PROBLEMAS RESUELTOS CAPTULO III TOPOGRAFA JACK MC CORMAC Por: Arq. Rafael Chang arq.rafachang@gmail.com

PROBLEMA 3.1

Enuncie seis mtodos para la medicin de distancias, mencionando las ventajas y desventajas de cada uno.

Mtodo de medicin Ventajas Desventajas Medicin con pasos Medicin rpida

Sin equipos Es de utilidad de

cualquier persona Precisin razonable Revisin de cualquier

distancia precisa

Baja precisin Baja exactitud El paso disminuye en

terreno ascendente El paso aumenta en

terreno descendente Es muy cansado en

distancias largas Odmetros y ruedas para medir distancias

Mejora el tiempo de la medicin con pasos

Revisin de cualquier distancia precisa

Baja precisin Baja exactitud Se utiliza nicamente

en superficies lisas Regln o barra horizontal de estadia

Precisin entre 1/1000 y 1/5000

Muy til para la medicin de distancias a travs de ros, caones, calles transitadas y reas de difcil acceso.

El ngulo subtendido es independiente de la inclinacin de la lnea visada.

No es apropiado para levantamientos de primer orden.

Baja precisin

Estadia Mediciones taquimtricas entre 1/250 y 1/1000

Mtodo prctico para la determinacin de elevaciones sobre el terreno.

Baja precisin No es apropiado para

el levantamiento de propiedades.

Cadenas Levantamientos ordinarios con precisiones entre 1/1000 y 1/5000

Son pesadas Difcil de transportar

Cuadrilla grande de trabajadores

Cintas mtricas Levantamientos comunes de terrenos y construccin de edificios.

Su uso se limita en la actualidad a medicin de pequeas distancias

Su uso se limita en la actualidad a medicin de pequeas distancias

Se requiere de experiencia

Medicin electrnica de distancias EDM

Levantamientos precisos de urbanizaciones, terrenos.

Alta precisin 1/300 000

Son tiles en la medicin de distancias de difcil acceso.

El tiempo de lectura se reduce a unos cuantos minutos

Manejo con poco personal operativo (1 topgrafo y 1 cadenero)

Alto costo pero amortizable a mediano plazo.

No poder colocar el espejo o reflector exactamente sobre los puntos

No funciona en das con bruma

El clima adverso provee grandes cantidades de errores atmosfricos

Sistema de Posicionamiento Global GPS

Rapidez Alta precisin 1/1 000

000

Alto costo pero amortizable a mediano plazo.

Cielo abierto El clima adverso

provee grandes cantidades de errores atmosfricos

PROBLEMA 3.2

Determine dos situaciones en que puedan usarse ventajosamente cada uno de los siguientes mtodos o instrumentos para la medicin de distancias.

Mtodos para la medicin de distancias

Situaciones ventajosas en la utilizacin del mtodo

Medicin con pasos Mediciones taquimtricas No se requiere de gran precisin

Medicin con Odmetro Superficies lisas Mediciones taquimtricas

Medicin con estadia Mediciones taquimtricas No se requiere de alta precisin

Medicin con barra horizontal de estadia

Mediciones de difcil acceso Mediciones de gran precisin

Medicin con cinta Mediciones de gran precisin Equipo de bajo costo y

mantenimiento Medicin con EDM Mediciones de gran precisin

Mediciones en reas de difcil acceso

PROBLEMA 3.3

Un topgrafo cont el nmero de pasos que se requieren para cubrir una distancia de 500 ft. Los resultados fueron: 188, 190, 187 y 191 pasos. Despus midi con pasos una distancia desconocida, requiriendo 306, 308, 307 y 305 pasos. Determine la longitud promedio del paso y la longitud de la segunda lnea.

Respuesta:

188+190+187+191 = 756 pasos 756 pasos / 4 = 189 pasos promedio 500 ft/189 pasos promedio = 2.6455 ft / paso

306 + 308 + 307 + 305 = 1 226 pasos 1 226 pasos / 4 = 306.50 pasos promedio 306.50 pasos promedio x 2.6455 ft / paso = 810.847 ft

PROBLEMA 3.4

Un topgrafo mide cuatro veces con pasos una distancia de 200 ft, obtenindose 74, 75, 76 y 75.5 pasos. Cuntos pasos se necesitarn para que este topgrafo recorra una distancia de 340 ft?

Respuesta:

74 + 75 + 76 + 75.5 = 300.5 pasos 300.5 pasos / 4 = 75.125 pasos promedio 200 ft / 75.125 pasos promedio = 2.662230 ft / paso 340 ft / 2.662230 ft / paso = 127.7125 pasos

PROBLEMA 3.5

Convierta a pues las siguientes distancias en metros, utilizando la definicin ms reciente de metro, la cual se basa en la velocidad de la luz.

Respuesta:

1. 210.20 m / 0.3048 m = 689.63 ft 2. 646.46 m / 0.3048 m = 2 120.93 ft 3. 918.73 m / 0.3048 m = 3 014.21 ft

PROBLEMA 3.6

En un extremo de una lnea se coloca una barra horizontal de estadia de 2 m y en el otro extremo se instala un teodolito. Cul es la longitud horizontal de la lnea si se toman las siguientes lecturas angulares en la barra: 02316, 02315, 02317 y 02316?

Respuesta:

02316 + 02315 + 02317 + 02316 = 1.5511 1.5511 / 4 = 02316 02316 / 2 = 01138 1 / Tan 01138 = 295.504 m

PROBLEMA 3.7

Se utiliza una cinta de acero de resta de 100 ft (lectura cero en el extremo) para medir la distancia entre dos estacas. Si el cadenero de atrs sostienen la cinta en el punto de 67.00 ft y el de adelante en 0.41 ft Cul es la distancia medida?

Respuesta:

67.00 0.41 = 66.59 ft PROBLEMA 3.8

Una cinta de acero de 100 ft tiene un espesor de 1/40 in y un ancho de 5/16 in. Si el acero pesa 490 lb/pie. Cul es el peso de la cinta?

Respuesta:

1/40 in equivale a 0.002083 pie 5/16 in equivale a 0.026042 pie

0.002083 pie x 0.026042 pie x 100 pie = .005425 pie 0.005425 pie x 490 lb/pie = 2.658 lb

PROBLEMA 3.9

Repita el problema 3-8 si la cinta tiene un espesor de 0.030 in y un ancho de 3/8 in

Respuesta:

0.030 in equivale a 0.0025 pie 3/8 in equivale a 0.03125 pie

0.0025 pie x 0.03125 pie x 100 pie = 0.007813 pie 0.007813 pie x 490 lb/pie = 3.828 lb.

PROBLEMA 3.10

Un topgrafo ha determinado que el cateto AB del tringulo rectngulo que se muestra en la figura tiene una longitud de 234.33 ft y que el ngulo interior del vrtice A mide 3817. Determine las longitudes de los otros lados del tringulo.

Respuesta

C = 18000 3817 9000 C = 5143

a / sen A = b / sen B = c / sen C b / sen B = c / sen C b / sen 9000 = 234.33 / sen 5143 (234.33 x sen 9000) / sen 5143 b = 298.526 ft

a / sen A = b / sen B = c / sen C a / sen A = c / sen C a / sen 3817 = 234.33 / sen 5143 (234.33 x sen 3817) / sen 5143 a = 184.952 ft PROBLEMA 3.11

La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 106.32 ft y uno de sus catetos mide 69.66 ft. Encuentre el ngulo opuesto al cateto de 69.66 ft

Respuesta:

Sen = op / hip Sen = 69.66 / 106.32 = 405603

PROBLEMA 3.12

Los tres lados de un tringulo miden 60, 80 y 100 ft. Determine las magnitudes de los ngulos interiores.

Respuesta:

a = b + c - 2bc cos A a - b - c = - 2bc cos A (a - b - c) / - 2bc = cos A (80 - 60 - 100) / (-2)(60)(100) = cos A A= 5313

b = c + a - 2ca cos B b - c - a = - 2ca cos B (b - c - a) / -2ca = cos B (60 - 100 - 60) / (-2)(100)(80) = cos B B = 3687

c = a + b - 2ab cos C c - a - b = - 2ab cos C (c - a - b) / -2ab = cos C (100 - 80 - 60) / (-2)(80)(60) = cos C C = 9000

PROBLEMA 3.13

Un dique de tierra inclinado sube 3.4 ft por cada 10 ft de distancia horizontal. Qu ngulo forma el dique con la horizontal?

Respuesta:

tan = op / ady tan = 3.40 / 10.00 = 184640.92

PROBLEMA 3.14

Un topgrafo obtiene que una distancia inclinada mide 1642.5 ft. Adicionalmente, el ngulo entre la horizontal y la lnea medida es de 25630. Determine la distancia horizontal medida y el desnivel que existe entre los dos extremos de la lnea.

Respuesta:

sen = op / hip hip Sen = op 1642.50 x sen 25630 = op op = 84.292 ft

cos = ady / hip hip cos = ady 1642.50 x cos 25630 = ady ady= 1640.336 ft

PROBLEMA 3.15

Los ngulos existentes en los vrtices de un campo triangular son de 32 58 y 90 y la hipotenusa mide 262.20 ft. Cul es la longitud en pies que debe tener una barda perimetral para este campo?

Respuesta:

sen = op / hip hip Sen = op 262.20 x sen 32 = op op = 138.945 ft

cos = ady / hip hip cos = ady 262.20 x cos 32 = ady ady= 222.358 ft

138.945 + 222.358 + 262.20 = 623.25 ft

PROBLEMA 3.16

Se desea determinar la altura de la torre de una iglesia. Suponiendo que el piso es horizontal, se mide una distancia de 500 ft desde la base de la torre y se determina que hay un ngulo vertical de 3630 desde ese punto en el suelo hasta la altura de la torre Cul es la altura de la torre?

Respuesta:

tan = op / ady ady x tan = op op = 500 ft x tan 3630 op = 369.981 ft

PROBLEMA 3.17

Repita el problema 3.16 si se instala un instrumento a 600 ft de una torre, con un telescopio centrado a 5 ft por encima del suelo. Se dirige la visual horizontalmente hasta un punto ubicado a 5 ft de la base de la torre y luego se mide el ngulo hasta la parte suprior de la misma, cuyo valor es de 2434. Qu altura tiene la torre?

Respuesta:

tan = op / ady ady x tan = op op = 600 ft x tan 2434 op = 274.279 ft

Altura de la torre 274.279 + 5.000 = 279.279 ft

PROBLEMA 3.18

Se pretende pavimentar una seccin de una carretera que tiene una pendiente de 3% (3 ft verticales por cada 100 ft horizontales). Si el camino tiene 24 000 ft de ancho y su longitud horizontal total es de 900 ft. Calcule el rea por pavimentar del camino.

Respuesta:

3 ft / 100 ft = h / 900 ft ( 900 ft x 3 ft ) / 100 ft = h h = 27 ft

c = a + b c = 27 ft + 900 ft c = 900.405 ft

A = Area a pavimentar A = 24 ft x 900.405 ft A = 21 609.718 ft

PROBLEMA 3.19

Repita el problema 3.18 si en lugar de que el camino tenga una pendiente de 3% forma un ngulo de 3 con la horizontal.

Respuesta:

tan = op / ady op = ady x tan op = 900 ft x tan 300 op = 47.167 ft

c = a + b c = 47.167 ft + 900 ft c = 901.235 ft

A = Area a pavimentar A = 24 ft x 901.235 ft A = 21 629.643 ft

PROBLEMA 3.20

Se necesita medir la altura de la aguja de la torre de una iglesia, segn se muestra en la ilustracin. Se ha encontrado una distancia horizontal y se han determinado dos ngulos verticales, segn se muestra. Qu altura tiene la aguja de la torre? Observe que en este caso no es necesario medir la altura del instrumento sobre el terreno.

Respuesta:

tan = op / ady op = ady x tan op = 420 ft x tan 1846 op = 142.707 ft

tan = op / ady op = ady x tan op = 420 ft x tan 512 op = 38.223 ft

A = Altura de la torre A = 142.707 ft + 38.223 ft A = 180.930 ft

OBSERVACIN: Ntese que el autor, no proporciona el ancho de la torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es correcta. PROBLEMA 3.21

Repita el problema 3.20 si la distancia horizontal es de 452.00 ft, el ngulo superior es de 45010 y el inferior es de 164230.

Respuesta:

tan = op / ady op = ady x tan op = 452 ft x tan 164230 op = 135.678 ft

tan = op / ady op = ady x tan op = 420 ft x tan 45010 op = 38.242 ft

A = Altura de la torre A = 135.678 ft + 38.242 ft A = 173.920 ft

OBSERVACIN: Ntese que el autor, no proporciona el ancho de la torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es correcta.

PROBLEMA 3.22

Repita el problema 3.20 considerando que la altura del instrumento es de 5.00 ft por encima del terreno y que la distancia inclinada desde el centro del instrumento hasta

la base de la iglesia es de 446.10 ft. Suponga que el ngulo vertical medido desde el telescopio del instrumento hasta la parte suprior de la aguja sigue siendo de 512. El ngulo inferior no se midi.

Respuesta:

c = a + b a = c - b a = 446.10 ft - 420.00 ft a = 150.350 ft

sen = op / hip sen = 150.350 ft / 420.00 ft = 194146.3 ft

A = Altura de la torre A = 150.350 ft + 38.223 ft A = 188.573 ft

OBSERVACIN: Ntese que el autor, no proporciona el ancho de la torre, por lo tanto, la respuesta de este problema no es correcta.

PROBLEMA 3.23

Un topgrafo midi cuatro veces con pasos una distancia de 150 metros, obteniendo los resultados siguientes: 186, 188, 184 y 187. Despus midi una distancia desconocida en la que requiri 208, 206, 205 y 207 pasos. Calcule la longitud promedio del paso del topgrafo y de la segunda lnea.

Respuesta:

186 + 188 + 184 + 187 = 745 pasos 745 pasos / 4 = 186.25 pasos promedio 150.00 metros / 186.25 pasos = 0.805 m

208 + 206 + 205 + 207 = 826 pasos 826 pasos / 4 = 206.50 pasos promedio 206.50 pasos x 0.805 m = 166.233 m

PROBLEMA 3.24

Se va a trazar un edificio de 24 m x 48 m con una cinta de acero que tiene un error de longitud de +0.004 m. Qu distancias deben medirse en el terreno?

Respuesta:

Nota: El autor no menciona la longitud de la cinta, pero se supondr que es de 20 m.

La cinta es MAS LARGA, por lo tanto, la correccin deber restarse de la medicin total deseada.

24.00 / 20 = 1.020 mediciones 1.20 mediciones x 0.004 m = 0.0048 m 24.00 m 0.0048 m = 23.995 m

48.00 / 20 = 2.400 mediciones 2.400 mediciones x 0.004 m = 0.0096 m 48.00 m 0.0096 m = 47.990 m

Las dimensiones correctas que deben medirse son 23.995 m x 47.990 m

PROBLEMA 3.25

Dos puntos de una lnea inclinada estn separados por una distancia aproximada de 100 m y tienen una diferencia de elevacin de 12 m Qu distancia inclinada se debe medir para obtener una distancia horizontal de 100 m?

Respuesta:

c = a + b c = 12.000 m + 100.000 m c = 100.717 m

PROBLEMA 3.26

Los lados de un tringulo miden 33.49 m, 46.56 m y 27.81 m. Determine la magnitud de los ngulos interiores.

Respuesta:

a = b + c - 2bc cos A a - b - c = - 2bc cos A (a - b - c) / - 2bc = cos A (27.81 - 33.49 - 46.56) / (-2)(33.49)(46.56) = cos A A= 361302

b = c + a - 2ca cos B b - c - a = - 2ca cos B (b - c - a) / -2ca = cos B (33.49 - 46.56 - 27.81) / (-2)(46.56)(27.81) = cos B B = 452134

c = a + b - 2ab cos C c - a - b = - 2ab cos C (c - a - b) / -2ab = cos C (46.56 - 27.81 - 33.49) / (-2)(27.81)(33.49) = cos C C = 982524

PROBLEMA 3.27

El ngulo de elevacin de una torre inaccesible situada en un plano horizontal es de 5319. Desde un punto que est a 68.5 m de la torre, el ngulo de elevacin es de 2241. Encuentre la altura de la torre.

Respuesta:

a / sen A = b / sen B = c / sen C a / sen A = b / sen B a / sen 2241 = 68.50 / sen 3038 (68.50 x sen 2241) / sen 3038 a = 51.843 m

sen = op / hip op = 51.843 x sen 5319 op = 41.575 m

OBSERVACIONES:

EL AUTOR MENCIONA QUE EXISTE INACCESIBILIDAD DESDE EL PRIMER PUNTO DE OBSERVACIN Y LA BASE DE LA TORRE.

LA DISTANCIA HORIZONTAL QUE SE REGISTR EN LA SEGUNDA LECTURA, SEGURAMENTE ES LA DISTANCIA QUE EXISTE ENTRE LOS DOS PUNTOS DE OBSERVACIN Y NO A LA BASE DE LA TORRE.

PROBLEMA 3.28

Un topgrafo observa que su posicin A est exactamente en lnea recta con dos objetos inaccesibles B y C. Mide una lnea AD = 200 m, la cual forma con la primera un ngulo BAD = 6436, y desde D observa que ADB = 2820 y BDC = 5248. Determine la distancia BC.

Respuesta:

LA DISTANCIA BC ES DE 255.922 M