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EJERCICIOS RESUELTOS

TEMA 2. CARGA Y DESCARGA DEL CONDENSADOR

1. Resolver los siguientes ejercicios a partir de las Figuras 1 y 2 siguientes:

a) En el circuito paralelo de la figura 1 determinar la potencia disipada por la resistencia y

la potencia entregada por los generadores. b) En el circuito serie de la figura 2 determinar la potencia disipada por la resistencia y la

potencia entregada por los generadores. c) Si en el circuito serie de la figura 2 se conecta un condensador de capacidad C= 1F,

inicialmente descargado, en paralelo con el generador de corriente, determinar la tensin que alcanza dicho condensador en un tiempo de 30 s.

d) Si en el circuito serie de la figura 2 se sustituye la resistencia por un condensador de capacidad C= 1F, inicialmente descargado, determinar la tensin que alcanza dicho condensador en un tiempo de 30 s.

a)

2 2

20,4

50,4 1 0,6

0,4 5 0,8

2 0,6 2 1 0,8

g

V g

R

G V I

VI A

RI I I A

P I R W

P P P W

b)

1

2 2

1

2 1 5 3

1 5 5

2 1 3 1 5

g

g

R

G V I

I I A

V V I R V

P I R W

P P P W

c) Obtenemos el equivalente de Thvenin en extremos del generador de corriente:

R=5

Ig=1A Vg=2V

Figura 1

R=5

Ig=1A

Vg=2V

Figura 2

R=5

Ig=1A Vg=2V

I I-Ig

R=5

Ig=1A

Vg=2V

I

V1

2

5

2 1 5 3

Th AB

Th AB

R R R

V V V

5 1 5 ThR C s

En un tiempo de t= 30 s > 5= 25 s C se carga

completamente a 3 C ThV V V .

d) El condensador se carga a corriente constante

I= Ig= 1 A, y su voltaje en t= 30 s, vale:

30 30

0 01

301

CC

I dt dtqV V

C C

R=5

Ig=1A Vg=2V

A

B

RTh=5

C=1F

VTh=3V

A

B

Ig=1A

C=1F

Vg=2V

A

B

I

3

2. En el circuito de la figura se cierra el interruptor S en t=0.

Suponiendo el condensador inicialmente descargado, calcular el valor de la tensin en el

condensador en t= 20 ms.

En el tema 1 vimos cmo obtener el equivalente de Thvenin. Es fcil comprobar que en este

caso el equivalente de Thvenin entre A y B est formado por un generador de tensin VTH=50

V en serie con una resistencia RTH=12 .

VC(t) = VCF + (VCI VCF) e-t

VCI = 0; VCF = VTH = 50 V

= RTHC = 12 10 10-3 F = 120 10-3 s = 120 ms

VC(20 ms) = 50 + (050) e20/120 = 7,67 V

VC(t)C

RTH

VTH

A

B

10mF

A

B

5 A

35 V

12

S

10 V

10

30

4

3. Se tiene el siguiente circuito RC, con R = 50 k, V = 5 V:

a) Cul es la capacidad de C si tarda 0,5205 s en alcanzar el 50% de su carga total? Suponer

el condensador inicialmente descargado.

b) Indicar el tiempo necesario para que el condensador se cargue aproximadamente al 63%

y al 99% de su carga total cuando su capacidad C = 100 F.

c) Si en el circuito anterior se coloca una resistencia R1 = 20 k en serie con el resistor R y

un condensador C1 en paralelo con el condensador C (asumiendo que C = 15 F), indicar

el/los posibles valores de C1 para que la constante de tiempo del circuito modificado sea

= 7 s.

a) Llamamos T = 0,5205 s al tiempo necesario para que C se cargue al 50%. Entonces, si la carga

inicial QI =0, la carga en el tiempo T es Q(T)=0,5QF. Por lo tanto:

Q(T) = QF(1et/RC) 0,5QF = QF(1eT/RC) eT/RC = 0,5 T = RCln(0,5)

C = T/[Rln(0,5)] = 0,5205 s/{50103 (0,693)} C = 15 F

b) Por definicin de constante de tiempo :

Q() 0,63 QF = RC = 50103 100106 F = 5 s

Q(5) 0,99 QF 5 = 5 RC = 25 s

c) La resistencia equivalente es Req = R+R1 y la capacidad equivalente es Ceq = C+C1. La nueva

constante de tiempo ser:

= ReqCeq = 7 s = (R+R1)(C+C1)

C1 = [/(R+R1)]C = 7 s/(50000 +20000 )15106 F

C1 = 85106 F = 85 F

+

i(t)

C

vR(t)R

vC(t)

V

5

4. En el circuito de la figura, los condensadores estn inicialmente descargados y el interruptor S abierto. Se pide: a) Cul es la d.d.p. entre a y b con S abierto en rgimen permanente? b) Si el interruptor se cierra en t= 0 despus de permanecer abierto un tiempo muy largo,

cul es el potencial del punto x en t= 1 ms?

a) Los condensadores C1= 1 F y C2= 2 F de cada rama estn en serie y su capacidad equivalente es:

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 1 1 2 3

s

C C F FC F

C C F F

C C

Entonces la carga del condensador equivalente sometido a 150 V en rgimen permanente ser:

2

150 1003

sQ C V F V C ,

que es la misma carga de los condensadores C1 y C2 de la serie (ya que, en una conexin de

condensadores en serie, todos tienen la misma carga). Podemos entonces obtener las tensiones

Va y Vb que corresponden a las tensiones de los condensadores de abajo:

1 2

100 100100 50

1 2 a b

Q QV V V V

C C,

y la d.d.p. (diferencia de potencial) Vab que se pide es:

100 50 50 ab a bV V V V

b) Los condensadores C1= 1 F y C2= 2 F tanto de la parte superior como de la inferior estn en paralelo, siendo en cada caso la capacidad equivalente Cp= C1 + C2= 3 F, y la capacidad equivalente del conjunto ser:

1,52

p p p

T

p p

C C CC F

C C

En el instante t= 0 en el que se cierra el interruptor cambia instantneamente la tensin del

condensador equivalente, pues ste modifica su valor de 4/3 F (Cs + Cs) a 1,5 F,

permaneciendo constante la carga neta ya que no puede cambiar en un tiempo cero (fijmonos

R=1K

E=150V +

C2=2F

S

C1=1F

C1=1F

C2=2F

a b

x

6

que hay una resistencia en el circuito y la corriente queda siempre limitada a un valor finito).

Dicha carga se determina como la que se observa desde el punto x del circuito en el apartado

anterior:

2 200 TQ Q F

Y, por tanto, el voltaje inicial Vi del condensador equivalente CT vale:

400

3 Ti

T

QV V

C

El condensador CT se carga hasta E= Vf= 150 V con una constante de tiempo:

1 1,5 1,5 TR C k F ms

Por lo tanto, el potencial que se pide es:

1

1,5400( ) 150 150 141,43

t

x f i fV V V V e e V

7

5. La seal rectangular vi(t) de la figura, donde A1=8 V, A2=-4 V, T1=4 ms y T=6 ms, se aplica a la entrada de un circuito RC serie. Suponiendo alcanzados los valores finales de continua en el circuito, representar vC(t) y vR(t): a) Para RC>> T. b) Para RC

8

6. A un circuito RC integrador con R=1 k y C=1 F, se le aplica a la entrada una seal cuadrada entre 0 y 5 voltios de tensin y de frecuencia 1 kHz. Suponiendo que el flanco de subida del primer impulso coincide con t=0, se pide:

a) Representar el circuito y su seal de entrada. b) Si el condensador del circuito integrador inicialmente se encuentra descargado,

determinar el valor de la salida en t=0,8 ms.

c) Representar la seal de la salida en rgimen permanente. d) Obtener los valores de pico superior V1 e inferior V2 en rgimen permanente. e) Supuestos conocidos los valores V1 y V2, obtener la componente continua de la salida en

rgimen permanente.

a)

3 6 3

3

3

10 10 10 1 ,

1 110 1 ,

10

5 .

RC s ms

T s msf

V V

b)

( ) ( )

t

o of oi ofV t V V V e , siendo Vof= Vo(t) y Voi= Vo(t= 0).

Para 0 t 0,5 ms Vof= 5V, Voi= 0:

/11

0,5

( ) 5 (0 5) 5 1

( 0,5) 5 1 1,967 .

tt

o

a o

V t e e

V V t e V

Para 0,5 t 1 ms Vof= 0 , Voi= 1,967V:

( 0,5)( 0,5)1

(0,8 0,5)

( ) 0 (1,967 0) 1,967

( 0,8) 1,967 1,457 .

tt

o

b o

V t e e

V V t e V

vi

R

vo C

vi

V

t

V/2

T/2 T

vo(V)

5

t(ms)

2,5 Va Vb

0,5 1 1,5 0,8 0

9

c)

d)

( )

t

o of oi ofV t V V V e , siendo Vof= Vo(t ), y Voi= Vo(t= 0).

En el intervalo 0 t 0,5ms, se tiene: Vof= 5, y Voi= V2. Entonces, queda:

1

2

0,52 1

( ) 5 ( 5)

( 0,5) 5 ( 5) . (1)

t

o

o

V t V e

V t V e V

En el intervalo 0,5 t 1ms, se tiene: Vof= 0, y Voi= V1. Entonces, queda:

( 0,5)( 0,5)1

1 1

0,51 2

( ) 0 ( 0)

( 1) . (2)

tt

o

o

V t V e V e

V t V e V

De (1) y (2) se obtiene: V1= 3,11 V y V2= 1,89 V.

e) En rgimen permanente el condensador se habr cargado con la componente continua

(valor medio) de la tensin de entrada, es decir, 2,5V. Se puede demostrar resolviendo la integral:

2 ( )

2

( ) 2 1

02

1( )

TTT tt

o medio

T

V V V V e dt V e dtT

.

vi(V)

5

t(ms)

2,5

vo(V)

5

t(ms)

2,5

=T V1

0,5 1

V2

V1

V2

0,5 1

10

7. El circuito de la figura se encuentra en rgimen permanente con el conmutador S en la posicin 1. Si en el instante t= 0 se pasa S a la posicin 2, se pide determinar y dibujar: a) Expresin instantnea de la tensin Vc(t) y obtener valores en t= 1, 2 y 3 ms. b) Expresin instantnea de la corriente ic(t) y obtener valores en t= 1, 2 y 3 ms.

Si en t= 3 ms el conmutador S se pasa de nuevo a la posicin 1, determinar y dibujar:

c) Expresin instantnea de la tensin Vc(t) para t 3 ms y obtener valores en t= 4, 5, y 6 ms.

d) Expresin instantnea de la corriente ic(t) para t 3 ms y obtener valores en t= 4, 5, y 6 ms.

a)

1

31 1

1

2

3

0 10 10 1

( ) ( ) 10 10 ( en )

( 1 ) 10 10 6,32

( 2 ) 10 10 8,65

( 3 ) 10 10 9,50

Ci Cf

tt

C Cf Ci Cf

C

C

C

V V V R C s ms

v t V V V e e t ms

v t ms e V

v t ms e V

v t ms e V

b) 1. Primer mtodo: aplicando reglas de Kirchhoff

1

1

2

3

10 (10 10 ) 10 ( )

( 1 ) 10 3,68

( 2 ) 10 1,35

( 3 ) 10 0,50

t tG CC

C

C

C

E vi e e mA

R

i t ms e mA

i t ms e mA

i t ms e mA

2. Segundo mtodo: usando la derivada

3 36 /10 6 /10

3

( ) 1( ) 10 (10 10 ) 10 10 10 ( )

10

t t tCC

dv t di t C e e e mA

dt dt

3. Tercer mtodo: usando la ecuacin general de carga

1 /1( ) ( ) 0 (10 0) 10 ( )

t

t tC Cf Ci Cfi t I I I e e e mA

c)

iC(t) R1= 1 k

vC(t)

C= 1 F

EG= 10 V

+

2

1

S

R2= 2 k

t(ms)

V C (V)

10

1

2 3 0

t(ms)

i C (mA)

10

1

2 3 0

11

2

32 2

( 3) ( 3)2

12

1

32

9,50 0 2.10 2

( 3 ) ( ) 9,5

( 4 ) 9,5 5,76

( 5 ) 9,5 3,50

( 6 ) 9,5 2,12

Ci Cf

t t

C Cf Ci Cf

C

C

C

V V V R C s ms

v t ms V V V e e

v t ms e V

v t ms e V

v t ms e V

d)

( 3)/2

2

1/2

1

3/2

9,5( )

2

9,5( 4 ) 2,88

29,5

( 5 ) 1,752

9,5( 6 ) 1,06

2

tCC

C

C

C

vi e mA

R

i t ms e mA

i t ms e mA

i t ms e mA

t(ms)

v C (V)

9,5

4

5 6 3

t(ms)

i C (mA)

-9,5/2

4

5 6 3

12

8. Un generador de impulsos de frecuencia 10 kHz aplica la seal a una carga R= 1 k a travs de un interruptor S que se cierra en el instante t= 0 y un condensador C= 100 nF, segn el circuito de la figura. Suponiendo el condensador C inicialmente descargado y la seal del generador la representada en la figura de la derecha, determinar: a) Evolucin de la salida vo(t) para 0 t 150 s. b) Forma de onda de la salida vo(t) para t > 1 s, indicando los valores ms significativos.

a)

= RC= 1k100nF= 100 s

Podemos aplicar que la tensin en la resistencia: ( ) ( )

t

o of oi ofV t V V V e

Para 0 t < 20 s, Voi= Vg= 10 V y Vof= 0 ( ) 0 (10 0) 10

t t

oV t e e

20100( 20 ) 10 8,19

oV t s e V

Para 20 s t < 100 s, Voi= -Vci= -(10- 8,19)= -1,81 V y Vof= 0 ( 20)

( ) 1,81

t

oV t e

(100 20)100( 100 ) 1,81 0,81

oV t s e V

Para 100 s t < 120 s, Voi= -0,81 + 10= 9,19 V y Vof= 0 ( 100)

( ) 9,19

t

oV t e

(120 100)100( 120 ) 9,19 7,52

oV t s e V

Para 120 s t 150 s, Voi= 7,52 - 10= -2,48 V y Vof= 0 ( 120)

( ) 2,48

t

oV t e

(150 120)100( 150 ) 2,48 1,84

oV t s e V

Vg(t) volt.

t(s)

10V

20 100 0 120 200 220

Vo(t) volt.

t(s)

10V

20 100 0 120 200 220

8,18V

-1,81V -0,81V

9,19V

-2,48V

7,52V

Vg R

Vo C

VC

13

b) Para t= 1 s > 5= 500 s, Vo(t) ha alcanzado su valor final cero de continua. Tomando origen

de tiempos en t= 1 s, se tiene:

Para 0 t < 20 s, Voi= V1 y Vof= 0 1( )

t

oV t V e

200,2100

2 1 1 2 2( 20 ) (1) ; ( 20 ) ' 10 (2)

o oV t s V V e V e V t s V V

Para 20 s t < 100 s, Voi= V2 y Vof= 0 ( 20)

2( ) '

t

oV t V e

(100 20)0,8100

1 2 2 1 1( 100 ) ' ' ' (3) ; ( 100 ) ' 10 (4)

o oV t s V V e V e V t s V V

De (2), (3) y (4) se obtiene 0,81 210 10 V V e , y sustituyendo en (1):

0,8 0,22 2 22 2

0,81 2

1 1

10 ( 10) 7,13

' 10 2,87

' ' 1,29

' 10 8,71

V V e e V V

V V V

V V e V

V V V

Vo(t) volt.

t(s)

10V

20 100 0 120 200 220

V1

V1

V2

V2 V2

V2

V1

V1

V1 V2

V2