1. Previsión por análisis de rendimientos de la acción        comercial.

PLANTEAMIENTO.

Calcular la previsión de ventas de una empresa de la que se conocen los siguientes datos:

Días de trabajo anuales: 265

Número de visitas por días de trabajo:

Zona A: 6,5Zona B: 6Zona C: 6Zona D: 6Zona E: 8

Número de pedidos directos por visita:

Zona A: 0,60Zona B: 0,60Zona C: 0,42Zona D: 0,45Zona E: 0,40

Cifra de venta media por pedido directo (u.m.):

Zona A: 410Zona B: 660Zona C: 350Zona D: 600Zona E: 1.320

Venta indirecta respecto a la directa:

Zona A: 0,30Zona B: 0,34Zona C: 0,32Zona D: 0,35Zona E: 0,50

RESOLUCIÓN.

Este método se basa en la utilización de una serie de parámetros indicativos de la acción comercial, a partir de los cuales se calculan las previsiones de ventas.

El problema requiere poseer información de varios años. Otro aspecto importante a considerar es la previsible modificación de los valores de los parámetros que se piensan tomar.

La fórmula que utilizaremos para la realización de la previsión de venta directa es:

La previsión de ventas indirectas se obtiene multiplicando la previsión de ventas directas por el coeficiente previsión de ventas indirectas respecto de las directas.

La previsión de ventas total para una zona se calcula como suma de las dos anteriores.

Finalmente la previsión de ventas total de la empresa se calcularía como suma de las previsiones de ventas totales de cada una de las zonas.

Centrándonos en este caso en particular, se operaría del siguiente modo:Zona A:

Zona B:

Zona C:

Zona D:

Zona E:

Previsión de venta de la empresa:

2. Localización de almacenes distribuidores.

PLANTEAMIENTO.

Una empresa dedicada a la fabricación de aglomerados de madera, tiene una factoría situada en el Pirineo leridano, donde obtiene la madera que constituye su principal input, y está estudiando la conveniencia de situar un almacén intermedio, para ampliar la distribución de sus productos a las industrias del mueble situadas en torno a su actual zona de influencia. El precio FOB de cada metro cúbico de aglomerado se sitúa en torno a las 120 unidades monetarias, siendo el precio normal del mercado de 190 u.m. La tarifa de transporte que practica actualmente es de 0,95 u.m./m3/km, ya que desde la fábrica se realizan los envíos, generalmente de tamaño reducido, a las pequeñas empresas de la zona. Si crease un almacén distribuidor, la empresa podría enviar grandes cantidades al mismo desde la fábrica, incurriendo en una tarifa de transporte de 0,30 u.m./m3 /km.

Se desea estimar, en base a los datos aportados, a qué distancia de la fábrica conviene situar el almacén.

RESOLUCIÓN.

En el caso de productos indiferenciados, como el que nos ocupa, la localización de un almacén intermedio proporciona a la empresa una ampliación de su zona de influencia espacial, al permitir que sus precios de venta finales resulten competitivos en un espacio mayor, por haber abaratado sus costes de trasporte a través de envíos masivos.

La empresa puede competir en aquellas zonas del espacio en que su precio final de venta sea igual o inferior al precio normal del mercado. El precio de venta está integrado por el precio FOB más el coste del transporte.

Cuando la empresa distribuye directamente desde la fábrica a los clientes, suele hacer sólo envíos de pequeños pedidos, lo que encarece considerablemente el producto por el mayor coste de transporte. Así, si nuestra empresa no creara el almacén, su zona de influencia abarcaría la distancia definida por el segmento OD de la figura siguiente:

P  : Precio de mercado

F  : Precio FOB

t1 : Tarifa de transporte alta (envíos reducidos)

d  : Distancia al límite de la zona de influencia

El radio de acción sería, teóricamente, una circunferencia de radio OD con el centro en la fábrica ( O ). La determinación del radio de influencia vendría dada por:

Ahora bien, al situar un almacén distribuidor, que puede recibir envíos masivos con una tarifa de transporte barata, la empresa creará una nueva zona de influencia en torno al almacén, que alcanzará hasta el punto en que el precio del artículo puesto en almacén, más el coste de su distribución a los clientes, igualen al precio de mercado.

El cálculo de la nueva zona de influencia con almacén se obtiene analíticamente. Llamando:

t2 : Tarifa económica de transporte (para envíos masivos) t2 < t1

d' : Radio de influencia del nuevo almacén

W : Situación del almacén

1. Sin almacén hay un radio de influencia ( d ), hasta que se cumple que:

2. Si hay en almacén en W que recibe la mercancía a la tarifa t2 y la y la reparte a la tarifa t1, su radio de influencia llegará hasta aquellos puntos en que se verifique que:

siendo:

t2 (d + d') : Coste de transporte desde la fábrica al almacén

t1 × d' : Coste de distribución desde el almacén a los clientes

Sustituyendo tendremos:

de donde:

Que representado gráficamente queda así:

La zona de influencia con almacén alcanzará hasta el punto en que el precio final incluyendo el precio FOB (valor de F de la ordenada en el origen), más el coste de transporte de la fábrica al almacén (T - F), más el coste de distribución del almacén a los clientes (P - T) igualen al precio de mercado ( P ).

Sustituyendo los valores por los datos del enunciado, tendremos que:

Luego la empresa deberá situar su almacén a 73,7 + 38,3 = 112 kilómetros de la fábrica, con lo que su radio de influencia en la dirección en que se sitúe el almacén alcanzará hasta el punto 73,7 + (38,3 × 2) = 150,3 km desde la fábrica.

3. Análisis de la productividad.

PLANTEAMIENTO.

La empresa Zadeko, se dedica al reciclaje de residuos sólidos urbanos, para obtener de los mismos cuatro tipos de productos: minerales metálicos, vidrio, papel cartón y compost. En el desarrollo de su actividad emplea los factores mano de obra, maquinaria, gasoil y, por supuesto, la basura que constituye su materia prima y que obtiene del vertedero municipal gracias a un convenio con el ayuntamiento. Las cantidades y el valor, tanto de los factores empleados como de los productos elaborados, han sido los de la tabla siguiente:

En función de estos datos, se desea conocer el índice y la tasa de productividad global correspondiente a estos dos períodos.

RESOLUCIÓN.

Como hemos visto anteriormente, el concepto de productividad es análogo al de rendimiento, y hace referencia a la capacidad para producir que presenta un factor o un conjunto de factores. La productividad relaciona la cantidad de producto obtenida con la cantidad de factor aplicada, en una referencia a la eficiencia técnica de una actividad.

Sin embargo, dada la imposibilidad de establecer una expresión de la productividad que represente la adición en unidades físicas de magnitudes heterogéneas, cuando se desea conocer la productividad de un conjunto de factores diversos, como es el caso de una empresa, de una explotación, de una unidad organizativa, etc., se hace necesario recurrir al cálculo de la productividad global, que expresa en términos monetarios y, por tanto, homogéneos la relación entre producción obtenida y factores aplicados. La productividad global relaciona, pues, el valor de la producción con el valor de los factores empleados; para una empresa que fabrique j productos con i factores, la productividad en un período 0 sería:

donde:Qj : Volumen de producción en unidades físicas del producto j en el período 0

pj : Precio unitario del producto j en el período 0

vi : Cantidad del factor i utilizada en el período 0

fi  : Coste unitario del factor i durante el mismo período

La productividad global correspondiente al período 1 sería:

donde:Qj : Variación positiva o negativa, de la producción en unidades físicas del

producto j en el período 1 respecto del 0

vi : Variación, positiva o negativa, de la cantidad del factor i empleada en el período 1 en relación al período 0

El cociente entre la productividad global del año 1 y la correspondiente al año 0 nos indicará, si es mayor que la unidad, que ha habido un aumento de la productividad, y, por contra, si es menor que 1, que la productividad ha disminuido. Esta relación se llama índice de productividad global (IPG):

El IPG permite a la empresa efectuar comparaciones entre la productividad de los períodos, sin que la evolución de los precios de factores y de productos afecten a

los resultados, ya que las valoraciones se realizan a los precios del año base o inicial.

Para calcular la productividad de Zadeko hemos de determinar previamente los precios unitarios de los factores y de los productos, ya que los datos suministrados se refieren a la producción y consumos globales.

El precio de cada unidad de producto se obtendrá de dividir el valor total de la producción por el número de unidades producidas:

Los restantes datos se obtienen directamente del enunciado:

Sustituyendo todos esos datos en la fórmula del índice de productividad global:

El valor obtenido nos indica que la productividad de la empresa Zadeko en el año 1 ha sido 1,0066 veces la del año inicial. Expresándolo en porcentaje, la productividad del año 1 ha sido el 100,66 por 100 de lo que fue en el año 0.

La variación neta (incremento o decremento) de la productividad se mide a través de la tasa de productividad global (TPG):

En nuestro problema, el valor de la tasa de productividad global será:

Luego ha habido un ligero y casi inapreciable incremento de la productividad en el año 1 respecto del año 0, contra lo que podría desprenderse de los datos iniciales en los que se da un gran aumento del volumen de actividad y de la diferencia entre el valor de la producción y el coste de los factores.

4. Confección de la tabla de costes.

PLANTEAMIENTO.

De una determinada sección de producción de una empresa industrial, cuyos costes fijos mensuales son de 2.000 u.m., se conoce que los costes variables necesarios para los distintos volúmenes de producción mensuales que es factible realizar dentro de la capacidad instalada son los reflejados en la tabla siguiente:

Se desea confeccionar la tabla de costes que refleje los costes totales, los diferentes costes medios (coste fijo medio, coste variable medio y coste total

medio) y los costes marginales correspondientes a cada volumen de producción, así como representar gráficamente los valores obtenidos.

RESOLUCIÓN.

El cálculo de una tabla de costes es extremadamente sencillo, ya que surge de la aplicación directa de las fórmulas expresivas de los distintos conceptos de coste. Sabiendo que:

donde:CT : Coste total

CF : Coste fijo

CV : Coste variable

Q : Volumen de producción

CFMe : Coste fijo medio

CVMe : Coste variable medio

CTMe : Coste total medio o coste unitario

CMa : Coste marginal

Realizando las operaciones aritméticas correspondientes para el cálculo de los distintos conceptos de coste en cada volumen de producción posible, obtenemos la tabla de costes:

Donde, por ejemplo, el CT = 4.900, correspondiente a 160 u.f., se obtiene de sumar el CF de 2.000 al CV de 2.900. El CFMe = 15,38, del volumen Q = 130, se obtiene de dividir el CF de 2.000 por dicho Q. Análogamente el CVMe y el CTMe se obtienen dividiendo, respectivamente, el CT y el CV por el

volumen Q correspondiente. El CMa = 6 del volumen de 130, se obtiene calculando el CT, que es la diferencia entre el CT correspondiente a 130 u.f. y el CT de producir 120 u.f., esto es, 4.730 - 4.670 = 60 y dividiendo por el Q, esto es, 130 - 120 = 10 u.f.

La representación gráfica de los valores reflejados en la tabla sería la de las figuras siguientes:

5. Cálculo del punto muerto en producción simple.

PLANTEAMIENTO.

Una empresa dedicada a la fabricación de material plástico para la industria de envases, bolsas, etc., tiene prevista una producción para el año 2001 de 3.500 m3 de plástico. Sus costes fijos anuales previstos son de 270.000 u.m. y el precio de venta y coste variable medio de fabricación de cada metro cúbico son, respectivamente, de 225 u.m. y de 90 u.m.

Se quiere calcular: a) el punto muerto; b) el momento del año en que se obtendrá, supuesto un ritmo de actividad uniforme, y c) los beneficios que la empresa prevé obtener en los supuestos de que: c.1) se cumpla el programa de operaciones previsto; c.2) la coyuntura desfavorable del mercado de plásticos obligue a una reducción del 20 por 100 en el volumen de producción y venta.

RESOLUCIÓN.

a) El punto muerto, también llamado umbral de rentabilidad o umbral del beneficio, se define como aquel volumen de operaciones (producción y venta) en el cual la empresa ha cubierto sus costes fijos y los costes variables correspondientes de dicho volumen de producción, por lo que a partir de ese punto toda unidad producida y vendida dejará ya de enjugar pérdidas para empezar a producir beneficios. Por tanto, en el punto muerto se cumple que los ingresos totales serán iguales a los costes totales y el beneficio, por definición, es nulo; por encima del punto muerto, la empresa obtiene beneficios; por debajo, pérdidas. En el caso de producción simple, para determinar el punto muerto, llamamos:

Q0 : Volumen de producción en u.f. correspondiente al punto muerto

P : Precio unitario

CVMe : Coste variable unitario

BT : Beneficio total

IT : Ingresos totales

CT : Costes totales

En el punto muerto el beneficio es nulo, luego los ingresos igualan a los costes:

En el caso planteado en el problema:

b) Supuesto un ritmo de actividad uniforme, si se prevé una producción anual de 3.500 m3 de plástico, el momento del año en que se alcanzará el punto muerto (Q0 = 2000 m3) lo calculamos mediante una regla de tres:

c.1) Los beneficios que prevé obtener la empresa en el supuesto de que se cumpla el programa de operaciones previsto de 3.500 m3 anuales, podemos calcularlos de dos formas: por diferencia entre ingresos totales y costes totales, o bien multiplicando las unidades que nos reportarán beneficios (es decir, las que se obtienen a partir del punto muerto) por el margen unitario de contribución al beneficio. De la primera forma sería:

c.2) Si se produce una reducción del 20 por 100 en el volumen de producción y venta, tendremos que ahora la producción total será:

En este caso, el beneficio que obtendrá la empresa será:

6. Determinación de la localización óptima.

PLANTEAMIENTO.

Una empresa que se dedica a la fabricación de cartón para embalajes a partir de pasta de celulosa, desea instalar una nueva factoría en el litoral sur, para abastecer a la industria malagueña. La pasta de celulosa que constituye su principal input la obtiene de Algeciras, de otra empresa situada a 120 km de Málaga. De cada tonelada de pasta se obtienen 0,7 toneladas de cartón, pero dado que el proceso de transformación implica un aumento de volumen del producto acabado en relación a la materia prima, resulta que el coste unitario de trasporte de la materia prima es de 10 u.m./tm/km, mientras que el del producto es de 15 u.m./tm/km. No existen costes de carga o descarga del input, aunque sí del output, que cuesta, tanto cargarlo como descargarlo, 2 u.m./tm en cada ocasión. Se pide determinar la localización óptima de la factoría, así como el coste total de transporte.

RESOLUCIÓN.

Bajo la hipótesis de homogeneidad espacial, según la cual todos los factores de ingresos y costes permanecen constantes excepto el coste de transporte, que es proporcional a la distancia, la localización óptima o lugar donde la empresa obtiene el máximo beneficio se encontrará en aquel punto donde el coste total de transporte sea mínimo.

Llamando:

m1 : 1 tm

m2 : 0,7 tm

t1 : 10 u.m./tm/km

t2 : 15 um./tm/km

CF2 : 2 u.m. (cargar) + 2 u.m. (descargar) = 4 u.m./tm

Si consideramos que desde el lugar de obtención del input hasta el lugar donde instalaremos la fábrica la distancia es x, el coste de transporte de la materia prima o input será:

La distancia desde la factoría hasta el centro de distribución del producto será L - x , siendo el coste de transporte del producto acabado el siguiente:

El coste total de transporte será la suma de ambos:

Como la función de coste total es lineal, su mínimo estará en uno de los puntos extremos, Algeciras o Málaga. Así, si instalamos la factoría en el lugar de obtención del input, la distancia a recorrer por éste será cero (x = 0), luego el coste total de transporte será:

Si instalamos la factoría en el lugar de distribución del producto acabado, la distancia a recorrer por éste será cero, es decir, x = L = 120 . En este caso, el coste total de transporte será:

Vemos, pues, que en este segundo supuesto el coste total de transporte es menor, luego la localización óptima estará en Málaga.

7. Lote económico de pedido con descuentos.

PLANTEAMIENTO.

Una empresa industrial utiliza anualmente 10.000 envases para uno de sus productos. Cada envase tiene un precio de 0,50 u.m./unidad, siendo su coste anual de mantenimiento de 0,15 u.m./unidad. Cursar un pedido cuesta, como término medio, 3 u.m., y tarda en ser servido 10 días. Sabiendo que el coste del capital de la empresa es del 15 por 100, se pide:

a) El lote económico de pedido

b) El plazo de reaprovisionamiento

c) El punto de pedido

d) El coste total asociado a los inventarios

e) Si el proveedor ofrece un 2 por 100 de descuento sobre el precio por una compra igual o superior a las 600 unidades, ¿qué cantidad interesa comprar cada vez?

RESOLUCIÓN.

a) El lote económico de pedido lo calcularemos a partir de la fórmula del modelo de Wilson, en la que llamamos:

C : Consumo anual = 10.000 unidades

P : Precio = 0,50 u.m./u.f.

A : Coste de mantenimiento anual = 0,15 u.m.

S : Coste de emisión de cada pedido = 3 u.m.

i : Coste del capital = 15 %

t : Plazo de entrega = 10 días

El lote económico de pedido se obtiene de la expresión:

b) El plazo de reaprovisionamiento o días que transcurren entre cada pedido, conocido el consumo anual, se obtiene de:

c) Si el plazo de entrega es de 10 días, el punto de pedido o cantidad existente en almacén que indica la necesidad de cursar un nuevo pedido, será la cantidad necesaria para consumir durante los 10 días que tarda en llegar el pedido; como el consumo diario es de 27,4 u.f.:

d) El coste total asociado a los inventarios será la suma de los costes parciales relativos al aprovisionamiento, esto es:

-  Coste de adquisición = P × C

-  Coste de renovación o reaprovisionamiento = S×(C/Q) es decir, el coste de preparación de cada pedido por el número de pedidos que se cursan al año

-  Coste de almacenamiento = (A + Pi) × Q/2

Luego el coste total del aprovisionamiento será:

e) Si nos aplican un descuento del 2 por 100 sobre el precio por una compra igual o superior a 600 u.f., nuestro nuevo precio será en este caso:

El coste total para esta nueva consideración será:

Vemos pues que nos interesa más comprar 600 u.f. al precio de 0,49 u.m./u.f., ya que el coste es menor que si compramos 516 u.f. a 0,50 u.m./u.f. (5.017 < 5.115).