Problemas Resueltos de Logaritmos

Profesor Rodrigo Camacho Chávez 4

Materias Básicas Guía de Geometría y Trigonometría Primer Departamental

EJERCICIOS RESUELTOS ECUACIONES LOGARÌTMICAS

Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un

logaritmo. Por ejemplo:

1.-log(x+6) = log(2x-1).

Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7.

Hemos resuelto la primera ecuación logarítmica. Muy sencilla en este caso, pero que nos

proporciona el método para resolverlas todas. Enseguida lo veremos.

También aplicando las leyes de los logaritmos donde bab

alogloglog !

log(x+6) = log(2x-1).

log (x+6)-log (2x-1) = 0 Como tenemos una diferencia de logaritmos, procedemos como lo

indica la ley de los logaritmos mencionada,

Observamos que la base del logaritmo es 10, ya que no aparece ningún

subíndice, por lo tanto se da por hecho que es de base 10. Convirtiendo

Nxb ! xNb

!log

Tenemos:12

6100

"!

x

x7;162;612

12

61 !"! "!

"!# xxxxxndosimplifica

x

x

2.- log(x+6) = 1 + log(x-3)

49

36

369;30610;63010;6)3(10;3

610

3

610

1)3(

)6(log

1)3log()6log(

1

!#!

!"! "! "!

"!#

"!

!

"

! "

xx

xxxxxxxx

x

x

x

x

x

xx

0)12(

)6(log !

"

x

x



3.- log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x)

031031033

10225221025222

)5()11(2)11(

)5(2

)11(

)5(10

)11(

)5(log301029995.0)11log()5log(22log

22

2222

22

2

2

2

2301029995.0

2

22

!" # !

"! #" !

! #

!#

!

#

!# !

xxxx

xxxxxx

xxx

x

x

x

x

xxx

Tenemos una ecuación de segundo grado la cual resolvemos con: a

acbbx

2

42 $

!

Con 3103 ! !! cba sustituyendo:

)3(2

)3)(3(4)10()10( 2 $

!x Simplificando

3333.06

2

36

18

6

810

6

3610010

2

1

!!

!!

$!#

$!

x

x

xx

Comprobación con x = 3

log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x) sustituyendo 31 !x

6020.06020.0

)301029995.0(2301029995.0301029995.0

)2log(2)2log(301029995.0

)35log(2)311log(301029995.0 2

!

!"

!"

! "



4.- log (3 - x2) =log 2 + log x

321

121

:41

4)1()2

2(3)

2

2(2

32032

323

103010.0)3(

log2loglog)3log(

2

1

2222

22

22

3010.02

2

! !

!" !

$!"

!"#"!""

!"! "

!#

!#!

!

x

negativapartelatomando

x

tenemospositivapartelatomandox

xxx

xxxx

xxx

x

x

xxx

Comprobación con x = 1

log (3 - x2) =log 2 + log x

2log2log

02log)13log(

!

"!

5.- 2log(x) - log ( x2 - 6) = 1

582.2

9

60

9

60

6090609060106010

)6(106

1016

log1)6log(log

2

222222

22

2

21

2

222

$!

$!#!

!#! #! #!

! #

!#!

#!

x

xx

xxxxxx

xxx

x

x

xxx

Comprobación con x = 2.582

2log(x) - log ( x2 - 6) = 1

11

1176.0824.0

1)176.0(824.0

1)6582.2log(582.2log2 2

%

!"

!

!



6.- 3 4"x = x312

Observemos que tenemos una ecuación exponencial de la forma Nxb !

Donde b=3; 4"! xx ; N= x312

Aplicando logaritmos de ambos lados tenemos: xx 312log43log !

"

Como AnnA loglog ! ley de los logaritmos, entonces:

1646.13802.1

6075.1

9030.04471.0

6075.1

2log33log

6075.1

9084.13010.0)2log33(log

3log42log2log33log

2log32log3log43log2log)31(3log)4(

!

!

"

!

"

!

!"

!"

!"# !"

x

x

xx

xxxx

Comprobación: con x = -1.1646

3 4"x = x312 Sustituyendo

53.2253.22

4938.428353.23

))1646.1(31(2)

41646.1(3

&

!

!

"

7.- Sistemas de ecuaciones

)2(62

)1(3232

2

!"

!

yx

yx

Observemos que la ecuación (1) es de tipo exponencial Nxb !

Y que se puede convertir en logarítmica así: 32log32

2log ! yx

Aplicando AnnA loglog ! en el primer miembro de la ecuación tenemos:



5322log

32log32

32log2log)32(

! #!

!

yxyx

yx

Despejando “y” tenemos )1(253 # ! porndomultiplicaxy

)1(3

52523

!# !

xyxy

Despejando “y” de la segunda ecuación

)2(2

662

!#!"

xyyx , por el método de igualación, tenemos:

66

6246)1(2462

3232

3223223232

2

13

58

3

5)4(2

3

52

""var

4

287101834

318104)6(3)52(22

6

3

52

5)1(3)4(2

%

!"#!"#!"

%

!#!#!

!#

!#

!#

!

!

!#"!"

! # ! #

!

yx

yx

ónComprobaci

yyyx

y

yiablelacalculando

x

xxx

xxxxxx



RESOLUCIÓN GRÁFICA

Ahora veamos gráficamente la solución de la ecuación.

Como en todas las ecuaciones con una incógnita, se pueden utilizar dos métodos:

· Conseguir que quede igualada a 0, representando en el programa la ecuación (que es una

función): y =....primer miembro.... Los valores de x de los puntos de corte con el eje X serán

las soluciones.

· Representar las funciones correspondientes a los dos miembros de la ecuación y los valores de

x de los puntos de corte serán las soluciones.

En nuestro caso, utilizando el primer método, resulta: log(x+6) - log(2x-1) = 0, luego

representamos y = log(x+6) - log(2x-1).

"El valor de "x" del punto de corte de la gráfica obtenida con el eje X es la solución de la

ecuación".

Enseguida observarás que es x = 7.

Pero además en la escena observarás también una recta que corta al eje X en al mismo punto (

con x = 7). Se trata de la que representa a la ecuación: x + 6 = 2x - 1, o sea: y = x+6 - (2x-1),lo que confirma lo correcto del método.

Este método gráfico nos servirá para resolver cualquier ecuación logarítmica.



Ejercicio 2.- Escribe en las ventanas correspondientes de la escena siguiente las ecuaciones,

de manera adecuada, para resolver la siguiente ecuación logarítmica, usando los logaritmos

como número.

log(x2+2x) = log(3) (Deberás encontrar dos soluciones).

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