PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES MEDIANTE LA …proyecto fin de carrera procesamiento digital de seÑales mediante la teorÍa de wavelets autor: pablo márquez belzunce director:

PROYECTO FIN DE CARRERA

PROCESAMIENTO DIGITAL DE

SEÑALES MEDIANTE LA TEORÍA DE

WAVELETS

AUTOR: Pablo Márquez Belzunce

DIRECTOR: Dr. Francisco Javier Rodríguez Gómez

MADRID, Julio de 2013

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

Autorizada la entrega del proyecto del alumno:

Pablo Márquez Belzunce

EL DIRECTOR DEL PROYECTO

Dr. Francisco Javier Rodríguez Gómez

Fdo.: Fecha: ……/……/……

Vº Bº DEL COORDINADOR DE PROYECTOS

Prof. Dr. Álvaro Sánchez Miralles

Fdo.: Fecha: ……/……/……

Índice de documentos

DOCUMENTO I. MEMORIA

I. Memoria pág. 25 a 114 90 páginas

RESUMEN DEL PROYECTO

I




PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES MEDIANTE LA

TEORÍA DE WAVELETS

Autor: Márquez Belzunce, Pablo.

Director: Rodríguez Gómez, Francisco Javier.

Entidad Colaboradora: ICAI - Universidad Pontifica Comillas.


Introducción

El concepto de análisis wavelet es relativamente reciente, data desde mediados del siglo

XX. En su estado actual, la teoría de wavelet surge a finales de los 80’s desde el trabajo

de diversos investigadores como Jean Morlet, Alex Grossmann o Ingrid Daubechies.

Las wavelets operan de forma análoga al análisis de Fourier en algunas aplicaciones,

existen series y transformadas integrales tal y como ocurre con las TF. La diferencia

principal que tienen las wavelets con las transformadas de Fourier es que las wavelet

realizan análisis locales, lo cual las hace apropiadas para el análisis de señales en el

dominio tiempo-frecuencia, mientras que las transformada de Fourier es global.

Las técnicas wavelet permiten dividir una función compleja en otras más simples, y

estudiarlas así por separado. Esto hace que sean apropiadas para el análisis de imagen,

de señales, así como para diagnósticos médicos, procesamiento de señales geodésicas y

otros muchos usos.

Las wavelets se utilizan también por su eficacia en la representación de señales no

estacionarias, así como para el análisis multiresolución, que permite representar señales

como una suma finita de componentes con diferentes resoluciones, lo que permite

representar señales de forma compacta y en varios niveles.

Metodología

En el desarrollo del proyecto se va a seguir la siguiente metodología.

Estudio del estado del arte de la Teoría de Wavelets.

Estudio del procesamiento de señales digitales con Wavelets.


II




Elaboración de programas en el lenguaje del software MATLAB y empleo de la

herramienta ToolBox “Wavemenu” que ilustre las aplicaciones prácticas en el

tratamiento digital de señales.

Como recursos software en la elaboración de la documentación, gráficos y tablas, se

empleará el paquete integrado Microsoft Office®, el software Wolfram Mathematica®

8. y las funciones gráficas de MATLAB®.

La arquitectura hardware y software a emplear será una arquitectura PC con las

características siguientes:

Procesador con velocidad de reloj 2.3 GHz.

Memoria RAM de 4 GB.

Disco duro de 500 GB.

Tarjeta gráfica de 128 MB.

Sistema Operativo Windows Vista® o Windows 7®.

Software MATLAB® R2012b.

Como software de desarrollo y ejecución se utilizará el paquete MATLAB®

R2012b. Las razones de utilizar este software tan específico son principalmente las

derivadas de sus características.

Lenguaje MATLAB

MATLAB es un lenguaje técnico de alto nivel y con un entorno de desarrollo

interactivo que permite desarrollar algoritmos, realizar análisis de datos, cálculo

numérico y representación de gráficos 2D y 3D. Permite resolver problemas técnicos de

un modo más rápido que los lenguajes de alto nivel como C, C++, y Fortran.

Se emplea en un gran conjunto de aplicaciones como procesado de señal e imagen,

comunicaciones, diseño de control y medidas, modelado, y análisis numérico, entre

otras.

Sus principales ventajas, que lo hacen idóneo para este proyecto son:

Lenguaje de alto nivel para cálculo técnico.

Entorno de desarrollo integrado que gestiona el código, ficheros y datos.

Herramientas interactivas para realizar diseños y ejecutar el código.

Funciones matemáticas para el álgebra lineal, optimización, derivación e

integración numérica así como funciones para el análisis de Fourier.

Funciones gráficas para visualizar datos y funciones en 2-D y 3-D.

Herramientas y controles para construir interfaces gráficos de usuario (GUI).


III




Funciones para integrar el lenguaje con aplicaciones externas y lenguajes como

C, C++, Java, Fortran, etc.

Dispone de diferentes bibliotecas de funciones específicas denominadas

ToolBoox. En particular integra la herramienta ToolBox denominada

“Wavemenu”, específica para tratar las Wavelets.

Conclusiones y Resultados

El objetivo que se perseguía con este PFC era situar las wavelet en el ámbito y usos

actuales, estudiar sus características, sus fundamentos y sus algoritmos, además de

realizar un análisis completo del procesamiento de imágenes con wavelet.

Para el procesamiento de imágenes se han estudiado las diferentes características, se han

modelado diferentes programas mediante Matlab y se ha utilizado todas las

herramientas que Matlab facilita para el manejo de las wavelets, y se han conseguido

datos satisfactorios. La compresión de imágenes mediante wavelet es uno de los grandes

éxitos de estas transformadas, mediante el uso de symlets que son las wavelets más

utilizadas para la compresión, se han conseguido buenos ratios de compresión

manteniendo una energía alta de la imagen y un buen número de ceros. El mayor

ejemplo del éxito de las wavelet es la compresión JPEG, la cual demuestra claramente

que este tipo de ondas son las más eficaces para la compresión, se obtiene mayores

compresiones con mayor calidad de imagen.

En el caso de la fusión de imágenes, la detección de bordes y la eliminación de ruido, se

ha observado que las wavelets que mejor se adaptan para estas aplicaciones son las

biortogonales, debido a que estas permiten una reconstrucción exacta a través de los

filtros, lo que proporciona muchas ventajas. En el caso de fusión de imágenes, se ha

comprobado su gran eficacia fusionando partes de una misma imagen, y se ha

comprobado su potencial para obtener mejores resultados con un estudio más profundo

solo en ese campo. Dado que en el caso de disponer de diversas formas de una misma

imagen se puede llegar a fusionar de tal manera que se consiga la original

perfectamente, lo cual es muy útil para el caso de imágenes antiguas, médicas o

imágenes tomadas desde distintas cámaras o ángulos.

En las siguienes imágenes se pueden ver un ejemplo de fusión satisfactoria de imágenes

complementarias así como el de una buena compresión de imágenes, así como el

resultado de una eliminación de ruido.

Primero se expone la fusión de imágenes complementarias, donde se puede observar

claramente el éxito del proceso, y aun así mejorable.


IV




FIGURA 1. Imágenes complementarias que van a ser fusionadas.

FIGURA 2. Resultado de la fusión de las imágenes complementarias de la playa de la Concha.

A continuación se muestran dos tipos de eliminación de ruido con dos wavelets

diferentes, la primera ha sido tratada con wavelets daubechies 10 para un nivel 5, en la

segunda imagen se ha aplicado wavelets reverse biorthogonal 6.8 para un nivel 4. Se

observa que las biortogonales en este caso trabajan un poco mejor, y tiene un nivel

menor.


V




FIGURA 3. Cuatro imágenes, original, con ruido aleatorio, y dos filtradas con dos tipos de wavelets

diferentes.

El siguiente resultado se puede ver una compresión satisfactoria de imágenes, donde se

ha conseguido mantener una alta energía manteniendo alto el número de ceros.


VI




FIGURA 4. Imagen original de Playa a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes de la

energía y el número de ceros y el lugar del umbral abajo.

Las wavelets son una herramienta muy potente para el estudio de señales e imágenes,

debido a esto, son útiles en un amplio número de aplicaciones en muy diferentes

campos, donde muchas veces se obtienen mejores resultados que con otras técnicas, a

pesar de ser una herramienta relativamente nueva en el procesamiento de señales. En

muchas ocasiones las wavelets proporcionan características diferentes y más eficaces

debido a su análisis local que es uno de sus mayores beneficios a la hora del análisis de

señales.

Por lo tanto, se ha comprobado que las wavelets son una herramienta muy potente y con

gran potencial para el trabajo con imágenes, en lo que a compresión, eliminación de

ruido y fusión se refiere. Así como su uso para muchas otras aplicaciones en diferentes

campos, donde poco a poco ganan terreno a otras aplicaciones.


VII




Referencias

[DAUB92] Daubechies I, “Ten Lectures on Wavelets” Philadelphia 1992.

[GROS94] A. Grossmann, J. Morlet “Descomposition of Hardy functions into square

integrable wavelets of constant shap” SIAM j. of Match. Anal. 1984

[JAID11] Jaideva C. Goswami, Andrew K. Chan, “Fundamentals of Wavelets”

Theory, Algorithms and Applications. 2011.

[MALL99] S.Mallat, “A Wavelet tour of Signal Processing” Academic Press, 2nd

Edition 1999.

http://www.cs.nyu.edu/cs/faculty/mallat/Wavetour_fig/index.html

[MARI04] María José Lado, A. J. Méndez, “Algoritmos y Aplicaciones en el Análisis

de Gráficos de Interfaz”, Departamento de Informática. Universidad de

Vigo. Curso 2003/2004.

[MICH07] M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim, J. Poggi, “Wavelets and their

Applications” ISTE Ltd, 2007.

[STRA94] STRANG, G., “Wavelet Tranform versus Fourier Transform”, American

Mathematical Society. Abril 1993.

[RAUG02] R. Rangarajan, R. Venkataramanan, S. Slah, “Image Denoising Using

Wavelets”, Wavelets & Time Frequency. Diciembre 2002.



VIII




ABSTRACT

IX







PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES MEDIANTE LA

TEORÍA DE WAVELETS

Author: Márquez Belzunce, Pablo.

Manager: Rodríguez Gómez, Francisco Javier.

Collaborating Entity: ICAI - Universidad Pontifica Comillas.

ABSTRACT

Introduction

The concept of wavelet analysis is quite new, comes from middle of the S.XX. His

actual state starts at the end of the 80’s, coming from the work of some researchers such

as Jean Morlet, Alex Grossmann or Ingrid Daubechies.

Wavelet work in similar ways like Fourier analysis, for some applications Wavelets

have series and transforms just like FT. The main difference between these two types of

analysis is that wavelet perform local analysis while FT perform global analysis. Having

this property gives wavelet such an edge analyzing signals in time-frequency domain.

Wavelet’s technique is able to divide a complex function into more simple ones, and

thus work with those more simple functions. This makes wavelet appropriate for image

analysis, signal analysis, medical diagnosis, and others.

Wavelets are used, also, because of their efficiency in representing non-stationary

signals, as well as their ability to perform multireslolution analysis. With

multiresolution analysis wavelets are able to represent signals as a finite sum of

components with different resolutions and in different levels.

Method

This PFC is going to work with the following method.

Study of the state of the art of wavelets.

Study of image processing with wavelets.

Creation of programs in MATLAB language, and the use of the Wavemenu

ToolBox for showing the applications on the digital image processing.

ABSTRACT

X







As software resources for the document elaboration, graphics and tables, Microsoft

Office®, Wolfram Mathematica® and Matlab® graphic fucntions.

Hardware and software arquitectura will have the following or similar to the

following characteristics.

Speed processor 2.3 GHz.

RAM of 4 GB.

Hard drive of 500 GB.

Graphic card of 128 MB.

OS Windows Vista® o Windows 7®.





MATLAB language

MATLAB is a high level technical language with an interactive environment that allows

to develop algorithms, perform data analysis, numeric calculus and graphic

representation in 2D and 3D. Allows solving technical problems faster than other

programming languages like C, C++ or FORTRAN.

Is used in a big group of applications, some like signal processing and image

processing, communications, control designs and measurements, modeling, numerical

analysis…

Its main advantages that make it perfect for this project are:

High level language for technical calculations.

Indexed environment for codding, files and data.

Interactive tools to perform designs and run codes.

Mathematical functions for algebra, optimization, numeric derivation and

integration, as well as functions to Fourier analysis.

Graphic functions for visualizing data and 2D and 3D functions.

Tools and controls for developing graphic user interfaces.

Functions for interate the language with external aplications and programming

languages like C, C++, Java, Fortran, etc.

Has diferent librarys with especific functions, called ToolBoox. In particular

Wavemenu ToolBox, for working with wavelets.

ABSTRACT

XI







Conclusions

The objective aimed with this project was to explore wavelet in their actual uses, study

their characteristics, fundamentals and algorithms, as well as performing a complete

analysis of image processing with wavelet.

The characteristics of image processing have been studied, programming in Matlab and

with Matlab wavelet tools. Obtaining satisfactory data with them.

Image compression with wavelet is a success with this kind of analysis, using symlet

wavelet, it was able to achieve good compression ratios maintaining high energy level

and a high number of zeros. The most successful application for image compression is

the standard JPEG 2000 used nowadays, it is able to perform very high compressions

maintaining the quality of image.

In the case of image fusion, edge detection and image denoising, it was observed that

the best type of wavelets for these applications were the biorthogonal wavelets, because

they are able to perform exact reconstructions using filters, this property gives many

advantages comparing to other techniques. In the case of image fusion, the efficiency

using wavelets was proved, and good results were achieved performing image fusion of

2 parts of the same image, and also realising the fusion of fuzzy images potential.

On the following figures, there are shown examples of image fusion, compression and a

good denoised image.

First it is shown the image fusion of two complementary images. The success on the

process can be seen, but is also improvable.

ABSTRACT

XII







FIGURE 5. Image fusion of complementary images.

FIGURE 6. Result of the image fusion.

Now two types of denoised images are shown, coming from the same image. The first

one in the left is performed with daubechies 10 for a level 5 of decomposition, the

second on the bottom right is performed with reverse biorthogonal 6.8 for a level 4 of

decomposition. It can be appreciated a slightly difference between them, in which

biorthogonal wavelets work better.

ABSTRACT

XIII







FIGURE 7. Four images, the original one on the upper left, the noisy image on the top right, and the

denoised images at the bottom.

The following images show a satisfactory image compression where, the retained

energy is very high, but also almost all the zeros are maintained.

ABSTRACT

XIV







FIGURE 8. Original image on the top left, and compressed image on the top right. On the bottom it is

shown a graphic with the percentages of energy and zeros.

Wavelets are a very potent tool for the study of signals and images, thus they are very

useful in a variety of applications in different fields, in a lot of them having better

performing than other techniques. This is because wavelet make a different approach

with different characteristics and more efficiency than other techniques, some of them

because of the local characteristic, which is one of the major benefits in signal analysis.

In the end, it was proved that wavelets are a powerful technique and with great potential

for working with images, in compression, denoising and fusion. And it is was proved,

also, a great tool for applications in different fields, and everyday more popular

ABSTRACT

XV







References:







Edition 1999.












AGRADECIMIENTOS

XVI







AGRADECIMIENTOS

AGRADECER A FRANCISCO JAVIER, POR SER CAPAZ DE TRATAR CONMIGO INCLUSO EN LOS

MOMENTOS DIFÍCILES. A YELENA PORQUE SIEMPRE CREYÓ EN MÍ Y ME APOYÓ

INCONDICIONALMENTE FUERA CUAL FUERA LA SITUACIÓN. A JOSÉ Y ELENA, POR

AYUDARME A VER LAS COSAS MÁS BLANCAS CUANDO TODO ESTABA NEGRO. Y A AIDA

PORQUE SIN SUS BUENAS COMIDAS Y CHARLAS EN LOS LARGOS DÍAS DE ESTUDIO. A

TODOS, GRACIAS.

ÍNDICE

XVII







Índice

Capítulo 1. Introducción y Motivación ................................................................. 3

1.1 Introducción ............................................................................................................... 3

1.2 Estado del arte ............................................................................................................ 4

1.3 Motivación del proyecto ............................................................................................ 6

1.4 Objetivos ..................................................................................................................... 6

1.5 Metodología ................................................................................................................ 7

Capítulo 2 Fundamentos del análisis de señales ............................................. 9

2.1 Fundamentos Matemáticos ....................................................................................... 9 2.1.1 Espacio Lineal ............................................................................................................................ 9 2.1.2 Vectores y Espacios Vectoriales ................................................................................................ 9 2.1.3 Funciones Básicas, Ortogonalidad y Biortogonalidad ............................................................. 10 2.1.4 Bases Locales y Bases Ries ..................................................................................................... 11 2.1.5 Espacio linear discreto normalizado (normado) ....................................................................... 12 2.1.6 Aproximación por proyección ortogonal ................................................................................. 12 2.1.7 Introducción a Señales Digitales .............................................................................................. 12

Capítulo 3 Procesamiento digital de señales con wavelets. ........................... 15

3.1 Algoritmos que emplean las técnicas sobre Wavelets para el DSP. .................... 15 3.1.1 Algoritmos Wavelet Packet ..................................................................................................... 15 3.1.2 Segmentación ........................................................................................................................... 17 3.1.3 Identificación de fallos a través de sintonías ............................................................................ 18 3.1.4 Wavelets de dos dimensiones y Wavelet Packets .................................................................... 19 3.1.5 Compresión de Imágenes ......................................................................................................... 27 3.1.6 Algoritmos para la detección de Micro-Calcificaciones .......................................................... 31 3.1.7 Sistemas de comunicación con multiportadoras (MCCS) ........................................................ 32 3.1.8 Visualización de imágenes médicas en tres dimensiones......................................................... 36 3.1.9 Aplicaciones Geofísicas ........................................................................................................... 37

Capítulo 4 Aplicaciones de la transformada wavelet en DSP. ...................... 39

4.1 Clasificación de las aplicaciones ............................................................................. 40

Capítulo 5 Procesamiento de imágenes con wavelets .................................... 51

5.1 Introducción ............................................................................................................. 51

5.2 Wavelets para las imágenes .................................................................................... 51

5.3 Detección de bordes ................................................................................................. 52

5.4 Fusión de imágenes .................................................................................................. 59 5.4.1 Fusión de imágenes complementarias ...................................................................................... 59 5.4.2 Fusión de imágenes diferentes ................................................................................................. 62

ÍNDICE

XVIII







5.5 Eliminación de ruido ............................................................................................... 63

5.6 Compresión de imágenes ......................................................................................... 66 5.6.1 Principios de Compresión ........................................................................................................ 67 5.6.2 Wavelets Y Compresión .......................................................................................................... 68 5.6.3 Compresión Verdadera ............................................................................................................ 73 5.6.4 Estándar JPEG 2000 ................................................................................................................ 74

Capítulo 6 Conclusiones ................................................................................. 77

Capítulo 7 Futuros Desarrollos ...................................................................... 79

Capítulo 8 Bibliografía ................................................................................... 81

MEMORIA

1







DOCUMENTO I

MEMORIA

MEMORIA

2







MEMORIA

3







CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN

En este capítulo va a realizar una introducción al empleo de la teoría de Wavelets.

1.1 INTRODUCCIÓN

El concepto de análisis wavelet es relativamente reciente, data desde mediados del siglo

XX. Se puede considerar que las teorías de Littlewood-Palley y Calderón-Zygmund

sobre el análisis de armónicos y la teoría en procesamiento de señales se pueden

considerar predecesores del análisis sobre wavelets. Sin embargo, en su estado actual la

teoría de wavelet surge a finales de los 80’s con los trabajos de varios investigadores en

distintas disciplinas, como son Jean Morlet y Alex Grossmann, J. Strömberg, Stephane

Mallat, Yves Meyer, Ingrid Daubechies, y C. K. Chui, entre otros, han contribuido

significativamente su desarrollo.

En aquéllas aplicaciones que operan sobre un conjunto de datos discretos, las funciones

wavelets se pueden considerar funciones generadas por dilatación y traslación de

funciones simples. De forma análoga al análisis de Fourier, existe series Wavelets (WS)

y transformada integral wavelet (IWT). Estas series y transformadas integrales wavelet

están íntimamente relacionadas. La transformada IWT de una función finita de energía

en el dominio de los reales y evaluada en ciertos puntos en la escala del tiempo

proporciona los coeficientes para la representación de la serie wavelet. Esta relación no

existe entre las series de Fourier y la transformada de Fourier. Además el análisis de

Fourier es global en el sentido de que cada componente de frecuencia (tiempo) de la

función es aplicada influenciada por todas las componentes del tiempo (frecuencia) de

la función. En cambio, el análisis wavelet es un análisis local. Esta naturaleza local es

apropiada para el análisis de señales en el dominio tiempo-frecuencia.

Las técnicas wavelet permiten dividir una función compleja en varias más simples,

objeto de estudio por separado. Esta propiedad junto los algoritmos rápidos sobre

wavelet que comparativamente son más rápidos que los algoritmos sobre la

transformada rápida de Fourier, añaden más ventajas al proceso análisis y síntesis.

Se han utilizado diferentes tipos de wavelets como herramienta para resolver problemas

relacionadas con el análisis de señales, análisis de imagen, diagnósticos médicos,

procesamiento de señales geodésicas, análisis estadístico, problemas del valor en la

frontera, y otros. Estas técnicas con wavelets están ganando una enorme popularidad en

las citadas áreas, por lo que continúan las investigaciones sobre nuevas aplicaciones.

MEMORIA

4







Una razón por la que se emplean las wavelets es su eficacia en la representación de

señales no estacionarias (transitorios). Dado que la mayoría de señales tiene señales

transitorias, se usan las diferentes tipos de wavelets para su representación en una gran

cantidad de clases de señales, en lugar de representarlas mediante el análisis de Fourier

de señales estacionarias. A diferencia del análisis de Fourier que usa funciones

senoidales (global) como base, el análisis Wavelet emplea bases que son localizadas en

el tiempo y la frecuencia (no local) que son más efectivas en la representación de

señales no estacionarias. Como resultado, la representación con Wavelet es más

compacta y fácil para su posterior implementación.

Con el análisis multiresolución se pueden representar las señales como una suma finita

de componentes de diferentes resoluciones de modo que cada componente se pueda

procesar de forma adaptativa en los objetivos de la aplicación. Esta capacidad de

representar señales de forma compacta y en varios niveles de resolución es la principal

ventaja del análisis wavelet.

1.2 ESTADO DEL ARTE

Se indica a continuación algunas de las más recientes publicaciones donde se emplea la

Teoría de Wavelets en el estudio y tratamiento de diferentes señales.

[1] Procesado y Transmisión de Señales Biomédicas para el Diagnóstico de Trastornos

y Enfermedades del Sueño. Tesis Doctoral. Daniel Sánchez Morillo. Escuela Técnica

Superior de Ingeniería. Universidad de Cádiz. 2008.

El autor realiza una propuesta y estudio de viabilidad de un sistema de uso portátil-

domiciliario y de los procedimientos validados asociados, para el análisis y

caracterización de diversas señales biomédicas, de las que se extraen parámetros

fundamentales para las más novedosas técnicas de diagnóstico. Trata de reducir el

número de sensores y señales relevantes a efectos de diagnosis, respecto de los

empleados en la Polisomnografía (PSG), actual estándar de facto para la diagnosis del

SAHS.

En el caso de la señal electrocardiográfica, el detector de QRS es el punto crítico en

lamedida de la serie RR y se basa en la misma descripción del complejo para detectarlo:

el complejo QRS es una onda de gran amplitud y con transiciones bruscas. Para ello

analiza en su estudio las Wavelets en Transformadas Wavelet y bancos de filtros.

[2] Nuevas Metodologías no Invasivas de Diagnosis de Defectos Incipientes en

Rodamientos de Bola. Omar José Lara Castro. Tesis Doctoral. Universidad Carlos III de

Madrid. 2007.

Desarrolla y aplica en su Tesis Doctoral diferentes metodologías de diagnosis de

defectos incipientes en rodamientos de bola. Se apoya en un conjunto de señales de un

MEMORIA

5







banco de ensayos de rodamientos, completando tres tipos de condición defectuosa y una

condición normal en rodamientos.

Las señales han sido procesadas mediante una herramienta de procesamiento de datos,

denominada Transformada Wavelet que, a pesar de su edad temprana, posee una

trayectoria amplia en el análisis de señales vibratorias, siendo capaz de extraer

información relevante del fenómeno físico en estudio, en dimensiones reducidas.

Adicionalmente, esta información ha sido clasificada por medio de tres tipos de redes

neuronales, que han demostrado ser capaces de efectuar un diagnóstico automático de la

condición de un sistema, al aprender adecuadamente con un conjunto representativo de

muestras, e imitar el proceso de aprendizaje humano.

Los resultados señalan que hay diversos factores que influyen en la precisión del

sistema clasificador, como son, la cantidad de datos utilizados, la complejidad de la red

neuronal, y diversas consideraciones de diseño que se explican en detalle para cada red

en particular. Finalmente, se introduce la aplicación de Sistemas Híbridos de

clasificación para la diagnosis de defectos en componentes mecánicos rotativos,

consiguiendo índices de éxito nunca antes alcanzados en este campo.

[3] Estudio de métodos para procesamiento y agrupación de señales

electrocardiográficas. Tesis Doctoral. David Cuesta Frau. Escuela Politécnica de

Valencia. 2001.

Describe toda una amplia gama de de técnicas de preprocesamiento de la señal ECG,

desde la eliminación del ruido (mediante técnicas clásicas de filtrado, aproximación de

funciones, o la transformada wavelet), pasando por la eliminación de la interferencia de

la red, la eliminación de las variaciones de la línea base (utilizando diferentes tipos de

filtros), la detección de los puntos significativos de una onda ECG (mediante algoritmos

de tratamiento digital de las señales, detectando la primera y segunda derivadas, filtrado

digital, transformaciones no lineales, etc.), todo ello para conseguir una señal ECG

limpia de interferencias y perfectamente segmentada por latidos Tomando como partida

las operaciones de preprocesamiento basadas en la transformada wavelet y tomando

como fuente los latidos previamente segmentados, se presentan una serie de métodos

para el procesado (normalización temporal lineal, alineamiento temporal no lineal,

variaciones para la extracción de características) y clustering final de los latidos.

Concluye presentado los resultados obtenidos de la aplicación práctica de todos los

métodos y algoritmos descritos.

[4] Sistema de Reconocimiento de Personas Mediante su Patrón de Iris Basado en la

Transformada Wavelet. PFC. Rafael Coomonte Belmonte. Universidad Politécnica

Madrid. 2006.

Se centra en la técnica de reconocimiento biométrico de iris, presentando unas

prestaciones muy propicias para formar parte de un sistema de seguridad altamente

fiable. Uno de los fundamentos en los que se basa el diseño del sistema es el uso de la

transformada wavelet, que permite el análisis de las señales unidimensionales, obtenidas

a partir de las imágenes del iris, y que precisan de una explicación exhaustiva para

conocer sus fundamentos.

MEMORIA

6







1.3 MOTIVACIÓN DEL PROYECTO

La motivación del presente proyecto es la de presentar el tratamiento de señales

digitales en una dimensión (1D) y en dos dimensiones (2D) con las técnicas de la teoría

de Wavelets. Las señales acústicas y los transitorios en las señales eléctricas son

susceptibles de ser tratadas con Wavelets 1D, mientras que el tratamiento en 2D

involucra principalmente el tratamiento y compresión de imágenes.

Se tratarán con diversos ejemplos para demostrar las ventajas y la flexibilidad del uso de

las técnicas y algoritmos Wavelets en el procesamiento de imágenes.

Se estudiará cómo la descomposición de Wavelets desempeña un papel activo en la

separación de la señal en sus componentes antes de que con otras técnicas DSP se

puedan aplicar. Se incluirán los algoritmos denominados “wavelet tree” la

descomposición “wavelet-packet tree” y las wavelets 2D o la descomposición “wavelet-

packet tree”.

Se discutirá la extensión de los algoritmos wavelets a los algoritmos de descomposición

mencionados antes de presenta varias aplicaciones prácticas.

1.4 OBJETIVOS

Los objetivos que persigue el PFC se enumeran a continuación:

Presentar los conceptos matemáticos y técnicas relativas a la teoría Wavelet.

Espacio vectorial, funciones base, ortogonalidad y biortogonalidad,

transformada z.

Fundamentos del análisis de señales.


Presentar los paquetes de algoritmos que emplean las técnicas sobre Wavelets

para el procesamiento digital de señales.

Estudio de los algoritmos de descomposición denominados “wavelet-packet”.

Análisis de la compresión de imágenes.

MEMORIA

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1.5 METODOLOGÍA

En el desarrollo del proyecto se va a seguir la siguiente metodología.

Estudio del estado del arte de la Teoría de Wavelets.


Elaboración de programas en el lenguaje del software MATLAB y empleo de la

herramienta ToolBox “Wavemenu” que ilustre las aplicaciones prácticas en el

tratamiento digital de señales.

Valoración económica: recogida de información de diferentes fuentes

(Empresas, Consultoras, etc.) para la elaboración del detalle económico del

desarrollo técnico presentado.

Como recursos software en la elaboración de la documentación, gráficos y tablas, se

empleará el paquete integrado Microsoft Office®, el software Wolfram Mathematica®

8. y las funciones gráficas de MATLAB®.

La arquitectura hardware y software a emplear será una arquitectura PC con las

características siguientes:

Procesador con velocidad de reloj 2.3 GHz.

Memoria RAM de 4 GB.

Disco duro de 500 GB.

Tarjeta gráfica de 128 MB.

Sistema Operativo Windows Vista® o Windows 7®.





Lenguaje MATLAB

MATLAB es un lenguaje técnico de alto nivel y con un entorno de desarrollo

interactivo que permite desarrollar algoritmos, realizar análisis de datos, cálculo

numérico y representación de gráficos 2D y 3D. Permite resolver problemas técnicos de

un modo más rápido que los lenguajes de alto nivel como C, C++, y Fortran.

Se emplea en un gran conjunto de aplicaciones como procesado de señal e imagen,

comunicaciones, diseño de control y medidas, modelado, y análisis numérico, entre

otras.

Sus principales ventajas, que lo hacen idóneo para este proyecto son:

MEMORIA

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Lenguaje de alto nivel para cálculo técnico.

Entorno de desarrollo integrado que gestiona el código, ficheros y datos.

Herramientas interactivas para realizar diseños y ejecutar el código.

Funciones matemáticas para el algebra lineal, optimización, derivación e

integración numérica así como funciones para el análisis de Fourier.

Funciones gráficas para visualizar datos y funciones en 2-D y 3-D.

Herramientas y controles para construir interfaces gráficos de usuario (GUI).

Funciones para integrar el lenguaje con aplicaciones externas y lenguajes como

C, C++, Java, Fortran, etc.

Dispone de diferentes bibliotecas de funciones específicas denominadas

ToolBoox. En particular integra la herramienta ToolBox denominada

“Wavemenu”, específica para tratar las Wavelets.

MEMORIA

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Capítulo 2 FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE

SEÑALES

2.1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

2.1.1 ESPACIO LINEAL

Un espacio funcional 𝑆 es una colección de funciones que satisface una cierta estructura

matemática.

1. El espacio S no debe estar vacío.

2. Si 𝑥 ∈ 𝑆 e 𝑦 ∈ 𝑆 entonces 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.

3. 3. Si 𝑧 ∈ 𝑆, entonces (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑥).

4. Existe en dicho espacio un elemento único 0, que verifica 𝑥 + 0 = 𝑥.

5. Existe en dicho espacio otro elemento único (−𝑥) que verifica 𝑥 + (−𝑥) = 0.

2.1.2 VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES

Un vector 𝑽 en un espacio Euclídeo tridimensional está definido por tres números

complejos 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 asociados con tres vectores unitarios y ortogonales 𝑎1, 𝑎2, 𝑎13.

La suma y la multiplicación escalar de vectores en este espacio está definido por:

𝑼 + 𝑽 = 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, 𝑢3 + 𝑣3.

𝒌 𝑽 = 𝑘 𝑣1, 𝑘 𝑣2, 𝑘 𝑣3.

Se define la longitud de un vector como:

|𝑽| = √𝑣12 + 𝑣2

2 + 𝑣32 (1)

Se define el producto escalar como:

MEMORIA

10







𝑼. 𝑽 ∶= |𝑼|. |𝑽| cos(∠𝑈, 𝑉) = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 = [

𝑢1

𝑢2

𝑢3

]

𝑇

. [

𝑣1

𝑣2

𝑣3

] (2)

Dos vectores son ortogonales entre sí cuando 𝑼. 𝑽 = 0.

Se define proyección de un vector sobre otro como:

𝑼. 𝑽

|𝑽|= 𝑼. 𝒂𝑽

(3)

Que es la proyección de 𝑼 en la dirección del vector unitario 𝒂𝑽.

2.1.3 FUNCIONES BÁSICAS, ORTOGONALIDAD Y BIORTOGONALIDAD

Se extiende el concepto de espacio vectorial geométrico Euclídeo a espacios lineales

normalizados. Esto quiere decir que se entiende como una colección de funciones en

vez de una colección de vectores geométricos.

La expansión ortogonal de una función es una herramienta importante para el análisis de

señales. Los coeficientes de expansión representan las magnitudes de los componentes

de la señal. Siempre tiene sentido descomponer una señal en componentes para su

observación antes de procesarla, ya que dado si queremos minimizar ciertos

componentes armónicos (𝑥 − 𝐻𝑧) se diseñará simplemente el filtro a dicha frecuencia

𝑥.

La descomposición ortorgonal de una señal es directa y la computación de los

coeficientes es simple y eficiente. Sea la función 𝑓(𝑡) ∈ 𝐿2 se expande ortonormalmente

con la siguiente serie de términos ∅𝑘(𝑡)𝑘∈𝑍 ∈ 𝐿2 ∈ L2, se escribe como sigue:

𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝜙𝑘(𝑡)

∞

𝑘=−∞

(4)

Calculando los coeficientes al hacer el producto escalar de la función con las bases

⟨𝑓, 𝜙𝑘⟩ = ∫ 𝑓(𝑡) 𝜙𝑘(𝑡) 𝑑𝑡∞

−∞

= ∫ ∑ 𝑐ℓ𝜙ℓ(𝑡)

∞

ℓ=−∞

𝜙𝑘(𝑡) 𝑑𝑡 = ∑ 𝑐ℓ𝛿ℓ,𝑘 = 𝑐𝑘

∞

ℓ=−∞

∞

−∞

(5)

El cálculo del producto escalar de la imagen superior requiere conocer el valor de 𝑓(𝑡)

para todo 𝑡 lo cual no es calculable en tiempo real.

MEMORIA

11







En una base ortogonal, todas las funciones base pertenecen al mismo espacio. En

cambio, en una base biortogonal, la base dual no tiene porqué estar en el espacio

original. En el caso de que se cumpliera que están en el mismo espacio (una base

biortogonal y su dual) entonces estas bases se denominan semiortogonales.

2.1.4 BASES LOCALES Y BASES RIES

Las bases seno y coseno de las series de Fourier están definidas para todo tiempo

(−∞, ∞) y, por tanto, se denominan bases globales. Existen muchas bases en el

intervalo infinito que satisfacen los requisitos de ortogonalidad y biortogonalidad. Estas

se denominan bases locales. La base Haar se considera el ejemplo más simple de base

local.

2.1.4.1 Base de Harr

Se describe por 𝜙𝐻,𝑘 (𝑡) = 𝜒[0.1)(𝑡 − 𝑘), 𝑘 ∈ 𝑍, donde:

𝜒[0.1)(𝑡) = 𝑓(𝑥) = 1, 0 ≤ 𝑡 < 10, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

(6)

Es la función característica. La base Haar satisface la condición de ortogonalidad de la

siguiente manera.

⟨𝜙𝐻,𝑗(𝑡), 𝜙𝐻,𝑘(𝑡)⟩ = ∫ 𝜒[0.1)(𝑡 − 𝑗) 𝜒[0.1)(𝑡 − 𝑘) 𝑑𝑡 = 𝛿𝑗,𝑘

∞

−∞

(7)

2.1.4.2 Base Shanon

La función Shanon se define como:

𝜙𝑆𝐻(𝑡) =𝑠𝑒𝑛(𝜋 𝑡)

𝜋 𝑡 (8)

Y la base está formada por

𝜙𝑆𝐻,𝑘(𝑡) =𝑠𝑒𝑛(𝜋 (𝑡 − 𝑘))

𝜋 (𝑡 − 𝑘), 𝑘 ∈ ℤ

(9)

es una base ortonormal y es global. La prueba de su ortonormalidad se muestra mejor en

el dominio espectral.

Se expande 𝑔(𝑡) ∈ 𝐿2 en una serie de funciones básicas 𝜙𝑘 (𝑡), 𝑘 ∈ ℤ,

𝑔(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘𝜙𝑘(𝑡)

𝑘

(10)

La base ∅𝑘 (𝑡), 𝑘 ∈ ℤ se denomina base Riesz si satisface la siguiente inecuación:

MEMORIA

12







𝑅1‖𝑐𝑘‖ℓ22 ≤ ‖𝑔(𝑡)‖2 ≤ 𝑅2‖𝑐𝑘‖

ℓ22 ≤ ‖∑ 𝑐𝑘𝜙𝑘(𝑡)

𝑘

‖

2

≤ 𝑅2‖𝑐𝑘‖ℓ22

(11)

2.1.5 ESPACIO LINEAR DISCRETO NORMALIZADO (NORMADO)

Es una colección de elementos que son secuencias discretas de números (reales o

complejos) con una norma dada. Para este tipo de espacios son también aplicables las

reglas de los vectores analizadas anteriormente.

2.1.6 APROXIMACIÓN POR PROYECCIÓN ORTOGONAL

Asumiendo que un vector 𝑢(𝑛) no pertenece al espacio vectorial lineal 𝑽 abarcado por

𝜙𝑘 , y se desea encontrar la aproximación 𝑢𝑝 ∈ 𝑽. Se utiliza la proyección ortogonal

de 𝑢 en el espacio 𝑽 como aproximación.

2.1.7 INTRODUCCIÓN A SEÑALES DIGITALES

2.1.7.1 Muestreo de señal

Sea 𝑥(𝑡) una señal de energía limitada y continua en el tiempo. Si se mide la amplitud

de la señal y se registran los resultados en un intervalo regular ℎ, se obtiene una señal

discreta en el tiempo.

𝑥(𝑛) ≔ 𝑥(𝑡𝑛), 𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1 𝑡𝑛 = 𝑛ℎ (12)

Estos valores discretizados de la muestra constituyen la señal digital. El intervalo ℎ de

muestreo ha de ser elegido tal que ℎ ≤𝜋

Ω para que la aproximación a una función

continua de banda limitada de 𝑥(𝑡) a partir de sus muestras 𝑥(𝑛) sea buena.

2Ω es el ancho de banda de la función 𝑥(𝑡). La elección de ℎ viene del ratio de

muestreo de Nyquist y la formula de recuperación de Shanon:

𝑥(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑛ℎ)𝑠𝑒𝑛 (𝜋(𝑡 − 𝑛ℎ))

𝜋(𝑡 − 𝑛ℎ)𝑛∈ℤ

(13)

MEMORIA

13







2.1.7.2 Sistemas invariantes de movimiento lineal (Linear shift-invariant

systems)

Considérese un sistema caracterizado por su respuesta al impulse ℎ(𝑛). Se dice que se

trata de un sistema invariante de movimiento lineal si la entrada 𝑥(𝑛) y la salida 𝑦(𝑛)

satisfacen las siguientes relaciones:

1. Invariabilidad:

𝑥(𝑛) ⇒ 𝑦(𝑛)

𝑥(𝑛 − 𝑛′) ⇒ 𝑦(𝑛 − 𝑛´)

(14)

2. Linealidad:

𝑥1(𝑛) ⇒ 𝑦1(𝑛) 𝑦 𝑥2(𝑛) ⇒ 𝑦2(𝑛)

𝑥1(𝑛) + 𝑚 𝑥2(𝑛) ⇒ 𝑦1(𝑛) + 𝑚 𝑦2(𝑛)

(15)

2.1.7.3 Convolución

Define la relación salida-entrada de un sistema invariante de movimiento lineal. Su

definición matemática viene dada por:

𝑦(𝑛) = ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘 − 𝑛)𝑥(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑘 − 𝑛)ℎ(𝑘)

𝑘𝑘

(16)

2.1.7.4 Transformada-z

Es una herramienta muy útil para el análisis discreto de señales. Se utiliza en la

derivación de wavelets y algoritmos de bancos de filtros. Está definida por la suma

infinita:

𝐻(𝑧) = ∑ ℎ(𝑘)𝑧−𝑘 = ⋯ ℎ(−1)𝑧1 + ℎ(0) + ℎ(1)𝑧−1 + ℎ(2)𝑧−2 + ⋯

𝑛∈ℤ

(17)

donde 𝑧−1 indica el retraso de una unidad del intervalo de muestreo.

2.1.7.5 Región de Convergencia

La región de convergencia de una transformada-z indica la región en el plano complejo

en el cual todos los valores de 𝑧 hacen converger dicha transformada-z.

MEMORIA

14







MEMORIA

15







Capítulo 3 PROCESAMIENTO DIGITAL DE

SEÑALES CON WAVELETS.

La introducción de las señales wavelet y el procesamiento de imagen ha implicado un

importante avance para los ingenieros, les ha dado una herramienta tremendamente

flexible para la resolución de problemas y el procesamiento de señales e imágenes con

wavelets. El análisis con wavelet se centra principalmente en señales de una (1D) y dos

dimensiones (2D). El procesamiento de una dimensión se hace mayormente de señales

acústicas, música y transitorios de señales eléctricas, mientras que el procesamiento de

señales de dos dimensiones se basa en su mayoría en compresión de imágenes e

identificación. Las áreas más problemáticas del procesamiento de señales con wavelets

son la reducción de ruido, la identificación de sintonías, la identificación de objetivos, la

compresión de señales e imágenes y la supresión de interferencias.

La descomposición wavelet tiene además un papel muy importante: separa la señal en

componentes para que luego se puedan aplicar las diferentes técnicas de procesamiento

digital.

3.1 ALGORITMOS QUE EMPLEAN LAS TÉCNICAS SOBRE WAVELETS

PARA EL DSP.

3.1.1 ALGORITMOS WAVELET PACKET

El desarrollo de los paquetes wavelet es un refinamiento de wavelets en el dominio de la

frecuencia. Este desarrollo está basado en el teorema matemático probado por Ingrid

Daubechies. Los paquetes wavelet son una generalización de wavelets en los cuales

cada octava de frecuencia es subdividida de nuevo en dos bandas de frecuencia más

finas.

El desarrollo de los wavelet packets es un refinamiento de wavelets en el dominio de la

frecuencia y está basado en el teorema matemático probado por Daubechies.

MEMORIA

16







Si 𝑓(−𝑘)|𝑘∈ℤ constituye una base ortogonal y las expresiones:

𝐹1(𝑥) = ∑ 𝑔0[𝑘]𝑓(𝑥 − 𝑘)

𝑘

(18)

𝐹2(𝑥) = ∑ 𝑔1[𝑘]𝑓(𝑥 − 𝑘)

𝑘

(19)

entonces 𝐹1(· −2𝑘), 𝐹2(· −2𝑘); 𝑘 ∈ ℤ = son bases ortonormales de 𝐸 = 𝑠𝑝𝑎𝑛𝑓(−𝑛); 𝑛 ∈ ℤ .

Una señal puede ser descompuesta en muchas componentes wavelet packet. Se puede

representar dicha señal por un grupo seleccionado de wavelet packets sin usar todos los

wavelet packets, para un nivel dado de resolución.

En los wavelet packets, para cada conjunto de N coeficientes se obtienen dos conjuntos

de coeficientes de longitud N/2 tras el procesado del bloque de descomposición. El

número de coeficientes es 2𝑚 si el conjunto de coeficientes original es procesado para m

resoluciones. Para el procesado de señal mediante wavelet packets, es necesario llevar

cuenta del orden de los filtros digitales y de los cambios de ratios de muestreo.

Para observarlo de un modo más visual la siguiente figura muestra un árbol de wavelet

packet para 𝑚 = 3.

FIGURA 1. Diagrama de bloques de la descomposición y reconstrucción del algoritmo wavelets packets.

MEMORIA

17







3.1.2 SEGMENTACIÓN

La segmentación es una de las herramientas más utilizadas en el procesado de señales

mediante wavelets. Se utiliza mucho en reducción de ruido, compresión de señales e

imágenes y en algunos casos en reconocimiento de señales.

Este método utiliza el número de muestras hasta que el valor absoluto de la señal excede

el valor del segmento 𝜎.

Existen tres métodos de segmentación o umbralización: segmentación Hard,

segmentación Soft y por porcentaje.

3.1.2.1 Segmentación hard.

En este tipo de segmentación, si el valor de una señal está por debajo de un valor

(umbral) preestablecido previamente, esta señal se pone a cero.

𝑦 = 𝑥 |𝑥| ≥ 𝜎 0 |𝑥| < 𝜎

(20)

Siendo 𝜎 el valor de segmentación o umbral.

3.1.2.2 Segmentación soft

Se define como:

𝑦 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥)𝑓(|𝑥| − 𝜎) |𝑥| ≥ 𝜎

0 |𝑥| < 𝜎

(21)

Por lo general la función 𝑓(𝑥) es una función linear. Sin embargo, en ocasiones se

utilizan curvas spline, (las curvas spline están definidas a trozos mediante polinomios)

de tercer y cuarto orden, para valorar la eficacia cuando se tienen valores mucho

mayores que 𝜎. En determinadas aplicaciones de compresión el usando curvas splines

cuadráticas de orden 𝑚 > 2 puede afectar al ratio de compresión.

MEMORIA

18







3.1.2.3 Segmentación por porcentaje

En aplicaciones como compresión de imagen donde una cuota de bits se asigna al

archivo comprimido, es ventajoso asignar un porcentaje de coeficientes wavelets a cero

para satisfacer dicha cuota. Por lo tanto el valor de 𝜎 está basado en el histograma del

conjunto de coeficientes y el número total de dichos coeficientes. La regla de

segmentación que sigue es la misma que para segmentación hard., una vez determinado

el parámetro 𝜎.

3.1.2.4 Implementación

La implementación de estos tres métodos de segmentación son relativamente simples.

Se resta el valor de la magnitud de segmentación de la magnitud de cada coeficiente.

Por ejemplo, la implementación de la segmentación soft responde a una función lineal

de coeficiente la unidad:

𝑦 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥)𝑓(|𝑥| − 𝜎) |𝑥| − 𝜎 ≥ 0

0 |𝑥| − 𝜎 < 0

(22)

3.1.3 IDENTIFICACIÓN DE FALLOS A TRAVÉS DE SINTONÍAS

El fin básico del reconocimiento de señales acústicas es identificar un patrón de la señal

acústica de una librería de sintonías. Prácticamente, todos los patrones de sintonía son

estadísticos en la naturaleza y también no estacionarios. El uso de wavelets para extraer

características de las señales tiene alto potencial para el éxito del reconocimiento.

Para reconocer un patrón acústico, es necesario tener una serie de características

distintivas, formando un vector característico para cada patrón. Estos vectores

característicos se consiguen mediante la aplicación de muchas muestras de datos a un

evento particular, para formar un algoritmo de reconocimiento.

En un proceso de reconocimiento (hecho real) se compara la FFT con análisis wavelet.

La realización mediante FFT produce aproximadamente los mismos resultados que el

análisis wavelet, pero falla en el reconocimiento de las incógnitas que han de ser

resueltas con el análisis. FFT carece de la información en el dominio del tiempo y por lo

tanto pierde cierta información.

MEMORIA

19







3.1.4 WAVELETS DE DOS DIMENSIONES Y WAVELET PACKETS

3.1.4.1 Wavelets de dos dimensiones.

En aquellos casos donde la señal es 2D, es necesario representar los componentes de la

señal por wavelets de dos dimensiones y una función aproximación de dos dimensiones.

Para cada función escala 𝜙 con su correspondiente wavelet ψ, se construyen tres

wavelets de dos dimensiones diferentes y una función aproximación de dos dimensiones

mediante el producto tensor.

Las wavelets de dos dimensiones se escriben como:

𝛹𝑖,𝑗[1](𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥 − 𝑖)𝜓(𝑦 − 𝑗)

𝛹𝑖,𝑗[2](𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑥 − 𝑖)𝜙(𝑦 − 𝑗)

𝛹𝑖,𝑗[3](𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑥 − 𝑖)𝜓(𝑦 − 𝑗) (20)

Y la función escala se escribe como:

Φ𝑖,𝑗[1](𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥 − 𝑖)𝜙(𝑦 − 𝑗) (21)

Las funciones 𝛹𝑖,𝑗[1](𝑥, 𝑦), 𝛹𝑖,𝑗

[2](𝑥, 𝑦), 𝛹𝑖,𝑗[3](𝑥, 𝑦) son wavelets dado que satisfacen la

identidad:

∫ ∫ 𝛹𝑖,𝑗[𝑗]

𝑑𝑥 𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞= 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1,2,3. (22)

La función aproximada 2D escalado y las correspondientes wavelets ΦD2 se muestran

en la siguiente Figura:

MEMORIA

20







FIGURA 2. Función escalado y correspondientes Wavelets en 2D.

En el dominio espectral cada wavelet y la función escalar ocupan un lugar diferente,

como se muestra figura 2. Debido a la disminución de resolución cada imagen se

descompone en 4.

La distribución espectral de cada una de las cuatro funciones en 2D se puede observar

en la figura 3. Las bandas espectrales se denominan como LH (baja-alta), HL (alta-baja)

y HH (alta-alta), cada una de ellas se corresponde con el espectro de las wavelets

𝛹𝑖,𝑗[𝑁](𝑥, 𝑦), 𝑁 = 1,2,3. La banda LL (baja-baja) se corresponde con la función

aproximación de 2D. Alta y baja se refieren al tipo de filtro para el procesado, si se trata

de filtros basa-baja o pasa-alta. La descomposición de una señal 2D resulta en una

pirámide jerárquizada. Debido a la disminución de la resolución, cada imagen se

descompone en 4 subimágenes. El tamaño de cada subimagen es de un cuarto de la

original. Como ejemplo y demostración se puede observar la figura 4.

02

46

0

5

0

0.5

1

Scale function

02

46

0

5

-1

0

1

Wavelet function (1)

02

46

0

5

-1

0

1


02

46

0

5

-1

0

1


MEMORIA

21







FIGURA 3. Regiones ocupadas por las wavelets y las funciones escala en el plano espectral de dos

dimensiones.

FIGURA 4. Descomposición de una imagen con wavelet en 2D.

MEMORIA

22







3.1.4.2 Wavelets packets de dos dimensiones

Los wavelets packets de dos dimensiones son refinamientos de las wavelets de dos

dimensiones (2D). Si se representa el k-ésimo wavelet packet por 𝜇𝑘(𝑥), se aproxima la

función 𝜇0(𝑥) = ∅(𝑥) a producto tensor de dos wavelets packets que genera un wavelet

packet de dos dimensiones (2D).

𝜇𝑘,𝑙(𝑥, 𝑦) = 𝜇𝑘(𝑥) 𝜇𝑙(𝑦) (23)

Por lo tanto, existen muchos wavelet packets de dos dimensiones que pueden ser

elegidos para formar las bases en 𝐿2 para la representación de las señales. Usando el

producto tensor entre dos packets cualesquiera, se obtienen 64 wavelet packets

diferentes de dos dimensione (2D) incluyendo las funciones aproximación de dos

dimensiones.

𝜇0,0(𝑥, 𝑦) = 𝜇0(𝑥) 𝜇0(𝑦) (24)

Existen demasiados wavelets packets 2D. Un ejemplo de wavelets packets 2D se

muestra en la siguiente Figura.

FIGURA 5. Haar wavelet packet para diferentes niveles.

MEMORIA

23







3.1.4.3 Algoritmos de wavelet de dos dimensiones

Como ya se ha visto anteriormente, las wavelets de dos dimensiones son el producto

tensor de una función de escala 𝜙 y un wavelet 𝜓 de una dimensión. De esto se obtienen

tres wavelets bidimensionales y una función escala también de dos dimensiones en cada

nivel de resolución.

Un wavelet de dos dimensiones es el algoritmo de una dimensión aplicado tanto en la

dirección x como en la dirección y de la señal de dos dimensiones. Supóngase que la

señal es una imagen, en este caso, los valores de la señal se denominan PIXEL, y se

corresponden con la intensidad de reflexión óptica. Si se considera la señal como una

matriz cuadrada de 𝑁 × 𝑁, se debe procesar la señal en una dirección primero, x o y.

Esto se realiza descomponiendo cada fila o cada columna (dependiendo la dirección que

se haya elegido para procesar primero) usando el algoritmo de descomposición de una

dimensión. Debido a la pérdida de resolución, las dos matrices resultantes son

rectangulares y de tamaño 𝑁 × 𝑁/2 o 𝑁/2 × 𝑁. El proceso ha de repetirse, (una vez

traspuestas las matrices resultantes) para obtener de este modo cuatro matrices

cuadradas de 𝑁/2 × 𝑁/2 denominadas 𝑐𝑗−1(𝑚, 𝑛), 𝑑1𝑗−1(𝑚, 𝑛), 𝑑2

𝑗−1(𝑚, 𝑛) y

𝑑3𝑗−1

(𝑚, 𝑛).

El algoritmo de descomposición para dos dimensiones se muestra en la Figura 5. El

proceso indicado anteriormente, se puede realizar un número arbitrario de veces. El

número de coeficientes tras la descomposición siempre es igual al coeficiente de entrada

𝑁2.

FIGURA 6. Diagrama de bloques de descomposición de wavelets de dos dimensiones.

MEMORIA

24







FIGURA 7. Descomposición jerárquica de una imagen en dos dimensiones.

Si los coeficientes no son procesados, la información original puede recuperarse de

manera exacta mediante el algoritmo de reconstrucción, por lo tanto si se trataba de una

imagen, una vez reconstruida esta imagen será igual a la original. Este es el inverso del

algoritmo de descomposición exceptuando las secuencias.

3.1.4.4 Algoritmos wavelet packet

Los algoritmos de dos dimensiones para wavelet packet imitan a los de una dimensión.

Lo que hace es repetir los algoritmos primero en una dirección y posteriormente en la

otra. Todos las componentes wavelet son descompuestos para obtener mayores detalles

de la señal.

El algoritmo de computación para wavelets packets de dos dimensiones, tiene la misma

dificultad que el usado para wavelets de dos dimensiones. Requiere ser cuidadoso con el

orden de los filtros y las direcciones que se han utilizado en el procesamiento, dado que

para la reconstrucción, es necesario seguir el orden inverso al utilizado.

3.1.4.5 Detección de bordes.

Se denomina borde a un grupo de pixeles interconectados que se encuentran en el borde

de dos regiones que tienen una intensidad relativamente uniforme. Tiene gran

importancia en análisis digital de imagen, ya que es capaz de localizar los límites de la

MEMORIA

25







imagen se convierte en una herramienta muy útil en la segmentación, identificación de

formas y registro de imágenes.

A pesar de que existen menExisten dos importantes categorías en los algoritmos de

detección de bordes: El enfoque como gradiente (primera derivada) y el enfoque de

Laplace (segunda derivada). En este apartado se consideraran estos dos enfoques, así

como también los enfoques a partir de wavelets y curvelets.

Un borde ideal, debería como una función escalón, pero en la práctica, los bordes son

más borrosos y pueden ser modelados como funciones rampa entre dos valores. Un

borde borroso puede ser modelado matemáticamente en 𝑥 = 0 por una función error

dada por:

𝑓(𝑥) = 𝐼𝑥>0 − 𝐼𝑥<0

2[𝑒𝑟𝑓 (

𝑥

√2𝜎) + 1] + 𝐼𝑥<0

(25)

Donde la función error 𝑒𝑟𝑓(𝑦) = (2/𝜋) ∫ 𝑒−𝜃2𝑑𝜃

𝑦

0está limitada por ±1 así como la

variable 𝑦 → ±∞. Otro modelo para un borde sería la fórmula 26, la cual tiene un

comportamiento parecido a la anterior.:

𝑓(𝑥) = 1 + tanh(𝛽𝑥) (26)

Se mostraran ahora los diferentes enfoques.

El enfoque como gradiente. Detector de bordes Sobel:

Los métodos utilizados, se basan en buscar y calcular el máximo de la derivada

de primer orden de la imagen en las dos direcciones. La intensidad del gradiente

| |∇𝑓 = √(𝜕𝑓

𝜕𝑥)

2

+ (𝜕𝑓

𝜕𝑦)

2

(27)

indica la nitidez del borde. Esto puede ser aproximado como

|∇𝑓| = |𝜕𝑓

𝜕𝑥| + |

𝜕𝑓

𝜕𝑦|.

(28)

MEMORIA

26







El detector de bordes Sobel, aproxima la ecuación del gradiente mediante la

creación de un par de filtros de imagen 3x3, para hacer la convolución con la

imagen.

El enfoque de Laplace. Detector de bordes Laplaciano de Gauss (método de

Marr-Hildreth):

Este método emplea un filtro Gaussiano para suavizar antes de que el Laplaciano

sea operado sobre la imagen. La localización del borde viene indicada por los

ceros en la siguiente ecuación:

∇2[𝑮 ∗ 𝑓(𝑥, 𝑦)] = 0, (29)

donde G es la función gaussiana de dos dimensiones definida como:

𝐆(x, y) =1

2𝜋𝜎2exp (

𝑥2 + 𝑦2

2𝜎2).

(30)

Detector de bordes de Canny:

Este detector es una optimización del detector Marr-Hildreth visto

anteriormente. Busca la dirección del borde así como también su gradiente.

Utiliza la segunda derivada de la imagen a lo largo de la dirección del borde

(fórmula 31), y posteriormente el gradiente (fórmula 32). El proceso de la

localización del borde tiene los siguientes cuatro pasos: Primero se suaviza la

imagen con la función Gaussiana, el siguiente paso es calcular el gradiente tras

la suavización de la imagen, en el tercer paso se comprueba el valor del

gradiente anterior, si este no es cero se debe calcular la función 𝐷 ∇(𝐺∗𝑓)

‖∇(𝐺∗𝑓)‖2𝑓, el

último paso es buscar puntos de bordes en los cambios de signo de la función del

paso anterior.

Fórmula de la segunda derivada a lo largo del borde:

𝐷 ∇𝑓‖∇𝑓‖2

𝑓 =1

‖∇𝑓‖2(

𝜕𝑓

𝜕𝑥)

2 𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+ 2 (

𝜕𝑓

𝜕𝑥)

2

(𝜕𝑓

𝜕𝑦)

2

+ (𝜕𝑓

𝜕𝑦)

2 𝜕2𝑓

𝜕𝑦2

(31)

Fórmula del gradiente:

MEMORIA

27







𝐷 ∇⟘𝑓‖∇⟘𝑓‖2

𝑓 =1

‖∇𝑓‖2(

𝜕𝑓

𝜕𝑥)

2 𝜕2𝑓

𝜕𝑥2− 2 (

𝜕𝑓

𝜕𝑥)

2

(𝜕𝑓

𝜕𝑦)

2

+ (𝜕𝑓

𝜕𝑦)

2 𝜕2𝑓

𝜕𝑦2

(32)

3.1.4.6 Detección de bordes con wavelet.

Las wavelets actúan como filtros paso banda, como se mostró anteriormente en las

wavelet Haar. La detección de bordes mediante wavelet está basada en la transformada

wavelet de dos dimensiones de la imagen.

Tal como se mencionó anteriormente en el apartado 3.1.4.2, la transformada wavelet de

una imagen para cualquier nivel resolución tiene cuatro componentes; LL que viene de

la convolución de las funciones de escala en las direcciones 𝑥 e 𝑦, LH viene de la

función de escala en 𝑥 y los wavelets en 𝑦, HL son wavelets en la dirección 𝑥 y función

de escala en la dirección 𝑦, por último HH se produce por las wavelets en las dos

direcciones. La componente LL representa la imagen en baja resolución, mientras que la

combinación de las otras tres proporciona los bordes.

Las wavelets son muy eficaces a la hora de identificar puntos de discontinuidad, pero

los bordes representan una discontinuidad a lo largo de una línea, por lo tanto las

transformadas ridgelet son más eficaces en cuanto a buscar bordes se refiere.

3.1.5 COMPRESIÓN DE IMÁGENES

3.1.5.1 Compresión de Datos

Las señales como música, voz, imágenes y películas son almacenadas en la memoria o

bien son enviadas por la red. Hoy en día muchas señales ya son generadas en un

formato digital para estos propósitos. Resonancias magnéticas, fotografías, música y

voz son algunas de ellas. Las señales antiguas producidas analógicamente se pueden

convertir a formato digital mediante digitalizadores, cuantificadores y escáneres. El

objetivo de manipular los archivos en el dominio digital es porque son mucho más fácil

de manejar debido a que el tamaño es menor y es más fácil y eficiente su

almacenamiento y transmisión.

El ratio de compresión y la distorsión o fidelidad son dos de las medidas más utilizadas

para evaluar los algoritmos de compresión. Por lo general los algoritmos utilizados no

tienen pérdidas, pero también existen aquéllos donde se pierde cierta información. La

mayor compresión sin pérdidas que se puede conseguir es codificar la salida de una

fuente de datos con un número medio de bits que sea igual a la entropía de la entrada (la

entropía es el promedio de información de la fuente, a mayor entropía, incertidumbre y

desorden mayor información). Por lo tanto lo que se busca es reducir la entropía e

MEMORIA

28







incrementar el ratio de compresión. Como nota, el ratio de compresión conseguido en

algoritmos sin pérdidas es normalmente pequeño.

Existen numerosos esquemas de compresión de 1D utilizados para voz y música. Por

ejemplo el MP3, que viene de MPEG-1capa 3 de audio, y es el formato más común de

almacenamiento de música siendo una forma de compresión de datos con pérdidas, lo

que hace es, reduce ciertas muestras de la señal que no son perceptibles para la mayoría

de la población. El más utilizado para imágenes es el JPEG.

A continuación se mostrarán diversos tipos de compresión de datos típicos:

Codificación transformada.

Las secuencias de entrada son transformadas en otras secuencias, donde la

mayor parte de la información se encuentra en unos pocos elementos. En este

caso como la mayor parte está contenida en una mitad de datos, si se quita la

otra mitad, la información puede ser recuperada con poca distorsión.

Algunas de las técnicas de transformaciones que se usan son: Transformada

Karhunen-Loéve (KLT), Transformada Discreta del Coseno (DCT),

Transformada Discreta de Walsh-Hadmard (DWHT) y Transformada Wavelet.

En el caso de la Transformada Wavelet la información perdida es bastante

menor que en los otros métodos debido a la propiedad momento de

desvanecimiento.

La codificación sub-banda es similar a la codificación transformada, la

diferencia radica en que se aplica a varias escalas. Unas series de filtros pasa-

baja y pasa-alta son utilizados para reducir el error de cuantificación y conseguir

así un mayor ratio de compresión.

Differential Pulse Code Modulation (DPCM).

Este algoritmo está basado en que para la mayoría de las imágenes, los valores

de los pixeles adyacentes están muy relacionados. Este método requiere predecir

el valor de cada pixel y un código para la diferencia entre el valor del pixel y el

que se predijo. Con un buen predictor implicará menores errores, y esto

implicará un mejor ratio de compresión.

Vector cuantificación (VQ).

Se trata de un sistema bastante popular para la compresión de imágenes. El

proceso puede ser llevado a cabo en el plano de la imagen o después de la

transformación.

MEMORIA

29







3.1.5.2 Codificación wavelet en árbol (wavelet tree)

Este tipo de codificación utiliza una estructura en árbol, tal y como su nombre indica.

Esto es ventajoso debido a la correlación entre los coeficientes discretos wavelet,

utilizados en cada una de las tres direcciones espaciales (HL, LH, y HH), tal como se

muestra en la Figura 7. Si un coeficiente wavelet discreto a un nivel de alto de

descomposición es más pequeño de la segmentación especificada, es muy probable que

sus “hijos” y “nietos” sean más pequeños que el segmento. La codificación de un

DWCs (coeficientes discretos wavelet) de gran tamaño puede necesitar muchos bits,

mientras que un DWC pequeño puede ser codificado con un solo símbolo.

FIGURA 8. Correlación espacial y relación jerárquica en los coeficientes wavelets para

diferentes resoluciones.

Se ilustra una forma genérica de codificación en árbol:

Los DWCs son seleccionados en grupos con segmentos decrecientes para que

los DWCs grandes sean codificados más pronto.

El primer segmento es seleccionado para ser un integrador 𝑇0 = 2j, donde j es el

integrador más cercano menor que log2 𝑚á𝑥|𝐷𝑊𝐶| y el k-ésimo segmento es

𝑇𝑘 = 𝑇0/2j que es la cuantificación uniforme.

MEMORIA

30







Eligiendo el segmento 𝑇𝑘 todas las localizaciones de dicho grupo de DWCs, 𝐶𝑖,𝑗

con 𝑇𝑘 ≤ |𝐶𝑖,𝑗| ≤ 𝑇𝑘−1, son codificadas con una estructura de árbol, y los signos

están también adjuntos. (“dominant pass”)

Estas locaciones 𝐶𝑖,𝑗 que han sido codificadas en simplificaciones previas están

definidas para una mayor precisión al adjuntarles el bit correspondiente al

segmento Tk.Subordinate pass)

Con simplificaciones decrecientes, los principales zero bits de DWCs

codificados son guardados para conseguir la compresión.

El número de bits pueden ser reducidos usando una codificación sin pérdida.

3.1.5.3 Codificación EZW (Embedded zerotree wavelet)

Este esquema ha probado su eficiencia y flexibilidad en codificación de imágenes en

términos de cualidad de la imagen y simplicidad de su computación. El algoritmo EZW

para codificación de imagen, genera un “embedded bitstream” donde la información es

enviada al decodificador en orden de importancia. La importancia se basa en cuanto,

esta información, reduce la distorsión de la imagen reconstruida. Las dos importantes

ventajas de esta técnica de codificación son, primero que el ratio de control de los bits

permite parar la codificación en cualquier instante, y segundo que la imagen puede ser

reconstruida desde el punto donde se paró, incluso con menor calidad.

3.1.5.4 SOT (árbol con orientación espacial)

Se descubrieron unos principios de partición por Said y Pearlman, que mejoraba el

rendimiento hasta en 1.3dB sobre el EZW. Se basa en el parecido espacial que tienen

ciertas subbandas, y se espera que los DWCs estén mejor ordenados en orden de

magnitud si se mueven hacia abajo en la pirámide siguiendo la misma orientación

espacial. Por lo tanto SOT se utiliza para definir la relación espacial de los DWCs en la

estructura jerárquica.

Existen tres conceptos principales para obtener un buen rendimiento en la codificación

de imágenes con SOT:

1. Ordenamiento parcial de la imagen transformada mediante magnitudes y la

transmisión de coordenadas mediante un algoritmo de partición.

2. Transmisión ordenada por plano binario y refinamiento de bits.

3. Explotación de las similitudes de los DWCs en las diferentes escalas.

3.1.5.5 GST (árbol de similitudes generales)

Basado en SOT, este algoritmo ha sido construido de tal manera que es capaz de operar

con cualquier tamaño de imágenes y a cualquier escala de grises. En este algoritmo se

utiliza la descomposición y reconstrucción wavelet con reflexión de bordes, de tal

manera que se puede conseguir una reconstrucción perfecta.

MEMORIA

31







3.1.6 ALGORITMOS PARA LA DETECCIÓN DE MICRO-CALCIFICACIONES

A continuación se presenta un método para la detección de Micro-Calcificaciones

explicado por partes, mediante el uso de wavelets.

3.1.6.1 Algoritmo de estructura CAD (diagnóstico por computación)

El éxito en la detección y reconocimiento de micro-calcificaciones para cáncer, se basa

en minimizar o quitar el ruido de fondo y aumentar el objeto a identificar. Para lograr

esto, se trabaja con las tradicionales técnicas de procesamiento de imágenes mediante

algoritmos de descomposición wavelet. El algoritmo CAD se utiliza para detectar

micro-calcificaciones en fondos oscuros y con muchas texturas, este utiliza diferentes

técnicas de procesamiento de imagen como; realce no linear de imágenes, wavelet

piramidal y descomposición y reconstrucción de imagen direccionalmente, coeficientes

wavelet de operación en dominios, supresión de pixeles oscuros, C-FAR para

segmentación adaptativa, teoría de resonancia adaptativa para grupos y discriminación

de grupos falsos.

3.1.6.2 Partición de imagen y Contraste de realce no lineal

Este es otro caso utilizado para el estudio de micro-calcificaciones, más concretamente

en mamografías. En esta técnica, se divide la mamografía a analizar en un número de

pequeñas imágenes del mismo tamaño. Cada una de estas particiones se separa y se

procesa para obtener los detalles significativos de la imagen inicial, esto se realiza

mediante el realce de contraste. El paso anterior permite más facilidad para localizar las

micro-calificaciones. Además se sabe que no se pierde información al partir la imagen,

ya que se están utilizando wavelets. Por último se utiliza mapeado para quitar los

pixeles con bajos tonos de grises y realzar los que tengan altas tonalidades de gris.

3.1.6.3 Descomposición wavelet de Sub-imágenes

Se descompone cada sub-imagen utilizando el algoritmo de descomposición wavelet,

con el fin de que las componentes de alta frecuencia se resalten. Para esta aplicación, se

pueden utilizar diferentes tipos de wavelets.

Para la descomposición de las sub-imágenes se utilizan tres tipos diferentes de árboles

de wavelet MRA simultáneamente.

3.1.6.4 Procesamiento de coeficientes en el dominio wavelet

Una vez los coeficientes han sido computados, para solo tener los coeficientes wavelets

significativos, que es donde se encuentra las micro-calcificaciones y el resto de

información de alta frecuencia. El procesamiento de los coeficientes requiere

eliminación, segmentación y amplificación. Para realizar estas operaciones es necesario

crear una guía de reglas y parámetros, dado que no tienen interfaz.

MEMORIA

32







Después de las operaciones necesarias, la imagen se reconstruye, y se obtiene una

imagen con un fondo oscuro e intensos puntos blancos que representan las micro-

calcificaciones y en algunos casos el ruido de alta frecuencia. Para diferenciarlos se

utiliza un histograma de segmentación y la eliminación de pixeles oscuros.

3.1.6.5 Histograma de segmentación y eliminación de pixeles oscuros.

Estos algoritmos se utilizan para filtrar la posible información errónea que existe en las

imágenes reconstruidas. El histograma de segmentación necesita el valor de pico de una

escala de grises dada. Una vez utilizado el histograma de segmentación, el algoritmo

CAD une las dos imágenes (la original y la modificada) para crear una imagen donde se

puede observar claramente toda la información referente a las micro-calcificaciones. Es

necesario eliminar los pixeles oscuros, y una vez hecho esto las áreas donde

potencialmente existen micro-calcificaciones son identificadas en la imagen realzada.

Dado que existen muchas zonas se utiliza el algoritmo CFAR, como un detector

probabilista que reduce las zonas a solo las de cierto grado de probabilidad que es

medido mediante datos estadísticos de la propia imagen.

3.1.6.6 ART2

Las zonas sospechosas se forman utilizando la teoría de resonancia adaptativa (ART),

con un factor de vigilancia. Se eligen conjuntos de píxeles de las zonas detectadas, y se

examinan para discriminarlos. Los grupos de píxeles elegidos han de tener al menos tres

posibles micro-calcificaciones, en el caso de que se elija un grupo que no cumpla las

características, este será desechado como falso positivo y eliminado de las zonas

sospechosas.

Este algoritmo en conjunto se ha utilizado en casos reales, y se ha comprobado que con

el uso de las wavelets para CAD es más favorable que el de otros algoritmos CAD, en

comparación con las estadísticas reales.

3.1.7 SISTEMAS DE COMUNICACIÓN CON MULTIPORTADORAS (MCCS)

La modulación por multcarrier o multiportadoras se utiliza para transmitir conjuntos de

datos. La información a transmitir se divide en diferentes trozos de información, de

manera que contengan menos bits y sean mucho más fáciles de transmitir. Cada trozo de

información se encarga de modular a una portadora, estas partes de información tienen

el mismo tamaño.

3.1.7.1 OFDM

Se va a realizar una breve introducción de OFDM, dado que es interesante conocerlo

para luego entender bien cómo funcionan los sistemas basados en wavelets.

MEMORIA

33







La Multiplexación por División de Frecuencias Ortogonales (OFDM) es una forma

especial de MCCS, con portadoras muy espaciadas y superposición de espectros. La

banda de transmisión es dividida en un gran número de subbandas, con portadores

ortogonales. Las ondas son elegidas en el dominio del tiempo de modo que sean

ortogonales entre sí, a pesar de la superposición de espectros. Este método de

modulación elimina prácticamente toda la distorsión que pueda haber ya que en cada

banda la atenuación es constante y el retardo es lineal. Las portadoras pueden perder la

ortogonalidad a altas frecuencias, debido a los posibles errores que ocurren en estas

bandas, por ello este tipo de modulación se realiza a bajas frecuencias.

En la figura siguiente se observa el transmisor de un sistema de multiportadora. Se

puede apreciar como los datos entran como bits en serie, son divididos y enviados en

paralelo a diferentes frecuencias con una portadora en forma de coseno, las frecuencias

de cada división son múltiplos de una primera elegida ω, posteriormente son sumadas y

enviadas.

FIGURA 9. Transmisor de un sistema de comunicación con multiportadora.

En esta figura, por otro lado, se muestra el receptor, la señal enviada a diferentes

frecuencias es filtrada para las citadas frecuencias en paralelo, y posteriormente cada

señal que sale de los filtros es muestreada, por último se ordenan la información que ha

salido de los filtros y se pasa de paralelo a serie, de este modo se busca que la señal

recibida se parezca lo máximo posible a la señal que fue enviada en un principio.

MEMORIA

34







FIGURA 10. Receptor de un sistema de comunicación con multiportadora.

3.1.7.2 MCCS con Wavelet

En el apartado anterior se realizó una breve descripción del funcionamiento de OFDM,

este utiliza funciones seno y coseno para la transmisión de la información, mientras que

MCCS con wavelet utiliza diferentes wavelet packet como ondas en el dominio del

tiempo. Si la función aproximación ϕ genera un conjunto ortonormal en el espació 𝐿2,

sus wavelet packets correspondientes son ortogonales. Las portadoras son wavelet

packets, y por tanto, los filtros que se utilizan en el receptor han de ser diseñados

acorde.

En una comparativa con el sistema OFDM, a bajas frecuencias la probabilidad de error

de bit tanto en OFDM y en MCCS con wavelet es muy similar. Sin embargo a medida

que se aumenta el offset en la frecuencia, el sistema mediante wavelet ofrece un

rendimiento exponencialmente mejor, cuanto más alto es el offset.

En la figura siguiente se puede observar un ejemplo genérico de emisor MCCS con

wavelet. Tal y como ocurren en OFDM la señal entra y los datos son divididos en

paralelo, en este caso las portadoras son wavelet packets en diferentes dominios del

tiempo, después de dividirlo en las diferentes portadoras, las señales se suman y se

envían al emisor.

MEMORIA

35







FIGURA 11. Emisor de un sistema de comunicación con multiportadora mediante wavelet.

En esta figura a continuación, se puede observar el receptor de MCCS con wavelet, la

señal se pasa por diferentes filtros en paralelo, para los correspondientes wavelet

packets, estos filtros están realizados mediante wavelets a diferencia de los de OFDM,

la señal es filtrada y muestreada en paralelo, y pasada a serie para obtener la señal lo

más parecida a la de entrada.

FIGURA 12. Receptor de un sistema de comunicación con multiportadora mediante wavelet.

MEMORIA

36







3.1.8 VISUALIZACIÓN DE IMÁGENES MÉDICAS EN TRES DIMENSIONES

Las imágenes en 3D se utilizan en medicina para plantear tratamientos, hacer

diagnósticos y visualizar cirugías. Las imágenes en 3D se consiguen a partir de la

reconstrucción de diferentes imágenes en 2D. El problema de estas imágenes en 3D es

que, ocupan mucho espacio de memoria, su transmisión es lenta y la reconstrucción de

las imágenes es lenta y además necesita complejos algoritmos.

Si se utiliza un algoritmo de descomposición y reconstrucción wavelet en 3D se

obtienen ciertas ventajas frente a los algoritmos tradicionales, en compresión del

volumen de la región de interés: la naturaleza de la transformada en el domino de la

frecuencia y el espacio permite una transmisión de datos sólo en la región de interés,

además de esto, en la reconstrucción del espectro espacial de una representación de

datos 3D, se consigue una visualización más natural, incluso en ratios altos de

compresíon.

3.1.8.1 Wavelets y Algoritmos tridimensionales

Siendo muy similar a wavelet de 2D, la descomposición de wavelets de 3D se realiza

para un volumen discreto de datos, mediante una operación de filtrado. Tras una

transformada wavelet de nivel, los datos son divididos en ocho bloques.

El volumen 3D se puede aproximar mediante la siguiente función,

𝑎𝑗+1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∑ 𝑎𝑛,𝑚,𝑙𝑗

𝜙(2𝑗𝑥 − 𝑛,

𝑛,𝑚,𝑙

2𝑗𝑦 − 𝑛, 2𝑗𝑧 − 𝑛) (33)

donde la función 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝑎𝑗+1(𝑥, 𝑦, 𝑧) son los coeficientes de la función de escala.

Para añadir detalles se pueden añadir funciones wavelet tridimensionales para

resolución 2j.

3.1.8.2 Técnicas de renderizado.

El renderizado, es el proceso de generar imágenes utilizando ordenadores. La meta es

transformar datos numéricos en datos gráficos, para renderizado.

En las técnicas tradicionales se asumía que, cuando un objeto es renderizado, las

superficies y sus interacciones con la luz eran vistas. No obstante, ciertos objetos

translucidos, y para renderizarlos de manera apropiada es necesario cambiar

propiedades dentro del mismo objeto, y por lo tanto no solo su superficie sino su

volumen entero.

MEMORIA

37







Uno de los desarrollos clave para la visualización volumétrica de datos escalares, fue el

algoritmo de Lorsenson y Cline. Este algoritmo, llamado de cubos cerrados, asume que

el contorno puede pasar a través de una celda, de un número finito de maneras posibles,

y este número es calculable.

3.1.8.3 Región de interés

Dado que las wavelets pueden ser localizadas en los dominios del espacio y la

frecuencia, el refinamiento de la región de interés se puede conseguir añadiendo los

detalles, sólo en las regiones necesarias. Por lo tanto, las wavelets pueden ser una

herramienta útil para la compresión, la imagen puede ser aproximada una primera vez

por los coeficientes de reconstrucción paso-bajo, y los detalles pueden ser restaurados

mediante la transmisión de los coeficientes paso-alto necesarios en las regiones de

interés.

Por lo tanto, los algoritmos de descomposición y reconstrucción wavelet de 3D, son

muy útiles para la visualización de imágenes, ya que mejoran la velocidad, y los ratios

de compresión al utilizar la región de interés.

3.1.9 APLICACIONES GEOFÍSICAS

Estas aplicaciones incluyen la caracterización de la estructura geológica del subsuelo, la

localización e identificación de objetos en el subsuelo, y la estimación, mapeado y

monitorización de las propiedades de los materiales.

Para ello, existen dos importantes técnicas para escoger datos, sísmica y de registro de

pozos. La técnica sísmica genera ondas elásticas y sonoras que se propagan por el

terreno, y se recoge la información de las reflexiones. La cantidad de datos que se

obtiene, es muy grande. Con la técnica de registro de pozos se obtiene mayor

información del entorno y con mayor resolución, en este método se hace una

perforación en el suelo de una profundidad que puede llegar a algunos kilómetros, y su

diámetro varía entre 15 y 30 cm.

El análisis wavelet se ha utilizado mucho para el análisis de datos sísmicos,

identificación de fluidos, procesamiento e interpretación de los datos de los pozos,

filtrado de ruidos, detección de anormalidades, procesado de señales no estacionarias de

presión y muchos otros.

La mayor parte de las aplicaciones con wavelets son en análisis de datos geofísicos y su

interpretación. Sin embargo, existen trabajos de aplicación de wavelets a problemas del

valor de los límites y las inversiones en geofísica.

MEMORIA

38







MEMORIA

39







Capítulo 4 APLICACIONES DE LA

TRANSFORMADA WAVELET EN DSP.

Las wavelets son utilizadas en un vasto número de campos, como geofísica, astrofísica,

control de calidad, biología, señales en medicina (cómo fue mostrado en el capítulo

anterior), representación comprimida de huellas dactilares o fotografías, imágenes de

satélite, codificación de señales de video, modelado del tráfico en redes de

comunicación (internet) y análisis atmosférico. Todo esto es posible porque las señales

con las que se trata son digitales. El campo de las wavelets crece día a día y cada vez en

más dominios y resuelven más problemas.

Hubbard en su libro, enuncia las razones por las cuales las wavelets se vuelven tan

populares y en tantos y diversos niveles:

- En primer lugar, se trata de un método relativamente nuevo en el procesamiento

de señales. Lo que trae innovaciones técnicas y hace posible la visión de otras

informaciones más antiguas a través de herramientas más fáciles y accesibles. Es

creado un nuevo diccionario de formas, conectando características de señales de

esas transformadas wavelet, permitiendo así entender las propiedades de señales

basadas en estructuras de coeficientes.

- Las técnicas mediante wavelets, constituyen una herramienta para el análisis

local, que como ya se ha mencionado, difiere del análisis de Fourier. Las

wavelet pueden enfocarse localmente, mediante la inspección de la información

alrededor de un punto. Tras esto la información codificada en coeficientes, viene

determinada por los valores de la señal cercana al apoyo del wavelet.

- Las wavelets constituyen bases espaciales donde se encuentran las señales. Estas

representan todas las señales que se pueden conseguir “jugando” con ellas. Estas

bases son normalmente ortogonales.

MEMORIA

40







4.1 CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES

En esta clasificación se dividen las aplicaciones en tres campos. Separando las

aplicaciones donde predominan los aspectos de escala, de aquellas con aspectos más

específicos como tiempo o espacio, y también aquellas aplicaciones que utilizan las

representaciones posibles que ofrecen las wavelets.

Aspectos de escala para

señales e imágenes

Aspectos de tiempo o

espacio

Problemas

Determinación de patrones.

Calculo de aproximaciones,

suavizado.

Rupturas. Bordes

Descomposición,

superposición, separación.

Rápida evolución: corta

duración, transitorios.

Campos

Modelado del tráfico de

redes de comunicación:

Internet

Detección de eventos con un

mismo patrón.

Señales biomédicas:

mamografías

Intermitencia en físicas:

agujeros de presión en un

campo.

Monitorización industrial

para la localización de

rupturas en engranajes.

Leyes de escala en física:

turbulencias.

Control no destructivo:

detección de disfunciones en

profesos de control.

Señales subacuáticas.

Tabla 1. Clasificación de las aplicaciones wavelets, en función de la escala y aspectos

espacio-temporales.

En la siguiente tabla se representan las aplicaciones, utilizando las características de las

wavelets como un todo, sin hacer ninguna distinción.

MEMORIA

41







Características

Problemas Reconocimiento de patrones. Clasificación.

Simplificación. Representación económica.

Campos

Eliminación de ruido en señales e imágenes biomédicas.

Codificación de video, codificación de imágenes animadas.

Compresión de fotografías, que pertenecen a vídeos.

Clasificación de espectros de estrellas. Conducta alimentaria.

Detección de barcos y helicópteros mediante el reconocimiento de

sintonías. Detección de sacudidas sísmicas.

Aproximación numérica de operadores lineales.

Tabla 2. Clasificación de aplicaciones con características conjuntas.

Para poder observar con mayor facilidad las aplicaciones que se van a tratar a

continuación, conviene darles nombres más francos. En los siguientes apartados, se dará

una explicación de cada aplicación.

Caracterización de ráfagas de viento

El objetivo de esta aplicación, es la caracterización de los vientos oceánicos durante la

fase de formación, su crecimiento y su periodo de máximo desarrollo.

Las medidas se realizan mediante puntos de medida, donde se recogen bases de 10

medidas por segundo.

Para el análisis de señales se utiliza el análisis de los espectros. Se adapta al uso

mediante wavelets, remplazando la base de los exponenciales complejos, que

intervienen en Fourier, con wavelets 𝜓𝑎,𝑏. La energía de la señal descompuesta, es

luego analizada en función de tiempo y escala. Para señales unidimensionales el análisis

es el tradicional. Para señales de dos o más dimensiones procesadas simultáneamente, el

estudio se realiza sobre multivariables y es más específico.

En esta aplicación, las wavelets se utilizan para tres fines: detección de efectos en

grupos de ondas, análisis del desarrollo de las ondas debido al viento y rupturas en las

ondas.

MEMORIA

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Detección de sacudidas sísmicas

Se busca identificar varios componentes cortos y no estacionarios, de una señal sísmica,

utilizando las wavelets como patrón de reconocimiento.

Los registros de sismogramas se mueven en tres direcciones; dos en horizontal, y una

vertical. Normalmente la localización se basa en varios detectores de tierra. Aunque en

ocasiones se utiliza un solo sensor para pequeños sucesos.

Las partes características importantes son guardadas sobre varios niveles. El detector

localiza la parte primarias o P de la onda, utilizando polarización a lo largo de las

escalas. Mientras que el análisis de las partes secundarias o S de la onda, están basadas

en la relación entre las amplitudes transversal y radial a lo largo de las escalas.

El lugar de medida está localizado en España y cubre un radio de 2500 kilómetros y ha

trabajado con más de 23 eventos sísmicos.

Para analizar las ondas sísmicas se utilizan wavelet daubechies, pues son las que más se

asemejan a la señal de interés.

Estudio batimétrico del suelo marino

Con esta aplicación se busca mapear el fondo marino, y para ello se buscan áreas bordes

cordilleras, y en particular grandes declives escarpados. En la actualidad se realiza en

una zona del norte del atlántico, y muestra un valle, en una zona de separación de placas

tectónicas. Donde las mide áreas de 100x70 kilómetros y con profundidades que varían

entre 1800 y 4000 metros. Para conseguir los datos, se utiliza un ecosonda montado en

un barco que se mueve por la zona.

Esta técnica utiliza una mejora de imagen y detección de patrones en las formas,

utilizando wavelets basadas en B-splines en producto tensor con un filtro. La función se

rota en el plano para que de este modo, la dirección principal sea aquella requerida por

los bordes. La derivada del cubo B-spline da otra función, la cual localiza las

transiciones entre los valles y áreas escarpadas.

La descomposición wavelet de datos batimétricos, revela estructuras y patrones que de

otro modo pasarían desapercibidos en la señal original. Con las wavelets se consigue

una imagen mejorada y un identificador cualitativo de zonas escarpadas, y de este modo

ayuda a entender muchos procesos que ocurren en el fondo oceánico a diferentes

escalas.

MEMORIA

43







Análisis de turbulencias

El estudio realizado por Papanicolaou y Solna trata con la ley de turbulencias de

Kolmogorov, la cual conecta energía con escala. Esta proporciona una descripción de

los campos de velocidad en términos de fenómenos atmosféricos.

Para estos estudios existen dos características básicas:

- El espectro de wavelets, que generaliza el espectro normal basado en la

transformada de Fourier.

- El modelado del proceso, llamado fractional Brownian motion, denotado como

MBFH (abreviatura francesa) que depende del parámetro H.

Los datos para esta aplicación son recogidos mediante un aparato que emite rayos láser,

que dan medidas y de las cuales se deducen las temperaturas atmosféricas en las

diferentes altitudes. Estas medidas contienen gran cantidad de datos y cubren una zona

de 80km en vertical.

La técnica utilizada, consiste en encontrar la partición de la línea vertical y calculando

las correspondientes estimaciones de H. Para ello se eligen las bandas de valores donde

el parámetro puede tomarse como constante, y se realiza una estimación de valores para

H, parámetro que varía con el segmento.

En este estudio se utilizan solamente Haar wavelets, y no aparecen las funciones de

escala. Solo es útil el aspecto multiresolución que aportan las wavelet. Aunque a la vez,

las wavelet calculan los incrementos de medida y el filtrado a bajas frecuencias.

Electrocardiogramas

Debido a las propiedades de las wavelets, y que estas permiten analizar señales muy

pesadas en datos, surge la idea de utilizarlas con las señales biomédicas. Para su

transmisión y almacenamiento, dado que estas señales son muy pesadas. Las wavelets

incrementan el ratio de compresión, frente a otros, y deben mantener la distorsión a un

nivel aceptable para permitir un examen médico. Para entender cómo funciona esta

aplicación conviene saber que significan las siglas: P (activación eléctrica de las

aurículas), QRS (activación eléctrica o impulso de los ventrículos), Tiempo P-QRS

(duración de la conducción eléctrica aurícula-ventrículo) y T (repolarización de los

ventrículos). Dado que estas siglas son las formas de una señal eléctrica cardiaca.

Un electrocardiograma es una señal corta y de rápidas variaciones, que por lo tanto, es

apropiada para el análisis wavelet. La amplitud, duración y ritmo dan pistas para la

identificación de anomalías.

Para esta aplicación se utilizan codificaciones escalares y vectoriales en diferentes

bandas de escala. Las codificaciones escalares se utilizan para pequeñas escalas con

MEMORIA

44







señales cambiando rápidamente, las codificaciones vectoriales son utilizadas para

señales largas y que varían lentamente. En esta aplicación la descomposición wavelet va

hasta el quinto nivel.

Con el uso de wavelets se obtienen resultados con una mejoría significante respecto a

los métodos más usuales. Los criterios de evaluación que se siguen son, el ratio de bits

por muestra y el error cuadrático de reconstrucción (explicados en el anterior capítulo).

Las wavelets Vetterli-Herley producen los mejores resultados.

Conducta alimentaria

Estos análisis estudian la influencia del tipo de grasa ingerida por un individuo con la

grasa almacenada por el cuerpo. La medida básica utilizada es un espectro de resonancia

magnética que proporciona información acerca de la composición química de esta grasa.

Los picos del espectro representan núcleos en varios lugares moleculares, que están en

resonancia a con pequeñas variaciones de frecuencia. El área localizada debajo de cada

pico, estima la cantidad de sustancia asociada con el pico. In vitro, los picos están

señalados. In vivo, la identificación de los picos es mucho más laboriosa, y por ello se

desea evitar.

Los datos para esta aplicación se toman de grasa subcutánea de los muslos de los

pacientes, con ello se consigue un set de espectros. Para analizar estos datos los

espectros se parten en coeficientes wavelet de db20, y son recodificados utilizando los

primeros 64 coeficientes. Un análisis factorial discriminatorio clasifica los grupos (o

sets) de los espectros, sin necesidad de medidas o de identificar los picos del espectro.

La ventaja que aportan las wavelets a esta aplicación, es que, incluso trabajando a

ciegas, sin información de la señal para ser analizada, las wavelets seleccionan la

información al hacer disminuir su cantidad significativamente. Consiguiendo que los

posteriores análisis estadísticos estén mucho más simplificados, y mejorando la cantidad

de clasificación,

Wavelets fraccionarias y fMRI

Las siglas fMRI vienen de functional magnetic resonance imaging, o bien imágenes por

resonancia magnética funcional. Estas imágenes señalan las zonas de la corteza cerebral

de un paciente, que son activadas por estímulos externos durante una tarea cognitiva o

motora. En estas aplicaciones se busca el wavelet que asegure un buen análisis del

fMRI.

La investigación en la mayoría de los trabajos está estructurada por un diseño

experimental, cuyos factores son los sujetos y las condiciones de trabajo.

En esta aplicación se considera una familia de wavelets, llamada esplines fraccionarios,

estos son una generalización de los B-esplines y fueron introducidos por Unser. Existen

de forma causal, no causal, simétrica y ortogonal o biortogonal. Los filtros asociados,

MEMORIA

45







no tienen una respuesta finita al impulso, pero son simples. Un test estadístico en los

coeficientes para, reducir el ruido y luego evaluar la significación de la activación.

En un fMRI, la técnica tradicional se denomina SPM (mapeado estadístico de

parámetros). Filtra las imágenes antes del test estadístico. El prefiltrado produce ruido

en algunos pixeles de la dependencia de la imagen, lo cual complica la situación.

Las wavelets aportan a esta aplicación una eficaz detección de formas en los diferentes

contenidos de frecuencia, como son las mezclas de zonas con activaciones grandes y

pequeñas. Esto es debido a la naturaleza de multiresolución de las wavelets.

Wavelets para la biomedicina

En el sector biomédico las señales grabadas son normalmente complejas. Mezclas entre

señales medidas y ruido, con picos en las señales, como los electroencefalogramas, o

fluido de la sangre y el ruido cardíaco.

Como ya se ha señalado en el apartado anterior, se tienen dos tipos de aplicaciones, para

1D y para 2D. Los de 1D tratan las señales acústicas, electroencefalogramas (EEG) y

electrocardiogramas (ECG). Las aplicaciones 2D tratan con imágenes, como las

obtenidas en tomografía, señales núcleo magnéticas, y también con eliminación y

reducción de ruido, mejora del contraste de imágenes y detección de malformaciones en

las mamografías. En estas aplicaciones todos los tipos de análisis de wavelets tienen una

aplicación. (Las de wavelet packets se comentaron en el apartado 3).

El trabajo de las wavelets es variado, y cada característica de estas se asocia con uno o

varios usos. Los bancos de filtros se utilizan para mejorar el contraste de las imágenes y

eliminar el ruido de estas, así como para separar las bandas de frecuencia y evaluar la

distribución de energías para reconocer un patrón o distribución (caso de los sonidos del

corazón para detectar enfermedades coronarias). Como bases, se utilizan como una

herramienta económica de codificación, y para organizar la información de manera

jerarquizada. El análisis por nivel de escala, proporciona una técnica de detección de

formas y por lo tanto constituye una herramienta de zoom; esta propiedad se utiliza para

estudiar los picos en las EEG para los pacientes epilépticos. Las wavelets aseguran un

análisis simultáneo de tiempo y escala, que hace frente a las herramientas en tiempo-

frecuencia. Dado que las wavelets tienen espectro cero en los alrededores de la

frecuencia 0, hace posible hacer los ruidos de color más blancos, lo cual es útil para el

contraste.

MEMORIA

46







Control de procesos estadísticos

Estos procesos son utilizados en controles de calidad, en procesos de desarrollo y para

el diseño, control y monitorización industrial y procesos de manufacturación. Están

basados en el modelado de operaciones de control, y en la definición de situaciones con

operaciones con términos fuera del control. Una estadística de monitorización es

calculada y controlada a lo largo de las muestras. Mientras los datos se mantengan en la

zona de control, la muestra es correcta, y se continúa con la producción. Cuando se sale

del control, se para la producción y se buscan las causas que han provocado esto. Los

estadísticos de monitorización normalmente usados, son las t de student.

En ciertos casis, diferentes medidas están disponibles, y el problema pasa a ser de

multivariables, en estos casos la investigación en las causas es crucial y trabajosa. A

pesar de esto, la mayoría de las muestras multidimensionales dependen solamente de un

pequeño número de dimensiones, normalmente 2. El principal componente del análisis

hace posible reducir el conjunto dimensional, seleccionando las combinaciones más

relevantes de las variables iniciales.

Cuando las medidas son señales grabadas en el tiempo, las componentes más

significativas son propensas a coger ruidos blancos e incluso de color. Las wavelets se

utilizan, principalmente para la reducción de ruido, pero también para localizar las

señales con errores.

La mayoría de los controles de procesos estadísticos tienen una parte significante de

know-how. Las wavelets evitan el pre-procesado, lo cual constituye una ventaja

substancial. Además de asegurar una diferenciación en el tiempo de las diferentes

variables.

Compresión online de información industrial

El objetivo de esta aplicación es caracterizar y predecir las propiedades de un producto,

composición y la distribución. Las wavelets permiten un mejor control estadístico y

permiten detectar mejor los errores. Los fallos que se buscan, normalmente ocurren en

diferentes escalas, localizados en detalles de los espectros o más globalizados, las

wavelets están bien adaptadas para hacer las distinciones convenientes.

Transitorios de señales subacuáticas

El objetivo de esta aplicación es detectar señales entre el ruido del fondo marino. Estas

señales normalmente son un pitido o pequeños intervalos de clicks. Estas señales tienen

MEMORIA

47







mucha interacción con el fondo, y el uso de wavelets permite detectar mejor la

localización en tiempo-frecuencia de los transitorios que las técnicas basadas en Fourier.

En estas señales aparece un transitorio en un punto que se diferencia de las

características no transitorias de la señal. En este punto, un test estadístico comprueba la

energía del bloque con una energía de referencia. Cada bloque es analizado utilizando

wavelets a lo largo de 15 niveles. En la fórmula siguiente es posible apreciar una

fórmula utilizada, donde cada bloque se denota como t, el nivel de las wavelets como j

y el coeficiente de detalle se denota como 𝑑𝑘𝑗. Esta fórmula es la energía media en las

siete primeras escalas, donde 𝑥𝑡𝑗 es el ingrediente básico.

𝑥𝑡𝑗 =1

2(𝑆−𝑗)∑ 𝑑𝑘(𝑡)

𝑗 22(𝑆−𝑗)

𝑘=1

𝑗 = 1, … . ,7 (34)

Normalmente con 3 e incluso en casos con 2 escalas es suficiente, ya que el vector útil

no utiliza las partes de baja frecuencia de la señal. El test estadístico estima la densidad

de la distribución en la ausencia de fenómenos transitorios y en presencia del ruido de

fondo.

Se estudian dos señales, una teórica y una real. La señal teórica se construye añadiendo

una un sonido a la señal real recreado a partir de las bases de ruido del fondo marino, se

hace mediante una transformada de Fourier. El ratio señal ruido se puede ajustar. La

técnica basada en wavelets, utiliza solo dos niveles de descomposición, es comparada

con la detección basada en transformadas de Fourier short-time. Los datos se dividen en

dos ventanas, donde las frecuencias son divididas en dos clases, donde la energía de la

distribución es comparada con la media de la señal completa. Se decide si el transitorio

está presente en una banda de frecuencia si la energía de dicha banda, sobre pasa un

umbral que ha sido decidido previamente.

En las pruebas que han sido realizadas, se llega a la conclusión de que las wavelets

tienen mejor ratio de acierto que las transformadas de Fourier. Esta técnica de detección

basada en wavelets es muy nueva.

Codificación de video

Existen ciertas aplicaciones wavelets para la codificación de imágenes animadas o

video. Una técnica de reordenación permite reducir las redundancias de una secuencia

de imágenes, y además la interpolación de texturas mejora la predicción. Se evitan los

errores previstos con wavelets utilizando procesos de precodificación PACC (partición,

agregación y codificación condicional).

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La técnica utilizada utiliza un proceso bilineal en una cuadricula, basada en un modelo

de movimiento continuo. En el proceso se distinguen diferentes etapas: estimación y

compensación de movimiento, representación y cuantificación wavelet, precodificación

y codificación aritmética. Los resultados obtenidos con wavelets son mejores, y con una

clara diferenciación para pequeños ratios donde las codificaciones por bloques

presentan efectos de bloqueo.

Tomografías asistidas por ordenador

En estas aplicaciones un rayo-x es emitido hacia un cuerpo o un objeto para ser

analizado. La intensidad medida en el final del punto, codifica una integral ponderada

de la densidad del cuerpo. Si se utilizan muchos rayos es posible reconstruir la densidad

y distinguir las zonas sanas de las que pueden tener problemas. La transformación

integral de Radón constituye una herramienta básica para este tipo de aplicaciones.

Para la reconstrucción de un punto, se requiere conocer los valores de las integrales en

las rectas alejadas del punto. Las wavelets toman partida en este asunto, la inversión de

una transformada puede usar una base wavelet de 2D, donde la localización y los

momentos nulos constituyen una importante ventaja. Además, las wavelets aseguran un

rápido cálculo de los operadores integrales.

Producción y análisis de imágenes o señales irregulare:

Una señal puede ser irregular en diferentes maneras, una ruptura presenta una

irregularidad y también una señal fractal. Están siendo introducidas nuevas señales en

finanzas, modelado de superficies rugosas, en la descripción de bordes de células

cancerosas, en el estudio de bordes de nubes y otros de naturaleza similar. Todas estas

señales presentan irregularidades con escalas variadas. Las wavelets se utilizan para el

análisis y la sintetización de estas señales, así como herramientas para estimar sus

características y crear señales y superficies.

Los generadores están basados en series aleatorias de representaciones de coeficientes

wavelet, las propiedades de estos son relativamente simples. Para la estimación existen

dos ideas, la primera se obtiene del comportamiento de las transformadas wavelet a

bajas frecuencias (tienden a 0), la segunda idea proviene de la expresión de la varianza

de los coeficientes en función del nivel de trabajo.

Previsión

Existen wavelets que son utilizadas para la predicción de señales grabadas en el tiempo.

Las wavelet Haar son herramientas básicas que aseguran la descomposición de SWT

(transformadas de translación invariante). Cada escala se prevé independientemente

MEMORIA

49







después del ajuste de un AR, modelo de ecuación lineal estadística de orden 1. Los

coeficientes son previstos primero y posteriormente se reconstruye la señal.

Las wavelets son interesantes para este tipo de aplicaciones de predicción, ya que separa

bien las señales cuya correlación presenta un efecto de gran rango, y además las wavelet

Haar pueden ser utilizadas sin la necesidad de adelantar futuras medidas. Los autores de

esta aplicación califican las wavelets como efectivas.

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Capítulo 5 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES CON

WAVELETS

5.1 INTRODUCCIÓN

Las aplicaciones wavelet para el procesamiento de imágenes, se encuentran

normalmente centradas en la compresión. En estos días donde se necesitan almacenar

grandes cantidades de información, y transmitirlas por la nube, es importante que el

almacenamiento y la transmisión sean rápidos y eficaces. Es por ello que la compresión

es una herramienta clave hoy en día.

Existen dos ejemplos importantes, que han tenido un importante impacto:

- El FBI eligió un algoritmo que contiene wavelets para el almacenamiento de

huellas dactilares.

- El estándar de compresión JPEG 2000 ha sido construido alrededor de wavelets.

Estas dos aplicaciones fueron han sido un éxito, y propiciaron que las wavelets se

hicieran más populares.

En el capítulo 5, se estudiarán varios tipos de aplicaciones wavelets con imágenes como

son, la detección de bordes, la fusión de imágenes la eliminación y la compresión.

5.2 WAVELETS PARA LAS IMÁGENES

El análisis multi-resolución en 2D es una familia de subespacios que tienen varias

propiedades relacionadas con aproximación, dilatación y traslación. Estos análisis

multi-resolución vienen de construcciones utilizando productos tensores.

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Para cada nivel j el espacio aproximación del análisis multi-resolución se obtiene como

una suma de cuatro productos tensores de 1D. En este tipo de análisis se tiene también

función de escala, además de tres wavelets, en el análisis de 1D se tiene sólo un

wavelet y una función de escala.

5.3 DETECCIÓN DE BORDES

Las wavelets perciben la fuerza de las frecuencias en la señal, pero lo realizan en un

cierto espacio de tiempo. Esta propiedad es lo que hace que con wavelet se pueda

obtener un buen método para una buena detección de bordes.

En este apartado se podrán observar la eficacia de la detección de bordes que aportan las

wavelets en los ejemplos a continuación.

En el siguiente ejemplo siguiente se muestra una imagen con diferentes geometrías. Se

realiza un análisis wavelet con daubechies 2, a continuación se calcularán las

aproximaciones y los detalles hasta nivel 3.

FIGURA 13. Imagen original.

En la imagen anterior pueden apreciarse cuatro figuras geométricas, que servirán para

observar cómo trabajan las wavelets en los coeficientes de detalles.

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Coeficientes Nivel 1.

FIGURA 14. Coeficientes de aproximación, detalles horizontales, detalles verticales y detalles diagonales

de nivel 1. (De izquierda a derecha y de arriba abajo).

Para realizar esta descomposición, se ha utilizado el código Descomposición, que se

encuentra en el anexo de códigos.

Tras realizar el primer nivel del análisis se pueden observar diferentes aspectos del

análisis. La aproximación de nivel 1 tiene un gran parecido a la imagen original, apenas

se observan variaciones, dado que es una imagen muy simple, en cierto modo esta

aproximación es una versión comprimida de la imagen original. A partir de los

coeficientes de detalle podemos observar claramente la detección de los bordes. Dada la

geometría de las figuras se observa perfectamente como en los cuadrados y los

rectángulos los coeficientes de detalle en horizontal y vertical están muy marcados, así

como en el círculo y el triángulo están muy marcadas las diagonales.

Coeficientes Nivel 2.



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Coeficientes de nivel 3.



Los niveles dos y tres, serían como una versión comprimida del nivel anterior, y eso se

puede observar en los pixeles, son más grandes cuanto más alto es el nivel y la imagen

está más difuminada porque contiene menos información. Aun así, se puede ver como

los coeficientes de detalle siguen mostrando a la perfección las diagonales y las líneas

horizontales y verticales.

Con una fusión de tres imágenes, seríamos capaces de obtener solamente los tres

coeficientes en una imagen y mostrar claramente los bordes.

Como se ha podido observar claramente, los bordes horizontales verticales y oblicuos se

marcan claramente en las zonas regulares.

En el siguiente ejemplo se tratara una foto de un paisaje real de A Coruña.

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FIGURA 17. Faro de A Coruña, con la torre de Hércules al fondo.

Para este ejemplo se ha decidido hacer un análisis con la herramienta wavemenu de

Matlab, se han utilizado wavelet packets con wavelets tipo Haar y a nivel 1.

FIGURA 18. Coeficientes de aproximación de la imagen tratada.

El análisis fue realizado con la imagen en blanco y negro, y por lo tanto se obtiene una

imagen de aproximación en blanco y negro. Esta imagen como se ha mencionado

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anteriormente sería como una compresión de la imagen original, y pierde algo de

calidad.

A continuación se presentarán los detalles horizontal, vertical y diagonal de la imagen.

FIGURA 19. Detalles horizontales de la imagen de A Coruña.

En la imagen anterior, se puede observar como los puntos siguen un patrón horizontal, y

las zonas realmente verticales no son marcadas, como la antena del faro o el final de la

veleta. En la imagen puede intuirse perfectamente la silueta del muro así como la de la

cúpula. Que se pueda intuir la forma de la cúpula es debido a que la imagen original es

muy pesada y contiene muchos pixeles, y por lo tanto aun tomando pocos puntos, se

puede intuir. La forma de la torre de Hércules al fondo de la foto, no es posible intuirla

solo con los detalles horizontales.

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FIGURA 20. Detalles verticales de la imagen de A Coruña.

Por el contrario a lo mostrado en la figura anterior, en esta figura si se puede intuir

perfectamente la silueta de la torre de hércules al fondo así como los bordes de los

edificios, y los bordes del faro, así como la antena y la veleta. La forma de la cúpula

vuelve a ser observable por lo que se ha dicho anteriormente.

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FIGURA 21. Detalles Diagonales de la imagen de A Coruña.

En los detalles diagonales, se observa claramente el entrelazado del murito del faro, así

como la cúpula, el resto de bordes son mejor observables en las otras dos imágenes.

La imagen analizada contiene ciertos patrones geométricos regulares, como la cúpula,

los muros y los bordes de los edificios. Este ejemplo y el anterior muestran, que sin la

necesidad de un gran análisis podemos obtener una nueva imagen, la aproximación, y

trabajar sobre ella para obtener los bordes. Para mejorar la detección de los bordes se

puede cambiar las wavelet de trabajo, el nivel de descomposición e incluso el umbral, y

también reprocesar las aproximaciones borrando los puntos negros que estén aislados.

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5.4 FUSIÓN DE IMÁGENES

En este apartado se realizaran diversos ejemplos de fusión de imagen donde se podrán

observar las diferentes características que nos aportan las wavelet para esta tarea.

5.4.1 FUSIÓN DE IMÁGENES COMPLEMENTARIAS

En el siguiente ejemplo se muestra una imagen de una playa situada al norte de las

costas gallegas. La imagen original ha sido dividida en dos imágenes, ambas en blanco

y negro, donde una es la complementaria de la otra como se puede ver en la figura 23.

Estas imágenes se han obtenido mediante recortados y oscurecidos de la imagen

original.

FIGURA 22. Foto original de la playa de la Concha, Ortigueira.

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FIGURA 23. Imágenes complementarias

En la Figura 25, se puede observar el resultado de la fusión. Para realizar la fusión se

utiliza la herramienta de Matlab del wavemenu, esta herramienta utiliza tres pasos:

primero descompone las imágenes que serán fusionadas en la misma base wavelet, en

este caso se han utilizado wavelet daubechies 2 con al nivel 2; como segundo paso se

combinan las dos descomposiciones para obtener una nueva; y como último paso se

realiza una transformada inversa para obtener una nueva imagen.

El primer paso de la fusión es descomponer las imágenes, este paso se muestra en la

Figura 24.

FIGURA 24. Descomposición de las imágenes complementarias.

Ambas imágenes tienen el mismo tamaño, y esto hace que las descomposiciones

también tengan un tamaño idéntico. El siguiente paso es mezclar ambas

descomposiciones, se construye directamente una nueva descomposición del tamaño

requerido, en la cual cada coeficiente es obtenido por la combinación de los coeficientes

correspondientes de cada descomposición.

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Esta combinación puede realizarse una combinación linear o el máximo, tanto en

detalles como aproximaciones. En este ejemplo, al tratarse de imágenes

complementarias, se han elegido el máximo tanto para aproximación como para

detalles. La propiedad de que aportan las wavelet de un análisis local es perfectamente

observable en la figura 24. A continuación se utiliza la transformada inversa para

construir una imagen de la mezcla.

Esta nueva imagen tiene su propia descomposición, mezcla de las otras dos. La imagen

obtenida es casi idéntica a la original, y se puede observar en la Figura 25. Se puede

observar la marca de la unión de ambas imágenes, pero aun así se puede apreciar la foto

claramente. La razón por la que se aprecia la marca de unión es debido a las

herramientas utilizadas para hacer conseguir las imágenes complementarias, si se

dispusiera de mejores herramientas la marca no sería visible al ojo, aunque siempre

existiría.

FIGURA 25. Resultado de la fusión de las imágenes complementarias de la playa de la Concha.

El proceso anterior puede llevarse a cabo, con algunos ajustes, con imágenes de

diferente tamaño, ajustando cuando sea necesario que tengan el mismo tamaño y

realizar cambios de posición.

MEMORIA

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5.4.2 FUSIÓN DE IMÁGENES DIFERENTES

En el ejemplo anterior se ha presentado una fusión de dos imágenes del mismo tamaño

y complementarias, eran versiones de la misma imagen. En este apartado se muestran

dos imágenes completamente diferentes, a las que se le ajusta el tamaño. El

procedimiento es el mismo que en el ejemplo anterior con la diferencia de que la

manera de combinar las descomposiciones puede variar.

En este apartado se utilizarán las imágenes con el busto de dos personas. Las imágenes

se muestran a continuación en la Figura 26. Estas imágenes han sido modificadas hasta

obtener el mismo tamaño, ya que es requerido para trabajar con la herramienta.

FIGURA 26. Fotografías adaptadas al tamaño de José y Pablo.

Ambas imágenes son tratadas con wavelets biortogonales 6.8 y nivel 2. En este caso se

han utilizado el máximo de coeficientes de detalle y el máximo de aproximación. En un

principio se tomó la media de ambos coeficientes pero el resultado fue mucho peor de lo

previsto, y aunque el resultado obtenido con el máximo de detalles y aproximaciones no

es ideal es mejor. Este resultado se muestra en la Figura 27.

MEMORIA

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FIGURA 27. Resultado de la fusión de las imágenes de Jose y Pablo.

Como se ha podido observar, no se obtiene una imagen perfecta y se observan ciertas

irregularidades, pero dado que ambas imágenes tienen ciertos parecidos y facciones la

imagen tiende a parecerse mucho a la de José. La elección de máximos detalles ayuda a

fortalecer los bordes de la imagen que contenga más información.

Existen muchas formas de mezclar coeficientes, y se obtendrían diferentes imágenes,

Esta herramienta es útil y con un poco de desarrollo puede servir para encontrar

imágenes originales a través de la fusión de una combinación de imágenes borrosas.

La estrategia utilizada en este apartado es una estrategia global para la elección del

origen de los coeficientes, pero podría realizarse con elecciones locales, y de esta

manera obtener más partes de una imagen en una zona y menos partes en otra. En

definitiva se podrían fusionar dos imágenes de una forma infinita de posibilidades.

5.5 ELIMINACIÓN DE RUIDO

La eliminación de ruido por wavelet trata de eliminar el ruido presente en la señal,

perseverando las características de la señal, sin importar las frecuencias de su contenido.

La eliminación de ruido se realiza en tres etapas, una primera etapa donde se realiza una

transformada wavelet lineal, una segunda etapa donde se realiza la umbralización no

MEMORIA

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lineal o elección del umbral a partir del cual se elige la información característica de la

imagen. En la tercera y última etapa se realiza la transformada inversa wavelet.

El proceso de eliminación de ruido mediante wavelet es un proceso no linear, esto la

diferencia sobre los procesos de eliminación lineares. La eficacia de este método de

eliminación de ruido mediante wavelets es muy dependiente de la elección de los

parámetros para la umbralización (thresholding). No existe un parámetro que sea el

mejor, sino que existen diferentes métodos para elegir el parámetro.

A continuación se muestran varios ejemplos de eliminación de ruido en imágenes.

Este primer método de ha realizado mediante el código Denoising.

FIGURA 28. Tres imágenes de Pablo, original con ruido y una tercera a la que se le ha pasado el código.

En la figura anterior, se pueden observar tres fotografías. La primera imagen muestra

una foto en blanco y negro obtenida con una cámara digital, la foto no es perfecta y es

borrosa en algunos puntos. En la siguiente imagen se observa la misma foto a la que se

le ha añadido ruido aleatorio. Y por último en la imagen sin ruido, se muestra la foto,

MEMORIA

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tras pasarle el código generado, se observa que se obtiene mejor nitidez incluso que la

foto original en este caso. En este caso se ha utilizado wavelets reverse biorthogonal

6.8, con un nivel 4. El uso de daubechies y otras wavelets biortogonales es la mejor

opción para la eliminación de ruido, debido a que permiten una reconstrucción exacta

por filtros, con wavelets ortogonales es imposible excepto con Haar.

FIGURA 29. Cuatro imágenes, original, con ruido aleatorio, y dos filtradas con dos tipos de wavelets

diferentes.

En la figura anterior se observan 4 imágenes diferentes en este caso, la primera se trata

de una imagen de alta calidad del norte de Galicia que ha sido pasada a blanco y negro

para facilitar su uso. La segunda imagen es la foto anterior a la cual se le añadido ruido

aleatorio. Y seguidamente se pueden observar dos imágenes sin ruido, la primera ha

sido tratada con wavelets daubechies 10 para un nivel 5, en la segunda imagen se ha

aplicado wavelets reverse biorthogonal 6.8 para un nivel 4. A simple vista no se

observan diferencias entre las dos, y se puede decir que ambas funcionan igual de bien.

Fue comprobado que para grados menores de daubechies las wavelets reverse

biorthogonal trabajan menor, manteniendo el mismo nivel.

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Las imágenes siguientes, han sido tratadas mediante la herramienta para wavelets

estacionarias que aporta Matlab. La primera imagen es la imagen original pasada a

blanco y negro, la segunda imagen (imagen a la derecha) es la tratada. La fotografía fue

elegida porque era borrosa en un inicio. El resultado de la fotografía tras pasarlo por la

herramienta de Matlab se puede observar en la figura.

FIGURA 30. Se muestran dos imágenes, una original y la segunda tratada.

5.6 COMPRESIÓN DE IMÁGENES

Para una imagen digital, el objetivo esencial de la compresión es minimizar la longitud

de las series de bits necesarias para representarla, a la vez que se almacena información

de una calidad aceptable. Las wavelets aportan soluciones eficientes a este problema. La

cadena completa de compresión incluye etapas de cuantificación, codificación y

decodificación, además del procesamiento wavelet propiamente dicho. Lo que se busca

con la compresión de imágenes es obtener la representación más escasa posible de la

imagen que será comprimida. Esto último quiere decir, adquirir una imagen lo más

ligera posible manteniendo una calidad adecuada. En ciertas ocasiones se acepta una

débil degradación de la eficacia del rendimiento de la compresión para obtener otros

MEMORIA

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objetivos, como pueden ser: la transmisión en tiempo real o la reconstitución

ininterrumpida de versiones mejoradas de la misma imagen.

5.6.1 PRINCIPIOS DE COMPRESIÓN

Una vez se elige la imagen que va a ser comprimida, se realiza como primer paso una

descomposición en una base wavelet, la base ha de ser ortogonal o biortogonal por

medio de la transformada discreta. A continuación una parte de los coeficientes son

selecicionados por umbralización (thresholding), mientras se mantiene intacto los

coeficientes de aproximación de un nivel seleccionado de una manera apropiada. Los

coeficientes que se han mantenido, son posteriormente cuantificados, y para terminar,

son codificados para su almacenamiento o transmisión. La descompresión consiste en

invertir las operaciones que han sido señaladas en el apartado anterior lo más que sea

posible. A partir de los coeficientes decodificados y descuantificados se reconstruye una

imagen aplicando la transformada discreta inversa. La imagen obtenida es, por lo tanto,

la imagen comprimida.

En este tipo de compresión se pueden producir pérdidas de información en dos etapas

diferentes: en la etapa de umbralización cuando el valor de algunos coeficientes es

modificado, en la etapa de cuantización cuando el valor de algunos coeficientes es

truncado.

El error en la etapa de umbralización se puede evitar no realizando la misma, y el

segundo error puede ser evitado utilizando wavelets con coeficientes racionales o

integrales.

En el diagrama siguiente se pueden observar los pasos a seguir para una compresión.

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Las wavelets se encuentran en dos importantes etapas, en la primera de compresión y la

última de descompresión, las otras operaciones no dependen de wavelets en principio.

5.6.2 WAVELETS Y COMPRESIÓN

La eficiencia de este método mediante wavelets, se basa en la capacidad de este método

para una representación económica de una amplia gama de clases de imágenes en bases

wavelet. Generalmente las imágenes tienen unas descomposiciones wavelets escasas,

representaciones donde unos pocos coeficientes tienen valores lejanos al cero. Las

imágenes están bien representadas por coeficientes de una aproximación no muy buena,

pero apoyados por unos coeficientes de detalles bastante grandes. La compresión

consiste por tanto, en mantener los buenos coeficientes y codificarlos en la manera más

eficaz posible.

La llave para la compresión es mantener los coeficientes de detalle alrededor de cero. Se

realizarán tres compresiones en blanco y negro para mostrar los ejemplos.

La utilización de un umbral viene dada porque las representaciones en wavelets

concentran la energía en un pequeño número de coeficientes. El mayor coeficiente de

imagen se corresponde con un 0,01% de la energía, mientras que el mayor coeficiente

Descompresión

1.Descodificación 2.Descuantificación3.Transformada wavelet

Inversa

Almacenamiento o Transmisión

Compresión

1.Transformada Wavelet

2.Umbral 3.Cuantificación 4.Codificación

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wavelet de descomposición captura el 87,36% de la energía, si se tratase de un solo

coeficiente de orden 8 de aproximación.

A continuación serán mostrados diferentes ejemplos con fotografías de alta calidad de la

costa del norte de Galicia. En los ejemplos se utilizan las wavelet symlet, muy utilizadas

en compresión. La elección de los ceros es importante, ya que cuantos más ceros son

elegidos más energía es perdida y por lo tanto es conveniente un balance entre ambos,

número de ceros y energía, idealmente se busca el mayor número de ceros con la mayor

energía posible.

Ejemplo 1:

En este primer ejemplo se ha descompuesto la imagen de los acantilados gallegos para

una wavelet symlets 5 (las que se utilizan normalmente en compresión) para nivel 5 y

se ha impuesto el 94% de los ceros en la descomposición con umbral, correspondiendo

con un umbral global de 15.59, la entropía utilizada es de shanon. En la Figura 3, la

parte baja a la izquierda se puede observar en el diagrama como se ajusta los

requerimientos. El resultado de la compresión es bastante satisfactorio y se retiene casi

el 100%, 99.95% en este caso, de la energía de la imagen.

En la Figura 32 se pueden observar los histogramas de los residuos, donde es posible

apreciar un poco la función del umbral. Se pude observar cómo se trata de una muestra

prácticamente simétrica.

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FIGURA 31. Imagen original de Acantilados a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes

de la energía y el número de ceros y el lugar del umbral abajo.

FIGURA 32. Histogramas con los valores de los residuos de la imagen Acantilados.

Ejemplo 2:

En el siguiente ejemplo, se trabaja con una imagen de un paisaje rocoso de la costa

gallega, se le aplican wavelet packets symlet 8 con un nivel 5 y entropía de Shannon. Se

fija el número de ceros en el 98%, lo cual fija el umbral global en 35,08. En esta imagen

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se obtiene una imagen casi idéntica al comprimirla donde se guarda el 99,82% de la

energía. Las imágenes con las que se trabajan son de gran calidad y por los

requerimientos que se le hacen se pierde muy poca información.

En la Figura 34 se observan los histogramas de los residuos, en este caso se trata de una

distribución asimétrica, pero no demasiado.

FIGURA 33. Imagen original de Roca a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes de la


FIGURA 34. Histogramas con los valores de los residuos de la imagen Roca.

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Ejemplo 3:

En el último ejemplo que se ha estudiado, se representa el paisaje de una playa de la

costa norte de Galicia, en este caso a la imagen se le aplican wavelets symlet 8 para un

nivel 5. El umbral elegido es global. Se fija el número de ceros al 98,5% y se consigue

una energía del 99.77%. De nuevo la energía que se ha conseguido guardar de la imagen

es más que aceptable y se mantiene aún una alta calidad.

El histograma de nuevo es muy parecido al obtenido en los otros dos ejemplos, ya que

en todos ellos se consigue un alto nivel de energía. En el caso de que se aumentara en

nivel de ceros, aunque fuera solo un poco, esto nos haría perder información de la

imagen y los residuos aumentarían.

FIGURA 35. Imagen original de Playa a la izquierda, imagen comprimida a la derecha y porcentajes de la


MEMORIA

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FIGURA 36. Histogramas con los valores de los residuos de la imagen Playa.

5.6.3 COMPRESIÓN VERDADERA

Además de los algoritmos relacionados con wavelets, DWT e IDWT, o también

transformada discreta wavelet y transformada discreta inversa wavelet, es necesario

utilizar otros ingredientes para la cuantización y la codificación.

La cuantización transforma un dominio con un número infinito o muy grande de

valores, a un conjunto finito y pequeño de valores. En esta operación, como se ha

mencionado anteriormente, se puede perder información. La codificación consiste en

transformar un número finito de símbolos obtenidos después de la cuantización, en una

corriente finita de bits. Una codificación aceptable no incluye pérdidas de información.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de compresión verdadera realizado con la

herramienta de Matlab.

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FIGURA 37. Imagen de la costa gallega tratada con la herramienta de Matlab.

Este tipo de compresión requiere de muchas acciones de computación ya que realiza 19

bucles en los que tiene en cuenta cada nivel de descomposición y detecta los puntos que

no se acercan al umbral elegido. Se observa que el ratio de compresión en esta imagen

es menor del 50% pero la energía de la imagen apenas se ha perdido, con lo cual se

obtiene una imagen menos pesada pero casi con la misma cualidad, lo cual nos permite

una mejor transmisión y almacenamiento.

5.6.4 ESTÁNDAR JPEG 2000

Además de las operaciones relacionadas con wavelets y los aspectos asociados a la

codificación y cuantización, el método JPEG 2000 abarca muchas otras sutilezas

técnicas. La efectividad del sistema como un todo, es lo que al JPEG 2000 a ser el

estándar para la compresión de imagen.

El sistema JPEG 2000 fue diseñado para satisfacer tres metas principales. Primero para

ofrecer una universalidad, para una amplia familia de imágenes de colores se buscaban

mejores resultados, que los estándares existentes, con fuertes ratios de compresión, pero

sin degradarlos para los que tuvieran ratios más bajos. Lo siguiente que se buscaba era

habilitar una transmisión progresiva de imágenes comprimidas con buena calidad y

aumentando esta hasta que se consiga una compresión sin pérdida de información, y

hacer posible la definición de áreas específicas que necesiten ser codificadas con mayor

MEMORIA

75







precisión. Por último, se buscaba también una seguridad de los datos respecto a los

errores que pudieran ocurrir durante la transmisión.

Las operaciones seguidas para la codificación de una imagen a color son muchas, pero

las más importantes se pueden resumir en las siguientes:

Descomposición de la imagen original en componentes de color.

Cortar los componentes en zonas rectangulares iguales.

Normalizar los coeficientes

Aplicación de la transformada discreta de wavelet para cada zona rectangular.

Cuantización de los coeficientes de descomposición para cada zona rectangular.

Codificación de los coeficientes, esto puede ser diferente en cada zona.

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77







Capítulo 6 CONCLUSIONES

El objetivo que se perseguía con este PFC era situar las wavelet en el ámbito y usos

actuales, estudiar sus características, sus fundamentos y sus algoritmos, además de

realizar un análisis completo del procesamiento de imágenes con wavelet.

Para el procesamiento de imágenes se han estudiado las diferentes características, se han

modelado diferentes programas mediante Matlab y se ha utilizado todas las

herramientas que Matlab facilita para el manejo de las wavelets, y se han conseguido

datos satisfactorios. La compresión de imágenes mediante wavelet es uno de los grandes

éxitos de estas transformadas, mediante el uso de symlets que son las wavelets más

utilizadas para la compresión, se han conseguido buenos ratios de compresión

manteniendo una energía alta de la imagen y un buen número de ceros. El mayor

ejemplo del éxito de las wavelet es la compresión JPEG, la cual demuestra claramente

que este tipo de ondas son las más eficaces para la compresión, se obtiene mayores

compresiones con mayor calidad de imagen.

En el caso de la fusión de imágenes, la detección de bordes y la eliminación de ruido, se

ha observado que las wavelets que mejor se adaptan para estas aplicaciones son las

biortogonales, debido a que estas permiten una reconstrucción exacta a través de los

filtros, lo que proporciona muchas ventajas. En el caso de fusión de imágenes, se ha

comprobado su gran eficacia fusionando partes de una misma imagen, y se ha

comprobado su potencial para obtener mejores resultados con un estudio más profundo

solo en ese campo. Dado que en el caso de disponer de diversas formas de una misma

imagen se puede llegar a fusionar de tal manera que se consiga la original

perfectamente, lo cual es muy útil para el caso de imágenes antiguas, médicas o

imágenes tomadas desde distintas cámaras o ángulos.

Las wavelets son una herramienta muy potente para el estudio de señales e imágenes,

debido a esto, son útiles en un amplio número de aplicaciones en muy diferentes

campos, donde muchas veces se obtienen mejores resultados que con otras técnicas, a

pesar de ser una herramienta relativamente nueva en el procesamiento de señales. En

muchas ocasiones las wavelets proporcionan características diferentes y más eficaces

debido a su análisis local que es uno de sus mayores beneficios a la hora del análisis de

señales.

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Por lo tanto, se ha comprobado que las wavelets son una herramienta muy potente y con

gran potencial para el trabajo con imágenes, en lo que a compresión, eliminación de

ruido y fusión se refiere. Así como su uso para muchas otras aplicaciones en diferentes

campos, donde poco a poco ganan terreno a otras aplicaciones. Frente a esto, dadas las

capacidades de los wavelet packets, se ha comprobado que estos funcionan mejor en

muchos aspectos, debido a que dividen la imagen en más partes, y aunque necesitan de

un mayor gasto computacional, al final resultan más eficaces en muchas ocasiones,

como la compresión de imágenes, donde permiten la eliminación de más partes sin que

afecte tanto a la energía de la imagen, y pudiendo así adquirir mejor ratio de

compresión.

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Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS

Para futuros desarrollos de este proyecto, sería considerable centrarse más en un aspecto

de wavelets, como puede ser la compresión o la fusión de imágenes, y tratarlo con una

amplia gama de wavelets y wavelets packets para observar con más precisión el

comportamiento de estas. De esta forma se conseguiría una visión menos amplia, pero

más potente de un aspecto.

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Capítulo 8 BIBLIOGRAFÍA







Edition 1999.












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Anexos

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ANEXO I: CÓDIGOS

En este capítulo de anexos se encuentran los códigos fuentes de los programas

utilizados en el software informático Matlab para la realización del proyecto.

1. Código de eliminación de ruido.

% Load original image. I = imread('Piratas.jpg'); I = double(I); Imagen = 0.2990*I(:,:,1) + 0.5870*I(:,:,2) + 0.1140*I(:,:,3); NbColors = 255; X = wcodemat(Imagen,NbColors); map = gray(NbColors);

% Se genera ruido aleatorio en la imágen x = X + 15*randn(size(X));

%Se buscan los valores por defecto de la eliminación de ruido. %En este caso por un umbral fijado con una estimación del nivel %de ruido, la umbralización puede ser soft o hard % y se guardan los coeficientes de aproximación. [thr,sorh,keepapp] = ddencmp('den','wv',x); % thr (umbral) es equivalente a la

sigma_estimada*sqrt(log(prod(size(X))))

%Se elimina el ruido de la imagen eligiendo una opcion global %de umbralización. xd = wdencmp('gbl',x,'db6',5,thr,sorh,keepapp); xy = wdencmp('gbl',x,'rbio6.8',4,thr,sorh,keepapp); %el uso de daubechies o rbio son las mejores opcions es la mejor

opción, %debido a su caracter biortogonal.

%Estas ultimas lineas de código sirven para mostrar las diferentes %imágenes por pantalla y elegir el color. colormap(gray(255)), sm = size(map,1);

subplot(221), image(wcodemat(X,sm)), title('Imagen Original') axis off subplot(222), image(wcodemat(x,sm)), title('Imagen con Ruido') axis off subplot(223), image(wcodemat(xd,sm)), title('Imagen sin Ruido 1') axis off subplot(224), image(wcodemat(xy,sm)), title('Imagen sin Ruido 2') axis off

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2. Código de descomposición.

I = imread('Acoruna.jpg'); I = double(I); Imagen = 0.2990*I(:,:,1) + 0.5870*I(:,:,2) + 0.1140*I(:,:,3); NbColors = 255; X = wcodemat(Imagen,NbColors); map = gray(NbColors); %Las lineas de código anterior son para transformar la imagen a una %escala de grises. figure(1) image(Imagen); %visualizamos la imagen elegida en el matlab. colormap(map); [cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2(X,'db2'); % realizamos una descomposición

de la imágen de 1 nivel con wavelets db2 %Este comando nos genera las matrices de coeficientes de primern

nivel, de %la aproximación, y los detalles horizontal vertical y diagonal.

%---% A1 = upcoef2('a',cA1,'db2',1); H1 = upcoef2('h',cH1,'db2',1); V1 = upcoef2('v',cV1,'db2',1); D1 = upcoef2('d',cD1,'db2',1); %Con estos comandos contruimos la aproximación y los detalles de

los %coeficientes adquiridos anteriormente. figure(2) map2 = 1-gray(NbColors); colormap(map2); subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192)); title('Aproximación A1') subplot(2,2,2); image(wcodemat(H1,192)); title('Detalle Horizontal H1') subplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,192)); title('Detalle Vertical V1') subplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,192)); title('Detalle Diagonal D1')

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3. Código de Compresión 1.

%Código utilizado para el ejmplo 1 de compresión function [XCMP,wptCMP] = func_compress_wp2d(X) % X: matriz de datos % XCMP: matriz de datos comprimidos % wptCMP: descomposción wavelet packet

% Parámetros de análisis.

Wav_Nam = 'sym4'; Lev_Anal = 5; Ent_Nam = 'shannon'; Ent_Par = 0;

% Parámetros de compresión.

% meth = 'bal_sn'; sorh = 'h'; % Especificado para umbralización soft o hard,

h=hard. thrSettings = sorh,'nobest',13.352368791793488,1; roundFLAG = true;

% Descomposición mediante la función WPDEC2.

wpt = wpdec2(X,Lev_Anal,Wav_Nam,Ent_Nam,Ent_Par);

% Proceso de fusión.

n2m = []; for j = 1:length(n2m) wpt = wpjoin(wpt,n2m(j)); end

%Compresión utilizando la función WPDENCMP.

[XCMP,wptCMP] = wpdencmp(wpt,thrSettings:); if roundFLAG , XCMP = round(XCMP); end if isequal(class(X),'uint8') , XCMP = uint8(XCMP); end

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4. Código de compresión 2.

function [XCMP,wptCMP] = func_compress_wp2d(X) % FUNC_COMPRESS_WP2D Saved Compression Process. % X: matriz de datos % XCMP: matriz de datos comprimidos % wptCMP: descomposción wavelet packet


Wav_Nam = 'sym8'; Lev_Anal = 5; Ent_Nam = 'shannon'; Ent_Par = 0;

% Parámetros de compresión.


h=hard. thrSettings = sorh,'nobest',35.079484464674323,1; roundFLAG = true;

% Descomposición utilizando la función WPDEC2.

wpt = wpdec2(X,Lev_Anal,Wav_Nam,Ent_Nam,Ent_Par);

% Proceso de fusión.

n2m = []; for j = 1:length(n2m) wpt = wpjoin(wpt,n2m(j)); end

%Compresión utilizando la función WPDENCMP.

[XCMP,wptCMP] = wpdencmp(wpt,thrSettings:); if roundFLAG , XCMP = round(XCMP); end if isequal(class(X),'uint8') , XCMP = uint8(XCMP); end

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5. Código de compresión 3.

function [XCMP,cfsCMP,dimCFS] = func_compress_dw2d(X) % FUNC_COMPRESS_DW2D Proceso guardado de compresión % X: matriz de datos % ----------------- % XCMP: matriz de datos comprimidos % cfsCMP: vector de descomposición % dimCFS: guarda el orden de los coeficientes de la matriz


wname = 'sym8'; level = 5;

% Parámetros de Compresión


h=hard. thrSettings = 49.910209019263782; roundFLAG = true;

% Compression using WDENCMP. %-------------------------- [coefs,sizes] = wavedec2(X,level,wname); [XCMP,cfsCMP,dimCFS] = wdencmp('gbl',coefs,sizes, ... wname,level,thrSettings,sorh,1); if roundFLAG , XCMP = round(XCMP); end if isequal(class(X),'uint8') , XCMP = uint8(XCMP); end

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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES MEDIANTE LA …proyecto fin de carrera procesamiento digital de seÑales mediante la teorÍa de wavelets autor: pablo márquez belzunce director: