Ñ Ò Ô Ù Ö × Ô Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö Ñ Ò Ð

× × Ø Ñ ¸ Ó Ö Ñ Ñ Ù Ý Ð Ò Ø º Ä Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ø Ô Ó Ö

E =1

2m1v2 +

1

2m2v2 +

1

2I 0ω2 + m1g(h1 + x) + m2g(h2 − x)

Ó Ò

h1, h2 × Ó Ò Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ð × Ñ × × Ò Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ø ´ Ö Ø Ö Ö Ó µ Ý

xÐ × Ø Ò Ö Ó Ö Ö

× Ô Ù × Ö Ø Ó Ø Ñ Ô Ó º Õ Ù ¸ Ø Ò Ø Ó

v Ó Ñ Ó

ωÝ

x× Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ð Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Ó

E Ò Ó ¸ Ý Õ Ù ×

Ó Ò × Ö Ú º Ö Ú Ò Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó × Ø Ò Ö Ø Ò Ö Ñ Ó × Ô Ù ×

0 = E = m1va + m2va + I 0v

r2a + m1gv − m2gv

Ú Ò Ó Ô Ó Ö v Ý × Ô Ò Ó a × Ð Ð Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö º

Ù Ò Ó Ð Ô Ó Ð Ø Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö I 0 × Ò Ù Ð º Ò × Ø × Ó ¸

Ð Ð Ö Ò Ø Ó Ñ Ð Ú Ð Ó Ö

a = (m1−m2)/(m1 + m2)gº Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ð × Ù Ó Ò ×

Æ Û Ø Ó Ò ´ µ × Ð Ð Ð Ö × Ù Ð Ø Ó

T 1 = T 2 ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ô Ó Ð Ø Ö Ò × Ñ Ø Ò Ø Ö Ñ Ò Ø Ð Ø Ò × Ò

Ù Ò Ð Ó Ð Ù Ö Ð Ó Ø Ö Ó º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ò Ö Ó Ù Ó Ñ ×

M Ö Ó Ò Ø Ö Ó Ö

R1 Ý Ö Ó Ü Ø Ö Ó Ö

R2 ¸ Ö Ù

× Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø × Ð Þ × Ò Ö Ó Ö Ó Ò Ú Ð Ó

v0 Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ð Ò Ö Ó º Ì Ö Ò × Ù Ö Ö Ó Ù Ò Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ñ Ô Ó

∆t Ð

Ð Ò Ö Ó Ó Ñ Ò Þ Ö Ó Ö × Ò × Ð Þ Ö º Ð Ù Ð Ö

µ Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Õ Ù Ñ Ô Þ Ö Ó Ö × Ò × Ð Þ Ö

µ Ð Ø Ñ Ô Ó Ø Ö Ò × Ù Ö Ö Ó × Õ Ù Ñ Ô Þ Ö Ó Ö

µ Ð Ò Ö Ô Ö Ù Ö Ò Ø × Ø Ø Ñ Ô Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Õ Ù Ð × Ð Ó Ö Ó Ö Ó Ø Ð Ö Ó Ö Ù Ò Õ Ù × Ñ Ú Ð ¸

Ô Ö Ó Õ Ù × Ñ Ò Ø Ò × Ñ Ô Ö Ô Ö Ð Ð Ó Ð × Ñ Ø Ö º Ó Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ð Ó × Ñ Ù Ú ¸

× Ò × Ö Ó Ô Ö × Ø Ø Ô Ó Ô Ö Ó Ð Ñ × Ù × Ö Ð × Ù Ò Ä Ý Æ Û Ø Ó Ò ¸ Ñ × Ð Ù Ò Ð

Ö Ó Ø Ò Ð × Ð Ó Ö Ó Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ó

Iα = M º

È Ö Ñ Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ö Ó Ö Ð × Ñ Ø Ö Ô Ö Ù Ò Ð Ò Ö Ó

Ù Ó º È Ó Ö Ò Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö

I =

r2dm =

ρr2dV

Ó Ò

r × Ð × Ø Ò Ð Ý

ρ × Ð Ò × Ð Ð Ò Ö Ó º Ì Ó Ñ Ö Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ú Ó Ð Ù Ñ Ò

Ù Ò Ó Ö Ø Þ Ð Ò Ö Ð Ð Ø Ù Ö

h¸ Ö Ù Ò Ö Ò

2πr¸ Ý × Ô × Ó Ö Ò Ò Ø × Ñ Ð

dr¸ Ó Ö Ñ Õ Ù

× Ù Ú Ó Ð Ù Ñ Ò ×

dV = 2πrhdrº Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó

dV Ò Ð Ü Ô Ö × Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ø Ò Ñ Ó ×

I = 2πρh

R2

R1

r3dr =1

2πρh(R4

2 − R4

1)



É Ù Ô Ù Ü Ô Ö × Ö × Ó Ñ Ó

I =1

2πρh(R2

2 − R21)(R2

2 + R21)

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ð Ò Ö Ó Ù Ó ×

V = πh(R22− R2

1)

Ø Ð Ó Ö Ñ Õ Ù

× Ù Ñ × × M = ρV = πρh(R22− R2

1)

Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó

I = 12

M (R22 + R2

1)

Ù Ò Ó Ð Ð Ò Ö Ó × Ð Þ ¸ × Ó Ö Ð Ø Ù Ò Ù Ö Þ Ö Ò F r Õ Ù × Ó Ô Ó Ò Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ý Ø Ò

Ö Ò Ö Ð Ó Ó Ò Ù Ò × Ð Ö Ò

a = F r/M º Ë Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð Ð Ò Ö Ó ×

v0 ¸ Ð Ú Ð Ó Ð

Ò Ø Ö Ó Ñ × Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ô Ó × Ø Ö Ó Ö

tÚ Ò Ô Ó Ö

v(t) = v0 − at = v0 −F rM

t.

Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ø Ñ Ò Ô Ö Ó Ù Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ò Ö Ó ¸

Õ Ù Ö Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ó Ò Ù Ò Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö

αº

N = R2F r = Iα

Ó Ò × Ù Õ Ù

α = R2F r/I × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ó Ñ Ó Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ð × Ò Ù Ð × Ø Ò

Õ Ù

ω(t) = αt

Î Ñ Ó × × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ú Ù Ñ Ò Ø Ò Ó Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ú Ð Ó

Ð Ò Ð × Ñ Ò Ù Ý º Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Õ Ù × Ù Ñ Ô Ð Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö

v = R2ω¸ Ð Ð Ò Ö Ó Ñ Ô Þ

Ö Ó Ö × Ò × Ð Þ Ö º Ð Ò × Ø Ò Ø

tR Ô Ö Ð Õ Ù × Ø Ó Ó Ù Ö Ö × Ø × ¸ Ô Ù ×

R2αtR = v0 −F r

M

tR.´ µ

Ù Ý × Ó Ð Ù Ò ×

tR =M v0

F r

R21

+ R22

R21

+ 3R22

´ µ

Ò × Ø Ò × Ø Ò Ø ¸ Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ú Ð

v(tR) = v0 −F rM

tR = v02R2

2

R21

+ 3R22

´ ½ ¼ µ

Ù Ò Ó R1 = 0 × Ö ¸ Ð Ð Ò Ö Ó × Ñ Þ Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ö × Ù Ð Ø Ó v(tR) = 2v0/3

º Ù Ò Ó Ð R1 = R2 ¸

× Ö Ð Ð Ò Ö Ó Ù Ó Ò Ó Ø Ò Ö Ó × Ó Ö v(tR) = v0/2º

Ä Ò Ö Ò Ð Ð × × Ø Ñ × Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ò Ø Ø Ö × Ð Ò Ý Ú Ð ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó

1

2M v2

0 º

Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Õ Ù Ñ Ô Þ Ö Ó Ö ¸ Ð Ò Ö Ø Ò Ù Ò Ô Ö Ø Ø Ö × Ð Ò

1

2M v(tR)2

Ý Ó Ø Ö

Ö Ó Ø Ò

1

2Iω(tR)2

º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ú Ö Ò Ò Ö ×

∆E = E fin − E ini =1

2M v(tR)2 +

1

2Iω(tR)2 −

1

2M v20 ´ ½ ½ µ

È Ö Ó Ð Ñ Ó Ò × Ö × Ù Ò Ð Ó Ü Ð ¸ Ò Ü Ø Ò × Ð Ý Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ù Ò Ó

Ù Ý Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × × Ø Ù Ò Ó Ù Ò Ø Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º Ð Ð Ó × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ó Ð Ð Ó × Ó Ö Ù Ò

× Ó Ö Ó

RÝ Ñ ×

m Ù Ý Ó × × Ñ Ô Ö Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ó º Ë × × Ù Ð Ø Ð × Ó

× Ø Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ò Ø Ò Ò Ó × Ð Ð Ó × Ñ Ô Ö Ú Ö Ø Ð º

µ × Ö Ð × Ù Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó º

µ Ð Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ø Ò × Ò Ð Ð Ó º

µ Ð Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó Ù Ò Ó × Ø Ý × Ò Ó Ù Ò

× Ø Ò Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ö Ù Ò Ö Ò Ð × Ó º



Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Õ Ù Ð × Ð Ó Ö Ó Ö Ó Ø Ý × Ø Ö × Ð ¸ Ó Ò Ð Ö Ó Ø Ò

Ð Ö Ó Ö Ù Ò × Ñ Ø Ö Õ Ù × Ñ Ò Ø Ò × Ñ Ô Ö Ô Ö Ð Ð Ó × Ñ × Ñ Ó º È Ó Ö × Ø Ö Þ Ò ¸ Ô Ö

Ô Ð Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ò × Ö Ó Ö Ù Ö Ö Ö Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ö Ò × Ð Ò

Ý Ð Ù Ò

Iα = M Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö º

È Ö Ö Ö Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ö × Ð Ò ¸ Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ò Ö Ð

S Õ Ù Ø Ò × Ù

x Ò Ð

Ö Ò Ð Ö Ú Ý × Ù

zÔ Ö Ð Ð Ó Ð Ð × Ó º Ë Ó Ö Ð × Ó Ø Ò Ò Ñ Ò Ø Ó ×

Ù Ö Þ × ¸ Ð Ô × Ó P = (mg, 0, 0)Ý Ð Ø Ò × Ò Ð Ù Ö T = (−T, 0, 0)

º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × Ù Ò Ð Ý ×

Ö Ù

ma = mg − T º

Ë Ó Ð Ö Ó Ð Ù Ö Ô Ó Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ò Ó Ò Ö Ð

S ′ Ù Ý Ó

z′ × Ø Ò Ð Ö Ò Ð Ð × Ó

Ý Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ð Ø Ó Ö Õ Ù Ó Ð Ô × Ó × Ò Ù Ð Ó Ý Õ Ù Ð × Ö Ù Ò Ù Ö Þ Õ Ù Ø Ô Ó Ö

Ù Ð × Ó Ö Ø Ó × Ð × Ô Ö Ø Ù Ð × Ð × Ð Ó × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Õ Ù × Ø Ù Ö Þ × Ø Ô Ð Ö Ø Ñ Ò Ø Ð

Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ð Ø Ó Ö Õ Ù Ó Ð Ø Ò × Ò Ø Ò Ñ Ù Ð Ó

M = T R¸ × ¸ Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ð Ö Ò

Ò Ù Ð Ö Ù Ñ Ô Ð

T R = Iα¸ Ó Ò

I = 1

2mR2

× Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ó Ö × Ô Ø Ó × Ù º

Ó Ñ Ó Ð Ð Ø Ù Ö × Ò Ô Ó Ö Ð × Ó × Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ó × Ò Ö Ó Ð Ð Ó ¸ × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù

a = αRº È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ø Ö × Ù Ó Ò × Ô Ö Ð × Ø Ö × Ò Ò Ø ×

a,α,T

ma = mg − T

T R =1

2mR2α

a = αR

Ä × Ó Ð Ù Ò × Ø × × Ø Ñ ×

a =2

3g

T =1

3mg

α =2g

3R´ ½ ¾ µ

É Ù Ð × Ó × Ò Ù Ò × Ø Ò Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù × Ù Ö Ù Ò Ö Ò × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Õ Ù

Ù Ò Ú Ù Ð Ø Ó Ñ Ô Ð Ø × Ó Ö × Ù º Ð Ø Ñ Ô Ó Ò × Ö Ó Ô Ö Õ Ù Ð × Ó × Ò Ð × Ø Ò

2πr ×

t =

6πr/gº È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸

V = at =

8πgr/3º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ñ Ò Ù Ö Ð Ó

a¸ Ý Ò × × Ù Ô Ö Ð Ñ ×

σ Ö Ó Ò

Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ð Õ Ù Ô × Ô Ó Ö

Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð Ý Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó

θ Ó Ò Ù Ò Ó × Ù × Ð Ó × º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ý Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð × Ù Ö Þ × Ò × Ö Ó Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö Ð

Ö Ó Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Ó Ö Ó Ò Ð Õ Ù Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ô Ö Ó Ò Ó ×

× Ñ Ø Ö º Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ø × Ô Ó ¸ Ý × Ò Ó × Ô ¸ Ò Ø Ö Ó Ø Ö × Ó × × ¸ Õ Ù Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ù Ö Þ Ð Ó

Ñ Ò Ø Ò Ò º

Ð Ñ Ó × Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò ¸ Ù Ò Ó Ò Ö Ð

S Ù Ý Ó

Y × Ð Ö Ó Ø Ò ¸ Ý Ó Ø Ö Ó Ò Ó Ò Ö Ð

S ′ Ù Ý Ó × ×

X ′, Y ′× Ó Ò Ô Ö Ð Ð Ó × Ð Ó × Ð Ó × Ð Ô Ð Ý × Ù

Z ′ × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö º Ä Ó × Ó Ö Ò ×

Ñ Ó × × × Ø Ñ × × Ø Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð Õ Ù × Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × × Ø Ñ º Î Ñ Ó × Õ Ù Ô Ó Ö

× Ñ Ø Ö

S ′ × Ð × × Ø Ñ × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ð Ó × Ù Ð × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò Ð º Ò Ø Ó ¸ Ð

Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ø Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò

S ′

I ′xx =

a/2−a/2

y2σady =M a2

12

I ′yy = a/2−a/2

x2σadx = M a2

12

I ′zz = I ′xx + I ′yy =M a2

6



Ó Ò Ô Ö Ð Ù Ð Ö

I ′zz Ñ Ó × Ù Ø Ð Þ Ó Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó × × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö × Ý Ó Ò

M = σa2º Ä ×

Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ó Ó Ò Ð × × Ò Ù Ð Ò Ô Ó Ö × Ñ Ø Ö º × ¸

I′ =

I ′xx I ′xy I ′xzI ′xy I ′yy I ′yzI ′xz I ′yz I ′zz

=

Ma2

120 0

0 Ma2

120

0 0 Ma2

6

´ ½ ¿ µ

Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×

ω = (0, ω, 0) Ò Ð × × Ø Ñ Ò Ö Ð

S º È Ö Ð Ð Ö Ð ×

Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò

S ′¸ Õ Ù × Ð × Ô Ö Ò Ô Ð × Ð

× Ð Ó Ý Õ Ù Ô Ó Ö Ò Ò Ô Ö Ñ Ò × Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ñ Ò ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò

Ò Ø Ö

S Ý

S ′º × Ø Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ò Ù Ð Ó

θ Ð Ö Ó Ö Ð

Z

Ý Ð Ù Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ò Ù Ð Ó

ϕ = ωt Ð Ö Ó Ö Ð

Y º Ó Ñ Ó Ð × Ø Ù Ò × Ò Ø Ò Ù Ð Õ Ù Ö

Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ò Ó × Ô Ó Ñ Ó × Ö Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ò Ð Õ Ù Ð Ó × ×

Z Ý

Z ′ Ó Ò Ò º Ò × Ø Ø Ñ Ô Ó

Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò

S ′× Ó Ò ω

′ = ω(sen θ, cos θ, 0)º È Ö Ó Ò Ö Ð × Ø × × Ó Ò

Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ø Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó º Ä × Ù Ó Ò × Ù Ð Ö

I ′xxω′x − (I ′yy − I ′zz)ω′yω′z = N ′extx ´ ½ µ

I ′yy ω′y − (I ′zz − I ′xx)ω′zω′x = N ′exty ´ ½ µ

I ′zz ω′z − (I ′xx − I ′yy)ω′xω′y = N ′extz ´ ½ µ

Ó Ñ Ó

ω′ = 0

Ú Ò Ò

0 = N ′extx ´ ½ µ

0 = N ′exty ´ ½ µ

−(I ′xx − I ′yy)ω′xω′y = N ′extz ´ ½ µ

Î Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ù Ò Ð Ñ Ò Ù Ö ¸ Ô Ö Ð Ù Ð

I ′xx = I ′yy ¸ Ø Ó × Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ð × Ù Ö Þ × Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ

S ′× Ò Ù Ð Ò º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò Ó Ð Ø Ò Ò Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ù Ö Þ

Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö × Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º ´ Æ Ø × Õ Ù Ô Ö Ù Ò Ô Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ö

I ′xx = I ′yy Ý × Ö Ð Ø Ù Ò

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ù Ö Þ × µ º

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ò Ô Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ð × × Ø Ñ

S ′Ð × × Ù Ò Ø ×

L′ = I

′ω′ =

Ma2

120 0

0 Ma2

120

0 0 Ma2

6

ω sen θ

ω cos θ0

=

M

12a2ω

cos θ

sen θ0

´ ½ µ

× Ø Ú Ø Ó Ö × Ó Ò × Ø Ò Ø Ý Ô Ö Ð Ð Ó ω′

º

¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ Ë Ó Ö Ù Ò × Ó Ñ ×

M Ý Ö Ó

R× Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ó Ñ Ö Ñ ×

mº

Ð × Ó Ô Ù Ö Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ö Ó Ö × Ù Ú Ö Ø Ð ¸ Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º

Ò Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ó ¸ Ð Ó Ñ Ö Ñ Ô Þ Ñ Ó Ú Ö × × Ó Ö Ð × Ó × Ö Ò Ó Ù Ò

Ö Ù Ò Ö Ò Ö Ó

rÝ Ó Ò Ò Ø Ö Ð × Ó º ú Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ð × Ó

× Ð Ó Ñ Ö × Ñ Ù Ú Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó v Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ó

È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ö × ¸ Ù Ò Ó Ó Ò Ù Ò Ñ ×

m, × Ø Ò Ô × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ø Ó Ö Ñ

Ö Ù Ð Ö Ö Ó R Ò Ð Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × Ù Ò Ñ Ø Ö Ó º Á Ò Ð Ñ Ò Ø Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ × Ø

Ö Ò Ó Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω0 º Ä Ó × Ó × Ó Ñ Ö × × Ö Ò × Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ó

Ð Ô Ð Ø Ó Ö Ñ º ú Õ Ù × Ø Ò Ð Ö Ó Ø Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ð Ó × Ó Ñ Ö × Ð Ñ Ü Ñ

Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ò × Ù Ö Ó Ö Ö Ó Ð Ò Ø Ö Ó

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Í Ò × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ ×

mÝ Ö Ó

R¸ × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ô Ó × Ó × Ó Ö Ù Ò

× Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ù Ò Ö Ð × Ó × Ø Ò Ó Ò Ø Ø Ó



Ó Ò Ð × Ù Ô Ö º Í Ò Ð Ñ ×

mÝ Ú Ð Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð

v Ó Ó Ò Ð × Ó Ý Õ Ù

Ò Ö Ù × Ø Ò Ð Ó Ö Ó Ñ Ó × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ð Ù Ö º Ð Ù Ð Ö µ Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó

Ñ × × ¸ µ Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ Ý µ Ð Ò Ö Ò Ø

Ð × × Ø Ñ Ò Ø × Ý × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Ó × Ó Ð × Ô Ù Ò Ø Ù Ð × Ù Ð × Ñ ×

M × Ø Ò Ù Ò × Ñ Ò Ø Ù Ò Ú Ö Ð Ð

Ö Ñ × × Ô Ö Ð Ý Ð Ó Ò Ø Ù a º Ò Ð Ú Ó ¸ Ð × × Ø Ñ Ö Ð Ö Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó

Ñ × × Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ωº Ò Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ó ¸ Ù Ò Ð × Ó Ð ×

Ó Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ð ¸ × Ø Ó Ò Ö Ý Ô Ù Ò Ø Ù Ð ¸ Ñ × Ø Ñ Ò

M Õ Ù Õ Ù Ö

Ð Ô Ö Ñ Ö º

´ µ Ð Ù Ð Ö Ð Ô Ó × Ò Ý Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ Ð × Ø Ö ×

Ô Ö Ø Ù Ð × ¸ Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ó Õ Ù º

´ µ ú Ù Ð × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ø Ö × Ñ × × Ö × Ô Ø Ó × Ù

Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ó Õ Ù ú Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø

Ô Ó × Ø Ö Ó Ö

´ µ ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ô Ù × Ð

Ó Õ Ù

´ µ ú Ù Ð × Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ð Ý Ò Ð

M

x

z

y

a M

M

M

Ù Ö ½

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò × Ö Ñ Þ × Ö Ö Ó × Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ó Ó Õ Ù

Ö × Ð Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó

v0 × Ò Ö Ó Ö º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ð Õ Ù Ð Ð Ú Ö × Ù

Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Ò Ö × Ð Ö ×

v = 5v0/7º ´ Ä Ø Ö Ò × Ò Ù Ò × Ó

Ó Ø Ö Ó × Ö Ù Ð ¸ × Ö ¸ Ð × Ö Ö Ó Ö Ý Ö × Ð Ö Ð Ú Þ Ù Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ñ Ô Ó º Ð

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ö Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ö ×

I = 2M R2/5 Ó Ò

M × Ð Ñ × Ð × Ö Ý

R× Ù Ö Ó µ º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ È Ö Ù Ò Ð Ò Ö Ó Ñ Þ Ó Ñ ×

mÝ Ö Ó

RÕ Ù Ö Ó Ò Ó × Ò × Ð Þ Ö

Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ö Ð Ò Õ Ù Ü × Ø Ò Ø Ö Ð Ò Ö Ò Ø

Ø Ö × Ð Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ö Ó Ø Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º ú È Ö

Õ Ù Ù Ö Ô Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ò × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù Ñ × Ò Ö × × Ó Ò Ù Ð ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ö Ó

R¸ × Ô × Ó Ö

hÝ Ñ ×

M Ö Ó Ò Ú Ð Ó

Ò Ù Ð Ö

ω Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ð × Ó × Ô Ö Ó × Ø Ù Ò

× Ø Ò

d < Rº Ð Ù Ð Ö µ Ä Ù Ö Þ Ý Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Õ Ù Ö Ð × Ó × Ó Ö Ð

Ö Ó Ø Ò º µ Ä Ô Ó × Ò Ò Ð × Ó Ó Ò Ö Õ Ù Ó Ð Ó Ö Ù Ò Ñ ×

mÔ Ö Õ Ù Ð

Ò Ó × Ø × Ó Ñ Ø Ó Ù Ö Þ × º

È Ö Ó Ð Ñ ½ É Ù Ö Ñ Ó × Ö Ö Ö Ù Ò Ô Ù Ö Ø

20 Ñ × Ý

1Ñ Ò Ó º È Ö

Ð Ð Ó Ñ Ô Ù Ñ Ó × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ù Ö Ø × Ó Ö Ð Ö × Ø Ó Ô Ù × Ø Ð

Ð × × Ö × Ó Ò Ù Ò Ù Ö Þ

200Æ Ù Ö Ò Ø Ù Ò Ñ × Ù Ò Ó º Ä Ô Ù Ö Ø



Ó Ö Ñ Ò Ð Ñ Ò Ø Ù Ò Ò Ù Ð Ó

90Ó

Ó Ò Ð Ô Ö Ý Ò Ó Ó Ò × Ö Ö Ñ Ó × Ò Ò Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º

× Ô Ö Ò Ó Ð Ö Ó × Ó Ö Ð Ô Ù Ö Ø × Ô µ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ô Ù Ö Ø

Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ö × º µ Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ö Ò Ö Ö Ö × Ð Ô Ù Ö Ø º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ö Ö Ö Ñ ×

mÝ Ð Ó Ò Ø Ù

l × Ð Þ ¸ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ó Ö Ð

Ò Ø Ö Ó Ö Ù Ò Ö Ó Ö Ó

R¸ × Ó Ñ Ø Ð Ò Ð Ö Ú º Ì Ó Ñ Ò Ó

2R ≥ l

µ ú É Ù Ø Ô Ó Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ö Ð Þ Ð Ö Ö

µ × Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ö Ö º

µ Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ð Ð Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ö Ö Ò × Ù Ô Ù Ò Ø Ó Ñ Ó Ó Ö Ñ

Ù Ò Ò Ù Ð Ó ¼ Ö Ó × Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð ¸ Ý Õ Ù Ð Ö Ö Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó ¸ Ð Ù Ð Ð Ú Ð Ó

Ò Ù Ð Ö Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ö Ö º

½ ¼




¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾

½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ó Ø Ó Ñ ×

m× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð × Ó Ò Ó Ó º

Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ñ Ó × Õ Ù × Ñ Ù Ú Ù Ö Ó Ó Ò Ð Ù Ò

r = a exp−(bθ) Ó Ò

a, b× Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø × Ý

θ × Ð Ò Ù Ð Ó Ô Ó Ð Ö º À Ð Ð Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ð × Ø Ñ Ô Ó ´ Ü Ô Ò

Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú µ º ´ Ý Ù Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × ×

a =(r − rθ2) r + 1r

ddt(r2θ) θ.

µ

Ë Ó Ð Ù Ò

Í Ò Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð × Ð Ó Ö Ñ

F = f (r)rº È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ò

r − rθ2 =1

mf (r)

´ ½ µ

d

dt(mr2θ) = 0 ´ ¾ µ

Î Ñ Ó × Ò Ø Ò Ø Ö × Ö Ö Ð Ù Ò ´ ½ µ Ò Ù Ò Ò

rº Ä Ù Ò ´ ¾ µ Ñ Ô Ð Ð Ó Ò × Ø Ò Ð

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö

J = mr2θÕ Ù × Ô Ù × Ö Ö

θ =

J

m

1

r2

Ö Ú Ñ Ó × Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó Ð Ù Ò Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö

r = −abθe−bθ = −brθ = −Jb

m

1

r

Ý Ú Ó Ð Ú Ò Ó Ö Ú Ö

r =Jb

m

1

r2r = −

Jb

m2 1

r3

Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó Ò ´ ½ µ ¸ Ø Ò Ñ Ó ×

1

mf (r) = −

Jb

m

2 1

r3− r

J

m

2 1

r4= −

J 2(b2 + 1)

m2

1

r3

Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ö Ð Ù Ò

−V ′(r) = f (r) = −J 2(b2 + 1)

m

1

r3

Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó

V (r) = − J 2

2m(b2 + 1)

r2

È Ö Ó Ð Ñ ¾ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó

OÔ Ó Ö Ù Ò Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð

F (r)Ô Ó Ö

Ù Ò Ñ × ¸ Ó Ò

r × Ð × Ø Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ô Ù Ò Ø Ó

Oº Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

½



Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ö Ó Ö

O× Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ñ Ø Ó Ù Ò Ô Ð Ò Ó º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ô Ó Ö

Ù Ò Ñ × ×

F (r) = k

4a

r

2 − 3a

r

3´ ¿ µ

Ý Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ù Ò Ó × Ø × Ø Ù Ù Ò × Ø Ò

a

OØ Ò Ù Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð

Ú Ð Ó Ú Ð Ó Ö

√ ak Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó Ö Ò Ù Ö Þ × O Ó Ò Ð Ô Ó × Ò

Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ý Ð Ó Ø Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ú Ð Ó ¸ Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ò ¸ Ù Ð

Ú Ð Ó Ö ¸ Ð Ù Ð Ö Ð × × Ø Ò × Ñ Ü Ñ × Ý Ñ Ò Ñ × Ð Ó Ö Ò

Oº

Ë Ó Ð Ù Ò

Ì Ó Ñ Ñ Ó × Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ö Ò Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó

OÝ Ø Ð Õ Ù Ð Ô Ð Ò Ó Ð

Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ð Ý Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ó Ò × Ö Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ò

(a, 0, 0)º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö

J = mr×v × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ó Ò × Ø Ò Ø ´ Ô Ó Ö × Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð µ Ý Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö º

Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ó Ò × Ö Ó × Ø Ó Ô Ó Ö J = m(a, 0, 0) × (√

ak,√

ak, 0) = ma√

akkº

Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù Ð Ö Ú Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð × Ø Ó Ô Ó Ö

V (r) = −km

4a2

r − 3 a3

2r2

´ µ

Ó Ñ Ó Ô Ù Ô Ö Ö × × Ò Ñ × Õ Ù Ð Ð Ò Ó Ð Ö Ò Ø × Ø Ù Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ð º Ò Ð Ò × Ø Ò Ø

Ó Ò × Ö Ó ¸ Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð ×

E =m

2v2 + V (a) =

m

2(√

ak2

+√

ak2

)− km

4

a2

a− 3

a3

2a2

= −3

2mka.

´ µ

Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ð Ô Ó × Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ð Õ Ù Ø Ö Ñ Ò Ô Ó Ö Ð × Ø Ò

rÝ Ð Ò Ù Ð Ó

θº

Ä × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó × Ó Ò

vr = rÝ

vθ = rθº Ä Ò Ö Ò Ø Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö ×

×

E c =1

2mr2 +

1

2mr2θ2.

Ó Ñ Ó Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × J = mr2θ = ma√

ka ¸ Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó

E = −3

2mka = E c + V (r) =

1

2mr2 +

1

2mr2θ2 − km

4

a2

r− 3

a3

2r2

=

1

2mr2 + V ef (r)

Ó Ò Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú × Ð Ô Ö Ø Õ Ù Ò Ó Ô Ò Ð Ú Ð Ó Ö Ð

r

V ef (r) =1

2m

a3k

r2+ V (r) = m

−4k

a2

r+ 2k

a3

r2

Ä Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ñ Ü Ñ Ó Ý Ñ Ò Ñ Ó Ö Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ö Ò × Ö Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ð

Ø Ú Ó Ý Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð ¸ Õ Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ò Õ Ù Ð Ò Ö Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ð ´ Ó

Ð Ú Ð Ó Ö Ð ×

r = 0µ

V ef (r) = E = −3

2mka = m

4k

a2

r+ 2k

a3

r2

Ó Ò Ò Ó × Õ Ù Ð Ù Ò

3r2 − 8ar + 4a2 = 0

Ù Ý × Ö × × Ó Ò

rmin = 23a

Ý

rmax = 2aÕ Ù × Ó Ò Ð × × Ø Ò × Ô × º

Æ Ø × Õ Ù Ô Ö × Ø Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ò Ø Ú Ý Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ö Ù Ò

Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ö Ò Ø Ö

rmax Ý

rmin Ó Õ Ù Ð Ó Ò Ò Ð Ò Ù Ò Ó Ò Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð

× Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó

r = aÔ Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ó Ô Ù Ò Ø Ó × × Ð º È Ö × Ø × Ó Ó Ò Ö Ø Ó Ð

Ó Ó Ö Ò Ö Ð × Ø Ó Ñ Ô Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó rmin < r < rmax º

È Ö Ó Ð Ñ ¿ Ð Ù Ð Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ó Ò Ð Õ Ù Ö Ù Ò Ð Ó Ò Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ó Ö Ù Ð Ö

× Ó Ö Ù Ò Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð

mÙ Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ý

¾



Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Ä Ò × Ð Ò Ð Ñ × Ð Ò Ð Ð Ó ×

λº Ü Ô Ö × Ö Ù Ö Þ Ò

Ù Ò Ò Ð × Ø Ò

h Ð Ñ × Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó º × Ù Ø Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×

Ð Ù Ö Þ Ô Ö h Ö Ò Ý h Ô Õ Ù Ó º ú Ù Ð × Ö × Ù Ú Ð Ó Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð

Ò Ð Ð Ó ú É Ù × Ø Ò Ö Ó Ö Ö Ö Ò Ð Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ò Ð Ð Ó ú × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ó

ú Ó Õ Ù Ó Ò Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ñ Ô Ð Ø Ö Ñ Ò Ö Ð

Ö Ù Ò Ò × Ø Ð Ø Ñ Ó × Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ó Ò × Ö Ñ Ó ×

Y Z Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö Õ Ù Ð

X Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö

Ó Ô Ð Ò Ó º

¹ Ð Ñ Ô Ó Õ Ù Ò Ö Ù Ò Ø Ö Ó Þ Ó Ò Ð Ð Ó Ñ ×

dm Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð × Ô Ö Ó Ù Ò × Ø Ò

”x”Ô Ó Ö Ò Ñ × Ù Ô Ð Ò Ó Ú Ò Ó Ô Ó Ö

|dg| =Gdm

r2

Ó Ò r × Ð × Ø Ò Ð Ø Ö Ó Þ Ó Ò Ð Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ù Ð Ó Ð Ñ Ô Ó º Ð Ú Ð Ó Ö dm × dm =mdl/L = mRdθ/(2πR) = m/(2π)dθ

× Ò Ó

θ Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ö Ö Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó

Y Z º Ä × Ø Ò Ð

Ø Ö Ó Þ Ó Ö Ò Ð Ò Ð Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò × Ø Ñ Ó × Ð Ù Ð Ò Ó Ð Ñ Ô Ó × r = √ x2 + R2¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð

Ü Ô Ö × Ò Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ö Ó Ô Ó Ö × Ø Ö Ó Þ Ó Ò Ð Ð Ó ×

dg =Gmdθ2π

(x2 + R2)

× Ñ Ô Ó × Ð Ó Ò Ó × Ò Ø Ö × Ð Ô Ö Ó Ý Ò × Ó Ö Ð

xº É Ù Ú Ò Ô Ó Ö

gx = gcosφ× Ò Ó

cosφ = xr = x

(x2+R2)1/2º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ù Ó × Ö Ö

dgx = dgcosφ = Gm

2π

x

(x2 + R2)3/2dθ

È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ñ Ô Ó Ø Ó Ó Ð Ò Ð Ð Ó × Ó Ø Ò

gx =

2π0

dθ

G

m

2π

x

(x2 + R2)3/2

gx = Gmx

(x2 + R2)3/2

× Ø Ñ Ô Ó Ô Ù Ò Ø Ò Ð Ö Ò Ð Ò Ð Ð Ó Ô Ó Ö Õ Ù × Ø Ö Ø Ú Ó ¸ Ò × Ø × Ó × Ó × Ð Ö Ò xÒ Ø Ú Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù

g = −Gmx

(x2 + R2)3/2i

Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó × Ô Ù Ó Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ò Ö Ø

U = −

g.dr = − −Gm

x

(x2 + R2)3/2dx = − Gm

(x2 + R2)1/2

È Ó Ö Ø Ò Ø Ó

U (x) = − Gm(x2+R2)1/2

º

Ù Ò Ó x ≪ R ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù × Ø Ñ Ó × Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ô Ö Ó Ü Ñ Ö

U (x) = − Gm

(x2 + R2)1/2= −Gm

R

1

1 + x2

R21/2≈= −Gm

R

1− x2

2R2

´ µ

Õ Ù × Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð Ô Ö Ð Ó Õ Ù Ð Ù Ö Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ñ Ô Ð Ö Ù Ò

GM/2R3

º

Ù Ò Ó

x ≫ R Ð Ô Ó Ø Ò Ð × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø

U (x) = −Gmx Ý ¸ Ö Ò × × Ø Ò × Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ð Ô Ó Ø Ò Ð

× Ñ Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ô Ù Ò Ø Ù Ð º

¿



¹ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Õ Ù × Ñ Ù Ú Ø Ò Ù Ò Ñ ×

M º Ë Ù Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó

× Ó Ö Ð Ð Ò Ð Ð Ó Ù Ò × Ø Ò

x Ð Ó Ö Ò Ú Ò Ô Ó Ö

E p(x) = M U (x) = − GmM

(x2 + R2)1/2

Ý × Ù Ò Ö Ò Ø Ô Ó Ö E c = 12mv2 p × Ò Ó v p Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø

× Ø Ù Ò × Ø Ò

h× Ó Ö Ð Ý Ò Ö Ô Ó × Ó × Ù Ò Ö Ñ Ò Ò Ð ×

E T (0) = E c(0) + U (x = h) = 0− GmM

(h2 + R2)1/2

Ð Ô × Ö Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ø Ò Ö Ù Ò Ú Ð Ó

vÝ Ù Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ð Õ Ù

x = 0

Ó Ò Ð Ò Ö Ñ Ò × Ö

−GmM

R+

1

2mv2

È Ù × Ø Ó Õ Ù Ò Ó Ý Ô Ö Ò Ö × Ø × Ó × Ò Ø × × Ó Ò Ù Ð ×

− GmM (h2 + R2)1/2

= −GmM R

+ 12

mv2

× Ô Ò Ó × Ó Ø Ò

v =

2

GM

R− GM

(h2 + R2)1/2

1

2

¹ È Ö Ð Ù Ð Ö Ð × Ø Ò Õ Ù Ö Ó Ö Ö Ð Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ò Ù Ú Ó × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ò Ö × Ó Ò × Ö Ú ¸

Ò × Ø × Ó × Ô Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ø Ö Ú × Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ó Ò Ø Ò Ý × Ø Ò º Ä Ó Ö Ù Ò

× Ø Ò

xm Ð Ò Ð Ð Ó Õ Ù Ò Ó Ó Ò Ó Ñ Ó × º Ò × Ø Ô Ó × Ò Ø Ó Ð Ò Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ö

Ô Ó Ø Ò Ð ´ Ô Ù × Ø Ó Õ Ù × Ø Ò µ ¸ Ð Ù Ð Õ Ù Ð Ó Ñ Ò Þ Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó

− GM

(h2 + R2)1/2= − GM

(x2m + R2)1/2

Ó Ò × Ò Ñ Ø Ó Ú Ö Õ Ù xm = hº

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ü Ñ ×

M × Ø Ó Ö Ñ Ô Ó Ö Ù Ò × Ø Ö Ù Ò × Ø Ö Ð Ð ×

× Ö Ö Ó

Ro º Í Ò Ò Ú × Ô Ð × Ò Ó Ñ Ù × Ø Ð × Ò Ù Ò Ø Ö Ù × Ø Ó Ò Ð Ó Ö

Ð Ð Ü Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º ú Ù Ò Ø Ó Ø Ñ Ô Ó Ø Ö Ö Ð Ò Ú Ò Ö Ù Þ Ö Ð Ð Ü ¸

× Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù × Ù Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø Ö Ø Ð Ò ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ñ ¹

Ü Ñ Ð Ò Ú Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü ú Ò Õ Ù Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ø Ò

× Ú Ð Ó

Ë Ó Ð Ù Ò

Ë Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ù × × ¸ Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ù Ò × Ø Ö Ù Ò × Ö Ó Ñ Ó ¹

Ò Ñ × Ù Ò × Ø Ò

r Ð Ò Ø Ö Ó × Ø Ó Ô Ó Ö

g(r) = −GM (r)

r2r

Ó Ò r × Ð Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ý

M (r) × Ð Ñ × Ó Ò Ø Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ð × Ö Ö Ó

rº × Ø Ñ × × Ø Ô Ó Ö

M (r) = ρ4π3 r3 = M

R3

0

r3¸ Ó Ò

ρ = M 0/(4πR30/3)

× Ð Ò × Ñ × º

Ñ Ò Ö Õ Ù

g(r) = −GM

R30

rr

Ä Ù Ö Þ × Ó Ö Ð Ò Ú Ñ ×

m× Ö F = mg(r)

Ý Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ú × Ö



F = ma

Ó Ò a × Ð Ð Ö Ò Ð Ò Ú º Ä Ò Ú × Ö Ö Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ø Ð Ò Ý Õ Ù Ð Ù Ö Þ × Ø

Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü Ý Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó

a = rrÝ Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ

r = −GM R30

r

r + ω2r = 0

Ó Ò

ω =

GM R3

0

º × Ø × Ð Ù Ò Ù Ò Ó × Ð Ó Ö Ö Ñ Ò Ó º Ä Ò Ú ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ö Ú × Ð Ð Ü

Ð Ó Ð Ö Ó Ù Ò Ñ Ø Ö Ó ¸ Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó ´ Ý Ò × Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ù Ö Þ Õ Ù × Ò Ø × Ò Ù Ð µ Ð Ñ Ü Ñ

Ú Ð Ó Ý Ñ Ô Þ Ô Ö Ö × × Ø Ð Ð Ö Ð Ü Ø Ö Ñ Ó Ó Ô Ù × Ø Ó Ð Ð Ü ¸ Ó Ò Ø Ò Ö Ú Ð Ó

Ò Ù Ð × Ø Õ Ù Ú Ù Ð Ú Ö Ð Ò Ø Ö Ó º Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ú Ó Ð Ú Ö Ð Ñ × Ñ Ó × Ø Ó × Ð Ô Ö Ó Ó

T = 2π/ω ¸ Ý Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ô × Ö Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ö Ñ Ö Ú Þ × T /4º Ä Ú Ð Ó Ñ Ü Ñ

× Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü º È Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ô Ö Ø Ö Ð × Ó Ð Ù Ò

r(t) = −R0 cos(ωt)r(t) = ωR0 sen(ωt)

´ µ

Õ Ù × Ø × Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ð × Ó Ò Ó Ò × Ò Ð ×

r(0) = −R0 ¸

r(0) = 0º

Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ Ü Ñ Ú Ð Ó × Ù Ò Ó

t = T /4Ý Ò Ø Ó Ò ×

vmax = r(T /4) = ωR0 =

GM R0

º × Ø

Ú Ð Ó Ô Ó Ö Ð Ù Ð Ö × Ø Ñ Ò Ô Ö Ø Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö º Î Ñ Ó × Ñ Ó º

Ä Ô Ö Ñ Ö Ø Ò Ø Ò × × Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ø Ô Ó Ö

U = GMmR0

´ Ð Ò Ö

Ô Ó Ø Ò Ð Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó µ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ñ Ó × U = 12mv2max ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × vmax =

2GM/R0 º × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × × Ø Ò Ø Ó Ð Ó Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ò Ó Ö Ö Ø Ó º × Ø Ó ×

Ó Ð Ð Ò Ð Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù

U = GMm

R0

× Ð Ø Ö Ó Ò × Ö Ó

Ô Ö Ð Ð Ú Ö Ù Ò Ñ ×

m × Ð Ò Ò Ø Ó Ð Ó Ö Ð Ð Ü º È Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö ¸

× Ò Ñ Ö Ó ¸ Ò Ó × Ò Ø Ö × Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù Ð Ô Ö Ø Ö Ð Ø Ö Ó Ò × Ö Ó Ô Ö Ð Ð Ú Ö Ù Ò

Ñ ×

m × Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü × Ù Ó Ö º Ó Ø Ö Ó × Ø Ó Ô Ó Ö

W =

R0

F (r)dr =1

2ω2mr2

Á Ù Ð Ò Ó

W = mv2max/2Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ù Ú Ó Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ó Ö Ö Ø Ó

vmax =

GM/R0 º

È Ö Ó Ð Ñ Ù Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ð × Ò Ø × Ñ ×

m × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ú Ö Ð Ð × Ö × Ý × Ò

Ñ × Ó Ö Ñ Ò Ó Ù Ò Ù Ö Ó Ð Ó

lº Ð × × Ø Ñ Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω Ð Ö Ó Ö

Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ù Ö Ó Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ñ × Ñ Ó º Ë Ð ×

Ô Ö Ø Ù Ð × × Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ø ¸ ú Ù Ð × Ö

ωÔ Ö Õ Ù Ð × Ú Ö Ð Ð × Ò Ó × Ø Ò

× Ó Ñ Ø × Ò Ò Ò Ø Ô Ó Ø Ò × Ò Ð Ð Ù Þ × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ ú × Ô Ó × Ð Õ Ù Ü × Ø Ò

Ð Ü × Ù Ø Ó Ö Ú Ø Ò Ø × Ò Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ó Ö Ù Ð Ö Ö Ó Ö Ø Ö Ö Ó

Ë Ó Ð Ù Ò

Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ó ¸ Ð Ñ Ó × × Ó Ó Ö Ò × Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð ½ × Ø Ò

Ð Ó Ö Ò ¸ Ð ¾ × Ø Ò Ð Ô Ó × Ò

(0, l)Ð ¿ Ò Ð

(l, l)Ý Ð Ò Ð

(l, 0)º

Ä Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Õ Ù × Ò Ø Ù Ò Ñ ×

m Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ö × Ò Ó Ø Ö Ñ ×

M

Ù Ò

r ×

FG = GMmr3

rº ´ Æ Ø × Õ Ù Ñ Ó × Ô Ð Ó Ð Ô Ö Ò Ô Ó Ò ¹ Ö Ò µ º

È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ö Þ Ø Ó Ø Ð × Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð ½ × Ø Ö Ô Ó Ö

FG = Gm2

1

l3(0, l) +

1

l3(l, 0) +

1

(√

2l)3(l, l)

=Gm2

l2

(0, 1) + (1, 0) +

1

(√

2)3(1, 1)



=Gm2

l2

1 +

1

(√

2)3

(1, 1)

× Ø Ù Ö Þ × Ø Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ð Ø Ö Ó º

È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Õ Ù × Ò Ø Ð Ô Ö Ø Ù Ð ½ × Ø Ö Ð Ó Ð Ö Ó

(−1,−1)Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ð Ø Ö Ó ¸ Ý × Ù Ñ Ù Ð Ó × Ø Ó Ô Ó Ö F c = mrω2

Ó Ò

ω × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ó Ø Ò Ð × Ñ × × Ý

r = l/√ 2 × Ð × Ø Ò Ð Ñ × ½ Ð Ò Ø Ö Ó Ð

Ù Ö Ð Ø Ö Ó º Ó Ñ Ó Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ö × Ù Ð Ø Ò Ö Ò Ö Ó Ò × Ó Ô Ù × Ø × ¸ Ô Ó Ñ Ó ×

Ö × Ø Ö × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø × Ù × Ñ Ù Ð Ó × Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ù Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø ¸ Õ Ù ×

Gm2

l2

√ 2

1 +

1

(√

2)3

−m

lω2

√ 2

= 0

Î Ñ Ó × Õ Ù × Ñ Ô Ö Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω Ó Ö Ñ Õ Ù Ó Ò × Ñ Ó × Õ Ù × Ø

Ù Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø × Ò Ù Ð ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð × × Ø Ò × Ö Ð Ø Ú × Ò Ø Ö Ð × Ù Ø Ö Ó Ñ × × × Ñ Ò Ø Ò Ò

Ó Ò × Ø Ò Ø × º Ò × Ø × Ó

ω = 2Gm

l3 1 +1

(

√ 2)

3 .

Ò Ù Ò Ð Ü Ò Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ó Ö Ù Ð Ö Õ Ù Ö Ó Ø Ý Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ò Ó Ò Ö Ð Õ Ù Ö Ó Ò Ð

Ð Ü ¸ × Ó Ö × Ø Ö Ð Ð Ø Ù Ò Ó × Ù Ö Þ × ¸ Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ð × Ñ × × Ø Ö Ð Ð × ¸ Õ Ù Ô Ó Ö

× Ñ Ø Ö × Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ý Ð Ò Ø Ö Ù Ó Ð Ö Ó Ø Ò Ð Ð Ü º È Ó Ñ Ó ×

Ü Ø Ò Ö Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ð Ù Ö Ð Ø Ö Ó × Ø × Ó × Ò Ñ × Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ý Ú Ñ Ó × Õ Ù ¸ Ò

Ô Ö Ò Ô Ó ¸ × Ñ Ô Ö Ô Ó Ñ Ó × Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ý Ù Ò Ö Ó Ø Ð Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸

Õ Ù Ö Ó Ð Ô × Ö Ð Ð Ü Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ × Ó Ñ Ô Ò × Ó Ò Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù º Ë Ò

Ñ Ö Ó ¸ Ý Õ Ù Ò Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ó Ò Ù Ö Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ò Ó × × Ø Ð º Ë Ô Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

¸ Ù Ñ Ò Ø Ñ Ó × Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ð Ü ¸ × Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ø Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý

× Ñ Ò Ù Ý Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù Ð Ð Ü × × Ô Ö × Ö Ð Ù Ò Ú Ö × Ó º Ë × Ñ Ò Ù Ñ Ó ×

Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ö Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ù Ñ Ò Ø Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ý × Ñ Ò Ù Ý Ð Ò Ø Ö Ù ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð

Ð Ü Ó Ð Ô × Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ó Õ Ù Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó ¸ ¸ × Ù Ò Ð Ø Ù Ö Ò Ò Ø ¸ × Ó Ö Ð

× Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö º ú Õ Ù Ú Ð Ó Ñ Ô Ø Ö × Ó Ö × Ø ¸ × Ð Ø Ñ × Ö Ò Ó Ö Ò ×

× Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

Ë Ó Ð Ù Ò

Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ó × Ö Ð Þ Ò Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð

V (r) = − GMmr ¸ Ó Ò

M × Ð Ñ × Ð

Ì Ö Ö Ý

mÐ Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ó º Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ó × Ñ Ù Ú ×

r = ∞ × Ø

r = RT ´ Ö Ó Ð Ì Ö Ö µ º

Ä Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ó Ò × Ö Ú ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù ¸ Ô Ó Ò Ò Ó

E (r = ∞) = E (r = RT ) Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù

Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó Ý Õ Ù

V (r = ∞) = 0Ò Ó × Õ Ù

0 =12

mv2 − GM mRT

× Ô Ò Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù

v =

2GM

RT

× Ð Ú Ð Ó Ó Ò Õ Ù Ñ Ô Ø Ö Ó Ò Ð Ì Ö Ö º

È Ö Ó Ð Ñ ú É Ù Ô × Ö Ó Ò Ð Ö Ø Ø Ö Ö × Ø Ö ¸ × Ù Ô Ù × Ø Ö Ù Ð Ö ¸ × Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð

× Ö Ù Ö Ö Ù × Ñ Ò Ø Ð Ñ Ø × Ù Ñ × Ø Ù Ð ú É Ù Ó Ù Ö Ö Ö × Ò Ú Þ Ð Ë Ó Ð

Ù Ö Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö Ð Õ Ù × Ö Ù Ö Ð Ñ Ø Ë Ð Ë Ó Ð × Ó Ð Ô × Ö Ñ Ò Ö

Õ Ù Ð Ö Ó × Ö Ù Ö Ð Ñ Ø Ó Ò × Ö Ú Ò Ó × Ð Ñ × ¸ ú Ù Ò Ø Ò Ö × Ò Ö Ò

Ð Ó Ò Ø Ö Ò

Ë Ó Ð Ù Ò Ä Ñ × Ð Ì Ö Ö Ô Ó Ö Ö Ù Ö × Ð Ñ Ø × Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó Ý Ü × Ø Ó Ù Ò

Ô Ö Ó × Ó ´ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó Ù Ò Ü Ô Ð Ó × Ò Ø Ö Ñ Ó Ò Ù Ð Ö µ Õ Ù Ý Ô Ö Ø Ó Ò Ó × Ð Ì Ö Ö º Ò × Ø × Ó ¸




L1

L2

Ù Ö ½ È Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ò Ù Ò Ó Ò ´ µ ¸ Ô Ö Ó × Ú Ð Ó Ö × L × Ò Ó L1 > L2 º

Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð × Ø Ö Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð × Ó × Ñ × × Ý Ð Ë Ó Ð Ý × Ó Ò × Ö Ú Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ý

Ð Ò Ö Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ô Ö Ö × Ó Ð Ú Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ö Ò Õ Ù Ö Ò Ó × Ñ ×

Ò Ó Ö Ñ Ò Ó Ñ Ó ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ò Õ Ù Ö Ò Ý Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ó × × Ð Ò Ð Ó × Ó × Ø Ö Ó Þ Ó × × Ô Ù ×

Ð Ü Ô Ð Ó × Ò º

Ó Ñ Ó × Ø Ò Ó Ö Ñ Ò Ò Ó Ô Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ó ¸ Ý Õ Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Õ Ù Ð × Ø Ù Ò Õ Ù Ò Ó ×

Ô Ð Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Õ Ù Ò Ö Ø Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö × Ö Ù ´ Ô Ó Ö Ö Ø

Ñ µ Ð Ñ Ø × Ò Ñ Ö × Ù Ô Ó × Ò Ò Ú Ð Ó º Ò × Ø × Ó ¸ Ò Ð Ò Ö Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ò Ù Ð Ö Ð Ì Ö Ö × Ó Ò × Ö Ú Ò Ò Ð Ô Ö Ó × Ó º Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö

L = |L| = mRvÔ ×

L′ = |L′| = m2 Rv

× Ô Ù × Ð Ö Ù Ò Ö Ù Ô Ø Ð Ñ × ¸ × Ò Ó

R Ð Ö Ó Ð Ö Ø

Ù Ð Ö Ý

v× Ù Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð º Ð Ñ × Ñ Ñ Ò Ö ¸ Ð Ò Ö Õ Ù Ø Ò

E = m2 v

2 − GMmR Ô ×

E ′ = m/22 v2 − GMm/2

R = E/2× Ò Ó

M Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð º Ú Ò Ø Ñ Ò Ø ¸ Ø Ö × Ð Ö Ù Ò Ñ × ¸ Ð

Ñ ×

m/2Ñ Ò Ø Ò Ö Ù Ò Ò Ñ Ø Ô Ó Ö × Ù

E ′Ý

L′Õ Ù × Ö Ò Ñ Ò Ø Ù × Ó Ò × Ø Ò Ø × º

Ò Ð Ñ Ó × Ð Ò Ñ Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ò Ó Ù × Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó º È Ö Ð Ì Ö Ö

Ñ ×

m× Ù Ò Ö × Ü Ô Ö × Ó Ñ Ó

E =m

2r2 +

L2

2mr2− GM m

r´ µ

Ó Ò Ð L × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ´ Õ Ù × Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ñ µ ¸ × Ò Ó Õ Ù r Ð

Ó Ó Ö Ò Ö Ð Õ Ù Ñ Ð × Ø Ò Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ë Ó Ð º Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ò Ö

Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú × Ð × Ù Ñ Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸

Ò × Ø × Ó

V ef (r) =L2

2mr2− GM m

r´ µ

Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ð Ò Ñ Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

m× Ó Ñ Ø Ù Ò Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ô Ù × Ö

Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ù Ò Ö Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ö Ð

r¸ Ò Ø Ò Ò Ó Ù Ò

Ó Ñ Ó Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ô Ð Ù Ò Ñ ×

mÕ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ù Ò × Ô Ó Ù Ò Ñ Ò × Ó Ò Ð

´ × Ò Ó

rÐ Ú Ö Ð Õ Ù Ö Ø Ö Þ × Ù Ô Ó × Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ù Ö Þ µ × Ø Ò Ó × Ó Ñ Ø

Ð Ò Ù Ò Ù Ö Þ Õ Ù Ö Ú Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó º × Ö ¸ Õ Ù Ð Ù Ò Ô Ù × Ö Ö × Ö Ø

Ó Ñ Ó mr = −V ′

ef (r)º

Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ø Ò Ð Ó Ö Ñ Ñ Ó × Ø Ö Ò Ð Ù Ö ½ º Ì Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó × Ø Ù Ó Ò

rmin Ô Ö

Ð Ù Ð

rmin =L2

Gm2M , V ef (rmin) = −G2m3M 2

2L2´ ½ ¼ µ

Ä Ò Ö Ò Ø × Ö × Ñ Ô Ö Ù Ò Ñ Ò Ø Ù Ñ Ý Ó Ö Ó Ù Ð Ö Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ø Ñ Ò Ð Ò Ö

Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ó × Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ö Ò × Ö Ð Ó º Ë Ð Ò Ö

E Ø Ó Ñ Ü Ø Ñ Ò Ø Ð Ú Ð Ó Ö

Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó ¸ × Ó Ò Õ Ù × Ð Ó Ý Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ñ × Ù Ö Ú × ¸ Ô Ó Ö

Ð Ó Õ Ù × Ô Ö Ñ Ø Ó Ù Ò Ò Ó Ô Ó × Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ö Ð

r¸ Ð Ó Ù Ð Ò Ó × Ñ Ô Ð Õ Ù Ð Ö Ø

Ö × Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö Ø Ó Ó Ø Ñ Ô Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø Ò Ð Ë Ó Ð ¸ × Ö Õ Ù × Ñ Ó ×

rmin ≡ Rº È Ö Ó Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ù Ö Þ Ø Ó Ø Ð Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ô Ð × Ó Ö Ð

Ð Ñ × m × Ò Ù Ð ¸ Ô Ù × Ð Ð Ó × Ò Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ý Ò Ø Ö Ù × Ø Ò Õ Ù Ð Ö × º

Ò Ð Ñ Ó × Ó Ö Ð Ò Ñ Ð Ñ × Ñ Ø

m/2º Ò Ð Ó Ñ Ò Ø Ð Ó Õ Ù Ñ Ó × Ó ¸ Ø Ò ¹

Ö Ñ Ó × Ù Ò Ò Ö

E ′ =m

4r2 +

L′2

mr− GM m

2r´ ½ ½ µ



× Ö ¸

E

2=

m

4r2 +

L2

4mr2− GM m

2r´ ½ ¾ µ

Ó Ò Ú Ò Ó Ô Ó Ö Ó ×

E =m

2

r2 +L2

2mr2

−

GM m

r

´ ½ ¿ µ

× Ö ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ü Ø Ñ Ò Ø Ð Ñ × Ñ Ù Ò Ò Ö Ø ´ Ó Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó µ Õ Ù

Ò Ð × Ó Ñ ×

mº È Ó Ñ Ó × Ô Ð Ö Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ý Ó Ø Ò Ó × º × Ö ¸ × Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ø Ø Ò Ñ Ó ×

Õ Ù Ð Ö Ø Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Õ Ù Ô Ö × Ö Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ö Ð

rmin ¸ Ò × Ø × Ó Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ñ × m/2Ñ Ò Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ø Ö Ù Ð Ö Õ Ù

Ð Ñ ×

mÔ Ù × Ô Ö Ð Ñ × Ñ Ø Ø Ñ Ò Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ö Ú Ø Ø Ó Ö × Ø Ò Õ Ù Ð Ö × º

× Ø Ù Ñ Ó × Ó Ö Ð Ô Ö Ù Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ù Ò Ñ × Ð Ë Ó Ð º Ù Ð Ñ Ò Ö ¸ Ð Ñ × Ð

Ë Ó Ð Ô Ó Ö Ö Ù Ö × Ð Ñ Ø × Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó Ý Ü × Ø Ó Ð Ò Ô Ö Ó × Ó Õ Ù Ý Ô Ö Ø Ó Ò Ó × Ð

Ë Ó Ð º Ò × Ø × Ó ¸ Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð × Ø Ö Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð × Ó × Ô Ö Ø × Ð Ë Ó Ð Ý Ð Ñ ×

mÝ × Ó Ò × Ö Ú Ö

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ý Ð Ò Ö Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ô Ö Ö × Ó Ð Ú Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ö Ò

Õ Ù Ö Ò Ó × Ñ × Ò Ó Ö Ñ Ò Ó Ñ Ó ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ò Õ Ù Ö Ò Ý Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ó × × Ð Ò Ð Ó × Ó ×

Ø Ö Ó Þ Ó × Ð Ë Ó Ð × Ô Ù × Ð Ü Ô Ð Ó × Ò º

Ó Ñ Ó × Ø Ò Ó Ö Ñ Ò Ò Ó Ô Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ó ¸ Ý Õ Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Õ Ù Ð × Ø Ù Ò Õ Ù Ò Ó ×

Ô Ð Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Õ Ù Ò Ö Ø Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð × Ö Ù ´ Ô Ó Ö Ö Ø Ñ µ

Ð Ñ Ø × Ò Ñ Ö Ð Ô Ó × Ò Ò Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º Ò × Ø × Ó ¸ Ð Ò Ö Ð Ì Ö Ö Ò Ó

× Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ô Ö Ó × Ó º Ä Ò Ö

E = m2 v

2 − GMmR Ô ×

E ′ = m/22 v2 − GMm

2R = E + GMm2R º Ë Ò

Ñ Ö Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ñ Ó ¹ Ë Ó Ð × Ô Ù × Ð Ö Ù Ò Ö Ù Ô Ø

Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð × × Ó Ò × Ö Ú Ý Ñ Ò Ø Ò × Ù Ñ Ò Ø Ù

L′ = Lº

Ì Ö × Ð Ö Ù Ò Ñ × Ð Ë Ó Ð ¸ Ð Ò Ö Ð Ì Ö Ö Ñ × m ×

E ′ =m

2r2 +

L2

2mr2− GM m

2r´ ½ µ

Ó Ò Ð L × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ´ Õ Ù × Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ñ ¸ Ñ Ò Ø Ò Ò Ó × Ð Ñ × Ñ Ó

Ú Ð Ó Ö Õ Ù Ø Ò Ò Ø × Ð Ö Ù Ô Ø Ù Ö µ Ý × Ò Ó Õ Ù

rÐ Ó Ó Ö Ò Ö Ð Õ Ù Ñ Ð × Ø Ò Ð

Ì Ö Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ñ Ó ¹ Ë Ó Ð º Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ò × Ø × Ó ×

V ∗ef (r) =L2

2mr2− GM m

2r´ ½ µ

Ù Ý Ó Ñ Ò Ñ Ó Ô Ó Ø Ò Ð × Ò Ù Ò Ø Ö Ò

r∗min = 2L2

Gm2M = 2rmin ¸ Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó Ð Ð Ò Ó Ò Ø Ö Ó

Ò Ð Ô Ö Ø Ó Ö Ù Ò Ð Ñ ×

m

m/2º Ð Ú Ð Ó Ö × Ø Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ó Ñ Ò Ñ Ó Ú Ð

V ∗ef (rmin) = −G2m3M 2

8L2´ ½ µ

× Ö ¸

V ∗ef (rmin) = 14V ef (rmin)

Ð Ô Ó Þ Ó Ô Ó Ø Ò Ð × Ö Ñ Ò Ó × Ô Ö Ó Ù Ò Ó Ý Ð Ñ Ò Ñ Ó × Ò Ó Ò Ø Ö Ö

× Ø Ò × Ñ Ý Ó Ö × Ð Ñ Ó ¹ Ë Ó Ð º

Ä Ó Ñ × Ò Ø Ö × Ò Ø × Ö × Ù Ò Ø Õ Ù Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ö Ù Ò Ñ × Ð Ë Ó Ð ¸ Ý Ù Ò

× Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ö Þ × ¸ Ý Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù × Ð Ð Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ó

RÝ Ú Ð Ó

Ó Ö Ø Ð

vÕ Ù Ø Ò Ò Ø ×

F c = mv2/R´ Ö Ó Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð ×

v2 = GM/Rµ ¸ × Ö ¸

Ø Ò Ñ Ò Ø Ù

F c = GMm/R2¸ Ô Ö Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö × Ö Ñ Ò Ø Ù

F g = GmM/(2R2) =F c/2

º È Ó Ö Ð Ð Ó ¸ Ð Ì Ö Ö × Ð Ö × Ø Ò × Ñ Ý Ó Ö × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ë Ó Ð ¸ Ñ Ò Ó Ö Ø º

Ë Ñ Ó × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ò Ö ×

E ′ = E + GMm2R º Ë Ñ Ó × Õ Ù

rmin ≡ R Ó Ò Ô Ù

Ð Ù Ð Ö × Õ Ù

E ′ = 0º Ó Ò Ð Ð Ó ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ø Ð Ì Ö Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ë Ó Ð Ö × Ö

Ù Ò Ô Ö Ó Ð º

µ Ò Ð Ô Ö Ó × Ó Ö Ù Ò Ñ × ¸ × Ö Ù Ð Ù Ø Ó Ò Ö Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸ Ð Ö Ò Ó × Ù Ò

Ò Ø Ò Ö Ù Ý Ò Ø ×

∆U = − 3

5GM 2

2

R− 1

R

= −3

5

GM 2

R



È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × Ø Ð Ø Ó × Ø Ó Ò Ö Ó × Ø × Ñ Ô Ö × Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ì Ö Ö º

È Ö Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ð Ð Ó × Ø Ö Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ù Ø Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ö Ó

Ó Ö Ø Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø 6, 6 Ú × Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö º

Ë Ó Ð Ù Ò

È Ö Õ Ù Ð Ö Ø × Ó × Ø Ó Ò Ö Ð Ö Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ð × Ø Ð Ø Ó Ò Ö Ó Ò Ð

Ð Ì Ö Ö º Ó Ñ Ó Ð Ö Ø × Ö Ù Ð Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ù Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ó × Ð Ó ×

Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö ¸ × Ö ¸ Õ Ù

msv2/r = GM T ms/r2¸ Ó Ò

M T × Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö Ý

ms

Ð Ñ × Ð × Ø Ð Ø º Ü Ô Ö × Ò Ó Ð Ö Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ö Ó Ð Ì Ö Ö ¸

r = r∗RT ¸

Ð Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × v2 =

GM T /r2

= gRT /r∗ º Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ù Ð Ö ×

T = 2πr/v = 2πr∗3/2

RT /gÝ Ò Ó Ð Ó Ù Ð Ù Ò × Ó Ø Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ô Ó º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × Ø Ð Ø Ñ ×

m× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ó

R Ó Ò

Ú Ð Ó

v Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö º Ö Ô Ò Ø Ó Ð × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ô Ó Ó × Ù Ö × Ô Ð ¸

Ù Ò Ó Ø Ó Ñ ×

δmÕ Ù × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ý Õ Ù Õ Ù Ò Ö Ù × Ø Ó Ò Ð × Ø Ð Ø º Ò ¹

Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ó Ò Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × Ø Ð Ø Ý ¸ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ò Ù Ú Ö Ø ×

Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø Ö Ù Ð Ö ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ù Ö Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò Ð × Ø Ð Ø × Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ñ Ò Ö Õ Ù

mv2

R=

GM m

R2´ ½ µ

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó

Rv2 = GM Ó Ò

M × Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö º × Õ Ù Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × Ø Ð Ø Ò Ö Ø

Ö Ù Ð Ö Ö Ó

R Ó Ò Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð

v× Ö

E =1

2mv2 − GM m

R= −1

2mv2

´ ½ µ

Ò Ð Ó Ð × Ò Ò Ð × Ø × Ó Ò × Ö Ú Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð º Ò × Ø Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ð Ñ Ö × Ù Ð Ø Õ Ù Ò Ð

Ó Ð × Ò × Ó Ò × Ö Ú Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ñ Ò ¸ Ó Õ Ù Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò × Õ Ù Ð × Ù Ö

× Ô Ð × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º Ò × × Ò Ø Ó × Ò Ø Ò Ò Õ Ù Ò Ó Ø Ò Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × Ò Ð × × Ø Ñ

Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð Ñ ×

mÝ Ð × Ù Ö × Ô Ð º Á Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò Ð Ú Ð Ó Ð

× Ø Ð Ø Ñ Ô Ö Ó Ò Ó Ð × Ø Ò Ð Ì Ö Ö ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö

Ò Ø ×

L = mRvÝ × Ô Ù ×

L = (m + δm)Rv′ Ð Ù Ö Ð × Ù Ò Ø Ü Ô Ö × Ò Ô Ö Ð Ò Ù Ú Ú Ð Ó

v′ =mv

m + δm´ ½ µ

Â Ù × Ø Ó Ø Ö × Ð Ó Ð × Ò Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð Ò Ù Ú Ó Ó Ø Ó Ñ ×

m + δm× Ö × Ù Ñ Ð Ò Ö Ò Ø

Ñ × Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö

E ′ =1

2(m + δm)v′2 − GM (m + δm)

R= E − mδmv2

2(m + δm)− δmv2

´ ¾ ¼ µ

× Ø Ò Ù Ú Ò Ö × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ò Ö Ó Ö Ò Ð ´ E ′ < E µ º Ì Ö × Ð Ó Ð × Ò Ð × Ú Ð Ó × × Ø × Ò

v′ < vÐ Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ý Ð Ò Ó × Ø Ö Ð × Ù Ö Þ ×

Ó Ñ Ô Ò × × Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ö Ø Ö Ô Ó Ö Ð Ì Ö Ö Ô Ö × Ö Ö Ò Ò Ö Ð Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø º

Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ð Ñ ×

mÐ Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú × Ð × Ù Ñ Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð

Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö

V mef (r) =L2

2mr −GMm

r´ ¾ ½ µ

Ó Ò Ð

L × Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö º È Ö Ð Ñ ×

m + δm´ Õ Ù Ñ Ò Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó

Ò Ù Ð Ö

Lµ Ø Ò Ö Ñ Ó ×

V m+δmef (r) =

L2

2(m + δm)r− GM (m + δm)

r´ ¾ ¾ µ



1 2 3 4 5

r

0.6

0.4

0.2

0.2

Ù Ö ¾ È Ó Ø Ò Ð × Ø Ú Ó × Ô Ö Ð × Ñ × ×

mÝ

m + δmº

Ò Ð Ù Ö ¾ Ô Ö Ò Ð Ó × Ô Ó Ø Ò Ð × Ø Ú Ó × Ô Ö Ð × Ó × Ñ × ×

mÝ

m + δmº

V mef (r)Ú Ò

Ö Ô Ö × Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ð Ò Þ Ù Ð Ý

V m+δmef (r)

Ô Ö Ò Ö Ó Ó º Ä Ò Ö

E Ð Ñ ×

m Ó Ö Ö × Ô Ó Ò

Ð Ð Ò Ò Ö ¸ Õ Ù Ó Ñ Ó Ú Ñ Ó × Ó Ö Ø Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Þ Ù Ð Ù × Ø Ó Ô Ö Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð

Ô Ó Ø Ò Ð ¸ Ô Ö Ù Ý × Ø Ò

rmin = R× Õ Ù Ð Ö Ò Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ô Ö Ð

Ñ ×

mº Ä Ò Ö

E ′ × Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ò Ö Ð Ô Ó Ö Ð Ð Ò Ò Ö × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Õ Ù Ó Ñ Ó Ú Ñ Ó ×

Ó Ö Ø Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ò Ó × Ú Ð Ó Ö × Ð × Ø Ò

rÕ Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ô Ó Ó

Ð Ö Ø Ð Ô Ø Õ Ù Ø Ö Þ Ö Ð Ó Ø Ñ ×

m + δmº Ë Ó Ò × Ù Ö Ñ Ó × Ò Ð Ó Õ Ù Ò Ð × Ø Ó

Ô Ö Ö Ü Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ò Ø Ò Ö Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ö Ø Ò Ð Ù Ö Ö Ù Ð Ö ¸ × Ø Ö Ñ Ó × Ó Ò

Ù Ò Ú Ð Ó Ö Ô Ö Ð Ò Ö

E ′Ö Ô Ö × Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ð Ò Ú Ö ´ Õ Ù Ó Ö Ø Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ù × Ø Ó Ò Ð

Ñ Ò Ñ Ó Ô Ö Ð Ù Ð × Ð Ó Ý Ù Ò Ú Ð Ó Ö Ô Ó × Ð Ð × Ø Ò Ö Ð Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

m + δmµ

Ó Ö Ø Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ð Ó Ö Ò Ð Ì Ö Ö º

Ó Ñ Ó × × Ù Ô Ó Ò Õ Ù

δm × Ñ Ù Ý Ô Õ Ù Ó Ý Ò Ð Ò Ù Ò Ó Ò Ó × Ò Õ Ù Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð Ö Ó

Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ò Ù Ú Ö Ø × Ö Ö Ù Ð Ö ¸ Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó

V m+δmef (r)

º

dV

m+δm

ef (r)dr = 0,→ rmin = L

2

(m + δm)2GM

Ë Ü Ô Ö × Ñ Ó × × Ø × Ø Ò Ö Ð Ò Ù Ò Ò Ð Ó × Ø Ó × Ò Ð × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ø

Ö Ù Ð Ö Ô Ö Ð Ò Ù Ú Ó Ö Ó

R′ = rmin × Ö

R′ =L2

(m + δm)2GM =

m2

(m + δm)2R

× Ö ¸ Õ Ù Ð Ò Ù Ú Ö Ø Ø Ò Ö Ù Ò Ö Ó Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ò Ð

R′ < R¸ Ô Ù × Ð × × Ø Ñ Ò Ð Ô Ö

Ò Ö º

Í Ò Ñ Ò Ö Ñ Ù Ó Ñ × × Ò Ð Ð Ù Ö × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × Ð × Ù Ò Ø Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö

Ô Ö Ð Ö Ø Ò Ð Ý Ð Ò Ð ´ × Ù Ô Ù × Ø × Ñ × Ö Ù Ð Ö × µ × Ø Ò Õ Ù Ó Ò × Ö Ú Ö Ó Õ Ù Ð × Ù Ö Þ ×

× Ó Ò Ò Ø Ö Ð × ¸ × Ù Ñ Ô Ð Ö

L = mRv = (m + δm)R′v′′ Ó Ò Ð Ú Ð Ó

v′′× Ö Ð Ú Ð Ó

Ó Ö Ø Ð Õ Ù Õ Ù Ð Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ó Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ù Ò Ó Ð Ñ ×

m + δm× Ò Ù Ò Ø Ö

× Ö Ò Ó Ù Ò Ö Ù Ð Ó Ð × Ø Ò

R′ Ð Ì Ö Ö º

Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö × Ø Ò

v2 = GM R Ý

(v′′)2 = GM R′ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù × Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó Ò Ð Ó Ò Ò

Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ò Ò Ð Ó × Ö Ó × Ó Ø Ò Ñ Ó ×

m√

R = (m + δm)√

R′¸ × Ö ¸ Õ Ù

R′ =m2

(m + δm)2R

´ ¾ ¿ µ

Õ Ù Ó Ò Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò × Ø Ð Ø Ô × Ö Ó Þ Ò Ó Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ø Õ Ù

Ø Ò Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ð × Ø Ð Ø Ò × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ó ×

× Ù Ò Ø × × Ó ×

µ Ð × Ø Ð Ø Õ Ù Ø Ö Ô Ó × Ö Ò Ó Ù Ò Ð Ô × Ð Ó ¼ Ú × Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö º

µ Ä Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ô Ö Ð º

½ ¼



Ë Ó Ð Ù Ò

µ Ë Ò

mÝ

M Ð × Ñ × × Ð × Ø Ð Ø Ý Ð Ô Ð Ò Ø Ý

R Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö º Ò Ó Ñ Ò Ö Ñ Ó × Ó Ò

Ð Ó × × Ù Ò × a Ý p Ð × Ú Ö Ð × Ò Ð Ð Ó Ý Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º È Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò Ð

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ý Ð Ò Ö

mvara = mv pr p

12

mv2a −G M mra

= 12

mv2 p −GM mr p

Ñ × Ù Ó Ò × Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù

ra = 60 r p = 60 R¸ Ò Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ò Õ Ù

v2 p =120 GM

61 R

µ Ó Ñ Ó Ò Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ô Ö Ð º Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × Ø Ð Ø × Ò Ù Ð ¸ × Ø Ò Õ Ù

v2 p =2GM

R

È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Ë Ð Ò Þ Ò × Ð Ì Ö Ö Ó × Ó Ø × Ò Ø Ó × Ó Ò Ð Ñ × Ò Ú Ö Ø Ö

× Ó Ö Ð Ë Ó Ð Ð Ó × Ö × Ù Ó × Ò Ù Ð Ö × Õ Ù Ò Ó Õ Ù Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ò Ö Ò Ð Ì Ö Ö º

Ð Ó Ø ½ × Ð Ò Þ Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Õ Ù × Ö Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ë Ó Ð

Ó Ò Ö Ó

rT Ù Ð Ð Ð Ö Ø Ð Ì Ö Ö º Ò Ö Ø Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ò Ò Ð Ó × Ñ Ó Ø Ó Ö ×

Ð Ó Ø × Ø Ø Ò Ö Ð Ó Ý × Ô Ó Ö Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Ð Ë Ó Ð Ô Ó Ö Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö º

Ð Ó Ø ¾ × Ð × Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó

v1 Ò Ð Ñ × Ñ

Ö Ò Õ Ù Ò Ð Ó Ø ½ Ô Ö × Ö Ö Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø Ó Ò Ð Ë Ó Ð Ò Ù Ò Ó × Ù ×

Ó Ó × º Ò × Ø × Ó Ð Ö Ò Ó × Ö Ð Þ Ù Ò Ó Ð Ó Ø × Ò Ù Ò Ø Ö Ò

r2 ¸ Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ ×

Ð Ó Ð Ë Ó Ð ¸ Ó Ò Ð Ð Ú Ù Ò Ú Ð Ó

v2 º

Á Ò Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ö × Ò Ð Ì Ö Ö µ Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð

v Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ø º

µ Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ð Ò Ò Ø Ö Ð × Ú Ð Ó ×

v1/v2Ô Ö Ð Ö Ø Ð Ô Ø º µ Ñ Ó × Ø Ö Ö

Ó Ò Ó Ò × Ö Ó Ò × Ò Ö Ø × Õ Ù

v21 =2GM S

rT (1 + rT r2

).

Ó Ò

M S × Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð º µ ú Ù Ð × Ð Ó Ö Ñ Ò Ö Ø Ñ Ò Ø Ñ × Ó Ò Ñ Ô Ö

× Ö Ò Ó × Ð × Ù Ö Ò Ù Ð Ö ¸ Ð Ñ Ø Ó Ó Ð Ó Ø ½ Ó Ð Ð Ó Ø ¾

r2

v2

v1

rT

Sol

v

Ë Ó Ð Ù Ò

µ Ð Õ Ù Ð Ö Ó Ð Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ñ Ô Ð Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù × Ù Ð Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö

GmM S

r2T

=mv2T

rT ´ ¾ µ

Ó Ò × Ó Ø Ò Õ Ù vT =

GM SrT º

µ Ò Ð Ø Ð Ô Ø Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ò × Ö Ú ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ý Ð Ó Ó Ò

Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ô Ó × Ò × Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð × Ð × Ú Ð Ó × Ø Ò Ñ Ó ×

rT v1 = r2v2 ´ ¾ µ

½ ½



Ó Ò

v1v2

=r2rT

.

µ Ó Ñ Ó Ð Ò Ö Ò Ð Ö Ø Ð Ô Ø × Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Ñ Ó × Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ò Ð Ð Ó Ý Ò Ð

Ô Ö Ð Ó

1

2 mv

2

1 −GmM S

rT =

1

2 mv

2

2 −GmM S

r2


v1 = vT

2

1 + rT r2

´ ¾ µ

Õ Ù × Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ô Ò Ñ Ó × Ø Ö Ö º

µ È Ó Ñ Ó × Ò Ó Ö Ö Ð Ò Ö Ò × Ö Ô Ö Ð Ò Þ Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ó Ö Õ Ù × Ù Ð Ô Ö

Ñ Ó × Ó Ø × º × Ô Ù × ¸ Ô Ö Ó Ñ Ô Ö Ö Ð Ó × Ø Ò Ö Ø Ó × Ø Ó Ò Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ñ Ô Ð Ò

Ð Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó Ý Ð Ö Ò Ó º

È Ö Ð Ó Ø ½

∆E 1 = 12

mv2T + 12

mv2T = mv2T .

È Ö Ð Ó Ø ¾ Ò Ð Ð Ô × × Ú Ö Ò ×

∆E 2 =1

2mv21 +

1

2mv22 = mv2T

r22 + r2T

r22 + r2rT .

È Ö Ó Ó Ñ Ó

r2 > rT × Ø Ò Õ Ù

r22 + r2T

r22 + r2rT < 1.

Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Õ Ù

∆E 1 > ∆E 2 º

Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Õ Ù Ù Ò Õ Ù Ð Ó × Ø Ò Ö Ø Ó Ð Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ø ¾ × Ñ Ý Ó Ö Õ Ù Ð Ð

Ó Ø ½ ¸ Ð Ó × Ø Ö Ò Ó × Ð Ó × Ø Ò Ø Ô Õ Ù Ó Ó Ñ Ó Ô Ö Õ Ù × Ø Ð Ó Ð Ñ Ò Ø × Ð × × Ø Ñ

Ñ × Ó Ò Ñ Ó º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò Ò Ú × Ô Ð Ñ ×

m× Ô Ö Ó Ü Ñ Å Ö Ø × Ù Ò Ó Ù Ò Ø Ö Ý ¹

Ø Ó Ö Ô Ö Ð º Ð Ð Ð Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ô Ö Ü Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð Ò Ø ´ Ô Ö × Ø Ö Ó µ Ò Ð

Ö Ø Ô Ö Ð ¸ × Ò Ò Ò Ð Ó × Ö Ø Ö Ó Ó Ø × Ô Ö × Ñ Ò Ù Ö Ð Ú Ð Ó ¸ × Ò Ñ Ö

× Ù Ö Ò ¸ Ò Ö Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø Õ Ù Ð Ð Ð Ú Ö Ø Ö Ö Þ Ö Ò Å Ö Ø Ø Ò Ò Ð ¹

Ñ Ò Ø × Ù × Ù Ô Ö ¸ Ø Ð Ý Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö ¿ º

Ð Ù Ð Ö

µ Ä Ú Ð Ó Ð Ð Ð Ö º

µ Ä Ú Ð Ó Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø Ø Ö × Ò Ò Ö Ð Ó × Ö Ø Ö Ó Ó Ø × Ò º

µ Ä Ú Ð Ó Ð Ð Ð Ö º ú Ë Ó Ò Ö Þ Ó Ò Ð × Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

vA, vB

µ Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò × Ù Ö Ö × Ð Ñ Ò Ó Ö Ò × Ø Ð Ø Ö Ö Þ ´ Ñ Ö Ø Þ µ

Ò º

Ä Ó × Ø Ó × Ó Ò Ó Ó × × Ó Ò Ð × Ø Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Å Ö Ø

OA = 12000km

Ð Ö Ó Ý Ñ × Ð Ô Ð Ò Ø

R = 3400km

M = 6, 4551023kg¸ Ý Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ö Ú Ø Ò

Ù Ò Ú Ö × Ð

G = 6, 6710−11 Nm2

kg2 º

Ë Ó Ð Ù Ò

µ Ò Ø Ò Ò Ó Ô Ó Ö

E Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð ¸ Ý Ô Ó Ö

eÐ Ü Ò Ø Ö Ð Ö Ø ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ò Ù Ò

Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ô Ö Ð

E = 0 e = 1º Ó Ñ Ó Ð Ò Ú × Ù Ù Ò Ô Ö Ó Ð ¸ × Ô Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ð

Ò Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö Å Ö Ø × Ò Ù Ð ¸ Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ò Ù Ð Ý Ô Ó Ö Ð Ô Ö Ò Ô Ó

Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö

E total = 0 =mv2A

2− GM m

OA´ ¾ µ

½ ¾



Ù Ö ¿

Ó Ò Ð Ú Ð Ó Ð Ð Ð Ö ×

vA =

2GM

OA= 2678, 7

m

s´ ¾ µ

µ Ä Ù Ò Ô Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ò Ú Ò Ð Ð Ô × ×

r =J 2

Gm2M

1

1− ecosθ= a

1− e2

1− ecosθ´ ¾ µ

× Ò Ó

J Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ð Ò Ú Ö × Ô Ø Ó Å Ö Ø ¸ Ð Ü Ò Ø Ö

eÝ

a Ð × Ñ Ñ Ý Ó Ö

Ð Ð Ô × º

Ò Ð Ð Ô × ¸ ´

E > 0 0 < e < 1µ Ð Ü Ò Ø Ö × Ö

e =rmax − rmin

rmax + rmin=

OA −OB

OA + OB= 0,58

´ ¿ ¼ µ

a = AB/2 = 7700km´ ¿ ½ µ

Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¸

θ = 0Ý Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¸

θ = π Ó Ò

OA =J 2

Gm2M

1

1− e=

a(1− e2)

1− e= a(1 + e)

´ ¿ ¾ µ

OB =J 2

Gm2M

1

1 + e=

a(1− e2)

1 + e= a(1

−e)

´ ¿ ¿ µ

µ Ý µ Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ J = cte Ò Ð Ö Ø Ð Ô Ø

OA =(OAmvA)2

Gm2M

1

1− e⇒ vA =

GM

a

1− e

1 + e= 1219,16

m

s´ ¿ µ

OB =(OBmvB)2

Gm2M

1

1 + e⇒ vB =

GM

a

1 + e

1− e= 4586,37

m

s´ ¿ µ

Ó Ñ Ó × Ð Ó Ô Ó Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò

J Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ð Ò ´

vA µ × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ò ´

vB µ º

µ Ë Ð × Ñ Ñ Ò Ó Ö ×

b = a√

1 − e2¸ Ô Ð Ò Ó Ð × Ù Ò Ð Ý Ã Ô Ð Ö ¸ Ð Ó Ò × Ø Ò Ð

Ú Ð Ó Ö Ó Ð Ö ¸ Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ö Ø Ð Ô Ø

T × Ö

S elipseT

= πabT

= J 2m

⇒ T =

4π2

a3

GM = 20459,9s ≈ 5, 68h. ´ ¿ µ

Ó Ñ Ó Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù × Ô Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð Ñ Ø Ð Ô Ö Ó Ó

t =T

2= 2,84h. ´ ¿ µ

½ ¿



¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Í Ò Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð

m× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ù Ö Þ × Ò Ø Ö Ð × Ó Ò Ó Ó

× Ö Ò Ó Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ô Ö Ð Ô Ó Ö

r(t) = kθ(t)º À Ð Ð Ö Ð Ó Ö Ñ Ð Ô Ó Ø Ò Ð Õ Ù

Ò Ö × Ø Ñ Ô Ó Ù Ö Þ × º Ý Ù × Ö Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ó Ò ¹

× Ô Ó Ð Ö × Ö Ó Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ð Ö Ò Ò × Ø × Ó Ó Ö Ò × × a = (r−rθ2)r+ 1r ddt(r2θ)θ º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ × ×

m1 = mÝ

m2 = 2m Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ñ Ò Ø Ù Ò

Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ö

F(r) = −

α

r+

2β

r2

r

r

× Ò Ó r Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ø Ö Ý

α, β Ó Ò × Ø Ò Ø × Ô Ó × Ø Ú × º

Ð Ù Ð Ö µ Ä Ñ × Ö Ù Ð × × Ø Ñ º µ Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù Ð Ö Ú Ð Ù Ö Þ º µ

Ä Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö ×

(r, θ)º µ Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó º ´ Ê Ó Ö Õ Ù Ò

Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ó Ù Ö Þ × Ò Ø Ö Ð × Ð Ð Ñ Ñ Ó × Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ø Ó Ð Ô Ö Ø

Ð Ò Ö Õ Ù Ò Ó Ô Ò

r¸ Ý Õ Ù × Ð Ó Ô Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ö Ð

rÝ Ð

Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ó

J µ º µ Ë Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ó Ø Ó Ñ Ð Ú Ð Ó Ö

J =

2β2mα

Ð Ù Ð Ö Ð × Ô Ö Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ò Ø Ö Ð × Ó × Ñ × × º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ù Ò Ô Ð Ò Ø Ò × Ñ ×

ρÙ Ò Ó Ö Ñ Õ Ù Ö Ó Ø Ó Ò Ú Ð Ó

Ò Ù Ð Ö ω Ð Ö Ó Ö Ù Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Í Ò Ø Ò Ð Ø Ö Ú × Ð Ô Ð Ò Ø Ð Ó

Ð Ö Ó Ù Ò Ñ Ø Ö Ó Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ø Ò º Ø Ö Ñ Ò Ö

ωÔ Ö Õ Ù Ù Ò Ù Ö Ô Ó

× Ø Ù Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ò Ð × Ñ Ù Ú ´ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó µ Ó Ò Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ä Ä Ù Ò × Ø Ù Ò × Ø Ò

d Ð Ì Ö Ö Ý Ù Ò Ö Ú Ó Ð Ù Ò Ð Ö Ó Ö

Ð Ð Ò

27, 3 × º ú Ù Ð × Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ù Ô Ù × Ø Ð Ö Ø Ð Ì Ö Ö Ö Ù Ð Ö ¸ ú Ù Ò Ø Ó Ù Ö Ö Ð Ó Ø Ö Ö × Ø Ö ×

Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö × Ù Ô Ð Ö Ñ Ò Ø Ò Ò Ó × Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ö Ø Ø Ö Ö × Ø Ö

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ó Ø Ò Ù Ò Ú Ð Ó

7,0× 103Ñ » × Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ù Ò Ó

× Ù × Ø Ò Ð Ë Ó Ð ×

5× 109Ñ º Ø Ö Ñ Ò Ö × Ù Ú Ð Ó Ý × Ø Ò Ð Ë Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ý

Ð Ü Ò Ø Ö Ð Ö Ø º Ä Ñ × Ð Ë Ó Ð × ¾

×1030 º ´ Ä × Ó Ô Ö Ó Ò × × Ô Ù Ò

Ö Ò × µ

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ó Ñ Ø Ñ ×

mc Ò Ö Ø Ð Ô Ø Ð Ö Ó Ö Ð Ë Ó Ð ´ Ñ ×

M s µ Ø Ò

Ù Ò Ú Ð Ó

10 km/s Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ð Ò Ó Ð Ë Ó Ð Ý

80 km/s Ò Ð Ñ × Ö Ò Ó º Ë

Ð Ú Ð Ó Ð Ì Ö Ö ´ Ñ ×

mT µ Ò × Ù Ö Ø ¸ × Ù Ô Ù × Ø Ñ Ò Ø Ö Ù Ð Ö ´ Ö Ó

Rµ ¸ ×

30 km/s Ý Ð Ö Ó Ö Ø × 1,5× 108 km¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ü Ñ × Ø Ò Ra Ò

Ð Ñ Ø Ö Ó × Ð Õ Ù × Ø Ð Ó Ñ Ø Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ë Ó Ð º

È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¼ Í Ò Ó Ø Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö Ò Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø º Ä × × Ø Ò ¹

× Ò Ø Ö Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö Ý Ð Ô Ö Ó Ý Ð Ô Ó Ó × Ó Ò

h p Ý

ha Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º

Ø Ö Ñ Ò Ö

½ º Ä Ú Ð Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ø Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ð Ô Ó Ó ¸ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù ha, h p << R

× Ò Ó

R Ð Ö Ó Ð Ì Ö Ö º

¾ º Ð Ñ Ó Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ô Ó Ó ¸ Ò × Ö Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ó Ø Ô ×

Ù Ò Ö Ø Ô Ö Ø Ö Ö Þ Ö ¸ × Ö ¸ Ø Ò Ò Ð Ñ Ò Ø Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö º

¿ º Ä Ó Ñ × Ñ Ó Õ Ù Ò Ð Ô Ö Ø Ó µ ¸ Ô Ö Ó Ö Ö Ò Ó × Ð Ô Ö Ó º

º ú Ò × Ñ Ó Ö Ñ Ô Þ Ö Ö Ò Ö ¸ Ò Ð Ô Ö Ó Ó Ò Ð Ô Ó Ó

½



È Ö Ó Ð Ñ ¾ ½ Ë Ù Ò × Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ò Ñ × ¹

Ø Ò ¸

h Ò Ø Ö Ð × Ø Ð Ø Ý Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ó Ò Ó Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ø Ó × Ð

× Ø Ò Ñ Ü Ñ ¸ H Õ Ù × Ð Ð × Ø Ð Ø Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ö Ú Ó ¹

Ð Ù Ò ¸

T 1 ¸ Ð × Ø Ð Ø Ð × Ñ Ñ Ý Ó Ö ¸

R¸ Ð Ö Ø Ð Ù Ò Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ò ¸

T 2 ¸ Ð Ð Ù Ò Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö Ý Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö

R0 º

½




¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾

½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ À Ð Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ý Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò × × Ø Ñ Ó ×

Ñ × × ¸ m1 Ý m2 ¸ Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ñ Ù Ð Ð Ñ × × Ô Ö Ð Ý Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø k ¸ Õ Ù

× Ø Ò × Ó Ñ Ø × Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö Ó Ò × Ø Ò Ø º Æ Ó Ø Ü Ô Ö × Ö Ð Ð Ö Ò Ò

Ò Ù Ò Ò Ð Ñ × Ö Ù ¸ Ð Ô Ó × Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ô Ó × Ò Ö Ð Ø Ú

Ò Ø Ö Ñ × Ñ × × º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ð × Ñ × × Ø Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ó Ô Ó Ö r1 = (x1, y1, z1)Ý

r2 = (x2, y2, z2) Ò Ð × Ô Ó Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð º

Ä Ò Ö Ò Ø Ü Ô Ö × Ò Ó Ó Ö Ò × Ö Ø × Ò × ×

T =m1

2( x2

1 + y21 + z21) +m2

2(x2

2 + y22 + z22)´ ½ µ

Ð × × Ø Ñ Ø Ò Ö Ó × Ð Ö Ø Ó × Ô Ó Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × × Ô Ð × Ð × Ñ × × º

Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ó Ó Ö Ò × × Ò Ö Ð Þ × Ð Ú Ø Ó Ö

rcm = (xcm, ycm, zcm) Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð

Ú Ø Ó Ö r = r1 − r2 = (x,y ,z) Ð × Ø Ò Ö Ð Ø Ú º Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ × Ö Ù

µ× Ò

Ó Ñ Ó

1

µ=

1

m1

+1

m2

Ý Õ Ù

rcm =m1r1 + m2r2

m1 + m2

Ó Ò

xcm =m1x1 + m2x2

m1 + m2

ycm = m1y1 + m2y2m1 + m2

zcm =m1z1 + m2z2

m1 + m2

x = x1 − x2

y = y1 − y2

z = z1 − z2

× Ô Ò Ó Ð × Ú Ö Ð × Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ù Ò Ò Ð × Ú Ö Ð × Ö Ù × Ý Ò Ø Ö Ó Ñ × ×

½



Ø Ò Ñ Ó ×

x1 = xcm +m2

m1 + m2

x

y1 = ycm +m2

m1 + m2

y

z1 = zcm +m2

m1 + m2z

x2 = xcm − m1

m1 + m2

x

y2 = ycm − m1

m1 + m2

y

z2 = zcm − m1

m1 + m2

z

Ä Ò Ö Ò Ø × Ö Ø Ò Ð × Ò Ù Ú × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ

T =m1

2(x2

1 + y21 + z21) +m2

2( x2

2 + y22 + z22)

= m1

2[(xcm + m2

m1 + m2

x)2 + ( ycm + m2

m1 + m2

y)2 + (zcm + m2

m1 + m2

z)2]

+m2

2[(xcm − m1

m1 + m2

x)2 + ( ycm − m1

m1 + m2

y)2 + (zcm − m1

m1 + m2

z)2]

=m1 + m2

2(x2

cm + y2cm + z2cm) +m1m2

2(m1 + m2)(x2 + y2 + z2)

=m1 + m2

2(x2

cm + y2cm + z2cm) +µ

2(x2 + y2 + z2)

´ ¾ µ

Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð

Ø Ö Ö ×

V g = m1g · r1 + m2g · r2 = m1gz1 + m2gz2 ´ ¿ µ

Ù × Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × Õ Ù

V g = m1gz1 + m2gz2 = m1g(zcm +m2

m1 + m2

z) + m2g(zcm − m1

m1 + m2

z)

= (m1 + m2)gzcm ´ µ

Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð × Ø ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó Ð Ñ Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ù Ö Ð

l0 ×

V e =k

2(

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 − l0)2´ µ

Ù × Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × × Ü Ô Ö ×

V e =k

2(

x2 + y2 + y2 − l0)2´ µ

Ò Ø Ó Ò × Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ô Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ò Ø Ö Ó Ñ × Ý × Ø Ò Ö Ð Ø Ú ×

L = T − V = T − (V e + V g)

=m1 + m2

2(x2

cm + y2cm + z2cm) +µ

2(x2 + y2 + z2)

− k

2( x

2 + y2 + y2 − l0)2 − (m1 + m2)gzcm

=m1 + m2

2r2cm +

µ

2r2 − k

2(r − l0)2 − (m1 + m2)g · rcm ´ µ

× Ò Ó

r Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ø Ó Ö

rº

¾



Ä × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò

xcm = 0 µx = −k(

x2 + y2 + y2 − l0)x

x2 + y2 + y2

ycm = 0 µy = −k(

x2 + y2 + y2 − l0)y

x2 + y2 + y2

zcm = −g µz = −k(

x2 + y2 + y2 − l0) z x2 + y2 + y2

´ µ

Õ Ù Ó Ö Ñ Ó Ñ Ô Ø × × Ö Ò

rcm = −gµr = −k(r − l0)

r

r´ µ

È Ö Ó Ð Ñ ¾ À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ Ó Ñ Ô Ù × Ø Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

m¸ Õ Ù

× Ð Þ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ù Ò Ö Ö Ñ ×

M Ý × Ø Ó Ò Ø Ó × Ø Ô Ó Ö Ù Ò Ñ Ù Ð Ð

Ñ × × Ô Ö Ð Ý Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø k º À Ð Ð Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

Ù Ò Ð × Ñ × × º Ë Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù Ð Ö Ö × Ñ Ù Ú × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ð × Ù Ð Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò


k

m

M

y x

Ë

yÐ Ó Ó Ö Ò Ð Ñ ×

M xÐ × Ø Ò Ð Ñ ×

m Ð × Ó Ô Ó Ö Ø Ð Ö × Ó Ö Ø Ý

l0 Ð Ð Ó Ò Ø Ù

Ò Ö Ô Ó × Ó Ð Ñ Ù Ð Ð º Ì Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ð

M ×

yÝ Ð Ú Ð Ó

m ×

x + y¸

Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ ×

L = T − V =M y2

2+

m

2(x2 + y2 + 2 xy) − k

2(x − l0)2

Ä × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò

d

dt

∂L

∂ x

=

∂L

∂x

d

dt

∂L

∂ y

=

∂L

∂y

Ô Ö × Ø × Ó × Ö Ù Ò

mx + my = −k(x − l0) M y + m(y + 2x) = 0

Ä × Ù Ò Ù Ò Ò Ó × Ñ × Õ Ù Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

M y = −m(x + y)

È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ñ ×

m2 ¸ × Ø × Ù × Ô Ò Ó Ó Ø Ö Ó Ù Ö Ô Ó Ñ ×

m1 ¸ Õ Ù Ô Ù Ñ Ó Ú Ö × × Ó Ö Ù Ò Ð Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ º

À Ð Ð Ö Ð × Ò Ø × Õ Ù × Ó Ò × Ö Ú Ò º

Ë Ó Ð Ù Ò Ë Ò Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ð Ô Ó × Ò

s Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ö Ö Ð Ù Ö Ô Ó ½ Ý Ð

Ò Ù Ð Ó

φÕ Ù Ó Ö Ñ Ð Ù Ö Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º

Ò Ø Ó Ò × x1 = s; y1 = 0; x2 = l sen φ + s; y2 = −l cos φº

Ä Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ ×

L =m1s2

2+

m2

2(s2 + 2lsφ cos φ + l2φ2) + m2gl cos φ.

´ ½ ¼ µ

¿



0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

m2

m1

Õ Ù Ó × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ó Ö Ò

s × Ð Ô Ó Ö Õ Ù Ò Ó Ô Ö Ü Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ò Ð Ð Ö Ò ¹

Ò Ó ´ × Ð Ó × Ù Ö Ú Ø Ñ Ô Ó Ö Ð µ º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ù Ó × Ø Ó Ó Ö Ò × Ó Ò × Ö Ú

ps =∂L

∂ s= (m1 + m2)s + m2lφ cos φ.

´ ½ ½ µ

Ì Ñ Ò Ð Ò Ö × Ó Ò × Ö Ú ¸ Ô Ù × Ø Ó Õ Ù

LÒ Ó Ô Ò Ü Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ð Ø Ñ Ô Ó º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ú Ö Ð Ð Ñ ×

mÝ Ð Ó Ò Ø Ù

L× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ú Ö Ø Ð Ó Ð

Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ù × Ü Ø Ö Ñ Ó × Ù Ò Ð Ð × Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó º Ì Ò Ò Ó Ò

Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò Ð Ú Ö Ð Ð Ô Ù × Ô Ð Þ Ö × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ò Ø × Ò

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ ´ µ ú Ù Ò Ø Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø Ø Ò Ð Ú Ö Ð Ð ´ µ Ç Ø Ò Ð Ð Ö Ò Ò Ó

Ð × × Ø Ñ º ´ µ Ù Þ Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ý Ö Ù Þ Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ð × Ó Ð Ù Ò

Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ò

θ

θ × Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ú Ö Ð Ð Ý

Ð Ú Ö Ø Ð Ó µ

θ

Ë Ó Ð Ù Ò Ò Ò Ö Ð Ð × × Ø Ñ Ø Ò Ö Ó × Ð Ö Ø ¸ Ø Ö × Ø Ö × Ð Ò Ý Ø Ö × Ö Ó Ø Ò ¸

Ô Ö Ó Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò × Ø Ö × Ø Ö Ó Ù Ò Ö Ò Ý Ð Ö Ó Ø Ò

× Ø Ó ¸ × Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø º Ð Ö Ñ Ó × Ð Ó Ó Ö Ò

xÔ Ö Ð × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó Ð

Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò Ô Ó Ö Ð Ð Ý

θÔ Ö Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ö Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð º

Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ø Ò Ó Ó Ö Ò ×

xc = x + l/2sen θ¸

yc = −l/2cos θº Ä Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó

Ñ × × × Ö

xc = x + l/2θ cos θyc = l/2θ sen θ).

´ ½ ¾ µ

Ä Ú Ð Ó Ð Ù Ö Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × ×

v2c = x2 + l2/4θ2 + lxθ cos θº Ä Ò Ö Ò Ø Ð

Ö Ö × × Ù Ñ Ó × Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × ¸ Ð Ò Ö Ø Ö × Ð Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ö Ó Ø Ò

Ð Ú Ö Ð Ð Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×

T =1

2mv2c +

1

2I cθ2,

´ ½ ¿ µ

Ó Ò

I c = 112

ml2º

Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×

V =

−mgl/2cos θ

Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ó Ò × Ö Ó Ò

Ð Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º

Ð Ä Ö Ò Ò Ó ×

L =m

2

x2 + lxθ cos θ +

1

3l2θ2 + gl cos θ

,

´ ½ µ



Ä × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò × Ó Ò Ð Ó Ö Ñ

d

dt

∂L

∂ q i

=

∂L

∂q i,

Õ Ù Ò × Ø × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð Ö Þ Ò Ò

∂L

∂ x=

m

2

2x + lθ cos θ

∂L

∂x= 0

´ ½ µ

∂L

∂ θ=

m

2

2

3l2θ + lx cos θ

∂L

∂θ= −m

2l sen θ

θx + g

´ ½ µ

× ¸ Ð Ô Ö Ñ Ö Ù Ò Ä Ö Ò Ò Ó × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

x +l

2θ cos θ =

Ø

,

Ý Ð × Ù Ò Ù Ò × Ö Ù

θ + 32l

x cos θ + 3g2l

sen θ = 0

È Ó Ñ Ó × Ó Ø Ò Ö Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð Õ Ù Ò Ú Ó Ð Ù Ö Ò Ñ Ò Ø

θ× Ò Ñ × Õ Ù Ö Ú Ö Ð Ô Ö Ñ Ö

Ù Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó

x +l

2θ cos θ − l

2θ2 sen θ =

Ø

,

× Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ò Ñ Ó ×

1

4θ + 3θ2 sen θ cos θ +

3g

2lsen θ

Ù Ò Ó Ð Ò Ù Ð Ó

θ × Ô Õ Ù Ó Ô Ó Ñ Ó × Ô Ö Ó Ü Ñ Ö

sen θ

≈θ cos θ

≈1

Ý

θ2θ

≈0

Ñ Ò Ö Õ Ù Ð

Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ô Õ Ù × Ó × Ð Ó Ò × ×

1

4θ = −3g

2lθ

Õ Ù × Ð Ù Ò Ù Ò Ó × Ð Ó Ö Ö Ñ Ò Ó º

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ × m × Ñ Ù Ú × Ó Ö Ù Ò Ñ × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ù Ø Ô Ó Ö

Ù Ò Ù Ö Õ Ù × Ù Ú Þ × Ø Ù Ò Ù Ò Ñ Ù Ð Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø

k´ Ú × Ð Ù Ö µ º

Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ð Ù Ò Ñ Ô Ù Ð × Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ó Ù Ò Ö Ø Ó Ø Ñ Ô Ó

Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó

O Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø

ωº Í × Ò Ó Ð × Ù Ó Ò ×

Ù Ð Ö ¹ Ä Ö Ò ¸ × Ö Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ý Ó Ø Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ö

Ð Ö Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ø Ó Ò Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð º

Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ × Ø Ò Ð Ù Ö Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × × Ø Ñ Ø Ò Ó × Ö Ó ×

Ð Ö Ø º È Ó Ñ Ó × Ð Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö ×

r, θÔ Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ø Ó Ð × × Ø Ñ º Ó Ñ Ó

Ð × Ó Ó Ö Ò × Ö Ø × Ò × × Ö Ð Ó Ò Ò Ó Ò Ð × Ô Ó Ð Ö × Ø Ö Ú ×

x = r cos θ, y = r sen θ¸ Ð Ñ Ù Ð Ó

Ð Ú Ð Ó Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ

|v|2 = r2 + r2θ2º Ä Ò Ö Ò Ø Ú Ð

T =1

2m(r2 + r2θ2)

Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð × × Ø Ñ ¸ Õ Ù Ú Ö × Ò × Ü Ø Ò Ó Ó Ñ Ô Ö Ñ Ð Ñ Ù Ð Ð ¸ ×

V =1

2

k(r

−a)2

× Ò Ó

aÐ Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ù Ö ´ × Ø Ö µ Ù Ò Ó Ð Ñ Ù Ð Ð Ò Ó × Ø Ó Ñ Ô Ö Ñ Ó Ò × Ø Ö Ó º

Ä Ù Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ú Ð Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó

L = T − V =1

2m(r2 + r2θ2) − 1

2k(r − a)2



k

m

Ù Ö ½

Ý Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ò Ò × Ô Ó Ö Ð × Ù Ó Ò × Ù Ð Ö ¹ Ä Ö Ò Õ Ù Õ Ù Ò

mr − mrθ2 + k(r − a) = 0

d

dt

mr2θ

= 0

Ä × Ù Ò × Ø × Ù Ó Ò × Ò Ó × Õ Ù

θ = ω = constanteº Ä Ô Ö Ñ Ö ¸ × Ø Ò Ñ Ó × Ò Ù Ò Ø Õ Ù

Ò Ð × Ø Ó × Ø Ó Ò Ö Ó Ð Ö Ó Ò Ó Ú Ö ¸ Ò Ó ×

−mrω2 + k(r − a) = 0 =⇒ r =ka

k − mω2

Õ Ù × Ð Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ù Ö Þ Ö Ù Ô Ö Ó Ö Ð Ñ Ù Ð Ð º

È Ö Ó Ð Ñ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ó Õ Ù × Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ø Ö × Ñ × × Õ Ù

Ô Ö Ò Ò Ð Ñ Õ Ù Ò Ø Û Ó Ó Ó Ñ Ô Ù × Ø Õ Ù × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ð Ù Ö º Ä × Ð Ó Ò Ø Ù ×

Ð × Ù Ö × ¸ × Ò Ó Ò Ø Ö Ð Ó × Ø Ö Ó Þ Ó × Õ Ù Ö Ó Ò Ð × Ô Ó Ð × ¸ × Ó Ò

2L1 Ý

2L2 º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó

Õ Ù Ð × Ù Ö × Ý Ð × Ô Ó Ð × Ø Ò Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ð Ù Ð Ð Ð Ö Ò Ù Ò

Ð × Ø Ö × Ñ × × º

È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø × L1

L2

m1

m2 m3

Ë Ó Ð Ù Ò

Ð Ñ Ó × Ð Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ó Ð × Ù Ô Ö Ó Ö º Ä Ð Ñ Ñ Ó ×

xi Ð × × Ø Ò ×

Ò Ú Ö Ø Ð Ñ × × Ø Ð Ô Ó Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø ¸ Ó Ò × Ò Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ð × Ò Ò Ø º

Ä × Ð Ó Ò Ø Ù × Ò Ø × Ð × Ù Ö × Ñ Ô Ó Ò Ò Ð Ù Ò × Ö × Ø Ö Ó Ò × Ó Ñ Ó × Ó Ò

x1 + x p = 2L1 × Ò Ó

x p Ð Ó Ó Ö Ò Ú Ö Ø Ð Ð Ô Ó Ð Ñ Ú Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ó Ð × Ù Ô Ö Ó Ö º Ó Ò

x p = 2L1−x1 º Ù Ð Ñ Ò Ö × Ø Ò Ô Ö Ð Ù Ö Ò Ö Ó Ö Õ Ù

x2+x3 = 2L2 Ó Ò

x3 = 2L2−x2 º

Ò Ñ Ó × Ð × Ó Ó Ö Ò × Ú Ö Ø Ð × Ð × Ø Ö × Ñ × × Ø Ó Ñ Ò Ó Ó Ñ Ó Ö Ö Ò Ð Ó Ö Ò Ò Ð

Ô Ó Ð × Ù Ô Ö Ó Ö Ó Ñ Ó

z1 ≡ x1,

z2 ≡ x p + x2 = 2L1 − x1 + x2,

z3 ≡ x p + x3 = 2L1 − x1 + x3 = 2L1 − x1 + 2L2 − x2.´ ½ µ



Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò × Ð Ó Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø ¸ Ý Õ Ù × Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ó × Ð × Ñ × × Õ Ù

Ø Ö Ñ Ò Ð Ø Ö Ö º Ð Ñ Ó ×

x1, x2 Ó Ñ Ó Ð Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø º

Ä × Ò Ö × Ò Ø × × Ó Ò

T 1 =1

2m1z21 =

1

2m1x2

1,

T 2 = 12

m2z22 = 12

m2(x2 − x1)2,

T 3 =1

2m3z23 =

1

2m3(x2 + x1)2.

Ä × Ò Ö × Ô Ó Ø Ò Ð × × Ó Ò

V i = −migz j ¸ Ó Ò Ð Ä Ö Ò Ò Ó ´ Ô Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ø × µ Õ Ù

L = T − V = T 1 + T 2 + T 3 − V 1 − V 2 − V 3 =1

2(m1 + m2 + m3)x2

1 + (m3 − m2)x1x2 +1

2(m2 + m3)x2

2 + (m1 − m2 − m3)gx1

+ (m2 − m3)gx2 ´ ½ µ

Í × Ò Ó Ð × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò

d

dt

∂L

∂ xi

− ∂L

∂xi

= 0, ´ ½ µ

Ó Ò

i = 1, 2 Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º

(m1 + m2 + m3)x1 + (m3 − m2)x2 = g(m1 − m2 − m3),

(m3 − m2)x1 + (m3 + m2)x2 = g(m2 − m3)´ ¾ ¼ µ

Ä × Ð Ö Ó Ò ×

xi × Ó Ò Ð × × Ó Ð Ù Ó Ò × Ù Ò × × Ø Ñ Ó × Ù Ó Ò × Ð Ò Ð × º Ê × Ó Ð Ú Ò Ó Ð Ö × Ù Ð Ø

x1 =

m1m2 + m1m3 − 4m2m3

m1m2 + m1m3 + 4m2m3

g,

x2 =

2(m1m2 − m1m3)

m1m2 + m1m3 + 4m2m3

g,

´ ¾ ½ µ

Ó Ò

M = m1 + m2 + m3 º Ä × Ð Ö Ó Ò × Ð × Ø Ö × Ñ × × × Ð Ù Ð Ò Ô Ö Ø Ö

x1 Ý

x2 ¸ Ò

Ó Ò Ö Ø Ó

m1 : z1 = x1,

m2 : z2 = −x1 + x2 =

m1m2 − 3m1m3 + 4m2m3

m1m2 + m1m3 + 4m2m3

g,

m3 : z3 = −x1 − x2 =

m1m3 − 3m1m2 + 4m2m3

m1m2 + m1m3 + 4m2m3

g.

´ ¾ ¾ µ

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × Ó Ñ Þ Ó Ñ ×

mÝ Ö Ó

rÖ Ù × Ò × Ð Þ Ö Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó

Ò Ð Ò Ó Ô Ö Ø Ò Ó × Ù Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ð Ø Ó Ý × Ò Ú Ð Ó Ò Ð º Ð Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó

Ñ ×

M Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó

α Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ô Ù × Ð Þ Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó

Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý × Ø Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º µ Ç Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ù Ò Ò Ð ×

Ú Ö Ð ×

sÝ

x Ò × Ò Ð Ù Ö Ù Ò Ø º µ Ç Ø Ò Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó

Ô Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ð × × Ø Ñ º µ ú È Ù Ð Ð Ö Ð Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø

Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó µ Ê × Ù Ð Ú Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º

Ë Ó Ð Ù Ò Ä Ò Ö Ò Ø Ð × Ó Ø Ò Ó × Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × ¸ Ð Ò Ö Ø Ö × Ð Ò

T tras Ð

Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ò Ö Ò Ø Ö Ó Ø Ò

T rot Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð × Ó Õ Ù Ô ×

Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ä Ò Ö Ò Ø Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ × Ö

T =M

2V 2 + T tras + T rot =

M

2V 2 +

m

2v2cm +

I

2ω2



s

x

α

Ó Ò

V = x × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ù ¸

v2cm × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó

Ñ × ¸

ω × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × Ó Ý

I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð

Ö Ó Ø Ò º Ó Ö Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü Ô Ö × Ö × Ø Ò Ö Ò Ø Ò Ù Ò Ò Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ ×

Ð × º Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó Ø Ò Ô Ó Ö Ó Ó Ö Ò ×

(xc, yc) = (x + s cos α, cte − s sen α)º

Ó Ò Ð Ù Ð Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ù Ö Ó ×

v2cm = x2 + s2 + 2xs cos αº Ë

θ × Ð

Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð × Ó ¸ Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö × Ø Ö Ù Ò

s = rθº È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ð

Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ω = θ = s/rº × ¸ Ð Ò Ö Ò Ø Ð × Ó ×

T disco =m

2(x2 + s2 + 2 xs cos α) +

I

2r2s2

Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò × I = 12

mr2 º Ä × Ø Ò Ú Ö Ø Ð Õ Ù

× Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó × Ð Ô Ó × Ò ×

s sen αº Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð

Ò Ð × Ö Ó ´ Ö Ö Ð Ô Ð Ò Ó µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×

V = −mgs sen αº

Ð Ð Ö Ò Ò Ó ×

L = T − V =1

2(M + m)x2 + mxs cos α +

3

4ms2 + mgs sen α.

´ ¾ ¿ µ

Ó Ñ Ó Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ð Ú Ö Ð

x× Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ù Ó

px × Ö Ù Ò

Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º

px = ∂L∂ x

= (M + m)x + ms cos α = CT E ´ ¾ µ

Ë Ò Ð Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ó Ð Ù Ó Ñ Ó Ð × Ó × Ø Ò Ò Ö Ô Ó × Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × Ò Ù Ð º

Ñ × Ó Ñ Ó Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ Ð Ò Ö × Ó Ò × Ö Ú º Ó Ñ Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ó

Ô Ò Ú Ð Ó × Ò × Ø × Ó ¸ Ð Ò Ö × Ø Ô Ó Ö

E = T + V º × ¸

E = T + V =1

2(M + m)x2 + mxs cos α +

3

4ms2 − mgs sen α.

´ ¾ µ

Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ð

x = 0, s = 0, s = 0Ð Ò Ö Ú Ð

E = 0

È Ó Ö Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ö Ð × Ù Ó Ò × Ù Ð Ö ¹ Ä Ö Ò ¸

Ô Ö Ó Ó Ñ Ó Ý × Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó × Ú Ö Ð × Ó Ò × Ö Ú × ¸ × Ó Ñ Ó × Ù Ö Ñ Ó × Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ú Þ Ò Ð

Ø Ñ Ô Ó Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º Ó ¸ Ô Ó Ñ Ó × × Ù × Ø Ø Ù Ö x = −m/(M + m)s cos α ´ Ð

Ù Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó µ Ò Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ý Ó Ø Ò Ñ Ó ×

m2

2(M + m)s2 cos2 α − m2

(M + m)s cos2 α +

3

4ms2 − mgs sen α = 0

× Ø Ù Ò × Ð Ó Ö Ñ

C

2s2 = s

× Ø Ù Ò Ö Ò Ð × Ò Ø ´ Ø Ó Ö × Ô Ö Ø µ Ð Õ Ù × Ó Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð

Ò Ö Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ð Ö ¸ Ð Ó Õ Ù × Ù Ö Ù Ò × Ó Ð Ù Ò Ð Ø Ô Ó

s(t) = 1C

t2

È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

m× Ó Ñ Ø Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö × Ñ Ù Ú × Ò

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ú Ö Ø Ð Õ Ù Ö Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ò

Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö

ωº À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ º

Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó × Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × ¸ Ó Ö Ñ Õ Ù Ð × Ó Ó Ö Ò × Ð Ñ × × Ö Ò



x = ρ cos ωt

y = ρ sen ωt

z = z

Ý Ð Ú Ð Ó Ø Ò Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×

x = ρ cos ωt − ρ sen ωt

y = ρ sen ωt + ρ cos ωt

z = z

Ä × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × × Ó Ò

ρ¹ Ð × Ø Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ö Ô Ó Ý Ð Ö Ó Ý

z¹ Ð

× Ø Ò Ð Ó Ð Ö Ó Ð Þ º Ä Ä Ö Ò Ò

L = T − V × Ö

L =m

2(ρ2 + ρ2ω2 + z2) − mgz

´ ¾ µ

È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ù Ö Ô Ó × Ô Ù Ò Ø Ù Ð × Ñ ×

m1 Ý

m2 × Ø Ò Ù Ò Ó × Ô Ó Ö Ù Ò Ö Ö Ö

Ð Ó Ò Ø Ù

aÝ Ñ × × Ô Ö Ð º × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ð Ó × Ô Ù Ñ Ó Ú Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ú Ö Ø Ð

Ð Ù Ö ´ ¾ µ ¸ × Ó Ö Ó × × Ñ Ö Ö Ø × Ð × × Õ Ù Ó Ö Ñ Ò Ù Ò Ò Ù Ð Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ö × Ý

Ù Ò Ð Ð × Ù Ò Ò Ù Ð Ó

π/4 Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ Ý Ð ×

Ù Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ð × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ñ Ù Ú Ò × Ó Ñ Ø × Ð Ö Ú º

Ù Ö ¾

Ë Ó Ð Ù Ò

È Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ô Ó × Ó Ò × ¾ Ñ × × Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ò × Ø Ñ Ó × Ó Ó Ö Ò × ¸ Ô Ö Ó Ð Ó

Ø Ò Ö ¿ Ð Ù Ö × ´ µ Õ Ù Ð Ñ ×

m1 × Ñ Ù Ú × Ó Ö Ù Ò × Ñ Ö Ö Ø ¸ ´ µ Õ Ù Ð Ñ ×

m2 × Ñ Ù Ú

× Ó Ö Ó Ø Ö × Ñ Ö Ö Ø Ý ´ µ Õ Ù × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ú Ö Ð Ð ¸ Ö Ù Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ö Õ Ù Ø Ö Ñ Ò Ö

Ù Ò Ò Ó Ö Ó Ð Ö Ø º Æ Ó × Ó Ø Ö Ó × Ð Ö Ñ Ó × Ù Ò Ò Ù Ð Ó º

Ë Ð Ó Ö Ò Ð × × Ø Ñ Ð × Ó Ó Ö Ò × ´

XY µ Ò Ð Ú Ö Ø Ð Ò Ù Ð Ó Ý Ð Ó × × Ð × Ó Ó Ö ¹

Ò × Ó Ö Ò Ø × Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó × Ð Ó × Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ø Ó º

Ò Ø Ó Ò ×

x1 = 0 y1 = a sen φ

x2 = a cos φ y2 = 0 Ó Ò

φ × Ð Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ð Ö Ö Ý Ð Ð Ó

Ö Ó Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ø Ó º

Ä Ä Ö Ò Ò Õ Ù

L =a2φ2

2(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ) − ga√

2(m1 sen φ + m2 cos φ)

´ ¾ µ

Ó Ò Ð Ô Ö Ñ Ö Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ò Ö Ò Ø ´ Ð Ø Ò Ö Ð Ö Ö Ù Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ò Ó Ý Ò Ö

Ò Ø Ö Ó Ø Ò µ Ý Ð × Ù Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð º

Ç Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ´ Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø Ò Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ö µ ×

Ù Ø Ð Þ Ö Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ð Ô Ö Ø Ø Ö × Ð Ó Ò Ð Ý Ò Ð Ö Ó Ø Ó Ò Ð ¸ Ø Ò Ò Ó Ò

Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ø Ö × Ð Ò × Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ´ Ò × Ø × Ó Ñ × m1 · m2 · Ö Ö µ ¸

Ý Ð Ö Ó Ø Ó Ò Ð × Ö Ñ Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × º

Ä × Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò

xCM = m2a cosφm1+m2

Ý

yCM = m1a senφm1+m2

¸ Ó Ò

× Ù Õ Ù Ð Ò Ö Ø Ö × Ð Ó Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × ×



T t =a2φ2

2(m1 + m2)(m2

1 cos2 φ + m22 sen 2φ)

´ ¾ µ

È Ö Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ö Ó Ø Ó Ò Ð Ò × Ø Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó

Ñ × × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó º È Ó Ö × Ñ Ô Ð × Ð Ù Ò × × Ø Ñ

(X ′Y ′)Ô Ö Ð Ð Ó Ð × × Ø Ñ

XY ¸ Ô Ö Ó Ò Ø Ö Ó

Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º Ä × Ó Ó Ö Ò × Ù Ò Ð × Ñ × × Ò × Ø Ò Ù Ú Ó × × Ø Ñ Ó Ó Ö Ò × ×

x′

1 = −R1 cos φ¸

y′

1 = R1 sen φ

x′

2 = R2 cos φ y′

2 = −R2 sen φ¸ Ó Ò

R2 = am1

m1+m2Ý

R1 = a − R2 º

Ë Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × ω = (0, 0, φ) I × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ´ Ñ Ø Ö Þ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × µ ¸

Ð Ò Ö Ö Ó Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ

T r =1

2ωT Iω =

1

2I z′z′φ2

´ ¾ µ

Ó Ò Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ð

z′z′ Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×

I z′z′ = m1(x′2

1 + y′2

1) + m2(x′2

2 + y′2

2) =m1m2a2

m1 + m2

.´ ¿ ¼ µ

Ð × Ù Ñ Ö Ñ × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × × Ø Ò Õ Ù Ð Ò Ö Ò Ø Ô Ó Ö × Ø × Ù Ò Ó Ñ Ø Ó Ó ×

T = T t+T r =a2φ2

2(m1 + m2)(m2

1 cos2 φ+m22 sen 2φ)+

1

2

m1m2a2

m1 + m2

φ2 =a2φ2

2(m1 cos2 φ+m2 sen 2φ)

´ ¿ ½ µ

× Ö ¸ Õ Ù Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó Õ Ù Ò Ø × ´ Ó Ñ Ó × Ö µ º

Ä Ù Ò Ä Ö Ò Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ×

d

dt

∂L

∂ φ− ∂L

∂φ= 0

´ ¿ ¾ µ

Ó Ñ Ó

∂L∂ φ

= a2φ(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ)

∂L

∂φ= a2φ2(m1 − m2)a2φ(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ) − ga√

2(m1 cos φ − m2 sen φ)

´ ¿ ¿ µ

Ä Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ò Ð Ñ Ò Ø

a2φ(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ) + a2φ2(m2 − m1)sen φ cos φ − ga√ 2

(m1 cos φ − m2 sen φ) = 0

Ò Ð × Ó Ò Õ Ù

m1 = m2 × Ø Ù Ò × × Ñ Ô Ð

φ

−

g

2a√ 2(cos φ

−sen φ) = 0

× Ø × Ð Ù Ò Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ó Ö Ñ

a√

2mg(sen φ +cos φ)º × Ø Ô Ó Ø Ò Ð

Ø Ò Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ò

π/4º × Ø Ó Õ Ù Ö Ö Õ Ù Ù Ò Ó Ð Ö Ö × Ø Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ò Ó Ý Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ¸

Ô Ö Ó × Ø Ô Ó × Ò × Ò × Ø Ð º Ù Ð Õ Ù Ö Ô Õ Ù Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ð Ð Ú Ð Ö Ö

φ = 0Ó

φ = π/2º

Ä Ó Õ Ù Ó Ù Ö Ö Ô Ö Ø Ö × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ð Ó Ô Ó Ñ Ó × Ô Ö Ö Ó Ò × Ø × Ù Ó Ò × Ô Ó Ö Õ Ù Ñ Ó ×

Ó Ò × Ø Ö Ù Ó Ð Ð Ö Ò Ò Ó × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ñ × Ô Ö Ñ Ò × Ñ Ô Ö Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ø º Ñ × ¸

Ð × Ò Ù Ð Ö Ð Ú Ö Ø ¸ × Ò × Ö Ó Õ Ù Ñ Ó × Ô Ø × × Ó Ò Ð × Ö Ð Ó Õ Ù Ó Ù Ö Ö

Ù Ò Ó Ù Ò Ð × Ñ × × Ð Ð Ð Ú Ö Ø º È Ó Ñ Ó × Ö Õ Ù Ö Ó Ø Ð Ð ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð × Ù Ó Ò ×

Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ó Ø Ò × × Ù Ò × Ò Ó Ú Ð × ´ Ù Ò Õ Ù Ó Ò Ò Ù Ú × Ó Ò Ó Ò × Ò Ð × µ Ó Ò Õ Ù Ð

Ú Ö Ø Ò Ö Ð × Ð Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ò Ó Ý Õ Ù Ð × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ø Ò Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ø ¸ Ó Ò Ð Ó

Ù Ð Ö Õ Ù Ñ Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ù Ñ Ò Ø º × Ø × Ó × × Ó Ð Ù Ó Ò × × Ø Ò Ø × × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò

× Ø Ù Ó Ò × × × × Ø Ò Ø × º Ù Ð × Ð Ó Ö Ö Ø × Ð Ó Ô Ù Ö Ñ Ö × Ø Ö Ú × Ð Ü Ô Ö Ò º Ò

Ù Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ó Ö Ð ¸ Ð × Ø Ù Ò Ñ × Ô Ð Ù × Ð × Ð Ð Ö Ó Ø º

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ð Þ Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ù Ò Ö Ô Ò Ø Ð × Ó Õ Ù Ø Ò Ð

Ó Ö Ñ Ù Ò × Ù Ô Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ó Ò × Ñ Ø Ö Ú Ö Ø Ð º Í × Ò Ó

½ ¼



Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × Ô Ó Ð Ö ×

(r,θ,z) Ó Ò Ð Ó Ó Ö Ò

zÑ Ö Ö Ð × Ø Ò ¹

Ú Ö Ø Ð × Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ó Ð Ö Ô Ò Ø ¸ Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ð × × Ø Ñ ¸

Ù Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º ú Ü × Ø Ð Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ë Ù Ô Ó ¹

Ò Õ Ù Ð Ù Ò Ð × Ù Ô Ö × Ø Ô Ó Ö

r2 = azÝ Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú

× Ó Ñ Ø Ð Ö Ú º

Ë Ó Ð Ù Ò

Ä × Ò × Ù Ö Þ × Õ Ù Ø Ò × Ó Ò Ð Ö Ú Ý Ð Ö Ò Ò Ó Ö Ñ Ð × Õ Ù Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó

Ó Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò

mgzº Ä Ò Ö Ò Ø Ò Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × Ô Ó Ð Ö × ×

T = 1

2m(r2+r2θ2+

z2)º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ð Ó Ô Ó Ñ Ó × Ù × Ö Ð × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò × Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ ×

× Ó Ò Ò Ô Ò Ò Ø × º Ñ Ó × Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ò Ö Ó

rÓ

zÙ × Ò Ó Ð Ö × Ø Ö Ò Ó Ð Ó Ò Ñ

r2 = azº

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ñ Ó × Ù × Ö

rÝ

θ Ó Ñ Ó Ò Ù × Ø Ö × Ó Ó Ö Ò × Ò Ô Ò Ò Ø × º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð

Ä Ö Ò Ò Ó × × Ö Ó Ñ Ó

L = T − V =1

2m(r2 + r2θ2) + 4

r2r2

a2− mg

r2

a´ ¿ µ

È Ö Ð × Ó × Ó Ó Ö Ò × Ò Ô Ò Ò Ø × Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø

d

dt

∂L

∂ r

− ∂L

∂r=

d

dt(mr + 4m

r2r

a2) −

mrθ2 + 4m

rr2

a2− 2mg

r

a

= 0

d

dt

∂L

∂ θ

− ∂L

∂θ=

d

dt(mr2θ) = 0

´ ¿ µ

Ä Ð Ø Ñ Ù Ò × Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ñ Ò Ø × Ñ Ô Ð Ý Õ Ù Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ô Ò

θ¸ × Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó

Õ Ù Ú Ö Ð × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ð º È Ó Ñ Ó × Ò Ø Ö Ö Ö Ø Ñ Ò Ø

mr2θ = mJ Ó Ò

J

Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø º × Ð Ù Ò Ñ Ð Ö Õ Ù Ñ Ù × Ø Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ö Ð

Ú Ö Ø Ð × Ñ Ø Ö º Ë × Ù × Ø Ø Ù Ñ Ó ×

θ Ò Ù Ò Ò

rÔ Ó Ñ Ó × Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ù Ò Ü Ð Ù × Ú Ñ Ò Ø

Ò Ð Ú Ö Ð

rÕ Ù × Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º

¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×

È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

m2 × Ð Þ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó

Ñ ×

m1 ¸ Ò Ù Ð Ó Ò Ð Ò Ò

α Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ð Ó Ò Ø Ù Ø Ó Ø Ð

LÔ Ö Ø Ò Ó

× Ù Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ð Ø Ó × Ò Ú Ð Ó Ò Ð º × Ù Ú Þ ¸ Ð Ô Ð Ò Ó Ô Ù × Ð Þ Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó

× Ó Ö Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø º Ó Ò Ð × Ú Ö Ð × Ò × Ò Ð Ù Ö

´ ¿ µ Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ý Ø Ö Ñ Ò Ö × Ü × Ø Ð Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ð º ú Ù Ð × Ö

Ò × Ù × Ó Ð Ð Ý Ó Ò × Ö Ú Ò Ô Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Þ Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø

Ó Ó Ö Ò

m1

m2s

q

Ù Ö ¿

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

m× Ñ Ù Ú × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ù Ò Ö Ø

Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ø Ò Ó Ù Ò Ó Ó Ò Ù Ò Ñ Ù Ð Ð Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó Õ Ù × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò × Ø Ò

h Ð Ö Ø ´ Ú × Ð Ù Ö µ º À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ ¸ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð

Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø Ð Ñ Ù Ð Ð ×

kÝ × Ù Ð Ó Ò Ø Ù Ö Ô Ó × Ó ×

l0 º

½ ½



mh

Ù Ö

È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ü × Ø Ù Ò Ó Ö Ó Ø Ö Ú × Ð

Ù Ð Ô × Ù Ò Ð Ó Ð Ó Ò Ø Ù

l¸ Õ Ù Ù Ò Ó × Ù Ö Ô Ó × Ñ × × Ö × Ô Ø Ú ×

m1 Ý

m2 ´ Ú Ö

Ù Ö µ º Ð Ù Ö Ô Ó

m1 × Ø × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð

m2 × Ø × Ù × Ô Ò Ó Ý ×

Ô Ù Ñ Ó Ú Ö Ò Ø Ó × Ö Ó Ò × º ´ µ × Ö Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ Ò Ó Ó Ö Ò ×

Ù × º ´ µ ú É Ù Ò Ø × × × × Ó Ò × Ö Ú Ò ú È Ó Ö Õ Ù ´ µ Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ô Ö

Ù Ò × × Ø Ñ Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ò × Ñ Ø Ö Ü Ð ¸ Ð Ô Ö Ó Ý Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó × Ó Ö Ð

× Ñ Ø Ö ´

zµ ×

J z =∂L

∂ φ,

´ ¿ µ

Ó Ò Ð Ó Ó Ö Ò

φ × Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ò Ð Ö Ó Ö Ð

zÝ

L × Ð Ð Ö Ò Ò

Ð × × Ø Ñ º È Ö Ð × Ó Ó Ò Ö Ø Ó Ð Ò Ù Ò Ó ¸ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó

Ù Ö Ô Ó º ú Ë Ó Ò × Ö Ú Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó

m

m

2

1

Ù Ö

È Ö Ó Ð Ñ ½ À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

mÕ Ù × Ñ Ù Ú × Ó Ö Ù Ò

× Ù Ô Ö Ð × Ó Ö Ñ Ò Ó Ù Ò Ò Ù Ð Ó α Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×

m× Ñ Ù Ú × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ý Ò Ô Ö × Ò Ð Ñ Ô Ó

Ø Ö Ö × Ø Ö × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ó Ò Ó Ú Ö Ø Ð Ý Ò Ù Ð Ó

2α¸ Õ Ù Ö Ô Ó × × Ó Ö

× Ù × º ú Ù Ò Ø × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ý Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ À Ð Ð Ö Ð Ù Ò Ò

Ä Ö Ò Ô Ö × Ø × × Ø Ñ º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×

m × Ø Ò × Ö Ø Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò Ø Ò Ù Ò Ð Ñ Ö

Ù Ý Ó Ö Ñ × Ø Ô Ó Ö Ð Ù Ò Ò

y = a tan2(x/a) Ó Ò

a × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ó Ò Ñ Ò ¹

× Ò Ð Ó Ò Ø Ù ¸ × Ø Ò Ó Ö Ð Ú Ö Ø Ð × Ò Ð

yº Ð Ð Ñ Ö Ö Ð Ö Ó Ö Ð

y Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø

ωº Ä Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú × Ó Ñ Ø Ð Ö Ú Ý

× Ð Þ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ð Ñ Ö Ñ × × Ô Ö Ð º Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Õ Ù

× Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º

È Ö Ó Ð Ñ ½ Ç Ø Ò Ö Ð Ù Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ý ¸ Ô Ö Ø Ö Ð Ð ¸ Ð Ù Ò Ñ Ó Ú ¹

Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ô Ð Ò Ó Ñ ×

mÝ Ð Ó Ò Ø Ù

l¸ Ù Ý Ó Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò Ó × Ð

Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø × Ò

ys = y0 sen ωtº Ð Ù Ð Ö Ð × Ó Ð Ù Ò × Ø Ó Ò Ö Ð Ù Ò Ñ Ó ¹

Ú Ñ Ò Ø Ó º ú È Ö Õ Ù Ú Ð Ó Ö

ω Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ö Ú Ù Ð Ø × Ó Ñ Ô Ð Ø × Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó

× Ù × Ô Ò × Ò

½ ¾



Å ý Æ Á ´ Ê Ç Æ Ë Á Ë µ Á Ç ½ ¼ ¾ ½ ¼

È Ê Í Î Ä Í Á Æ Á Ë Ì Æ Á ¸ Æ Ê Ç ¾ ¼ ½ ¿

× Ø È Ö Ù Ú Ð Ù Ò × Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ð Å Ó Ð

Ú Ð Ù Ò Ð × Ò Ø Ù Ö ´ Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ù µ º

Ì Ñ Ô Ó Ö Ð Þ Ò Ý Ô Ð Þ Ó Ñ Ü Ñ Ó Ò Ø Ö È Ó Ö Ó Ò Ø × Ø Ö ×

Ò Ð Ó × × ½ ¸ ½ Ý ½ Ò Ö Ó ¾ ¼ ½ ¿ º Ð × Ø Ù Ò Ø Õ Ù Ô Ö Ø Ô Ò

Ð Ô Ö Ù Ö Ò Ø Ö Ö Ð × Ó Ð Ù Ò Ò Ö Ø Ø Ö Ú × Ð Ô Ð Ø Ó Ö Ñ

Ñ Ò Ø Ð Ö Ö Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ì Ö Ó × º Ð Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ø Ö Ô Ö Ö Ò Ø

× º Ô º Ò Ð È Ð Ò Ì Ö Ó Ð Ù Ö × Ó Ú Ö Ø Ù Ð ´ È Ö Ù Ò Ø × Ñ × Ö Ù Ò Ø × µ ×

Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ð × Ò × Ø Ö Ù Ó Ò × × Ó Ö Ñ Ó Ò Ú Ö Ð × Ö × Ô Ù × Ø × º

Ç Ø Ú Ó × × Ø Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × × Ø Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × Ø Ò Ò Ù Ò Ó Ð Ó Ø Ú Ó º

Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö ¸ Õ Ù Ù × Ø Ó Ñ Ô Ö Ù Ý Ö Ü Ó Ò × Ó Ö Ð Ó × Ó Ò Ó Ñ Ò Ø Ó × Õ Ù ¹

Ö Ó × º À Ò × Ó Ð Ó × Ô Ó Ö Õ Ù Ö Ò Ô Ö Ø Ð Ó × Ó Ò Ø Ò Ó × Ñ × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø ×

Ð × Ò Ø Ù Ö º Ò × Ù Ò Ó Ð Ù Ö ¸ Ù Ò Ú Þ Ó Ø Ò Ð × Ó Ð Ù Ò ¸ Ø Ò Õ Ù Ö ¹

Ø Ö Ð º × Ø Ó × Ù Ò Ó Ô Ó Ö Ø Ù Ò Ô Ö Õ Ù Ô Ò × Ò Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Õ Ù Ø Ò Ð Ö Ó Ö

Ý Ð Ð Ö Ò Ð Ö Ò Ð Ó Ö Ö Ð Þ Ö Ð Ó × Ü Ñ Ò × º Ò Ó Ò Ô Ö ¹

× Ò Ð × Ô Ø × × Ý Ð × Ú Ö Ð × Ù Ø Ð Þ × ¸ × Ð Ó Ö Ò × Ö Ó Ò Ð Ù Ý Ù Ò Ù Ó

Ó Ò × Ö × Ù Ð Ò Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò × ¸ Ø º Á Ò Õ Ù Ö Ú Ñ Ò Ø Ð Ó ×

Ô × Ó × Õ Ù × Ù Ò Ð × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ý × Ù Ø Ð × Ò Ó Ð × Ó Ð Ù Ò º Æ Ó Ò

Ô Ó Ö × Ó ¸ Ô Ó Ö Ñ Ù Ý Ø Ö Ú Ð Õ Ù Ð Ô Ö Þ º Á Ñ Ò × Õ Ù Ð Ó × Ø Ö Ø Ò Ó Ó Ò

Ò Ø Ó Ô Ö Õ Ù Ù Ò Ó Ñ Ô Ö Ó Ô Ö Ò Ö × Ó Ð Ú Ö × Ñ × Ñ Ó Ô Ö Ó Ð Ñ º

Ö Ø Ö Ó × Ú Ð Ù Ò × Ø Ô Ö Ù × Ö Ó Ö Ö Ô Ó Ö Ð

Ô Ö Ó × Ó Ö Ø Ù Ø Ó Ö

Ò Ø Ö Ñ Ô Ù × Ð Ö Ù Ô Ó Ì Ù Ø Ó Ö Ò Ð Õ Ù × Ø Ð × Ø Ù Ò Ø × Ö Ø Ó

´ Ú Ö Ð Ó × Ó Ö Ó × Ð × Ò Ø Ù Ö µ º Ð

¾ ¿ Ò Ö Ó × Ð Ð Ñ Ø Ò Ø Ö ¹

Ð × Ð Ó Ò × ´ Ý Ó Ñ Ò Ø Ö Ó × × Ù Ö Ò Ô Ö Ø Ò Ò Ø × µ º Ð × Ø Ù Ò Ø

Ö × Ù × Ð Ò Ø Ö Ú × Ð Ö Ö Ñ Ò Ø Ð Ó Ò × Ð Ù Ö × Ó

Ú Ö Ø Ù Ð º Ô Ö Ø Ö Ð Ò Ó Ø Ò × Ö Ö Ù Ò Ô Ð Þ Ó Ù Ò × Ñ Ò Ô Ö

Ô Ó × Ð × Ö Ð Ñ Ó Ò × Ð Ø Ù Ø Ó Ö Ò Ø Ö Ñ Ô Ù × ¸ Ó Ò Ð Õ Ù Ô Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ò Ú Ò Ó Ð

Ù Ò Ñ Ò × Ô Ö × Ó Ò Ð º Ì Ó × Ð × Ö Ð Ñ Ó Ò × × Ø Ö Ò Ö × Ù Ð Ø × Ò Ø × Ð

Ö Ð Þ Ò Ð Ô Ö Ù Ô Ö × Ò Ð º

È Ù Ò Ø Ù Ò

È Ö Ó Ð Ñ ½ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ

È Ö Ó Ð Ñ ¾ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ

È Ö Ó Ð Ñ ¿ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ

È Ö Ó Ð Ñ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ



½ º Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó O Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ö Þ F (r) Ô Ó Ö

Ù Ò Ñ × ¸ Ó Ò r

× Ð × Ø Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ô Ù Ò Ø Ó

O º Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú Ð Ö Ó Ö O Ò Ù Ò

Ô Ð Ò Ó

µ × Ö Ö Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × (r, θ)

µ È Ö Ó Ö Õ Ù

d2u

dθ2+ u = −

F (u−1)

h2u2

Ó Ò h × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ý

θ × Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ò Õ Ù

Ú × O Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ô Ð Ò Ó º

È Ö Ð Ð Ó Þ Ù × Ó Ð Ñ Ó u = r−1

º ú É Ù × Ò Ó × Ó Ø Ò

Ð Ó Ò × Ø Ò Ø h

¾ º Í Ò Ð Ò Ö Ó Ñ Þ Ó Ó Ñ Ó Ò Ó Ñ × M

Ý Ö Ó R

× Ò ×

× Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó × Ò Ò Ð Ù Ö º Ð Ó Ò Ø

Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ð Ò Ö Ó Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ú Ð µ

º Í Ò Ð Ö Ö Ó Ð Ð Ó

Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ñ Ù × Ô Ö Ø Ò Ð Ð Ò Ö Ó Ð Ó Ó Ò Ø Ù Ò

Ð Ó Õ Ù Ñ × m

º Ä Ô Ó Ð × Ó Ö Ð Õ Ù Ô × Ð Ð Ø Ò Ù Ò

Ñ × m p Ý Ù Ò Ö Ó r p º Ë × × Ù Ð Ø Ð × × Ø Ñ Ô Ö Ø Ò Ó Ð Ö Ô Ó × Ó

Ò Ð Ô Ó × Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ð Ù Ö ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ð Ö Ò

Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ó Õ Ù ¸ Ð Ð Ö Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×

Ð Ð Ò Ö Ó ¸ Ð × Ð Ö Ó Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð Ô Ó Ð Ý Ð Ò Ö Ó Ý Ð ×

Ø Ò × Ó Ò × Ò Ð × Ó × Ô Ö Ø × Ð Ð º Æ Ó Ø Ä Ó × Ø Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó ×

Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ò M = 100 kg R = 0, 4 m m = 75 kg m p = 10 kg

r p = 0, 2 m α = 30◦ º

O

Y

S

x

x.

A

B

C

D

s.

α

X

θG



¿ º Ò Ð Ù Ö × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ú Ö Ð Ð × Ò Ø × Ù Ò Ð Ó Ò ¹

Ø Ù l

Ý Ñ × m

Õ Ù Ó Ö Ñ Ò Ù Ò Ù Ö Ó Ô Ð Ò Ó Õ Ù × Ø Ö Ò Ó

Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω0 Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ý

Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Å Ò Ø Ù Ò Ñ Ò × Ñ Ó Ò Ø Ö Ò Ó k

Ð ×

Ú Ö Ð Ð × × Ô Ð Ò × Ø Ó Ö Ñ Ö Ù Ò Ö Ù Þ Ó Ñ Ó × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ð

Ù Ö º Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ñ Ò × Ñ Ó

× (40/3)ml2 Ý Õ Ù Ò Ó Ñ ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö

µ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ò Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ¹

Ò Ø × Ð × Ù Ö × Ý º

µ Ä Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω′

Ò Ð Ó Ò Ù Ö Ò Ò Ð º

µ Ð Ø Ö Ó Ö Ð Þ Ó Ò Ð Ô Ð Ó Ð × Ú Ö Ð Ð × º

k k k

AA B



º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ Õ Ù × Ø Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ð Ó Ò ¹

Ø Ù l

Ñ × × Ô Ö Ð Ò Ù Ý Ó Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ö × Ò Ù Ò Ø Ö

Ù Ò Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð mº Ñ × × Ø Ó Ò Ø Ô Ó Ö Ù Ò Ñ Ù Ð Ð

Ð Ò Ð Ù Ò × Ð Þ Ó Ö × Ò Ö Ò Ý Ñ × × Ô Ö Ð Õ Ù ×

Ñ Ù Ú × Ó Ö Ð Ö Ø

y = a¸ Ø Ð Ñ Ò Ö Õ Ù × Ñ Ô Ö Ð Ñ Ù Ð Ð ×

Ñ Ò Ø Ò Ú Ö Ø Ð º Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ù Ð Ð × k

Ý × Ù

Ð Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ù Ö Ð × a + l0 ¸ Ò Ô Ö × Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó

Ó Ò × Ø Ò Ø

µ Ò Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ º

µ Ç Ø Ò Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ð × × Ø Ñ º

µ Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ó Ö Ò θ = 0

× × Ñ Ô Ö Ù Ò × Ø Ó Õ Ù Ð Ö Ó º

Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ó Ò Ò × Ó Ö l Ô Ö Ð Ù Ð Ð Õ Ù Ð Ö Ó × × Ø Ð º

µ Ù Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º

µ Ê Ð Þ Ö × Ø Ù Ó Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ô Õ Ù ×

Ó × Ð Ó Ò × Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Õ Ù Ð Ö Ó θ = 0º ú Ñ Ó Ñ

Ð × Ó Ð Ù Ò Ô Ò Ò Ó Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ô Ò Ù Ð Ó


y

x

m

k

a

θ

Documents

Problemas Mecánica UNED 2012-2013