PROBLEMAS RESUELTOS VECTORES

CAPITULO 3 FISICA TOMO 1

Cuarta, quinta y sexta edición

Raymond A. Serway

VECTORES 3.1 Sistemas de coordenadas

3.2 Cantidades vectoriales y escaleras

3.3 Algunas propiedades de vectores 3.4 Componentes de un vector y unidades vectoriales

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico

Bucaramanga – Colombia 2010

Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.comquintere@gmail.com

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Problema 3.1 serway sexta edición. Problema 3.3 serway cuarta edición. Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y θ = 240°. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto?

5,5X

rX 240 cos ==

X = 5,5 cos 240 X = 5,5 * (-0,5) X = - 2,75 metros

5,5Y

rY 024 ==sen

Y = 5,5 sen 240 Y = 5,5 * (-0,866) Y = - 4,76 metros Problema 3.2 serway cuarta edición Si las coordenadas rectangulares y polares de un punto son (2,Y) y (r,300) respectivamente. Determine Y y r. Coordenadas cartesianas (2, Y) Coordenadas polares (r, 300)

2Y

XY 30 ==tg

Y = 2 * tg 30 Y = 2 * (0,5773) Y = 1,15 metros

r2

rX 30 cos ==

metros 2,3 0,866

2 30 cos

2 r ===

r = 2,3 metros Problema 3.2 serway sexta edición Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.5 m, 300) y (3.8 m, 120°). Determine (a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y (b) la distancia entre ellos.

2,5Y

rY 30 11 ==sen

Y1 = 2,5 sen 30

2

X

Y r = 5,5

Θ = 2400

X = 2

Y

r

Θ = 300

(2 , Y)

Y1 = 2,5 * 0,5 Y1 = 1,25 metros

2,5X

rX 30cos 11 ==

X1 = 2,5 cos30 X1 = 2,5 * 0,866 X1 = 2,16 metros (X1 , Y1) = (2.16 , 1.25) metros

3,8Y

rY 120 22 ==sen

Y2 = 3,8 sen 120 Y2 = 3,8 * 0,866 Y2 = 3,29 metros

3,8X

rX 30cos 22 ==

X2 = 3,8 cos 120 X2 =3,8 * (-0,5) X2 = - 1,9 metros (X2 , Y2) = (-1.9 , 3.29) metros ΔX = (X2 – X1 )= (-1.9 – 2.16) ΔX = (- 4.06) ΔY = (Y2 – Y1 )= (3.29 – 1.25) ΔY = (2.04)

( ) ( )22 Y X d Δ+Δ=

( ) ( )22 04.2 06.4 d +−= ( ) ( )1616.4 48.16 d +=

6416,20 d = d = 4,54 metros Problema 3.3 serway sexta edición Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?

3

X1

Y1

r = 2,5

Θ = 300

(X1, Y1)

(X2, Y2)

X2

Y2

r = 3,8

Θ = 1200

(X1, Y1) Y1 = 1,25

(X2, Y2)

X2 = -1,9

Y2 = 3,29

X1 = 2,16

d

( ) ( )2Y 2X r +=

( ) ( )21 22 r +=

1 4 r += 5 r =

r = 2,23 m

0,5 21

XY tg ===θ

θ = arc tg 0,5 β = 26,560

Problema 3.4 serway sexta edición. Problema 3.1 serway cuarta edición. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas (2, -4) m y ( -3, 3) m. Determine (a) la distancia entre estos puntos y (b) sus coordenadas polares. (x1, y1) = (2, -4) (x2, y2) = (-3, 3) d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

d2 = (-3 - 2)2 + (3 - [ - 4])2

d2 = (-5)2 + (3 + 4)2

d2 = (-5)2 + (7)2

d2 = (25) + (49) d2 = (74) d = 8,6 m

( ) ( )2Y 2X r +=

( ) ( )22 4- 2 r += 16 4 r +=

20 r = r = 4,47 m

2- 24 -

XY tg ===β

β = arc tg -2 β = - 63,430

4

β

-4

2

(2,-4)

r

θ

X = 2

Y = 1

r

Θ

(2, 1)

d

(-3,3)

(2,-4)

r2 = - 32 + (3)2

r2 = 9 + 9 r2 = 18 r = 4,24 m

1 - 33

XY tg ===β

β = arc tg - 1 β = - 450

θ1 + β = 1800

θ1 = 1800 - 45 θ1 = 1350

Problema 3.8 serway sexta edición. Un avion vuela 200 km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad B y después 300 km en la direccion de 30 grados al noroeste de la ciudad B hasta la ciudad C.

a) En línea recta, que tan lejos esta la ciudad C de la ciudad A. b) Respecto de la ciudad A en que dirección esta la ciudad C?

300

XB 30cos =

BBX = 300 cos 30 BBX = 300 * (0,866) BBX = 259,8 metros RX = BX + 200 RX = 259,8 + 200 RX = 459,8 metros

300

YC 30 =sen

CY = 300 sen 30 CY = 300 * 0,5 CY =150 metros POR PITAGORAS R2 = (CY)2 + (RX)2

R2 = (150)2 + (459,8)2

R2 = 22500 + 211416,04 R2 = 233916,04 R = 483,64 metros

5

X = -3

Y = 3

β r1

(-3,3)

θ1

CY

200 km

C

300

B A

300 km R

β

BX

Est

0,326228 459,8150

XRYC

===βtg

Tg β = 0,326228 β = arc tg 0,326228 β = 18,060 La ciudad C esta a 483,64 km de la ciudad A. La ciudad C esta 18,06 grados al Nor-Oeste de la ciudad A. Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (x,y) = (-3.5,-2.5) m, como se ve en la figura 3.3. Hállense las coordenadas polares de este punto.

( ) ( )2Y 2X r +=

( ) ( )22,5- 23,5- r += 6,25 12,25 r +=

r = 4,3

0,714 m 3,5 -m 2,5 -

xy ===βtg

tg β = 0,714 β = arc tg 0,714 β = 35,520

θ = 180 + β θ = 180 + 35,52 θ = 215,520

Problema 3.16 serway cuarta edición. Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros hacia el sur, después 8,2 metros en un ángulo de 300 al Nor-Este y finalmente 15 metros al Oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante del perro utilizando técnicas graficas.

8,2

YB 30 =sen

BBY = 8,2 * sen 30 BBY = 8,2 * 0,5 BBY = 4,1 metros 3,5 + AY = BY3,5 + AY = 4,1 AY = 4,1 – 3,5 AY = 0,6 metros

8,2

XB 30 cos =

BBX = 8,2 * cos 30

6

βr

-2,5

-3,5 θ

β

300

R

Oeste8,2 metros

3,5 metros

AY

D C

B

A

15 metros

BY

DX

BBX = 8,2 * 0,5866 BBX = 7,1 metros 15 = DX + BX15 = DX + 7,1 15 – 7,1 = DX DX = 7,9 metros

2 -10 * 7,5949 7,90,6

DxYA

===βtg

tg β = 7,5949 * 10- 2 β = arc tg 7,5949 * 10- 2 β = 4,340

( ) ( )2XD 2YA R +=

( ) ( )27,9 20,6 R +=

62,41 0,36 R += 62,77 R =

R = 7,92 metros

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