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jose-holgado-ramirez
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Problemas Resueltos de ecuaciones diferenciales y ecuaciones de diferencias.
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1
Solucionario de la 2da practica calificada
1.- Determine la solucin del problema siguiente
2 21 4 4 2 1 2 4 4 , (0) 0, (0) 1t t x t x x t x x
Por Euler
( )( ) ( )
d d aD ax b D aD
d z d x ax b
2 2 2 2 2
2 2( ) ( ) ( )
( ) ( )
a aD D D D D ax b D a D D a
ax b ax b
Para: a=-2 y b=1
1 2 zt e 2 2(1 2 ) 2(1 2 ) 4 4t x t x x t
22 21(( 2) ( 2) 2( 2 ) 4) 4( )
2
eD D D x
2 2(4 ( 2) 4 4) (1 )D D D x e 2 2
2 2 2 2 (1 )4( 1) (1 ) ( 1)4
eD x e D x
2( ) 1 0 1P r r r
11 1 2x c e c e 2 21 1 2 1
4( 1)( 1) 4 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
z z z z
p
e e e ex
D D D D D D D D
21 1( 1 ( ) )
4 3 2
zz
p
ex z e
2
1 2
1 1( 1 ( ) )
4 3 2
zz z zex c e c e z e
Por condiciones iniciales:
x(0)=1 y x(0)=1
z = ln (at+b)
z = lnb = ln(1) = 0
Reemplazando en x
1
2
23
48
25
48
C
C
;( ) ( )
d dD D
d x d z
ln( )
zat b e
z at b
2
2.- En el sistema adjunto determine:
24 2 2n
n nY Y
2z n 2
22 4 2z
zY Y
Homognea:
2 2 2( ) 4 2 0 ,2 2 2
iP r r r p
22( ) ( cos sin )2 2 2
zY A z B z
Particular: 2
( )(40 2) 2 ( )z z
zY
( ) 2z
zY A
2
1( ) ( ) :
1 ln 2en A
( ) 2
2
1 ln 2p
z
zY
2
2
2 2( ) ( cos sin ) , 2
2 2 2 1 ln 2
z
H PY Y Y Y A z B z z n
3.- Determine la solucin de la ecuacin en diferencias:
2 2 / 2(( 1) 1) 2 cos2
n
nE a
Homognea 4 2 3( ) 4 4 0P r r r r
1,2 3,40; 2r r 0 0 2 2
1 2 3 4( )n n n n
n Ha c e c e c e c e
Particular
4 2 3 / 2
4 2 3( 4 4 ) 2 cos 4 4 02
n
n n n nD D D a a a a
/ 2
, 2 ( cos sin ) ( )2 2
n
n p
n na k A B
( 4) / 2 ( 3) / 2 ( 2) / 2 2( 4) ( 4) ( 3) ( 3) ( 2) ( 2)
2 ( cos sin ) 4 2 ( cos sin ) 4 2 ( cos sin ) 2 cos2 2 2 2 2 2 2
n
n n nn n n n n n nk A B A B A B
4( (2cos 2 sin ) (cos 2sin 2) cos2 2 2 2 2
n n n n nk A B
8 2 2 1A B
4 2 2 0A B
2 2 1 2 4,
31 62 62 31A B
3
4.-Determinar el desplazamiento x(t), de una bloque de ms de m, de
constante 2m y constante de amortiguacin 3m, con una fuerza externa
m*sen2t condiciones iniciales nulas:
extF kx cx mx
sin 2 2 3m t mx mx mx
m m m m
2 2w 3
sin 2 2 3t x x x
3 2 0x x x 3( ) 3 2 0P r r r
2, 1r 2
1 2
t t
Hx c e c e
1 1sin 2 ( (sin 2 )
( 2)( 1) ( 2)
t t
px t e e t dtD D D
(cos 2 sin 2 )3
20p
t tx
2
1 2
(cos2 sin 2 )3
20
t t
H p H
t tx x x x c e c e