FSICA I

PROBLEMAS DE CURSO

Grado en Tecnologas Industriales

Curso 2012-2013

Profesor: Carlos F. Gonzlez Fernndez

2

TEMA 1. MAGNITUDES. UNIDADES. VECTORES

Ejemplos 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.5 Fundamentos de mecnica. C. F. Gonzlez Fernndez. Ed. Revert. Barcelona (2009).

1.- Dada la siguiente frmula: t

dm

cl

mtb

t

FaP

2

2

En la que P, F, t, l y m son, respectivamente, potencia, fuerza, tiempo, longitud y masa, se pide

calcular las frmulas dimensionales de las magnitudes a, b, c y d.

2.- Calcule el valor de x e y para que las siguientes expresiones sean correctas:

a) 3

13 ))()(50

)cos()cos(303,020

senrrsen

rrsenmIsen

n

yn

x

donde I es un momento de inercia, m es una masa y r es una distancia.

b) senc

baH

y

x

22

2

donde H es una altura, b una longitud, a una velocidad y c una aceleracin.

3.- Un cuerpo de masa m cae libremente desde una altura h por efecto de la gravedad, partiendo del

reposo. Halle, mediante el anlisis dimensional, la relacin entre la velocidad de llegada al suelo v,

la aceleracin de la gravedad g, h y m.

4.- Encuentre la velocidad del sonido en un gas c, relacionndola con p (presin), T (temperatura) y

(densidad).

5.- Dados los vectores A(2,1,-3) y B(1,-2,1), halle el vector de mdulo 5, perpendicular a ambos.

6.- Dado un vector de mdulo 3 aplicado en el punto P(2,3,0) y tal que forme ngulos de 30 y 60

con los semiejes positivos OX y OY, calcule su momento respecto del punto Q(5,3,-7).

7.- Dados los vectores A = 2i - 3j k y B = - i + j + 2k , halle el ngulo que forman, y la proyeccin de A sobre B.

8.- Obtenga el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A=2i-6j-3k,

B=4i+3j-k

9.- Dado el vector V = 2i + j k aplicado en el punto P(1,1,1), determine su momento respecto a un eje que pasa por los puntos A(2,2,4) y B(1,2,-3).

10.- Dado el vector r = 2 costi + 2 sentj, siendo una constante, demuestre que: a) El vector dr/dt es perpendicular al vector r.

b) El vector d2r/dt

2 est dirigido hacia el origen de coordenadas, y su mdulo es proporcional al de

r.

c) El producto vectorial r(dr/dt) es un vector constante.

3

SOLUCIONES

1.- [a] = LT; [b] = L3 T

-4; [c] = L; [d] = L

4 T

-5;

2.- a) x = 5 e y = 5 ; b) x = 0 e y = 1

3.- ghkv

4.-

pkc

5.- )(3

5kjiP

6.- )3(2

3jiV

7.-

8.- kjiu 6237

1

9.-

10.-

4

TEMA 2. CINEMTICA

Ejemplos 2.1; 2.2; 2.3 Fundamentos de mecnica. C. F. Gonzlez Fernndez. Ed. Revert. Barcelona (2009).

1.- Un cuerpo se mueve en el espacio, y su vector de posicin respecto de un cierto referencial es

r=t2

i+tj+k (m). Halle, a los 2 s de iniciado el movimiento, la velocidad, la aceleracin y sus

componentes intrnsecas, as como el radio de curvatura de la trayectoria.

2.- Un mvil describe una trayectoria dada por las ecuaciones: x = pt , y = p t2/2 (unidades S.I.).

Determine la velocidad y aceleracin del mvil, componentes intrnsecas, radio de curvatura y

ecuacin de la trayectoria.

3.- La ecuacin de un mvil es: x = R(t sen t), y = R(1 cos t) (unidades S.I.). Calcule su velocidad, aceleracin, componentes intrnsecas y radio de curvatura.

4.- Un punto se mueve, partiendo del origen de coordenadas, con un vector aceleracin a(0,1,2t)

m/s2, y con una velocidad inicial vo(3,0,0) m/s. Calcule la ecuacin vectorial horaria del movimiento

r(t), las componentes intrnsecas de la aceleracin para t = 0, las coordenadas del punto mvil para

t = 2 s, y los valores de la velocidad y de la aceleracin en ese instante.

5.- Se lanza verticalmente hacia arriba desde un plano horizontal una pelota con una velocidad

inicial de 9,8 m/s. El viento produce sobre la pelota una aceleracin horizontal de 2 m/s2 constante.

Calcule: 1) La distancia del punto de lanzamiento al punto de impacto sobre la horizontal. 2)

Coordenadas del punto ms alto de la trayectoria. 3) Velocidad de la pelota en ese punto. 4)

Velocidad de la pelota en el punto de impacto. 5) ngulo que forma el vector velocidad con la

horizontal en el punto de impacto.

6.- Una pelota resbala por un tejado que forma un ngulo de 30 con la horizontal, y al llegar a su

extremo lleva una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y l anchura de la calle son

30 m. Se pide: a) Ecuacin de la trayectoria. b) Si llega directamente al suelo o choca antes con la

pared opuesta. c) Tiempo que tarda en chocar. d) Velocidad en el instante del choque. e) Posicin

en la que se encuentra cuando su velocidad forma un ngulo de 45 con la horizontal.

7.- Un disco gira con una velocidad angular inicial constante segn el sentido de las agujas del reloj.

En un cierto instante adquiere una aceleracin de 300 r.p.m./s en sentido contrario a las agujas del

reloj. Si a los 9 segundos su velocidad angular es de 1200 r.p.m. en sentido contrario a las agujas

del reloj, determine: a) Velocidad angular inicial. B) Nmero de revoluciones dadas.

8.- Una partcula describe un movimiento armnico de ecuacin x = 0,2 sen 10t, donde todas las

magnitudes se han medido en el S.I. Halle: a) La amplitud y perodo del movimiento. b) La

velocidad y aceleracin mximas. c) El instante en que la velocidad es nula por primera vez.

9.- Una partcula describe un m.v.a. a lo largo del eje X, de amplitud 24 cm y perodo de 4 s. Si el

punto de equilibrio es el origen de coordenadas y en el instante inicial la partcula est en x = 24

cm, calcule; a) su posicin en el instante t = 0,5 s. b) El mnimo tiempo transcurrido entre la

situacin inicial y el instante en que la partcula se encuentra en el punto x = - 12 cm. c) La

velocidad de la partcula cuando se encuentra en la situacin indicada en el apartado anterior.

5

SOLUCIONES

1.- v=4,12 m/s; a=2; at=1,94 m/s2; an=0,48 m/s

2; =35 m

2.-

3.-

4.- r = 3t i + (1/2) t2 j + (1/3) t

3 k

; at = 0; an = j ; r = 6 i + 2 j + (8/3) k

; a = 4,123 m/s

2 ; v=5,385

m/s

5.- 4 m; (1 m, 4,9 m); 2 m/s; 10,585 m; - 6748

6.- a) y = 0,5774 x + 0,0653 x2. b) La pelota choca antes con el suelo . c) t = 3,02s.

d) 35,66 m/s. e) x = 3,23 m; y = 2,55 m

7.- a) o = 50 rad/s ; b) n vueltas = 22,5

8.- a) A = 0,2 m ; T = /5 s b) v = 2 m/s ; a = 20 m/s2 c) t = /20 s

9.- a) x = 0,17 m b) t = 4/3 s c) v = 0,33 m/s alejndose del origen

6

TEMA 3. DINMICA. FUERZAS. GRAVITACIN

Ejemplos 3.1; 3.2; 3.3; 3.4; 3.5; 3.6 Fundamentos de mecnica. C. F. Gonzlez Fernndez. Ed. Revert. Barcelona (2009).

1.- El vector de posicin, en metros, de un cuerpo de masa 6 kg es r = (3t2 6t)i 4t3 j + (3t + 2)k.

Calcule: a) Fuerza que acta sobre la partcula. b) Momento-fuerza respecto del origen. c)Momento

lineal y angular respecto del origen.

2.- Una plomada suspendida del techo de un vagn de ferrocarril se desva de la posicin vertical un

ngulo de 10 al pasar por una curva cuyo radio es de 400 m. Determine la velocidad del tren.

3.- Un pintor est subido en el andamio indicado en la figura. Para hacerlo subir, tira de la cuerda y

el tablero inferior del andamio ejerce sobre l una fuerza de 192 N. La masa del pintor es de 70 kg,

la del bote de pintura, de 10 kg, y la del andamio, de 30 kg. Se suponen despreciables las masas de

la polea y de la cuerda. Obtenga la aceleracin con la que sube el pintor y la tensin de la cuerda

que sostiene al andamio.

4.- La maleta M se encuentra aprisionada entre los bloques A y B, que se encuentran sujetos a una

pared por sendas cuerdas. Qu fuerza mnima F hay que ejercer sobre la maleta para conseguir

extraerla, si su masa es de 2 kg y la del bloque A es de 4 kg, y los coeficientes de rozamiento

estticos entre la maleta con A y con B son, respectivamente, 0,2 y 0,3? Cul ser la fuerza total

que se ejerce sobre la pared?

A

M F

B

7

5.- Los cuerpos A y B tienen masas de 10 y 20 kg, respectivamente; los coeficientes de rozamiento

con el plano son s = 0,3 y k = 0,2. a) Se mover el sistema? b) si se mueve, en qu sentido lo har y con qu aceleracin, si se desprecia la masa y el rozamiento de la polea?

B

A

30 60

6.- El mvil de la figura tiene una aceleracin hacia la derecha y respecto del suelo de 2 m/s2. Los bloques

de masas m1 = 5 kg y m2 = 10 kg , tienen un coeficiente de rozamiento con el mvil de 0,2. Calcule la

aceleracin de los bloques respecto del suelo.

m1 m2

a = 2 m/s2

37

7.- El sistema de la figura se libera a partir de la posicin mostrada, donde el resorte, de constante

recuperadora k, tiene inicialmente una longitud natural lo. Suponiendo que no existen fuerzas de rozamiento,

calcule: a) La tensin de la cuerda en el instante posterior a la liberacin del sistema. b) La velocidad de m2

en el instante en que choca contra el suelo.

lo m1 m2

h

8.- Sobre la superficie lisa de un cono de revolucin, que gira alrededor de un eje vertical con

velocidad angular de 15 r.p.m., est situado un cuerpo de 2 kg, sujeto al vrtice del cono por un hilo

inextensible y sin masa, de 4 m de longitud. Calcule: a) La velocidad del cuerpo. b) La reaccin de

la superficie del cono sobre el cuerpo. c) La tensin del hilo. d) La velocidad angular a que debe

girar el cono para anular su fuerza de reaccin sobre el cuerpo.

30

m

8

9.- En los extremos de una cuerda que pasa a travs de un tubo, como indica la figura, se atan dos

masas m < M. Se hace girar m alrededor del tubo en un plano horizontal con un perodo T, de tal

manera que M no cambia su posicin. Calcule: a) El ngulo entre la cuerda y el tubo. b) La

longitud de la cuerda L.

L

m

M

10.- Una partcula se lanza desde el punto ms bajo de una circunferencia, situada en un plano

vertical, con una velocidad vo, y se mueve en la parte interna de la circunferencia. No hay

rozamiento. Se pide: a) El valor mnimo de vo para que alcance la posicin B de la figura, sin

desprenderse de la superficie. b) Dado vo , halle la fuerza que la partcula ejercer en B sobre la

circunferencia. c) Si el radio de la circunferencia es de 12 m, calcule vo para que pase por el punto

A ms alto de la trayectoria ejerciendo sobre la circunferencia una fuerza igual a la tercera parte de su peso.

11.- Una partcula de masa m, situada inicialmente en reposo sobre el punto ms alto de una

circunferencia vertical, lisa y de radio r, desliza sobre la misma. Determine la posicin en que se

separar de la circunferencia.

m

r

A B

r

vo A

9

SOLUCIONES

1.- a) F = 36 i 144 j (N); b) M = (432t2 + 288t)i + (108t + 72)j + (-288t3 + 864t2)k (Nm) c) p = (36t - 36)i - 72t

2j + 18k (kg m/s);

L = (144t3 + 144t

2)i + (54t

2 + 72t - 72)j + (- 72t

4 + 288t

2)k (kg m

2/s)

2.- v = 26,29 m/s

3.- a = 3 m/s2 ; T = 704 N

4.- Fmin = 25,6 N ; fpared = 25,6 N

5.- a) S ; b) El cuerpo B desciende con una aceleracin de 2,81 m/s2.

6.- a1 = 4,73 i + 2,05 j m/s2 ; a2 = 2 i 3,41 j m/s

2

7.- a) )sen1(21

21

gmm

mmT b)

2

1

2

12

21 2)sen(

2

khghmm

mmv

8.- a) v = m/s b) N = 1,25 N c) T = 21,9 N d) = 1,68 rad/s

9.- a) cos = m/M b) m

MgTL

2

2

4

10.- a) )cos32(min, grvo b) )cos32(2

mgr

mvN oB c) gvo 8

11.- o = 48,19

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TEMA 4. MOVIMIENTO RELATIVO. FUERZAS DE INERCIA

Ejemplos 4.1; 4.3 Fundamentos de mecnica. C. F. Gonzlez Fernndez. Ed. Revert. Barcelona (2009).

1.- Los pueblos A y B se hallan en la misma orilla de un ro, pero separados una distancia de 100

km. Un barco realiza el recorrido de ida y vuelta de A a B en 4 horas cuando la corriente del ro es

de 10 km/h de A a B. Cunto tarda en cada trayecto? Tardara ms o menos si las aguas

estuvieran en reposo?

2.- Una barca cuya velocidad respecto al agua de un ro tiene mdulo constante u: a) parte de una

orilla y recorre una longitud l transversalmente a la corriente, volviendo luego al punto de partida;

b) posteriormente recorre la misma longitud l en sentido de la corriente y despus volviendo al

punto de partida. Si la velocidad del ro v es constante, obtenga la relacin de tiempos empleados en

los trayectos a) y b).

3.- El vector de posicin de una partcula referido a unos ejes tomados en una esquina de una mesa

rectangular es (3t, 2t2). La mesa se mueve con aceleracin constante de 1 m/s

2 paralela al borde,

tomado ste como eje OX. Se sabe que O est en el punto (2,3) con respecto a otros ejes fijos en la habitacin al iniciarse el movimiento. Halle el vector de posicin y la velocidad de la partcula

con relacin a los ejes paralelos al borde de la mesa, fijos en la habitacin, para t = 2 s.

4.- Un automvil marcha por una carretera a una velocidad de 25 m/s. En un momento dado un

pasajero lanza una pelota con un ngulo de elevacin de 45 y con velocidad respecto al automvil

de 10 m/s. La pelota se lanza desde una altura de 1 m por encima de la carretera. A) Escriba la

velocidad de la pelota respecto a un observador O situado en la carretera. b) Dnde aterrizar la

pelota, segn el observador O situado en la carretera y segn otro observador O situado en el automvil?

5.- Determine el sentido y la cuanta de la desviacin producida por la fuerza de Coriolis que

experimenta un cuerpo al caer desde una altura de 100 m en la localidad de Cartagena, cuya latitud

es de 37,6 Norte.

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SOLUCIONES

1.- tida = 1,62 h ; tvuelta = 2,38 h ; tida+vuelta = 4,00 h ; tro en calma = 3,86 h

2.-

2

2

1 1

u

v

t

t

3.- r = 10i + 11j (m) ; v = 5i + 8j (m/s)

4.- a) v = (10cos45 + 25)i + 10 sen45j (m/s) ; b) x (para O) = 51,3 m ; x (para O) = 11,3 m

5.- El cuerpo al caer se desva hacia su derecha en el sentido del movimiento; es decir, hacia el

Este, 0,02 m.

12

TEMA 5. TRABAJO Y ENERGA

Ejemplos 5.1; 5.2; 5.3 Fundamentos de mecnica. C. F. Gonzlez Fernndez. Ed. Revert. Barcelona (2009).

1.- La fuerza f = 2x2 i + xz j 2z2 k (S.I.), actuando sobre una partcula de masa m, la obliga a

desplazarse a lo largo de la trayectoria OABCDO. El lado del cubo mide 3 m. Calcule el trabajo

realizado por dicha fuerza. Z

A

B

3 m

O D Y

C

X

2.- Un patinador de 80 kg parte del reposo en el punto A y recorre la pista indicada en la figura. Se

supone despreciable el rozamiento. h=10 m; h=9 m. Determine: a) la energa cintica al llegar al punto B; b) su velocidad en los puntos C,D,E,F,G si h=7 m; c) la fuerza que ejerce la pista sobre el patinador en los puntos A,C,D,E,F y G; d) el mximo valor que puede tener h para que el patinador no pierda el contacto con la pista en el punto F.

A

F

C

h h E

h

B D G

3.- Una partcula de masa m desliza sin rozamiento y sin velocidad inicial por una gua, subiendo

posteriormente por el interior de un aro de radio R. La partcula abandona el aro en un cierto punto

P. Determine la velocidad en P y la altura h, en funcin del ngulo correspondiente a dicho punto.

P

h

4.- En el sistema de la figura, las masas de los cuerpos A,B y C son, respectivamente, 5, 5 y 10 kg,

y el coeficiente de rozamiento de B con el plano inclinado es 0,2. Si el sistema se abandona

partiendo del reposo, calcule su velocidad cuando C haya descendido 50 cm. Las masas de cuerdas

y poleas son despreciables. B

30

C

A

13

5.- Los bloques A, B y C estn dispuestos como indica la figura. Los coeficientes de rozamiento

entre A y la superficie horizontal son s y k. Las masas de cuerdas y polea son despreciables. a) Calcule la masa mnima de C que evitar el movimiento de A. b) Determine, mediante balance

energtico, la aceleracin del sistema si se suprime C. C

A

B

6.- Un muelle, del que est colgado un cuerpo de 10 kg, sufre un alargamiento de 0,1 mm, y al

dejarlo libre realiza oscilaciones armnicas. Cul es el perodo de oscilacin? Cul es su energa

potencial elstica y su velocidad cuando el alargamiento es de 0,05 mm?

7.- Un cuerpo, de masa 1 kg y unido a un muelle horizontal de constante k=100 N/m, se desplaza

sin rozamiento sobre una mesa realizando un movimiento vibratorio armnico. En t=0 el cuerpo

pasa por x=10 cm, con una velocidad v=3 m/s. Obtenga: a) la ecuacin del movimiento, su

amplitud y fase inicial; b) su energa total; c) la energa potencial elstica en el instante t=/60 s; d) el tiempo que tarda en pasar el cuerpo por la posicin de equilibrio la primera vez, desde el origen

de tiempos.

k m

X

8.- Una partcula, de 0,5 kg, realiza un m.v.a. de 10 cm de amplitud, realizando 2 oscilaciones cada

segundo. Calcule: a) la elongacin de la partcula 1/6 s despus de alcanzar su mxima separacin

positiva; b) la constante de recuperacin del movimiento; c) la energa cintica que posee la

partcula al pasar por su posicin de equilibrio.

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SOLUCIONES

1.- W = 13,5 J

2.- a) TB = 7,85x103 J b) vC = 4,44 m/s; vD = 14,0 m/s; vE = 11,3 m/s; vF = 7,68 m/s; vG = 14,0 m/s;

c) RA = 785 N; RC = 434 N; RD = 5,27x103 N; RE = 2,92x10

3 N; RF = 563 N; RG = 785 N; d) hmax= 8 m

3.- cosgRv ;

cos

2

31Rh

4.- v = 0,89 m/s

5.- a) As

BC m

mm

b)

BA

AkB

mm

mmga

6.- T = 0,02 s U = 1,22 x 10-3

J v = 0,027 m/s

7.- a) x=0,2sen(10t +/6) b) E=2 J c) U=1,50 J d) t=0,262 s

8.- a) x = - 0,05 m b) k = 82 N/m c) T = 0,39 J

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TEMA 6. DINMICA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

Ejemplos 6.1; 6.2; 6.3; 6.4; 6.5; 6.6; 6.7; 6.8 Fundamentos de mecnica. C. F. Gonzlez Fernndez. Ed. Revert. Barcelona (2009).

1. Determine el centro de masas de un alambre homogneo, de densidad , en forma de arco de

circunferencia de radio R y amplitud 2.

Y

R

X

2. Determine el centro de masas de una placa plana homognea, de densidad , en forma de sector

circular de radio R y amplitud 2.

Y

R

X

3.- Determine el c.m. de una placa en forma de sector circular, con un orificio circular en la

posicin indicada en la figura.

Y

R

r X

R/2

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4.- Determine el c.m. de una placa en forma de sector circular, con un orificio circular en la

posicin indicada en la figura.

Y

R

r X

R/2

5.- Una pesa est colgada de un hilo inextensible y de masa despreciable. Si la pesa se levanta con

una aceleracin de 2 m/s2, la tensin del hilo es la mitad de la necesaria para que se rompa. Con

qu aceleracin habr que levantar la pesa para provocar la rotura del hilo?

6.- Una cadena flexible, homognea, de masa m y longitud L se mantiene en reposo sobre una

superficie, en la posicin indicada en la figura. El coeficiente de rozamiento con la superficie es . En un cierto instante se libera la cadena. Determine su velocidad en el instante en que toda ella se

encuentra sobre el plano inclinado.

m

b

7.- Una soga uniforme de masa M y longitud L pasa sobre un clavo liso de radio muy pequeo,

segn se muestra en la figura. Cuando se inicia el movimiento BC = b. Calcule: a) El valor de la

velocidad en el instante en que en que BC = (2/3)L. b) El valor de la aceleracin en el mismo

instante.

B

A

b

C

8.- Desde un avin en vuelo horizontal que lleva una velocidad de 100 m/s, se deja caer una bomba

que estalla a los 20 s de su lanzamiento, dividindose en dos trozos cuyas masa respectivas son 1 kg

y 1,5 kg. El fragmento mayor sale en direccin horizontal con una velocidad de 250 m/s. Calcule la

velocidad y direccin con que sale el otro fragmento.

17

9.- Un patinador, de 70 kg, est parado sobre la pista de hielo y tira una piedra de 3 kg en direccin

horizontal con una velocidad de 8 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre los patines

y el hielo es de 0,02, calcule la distancia retrocedida por el patinador despus de lanzar la piedra, y

el tiempo que tardar en quedar nuevamente en reposo.

10.- Dos esferas perfectamente elsticas de masas 3m y m, respectivamente, penden de unos hilos

de la misma longitud, de forma que en la posicin de equilibrio estn las esferas en contacto, los

hilos paralelos y la lnea que une los centros de aquellas es horizontal. Se apartan las esferas de su

posicin de equilibrio de manera que sus centros ascienden una altura h, y se sueltan. Indique qu

ocurre despus del primer choque y despus del segundo choque.

h h

m1=3m m2=m

11.- Dos bolas idnticas, una en reposo y otra a 20 m/s, colisionan. Como consecuencia, la que

estaba en reposo se mueve en una direccin que forma 60 con la direccin de la bola incidente, que

a su vez se desva 30 de la direccin inicial. Calcule: a) Velocidad de cada bola despus del

choque. b) Razone si se trata de un choque elstico. Si no lo es, calcule la fraccin de energa que se

pierde.

12.- La masa inicial de un cohete incluido su combustible es de 15 t; una vez disparado y cuento se

ha consumido todo el combustible, su masa se ha reducido a 5 t, los gases son emitidos con

velocidad constante de 1500 m/s respecto del cohete, y con un gasto de 80 kg/s constante, mientras

el combustible se quema. Calcule: a) la fuerza propulsora. b) la velocidad del cohete cuando se ha

agotado todo el combustible, suponiendo que el lanzamiento se efecta en un punto del espacio en

el que no hay acciones exteriores.

13.- Se quiere mantener en el aire a un hombre que pesa 65 kg mediante un depsito de aire

comprimido que tiene sujeto a l. El depsito es de masa despreciable, y a travs de una tobera

expulsa aire a razn de 30 g/s. A qu velocidad debe salir el aire por la tobera?

18

SOLUCIONES

1.

0;

sen

Rcr

2.

0;

3

sen2

Rcr

3.-

0;

)(6

3sen4(22

22

rR

rRRc

r

4.-

0;

)(3

)(3sen222

23

rR

rRrRc

r

5.- a = 13,8 m/s2

6.- )(2))(( 22 bLLbLsenL

gv

7.- a)

22

9

22LbbL

L

gv b) a = g/3

8.- v = 505,69 m/s ; Desviacin respecto de la vertical = 14,31

9.- 0,30 m ; 1,75 s

10.- 1 choque: v1f = 0 ; ghv f 222 . 2 choque: ghv f 2'1 ; ghv f 2'2

11.- a) v1 = 10 m/s ; v2 = 17,3 m/s; b) No se pierde energa

12.- a) fprop = 12x104 k (N) b) v = 1500 ln3 (m/s)

13.- u = 2,12x104 (m/s)

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TEMA 7. DINMICA DEL CUERPO RGIDO

Ejemplos 7.1; 7.2; 7.3; 7.4; 7.5; 7.6; 7.7; 7.8; 7.9; 7.10; 7.11 Fundamentos de mecnica. C. F. Gonzlez Fernndez. Ed. Revert. Barcelona (2009).

ESTTICA

1.- Las bisagras de una puerta, de 500 N de peso y 1 m de ancha, distan entre s 2 m. Todo el peso

de la puerta lo soporta la bisagra superior. Calcule las fuerzas que las bisagras ejercen sobre la

puerta.

B

A

2.- Una viga de longitud L y masa m est apoyada en los puntos A, de un suelo rugoso, y B, de la

parte superior de un muro liso de altura h. Calcule: a) El ngulo que forma la escalera con el suelo

en la posicin de equilibrio lmite. b) Las reacciones en los puntos A y B.

B

h

A

3.- Un cilindro, de masa m y radio r, se apoya sobre un caballete formado por tablas articuladas en

el eje O. Suponiendo que entre el cilindro y el caballete no hay rozamiento, y que el coeficiente de

rozamiento entre ste y el suelo es , calcule para que el sistema est en equilibrio con =30. Desprciese el peso de las tablas, y sea OB= l = 2r.

m

r

O

l

A B

20

4.- Dos varillas iguales, de longitud L y peso despreciable, estn articuladas en uno de sus extremos,

y all soportan un peso p. Sus otros extremos se apoyan en un plano horizontal liso, y se encuentran

unidos entre s mediante un muelle de constante k y longitud natural nula. Determine el valor de p

para que en la posicin de equilibrio las varillas formen un ngulo recto en su punto de unin.

C

L L

p

k

A B

h

5.- Un disco, de radio r y masa m, se apoya en una pared vertical rugosa, como indica la figura. Un

hilo enrollado sobre el disco se separa en un punto A siguiendo la tangente al disco, y est unido al

punto O de la pared. Determine: a) En el equilibrio, la reaccin de la pared en el punto B de

contacto con el disco, y la tensin del hilo. b) El valor lmite del ngulo que forma el hilo y la pared,

en funcin del coeficiente de rozamiento , para que el equilibrio sea posible.

O

A

r

B C

6.- Una esfera de radio r y masa m est unida por un punto de su superficie a un hilo inextensible de

longitud l. El otro extremo del hilo est sujeto a una pared vertical lisa. Calcule la reaccin de la

pared y la tensin del hilo.

O

l

A

r

B C

21

7.- Dos varillas iguales, de longitud l y masa despreciable, estn articuladas en el punto A; sus otros

extremos B y D se encuentran sobre una gua horizontal. Un disco homogneo, de masa m y radio r,

se apoya en las barras. Las varillas y el disco se encuentran en el mismo plano vertical, y todos los

rozamientos son despreciables. Obtener el valor del ngulo en la posicin de equilibrio y la reaccin que cada varilla ejerce sobre la otra en el punto A.

B gua D

l r l

A

8.- Una barra horizontal AB homognea, de 2 m de longitud y 40 kg de masa, est apoyada por su

extremo A en un pequeo saliente de una pared vertical, y est unida por su extremo B a un cable

cuyo otro extremo est fijado en la pared vertical en un punto D, con AD = 1,5 m. Calcule la

tensin del cable y la reaccin de la pared sobre la barra, si en el extremo B cuelga una masa de 20

kg.

D

A B

m

DINMICA

9.- Un disco, de radio 0,5 m, rueda sobre una superficie plana y horizontal. Si en un cierto instante,

la velocidad de su centro es vc = 5 m/s, determine los vectores velocidad de los puntos A, B, D y E

del disco. D

B C vc E

Y

X

A

22

10.- Un hilo inextensible y sin masa est enrollado en un pequeo tambor de radio r y masa

despreciable, unido a un disco de masa M y radio R, como muestra la figura. El disco est apoyado

en una superficie plana, horizontal y los coeficientes de rozamiento con ella son s y k. Se tira del hilo con una fuerza f horizontal y constante. Determine: a) Sentido de la fuerza de rozamiento, y

sentido de la velocidad angular para que el disco ruede (sin deslizamiento). b) Las aceleraciones

lineal y angular de los movimientos de traslacin y de rotacin del disco, y el valor mnimo del

coeficiente de rozamiento para que el disco efectivamente ruede.

M

R

C

r f

11.- Un disco de masa m y radio r tiene una cuerda enrollada sobre su superficie. Una fuerza f tira

de la cuerda horizontalmente, y el disco rueda sin deslizar sobre una gua recta y horizontal.

Determine: a) la aceleracin angular del disco y la aceleracin de su c.m.; b) la fuerza de

rozamiento fr. c) Si f se aplica en el punto P situado a r/2 de C cunto vale la fuerza de

rozamiento?

Z

B f

P

r C

Y

12.- Un cilindro homogneo de masa m y radio r se lanza sobre un plano horizontal rugoso

(XY) con velocidades iniciales, lineal v0 = 15 m/s, segn el sentido positivo del eje X, y

angular 0 = 30 rad/s, en sentido antihorario . El movimiento es plano, y el coeficiente de rozamiento es k = 0,5. Determine: a) la velocidad del centro de masas en cualquier instante; b) la velocidad angular en cualquier instante; c) los instantes, si los hay, en que se invierten

los sentidos de los movimientos del centro de masas y de rotacin; d) el instante, si lo hay, en

que el cilindro comienza a rodar, as como la velocidad del centro de masas y la velocidad

angular, en este caso.

Z

0

r

C v0

Y

X

23

13.- Un cilindro homogneo, de masa 10 kg y radio 0,5 m, parte del reposo y cae rodando (sin

deslizar) por un plano inclinado 30. Calcule: a) la aceleracin de su centro y su aceleracin

angular. b) Despus de 3 vueltas completas, la velocidad de su centro y su velocidad angular. c) En

ese instante, su energa cintica. d) Valor mnimo del coeficiente de rozamiento para que el cilindro

no deslice.

30

14.- Un disco de masa m y radio r, que parte del reposo, sube rodando sin deslizar por un plano

inclinado un ngulo . Tira del disco una cuerda unida a su centro, cuyo otro extremo est sujeto a una masa M que desciende verticalmente. Los coeficientes de rozamiento esttico y cintico del

disco con el plano son s y k. La cuerda y la polea por la que pasa tienen masas despreciables.

a) Escriba las ecuaciones del movimiento y determine las aceleraciones del centro del disco y de la masa M, la aceleracin angular del disco y las tensiones en la cuerda.

b) En este movimiento se conserva la energa; por qu? Aplique el balance energtico adecuado para obtener las velocidades del centro del disco y de la masa M, y la velocidad

angular del disco cuando el bloque ha descendido una altura h.

m

C

r

M

15.- Una cuerda inextensible y sin masa apreciable est enrollada alrededor de un cilindro, de masa

m y radio r, situado en un plano horizontal; su otro extremo, despus de pasar por una pequea

polea de masa despreciable, est sujeto a un bloque de masa m, que desciende verticalmente. Los

coeficientes de rozamiento entre el disco y el plano son s y k. El sistema ha partido del reposo. Determine: las aceleraciones del c.m. del disco y del bloque, la aceleracin angular del disco, las

tensiones en la cuerda y la fuerza de rozamiento.

r C

m

M

24

16.- Una cuerda inextensible y sin masa apreciable est enrollada alrededor de un cilindro, de masa

M y radio R, situado en un plano inclinado un ngulo ; su otro extremo, despus de pasar por una pequea polea de masa despreciable, est sujeto a un bloque de masa m, que desciende

verticalmente. Los coeficientes de rozamiento entre el disco y el plano son s y k. El sistema ha partido del reposo. Determine: las aceleraciones del c.m. del disco y del bloque, la aceleracin

angular del disco, las tensiones en la cuerda y la fuerza de rozamiento.

r

C

m M

17.- Un disco de masa m y radio r, que parte del reposo, baja rodando sin deslizar por un plano

inclinado segn la figura. El disco tira, mediante una cuerda unida a su centro, de un bloque de

masa M que se mueve sobre un plano horizontal. Los coeficientes de rozamiento esttico y cintico

de las superficies con el bloque y el disco son s y k. La cuerda y la polea por la que pasa tienen masas despreciables.

c) Escriba las ecuaciones del movimiento y determine las aceleraciones del centro del disco y de la masa M, la aceleracin angular del disco y las tensiones en la cuerda.

d) En este movimiento se conserva la energa; por qu? Aplique el balance energtico adecuado para obtener las velocidades del centro del disco y de la masa M, y la velocidad

angular del disco cuando el bloque ha recorrido una distancia l sobre la horizontal.

M

l

m

C r

25

18.- Una polea, de masa M y radio r, puede girar sin rozamiento alrededor de un eje horizontal que

pasa por su centro. La polea soporta una cuerda que no desliza sobre ella, inextensible y de masa

despreciable, cuyos extremos estn unidos a dos cuerpos de masas m1 > m2. Calcule: a)

aceleraciones de los cuerpos y tensiones de la cuerda. b) Reaccin que el eje ejerce sobre la polea.

r

M

m2

m1

19.- Por una polea sin masa pasa una cuerda inextensible y de masa despreciable. En uno de sus

extremos pende un racimo de pltanos, y por el otro sube un mono de igual masa que el racimo. En

un instante dado el racimo est a mayor altura que el mono. Conseguir el mono alcanzar los

pltanos?

m

m

20.- Un disco de masa m y radio r, cae desenrollando, sin deslizar, una cuerda inextensible de masa

despreciable y longitud l, que tiene uno de sus extremos sujeto a un punto fijo. El sistema se suelta

desde el reposo y cuando la cuerda est totalmente enrollada. Calcule: a) la aceleracin del

movimiento de traslacin y la aceleracin angular del movimiento de rotacin del disco, y la tensin

en la cuerda. b) El tiempo que tarda en desenrollarse toda la cuerda y el que tarda en dar una

primera vuelta completa el disco.

m r

C

26

21.- Un disco de masa m y radio r, cae desenrollando, sin deslizar, una cuerda inextensible de masa

despreciable, que tiene uno de sus extremos sujeto a un punto fijo. Del centro del disco cuelga un

bloque de masa M. El sistema se suelta desde el reposo. Calcule: a) las aceleraciones del centro del

disco y del bloque, la aceleracin angular del disco, y las tensiones en las cuerdas. b) Si en un

determinado instante la velocidad del centro C es vc = a (m/s), determine los vectores velocidad de

los puntos A, B, D y E de la polea.

D

m

C r B C E

vc

A

M

22.- Dos discos homogneos de igual masa y radios diferentes estn unidos por una cuerda sin

masa, enrollada en ambos discos. El mayor de ellos acta de polea. Inicialmente estn en reposo y,

en un cierto instante, el otro se deja caer. Calcule sus aceleraciones angulares, la aceleracin del

centro del disco que cae y la tensin de la cuerda, que no desliza.

R m

O

m

C r

MOMENTOS DE INERCIA

23.- El momento de inercia de una varilla de masa m y longitud l, respecto de un eje perpendicular a

la misma que pasa por su c.m. es 2

12

1mlI . a) Utilice esta informacin para calcular el momento

de inercia de una lmina rectangular de masa m y lados a y b respecto de un eje perpendicular al

lado a y que pasa por su c.m. b) Calcule tambin el momento de inercia respecto de un eje

perpendicular a la lmina y que pasa por uno de sus vrtices.

m b

C eje a C

a m

b eje

27

24.- El momento de inercia de un aro de masa m y radio r respecto de un dimetro es 2

2

1mrI .

a) Utilice esta informacin para calcular el momento de inercia de un disco de masa m y radio r

respecto de un dimetro. b) Calcule tambin el momento de inercia respecto de un eje perpendicular

al disco y que pasa por un punto de la periferia.

eje

eje

25.- Calcule el momento de inercia de un paraleleppedo recto , homogneo, de masa m y aristas a,

b, c, respecto de ejes que pasan por los centros de caras opuestas.

Z Z

Y C

c

X Y

a

X b

26.- Determine el momento de inercia de un cilindro homogneo de masa m, radio r y altura h: a)

Respecto de su eje principal de simetra (Z). b) Respecto de una generatriz del cilindro (Z). c) Respecto de un eje perpendicular a Z y que pasa por el c.m. (Y). d) Respecto de un eje

perpendicular a Z y que pasa por el centro de la base (Yo).

Z Z

r

C Y

h

G Y

O Yo

28

27.- Determine el momento de inercia de un cono circular recto homogneo de masa m, radio r y

altura h: a) Respecto de su eje de simetra. b) Respecto de un eje perpendicular al anterior y que

pasa por su vrtice. c) Respecto de un eje perpendicular al indicado en a) y que pasa por el centro

de la base. Datos: hzhRV c4

3;

3

1 2

Z

R O Yo

C Y

h r

C Y

O Yo

28.- Determine el momento de inercia de una arandela, de masa m, y radios externo e interno R > r,

respecto de un eje perpendicular a la misma y que pasa por un punto de la periferia.

eje

29

SOLUCIONES

ESTTICA

1.- RB = 515,4 N ; RA = 125 N

2.- a) sen cos (sen + cos) = 2h/L. b)

cossen

mgRB ;

cossen

sen

mgN A ;

cossen

sen

mgf r

3.- 3

321

2

12

tg

sen

4.- p = 2kL2

5.- a) 1cos

mgRv ;

1cos

sen

mgRh ;

1cos

mgT . b)

1sen

6.- )2( lrl

mgrR

;

)2(

)(

lrl

lrmgT

7.- 3sencos lr ; tg2

;0mg

RR hv

8.- T = 653,3 N ; Rh = 522,7 N ; Rv = 196 N

DINMICA

9.- vc = r, = 10 rad/s; vA = 0 ; vB = 5i + 5j ; vD = 10i ; vE = 5i - 5j

10.- a) hacia la izquierda; sentido de las agujas del reloj.

b) MR

frRac

3

)(2 ;

23

)(2

MR

frR ;

RMg

frRs

3

)2()( min

11.- a) mr

f

3

4 ;

m

fac

3

4 b)

3

ff r c) 0rf

12.- a) vc = v0 - kg t= 15 4,9t (m/s). b) = - 0 + r

g2k t =-30 + 98t (rad/s). c) s1,3g

v

k

o vt ;

s3,0g2

r

k

o

t . d) s2,1rod t ; (vc)r = vc(t=trod) = (2v0 - 0r)/3 ; ()r = 3r

r2v oo

13.- a) ac = g/3 (m/s2) ; rg 3/ (rad/s2). b) rg /2 (rad/s) ; grvc 2 (m/s).

c) T = 3mgr (J). d) s = 0,19

30

14.- a) )32(

)(2

mMr

msenMg

;

mM

msenMga

32

)(2

;

mM

senmMgT

3`2

23

b) S se conserva la energa mecnica; el movimiento de rodadura no origina disipacin

energtica.

)23(

)(42

2

Mmr

msenMgh

;

Mm

msenMghv

23

)(2

15.- gMm

Mac

83

4

; g

Mm

ma

83

8

; g

Mmr

M

)83(

4

;

Mm

mMgT

83

3

;

Mm

mMgf r

83

16.- gmM

mMac

2; g

mM

mMa

2

)(2; g

mMr

mM

)2(

;

mM

mMgT

2

3; rf

17.- a) )32(

)cos(2

mMr

Mmg k

;

)32(

)cos(2

mM

Mmga k

;

mM

mMmMgT k

3`2

)34(cos2

b) No se conserva la energa mecnica; la fuerza de rozamiento cintica que acta sobre el bloque

genera trabajo disipativo. )32(

)(42

mM

Mmglv k

;

)32(

)(2

mM

Mmgl

r

k

18.- a) Mmm

mmga

21

21

22

)(2;

Mmm

MmgmT

21

211

22

4;

Mmm

MmgmT

21

121

22

4.

b) R = (T1 + T2 + Mg)k

19.- El mono no logra alcanzar el racimo de pltanos

20.- a) 3/2gac ; rg 3/2 ; 3/mgT . b) gltl /3 ; grt vuelta /61

21.-

22.- RgR 5/2 ; rgr 5/2 ; 5/4gac ; 5/mgT

MOMENTOS DE INERCIA

23.- a) 2

12

1maI x ; )(

3

1 22 bamIv

24.-

25.- a) )(12

1 22' bamI z . b) )(

12

1 22' camIY . c) )(

12

1 22' cbmI X

31

26.- a) 2

2

1mrI z b)

2

'2

3mrI z c) )3(

12

1 22 hrmIY

d) )43(12

1 22 hrmIYo

27.- a) 2

10

3mRI z b) )4(

20

3 22 hRmIYo c) )23(20

1 22' hRmIYo

28.-

32

TEMA 8. TEMPERATURA Y CALOR

1.- 0,01 m3 de agua a 100C se inyectan en un recipiente aislado, de capacidad calorfica

despreciable, que contiene 10 kg de hielo a 15C. Indique cual es la composicin de la mezcla resultante.

(Lf-hielo=80 cal/g; ce-hielo=0,5 cal/g K; ce-agua=1 cal/g K)

2.- En un recipiente aislado se mezcla 1 kg de hielo a -20C con 1,2 kg de agua a 35,8C. a) Fundir

todo el hielo? b) Si no es as, qu masa de hielo habr fundido? No se considera el calor absorbido

por el recipiente. (Lf-hielo=80 cal/g; ce-hielo=0,5 cal/g K; ce-agua=1 cal/g K)

3.- 5 kg de agua a 90C se inyectan en un recipiente aislado, de capacidad calorfica despreciable,

que contiene 10 kg de hielo a 30C. Indique cual es la composicin de la mezcla resultante. (Lf-hielo=80 cal/g; ce-hielo=0,5 cal/g K; ce-agua=1 cal/g K)

?

4.- Un recipiente metlico de 30 kg contiene 100 kg a -20C. Inicialmente se aaden 15 kg de agua

a 100C. a) Cul es la composicin de la mezcla? b) Posteriormente se inyecta vapor de agua a

100C. Qu cantidad de vapor de agua es necesaria para que la temperatura final sea de 25C?

(Lf-hielo=80 cal/g; Lv.agua=539 cal/g; ce-hielo=0,5 cal/g K; ce-agua=1 cal/g K; ce-metal=0,2 cal/g K)

33

SOLUCIONES

1.- 20 kg de agua a 6,25C

2.- a) No; b) 4,12 kg

3.- 8,75 kg de agua + 6,25 kg de hielo

4.- a) 19,75 kg de agua a 0C; 95,25 kg de hielo a 0C.

b) 17,33 kg de vapor de agua

34

TEMA 9. PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINMICA

1.- Un kilomol de oxgeno (que se considera ideal) se calienta desde la temperatura ambiente (20C)

y presin 1 atm, hasta 100C. Se pide: a) Si el volumen permanece cte cunto calor debe

suministrarse durante el proceso? b) Si la presin permanece cte cunto trabajo se realiza? C) En

ambos casos determine la variacin de energa interna.

2.- Un gas ideal diatmico se encuentra a 27C y ocupa un volumen de 4,1 litros, siendo su presin

de 12 atm. A partir de este estado sufre las siguientes transformaciones reversibles: 1) Se calienta a

volumen cte hasta que la presin se duplica. 2) A continuacin se expande isotrmicamente hasta

que recupera la presin inicial. 3) Finalmente se comprime a presin cte hasta que recupera el

estado inicial. Se pide: a) Dibuje el proceso en un diagrama p-V. b) Calcule el calor, el trabajo y la

variacin de energa interna en cada transformacin. c) Calcule el calor, el trabajo y la variacin de

energa interna en todo el ciclo. (cv = 5R/2; R = 0,082 atml/molK; 1 atml = 101,3 J)

3.- Un gas, que se comporta idealmente, sigue un proceso adiabtico desde A hasta B, de acuerdo

con la ecuacin pV5/3

= cte. Calcule el trabajo, el calor y la variacin de energa interna en cada uno

de los procesos indicados en la figura.

p A C

32 atm

1 atm D B

1 l 8 l V

35

SOLUCIONES

1.- a) Q = 400 kcal ; b) W = 668.580 J ; c) U = 400 kcal

2.- b) Isocora: Q = 3000 cal ; W = 0 ; U = 3000 cal Isoterma: Q = 6888,96 J; W = 6888,96 J ; U = 0 Isobara: Q = - 4200 cal; W = - 4983,96 J ; U = - 12.540 J

c) Ciclo: Q = 453,35 cal; W = 1895 J ; U = 0

3.- ACB: W = 22.691,2 J ; Q = 19.168,6 J ; U = - 3.522, 6 J AB recta: W = 11.701,1 J ; Q = 8.031,9 J ; U = 8.031,9 J AB adiabtica: W = 3.646,8 J ; Q = 0 ; U = - 3.646,8 J ADB: W = J ; Q = J ; U = J

36

TEMA 10. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINMICA

1.- Un mol de un gas ideal monoatmico, inicialmente en el estado 1 (p1, V1=2l, T1=300K), es

llevado mediante una transformacin isobara a un estado 2 (p1, V2, T2=600K). Posteriormente,

segn una transformacin isocora alcanza el estado 3 (p3, V2, T1=300K), y de dicho estado pasa al

inicial a lo largo de la correspondiente isoterma. Determine: a) Trabajo total del ciclo. b) Calores

absorbidos y cedidos en el ciclo. c) Rendimiento del ciclo; comprelo con el de un ciclo de Carnot

realizado entre las mismas temperaturas extremas.

2.- n moles de un gas ideal diatmico, que se comporta como un gas ideal, realiza el ciclo reversible

de la figura. Determine: a) El rendimiento del mismo, y haga los clculos si las temperaturas son

T1=300K y T2=900K. b) Comprelo con el que se obtendra con un ciclo de Carnot entre las

mismas temperaturas extremas.

p

3p1 T2

p1

T1

V1 V3 V

3.- Determine la variacin de entropa de 1 mol de hidrgeno (H2), supuesto ideal, cuyo volumen es

de 1 l a la temperatura de 273 K, cuando se expansiona y ocupa un volumen de 5,65 l y su

temperatura aumenta a 373 K.

4.- Se comprime un mol de un gas ideal isotrmicamente a 127C, desde 1 atm hasta 10 atm, en un

dispositivo de cilindro y mbolo. Calcule el cambio de entropa del gas, del medio y el cambio total

de entropa que resulta del proceso si: a) El proceso es reversible mecnicamente y el medio que lo

rodea es un depsito de calor a 127C. b) El proceso es reversible mecnicamente y el medio que

lo rodea es un depsito de calor a 27C. c) El proceso es irreversible mecnicamente como

consecuencia de la compresin brusca por la presin externa de po=10 atm, y el medio que lo rodea

es un depsito de calor a 27C.

5. Dos recipientes 1 y 2, de volmenes V1 y

V2 , estn conectados mediante una llave de paso y se

encuentran sumergidos en un bao de agua. Con la llave de paso cerrada, en el recipiente 1 hay n

moles de un gas ideal, y su temperatura es la del agua. Se abre la llave de paso, y se deja que el gas

se expansione y alcance de nuevo el equilibrio trmico con el medio exterior. Calcule la variacin

de entropa del gas y del medio.

V1 V2 V1 V2

n T T T

T T

37

6. Un recipiente aislado del exterior est dividido por una lmina en dos compartimentos de

volmenes V

y

3V. El compartimiento 1 est ocupado por un mol del gas ideal 1, y el

compartimiento 2 est ocupado por 3 moles del gas ideal 2, ambos a la misma temperatura. Calcule

la variacin de entropa del sistema aislado, del medio, y del universo, cuando se retira la lmina y

se produce la mezcla de los gases.

T n1 V T n2 3V T n1+ n2 4V

7.- Un recipiente metlico de pared delgada y volumen 30 litros contiene un gas ideal diatmico a

una presin de 3 atm. Un capilar provisto de una llave de paso est conectado al recipiente. Cuando

se abre la llave el gas escapa lentamente hacia un cilindro provisto de un pistn sin rozamiento

sometido a la presin externa de 1 atm. En el instante inicial, el volumen encerrado en el cilindro es

nulo. La operacin se realiza a la temperatura constante del medio exterior, 20C. Calcule:

a) El volumen encerrado en el cilindro y el nmero de moles que contiene una vez que se alcanza el

equilibrio. b) El calor y el trabajo involucrados en el proceso. c) Variacin de entropa del sistema y

del universo.

T n1 V1 T n2 V2 I T = 293 K

8.- Se mezclan 10 g de agua a 42,5C con 5 g de hielo a la temperatura de -10C. Cul es la

variacin de entropa del sistema agua-hielo? Cul es la variacin de entropa del universo?

9.- 5 kg de agua a 90C se inyectan en un recipiente aislado, de capacidad calorfica despreciable,

que contiene 10 kg de hielo a 30C. Indique cual es la composicin de la mezcla resultante y la variacin de entropa del universo.

(Lf-hielo=80 cal/g; ce-hielo=0,5 cal/g K; ce-agua=1 cal/g K)

?

10.- 0,01 m3 de agua a 100C se inyectan en un recipiente aislado, de capacidad calorfica

despreciable, que contiene 10 kg de hielo a 15C. Indique cual es la composicin de la mezcla resultante y la variacin de entropa del universo.

(Lf-hielo=80 cal/g; ce-hielo=0,5 cal/g K; ce-agua=1 cal/g K)

11.- a) Se pone en contacto 1 kg de agua a 273K con un foco calorfico a 373K. Cul es la

variacin de entropa del agua, del foco y del universo? b) Si se hubiera calentado el agua

ponindola primero en contacto con un foco a 323K y despus con otro a 373K, cul habra sido la

variacin de entropa del universo? c) Explquese cmo se podra calentar el agua de 273K a 373K

sin ocasionar apenas variacin de entropa en el universo.

38

SOLUCIONES

1.- a) WT=17,22 atm.l. b) Q12=61,5 atm.l; Q23=- 36,9 atm.l; Q31=- 7,38 atm.l;

c) =28%; c=50%

2.- a) %2,16

4ln)(2

3

34ln

212

12

TTT

TT b) c = 67%

3.- S = 5 cal/K

4.- a) S = -4,60 cal/K ; Sm = 4,60 cal/K ; Su = 0 b) S = -4,60 cal/K ; Sm = 6,14 cal/K ; Su = 1,54 cal/K c) S = -4,60 cal/K ; Sm = 23,9 cal/K ; Su = 19,3 cal/K

5.- 1

21lnV

VVnRS

Sm = 0;

6.- S = 4,51 cal/K ; Sm = 0 ; Su = 4,51 cal/K

7.- a) V2=60 l ; n2=2,50 moles b) W = 1458,7 cal = Q

c) S = 8,24 cal/K; Su = 3,26 cal/K

8.- S = 0,111 cal/K; Su = 0,111 cal/K

9.- 8,75 kg agua + 6,25 kg hielo ; Su = 0,26 kcal/K

10.- 20 kg de agua a 6,25C ; Su = 0,55 kcal/K

11.- a) Sa = 312 cal/K ; Sf = - 268 cal/K ; Su = 44 cal/K b) Sa = 312 cal/K ; Sf = - 289 cal/K ; Su = 23 cal/K c) Calentando el agua con una serie de focos que difieran en muy poco su temperatura.