Procesamiento Digital de

Senales

Ing. Biomedica, Ing. Electronica

e Ing. en Telecomunicaciones

Capitulo II

Senales y Sistemas en

Tiempo Discreto

D.U. Campos-Delgado

Facultad de Ciencias

UASLP

Enero-Junio/2019

1

CONTENIDO

Senales en Tiempo Discreto

Sistemas en Tiempo Discreto

Analisis de Sistemas Discretos Lineales e

Invariantes en el Tiempo (LIT)

Sistemas en Tiempo Discreto Descritos por

Ecuaciones en Diferencias

Implementacion de Sistemas Discretos

Correlacion de Senales en Tiempo Discreto

2

Senales en Tiempo Discreto

• Senales Elementales en Tiempo Discreto

⇒ Impulso unitario

δ[n] =

{

1 n = 00 n 6= 0

De tal manera, que para cualquiera senal dis-

creta x[n] se cumple

x[n] =∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]

⇒ Escalon unitario

u[n] =

{

1 n ≥ 00 n < 0

⇒ Rampa unitaria

ur[n] =

{

n n ≥ 00 n < 0

3

−10 −5 0 5 10 150

0.5

1

δ [n

]

−10 −5 0 5 10 150

0.5

1

u[n

]

−10 −5 0 5 10 150

5

10

15

ur[n

]

n

⇒ Senal exponencial

x[n] = αn ∀n ∈ Z

Si α ∈ R entonces x[n] ∈ R para cada instante

n, donde para |α| < 1 la senal decrece mono-

tonicamente hacia cero, y en caso contrario

|α| > 1 crecera.

Ademas si α < 0 entonces x[n] tendra un patron

alternante.

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x[n

]

0<α<1

n0 5 10 15 20

0

20

40

60

80

100

x[n

]

α > 1

n

0 5 10 15 20−1

−0.5

0

0.5

1

x[n

]

−1<α<0

n0 5 10 15 20

−100

−50

0

50

100

x[n

]

α < −1

n

Si α ∈ C entonces α = rejθ (2 parametros) y

en consecuencia

x[n] = rnejnθ = rn (cosnθ + j sennθ)

= rn cosnθ︸ ︷︷ ︸

xR[n]

+j rn sennθ︸ ︷︷ ︸

xI[n]

o

|x[n]| = rn & ∠x[n] = nθ

Observar que si r < 1 la senal x[n] converge a

cero conforme n crece, y si r > 1 la senal crece

indefinidamente, aunque con un perfil oscilato-

rio.

0 5 10 15 20−1

−0.5

0

0.5

1

xR

[n]

|α|<1

n

0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

xI[n

]

|α|<1

n

0 5 10 15 20−20

−15

−10

−5

0

5

10

xR

[n]

|α|>1

n

0 5 10 15 20−10

−5

0

5

10

15

xI[n

]

|α|>1

n

• Clasificacion de las Senales Discretas

⇒ Senales de Energıa o Potencia Finita: para

una senal discreta, se define su energıa

E ,∞∑

n=−∞

|x[n]|2

Si E < ∞, entonces x[n] se le denomina de

senal de energıa.

Definir la potencia promedio de x[n]

P , lımN→∞

1

2N +1

N∑

n=−N

|x[n]|2

Si P < ∞, entonces x[n] se le denomina de

senal de potencia.

Observar que si para una senal x[n] se cumple

E < ∞, entonces P = 0, es decir todo senal de

energıa es tambien una senal de potencia!!.

⇒ Senales de Periodicas o Aperiodicas: una

senal x[n] es periodica si ∃N > 0 tal que satis-

face

x[n+N ] = x[n] ∀n ∈ Z

Si ∄N > 0 con esta propiedad, entonces x[n] se

le llama aperiodica.

Observar que toda senal periodica es una senal

de potencia !!

⇒ Senales de Simetricas (Pares) o Antisimetri-

cas (Impares): una senal real discreta x[n] se

le llama simetrica (par) si cumple

x[n] = x[−n] ∀n ∈ Z

y se le llama antisimetrica (impar) si

x[n] = −x[−n] ∀n ∈ Z

Toda senal discreta x[n] puede representarse

como una suma de una senal par xe[n] y otra

impar xo[n]:

xe[n] =1

2(x[n] + x[−n])

xo[n] =1

2(x[n]− x[−n])

∴ x[n] = xe[n] + xo[n]

−20 −10 0 10 20−0.5

0

0.5

1

x[n

]

Señal de Enegría

n−20 −10 0 10 20

−1

0

1

y[n

]

Señal de Potencia y Periódica

n

−20 −10 0 10 20−0.5

0

0.5

1

xe[n

]

Señal Par

n−20 −10 0 10 20

−1

0

1

ye[n

]

Señal Par

n

−20 −10 0 10 20−0.5

0

0.5

xo[n

]

Señal Impar

n−20 −10 0 10 20

−1

0

1

yo[n

]

Señal Impar

n

• Procesamiento de Senales Discretas

⇒ Operacion de Retardo: la senal se desplaza

en el tiempo por k unidades, es decir si k > 0

se tiene un retraso y si k < 0 un adelanto.

TDk(x[n]) , x[n− k] k > 0

⇒ Operacion de Reflejo o Dobles: la senal se

refleja con respecto al origen, es decir

FD(x[n]) , x[−n]

Por lo que se observa que

TDk(FD(x[n])) = TDk(x[−n]) = x[−n+ k]

6=

FD(TDk(x[n])) = FD(x[n− k]) = x[−n− k].

es decir la operaciones no son conmutativas !!

Sistemas en Tiempo Discreto

• Descripcion Entrada-Salida: expresion ma-

tematica que explicitamente define la relacion

entre las senales de entrada x[n] y salida y[n]

de un sistema → y[n] = T(x[n]).

Ejemplos:

1. y[n] = x[n− 1],

2. y[n] = 13(x[n+1] + x[n] + x[n− 1]),

3. y[n] = y[n− 1] + x[n],

4. y[n] =∑n

k=−∞ x[n].

4

• Representacion de Diagrama de Bloques:

descripcion grafica de las operaciones basicas

(suma, escalamiento, multiplicacion, retraso y

adelanto unitarios) entre senales discretas.

Ejemplo: dibujar el diagrama de bloques de la

siguiente ecuacion en diferencias

y[n]−1

4y[n− 1] =

1

2x[n] +

1

2x[n− 1]

donde y[n] representa la salida y x[n] la entra-

da.

Solucion: el sistema puede escribirse como

y[n] = 0.25y[n− 1] + 0.5(x[n] + x[n− 1])

por lo que se obtiene

• Clasificacion de Sistemas en Tiempo Dis-

creto

⇒ Estaticos (Sin Memoria): si la salida en cual-

quier instante n depende solo de la entrada en

ese mismo instante, pero no del pasado ni del

futuro.

Ejemplo:

y[n] = a x[n] donde a ∈ R,

y[n] = n x[n] + b x3[n] donde b ∈ R,

y[n] = sat(x[n]) donde sat(·) es la funcion

saturacion.

⇒ Dinamico: si la salida en cualquier instante

n depende de muestras de la entrada en un

intervalo [n−N, n] (N ≥ 0).

Si 0 < N < ∞, el sistema se la llama de memo-

ria finita, y si N = ∞, el sistema tiene memoria

infinita.

Ejemplo:

y[n] = x[n] + 3x[n− 1],

y[n] =∑n

k=0 x[n− k]

⇒ Invariantes en el Tiempo: si la caracteriza-

cion entrada/salida del sistema no cambia con

el tiempo, es decir si y[n] = T(x[n]), T es in-

variante en el tiempo, y[n− k] = T(x[n− k]).

En cualquier otro caso, T es variante en el

tiempo.

Ejemplo:

y[n] = T(x[n]) = x[n]−x[n−1] → invariante

en el tiempo,

y[n] = n x[n] → variante en el tiempo.

⇒ Lineal y No-lineal: un sistema T es lineal, si

y solo si, cumple

T{a1x1[n]+a2x2[n]} = a1T{x1[n]}+a2T{x2[n]}

para cualquier par de senales discretas x1[n] y

x2[n], y a1, a2 ∈ R. Si T no cumple esta condi-

cion es no-lineal.

Ejemplo:

y[n] = T(x[n]) = n x[n] → lineal,

y[n] = (x[n])2 → no-lineal

y[n] =∑n

k=0 h[n− k]x[k] → lineal.

⇒ Causal y No-causal: un sistema se llama cau-

sal, si la salida en cualquier instante n depende

solo de la entrada presente y pasadas, pero no

depende de entradas futuras.

En cualquier otro caso, el sistema se llama no-

causal.

Ejemplo:

y[n] = x[n]− x[n− 1] → causal,

y[n] = x[n2] → no-causal.

⇒ Estable e Inestable: un sistema se llama es-

table de entrada-acotada y salida-acotada (BI-

BO), si y solo si, para cualquier entrada acota-

da produce una salida acotada, es decir ∃Mx,My >

0 tal que ∀n ∈ Z

|x[n]| ≤ Mx < ∞ ⇔ |y[n]| ≤ My < ∞

En cualquier otro caso, el sistema se llama BI-

BO inestable.

Ejemplo:

y[n] = 1N

∑nk=n−N x[k] → estable,

y[n] = (y[n− 1])2 + x[n] → inestable.

Sistemas Discretos LIT

• Asumir que la senal de entrada x[n] se repre-

senta por

x[n] =∑

k

ckxk[n]

donde {xk[n]} son senales elementales y {ck}

son constantes.

Asumir que la respuesta para la senales ele-

mentales xk[n] es yk[n], es decir

yk[n] = T(xk[n])

y T representa un sistema lineal e invarian-

te en el tiempo (LIT) sin condiciones iniciales

(y[k] = 0 con k < 0).

⇒ T{ckxk[n]} = ckyk[n]

Por lo que

y[n] = T(x[n]) = T

∑

k

ckxk[n]

=︸︷︷︸LIT

∑

k

ckT{xk[n]} =∑

k

ckyk[n]

5

Seleccionar a las senales elementales

xk[n] = δ[n− k]

y recordar que

x[n] =∞∑

k=−∞

x[k]︸ ︷︷ ︸ck

δ[n− k].

Definir a y[n, k] , h[n, k] = T{δ[n − k]}, que

representa la salida del sistema en impulsos re-

trasados en tiempo.

Por lo que la salida puede expresarse como

y[n] = T{x[n]} = T

∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]

=︸︷︷︸LIT

∞∑

k=−∞

x[k]T(δ[n− k])︸ ︷︷ ︸

h[n,k]

=∞∑

k=−∞

x[k]h[n, k] =∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k]

ya que T es LIT, y en conclusion se obtiene la

convolucion

y[n] =∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k] = h[n] ∗ x[n]

• Propiedades de la convolucion

Ley Conmutativa:

x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]

Ley Asociativa

{x[n] ∗ h1[n]} ⋆ h2[n] = x[n] ∗ {h1[n] ∗ h2[n]}

Ley Distributiva

x[n]∗{h1[n]+h2[n]} = x[n]∗h1[n]+x[n]∗h2[n]

Recordar las formulas de las series geometricas

N∑

k=0

rk =1− rN+1

1− r∞∑

k=0

rk =1

1− r|r| < 1

Ejemplo: asumir que la respuesta al impulso de

un sistema LIT esta dada por

h[n] = anu[n] |a| < 1

y considerar una entrada escalon x[n] = u[n],

calcular la salida correspondiente.

Solucion: al aplicar la formula de la convolu-

cion se obtiene

y[n] =∞∑

k=−∞

h[k]x[n− k]

=∞∑

k=−∞

aku[k]u[n− k]

=∞∑

k=0

aku[n− k]

=n∑

k=0

ak

∴ y[n]=1− an+1

1− a∀n ∈ Z

−5 0 5 10 15 20 250

0.5

1

n

x[n

]

−5 0 5 10 15 20 250

2

4

6

n

y[n

]

a=0.8

−5 0 5 10 15 20 250

0.5

1

n

y[n

]

a=−0.8

�

• Por otro lado, recordar que un sistema es

causal si su salida no depende de entradas fu-

turas ⇒ Un sistema LIT es causal, si y solo

si, su respuesta al impulso es cero para ındices

negativos de tiempo.

h[n] = 0 ∀n < 0

Este resultado se puede demostrar al observar

que ∀no ∈ Z

y[no] =∞∑

k=−∞

h[k]x[no − k]

= {h[0]x[no] + h[1]x[no − 1] + h[2]x[no − 2] + · · · }

+ {h[−1]x[no +1] + h[−2]x[no +2] + · · · }︸ ︷︷ ︸

=0

y[no] =∞∑

k=0

h[k]x[no − k]

• A partir del concepto de estabilidad BIBO,se tiene que un sistema LIT es estable si surespuesta al impulso es sumable en su valorabsoluto, esto es

∞∑

k=−∞

|h[k]| < ∞

Lo cual puede verificarse al considerar unaestrada x[n] acotada, es decir ∃Mx > 0 tal que

|x[n]| < Mx ∀n ∈ Z

enseguida de la definicion de convolucion

|y[n]| =

∣∣∣∣∣∣

∞∑

k=−∞

h[k]x[n− k]

∣∣∣∣∣∣

≤∞∑

k=−∞

|h[k]||x[n− k]|︸ ︷︷ ︸

≤Mx

≤ Mx

∞∑

k=−∞

|h[k]|

︸ ︷︷ ︸

<∞

Ejemplo: considerar la siguiente respuesta alimpulso de un sistema LIT

h[n] =

{

an n ≥ 0bn n < 0

encontrar las condiciones en a y b para cumplir

estabilidad.

Solucion: primeramente observar que el siste-

ma LIT es no-causal, y enseguida

∞∑

k=−∞

|h[k]| =∞∑

k=0

|ak|+−1∑

k=−∞

|bk|

=∞∑

k=0

|a|k +∞∑

k=0

1

|b|k− 1

Por lo que para garantizar que la respuesta al

impulso sea sumable, se requiere |a| < 1 y |b| >

1. �

• Un sistema LIT se denomina

⇒ FIR o de repuesta al impulso finita si ∃M > 0

tal que h[n] = 0 para todo n < 0 y n ≥ M .

⇒ IIR o de respuesta al impulso infinita si h[n] 6=

0 para todo n > 0.

−5 0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

h[n

]

FIR

−5 0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0

0.5

1

n

h[n

]

IIR

Ecuaciones en Diferencias

• Cualquier sistema LIT puede ser descrito por

su respuesta al impulso h[n].

Sin embargo, si h[n] es IIR entonces se necesita

el numero infinito de muestras de la entrada

x[n] para calcular la salida y[n].

∴ Para un sistema IIR no es practico utilizar la

convolucion para evaluar la salida ⇒ se puede

utilizar una representacion de una ecuacion en

diferencias o ecuacion recursiva.

Ejemplo:

(1) y[n] =n

n+1y[n− 1] +

1

n+1x[n]

(2) y[n] = ay[n− 1] + bx[n] a, b ∈ Z.

Aunque un sistema causal FIR siempre sera no

recursivo.

6

• Para motivar esta representacion, considerar

la siguiente ecuacion en diferencias

y[n] = ay[n− 1] + x[n] y[−1] 6= 0

calcular la salida para n ≥ 0

y[0] = ay[−1] + x[0]

y[1] = ay[0] + x[1] = a2y[−1] + ax[0] + x[1]

y[2] = ay[1] + x[2] = a3y[−1] + a2x[0] + ax[1] + x[2]...

y[n] = an+1y[−1]︸ ︷︷ ︸

yh[k]

+n∑

k=0

akx[n− k]

︸ ︷︷ ︸

yp[k]

De manera que yh[k] representa la repuesta na-

tural u homogenea, y yp[k] la respuesta forzada

o particular que denota una convolucion con

respuesta al impulso

h[n] =

{

0 n < 0an n ≥ 0

En general, para una ecuacion en diferencias

N∑

k=0

aky[n− k] =M∑

k=0

bkx[n− k] a0 = 1

∴ y[n] = −N∑

k=1

aky[n− k] +M∑

k=0

bkx[n− k]

si {ak} y {bk} son coeficientes constantes, el

sistema asociado con la ecuacion en diferencias

es LIT !!

• Dado una ecuacion en diferencias con coefi-

cientes constantes, ¿como obtener y[n] n ≥ 0

dados x[n] y un conjunto de condiciones inicia-

les?

Considerar que la salida y[n] tiene 2 compo-

nentes

y[n] = yh[n] + yp[n]

• Para calcular la parte homogenea considerar

que x[n] = 0 n ≥ 0

N∑

k=0

akyh[n− k] = 0

y asumir que la solucion tiene una forma expo-

nencial yh[n] = λn

N∑

k=0

akλn−k = 0 ⇒ Polinomio Caracterıstico

Tomar a {λ1, . . . , λN} como las raıces del po-

linomio, y se construye la salida homogenea

como una combinacion lineal de las formas ex-

ponenciales

yh[n] = C1λn1 + . . .+ CNλnN

Finalmente los coeficientes {Ci} se calculan

con base a N condiciones iniciales.

• La salida particular yp[n] debe satisfacer

N∑

k=0

akyp[n− k] =M∑

k=0

bkx[n− k] a0 = 1

y se considera que yp[n] toma la forma par-

ticular de la entrada x[n], es decir si x[n] es

exponencial entonces yp[n] tiene un patron ex-

ponencial, o si x[n] es sinusoidal entonces yp[n]

tiene un perfil sinusoidal.

Ejemplo: determinar la solucion homogenea de

la siguiente ecuacion en diferencias

y[n]−3y[n−1]−4y[n−2] = 0 y[−2] = 0, y[−1] = 5

Solucion: al proponer yh[n] = λn y sustuir se

obtiene

λn − 3λn−1 − 4λn−2 = 0

⇒ λ2 − 3λ− 4 = (λ− 4)(λ+1) = 0

con raıces λ1 = 4 y λ2 = −1, por lo que la

solucion homogenea tiene la forma

yh[n] = C1(4)n + C2(−1)n

Al evaluar en las condiciones iniciales

yh[−2] = C1(4)−2 + C2(−1)−2 = 0

yh[−1] = C1(4)−1 + C2(−1)−1 = 5

se tiene que C1 = 16 y C2 = −1, y por lo que

yh[n] = 16(4)n−(−1)n = (4)n+2+(−1)n+1 n ≥ 0

�

• En el caso de que x[n] = δ[n] (x[n] = 0 para

todo n > 0), por lo que

yp[n] = 0

Por lo que la respuesta del sistema para un

impulso consiste en la solucion de la ecuacion

homogenea, donde los coeficientes {Ci} se cal-

culan a partir de las condiciones iniciales aso-

ciadas con el impulso de entrada y asumien-

do que el sistema esta inicialmente en reposo

(y[−n] = 0 n ≥ 0).

Ejemplo: determinar la respuesta al impulso

h[n] para la ecuacion en diferencias

y[n]− 3y[n− 1]− 4y[n− 2] = x[n] + 2x[n− 1]

Solucion: de un ejemplo anterior se habia cal-

culado la respuesta homogenea, por lo que

yh[n] = C1(4)n + C2(−1)n n ≥ 0

Las condiciones iniciales asociadas con el im-

pulso son

y[0] = 3 y[−1]︸ ︷︷ ︸

=0

+4 y[−2]︸ ︷︷ ︸

=0

+x[0]︸ ︷︷ ︸

=1

+2x[−1]︸ ︷︷ ︸

=0

= 1

y[1] = 3 y[0]︸ ︷︷ ︸

=1

+4 y[−1]︸ ︷︷ ︸

=0

+x[1]︸ ︷︷ ︸

=0

+2x[0]︸ ︷︷ ︸

=1

= 5

Por lo que se debe cumplir

y[0] = C1 + C2 = 1

y[1] = 4C1 − C2 = 5

⇒ C1 = 6/5 y C2 = −1/5, y en consecuencia

h[n] =

(6

54n −

1

5(−1)n

)

u[n].

�

• Ya que la solucion homogenea tiene la si-

guiente estructura

yh[n] =N∑

k=1

Ckλnk

donde {λk} son la raıces del polinomio carac-

terıstico y {Ck} son constantes, la respuesta al

impulso de un sistema LIT causal tendrıa la

forma

h[n] =

N∑

k=1

Ckλnk

u[n]

y en consecuencia

∞∑

n=−∞

|h[n]| =∞∑

n=0

∣∣∣∣∣∣

N∑

k=1

Ckλnk

∣∣∣∣∣∣

≤∞∑

n=0

N∑

k=1

|Ckλnk |

≤N∑

k=1

|Ck|∞∑

n=0

|λk|n

Es decir si las raıces cumplen |λk| < 1 ∀k en-

tonces se satisface

∞∑

n=0

|λk|n < ∞

∴∞∑

n=−∞

|h[n]| < ∞

y se garantizarıa estabilidad BIBO !!

Un sistema LIT causal es estable BIBO, si

y solo si, todas las raıces del polinomio ca-

racterıstico tienen magnitud menor a uno

(se encuentran dentro del circulo unitario

en el plano complejo).

Implementacion Discreta

• La implementacion es otro parametro para

un sistema discreto asociado con costos, limi-

taciones de hardware, de tamano y precision.

• Considerar un sistema de primer orden IIR

y[n] = −a1y[n− 1] + b0x[n] + b1x[n− 1]

que puede implementarse en diagrama de blo-

ques en 2 formas: (a) forma directa I y forma

directa II.

7

• Forma Directa I: se puede interpretar como

2 sistemas LIT en cascada.

• Forma Directa II: requiere menos memoria.

• Para una ecuacion en diferencias general

y[n] = −N∑

k=1

aky[n− k] +M∑

k=0

bkx[n− k]

se tendrıan las siguientes implementaciones pa-

ra ambas formas, donde se asume que N ≥ M .

• Mientras tanto, un sistema LIT FIR puede

expresarse por un sistema no-recursivo:

y[n] = b0x[n]+ · · ·+bMx[n−M ] =M∑

k=0

bkx[n−k]

Correlacion de Senales Discretas

• Correlacion: medida del nivel de similitud en-

tre 2 senales, y con aplicaciones en radares, so-

nares, comunicaciones digitales, geologıa, etc.

En el caso de un radar, considerar que la senal

transmitida es x[n] y la senal recibida es y[n]

que se puede modelar como

y[n] = Ax[n− α] + w[n] ∀n ∈ Z

donde A representa la atenuacion por el me-

dio de propagacion, α el retraso asociado al

recorrido de la senal, y w[n] es ruido normal.

8

Objetivos: (a) Detectar si existe un objeto en

la lınea de vista, en caso de no existir ⇒ y[n] =

w[n]; (b) Calcular la distancia al objeto (deter-

minar el valor de α) ⇒ correlacionar las senales

x[n] y y[n] !

• Se definen entonces las siguientes funciones

que generan nuevas senales discretas

⇒ Correlacion cruzada

rxy[n] =∞∑

k=−∞

x[k]y[k − n] n ∈ Z

=∞∑

k=−∞

x[k + n]y[k]= x[n] ∗ y[−n]

y observar que

ryx[n] =∞∑

k=−∞

y[k]x[k − n] =∞∑

k=−∞

y[k + n]x[k]

∴ rxy[n] = ryx[−n]

En consecuencia, rxy y ryx proveerıan la mis-

ma informacion acerca de las similitudes entre

ambas senales x[n] y y[n].

⇒ Auto-correlacion

rxx[n] =∞∑

k=−∞

x[k]x[k − n] n ∈ Z

=∞∑

k=−∞

x[k + n]x[k]= x[n] ∗ x[−n]

⇒ Propiedades de la Correlacion Cruzada y

Auto-correlacion:

(a) |rxy[n]| ≤√

rxx[0]ryy[0] =√

ExEy ∀n ∈ Z

(b) |rxx[n]| ≤ rxx[0] = Ex

(c) rxy[n] = ryx[−n] y rxx[n] = rxx[−n]

⇒ Auto-correlacion y correlacion cruzada nor-

malizada

ρxx[n] =rxx[n]

rxx[0]∀n ∈ Z

ρxy[n] =rxy[n]

√

rxx[0]ryy[0]

y como resultado

|ρxx[n]| ≤ 1 & |ρxy[n]| ≤ 1 ∀n ∈ Z

Ejemplo: calcular la auto-correlacion de la senal

x[n] = anu[n] 0 < a < 1

Solucion: aplicando directamente la formula

para n ≥ 0:

rxx[n] =∞∑

k=−∞

x[k]x[k − n] =∞∑

k=0

akak−nu[k − n]

=∞∑

k=n

akak−n = a−n∞∑

k=n

a2k

= a−n

∞∑

k=0

a2k −n−1∑

k=0

a2k

= a−n

{

1

1− a2−

1− a2n

1− a2

}

∴ rxx[n] =a−na2n

1− a2=

an

1− a2

Pero para n < 0

rxx[n] =∞∑

k=0

akak−nu[k − n]

=∞∑

k=0

akak−n = a−n∞∑

k=0

a2k

∴ rxx[n] =a−n

1− a2

Por lo tanto, al considerar las soluciones para

n ≥ 0 y n < 0 se obtiene que

rxx[n] =a|n|

1− a20 < a < 1

donde rxx[0] =1

1−a2= Ex. �

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n

]

a=0.8

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

r xx[n

]

• Finalmente, si las senales x[n] y y[n] provie-

nen de la entrada y salida de un sistema LIT,

es decir

y[n] = h[n] ∗ x[n]

donde h[n] es la respuesta al impulso, y en con-

secuencia

ryx[n] = y[n] ∗ x[−n]

= (h[n] ∗ x[n]) ∗ x[−n]

= h[n] ∗ rxx[n]

Ademas

ryy[n] = y[n] ∗ y[−n]

= (h[n] ∗ x[n]) ∗ (h[−n] ∗ x[−n])

= (h[n] ∗ h[−n]) ∗ (x[n] ∗ x[−n])

∴ ryy[n]= rhh[n] ∗ rxx[n]

donde rhh[n] la auto-correlacion de la respuesta

al impulso existe si el sistema LIT es estable, y

la energıa de la salida Ey puede calcularse por

Ey = ryy[0] =∞∑

k=−∞

rhh[k]rxx[k]

es decir en funcion de la auto-correlaciones de

h[n] y x[n].

Tarea # 2

Problema del Libro de Texto (Tratamiento Di-

gital de Senales, Proakis y Manolakis, 4a Edi-

cion, Prentice-Hall):

2.7 (a), (d), (g) (j) (pag. 116)

2.19 (pag. 119)

2.21 (a), (b) (pag. 120)

2.30 (pag. 121)

2.39 (pag. 123)

2.48 (a), (b) (pag. 124)

2.51 (a)-(e) (pag. 125).

9

2.65 (pag. 128)

2.66 (pag. 129).