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P6-1
Problemas
1. Un objeto está situado a 12 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es 6 cm. Hallar a que distancia se encuentra la imagen.
Sabemos que la focal de un espejo viene dada por
rf21
= = 3 cm
Al ser el espejo cóncavo, centro de curvatura en el lado de incidencia de la luz, r es positivo Para determinar la distancia s´ donde se forma la imagen utilizamos la ecuación del espejo
fss1
´11
=+ =31
´1
121
=+s
s´= 4 cm teniendo una imagen real
P6-2
2. Un objeto de 2 cm de alto está a 10 cm de un espejo convexo de radio de
curvatura 10 cm. Localizar la imagen y su altura.
De nuevo la focal del espejo viene dada por
rf21
= = -5 cm
El signo negativo de la focal es debido que r tiene signo menos al estar el centro de curvatura detrás del espejo La imagen está situada en
fss1
´11
=+ =5
1´
1101
−=+
s
s´= -3,33 cm teniendo una imagen virtual El aumento lateral viene dado por
ss
yy
m´´
−== = 0,333
y por tanto la altura de la imagen es y´= 0,666 cm
P6-3
3. Un espejo esférico cóncavo de 0,5 m de distancia focal está frente a un espejo
plano situado a 1,8 m del vértice del primero. A 20 cm del espejo plano y entre éste y el cóncavo se encuentra un punto luminoso que se refleja primero en el espejo plano y luego en el cóncavo. Encontrar la posición de la imagen producida por el sistema y su aumento.
El punto P se refleja en el espejo plano siguiendo la leyes de la reflexión de tal forma que genera una imagen virtual a 20 cm del espejo plano. Esta imagen virtual es el objeto para el espejo cóncavo de tal forma que s= 1,8+0,2= 2 m y
fss1
´11
=+
s´= 0,67 m y el aumento
ss
yy
m´´
−==
m=-0,33
P6-4
4. En los supermercados se utilizan espejos convexos para conseguir un amplio
margen de observación y vigilancia con un espejo de tamaño razonable, de manera que un dependiente situado a una cierta distancia del espejo pueda inspeccionar el local entero. Un espejo convexo tiene un radio de curvatura de 1,2 m. Si un cliente está a 10 m del espejo, ¿a qué distancia de la superficie del espejo está su imagen? ¿La imagen está detrás o delante del espejo? Dibuje la trayectoria de los rayos. Si el cliente mide 2 m, ¿qué altura tendrá su imagen?
f=r/2=-0,6 m
fss1
´11
=+
s´= -0,56 m m= 0,056
P6-5
5. Dentro de una pecera esférica de radio 15 cm llena de agua se encuentra un pez.
El pez mira a través de la pecera y ve un gato sentado sobre la mesa a 10 cm de la pecera. Encontrar la imagen del gato y su aumento vista por el pez.
Aplicando la ecuación que analiza la refracción en una superficie esférica
rnn
sn
sn 1221
´−
=+ 15
133,1
´
33,1
101 −
=+s
s´= -17,1 cm, imagen virtual situada en el lado de incidencia de la luz y el aumento es
snsn
yy
m2
1 ´´−== = 1,29, imagen derecha
P6-6
6. Una lente biconvexa de vidrio, n=1,5, tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15
cm. Hallar su distancia focal y su potencia. Localizar la imagen gráfica y algebraicamente de un objeto de 1,2 cm de alto que se coloca a 4 cm de la lente. A la derecha de esta lente y a 12 cm de ella se coloca una segunda lente de distancia focal 6 cm. Localizar ahora la imagen final del objeto anterior.
La focal de esta lente delgada se calcula utilizando la ecuación
−−=
21
11)1(
1rr
nf
−−−=
151
101
)15,1(
f =12 cm P = 8,33 dioptrías La imagen del objeto en cuestión viene dada por
fss1
´11
=+ 121
´1
41
=+s
s´= -6 cm imagen virtual
==−==46,1´´
ss
yy
m 1,5
y´= 1,8 cm A 12 cm a la derecha se coloca otra lente delgada de focal 6 cm La imagen virtual creada por la 1ª lente hace de obje to para la segunda con s= 12+6=18
fss1
´11
=+ 61
´1
181
=+s
s¨= 9 cm
5,0189´´
−=−=−==ss
yy
m
y´= -0,9 cm
P6-7
7. Un objeto está colocado a 1,20 m de una lente. Determine la distancia focal y el
tipo de lente (convergente o divergente) que produce una imagen (a) real y a 0,80 m de la lente; (b) virtual y a 3,20 m de la lente; y (c) virtual y a 0,60 m de la lente. Dibuje la trayectoria de los rayos en cada caso.
P6-8
8. Dos lentes con la misma distancia focal de 10 cm distan entre si 15 cm. Hallar la
imagen final de un objeto a 15 cm de una de las lentes.
P6-9
9. Determinar las posiciones de los focos de un sistema de dos lentes separadas
por una distancia t.
La imagen del objeto debido a la lente 1 estará en
111
1´11
fss=+
Esta imagen hará de objeto para la 2º lente de tal forma que la posición s2 será s2= t-s´1 y la posición de la imagen formada por la 2ª lente será
2´2
´1
111fsst
=+−
Para determinar la posición del punto focal objeto debemos tener en cuenta que en esa posición, el sistema de dos lentes forma la imagen en el infinito, es decir s´2=∞ y por tanto s´1=t-f2 Introduciendo este valor en la primera ecuación queda que la posición del punto focal objeto está en
s1(F) = f0 =)(
)(
21
21
fftftf
+−−
Operando de forma análoga llegamos a que la posición del punto focal imagen es
s´2(F´) = fi = )(
)(
21
12
fftftf
+−−
P6-10
10. Demostrar que la potencia de un sistema formado por dos lentes delgadas
separadas una distancia t viene dada por
2121
111ff
tfff
−+=
y1y2
γ1γ2
t
f1
f
fi
En una lente delgada sabemos que fss1
´11
=+ . Para rayos paraxiales los ángulos
que forma el rayo incidente y refractado con el eje óptico se relacionan según las
ecuaciones sl
≈α y sl
≈γ que introduciendo en la ecuación de la lente delgada
(considerando valores absolutos de ángulos)
fl
+= αγ
En el caso que nos ocupa y tratando un rayo incidente desde el infinito con el objetivo de averiguar la distancia focal del sistema, tenemos
11
1fy
=γ 22
12fy
+= γγ
De la geometría de la figura se deduce que
fy1
2 =γ 112 γtyy −=
Con lo que
P6-11
211
1
11
2f
fy
ty
fy
−+=γ
2121
111
fft
fff−+=
Podemos verificar tambien que
)21()1(2
)11((212)11(
22
1
222
fftftf
tyffty
fy
yyfi
+−−
=−+
−=
+==
γγγ
γγ
P6-12
11. Se tiene un sistema óptico formado por dos lentes convergentes iguales de
distancia focal 10 mm. Un objeto de 1 cm está situado a 15 mm a la izquierda de la primera lente. Calcular cuál debe ser la separación entre las lentes para que la imagen final sea real, derecha, y cuatro veces mayor que el objeto. Comprobarlo gráficamente.
P6-13
12. Dos lentes de 4 y 6 dioptrías están separadas una distancia de 60 cm. Hallar los
focos y potencia del sistema compuesto.
P6-14
13. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas, corregir la aberración cromática
en una cierta región espectral del visible. ¿Cuál debe ser la separación t entre lentes para conseguir este hecho?
Hemos visto como la focal de un sistema de dos lentes delgadas separadas una distancia t viene dado por
2121
111ff
tfff
−+=
donde para cada lente por separado
2,12,1)2,1(2)2,1(1
2,12,1
)1(11
)1(1
knrr
nf
−=
−−=
Por tanto
22112211 )1()1()1()1(1
knkntknknf
−−−−+−=
Para evitar la aberración cromática, la distancia focal f no debe variar al cambiar el índice de refracción con la longitud de onda, es decir df=0 al variar n en dn. Diferenciando la ecuación anterior y anulando df
0)1()1( 112222112211 =−−−−+ knktdnknktdnkdnkdn
2112
2211
21 )1()1(1
dnndnndnkdnk
kkt
−+−+
=
donde dn será la diferencia entre el índice en los extremos del espectro Si las dos lentes son del mismo vidrio, y por tanto con el mismo n
2)1()1(1 21
2112
2211
21
ffdnndnn
dnkdnkkk
t+
=−+−
+=
Con esta distribución de lentes se corrige el cromatismo de aumento, es decir las imágenes formadas por los diferentes colores tienen el mismo tamaño (igual distancia focal) pero no el acromatismo longitudinal (las imágenes se forman en diferentes puntos focales imagen, diferentes fi)
P6-15
14. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas en contacto, corregir la
aberración cromática en una cierta región espectral del visible. ¿Qué condición deben cumplir las focales y los índices de refracción de las dos lentes?
Para un par de lentes delgadas pegadas tenemos que la distancia focal
equivalente es igual a 21
111fff
+= que no debe depender de la variación del
índice de refracción con la longitud de onda. Diferenciando igual que en el problema anterior
2,12,12,1
22,1 dnk
f
df=−
)1( 2,1
2,1
2,1
2,1
−=−
ndn
fdf
Con dn=n(Azul)-n(Rojo) y n como n(amarillo). Definimos el parámetro de
dispersión ó número de Abbe como )()(
1)(rojonazuln
amarillon−
−=ν con lo que
2,12,1
2,1 1ν
−=f
df
Diferenciando la primera ecuación y anulando df, 02
22
121 =+
fdf
fdf
y sustituyendo
tenemos como condición de acromatismo
011
2211
=+ff νν
Dado que trabajamos con lentes pegadas delgadas, para diferentes longitudes de onda coinciden la distancia focal y el punto focal con lo que se anulan tanto el cromatismo de aumento como el cromatismo longitudinal.
De la última ecuación se deduce que las dos lentes deben tener focales de diferente signo
P6-16
15. Dos lentes, una planoconvexa de radio r=50 cm y otra planocóncava de r=30 cm
se encuentran separadas una distancia d con sus caras planas enfrentadas. Si las lentes se separan de forma que d se dobla, la potencia del sistema disminuye a la mitad. Calcular d asumiendo que el índice de refracción de ambas lentes es n=1,5.
Hemos visto como la potencia de un sistema de dos lentes viene dado por
2121
11ff
tff
P −+=
Al doblar la distancia entre lentes, la potencia se hace la mitad
2121
2112 ff
tff
P−+=
Usando ambas ecuaciones llegamos a 3t = f1 + f2
El cálculo de las focales de ambas lentes se realiza utilizando la ecuación
−−=
21
11)1(
1rr
nf
f1= 100 cm f2= -60 cm Y despejando t t= 13,33 cm
P6-17
16. Determinar, utilizando el método matricial, la posición, tamaño y orientación de la
imagen producida por una lente gruesa (r1=10 cm, r2=-5 cm, n=1,5 y espesor= 2 cm) de un objeto situado a 3 cm de la 1º superficie refractora. Determinar la posición de la imagen considerando que fuera una lente delgada.
La matriz del sistema que se debe evaluar es R2T21R1= S
−
3
2
23
2 11
01
nn
rnn
10
1 21t
−
2
1
12
1 11
01
nn
rnn = S
con n1=1, n2=1,5, n3=1, r1=10 cm, r2=-5 cm, t21= 2 cm
− 5,11,0
01
1021
− 6667,00333,0
01=
− 8667,01433,0
3334,19333,0=
dcba
dcsbas
s++
−=´ =-9,46 cm
csall
m ´´
+== = 2,29
P6-18
17. La figura muestra un par convergente-divergente de lentes gruesas que se
utilizan en cámaras de bajo costo para reducir la aberración cromática. ¿Cuál debe ser la distancia entre la superficie plana del sistema óptico y la película cuando se toma la fotografía de un objeto lejano?
n=1,5
n=1,63
r1=2 cm
r2=2 cm
0,4 cm0,5 cm
La matriz del sistema que se debe evaluar es
S=
−
41
1
013
34
3
nn
rnn
10
1 32t
−
3
2
23
2 11
01
nn
rnn
10
1 21t
−
2
1
12
1 11
01
nn
rnn
Con n4=1, n3=1,63, n2=1,5 y n1=1 r3=∞, r2=-2 y r1=2
S=
− 022,11905,0
5841,08699,0=
dcba
Ahora evaluamos s´ para s=∞
cmca
dcsbas
s 57,4´ =−≈++
−=
P6-19
18. Demostrar que la matriz del sistema óptico constituido por una lente delgada se
expresa como
S=
− 1
101
f
S =
−
−
nnrn
nr
n 1101
10011
01
12
=
−− 1
11)1(
01
12 rrn =
− 1
101
f
P6-20
19. Calcular cuál es la variación máxima en dioptrías del cristalino según este
enfoque un objeto próximo o lejano
fss1
´11
=+
s= ∞ s´= 2,5 cm f=2,5 cm P= 40 dioptrías s= 25 cm s´= 2,5 cm f=2,27 cm P= 44 dioptrías
P6-21
20. Una persona con 25 cm de punto próximo utiliza una lente de 40 dioptrías como
lupa. ¿Qué amplificación angular se obtiene?
La focal de la lente es igual a f=1/P= 2,5 cm y la amplificación M=xpp/f=10
P6-22
21. Una lente convergente, n=1,7 y r=16 cm, se desea utilizar como lupa. ¿Dónde
hay que situar la lente respecto al objeto para que su imagen se genere a 25 cm del ojo?¿Cuándo se obtiene el mayor aumento angular?
−−=
21
11)1(
1rr
nf
⇒ f= 11,43 cm
fss1
´11
=+
s´= 25 cm ⇒ s= 7,85 cm
85,725´´
=−==ss
yy
m = 3,2
P6-23
22. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1,2 cm de distancia focal y un ocular
de 2 cm de distancia focal separadas 20 cm. Hallar el poder amplificador si el punto próximo de observador está a 25 cm. ¿En dónde deberá colocarse el objeto si la imagen final ha de verse en el infinito?
El aumento total del microscopio es igual a
´ffLx
ABab
MMM PPcb −===
Considerado que podemos calcular la longitud del tubo L como la distancia entre lentes menos las distancias focales L=16, 8 cm M= -175 Para que la imagen final generada por el ocular pueda verse en el infinito, el objeto para el ocular, o la imagen generada por el objetivo, ha de estar en el punto focal objeto del ocular, es decir, la imagen generada por el objetivo debe estar a una distancia s´ del objetivo s´=f+L=18 cm Por tanto el objeto debe estar a una distancia s del objetivo dada por
fss1
´11
=+
s= 1,29 cm
P6-24
23. El objetivo y el ocular de un microscopio tienen unas potencias ópticas de 50 y 60
dioptrías. La longitud del tubo del microscopio es de 18 cm y con éste observamos una muestra de 3 µm. Calcular el aumento del microscopio. ¿A que distancia del foco del objetivo hay que colocar la muestra?¿Dónde se produce y que tamaño tiene la imagen intermedia producida por el objetivo?
Pb= 50 dioptrías ⇒ fb= 2 cm Pc= 60 dioptrías ⇒ fb= 1,66 cm Considerado que podemos calcular la longitud del tubo L como la distancia entre lentes menos las distancias focales L=18-2-1,66= 14,34 cm El aumento total del microscopio es igual a
´ffLx
ABab
MMM PPcb −===
M= -108 Para que la imagen final generada por el ocular pueda verse en el infinito, el objeto para el ocular, o la imagen generada por el objetivo, ha de estar en el punto focal objeto del ocular, es decir, la imagen generada por el objetivo debe estar a una distancia s´ del objetivo s´=fb+L=16,34 cm Por tanto el objeto debe estar a una distancia s del objetivo dada por
fss1
´11
=+
s= 2,28 cm AB=3x10-4(-108)= 0,032 cm
P6-25
24. Un telescopio simple tiene un objetivo de 100 cm de distancia focal y un ocular de
5 cm de distancia focal. Se utiliza para mirar la luna que subtiende un ángulo de 0,009 radianes. ¿Cuál es el diámetro de la imagen formada por el objetivo?¿Qué ángulo subtiende la imagen final en el infinito?¿Cuál es el poder amplificador del telescopio?
Los aumentos vienen dados por
´ff
M −= =-20
El ángulo subtendido por la imagen en el infinito es β=Mα= 0,18 radianes Y el diámetro aparente será 4,5 cm
