“Problemas de aplicación: El álgebra y la trigonometría en la ingeniería”.

Problemas a resolver

1) Juan trabaja en una empresa que se dedica a la distribución de piezas para automóviles y el sueldo que percibe mensualmente lo distribuye de la siguiente manera: la mitad para alimentación y gastos de la casa, la cuarta parte para vestido y calzado de la familia, 1 octava parte la dedica para el esparcimiento y los $2000.00 restantes los deposita en una cuenta de ahorros ¿cuál es el sueldo mensual de Juan?

x=Sueldo Juan1/2x= Alimentación y gastos1/4x=Vestido y Calzado1/8x=Esparcimiento

x-(x/2)-(x/4)-(x/8)=2000x-(4x/8)-(2x/8)-(x/8)=2000

x-(7x/8)=2000(8x/8)-(7x/8)=2000

x/8=2000x=2000*8

x=16000

El sueldo de Juan es $16,000.00

2) Para la siguiente expresión algebraica, determina las fracciones parciales que la forman. Sugerencia: inicia tu desarrollo factorizando el denominador.

8 x2−20 x+2x3−x2−14 x+24

=

Se factoriza por división sintética

1 -1 -14 +24-4 20 -24

__________-41 -5 6 0

(8x^2)-20x+2((X^2)-5x+6)(x+4)

factoriza (X^2)-5x+6

(8x^2)-20x+2(x-2)(x-3)(x+4)

Dividimos el nominador entre 2 términos del denominador((8x^2)-20x+2)/((x-3)(x-2))

((8x^2)-20x+2)/ (X^2-5x+6)

5____________X^2-5x+6/((8x^2)-20x+2) 5x^2-25x+30 3x^2+5x-28

Dividimos el residuo entre el producto de otros 2 términos del denominador

3x^2+5x-28/((x-2)(x+4))

3x^2+5x-28/(x^2+2x-8)

2____________x^2+2x-8/3x^2+5x-28 2x^2+4x-16 X^2-x-12

Dividimos el nuevo residuo entre el producto de los últimos 2 términos del denominador

X^2-x-12/(x-3)(x+4)

X^2-x-12/ X^2-x-12=1

Entonces quedaría

5 + 1 + 2x+4 x-2 x-3

3) En cierto lugar se encontró un fósil que contenía originalmente 230 gramos de carbono 14. Si actualmente tiene una concentración de 196.3 gramos de carbono 14 ¿Cuántos años tiene el fósil?

Fórmula para calcular el índice de desintegracióntavg=1/ᵞ

Formula para la datación por C14

N=No℮ᵞt

DatosN=196.3No=230ᵞ=yt=xtavg=8033

DespejamosN=No℮ᵞt

N/N0=℮ᵞt

ln(N/N0)= ᵞt(ln(N/N0))(1/ ᵞ)= t

Sustituimos tavg

tavg=1/ᵞ(ln(N/N0)) tavg = t

Sustituimos con las cantidades y resolvemos

(ln(196.3/230)) 8033 = t(ln(196.3/230)) 8033 = t

ln(0.8534)8033-0.1584*8033=-1272

El fósil tiene aproximadamente 1272 años

4) Verifica la siguiente identidad trigonométrica

sen ( x+ y ) sen ( x− y )=sen2 x−sen2 y .

Sen(x+y)sen(x-y)=sen2x-sen2y

(Sen(x)cos(y)+cos(x)sen(y)) (Sen(x)cos(y)-cos(x)sen(y))= sen2x-sen2y

Sen2(x)cos2(y)-cos(x)Sen(x)sen(y)cos(y)+cos(x)Sen(x)sen(y)cos(y)-Sen2(y)cos2(x)=sen2x-sen2y

Sen2(x)cos2(y)- Sen2(y)cos2(x) =sen2x-sen2x

Sen2(x)(1-sen2(y))- Sen2(y)(1-sen2(x))=sen2x-sen2x

Sen2(x)-Sen2(x)sen2(y)-(Sen2(y)- Sen2(y)sen2(x))=sen2x-sen2x

Sen2(x)- Sen2(x)sen2(y)- Sen2(y)+ Sen2(y)sen2(x)=sen2x-sen2x

Sen2(x)- Sen2(y)=sen2x-sen2x

5) Dos poblaciones se encuentran separados por un pequeño lago, las autoridades correspondientes han decidido construir un puente que una a estas dos poblaciones, para ello, un grupo de topógrafos midieron la distancia que había a los puntos extremos del lago a un punto en específico, y el ángulo que formaban los extremos, como se muestra en la figura ¿Qué distancia hay del punto A al punto B?

a=xb=85mc=76mα=88°

Usamos la ley de los cosenos

a^2=b^2+c^2-2bc cos (α)

Sustituimos con los datos

a=√[(85^2)+(76^2)-2(85)(76)cos(88°)]

a=√[7225+5776-(12920)(0.03489)]

a=√[13001-(450.7788)]

a=√12550.2212

a=112.027