Problemas Resueltos Sobre Matrices

Problemas resueltos sobre matrices / 4-1

Problema 1

Dadas las matrices

=

=

1b01

By10a1

A , calcular: a) nn2t BAb))A(A

a) Ia1001

aa00a

0aa0

0aa0

1a01

10a1

)AA( 22222

2t =

=

=

=

=

b)

=

==

=

==

10a31

10a1

10a21

AAA10a21

10a1

10a1

AAA 232

=

=

==

10na1

A10a41

10a1

10a31

AAA n34

=

==

=

==

1b301

1b01

1b201

BBB1b201

1b01

1b01

BBB 232

=

=

==

1nb01

B1b401

1b01

1b301

BBB n34

+=

=

1nbnaabn1

1nb01

10na1

BA2

nn

Problema 2

Dadas las matrices

=

=

=

412312

Cy232111

B,4985

A calcular 2BCAM =

=

=

=

421149

01532

24985

412312

232111

24985

M

Problema 3 Sea A una matriz de 3 filas y 4 columnas (esto es, de dimensin 3x4) y C una matriz 2x3. Cuntas filas y columnas tiene B sabiendo que existe la matriz AXBXC? Qu dimensio-nes tiene AXBXC?

3,2y,x4,3 CBA

Para que exista el producto de AB se tiene que verificar que 4x = . Para que exista el producto BC se tiene que verificar 2y = . La dimensin de ABC es 3x3

4-2 / lgebra Lineal

Problema 4 Si A y B son dos matrices cualesquiera, es correcta la siguiente cadena de igualdades?

22 BABBBAABAAB)(ABB)(AAB)B)(A(A =+=+=+

No es correcta. El producto de matrices no es conmutativo, por tanto AB no es igual que BA y no se pueden anular.

Problema 5

Dada la matriz

=

0110

A calcular 200A .

AIAAAAI1001

0110

0110

AAA 232 ====

=

== IAAAAAA 234 ====

=

paresnsiIimparesnsiA

An

Problema 6 Si A es una matriz de orden n tal que AA2 = e I es la matriz unidad de orden n, calcula

I2ABsiB2 = . IIA2A2A4IA2IAI2A4)IA2)(IA2(BBB 222 =+=+===

Problema 7

Resolver la siguiente ecuacin:

=

222

zyx

335111246

=

=

=

=++=+=+

=

++++

118z

119y

115x

2z3y3x52zyx2z2y4x6

222

z3y3x5zyxz2y4x6


Problema 8 Encontrar una matriz X que verifique X B A B2 = , siendo:

A1 2 11 3 10 0 2

y B1 0 12 2 20 0 6

=

=

X AB + B (A B) B2 2 03 5 30 0 8

1 0 12 2 20 0 6

6 4 213 10 250 0 48

2= = + =

=

Ojo! Hay que sacar factor comn por la derecha para que coincida con la expresin de partida, ya que en general el producto de matrices no es conmutativo.

Problema 9

Hallar la matriz del polinomio f(A) siendo f(x) x 3x I y A1 21 3

2= + =

Hay que calcular f A A A I( ) = +2 3

A A21 21 3

1 21 3

1 84 7

3 31 21 3

3 63 9

=

=

=

=

f A( ) =

+

=

1 84 7

3 63 9

1 00 1

3 21 1

Problema 10

a) Calcular An siendo Aa 10 1

con a R y n N*=

b) Comprobar quea 10 a

a na0 a

n n n 1

n

=

a A A Aa a a a

) 221

0 11

0 11

0 1= =

=

+

4-4 / lgebra Lineal

A A Aa a a a a a3 2

2 3 210 1

10 1

10 1

= = +

=

+ +

A A Aa a a a a a a a4 3

3 2 4 3 210 1

10 1

10 1

= = + +

=

+ + +

y por induccin se obtiene Aa a a an

n n n

= + + + +

1 2 10 1

b Para na

aa

aa

aa a

a) =

=

=

2

10

10

10

20

2 2

2

Para na

aa

aa

aa a

aa

aa a

a=

=

=

=

3

10

10

10

20

10

30

3 2 2

2

3 2

3

En generala

aa na

a

n n n

n

10 0

1

=

Problema 11

a) Calcular la potencia n simade la matriz A1 11 1

=

b) Calcular la potencia n simade la matriz A1 1 11 1 11 1 1

=

c) Calcular la potencia n simade la matriz A

1 1 11 1 1

1 1 1

=

LL

M M M ML

d) Calcular la potencia n simade la matriz Aa 1 a

1+a a =

e) Calcular la potencia n simade la matriz B1 1 10 1 10 0 1

=


a) Operando se tiene:

A A A A A A A A A A A2 3 2 2 21 11 1

1 11 1

2 22 2

2 2 2 2= =

=

= = = = =

A A A A A A A A A An nn n

n n4 3 2 2 2 2 3 1

1 1

1 12 2 2 2 2 22 22 2

= = = = = = =

b) Por induccin obtenemos:

A A A A21 1 11 1 11 1 1

1 1 11 1 11 1 1

3 3 33 3 33 3 3

3= =

=

=

A A A A A A A A3 2 2 23 3 3 3 3= = = = =

A An nn n n

n n n

n n n

= =

3

3 3 33 3 33 3 3

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

c) Por induccin obtenemos:

A A A n A2 = =

=

=

1 1 11 1 1

1 1 1

1 1 11 1 1

1 1 1

n n nn n n

n n n

LL

M M M ML

LL

M M M ML

LL

M M M ML

ya que 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = =LLL

6 744444 844444n vecesn n

A A A n A A n A n n A n A3 2 2 2= = = = =

ya que n n n n n n nn veces

+ + + + = =

1 1 1 1 2LLL6 744444 844444

A A A n An n n= = =

1 1

n n nn n n

n n n

n-1 n-1 n-1

n-1 n-1 n-1

n-1 n-1 n-1

LL

M M M ML

4-6 / lgebra Lineal

d) Por induccin obtenemos:

A A Aa a

a aa a

a aI2

11

11

1 00 1

= = +

+

=

=

A A A I A A A A A A A A I A A A I A A3 2 4 3 2 5 4= = = = = = = = = =

AA si n es imparI si n es par

n =

e) B B B21 1 10 1 10 0 1

1 1 10 1 10 0 1

1 2 30 1 20 0 1

= =

=

B B B3 21 2 30 1 20 0 1

1 1 10 1 10 0 1

1 3 60 1 30 0 1

= =

=

B B B4 31 3 60 1 30 0 1

1 1 10 1 10 0 1

1 4 100 1 40 0 1

= =

=

B B B5 41 4 100 1 40 0 1

1 1 10 1 10 0 1

1 5 150 1 50 0 1

= =

=

Conjeturamos Bn x

nn =

10 10 0 1

Para averiguar el elemento x observamos los valores que toma para n = 1 2 3, , ,......... y vemos

que son x = 1 3 6 10 15, , , , ,..... Para n x= =1 1 Para n x= = + =2 1 2 3 Para n x= = + + =3 1 2 3 6 Para n x= = + + + =4 1 2 3 4 10


Corresponden a la suma de los nmeros naturales, cuya frmula la obtenemos de la suma de los trmino de una progresin aritmtica donde a n n d y a nn1 1 1= = = =, , .

La suma de los trmino de una progresin aritmtica viene dada a travs de la frmula:

Sa a

n n n n nn= + = + = + 12

21

2 2B

n n n

nn =+

12

0 10 0 1

2

Problema 12

Tienen inversas las matrices A1 23 4

y B1 22 4

= =

Para que una matriz tenga inversa ha de ocurrir que tenga el mismo rango que el orden. La matriz A posee inversa ya que rg A( ) = 2, sin embargo la matriz B no tiene inversa ya que rg B( ) = 1, pues la segunda fila es igual a la primera multiplicada por 2.

Se puede hacer tambin haciendo Aa bc d

=

1 y viendo que A A I =1

Problema 13 a) Demuestra que si A 02 = , entonces A no tiene inversa. b) Demuestra que si A A y A I2 = , entonces A no tiene inversa. c) Demostrar que si A B A y B A B= = , entonces la matriz A cumple que A = A2 . d) Es posible que para dos matrices A y B no cuadradas pueda existir A B y B A? Ra-

zonar la respuesta. e) Hallar las matrices simtricas de orden 2 tales que A = A2 a) Supongamos que A tiene inversa, y sea A-1. Si I es la matriz unidad, entonces se tiene que:

A A-1 = I , y multiplicando por A a la izquierda los dos miembros de la igualdad anterior re-sulta:

4-8 / lgebra Lineal

A A A-1 = = = A I A A A I A A 2 1 10

y A sera la matriz nula, que no tiene inversa. Por tanto, si A2 0= , la matriz A no tiene in-versa.

b) Supongamos que la matriz A tuviera inversa A1. Entonces: A A A A A multiplicando a la izquierda por A A A A A A2 1 1 1= = = I A I A I = = . Como por hiptesis A I , no puede existir A1 y, por tanto, A no tiene

inversa. c) Se tiene:

A B A A B A A ya que B B AA A A ya que A B A

A A

= = = = = =2

d) Si las matrices son A y Bm,n p,q , deber ocurrir que: Para que pueda multiplicarse A B ha de ser n = p Para que pueda multiplicarse BA ha de ser m q= Por tanto, los nmeros de filas y columnas de B han de ser, respectivamente, los de columnas

y filas de A:

A B A Bm n n m m m, , , ( )=

B A B An m m n n n, , , ( )=

e) Matriz simtrica es aquella que coincide con su transpuesta. Sea a bb c

a bb c

a bb c

a b ab bcba cb b c

a bb c

a b aab bc bb c c

=

+ ++ +

=

+ =+ =+ =

2 2

2 2

2 2

2 2

En la segunda ecuacin obtenemos:

b a c b b a cbc a

( ) ( )+ = + = ==

1 001


Si b = 0 = = = ==

= = = ==

a a a a a aaa

c c c c c ccc

2 2

2 2

0 1 001

0 1 001

( )

( )

De la implicacin anterior se deducen los posibles valores que pueden tomar a, b y c.

Si b a y c A= = = = 0 0 0

0 00 0

,

Si b a y c A= = = = 0 0 1

0 00 1

,

Si b a y c A= = = = 0 1 0

1 00 0

,

Si b a y c A= = = = 0 1 1

1 00 1

,

Si c a= 1

Sustituyendo en la tercera tenemos: b a a b a a a2 2 2 21 1 1 2 1+ = + + = ( ) Esta ecuacin, junto con la primera forman un sistema que resuelto nos dar las soluciones:

a b ab a a a

2 2

2 21 2 1+ =

+ + =

Restando la segunda y la primera tenemos 1 2 1 2 = a a que una identidad. Es vlida para cualquier a. Por otra parte, si despe-jamos en la 1 la b, nos queda: b a a= 2 .

La matriz ha de ser, pues, de uno de estos dos tipos:

a a aa a a

o bien a a aa a a

2

2

2

21 1

con la condicin de que a a 2 0

4-10 / lgebra Lineal

Problema 14 Hallar directamente la matriz inversa de una matriz diagonal de orden 3 en la que los ele-mentos de la diagonal principal sean nmeros no nulos. Dos matrices son inversas cuando su producto es la matriz unidad. En este caso se tiene:

ab

c

x y zm n pu v w

0 00 00 0

1 0 00 1 00 0 1

=

siendo a, b y c distintos de cero. Operando se obtienen los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a x a y a zb m b n b pc u c v c w

= = == = == = =

1 0 00 1 00 0 1

A partir de aqu se obtiene inmediatamente la matriz inversa:

1 0 00 1 00 0 1

//

/

ab

c

El producto de esta matriz por la matriz diagonal debe de dar la matriz unidad, si el problema est bien resuelto.

ab

c

ab

c

0 00 00 0

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

=

//

/

Ntese que la matriz inversa de la matriz diagonal es una matriz cuyos elementos de la dia-gonal son los inversos de los de la diagonal de la matriz dada. Es evidente que para que exista matriz inversa todos los elementos de la diagonal deben ser dis-tintos de 0.


Problema 15

a) Haciendo uso del mtodo de Gauss, discutir el rango de la matriz B1 2 3 t2 4 6 83 6 9 12

=

segn los valores del parmetro t.

b) Lo mismo que en el apartado anterior para la matriz B

1 1 1 2a 1 1 11 1 3 34 2 0 a

=

segn los

valores del parmetro a. a) Pasaremos esta matriz, por reduccin, a una matriz escalonada.

1 2 32 4 6 83 6 9 12

1 2 30 0 0 8 20 0 0 12 3

1 2 30 0 0 8 2

2 2 13 3 1

23

t ttt

tt

F F FF F F

=

=

= =

ya que la segunda y tercera fila son siempre proporcionales F F3 23 2= / Si t = 4 el rango de la matriz es 1. Si t 4 el rango de la matriz es 2.

b) C CC C

F F FF F F

3 11 3

3 3 24 4 3

10 3

30

03

== = += + = =

1 1 21 1 a 13 1 1 30 2 4 a

1 1 1 22 a +1

0 2 40 2 4 a

1 1 1 22 a +1 3

0 0 a + 30 0 0 a 3

F F FF F F

2 2 13 3 1

Ahora es muy fcil ver el rango de esta matriz. Si a rg BSi a rg B

= = =

3 23 4

( )( )

Problema 16 a) Demostrar que toda matriz cuadrada M se puede descomponer como suma de una ma-

triz simtrica y otra antisimtrica.


b) Aplicarlo a la matriz A1 23 4

=

a) Sabemos que: M S T= + , siendo S la matriz simtrica y T la antisimtrica..

Tomando transpuestas en los dos miembros obtenemos: M S T S Tt t t t= + = +( ) . Como S S y T Tt t= = se tiene:

M S TM S T

Sumando las ones S M M S M M

las dos ecuaciones T M M T M Mt

tt

tt

= +=

= + = +

= =

dos ecuaci

Restando

22

22

Por tanto, acabamos de obtener las matrices S y T en que se puede descomponer toda matriz cuadrada M.

b)

S = +

=

=

12

1 23 4

1 32 4

12

2 55 8

1 5 25 2 4

//

T =

=

=

12

1 23 4

1 32 4

12

0 11 0

0 1 21 2 0

//

Problema 17

Hallar todas las matrices A que satisfacen0 10 2

A0 0 10 0 2

=

Tenemos que ( , ) ( , ) ( , ), ( , )2 2 2 2 3 2 3x lo que significa que la matriz A tiene de dimensin= , es decir:

0 10 2 2 2 2

0 0 10 0 2

001

=

=

===

x y zr s t

r s tr s t

rst

Luego, las matrices A pedidas son los elementos del conjunto:


Cx y z

con x y z R=

0 0 1

, ,

Problema 18 Demostrar, para las matrices de orden 2 las siguientes reglas de la transposicin de matri-ces. 1 La traspuesta de la traspuesta de la matriz A es la propia matriz A. 2 La traspuesta de la suma de dos matrices es la suma de las traspuestas de cada una de

ellas. 3 La traspuesta de la matriz k A es igual a k At 4 La traspuesta de la matriz producto A B es igual al producto de las traspuestas inver-

tido el orden; es decir: (A B) B At t t= Sean A y B las siguientes matrices:

Aa aa a

=

11 12

21 22

Bb bb b

=

11 12

21 22

( )a A a aa a a aa a a aa at tt t t

) =

=

=

11 12

21 22

11 21

12 22

11 12

21 22

( )b A B a aa a

b bb b

a b a ba b a b

a b a ba b a b

tt t

) + = +

=

+ ++ +

=

+ ++ +

=

11 12

21 22

11 12

21 22

11 11 12 12

21 21 22 22

11 11 21 21

12 12 22 22

a aa a

b bb b

A Bt t11 2112 22

11 21

12 22

+

= +

c k A ka aa a

k a k ak a k a

k a k ak a k a

ka aa a

k Att t

t) ( ) =

=

=

=

=

11 12

21 22

11 12

21 22

11 21

12 22

11 21

12 22


d A Ba aa a

b bb b

a b a b a b a ba b a b a b a b

t

t t

) ( ) =

=

+ ++ +

=

11 12

21 22

11 12

21 22

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

a b a b a b a ba b a b a b a b

b bb b

a aa a

B At t11 11 12 21 21 11 22 2111 12 12 22 21 12 22 22

11 21

12 22

11 21

12 22

+ ++ +

=

=

Problema 19

Resolver la ecuacin matricial: 1 13 2

xy

1 xy 1

32

=

x yx y

xy

x y xx y y

x yy y y

+

=

+

= ++ =

= + =

3 23 23 2

3 23 2 3 2

39 3 2 3 2

y y x= = 74

54

Problema 20

Calcular el rango de la siguiente matriz:

2 1 5 1 81 2 3 4 5

3 1 4 5 11 3 10 13 11

Hay que calcular el rango de una matriz, es decir, el nmero de filas linealmente independientes.

=

=

+=+=

==+=

==

244233

144133

122

1441

FFFF2FF

F2FFF3FF

FFF

FFFF

14271550323426100

1617135011131031

815121541354321

11131031


1 3 10 13 110 5 13 17 160 0 0 0 00 0 2 10 2

1 3 10 13 110 5 13 17 160 0 2 10 20 0 0 0 0

3 44 3

=

==F FF F

Las tres primeras filas son linealmente independientes y la cuarta depende de ellas. El rango es 3.

Problema 21 Un supermercado trabaja con dos marcas de conservas, A y B, y de ellas vende latas de sardinas en aceite (M), bonito (N) y berberechos (O). El nmero de latas vendidas diaria-mente viene dado por la matriz:

Sabiendo que el supermercado cierra los sbados por la tarde y que la venta de la maana es la mitad de la venta diaria, cuntas latas se venden en una semana? De los 6 das, de lunes a sbado, se trabaja cinco y medio, por tanto tenemos:

548 62 3030 84 26

0' 548 62 3030 84 26

240 310 150150 420 130

24 31 1515 42 13

264 341 165165 462 143

+

=

+

=

Problema 22 Los precios de las tarifas areas entre 4 ciudades, A, B, C y D, expresadas en miles de pese-tas, vienen dados por la siguiente matriz:

Pasado un ao, los precios aumentan un 8%. Al ao siguiente, por el contrario, sufren una disminucin del 3%. Hallar las dos nuevas matrices de tarifas. Ambos procesos, equivalen a un aumento del 5% en el segundo ao?


A B A=

= =

0 5' 25 12' 5 8' 355' 25 0 8' 55 4' 312' 5 8' 55 0 6' 48' 35 4' 3 6' 4 0

0 5' 67 13' 5 9' 0185' 67 0 9' 234 4' 64413' 5 9' 234 0 6' 9129' 018 4' 644 6' 912 0

108'

C B= =

0 97'

0 5' 499 13' 095 8' 74745' 4999 0 8' 9569 4' 504613' 095 8' 9569 0 6' 70468' 7474 4' 5046 6' 7046 0

No corresponde a un aumento del 5%

Problema 23 Un constructor hace una urbanizacin con tres tipos de viviendas: S (sencillas), N (norma-les) y L (lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y una pequea. Cada vivienda de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeas. Y cada vivien-da de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeas. Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras; cada ventana mediana tiene 2 cristales y 4 bisagras; y cada ventana pequea tiene 1 cristal y 2 bisagras. a) Escribir una matriz que describa el nmero y tamao de ventanas en cada tipo de vi-

vienda y otra matriz que exprese el nmero de cristales y el nmero de bisagras de cada tipo de ventana.

b) Calcular una matriz que exprese el nmero de cristales y de bisagras necesario en cada

tipo de vivienda.

a)

b) La matriz pedida es A B =

=

1 7 12 9 24 10 3

4 82 41 2

19 3828 5639 78


Problema 24

a) Escribe la matriz ( )a ij 3,4 que cumple: a 0 si i ja 1 si i ja 1 si i j

ij

ij

ij

= ==

b) Escribe la matriz ( )a ij 2,3 con a i jij = .

a) La matriz buscada es aquella en la que los elementos de la diagonal principal son todos 0, los

que estn debajo de la diagonal principal son todos 1 y los que estn por encima son todos 1.

0 1 1 11 0 1 11 1 0 1

b) Los elementos se obtienen restando la fila de la columna a la que pertenezca el elemento.

0 1 21 0 1

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Problemas Resueltos Sobre Matrices