Problemas Resueltos Transferencia de Calor Primer Parcial Parte a v10may2015

CURSO DE TRANSFERENCIA DE CALOR Semestre UNET 2015-1

OPYRIGHT © Ing. Hender Ali Escalante MSc. UNET-MAYO 2015 1

PROBLEMA No 1.

La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de calentamiento delgado

de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente este elemento, se

aplica un flujo de calor uniforme en la superficie interna. Considere una ventana de vidrio (K= 1,4

W/mK) de 4 mm de espesor. La temperatura del aire interior y el coeficiente de convección son 25

ºC y 10 W/m2K, mientras la temperatura del aire exterior (ambiente) y el coeficiente de convección

son -10 ºC y 65 W/m2K. Considere una emisividad del vidrio de 0,95 y una temperatura de los

alrededores de -10 ºC, sólo para la radiación neta de la superficie exterior del vidrio. La resistencia

térmica de contacto entre el calentador y el vidrio es de 1*10-4 m2K/W.

a. Elabore el circuito térmico correspondiente, indicando apropiadamente las resistencias

térmicas, los flujos de calor y las temperaturas.

b. Determine la potencia eléctrica que se requiere por unidad de área de la ventana para

mantener una temperatura en la superficie interna de 15 ºC.

1.2. REPRESENTACIÓN DEL PROBLEMA

1.3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA:

1. Flujo de calor: Equivalencia por circuitos térmicos th

Tq ''

R

Rconv,e

T s

T int

T ext T sup,i

R conv,i

R rad

R cont R cond c q''

a q'' b q''

¨Rad q

¨Conv,ext q

PROBLEMAS RESUELTOS: Tema No 3. Conducción de calor en estado estable, con/sin generación de calor.

COPYRIGHT © Ing. Hender Ali Escalante MSc. UNET-MAYO 2015 2

2. Resistencia térmicas; conducción, convección y radiación:

conv radcond 2 2s s alralr

L 1 1R R R

AK hA Aεσ( )( )T T T T

3. Balance de energia

para el Nodo 1 ba c q 0q '' q '' para el nodo 2: b Rad Con,Eq q q 0

1.4. SIMPLIFICACIONES

1. Flujo estacionario de calor. El vidrio se considera un material isotrópico, y sus propiedades son

independientes de la temperatura.

2. Resistencia térmica asociada al calentador insignificante.

3. Temperaturas conocidas: Tint= 298 K, Text = 263 K, Tsup,i = 288 K, Coeficientes convectivos:

hconv,i = 10 W/m2K, hconv,e = 65 W/m2K, Emisividad del vidrio: ε = 0,9. Se realizan los cálculos

para un área de 1 m2.

1.5. ANÁLISIS ALGEBRAICO Y SUSTITUCIÓN NUMÉRICA

1. Obteniendo el flujo de calor en la rama A, mediante circuito térmico:

int sup,iconv,i int sup,ia

th

conv,i

2

2

T TT*q '' A * h T T

1R

Ah

W1m *10 * 298K 288K 100W

Km

2. Por balance de energía en el nodo 2 b Rad Con,Eq q q 0 , mediante circuito térmico:

sup,i s s sb 3 22

4th 32cont2*

b 2

T T 288K 288KT T Tq ''

L Km KR 4*10 mmR 2,9572*101m *10AK W WW1m 1,4

mK

W338,1642 (288K Ts)q ''

km

3. Expresando el flujo de calor en la rama B, en las resistencias térmicas en paralelo:

4 4s conv,e s extextb conv,e rad

2 244s sb 2 4 2

A ( ) A ( )q '' q '' q '' T T h T T

W W81m *0,95* *( ) 1m *65 *( 263K)q '' (263K)5,67 *10 T TKm K m



4. Resolviendo las ecuaciones para el flujo del calor en la rama B:

s 283,7425KT b 2

W1439,7343q ''

m

5. Aplicando la relación entre los flujos de calor: c b aq '' q '' q ''

c c2 2 2

W W W1439,7343 100 1339,7343q '' q ''

m m m

1.5 Reporte de respuestas:

La potencia eléctrica requerida por unidad de área para garantizar una temperatura en la superficie

interna del vidrio de 15ºC es de 1339,7343 W/m2K.

PROBLEMA No 2.

Una pared plana de 4 cm de espesor tiene una conductividad térmica de 20 W/mK. Un calentador

de película de espesor despreciable que genera un flujo de calor de 16 kW/m2, se encuentra

colocado entre la pared y una capa de aislante. El aislante tiene 1 cm de espesor y una conductividad

térmica de 0,1 W/mK. El lado opuesto de la pared ésta en contacto con agua a 40ºC, siendo el

coeficiente convectivo entre el agua y la pared de 150 W/m2K. Del lado del aislante hay aire

ambiente y alrededores, ambos a 20 ºC, siendo el coeficiente convectivo del lado del aire de 10

W/m2Ky la emisividad superficial del aislante de 0,9. Considere una resistencia térmica de contacto

calentador-aislante y calentador-pared de 1*10-4 m2K/W. Elabore el circuito térmico del sistema

descrito. Temperatura del calentador. Flujo de calor que recibe el agua, en KW/m2.


Ta Tx

1. Tb

Tc

Rconv,pared

Rrad

Rcont Rcond, pared Rcont Rcond,aisl Rconv,aisl cq ''

aq ''bq ''



2.2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA


Tq ''

R



L 1 1R R R


3. Balance de energa

para el Nodo 1 ba c q 0q '' q '' para el nodo 2: b Rad Con,Eq q q 0


1. Condiciones estables de operación. Los materiales involucrados se consideran isotópicos,

además se considera que sus propiedades son independientes de la temperatura.

2. Resistencia térmica asociada al calentador despreciable. El flujo de calor generador por el

calentador es uniforme sobre toda la superficie.

3. La resistencia de contacto entre pared-calentador y aislante-calentador es constante y uniforme

sobre toda la superficie.

4. Temperaturas conocidas: Ta = 313 K, Tb = 293 K. Coeficientes convectivos: hconv,pared = 150

W/m2K, hconv,aisl = 10 W/m2K, Emisividad superficial del aislante: ε = 0,90


1. Expresando el flujo de calor en la rama B, mediante circuito térmico:

c x c xb 2

th cond,aisl cont 4

T T T T Tq ''

0,01m KR R R m1*10

W W0,1

mK

c x c xb 2 2 2

4

T T T Tq ''

K K Km m m0,1 0,10011*10

W W W

2. Expresando el flujo de calor en la rama B, en las resistencias térmicas en paralelo:

4 4x b xb b

h( ) ( )q '' T T T T

44x xb 2 4 2

W W80,90* *( ) 10 *( 293K)q '' (293K)5,67*10 T TKm K m



3. Expresando el flujo de calor en la rama A, mediante circuito térmico:

c a ca 2

th cond,pared cont conv,pared 4

2

T 313KT T Tq ''

0,04m K 1R R R R m1*10

W WW20 150

mK Km

ca 2

3

313KTq ''

Km8,7667*10

W

4. Aplicando la relación entre los flujos de calor:

c a bq '' q '' q ''

3a b2

Wq'' q ''16*10

m

5. Resolviendo simultáneamente las ecuaciones planteadas se obtiene:

a 2

W15047,7797q ''

m b 2

W952,2203q ''

m

c 444,919KT x 349,602KT

2.5. REPORTE DE RESPUESTAS

La temperatura del calentador es de 444,919 K.

El flujo de calor que recibe el agua es de 15,047 kW/m2.

PROBLEMA No 3.

Por el interior de una tubería de acero inoxidable (k = 15 W/mK) de 50 mm de diámetro interno y

3 mm de espesor, circula un refrigerante a -15ºC. La tubería se encuentra sumergida en agua a 3ºC.

Si los coeficientes convectivos interior y exterior son de 100 y 50 W/m2K, respectivamente.

Determine: Temperatura superficial externa de la tubería y el calor cedido por el agua, por unidad

de longitud de la tubería. Sabiendo que el agua solidifica a temperatura igual o inferior a los 0ºC,

determine el espesor del hielo que se formará en la superficie externa. Cuantifique el efecto de esta

capa de hielo sobre la transferencia de calor. Use una conductividad térmica para el hielo de 2

W/mK.



ro

To

To Th


q '

q '



Tq ''

R


e

iconv

rLn

r 1R A 2πRLR

2πKL hA


1. Condiciones estables de operación. 2. Los materiales (hielo y acero) se consideran isotrópicos,

ri ro

Ti, hi

To, ho

Rconv,i Rconv,o Rcond

Ti Ts,i Ts,o

Acero

Hielo

ro

ri

Ti, hi

To, ho

Acero

Hielo

Ti Ts,i Ts,o

rh

Rconv,i Rconv,o Rcond,acero Rcond,hielo



además se considera que sus propiedades son independientes de la temperatura. El flujo de

calor que recibe el refrigerante es uniforme y constante.

2. Temperaturas conocidas: Ti = 258 K, To = 276 K, Th = 273 K. Coeficientes convectivos

conocidos: hi = 100 W/m2K, ho = 50 W/m2K.


1. Obteniendo el calor por unidad de longitud (L=1m), mediante el circuito térmico I:

o i

th conv,i cond conv,o

T T Tq '

R R R R

2 2

276K 258Kq

1 ln 28mm / 25mm 1

W W W100 * 2 *0,025m *1m 2 *15 *1m 50 * 2 *0,028m *1m

mKK Km m

q ' 100,814W

2. Obteniendo la temperatura superficial externa, mediante circuito térmico I:

o s,o s,o

th conv,o

2

276KT T TT100,814Wq '

1R RW

50 * 2 *0,028m *1mKm

s,o 264,539KT

3. Considerando la solidificación del agua a Th=0ºC, mediante circuito térmico II:

o h h i

th conv,o conv,i cond,acero cond,hielo

h

h2 2

h

T T T T Tq '

R R R R R

276K 273K 273K 258K

1 ln r / 28mm1 ln 28mm / 25mmW W W W50 * 2 * r *1m 100 * 2 *0,025m *1m 2 *15 *1m 2 * 2 *1m

K mK mKm Km

q ' 45,988W 0,0488m 48,8mm EspesorHielo 2r

0,8mm


La temperatura superficial externa de la tubería es de 264,539 K y el calor cedido por el agua es

de 100,814 W/m.

Considerando la solidificación del agua a 0ºC; el calor cedido por el agua es de 45,988 W/m y

el radio externo de la capa de hielo que se forma es de 0,0488 m.



T5

5 cm

5 cm

10 cm

10 cm

T4

PROBLEMA No 4.

Se construye una pared compuesta de aluminio (k = 177 W/mK) de 1,27 cm de espesor, corcho (k

= 0,039 W/mK) de 1,27 cm de espesor y plástico (k = 2,25 W/mK) de 0,33 cm de espesor. Para

fijar el aluminio al corcho y al plástico, se usan remaches de aluminio de 0,5 cm de diámetro, en

un arreglo cuadrado, con distancia entre centros de 10 cm (ver figura). La pared compuesta se

expone al aire a 163ºC, del lado del aluminio, con un coeficiente convectivo de 340 W/m2K, y a

aire a 16ºC del lado del plástico, con un coeficiente convectivo de 34 W/m2K.

a. Dibuje el circuito térmico y represente las resistencias térmicas, temperaturas y flujos de

calor. Determine el flujo de calor por unidad de área de la pared compuesta.

b. Calcule las temperaturas en las superficies expuestas al aire, tanto del aluminio, como del

plástico, y en las interfases entre la pared de aluminio y la de corcho-remaches.

Aluminio Corcho Plástico

Remaches Remaches

Vista del área de transferencia de calor


aQ

tQ

T1 T2 T3

T4

T∞1 T1 T2

T3

T5

T∞2

Rconv,1

Rconv,2

Rconv,2

Rcond,1

Rcond,2 Rcond,3

Rcond,4

bQ





Tq ''

R



L 1 1R R R


3. Balance de energía t a bQ Q Q 0


1. Condiciones estables de operación. Materiales isotrópicos (aluminio, corcho y plástico),

además se considera que sus propiedades son independientes de la temperatura..

2. Resistencias térmicas de contacto despreciables. La pared es de 1 m2 (1m x 1m).

3. Temperaturas conocidas: T∞1 = 436 K, T∞2 = 289 K. Coeficientes convectivos conocidos: h1 =

340 W/m2K, h2 = 34 W/m2K.


1. Cálculo del área de transferencia de calor para los pernos de aluminio:

2 32 2

pernos pernos perno pernos pernos* * 100pernos* 0,005m 1,964*10A # A # D A m4 4

2. Cálculo de las áreas de transferencia de calor para el corcho y el plástico:

3 2 22s,pernos total pernos s,pernos 0,998036A A A m A m1 1,964*10m

3. Expresando el flujo de calor total, mediante circuito térmico entre T∞1 y T2:

1 2 2 2t

3th conv,1 cond,1

2 22

436K 436KT T T T TQ

1 0,0127m KR R R 3,0129*10W W W

340 *1 177 *1m mK Km m

4. Expresando el flujo de calor en la rama A, mediante circuito térmico entre T2 y T∞2:

2 2 2 2a

plásticoth cond,2 cond,3 conv,2 corcho

corcho s,pernos plástico s,pernos 2 s,pernos

T T T T TQ

L 1R R R R L

* * *k A k A h A



2 2a

2 2 22

289K 289KT TQ

0,0127m 0,0033m 1 K0,3572

W W W W0,039 *0,998036 2,25 *0,998036 34 *0,998036m m m

mK mK Km

5. Expresando el flujo de calor en la rama B, mediante circuito térmico entre T2 y T∞2:

2 2 2 2b

pernosth cond,4 conv,2

pernos pernos 2 pernos

T T T T TQ

L 1R R R

* *k A h A

2 2b

3 32 22

289K 289KT TQ

0,016m 1 K15,021

W W W177 * 34 *1,964*10 1,964*10m m

mK Km

6. Aplicando la relación entre los flujos de calor: t a bQ Q Q

2 2t

289K 289KT TQ

K K0,3572 15,021

W W

7. Obteniendo los valores de las transferencias de calor y de T2:

t 417,713WQ 2 434,741KT a 408,011WQ b 9,702WQ

8. Aplicando la relación de circuitos térmicos en Rconv,1 para obtener T1:

2 3 1 1 1a

th conv,1 conv,1

22

436T T T T T T417,713WQ

1R R RW

340 *1mKm

1 434,771KT

9. Aplicando la relación de circuitos térmicos en Rcond,2 para obtener T3:

2 3 2 3 3a

corchoth cond,2

2corcho s,pernos

434,741KT T T T T T408,011WQ

0,0127mLR RW*k A 0,039 *0,998036m

mK

3 306,614KT

10. Aplicando la relación de circuitos térmicos en Rcond,2 y Rcond,3 para obtener T4:

2 4 2 4a

plásticoth cond,2 corcho

corcho s,pernos plástico s,pernos

T T T T T408,011WQ

LR R L

* *k A k A



4

2 2

434,741K T408,011W

0,0127m 0,0033m

W W0,039 *0,998036 2,25 *0,998036m m

mK mK

4 301,015KT

11. Aplicando la relación de circuitos térmicos en Rcond,4 para obtener T5:

2 5 2 5 5b

pernosth cond,4

3 2pernos pernos

434,741KT T T T T T9,702WQ

0,016mLR RW*k A 177 *1,964*10 m

mK

5 434,293KT


El flujo de calor por unidad de área de la pared es de 417,733 W/m2.

La temperatura de las superficies expuestas: En el aluminio es de 434,771 K, en el plástico es

de 301,015 K y en los pernos de aluminio es de 434,293 K.

En la interfase aluminio-corcho es de 434,741 K y

en la interfase corcho-plástico es de 306,614 K.

PROBLEMA No 5.

Una barra de combustible (k = 0,3 W/mK) con un espesor de 2L = 200 mm se somete a un flujo

de calor constante qo’’ = 100 W/m2K en un lado y a transferencia de calor por convección (h = 10

W/m2K, T∞ = 20 ºC) en el otro lado, como se muestra en la figura. Si existe una generación de

energía térmica por unidad de volumen uniforme q=500 W/m3 en la pared de debido a reacciones

químicas.

a. La ecuación que describe la distribución de temperatura en la pared.

b. Las temperaturas de las superficies, T1 y T2, en ºC.

c. La temperatura máxima de la barra y su localización.



x


.

q, k


1. Balance general de la energía para un sistema. Ecuación general de difusión de calor:

.. .2 2

2 2

. .

2x1 1 2

T T T T T T q '''k k k q ''' C k q ''' 0

x x y y z z t kx x

dT q ''' q '''x xC C CT x

dx k 2k

2. Transferencia de calor por convección: .

sconv hA( )Q T T


1. Condiciones estables de operación. Variación de la temperatura únicamente en la dirección

axial. Términos de energía potencial y energía cinética despreciables.

2. No existente interacciones de potencias. El material de la barra de combustible es isotrópico,

además se considera que sus propiedades son independientes de la temperatura.

3. Tanto la generación de calor como el flujo de calor incidente en la cara izquierda son constantes

y uniformes. Temperaturas y Coeficientes convectivos conocidos: T∞ = 293 K.: h = 10 W/m2K.


Aplicando las condiciones de borde para particularizar la distribución de temperatura y obteniendo

las temperaturas solicitadas:

x=+L x=-L

qo’’ h, T∞

T1 T2

Barra de combustible



1. 2

dT Wx L 0,1m k 100

dx m

. 2 2

1 12

W W100 500 * 0,1m

W Km m100 q ''' x k 500C C

W mm 0,3mK

2.

.

2 2 1dT

x L 0,1m k h h q '''x kT T T T Cdx

22 3

3

2 2

2

W W K W10 293K 500 *0,1m 500 *0,3T

m mKKm m

W K W500 *0,1m 500 *0,3

m mKm293K 313KT T

W10

Km

3.

.

22 x 1 2

q '''313K X L 0,1m xC CT T x

2k

3 2

2 2

W500

Km313K 0,1m 500 0,1m 371,333KC CW m

2 0,3mK

2

x 2

K K833,3333 500 x 371,333KT x

mm

4. 1x L 0,1m T

2

11 2

K KT 833,333 0,1m 500 0.1m 371,333K 412,999KT

mm

5. Aplicando la condición de borde para la temperatura máxima: dT/dx=0

.3

máx máx1

2máx máx2

dT q ''' 500 KW / mx 0 500 0 0,3mC x X

dx k 0,3W / mK m

K K833,3333 0.3m 500 0,3m 371,333K 446,333KT T

mm



x

5.6. Reporte de respuestas

Ecuación de distribución de temperatura: T(x) = -833,333 K/m2 * x2-500 K/m * x +371,333 K

La temperaturas en las superficies: T1 = 139,999 ºC y T2 = 40,00 ºC

La temperatura máxima es de Tmáx = 173,333 ºC localizada a -0,3 m del eje central.

PROBLEMA No 6.

Un elemento combustible de un reactor nuclear está formado por placas de 10 cm de espesor,

revestidas por chapas de aluminio de 1 cm de espesor. Debido a la reacción nuclear, se produce en

las placas una generación volumétrica uniforme de calor de 1,163*107 W/m3. El coeficiente de

transferencia de calor por convección del refrigerante en la superficie externa de las chapas de

aluminio es de 5815 W/m2K. Las conductividades térmicas de la placa y de la chapa de aluminio

son 23,26 W/mK y 209,34 W/mK, respectivamente. Si la temperatura del refrigerante es de 300

ºC, determine:

a. El perfil de temperatura del conjunto formado por la placa de material nuclear y las chapas de

revestimiento.

b. El flujo de calor hacia el refrigerante


10 cm

1 cm

T∞, h T∞, h

Elemento

combustible

Chapa de

aluminio




1. Balance general de la energía para un sistema. Ecuación general de difusión de calor:

T Tk k

x x y y

0T

kz z

0 . Tq ''' C

t

.0 .2 2

2 2

. .

2x1 1 2

T T q '''k q ''' 0

kx x

dT q ''' q '''x xC C CT x

dx k 2k

2. En la placa de aluminio, conducción de calor sin generación: x 3 4xC CT

3. Transferencia de calor por convección: .

sconv hA( )Q T T


1. Condiciones estables de operación. Variación de la temperatura únicamente en la dirección

axial. Términos de energía potencial y energía cinética despreciables. No existente

interacciones de potencias.

2. El elemento combustible y el aluminio son isotrópicos, además se considera que sus

propiedades son independientes de la temperatura. La generación de calor volumétrica es

constante y uniforme. Simetría térmica en el eje central del elemento combustible, por lo que

analizará la mitad derecha del sistema.

3. Temperaturas conocidas: T∞ = 573 K. Coeficientes convectivos conocidos: h = 5815 W/m2K.


1.

dTx 0m 0

dx

. .

1 1 1dT q ''' q '''

x 0m 0 C 0C Cdx k k

2.

0,05m 0,05m

dT dTk kx 0,05m Q

dx dxcomb alum

.

Plac 1Plac

q '''K x C

K

.

03 3Alum

Almx 0,05m

372K

33 m

q ''' xK C C

K

W / m 0,05m1,163*10*C 2.777,7778 q 581.500W / mC

209,34W / mK



3. s20,05m

dT Wkx 0,06m q 581.500 h T T

dx alum m

2

s s

2

W581.500

m 573K T 673KTW

5.815Km

4. 3 4s xx 0,06m T 673K T xC C

4 4K

673K 2.777,7778 0,06m 839,6667KC Cm

xK

2.777,7778 x 839,6667KTm

5.

.

2x x3 4 1 2

q '''x 0,05m x xC C C CT T x

2k

7

3 22 2

W1,163*10

K m2.777,7778 0,05m 839,6667K 0,05m C 1.325,7778KCWm

2 23,26mK


1. El perfil de temperatura del elemento combustible es

5 2 2x 2,5*10 K / m x 1.325,7778KT

2. El perfil de temperatura de la chapa de aluminio es xK

2.777,7778 x 839,6667KTm

3. El flujo de calor hacia el refrigerante es de 581.500 W/m2.

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