Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDAD DE CALDAS
MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
PROCESOS DE CONVERSIÓN DE REGISTROS SEMIÓTICOS EN EL APRENDIZAJE DE LA LÓGICA MATEMÁTICA EN ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS
WILLIAM ARISTIZÁBAL BOTERO
Manizales, Febrero de 2014
2
UNIVERSIDAD DE CALDAS
MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
PROCESOS DE CONVERSIÓN DE REGISTROS SEMIÓTICOS EN EL APRENDIZAJE DE LA LÓGICA MATEMÁTICA EN ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS
WILLIAM ARISTIZÁBAL BOTERO
Director: OSCAR EUGENIO TAMAYO ALZATE Ph D
Codirector: JULIÁN GONZÁLEZ LÓPEZ M Sc
Manizales, Febrero de 2014
3
4
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN 6 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS 9
1.1 RESUMEN DEL PROYECTO 9 1.1.1 Título 9 1.1.2 Temas de investigación 9 1.1.3 Autor 9 1.1.4 Director y asesor 9
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 10 1.3 JUSTIFICACIÓN 10 1.4 OBJETIVOS 12
1.4.1 Objetivo General 12 1.4.2 Objetivos Específicos 12
2. REFERENTE TEÓRICO 13
2.1 ANTECEDENTES 13 2.2 REFERENTE TEÓRICO 16 2.2.1. Aspectos histórico-epistemológicos de la lógica matemática 16 2.2.2. Sistemas isomorfos 18 2.2.3. Sistemas de representación semiótica 20 2.2.4. Registros de representación semiótica 23 2.2.5. Semiosis y noesis 24 2.2.6. Clasificación de las representaciones 25
2.2.6.1 Consciente / No consciente 26 2.2.6.2 Externo / Interno 26
2.2.7. Transformaciones entre registros de representación semiótica 28 2.2.8. Conversión de representaciones y cambio de registro 31 2.2.9. Cambio de registro 33 2.2.10. Congruencia y no congruencia entre representaciones 35 2.2.11. Obstáculos del aprendizaje 36
3. DISEÑO METODOLÓGICO 40
3.1. TIPO DE ESTUDIO 40 3.2. ESTRATEGIA METODOLÓGICA 40 3.3. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN DE IDEAS PREVIAS 41 3.4. DISEÑO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA - EXPRESIONES LÓGICO-MATEMÁTICAS 45
3.4.1. Introducción 45 3.4.2. Justificación teórica de la unidad didáctica 45 3.4.3. Contexto 47 3.4.4. Presentación de la unidad didáctica 47 3.4.5. Objetivos 48 3.4.6. Contenidos 48
5
3.4.7. Metodología 51 3.4.8. Actividades 51 3.4.9. Evaluación 52
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS 53 4.1. ANÁLISIS DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN DE IDEAS PREVIAS 53 4.2. ANÁLISIS DE CASO: JUAN DIEGO 64 4.3. ANÁLISIS DE LOS PROCESOS DE CONVERSIÓN 150
5. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS 154
5.1 PROCESOS 155 5.2 REGULARIDADES 161 5.3 OBSTACULOS 163
5.3.1 Obstáculos institucionales 163 5.3.2 Obstáculos epistemológico – conceptuales 164 5.3.3 Obstáculos cognitivo – lingüísticos 166
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 168
6.1 CONCLUSIONES 168 6.2 RECOMENDACIONES 170
7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 172
6
INTRODUCCIÓN
El aprendizaje de la lógica-matemática contribuye al desarrollo de las actividades
cognitivas fundamentales de los jóvenes estudiantes en las escuelas de ciencias e
ingeniería. Procesos como la conceptualización, el razonamiento, la resolución de
problemas lógico-matemáticos, la comprensión e interpretación de textos así como la
búsqueda de soluciones ingenieriles a problemas de la ciencia y la tecnología, hacen que
sea necesaria la utilización de sistemas de expresión y representación diferentes a los del
lenguaje natural (hablado o escrito) o de las imágenes.
La Teoría de Registros Semióticos de Raymond Duval (Duval, 1999, 2006a, 2006b)
ha sido ampliamente desarrollada para la enseñanza de la aritmética, la geometría, el
álgebra, la trigonometría y el cálculo (Vallejo &Tamayo, 2008; Duval, 1988, 1999, 2006b;
D´Amore, 2004; Prieto & Vicente, 2006), pero, en la literatura científica no se encuentran
publicaciones que apliquen la teoría de los registros de representación semiótica en la
enseñanza y el aprendizaje de la lógica-matemática en contextos ingenieriles y
tecnológicos, a pesar de la “presión por un mayor entrenamiento matemático para los
estudiantes, exigido en la actualidad, en orden a prepararlos para enfrentar un ambiente
tecnológico y orientado hacia la computación de una complejidad que se incrementa
permanentemente” (Duval, 2006a, p. 103).
En este trabajo se presenta una manera de adaptar y utilizar algunos elementos de
la teoría de los registros de representación semiótica en los procesos de enseñanza y
aprendizaje de la lógica-matemática en escuelas de ingeniería y tecnología, con el fin de
caracterizar los procesos de conversión entre diferentes registros de representación
semiótica llevados a cabo por los estudiantes.
A diferencia de otros trabajos reportados en la bibliografía, esta investigación se
fundamenta en la propiedad que exhibe la lógica-matemática de poder ser tratada desde
una variedad de sistemas isomorfos como son: la lógica proposicional, la teoría de
7
conjuntos y el álgebra de Boole, entre otros. Cada uno de estos sistemas puede ser
aprehendido utilizando diferentes registros de representación semiótica (lenguaje natural,
lenguaje formal, registros tabulares, icónicos, diagramales, aritmético-binarios, etc.).
La estructura de la lógica matemática permite que en cada uno de estos
isomorfismos se puedan llevar a cabo las tres actividades cognitivas de representación
inherentes a la semiosis: la formación, el tratamiento y la conversión en el sentido de la
Teoría de Duval (Duval, 1999). Pero además, la enseñanza de la lógica matemática hace
posible utilizar en su aprendizaje y en el desarrollo de las actividades cognitivas
fundamentales, la congruencia que existe entre los registros al interior de cada uno de los
sistemas, así como la correspondencia entre los registros de los diferentes isomorfismos
para elaborar, de manera consciente e intencionada, transformaciones entre registros de
representación semiótica.
Este trabajo es del tipo “investigación evaluativa”; tiene como objetivo caracterizar
los procesos de conversión de registros semióticos que realizan los estudiantes
universitarios en el aprendizaje de la lógica matemática para lo cual se diseñó,
implementó y evaluó una unidad didáctica que fuera desarrollada por los estudiantes de
Ingeniería de la Universidad de Caldas, utilizando múltiples registros de representación
semiótica, haciendo énfasis en los procesos de conversión de este tipo de registros para
identificar los obstáculos que se presentan en el aprendizaje de esta área matemática. Se
realizó la descripción cualitativa de los procesos de conversión llevados a cabo por los
estudiantes durante la aplicación de la unidad didáctica y se analizó según la teoría de las
Representaciones Semióticas de Raymond Duval.
La estrategia metodológica se llevó a cabo en tres fases: En la primera fase se
diseñó y se aplicó un instrumento de evaluación de ideas previas. En la segunda fase se
diseñó e implementó la unidad didáctica a partir del instrumento de evaluación de ideas
previas y de los temas que deben ser abordados en un curso de lógica – matemática por
estudiantes de primer semestre de Ingeniería de Sistemas. En la tercera fase se realizó un
análisis de tipo descriptivo – cualitativo de cada uno de los procesos llevados a cabo en el
8
desarrollo de la unidad didáctica por tres estudiantes escogidos del grupo, cada uno de
ellos se tomó como elemento representativo de una porción del grupo, dividido según el
rendimiento académico: superior, alto y medio, observando también los criterios de
completitud en el desarrollo del instrumento y la asistencia al curso.
El análisis y la discusión de los resultados se efectuaron sobre las unidades de
información constituidas por cada uno de los ítems planteados en el diseño de la unidad
didáctica. Las preguntas de investigación se lograron responder a través del meta-análisis
realizado exhaustivamente en los tres estudiantes tomados como representativos y para
los siguientes criterios: procesos de trabajo, regularidades y obstáculos del aprendizaje.
El análisis detallado de las respuestas consignadas en la unidad didáctica por los
tres estudiantes tomados como representantes mostró que los obstáculos que se
presentan con más frecuencia en el desarrollo del curso así planteado son de carácter
institucional, epistemológico-conceptual, cognitivo-lingüístico y metacognitivo.
Durante el curso dictado a través del desarrollo de la unidad didáctica se hizo
evidente que la lógica matemática es una estructura particularmente adecuada para ser
abordada desde las tres actividades cognitivas inherentes a la semiosis: la formación, el
tratamiento y la conversión. Esta última, catalogada como la actividad fundamental en los
procesos de aprendizaje es la que más obstáculos presenta a los estudiantes. Los procesos
de conversión se abordaron desde el lenguaje natural, sistema semiótico por excelencia, a
registros tabulares, diagramales, lenguajes formales, registros numéricos binarios,
icónicos, etc. y permitió que los estudiantes fueran capaces de llevar su conocimiento a
otros contextos y transitar por las diferentes estructuras de la lógica-matemática,
evitando así problemas de encerramiento.
9
CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS
1.1 RESUMEN DEL PROYECTO
1.1.1 TÍTULO
PROCESOS DE CONVERSIÓN DE REGISTROS SEMIÓTICOS EN EL APRENDIZAJE DE LA
LÓGICA MATEMÁTICA EN ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS
1.1.2 TEMAS DE INVESTIGACIÓN
Didáctica de las expresiones lógico-matemáticas, procesos de conversión de
registros de representación semiótica, obstáculos del aprendizaje.
1.1.3 AUTOR: William Aristizábal Botero.
1.1.4 DIRECTOR Y ASESOR: Óscar Eugenio Tamayo Alzate Ph. D., Julián
González López M. Sc.
1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La matemática moderna, fundamentada en la lógica, se presenta como una
herramienta de mucha utilidad para solucionar una amplia variedad de problemas de la
ciencia y la ingeniería. Una de sus ramas, el álgebra lógica, trata en especial las
expresiones lógico-matemáticas, las cuales constituyen un campo de interés para el
estudio de las actividades cognitivas fundamentales que desde la enseñanza deben ser
promovidas en los estudiantes de ingeniería, en la búsqueda de lograr un desarrollo
completo en la formación de los futuros profesionales.
A pesar de lo anterior, es frecuente que los estudiantes de ingenierías y
tecnologías encuentren obstáculos para aplicar los conceptos relacionados con el manejo
de las expresiones lógico-matemáticas en contextos diferentes a los desarrollados en el
aula de clase. Estos obstáculos se presentan en el tratamiento y, de manera más
relevante, en los procesos de conversión entre los diferentes sistemas de representación
10
semiótica que son utilizados en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la lógica-
matemática. Esto ha hecho que los cursos de lógica-matemática no tengan el impacto que
se busca en el desarrollo de las habilidades y destrezas de los estudiantes, cuando se
pretende lograr un aprendizaje en profundidad de estos temas de gran importancia en lo
que respecta a los aspectos científico y tecnológico en la época actual.
Partir del lenguaje natural como sistema semiótico por excelencia para el
planteamiento de un problema lógico-tecnológico, su esquematización utilizando
representaciones no discursivas como gráficos, dibujos o patrones y su conversión para
encontrar la expresión lógica-matemática equivalente que permita procesarlo de manera
algorítmica o implementarlo tecnológicamente, son procesos que deben ser manejados
por el docente utilizando una estrategia didáctica adecuada que estimule un aprendizaje
en profundidad en los futuros ingenieros o programadores de computadores.
Con base en lo anterior, este trabajo se desarrolla buscando resolver las siguientes
preguntas de investigación:
¿Cuáles son los procesos de conversión que realizan los estudiantes
universitarios en el aprendizaje de la Lógica Matemática?
¿Cómo emplean los estudiantes universitarios los registros semióticos en su
proceso de aprendizaje de la Lógica Matemática?
Para tratar de resolver estas preguntas se propone el diseño, implementación y
evaluación de una unidad didáctica para el aprendizaje de las expresiones lógico–
matemáticas por los estudiantes de Ingeniería de la Universidad de Caldas utilizando
múltiples registros de representación semiótica y haciendo énfasis en los procesos de
conversión de este tipo de registros.
1.3 JUSTIFICACIÓN
En la actualidad muchos de los problemas que debe resolver un ingeniero están
fundamentados en la lógica-matemática; por ello, se hace necesario que todo estudiante
11
de ingeniería tenga una sólida formación en lógica y matemática que le permita plantear
soluciones modernas y eficientes que utilicen los recursos tecnológicos actuales.
A pesar de esto, es frecuente encontrar que algunos estudiantes de ingeniería no
asimilan sus cursos de lógica-matemática de manera tal que les permita pasar desde la
postulación de un problema (en el sistema semiótico del lenguaje natural oral o escrito)
hasta el planteamiento de la expresión lógica-matemática equivalente, que involucra un
problema de conversión entre diferentes sistemas semióticos.
Es en el lenguaje natural donde se presentan las operaciones discursivas que llevan
a plantear problemas ingenieriles asociados con expresiones lógicas enmarcadas en los
sistemas simbólicos. En este tipo de registros semióticos la mayoría de los procesos son
algorítmicos. Una vez obtenida la expresión lógico-matemática puede ser tratada dentro
de este sistema semiótico para llevar dicha expresión a otra equivalente reducida o de
más fácil implementación, ya sea con dispositivos que son adquiribles en el mercado o
proponiendo nuevas soluciones computacionales a este tipo de problemas.
Para tratar de remediar este problema es necesario plantear estrategias didácticas
que utilicen la diversidad de registros de representación semiótica propios de esta rama
de las matemáticas y con énfasis en el proceso de conversión entre registros que es el
factor decisivo en el aprendizaje, para que el estudiante sea capaz de utilizar estos
conceptos y mejore sus habilidades y destrezas de una manera más amplia y no
necesariamente en el contexto de un tópico específico; y que además permita saber si ha
mejorado su nivel de conceptualización, si la manera de razonar ante el planteamiento de
dichos problemas es sistemática y coherente, si su nivel de comprensión de textos y de
expresiones orales se ha visto influenciado y si ha logrado plantear, resolver y evaluar los
problemas dentro de un contexto lógico-matemático más amplio.
Este trabajo parte de la hipótesis de que una estrategia didáctica que utilice
diversos registros semióticos puede traer beneficios a los estudiantes de ingeniería, si con
ella se busca mejorar los niveles de conceptualización, razonamiento y comprensión,
preparándolos para que sean más eficientes en la solución de los problemas de
12
tratamiento y conversión en los sistemas semióticos con los que se enseñan y evalúan los
conceptos involucrados en el desarrollo de las expresiones lógico-matemáticas.
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GENERAL
Caracterizar los procesos de conversión de registros semióticos que realizan los
estudiantes universitarios en el aprendizaje de la lógica matemática.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Describir los procesos de conversión de registros semióticos que realizan los
estudiantes universitarios para el aprendizaje de la lógica matemática.
Comprender el aporte de la conversión de registros semióticos al aprendizaje de la
lógica matemática en estudiantes universitarios.
Identificar los principales obstáculos que tienen los estudiantes universitarios para
el aprendizaje de la lógica matemática.
Diseñar, aplicar y evaluar una unidad didáctica centrada en los procesos de
conversión de registros de representación semiótica para la enseñanza y
aprendizaje de la lógica matemática.
13
CAPÍTULO 2. REFERENTE TEÓRICO
2.1 ANTECEDENTES
La mayoría de los trabajos sobre el desarrollo del pensamiento lógico-matemático
que se reportan actualmente y que han sido realizados por diferentes profesionales, están
enfocados en el estudio de los procesos mentales que se presentan en niños en su etapa
preescolar o sólo hasta su nivel de educación básica secundaria (Dienes, Z. P. 1974; Piaget,
J. & Inhelder, B. 1967). A nivel universitario estos trabajos se han enfocado principalmente
hacia la utilización de la implicación lógica o el condicional en el desarrollo de las
habilidades para el proceso de demostración matemática (Alvarado y González, 2009) o al
examen del efecto de algunas concepciones de motivación, utilizadas en el aula
universitaria de matemática, con referencia al razonamiento lógico-matemático de los
estudiantes de ingreso reciente a las carreras de ingeniería y ciencias económicas y
sociales (Orozco-Moret y Díaz, 2009).
Un trabajo relevante sobre la didáctica de la lógica-matemática en el bachillerato
es el publicado por el profesor Antonio Bolívar (Bolívar, 1978); en él expone una serie de
problemas didácticos sobre la enseñanza de la “nueva” lógica en la clase de filosofía en el
grado 3º de bachillerato en las escuelas españolas y menciona que el paradigma lógico
estudiado en el bachillerato hasta los años setenta, estaba anclado en siglos bastante
anteriores y al que se refería A. Deaño (citado por Bolívar, 1978) como “una lógica que
parece escrita por un precursor de Aristóteles no demasiado agudo” y que por otro lado
su aplicación y validez o sus relaciones interdisciplinares con otros campos como la
matemática y la ciencia era prácticamente nula. Critica también el uso exagerado que le
era otorgado en esa época al silogismo para lo cual cita a Piaget cuando constata “el
silogismo tiene un empleo mucho más restringido en el pensamiento real de lo que
pretendían los lógicos clásicos y constituye una estructura utilizada por el pensamiento
verbal –por el discurso- mucho más que por la inteligencia concreta o por el pensamiento
en el trabajo de invención” Piaget (citado por Bolívar, 1978). Menciona además que la
14
oposición entre la lógica tradicional y la lógica-matemática, que algunos se esforzaron en
presentar, no existe; lo que se presenta es más bien una evolución o desarrollo de esta
ciencia. Sin embargo, este trabajo está limitado a la sola exposición de los temas que
deben ser desarrollados en el curso de lógica–matemática y a la utilización del lenguaje
formal y la aplicación de las reglas de inferencia en la resolución de argumentaciones. En
ningún momento el trabajo hace énfasis en la pluralidad de registros de representación
semiótica que pueden ser utilizados en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la
lógica–matemática ni en lo valiosas que pueden resultar estas herramientas para el
desarrollo de los procesos cognitivos fundamentales que tradicionalmente se le han
otorgado a esta ciencia.
A partir de la década de los ochenta, la teoría de los registros de representación
semiótica (Duval, 1988, 1999) ha tomado auge entre docentes e investigadores de la
didáctica de la matemática en áreas tan diversas como la aritmética, la geometría, el
álgebra, el cálculo entre otras, y se han abordado una diversidad de problemas como las
operaciones elementales de la aritmética, la suma y el producto de números naturales y
racionales (Vallejo y Tamayo, 2008), la aprehensión de los conceptos geométricos (Duval,
1999) y algebraicos (Duval, 2006b), el papel de los procesos de tratamiento y conversión
de registros de representación semiótica algebraicos, tabulares y gráficos entre otros
(D’Amore & Fandiño, 2012), los conceptos de función y límite en análisis (Guzmán, 1998)
en fin, una serie de problemas con los que deben enfrentarse los profesores de
matemáticas en su labor diaria. Sin embargo, no se encuentran trabajos que apliquen
estas teorías en los procesos de enseñanza-aprendizaje de la lógica-matemática en
programas de ingeniería, donde una amplia variedad de registros de representación
semiótica pueden movilizarse.
Debido a lo anterior, el autor de este trabajo parte de una propuesta de enseñanza
de la lógica–matemática que ha venido desarrollando hace aproximadamente 20 años
donde integra el álgebra de proposiciones, la teoría de conjuntos, las álgebras lógicas o
booleanas, la aritmética binaria, la teoría de códigos, la electrónica digital y los circuitos
15
eléctricos de conmutación, para replantearla y analizarla desde la teoría de los registros
semióticos de Raymond Duval.
Entre los trabajos del autor en este sentido se encuentran los libros: “Matemáticas
para la computación I y II” y sus correspondientes cartillas de trabajo (Barco y Aristizábal
1994), desarrollados con metodología presencial concentrada y a distancia, para la
Tecnología en Sistemas Informáticos de la Universidad de Caldas. Posteriormente, con la
editorial Mc Graw Hill escribió el libro “Matemática Digital” (Barco y Aristizábal, 1998)
para ser implementado en programas técnicos y tecnológicos. En el año 2000 con la
compañía editorial electrónica Cekit S.A desarrolló el “Laboratorio de Matemática Digital”
y su tablero de entrenamiento (Barco y Aristizábal, 2000), trabajo que incluía un texto y un
panel de circuitos electrónicos que permitían el aprendizaje de las teorías isomorfas de la
lógica-matemática a través de la comprobación de sus leyes y la solución de problemas
tecnológicos utilizando circuitos electrónicos digitales. Este trabajo fue presentado en el
Congreso Nacional de Matemáticas en el año 2000 en la sesión de enseñanza de las
matemáticas con tecnología y recibió aportes de los profesores asistentes que motivaron
al autor a proponer y desarrollar una metodología lúdica e interactiva que permitiera a los
jóvenes de colegios técnicos y tecnológicos acceder a estas teorías, dada su importancia
en los desarrollos científicos y tecnológicos de la era actual.
A finales del año 2000 en el XVII coloquio distrital de matemáticas y estadística
presentó un trabajo sobre lógica y computación denominado “Simplificación en
Mathematica® de funciones lógicas” en el que se muestra cómo puede ser usado el
software Mathematica® para implementar el algoritmo de Quine-Mc Cluskey, una
poderosa herramienta relacionada con la simplificación de funciones lógicas y su
aplicación en circuitos lógicos digitales (Salas A. y Aristizábal W., 2000).
Posteriormente, en el año 2001 diseñó un tablero electrónico llamado
“Laboratorio de matemática moderna – Digiman” y escribe el libro “Matemática moderna
y tecnología: un enfoque lúdico-interactivo” (Aristizábal, 2001).
16
En el año 2012 publicó un artículo donde muestra la manera de utilizar la
electrónica digital para solucionar ecuaciones booleanas, trabajo en el que evidencia el
proceso de conversión del lenguaje formal de las álgebras de Boole a los registros
diagramales -circuitos lógicos digitales- (Aristizábal W. y Salas A., 2012).
2.2 REFERENTE TEÓRICO
2.2.1 Aspectos histórico-epistemológicos de la lógica matemática
La lógica como ciencia formal nació con Aristóteles (384-322 a.C), quien recopiló,
formuló y expuso en el Organon el sistema lógico más amplio de la antigüedad.
Posteriormente los estoicos y megáricos ampliaron el alcance de la lógica aristotélica,
identificaron las conectivas proposicionales y sentaron las bases semánticas de la lógica
proposicional actual. Después viene un periodo de poco avance, excepción hecha de
algunos trabajos esporádicos, así que estas teorías permanecen incólumes por casi 2000
años (Aristizábal, 2001).
Desde 1.847 cuando el matemático y lógico inglés George Boole escribió las obras
“Análisis Matemático de la Lógica” y “Una investigación de las leyes del pensamiento”, en
las cuales expuso la primera formulación sistemática de la lógica simbólica e introdujo el
álgebra lógica, se ha venido presentando una productiva interrelación entre la lógica-
matemática, las ciencias físicas y la ingeniería (Boole, 1958).
Son ejemplo de esto los trabajos realizados en 1.937 por A. M. Turing quien
estableció la relación entre la lógica y la computación electrónica, y en 1.948 por N.
Wiener quien fundó la ciencia de la cibernética, desarrolló la lógica de la comunicación y
estableció la analogía entre el funcionamiento del sistema nervioso y de las máquinas
computadoras (Guétmanova, A., Panov, M., & Petrov, V., 1991).
Entre los numerosos trabajos realizados a principios del siglo XX se destaca el de
Claude E. Shannon quien, en su tesis de grado en el M. I. T. (Instituto Tecnológico de
Massachussets) sobre circuitos de relevo y conmutación, aplicó el álgebra lógica en el
17
desarrollo de los sistemas eléctricos y posteriormente -en los laboratorios de Bell
Telephone- formuló una teoría para hacer más eficiente la transmisión de información.
Todos estos desarrollos lógico–matemáticos hicieron posible, bajo la dirección de J. Von
Neumann, el diseño y construcción de los primeros ordenadores.
En 1.948, en los laboratorios de Bell Telephone, los científicos estadounidenses
John Bardeen, Walter Brattain y William Shockley diseñaron y construyeron el primer
transistor de estado sólido: un dispositivo electrónico que reemplazó los tubos de vacío y
trajo avances tan importantes en el siglo XX, que muchos no dudan en considerar este
invento como el promotor de la segunda revolución industrial al popularizar el uso de la
tecnología, y crear una empresa multimillonaria que cambió definitivamente el panorama
económico mundial.
A finales de 1.958 en los laboratorios de Texas Instruments y casi simultáneamente
(a principios de 1959) en los laboratorios de Fairchild Camera, los investigadores Jack Kilby
y Robert Noyce construyeron el circuito integrado, un avance tecnológico tan
predominante que es catalogado como “la más notable tecnología que haya afectado a la
humanidad”.
Todo este ambiente científico y tecnológico creó una relación indisoluble con la
industria y se dieron las condiciones indispensables para el aprovechamiento por parte de
los países visionarios de esta revolución: esos Estados han fomentado y fomentan entre
sus jóvenes la estructuración y el desarrollo del pensamiento lógico a partir del estudio de
la lógica-matemática y de sus aplicaciones.
Así, se ha desarrollado la computación a partir de la operación lógica-matemática
de los sistemas: la informática, la robótica, la mecatrónica, la teoría de códigos etc. y se ha
producido un salto tan notable en el campo de las telecomunicaciones que ha permitido
popularizar la telefonía celular y el uso de ordenadores de manera que son hoy
herramienta indispensable para que el hombre pueda vivir en sociedad. (Aristizábal,
2006).
18
2.2.2 Sistemas isomorfos
Dos o más sistemas algebraicos son isomorfos si cada uno de ellos está constituido
por un conjunto de elementos y una o más operaciones que satisfacen un conjunto dado
de leyes o postulados, además cumplen las siguientes condiciones:
- Para cada operación en un sistema existe una operación correspondiente en
los otros sistemas, aunque su notación sea diferente.
- A cada elemento x en un sistema le corresponde un único elemento y en otro
sistema y viceversa.
- Si los sistemas tienen un conjunto finito de elementos, entonces el número de
elementos en cada uno de ellos debe ser el mismo.
- Si a todo postulado o teorema de un sistema se le reemplaza su elemento x por
el elemento y correspondiente en otro sistema, y cada operación por su
correspondiente en el otro sistema, entonces el postulado o teorema
resultante es igualmente válido.
En conclusión: dos sistemas algebraicos son isomorfos si y solamente si son
idénticos excepto por las letras y los símbolos usados para representar las operaciones y
los elementos y lo que éstos significan o representan (Aristizábal, 2001).
La lógica-matemática permite ser estudiada desde diferentes estructuras
isomorfas como: la lógica proposicional, la teoría de conjuntos, las álgebras lógicas o
booleanas, la aritmética binaria, y, a nivel tecnológico, desde la electrónica digital o desde
los circuitos eléctricos de relevo y conmutación. Esto hace que se presenten ventajas para
que el estudiante conceptualice, comprenda, razone y resuelva problemas técnicos y de la
ingeniería desde diferentes contextos. En la actualidad se reconoce la importancia de la
construcción de múltiples representaciones externas de los conceptos estudiados para el
logro de aprendizajes en profundidad (Tamayo, Restrepo & Velasco, 2012).
Cada uno de estos isomorfismos en la lógica-matemática utiliza sus propios
sistemas de representación semiótica; así por ejemplo, el trabajar en álgebra de
19
proposiciones o sentencias permite llevar a cabo procesos de conversión de enunciados
en el lenguaje natural a registros tabulares (tablas de verdad) y de éstos a registros
diagramales (diagramas de cajas) o procesos de conversión entre el lenguaje natural y el
lenguaje formal utilizando letras para las proposiciones (p, q, r, s…) y signos para
representar, a través de los conectores lógicos, las operaciones conjunción, disyunción
inclusiva, disyunción exclusiva, negación, implicación, equivalencia (∧, ∨, ∨, ∼, ⟶, ⟷)
(Kaye, 1970).
De manera análoga, es posible aprender lógica matemática utilizando elementos
de la teoría intuitiva de conjuntos, con sus respectivos registros de representación
semiótica, que hacen posible llevar a cabo procesos de conversión desde el lenguaje
natural al tabular (tablas de pertenencia) o al diagramal, donde pueden ser utilizados
varios tipos de diagramas: de cajas, de Venn – Euler, de Carroll y al lenguaje formal, donde
se utilizan letras y números para representar sus elementos y conjuntos (A, B, C,…a, b, c,
…1, 2, 3…) y signos para las operaciones intersección, unión, complemento, diferencia
simétrica (∩, ∪, ̅ , ∆) (Aristizábal, 2001).
También se puede tratar la lógica matemática desde el álgebra lógica o booleana, y
hacer procesos de conversión entre el lenguaje natural y los registros tabulares (tablas
lógicas), el lenguaje formal, registros diagramales (diagramas de Veitch, de Karnaugh,
lógicos digitales, circuitales eléctricos, sagitales) o también a registros icónicos. En el
álgebra lógica se utilizan letras que representan variables lógicas (x, y, z, w…) y signos para
representar las operaciones producto lógico, suma lógica, suma exclusiva, complemento
(•, +, ⊕, ‘) (Boole, 1958; Kohavi, 1978).
Las estructuras isomorfas antes mencionadas, son clasificadas como álgebras
lógicas y se definen como: “un sistema matemático formado por un conjunto B con al
menos dos elementos; dos operaciones binarias y una operación unitaria sobre los
elementos de B”, y se rigen por un conjunto de cuatro leyes o axiomas fundamentales:
conmutativa, distributiva, modulativa y complemento.
20
Además, un álgebra lógica también puede ser definida como el conjunto (B)
dotado de una relación de orden parcial (ℛ) entre los elementos del conjunto que debe
cumplir las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva y satisfacer el principio de
consistencia. Así definida, suele expresarse como < B, ℛ > (Aristizábal, 2006).
Así mismo, a partir de las leyes fundamentales se puede obtener otro conjunto de
leyes que deben ser cumplidas en cada uno de los sistemas isomorfos: asociativas,
idempotencia, involución, dominación, absorción, consenso y D’Morgan. Cada una de
estas leyes puede ser escrita de dos maneras equivalentes aplicando el principio de
dualidad que permite intercambiar las operaciones binarias y los dos elementos que
conforman el conjunto B, lo que permite que en cada uno de los lenguajes formales de los
isomorfismos, cualquier expresión lógico-algebraica pueda ser representada o escrita de
dos formas equivalentes: la forma normal disyuntiva (suma de productos) y la forma
normal conjuntiva (producto de sumas) (Barco y Aristizábal, 1998).
En la figura 1 se muestran las estructuras isomorfas de la lógica – matemática y los
diferentes registros de representación semiótica que pueden ser utilizados para su
estudio.
2.2.3 Sistemas de representación semiótica.
Es común en matemáticas utilizar distintos sistemas de escritura para los números,
diferentes notaciones simbólicas para los objetos matemáticos, diversas escrituras
algebraicas y lógico-matemáticas que tienen estatus de lenguajes paralelos a la lengua
natural y que se usan frecuentemente para expresar relaciones y operaciones, figuras
geométricas, representaciones en perspectiva, gráficos cartesianos, redes, diagramas,
esquemas y en fin, un variado conjunto de símbolos y signos requeridos para el estudio de
esta ciencia, que no son más que diferentes sistemas semióticos de representación y
expresión (Duval, 1999; Tamayo, 2006).
21
Figura 1. Isomorfismos de la Lógica – Matemática y sus registros de representación semiótica.
Las siguientes son dos observaciones acerca de la gran variedad de “contextos de
representación” en los que aparecen los objetos de conocimiento matemático: (Duval,
2006a):
- La actividad matemática se realiza necesariamente en un “contexto de
representación”.
- Los estudiantes también deberían ser capaces de reconocer el mismo objeto
matemático de conocimiento en otros contextos de representación y usarlos.
Las representaciones semióticas son producciones constituidas mediante el
empleo de signos (enunciados en lenguaje natural, fórmulas, gráficos, figuras, etc.) y
algunos autores han considerado que son el medio para exteriorizar (hacer visibles, hacer
accesibles a otros) las representaciones mentales. Desde este punto de vista, las
representaciones semióticas estarían subordinadas a las representaciones mentales y no
cumplirían más que funciones de comunicación; hipótesis que ha sido rebatida, ya que
22
contradice fenómenos importantes, especialmente en matemáticas donde las
representaciones semióticas no solo son indispensables para fines de comunicación, sino
que son necesarias para el desarrollo de la actividad matemática misma (Duval, 1999 p
28).
Las representaciones son la vía a través de la cual se aprende sobre objetos
matemáticos. Si se piensa en general sobre el conocimiento matemático y cómo tratar con
sus objetos (por ej. funciones, grupos, relaciones, campos, figuras geométricas) se hace
consciencia de la indispensabilidad de las representaciones. A diferencia de otras ciencias,
en matemáticas no es posible percibir, manipular o trabajar de manera concreta con
objetos matemáticos, ya que éstos no son accesibles por la percepción o mediante
instrumentos; la única manera de acceder a ellos es a través de los signos o de las
representaciones semióticas. Un aprendiz se enfrenta con dos requerimientos opuestos
para lograr desarrollar el pensamiento matemático:
- Para realizar cualquier actividad matemática necesariamente se deben usar
representaciones semióticas, aunque se pueda elegir la clase de representación
semiótica a utilizar.
- Los objetos matemáticos no se deben confundir con la representación
semiótica utilizada (Hesselbart, 2007).
Estos requerimientos conducen a la paradoja cognitiva que se presenta en el
acceso a los objetos matemáticos:
¿Cómo se puede distinguir el objeto representado de la representación semiótica
usada, si no se puede acceder a ellos de otra forma que no sea a través de sus
representaciones semióticas?
Esta paradoja se manifiesta por sí misma en el hecho de que la habilidad para
cambiar de un sistema de representación a otro es a menudo un umbral crítico para el
progreso en el aprendizaje y para la resolución de problemas (Duval, 2006a).
23
Se debe considerar que no se logra una buena compresión en matemáticas si no se
distingue un objeto de su representación. Además, un mismo objeto matemático puede
tener diferentes representaciones y por eso es necesario tener en cuenta que lo
importante es el objeto y no sus posibles representaciones semióticas. Toda confusión
entre el objeto y su representación puede producir pérdida de comprensión, lo que lleva a
que los conocimientos adquiridos se hagan inutilizables fuera del contexto de aprendizaje
o permanezcan como representaciones inertes, que no sugieren ninguna transformación
productora (Duval, 1999).
2.2.4 Registros de representación semiótica
Un sistema de representación semiótica es llamado un registro de representación
semiótica cuando satisface las tres actividades cognitivas que son inherentes a todas las
representaciones:
- Constituye un conjunto de marcas que permiten identificarlo como una
representación de algo en un sistema dado.
- Las representaciones pueden ser transformadas dentro del sistema semiótico
(de acuerdo con las reglas en él), tal que la representación obtenida constituye
una ganancia en el conocimiento en comparación con la representación inicial.
- Las representaciones pueden ser convertidas de un sistema a otro, de manera
que (la representación resultante) permite hacer explícitos otros significados
relacionados con lo que se representó.
Se debe anotar que no todos los sistemas semióticos son registros de
representación semiótica, (Duval, 1999; Hesselbart, 2007).
Las funciones cognitivas del pensamiento humano están relacionadas con
actividades de aprehensión conceptual, razonamiento y comprensión de significados, las
cuales requieren para su desarrollo de diversos registros de representación semiótica.
La Tabla 1 presenta la clasificación de los registros que pueden ser movilizados en
los procesos matemáticos:
24
Representaciones resultantes de operaciones discursivas:
denotación, declaración e inferencia
Representaciones no discursivas
Registros multifuncionales. Tratamientos no
algorítmicos
En lenguaje natural: Oral o
escrito. Explicaciones, asociaciones
verbales, razonamiento (argumentaciones desde la
observación, creencias, deducción válida a partir de
definiciones o teoremas, etc.)
Icónicos: Dibujos, esquemas, patrones.
No icónicos: Figuras geométricas como:
configuraciones de forma, en el plano o en perspectiva.
Aprehensión operativa y no solamente aprehensión
perceptual. Construcción con
herramientas.
Registros monofuncionales.
Los tratamientos son principalmente
algorítmicos
En sistemas simbólicos, sistemas numéricos: binario, decimal,
fraccionario. Sistemas de notación simbólicos
o algebraicos, lenguajes formales. Computación, pruebas.
Gráficos cartesianos. Cambio de sistemas de
coordenadas, interpolación, extrapolación.
Diagramas, gráficas
Tabla 1. Clasificación de las cuatro clases de registro usados en procesos matemáticos.
Adaptada de: Hesselbart, 2007 y Duval, 1999.
2.2.5 Semiosis y noesis
Dos términos básicos dentro de esta teoría son semiosis y noesis, definidos como:
Semiosis: se refiere a la aprehensión o producción de representaciones semióticas.
El término semiosis también indica acción del signo y de los procesos de inferencia por
medio de los cuales algo es considerado signo de otro algo por un intérprete humano.
Noesis: se refiere a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual del
objeto, la discriminación de una diferencia o la comprensión de una inferencia (Duval,
1999).
La ley fundamental del funcionamiento cognitivo del pensamiento expresa: “No
hay noesis sin semiosis”. La noesis es el acto intencional del intelecto, en otras palabras, la
noesis puede ser definida como la acción y el efecto de entender (Hesselbart, 2007).
25
Por lo tanto, un sujeto es capaz de entender el significado de un signo solo si es
capaz de movilizarlo y crear otras representaciones del mismo objeto. El problema
principal de la relación semiosis–noesis se refiere solo a los registros semióticos de
representación y no a todos los registros semióticos (Hesselbart, 2007).
En matemáticas, la adquisición conceptual de un objeto pasa necesariamente a
través de la adquisición de una o más representaciones semióticas. Lo dicen Chevallard,
Duval, Godino y Batanero (citados por D’Amore, 2004).
A finales del siglo XIX, Charles Sanders Peirce definió la semiosis como “acción o
influencia que es, o implica una colaboración de tres sujetos: el signo, su objeto y su
interpretador, tal que esta influencia tri-relativa de ningún modo puede resolverse por
medio de acciones entre pares. El intérprete no es más que otro signo cuyo fin es el
mismo que el del primero; también el intérprete a su vez puede ser interpretado por otro
signo, que constituye su interpretador y así sucesivamente. Lo anterior es denominado
por Peirce cadena interpretativa infinita, indefinida o “semiosis ilimitada” (Abbagnano,
2004; Peirce, 1987).
2.2.6 Clasificación de las representaciones
La función más importante de los signos y las representaciones en matemáticas no
es ni la comunicación ni el recuerdo de objetos ausentes, sino el tratamiento de la
información, por ejemplo, la transformación intrínseca de las representaciones en otras,
para producir nueva información o nuevo conocimiento.
Para clasificar representaciones semióticas deben tenerse en cuenta las
oposiciones conscientes/no conscientes y externa/interna. Esta clasificación no representa
una partición del fenómeno cognitivo, ya que las funciones y las cualidades de cada tipo
de representación se superponen cuando se consideran estas oposiciones (Hesselbart,
2007).
26
2.2.6.1 Consciente/No consciente
Esta oposición se refiere a lo que un sujeto percibe o no (de una representación)
después de observar algo. La consciencia es caracterizada por la visión de algo que
inmediatamente toma el estatus de objeto para el observador. El proceso de objetivación
(para un sujeto) es el tránsito de lo no consciente a lo consciente. En otras palabras, la
objetivación es darse cuenta (por uno mismo y no a través de explicaciones de otros)
acerca de algo que permaneció inesperado o no conceptualizado hasta ese preciso
momento (Hesselbart, 2007, pg. 13).
La significación y estatus de “objeto susceptible de ser visto o aprehendido por
alguien”, son los dos aspectos recíprocos de toda representación consciente (ver tabla 2).
La significación es la condición necesaria de la objetivación para el sujeto, es decir, de la
posibilidad de tomar consciencia (Duval, 1999, pg. 33).
Interno Externo
Consciente
Mental Función de objetivación
Semiótica Función de objetivación Función de expresión Función de tratamiento intencional
No consciente
Computacional Función de tratamiento automático o función de tratamiento cuasi-instantáneo
Tabla 2. Tipos y funciones de representaciones.
2.2.6.2 Externo/Interno
Esta oposición está relacionada con lo que es directamente visible de un individuo,
de un organismo o de un sistema y con lo que, por el contrario, no lo es.
Las representaciones externas son aquellas producidas por un sujeto o por un
sistema. Una representación externa puede ser producida solo a través de la aplicación de
un sistema semiótico. Las representaciones externas son, por naturaleza,
27
representaciones semióticas, estrechamente ligadas a un estado de desarrollo y de
dominio de un sistema semiótico; son accesibles a todos los sujetos que conocen dicho
sistema. Estas cumplen funciones de comunicación, de objetivación (como todas las
representaciones conscientes) y de tratamiento. También son esenciales en la función de
transformación. (Ver tabla 3).
Las representaciones internas son las que pertenecen a un sujeto y no son
comunicadas a otro por la producción de una representación externa (Hesselbart, 2007;
Duval, 1999).
Representaciones externas Representaciones internas
Producidas por: Un sujeto o sistema El sujeto
Producido a través de:
La aplicación de un sistema semiótico
Diferentes medios que dependen de cada sujeto
Accesible a:
Todos los sujetos que han aprendido el sistema semiótico
que está siendo usado.
Solo el sujeto que lo produce (representación mental)
Satisface las funciones de:
Comunicación, tratamiento Objetivación, tratamiento
automático o cuasi-instantáneo
Ejemplos de representación:
Representaciones semióticas Representaciones mentales o
computacionales.
Tabla 3. Comparación de las características de las representaciones internas y externas.
Las representaciones semióticas son a la vez representaciones conscientes y
externas; generalmente se clasifican en dos grandes grupos según conserven o no algunas
de las propiedades pertenecientes al objeto que representan: las representaciones
analógicas y las no analógicas. Las primeras, como las imágenes, cuyos elementos
conservan las relaciones de vecindad existente entre los elementos del modelo. Las
segundas, como las lenguas, que no conservan ninguna relación con el modelo pero que
pueden representar operaciones o transformaciones de éste (Bresson, 1987 citado por
Duval). Esta discriminación está fundamentada en un criterio de semejanza y llama la
atención sobre la diversidad y heterogeneidad de los registros de representación.
28
Las representaciones internas, mentales, son aquellas que ocupan un lugar en la
mente de los sujetos. Ellas nos permiten mirar el objeto en ausencia total del significante
perceptible; pueden ser conceptos, nociones, creencias, fantasías, guiones, modelos
mentales, imágenes, entre otras (Tamayo, 2006). Las representaciones mentales pueden
ser expresadas de manera fiable a través de representaciones semióticas.
Las representaciones computacionales son aquellas cuyos significantes, de
naturaleza homogénea, no requieren de la mirada al objeto y permiten una
transformación algorítmica de una serie de significantes en otra serie. Ellas expresan la
información externa en un sistema de manera tal que la hace direccionable, recuperable y
combinable en el interior de ese sistema. Así mismo, es el tipo de representación referida
en los dominios de la inteligencia artificial y de la psicología cognitiva, cuando se habla de
representaciones internas; Desclés et. al. (citado por Duval, 1999). La escritura binaria
utilizando 0 y 1, la representación proposicional por parejas {predicado, argumento} son
las que corrientemente se utilizan en las representaciones internas no conscientes (Duval,
1999, p 36).
2.2.7 Transformaciones entre registros de representación semiótica
Las transformaciones en matemáticas no son posibles sin un sistema semiótico de
representación. Esta función de transformación sólo la pueden cumplir las
representaciones semióticas y no las representaciones mentales; es por esto que afirma
Duval, “la utilización de las representaciones semióticas es primordial para la actividad
matemática y parece serle intrínseca” (Duval, 2006).
En la relación signo-semiosis se define la semiosis como la transformación y la
creación de signos. De manera más específica, en este punto se deben considerar las tres
actividades cognitivas principales en la actividad de representación, que al mismo tiempo
son las actividades cognitivas fundamentales de la semiosis:
Formación: de representaciones en un registro semiótico particular, sea para
expresar una representación mental o para recordar un objeto ‘real’.
29
Tratamiento: una transformación dentro de un registro.
Conversión: una transformación que resulta en una representación en otro
registro.
Formar una representación semiótica es recurrir a signos para actualizar o sustituir
un objeto. En ella recaen la designación nominal de objetos, la reproducción de su
contorno percibido, la codificación de relaciones o de algunas propiedades de un
movimiento. En su elaboración se deben tener en cuenta las reglas de conformidad, pues
son las que definen un sistema de representación, entre ellas figuran:
- La determinación de unidades elementales: símbolos, vocabulario…
- Las combinaciones admisibles de unidades elementales para formar unidades
de nivel superior: reglas de formación de un sistema formal, gramática de las
lenguas naturales…
- Las condiciones para que una representación de orden superior sea una
producción pertinente y completa: reglas canónicas propias a un género
literario o a un tipo de producción en un registro (Duval, 1999).
El progreso de los conocimientos puede ser valorado mediante la creación y
desarrollo de nuevos sistemas semióticos que coexisten con la lengua natural; así mismo,
la formación del pensamiento científico no se puede separar del desarrollo de
simbolismos específicos para la representación de los objetos y sus relaciones (Duval,
2006b).
Las actividades de conversión y tratamiento tienen importancia en la semiosis y de
manera especial en las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas por los
estudiantes. La conversión y el tratamiento de representaciones son dos actividades
fundamentales que en la práctica parecen ser muy similares. A pesar de que son muy
diferentes entre sí, a menudo se confunden. Probablemente esta confusión es debida al
hecho de que ambas transforman las representaciones, pero es importante notar sus
diferencias fundamentales (Hesselbart, 2007).
30
Como fue mencionado, el tratamiento es una transformación que se lleva a cabo
dentro del mismo registro, siguiendo sus propias reglas de funcionamiento. Por lo tanto, el
tratamiento de representaciones moviliza solo un registro de representación. Se
caracteriza por la transformación de una representación inicial en una representación
terminal en el mismo registro. Un tratamiento es una transformación de una
representación dentro del mismo registro de representación (Hesselbart, 2007).
Duval introdujo una manera de organizar los tratamientos no conscientes, es decir,
los tratamientos que tienen en cuenta las representaciones no conscientes
(computacionales). Esta organización identifica dos tipos de transformaciones
complementarias: las transformaciones cuasi-instantáneas y las transformaciones
intencionales.
Las transformaciones cuasi-instantáneas se realizan aún antes de ser observadas;
más aún, producen información y significados de los cuales el sujeto es inmediatamente
consciente. Duval (citado por Hesselbart, 2007) menciona: “Intuitivamente podemos decir
que estos tipos de tratamientos corresponden a la experiencia o la familiaridad de una
extensa práctica o desempeño adquirido en un dominio”. Estos tipos de transformaciones
pueden ser hechas simultáneamente y son libres de integrar cualquier cantidad de
elementos.
Las transformaciones intencionales son dirigidas solo a lo que el sujeto percibe
cuasi-instantáneamente. Esto significa que solo pueden ser hechas en secuencia (una tras
de otra) y son muy sensibles en considerar la cantidad de elementos que pueden integrar.
Otra característica acerca de la transformación intencional es que no es extendida a todos
los sujetos, es decir, no todos los sujetos son capaces de realizarla a pesar de su nivel de
conocimiento.
Toda actividad cognitiva humana se basa en la complementariedad de estos dos
tipos de transformaciones. La fuerte relación entre ellas se debe al hecho de que, entre
más posibilidades de transformaciones cuasi-instantáneas dispone un sujeto, mayor es el
número de elementos inmediatamente integrados y fusionados en una sola unidad
31
informacional. Por lo tanto, el nivel epistémico de los objetos a los cuales puede aspirar,
es mayor. La adquisición de nuevas transformaciones cuasi-instantáneas es necesaria para
las transformaciones intencionales, y por lo tanto, para cada progreso cualitativo en el
aprendizaje. Así, esta adquisición pasa necesariamente a través de una fase de
transformaciones intencionales.
2.2.8 Conversión de representaciones y cambio de registro
La conversión es la transformación de la representación de un objeto de un
registro a otro, es decir, la conversión produce una representación en un registro
diferente de aquel en el que estaba la representación inicial. Ejemplos de conversión son
las operaciones de traducción, ilustración, transposición, interpretación, codificación, y
otras. Lo es también el planteamiento en ecuaciones de la información dada al enunciar
un problema, conversión que se presenta entre el lenguaje natural y el lenguaje formal o
simbólico.
El sujeto debe coordinar ambos registros. Además, la conversión es la
transformación externa relativa al registro de representación inicial. En la conversión, los
elementos de una representación son reorganizados y el contenido pasa por una
selección, resultando en el hecho de que el contenido en la representación inicial no
necesariamente es el contenido en la representación final.
Es esencial no confundir los tres polos constitutivos de cada representación:
- El objeto representado.
- El contenido de una representación (el contenido de un objeto presente en una
representación particular).
- La forma en la que es representado, es decir, el modo de su registro.
Otro factor fundamental que se debe considerar en el análisis es que la conversión
no es reversible; en todos los casos el contenido cambia de una representación a otra y,
convertir una representación en otra no significa que podamos convertirla de nuevo en la
representación original, o al menos, el costo cognitivo de hacerlo, no es siempre el mismo
32
en la conversión. Dicho de otra manera, las reglas de conversión no son las mismas según
el sentido en el que se efectúa el cambio de registro (Hesselbart, 2007).
Cuando se consideran las representaciones semióticas como un mero soporte para
las representaciones mentales y se estima que se pasa espontáneamente de la forma al
contenido, es decir, que el contenido puede ser separado fácilmente de su forma
semiótica, y que el cambio de forma es una operación intrínsecamente secundaria y activa
por sí, se puede concluir de manera errónea que hay noesis sin semiosis, al considerar
esta operación cognitivamente neutra y de un valor nulo o mínimo, lo que ha sido
desvirtuado por varios autores en cuyas investigaciones han concluido que esta operación
no es ni trivial ni cognitivamente neutra (Duval, 1999).
La conversión juega un papel muy poderoso cuando se habla sobre el
entendimiento. “Desde el punto de vista cognitivo, la actividad de la conversión es la
transformación representacional fundamental y es la única que conduce a los mecanismos
que subyacen a la comprensión”.
La distinción de las tres actividades ligadas a la semiosis (formación, tratamiento y
conversión) es esencial para el análisis cognitivo de las tareas y de las condiciones de un
aprendizaje conceptual, por ello no se deben mezclar las reglas que aseguran el
funcionamiento ya que estos tres tipos de actividades intervienen de manera explícita o
implícita en las macro-tareas de producción o de comprensión requeridas en los procesos
de enseñanza – aprendizaje.
La actividad de la conversión ha tenido un rol mínimo en los procesos de
enseñanza de las matemáticas por varias razones: la inexistencia de reglas de conversión o
un alcance extremadamente reducido; se efectúan cambios de registro por simplicidad y
economía del tratamiento y una vez efectuada la conversión se conserva sólo el registro
en el cual se trabaja; la creencia de la inmediatez y la simplicidad de un cambio de
registro, que ha hecho pensar que detenerse en este tipo de actividad es un atraso en la
enseñanza seria de las matemáticas y la lengua materna.
33
Las investigaciones hechas a este respecto han mostrado que “la conversión de las
representaciones semióticas constituye la actividad cognitiva menos espontánea y más
difícil de adquirir por la mayoría de los alumnos”.
El cambio de registro ocasiona obstáculos independientemente del campo
conceptual tratado; así mismo, la ausencia de coordinación entre los diferentes registros
genera obstáculos para los aprendizajes conceptuales. Es por esto que cuando el
aprendizaje se centra en el cambio y coordinación de diferentes registros de
representación se producen efectos muy favorables sobre las macro-tareas de producción
y de comprensión.
La conversión de las representaciones es, para el aprendizaje, una actividad tan
fundamental como las de formación y tratamiento y por sí sola favorece la coordinación
de los registros de representación (Duval, 1999).
2.2.9 Cambio de Registro
En el aprendizaje de las matemáticas frecuentemente se recurre a la actividad
cognitiva de la conversión: pasar del lenguaje natural al lenguaje formal utilizando signos
matemáticos, la construcción de figuras en geometría, la elaboración de gráficos en
álgebra y en cálculo, la utilización de diferentes sistemas numéricos, la elaboración de
tablas, diagramas, cuadros, dibujos a partir de expresiones en los lenguajes natural o
formal en lógica matemática, hacen evidente la gran importancia de esta actividad en los
procesos de comprensión, análisis, conceptualización y aplicación de los conceptos.
En términos de Duval (1993) “la característica más representativa de la actividad
matemática es la movilización simultánea de al menos dos registros de representación o la
posibilidad de cambiar de un registro a otro en cualquier momento”. Considerar la
importancia y variedad del cambio de registros (en matemáticas y en otras áreas del
conocimiento) conduce al entendimiento de las funciones cognitivas que existen y se
desarrollan con el ejercicio de esta actividad.
34
En la realización de actividades matemáticas todo el tiempo se trabaja utilizando
diferentes registros de representación semiótica. Aunque cambiar de registro no es una
actividad sencilla e inmediata, como para considerarla natural, se debe alcanzar un
desempeño cognitivo para lograr la coordinación de todos los posibles registros que
pueden ser utilizados en una cierta situación o en la solución de un problema. El cambio
de registro demanda más del sujeto que lo realiza, de lo que tradicionalmente se ha
pensado por estudiantes y profesores. Estas demandas se reflejan en los obstáculos que
se presentan en los procesos de aprendizaje y comprensión.
En matemáticas, la actividad de la conversión ha sido tomada como una operación
simple y ha sido ignorada en los currículos y en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Esta situación se evidencia en los textos de matemáticas y otras ciencias cuando se
presentan en paralelo múltiples sistemas de representación, suponiendo que esto basta
para entregar el contenido informacional o conceptual de una manera más accesible y
comprensible, es decir, se recurre a la conversión como una actividad natural o adquirida
desde los primeros grados de enseñanza por todos los alumnos, en la cual se apoyan las
actividades de tratamiento y los aprendizajes conceptuales. De manera opuesta a las
concepciones comunes, la conversión es necesaria en la actividad matemática y no tiene
nada que ver con la actividad natural.
Dado que la conversión es menos inmediata y menos simple de lo que se cree, es
necesario analizar cómo puede efectuarse la puesta en correspondencia de
representaciones pertenecientes a registros diferentes, ya que puede establecerse como
una correspondencia asociativa entre las unidades significantes elementales que
constituyen cada uno de los registros.
Dos aspectos esenciales de la semiótica son: la multiplicidad y heterogeneidad de
los sistemas de representación y los fenómenos de congruencia y no congruencia
involucrados en la actividad de la conversión de representaciones.
35
2.2.10 Congruencia y no congruencia entre representaciones
Durante el proceso de la conversión el contenido de la representación de partida
cambia y la información es reorganizada; por lo tanto, el sujeto no tiene acceso a la misma
información. Así, después del cambio de registro el sujeto puede conseguir información
diferente que puede o no complementar la información de la representación inicial.
Al manejar las representaciones en diferentes registros, se puede, en algunos
casos, causar algunas dificultades; otras veces es tan fácil que no se hace notorio el
cambio de registro. ¿Cuándo es natural o no pasar de un registro de representación a uno
diferente?
Todo registro está constituido por un cierto número de unidades significantes
elementales. Si es posible hacer corresponder las unidades significantes de una
representación con las unidades significantes de la otra representación, se dice que éstas
son congruentes.
La congruencia entre registros se define por tres criterios:
- La posibilidad de una correspondencia semántica entre los elementos
significantes: a cada unidad significante simple de una de las representaciones,
se puede asociar una unidad significante elemental, que son aquellas que
dependen del léxico de un registro.
- La univocidad semántica terminal: a cada unidad significante elemental en la
representación de salida le corresponde una única unidad significante
elemental en el registro de representación de llegada.
- El orden en el cual las unidades significantes están organizadas en ambas
representaciones. Las unidades en correspondencia semántica deben ser
aprendidas en el mismo orden en las dos representaciones. Este criterio es
pertinente solo cuando éstas tienen el mismo número de dimensiones.
El grado de no congruencia entre dos representaciones depende de que no se
cumplan uno o más de los criterios anteriores (Duval, 1999 p 48-51).
36
La congruencia entre dos representaciones debe ser diferenciada de las
equivalencias funcional y computacional. Representaciones de registros diferentes son
llamadas funcionalmente equivalentes, si toda la información de una puede ser inferida a
partir de la otra y computacionalmente equivalentes si siendo informacionalmente
equivalentes, toda inferencia puede ser fácil y rápidamente efectuada en una y otra
(Duval, 1999 p 52).
Cuando no hay congruencia entre las representaciones, son frecuentes los fracasos
en la actividad cognitiva de la conversión, los cuales pueden agravarse por el
desconocimiento de uno de los registros de representación. Este es el caso particular de
los registros bidimensionales como los gráficos cartesianos, las figuras geométricas o
incluso las tablas. Los registros en los que las unidades significantes no están
semióticamente separadas necesitan de un aprendizaje de los tratamientos que le son
propios ya que el criterio de univocidad semántica es más difícil de verificar para la
actividad cognitiva de conversión.
Las dificultades que se tienen por la no congruencia de las representaciones son
múltiples y variadas; su importancia se debe situar en relación con el aprendizaje de las
matemáticas y con el análisis que generalmente se hace en función de la complejidad
conceptual del contenido de las representaciones que se deben convertir.
Los fracasos debidos a la no-congruencia revelan un encerramiento de los registros
de representación el cual persiste aún después de que en la enseñanza se hayan
movilizado diferentes registros.
2.2.11 Obstáculos del aprendizaje
El concepto que desarrolla una persona es un conocimiento enmarcado en un
cierto entorno complejo, con múltiples representaciones. En este ámbito está también el
obstáculo que se interpone en el aprendizaje de conceptos posteriores, más complejos o
más elaborados.
Al respecto menciona Bachelard:
37
… hay que plantear el problema del conocimiento científico en términos de obstáculos. No
se trata de considerar los obstáculos externos, como la complejidad o la fugacidad de los
fenómenos, ni de incriminar a la debilidad de los sentidos o del espíritu humano: es en el acto
mismo de conocer, íntimamente, donde aparecen, por una especie de necesidad funcional, los
entorpecimientos y las confusiones. Es ahí donde mostraremos causas de estancamiento y hasta de
retroceso, es ahí donde discerniremos causas de inercia que llamaremos obstáculos
epistemológicos. (Bachelard, 1993 p 15)
Un obstáculo no es una falta de conocimiento, es siempre un conocimiento,
exitoso en ocasiones, que no sirve para otros ámbitos de aplicación del mismo concepto.
Puede verificarse que existe un obstáculo cuando el mismo error se verifica de manera
recurrente más o menos en los mismos términos.
Los obstáculos del aprendizaje tienen diferente origen y naturaleza. Según
D’Amore (2006), para Bachelard el obstáculo tiene sede en el pensamiento mismo,
mientras que para Brousseau reside en la comunicación. En cuanto a la naturaleza de los
obstáculos, los cataloga en tres tipos:
- De naturaleza Ontogenética: Los obstáculos genéticos ligados al patrimonio
cromosómico del individuo y que le confiere comportamientos innatos que se
pueden constituir en obstáculos a veces insuperables, ejemplos los instintos, la
predisposición a aprender y el uso de la lengua materna. Los ontogenéticos
están ligados al desarrollo de la inteligencia, de los sentidos y los sistemas
perceptivos, es decir están ligados a la evolución individual. Se habla de
obstáculos epigenéticos cuando están ligados a la comunicación.
- De naturaleza didáctica: Ligados al proyecto, currículo, método e
interpretación personal de la transposición didáctica del maestro. Aunque el
maestro piense que sea eficaz esto se puede convertir en un obstáculo
didáctico para el estudiante.
- De naturaleza epistemológica: Cuando en la historia de la evolución de un
concepto matemático se identifica una no continuidad, una fractura, cambios
radicales de concepción, ese concepto tiene a su interior obstáculos de
38
carácter epistemológico para la comunidad matemática y para los estudiantes.
Los obstáculos epistemológicos están ligados a la naturaleza misma del
argumento.
Es aceptado que el conocimiento científico está en permanente construcción; la
superación de los obstáculos del aprendizaje debe pasar necesariamente por la historia de
esa construcción, la manera como los científicos han cometido algunos errores y han
aprendido de ellos, han superado ideas previas concebidas en contextos diferentes y han
aprendido a comunicar sus hallazgos a través de diferentes lenguajes.
Este trabajo se centra en identificar los obstáculos de tipo epistemológico en el
sentido de Bachelard: “El obstáculo epistemológico es lo que se sabe, el hecho de saber
algo genera una inercia que dificulta el proceso de construcción de un saber nuevo, que
justamente es lo que constituye el acto de conocer. Tanto el científico como el alumno,
nunca parten de cero conocimientos”. (http://www.matetam.com/blog/entradas-
jmd/obstaculo-epistemologico). En este mismo sentido, se establece que este tipo de
obstáculos se instala desde la enseñanza primaria, y que el sentido común es el primer
obstáculo. La relación entre el sentido común y el conocimiento científico es la cuestión
central para Bachelard. Según Tamayo, los obstáculos se clasifican en: Epistemológicos o
conceptuales, Axiológicos – ontológicos, Cognitivo-lingüísticos, Motivacionales (notas del
seminario “Didáctica de la Matemática” Tamayo, 2013).
La identificación de obstáculos se realiza a partir de modelos mentales. Estos
modelos pueden explorarse desde los aspectos histórico-epistemológicos (recoge las ideas
previas), aspectos ontológicos: experiencias del sujeto en el campo, aspectos cognitivo-
lingüísticos: procesos argumentativos, usos del lenguaje o de aspectos motivacionales,
emocionales, afectivos, con el fin de poner al descubierto las dificultades o errores que
tiene un individuo de manera recurrente y que pueden interponerse en la adquisición de
un nuevo conocimiento.
Para superar los obstáculos del aprendizaje, es necesario identificarlos en primera
instancia, ya que quien no es consciente del obstáculo no lo puede superar. Debe ser
39
identificado para seguir adelante, si no lo identifica hay un problema metacognitivo. El
docente puede utilizar un instrumento de evaluación de ideas previas con el propósito de
identificar los obstáculos y luego diseñar un instrumento didáctico para superarlos. (notas
del seminario “Didáctica de la Matemática” Tamayo, 2013).
40
CAPÍTULO 3. DISEÑO METODOLÓGICO
3.1 TIPO DE ESTUDIO
Este trabajo es del tipo “investigación evaluativa” ya que tiene como objeto
diseñar, implementar y evaluar una unidad didáctica para el aprendizaje de las
expresiones lógico–matemáticas por los estudiantes de Ingeniería de la Universidad de
Caldas, utilizando múltiples registros de representación semiótica y haciendo énfasis en
los procesos de conversión de este tipo de registros, para identificar los obstáculos que se
presentan en el aprendizaje de la lógica - matemática. Se desarrolló mediante la
descripción cualitativa de los procesos de conversión llevados a cabo por los estudiantes
durante el trabajo con la unidad didáctica y analizados según la teoría de las
Representaciones Semióticas de Raymond Duval.
3.2 ESTRATEGIA METODOLÓGICA
La estrategia metodológica se desarrolló en tres fases, así:
Primera Fase: Se diseñó un instrumento de evaluación de ideas previas para
identificar los conceptos que traen los estudiantes acerca de los temas relacionados con la
lógica – matemática y que pueden llegar a constituirse en obstáculos de tipo
epistemológico – conceptuales o cognitivo – lingüísticos. Los temas en los que se hizo
énfasis en esta primera fase son:
- concepto intuitivo de lógica
- relación que existe entre la lógica, la matemática y la tecnología
- concepto de proposición
- conceptos fundamentales de la teoría intuitiva de conjuntos
- construcción de expresiones lógicas
- identificación y clasificación de variables lógicas
- interpretación de diagramas lógicos
41
Segunda Fase: se diseñó e implementó una unidad didáctica a partir del instrumento
de evaluación de ideas previas y de los temas que deben ser abordados en un curso de lógica
– matemática por estudiantes de primer semestre de Ingeniería de Sistemas, en el que se hace
énfasis en los procesos de conversión de los registros de representación semiótica. En esta
fase también se diseñó y se construyó un software que permite estudiar las expresiones lógico
– matemáticas y se utilizó un tablero electrónico y un libro del autor de este trabajo, como
ayudas didácticas para el desarrollo de la unidad.
Tercera Fase: Se realizó un análisis de tipo descriptivo – cualitativo exhaustivo de
cada uno de los procesos llevados a cabo en el desarrollo de la unidad didáctica por tres
estudiantes escogidos del grupo, cada uno de ellos se tomó como elemento
representativo de una porción del grupo, dividido según el rendimiento académico:
superior, alto y medio, observando también los criterios de completitud en el desarrollo
del instrumento y la asistencia al curso, con el fin de identificar los obstáculos en los
procesos de conversión entre diferentes tipos de registros de representación semiótica
necesarios para el aprendizaje de la lógica – matemática. Las unidades de información son
cada uno de los ítems planteados en el diseño de la unidad didáctica.
3.3 INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN DE IDEAS PREVIAS
El instrumento de evaluación de ideas previas se diseñó con el objetivo de servir de
base a la elaboración de la unidad didáctica para el aprendizaje de las expresiones lógico –
matemáticas en los programas de ingeniería de sistemas de la Universidad de Caldas. El
instrumento propuesto para la evaluación de ideas previas fue diseñado en 7 partes
fundamentales, que deben ser tenidas en cuenta en los procesos de enseñanza y
principalmente en los procesos de aprendizaje de un curso de lógica-matemática y sus
aplicaciones en ingeniería; estas partes son:
42
Concepto intuitivo de Lógica.
Se realizaron dos preguntas en las que se exploró el concepto intuitivo de lógica.
Estas preguntas examinaron cómo utilizan los estudiantes los términos lógica y lógico en
expresiones de su vida cotidiana y buscaron analizar si este uso debería ser tenido en
cuenta para ser empleado en el curso de lógica matemática; o si por el contrario, se
presentaban obstáculos epistemológicos sobre los cuales habría necesidad de hacer un
trabajo en el diseño de la unidad didáctica, para que mediante una puesta en común se
comenzara la unidad con referencia a estos términos fundamentales. En la primera
pregunta se les pidió a los estudiantes que construyeran oraciones cotidianas en las que
utilizaran los términos lógica y lógico, y en la segunda se les preguntó si creen que es
necesario obtener un grado académico para razonar de manera lógica ante una situación
problemática en sus vidas.
Relación entre la lógica, la matemática y la tecnología.
Se realizaron 4 preguntas con las que se exploraron las ideas previas de los
estudiantes sobre la relación que existe entre la lógica, la matemática y la tecnología. Para
esto se les preguntó sobre la importancia de la matemática en el diseño y construcción de
equipos y dispositivos electrónicos, sobre el por qué de la velocidad de cálculo de los
ordenadores modernos, sobre el funcionamiento de las unidades centrales de proceso
(CPU), sobre la manera como procesan información las computadoras y la comparación
con los humanos y entre las ventajas de procesar la información de los humanos y las de
las computadoras. Por último se les solicitó que elaboraran un diagrama o un dibujo sobre
lo que piensan que es un sistema de procesamiento de datos. En todos los casos se les
pidió a los estudiantes que justificaran su respuesta.
Concepto de proposición lógica.
Uno de los conceptos más relevantes en el aprendizaje de las expresiones lógico –
matemáticas es el de proposición lógica, debido a que es el fundamento del cálculo
proposicional; por esto, se indagó sobre las ideas previas respecto al concepto de
43
proposición a través de 5 preguntas relacionadas con éste. En la primera se buscó analizar
si los estudiantes podían o no asignar un valor de verdad a una serie de expresiones (unas
que son proposiciones y otras no), y se les solicitó que dijeran en qué se diferencian estas
expresiones; cuáles de estas oraciones eran las más importantes para la matemática; qué
condición deberían tener para poder decir de ellas si son verdaderas o falsas; qué creían
ellos que era una proposición matemática. Así mismo se les dio una fórmula matemática
en forma de proposición: “El área del triángulo se puede calcular como el producto de su
base por su altura sobre dos”, y se les pidió que dijeran si es o no una proposición y por
qué. Posteriormente se les dio la misma proposición pero negada y se les hicieron las
mismas preguntas para explorar qué ideas previas tenían sobre las proposiciones en
matemáticas y si eran capaces de identificar una proposición que ha sido negada sin
perder su carácter proposicional.
Teoría intuitiva de conjuntos.
Se examinó a través de dos preguntas, las ideas previas que tenían los estudiantes
de primer semestre de ingeniería con respecto a la teoría intuitiva de conjuntos y desde la
semiótica sobre los procesos de tratamiento de algunas operaciones elementales entre
conjuntos. Para ello se les dio un grupo de conjuntos y se les solicitó realizar algunas
operaciones elementales con ellos. Estas operaciones son enseñadas desde la escuela
primaria y de nuevo en secundaria (intersección, unión, complemento de un conjunto
respecto a un universal, diferencia entre conjuntos etc.) y son importantes en un curso
sobre expresiones lógico-matemáticas, ya que los conjuntos son una teoría isomorfa con
las álgebras lógicas y su conocimiento es de gran ayuda para el aprendizaje de estas
últimas. También se les solicitó que construyeran diagramas en los que se pudieran
representar los conjuntos anteriores para analizar si estaban capacitados para llevar a
cabo procesos de conversión entre diferentes sistemas de representación semiótica, como
son las determinaciones de conjuntos por extensión (enumerando los elementos que los
conforman), los diagramas de Venn-Euler o los diagramas sagitales de amplia utilización
en el trabajo con conjuntos.
44
Expresiones lógicas.
Se examinaron las ideas previas de los estudiantes respecto a las expresiones
lógicas construidas con frases cotidianas y utilizando los conectivos lógicos fundamentales
(conjunción, disyunción, condicional o implicación y bicondicional o equivalencia) y su
análisis lógico; así mismo se exploraron las ideas previas que tenían los estudiantes sobre
los procesos de conversión (entre el sistema semiótico del lenguaje natural y el sistema
semiótico del lenguaje matemático) para lo cual se les pidió la representación de estas
expresiones en el lenguaje lógico-matemático.
Identificación y clasificación de variables lógicas.
Se exploró si las ideas previas que tenían los estudiantes les permitían identificar y
clasificar variables lógicas de diferente índole. También se buscó analizar los criterios que
tenían los estudiantes para que, de un conjunto dado de variables lógicas bivalentes
conformado de expresiones, símbolos y palabras, pudieran clasificar estas variables. Esta
pregunta buscó examinar las ideas previas que serán de utilidad cuando, desde el sistema
de representación semiótico del lenguaje natural, se les proponga a los estudiantes la
solución de un problema lógico-tecnológico.
Interpretación de un diagrama lógico.
En esta última parte se examinó si las ideas previas de los estudiantes les
permitían, de manera intuitiva, interpretar un diagrama lógico (circuito lógico elemental) y
si podían explicarlo de manera coherente. Este punto es importante ya que gran parte de
la unidad didáctica está centrada en el análisis de circuitos y diagramas lógicos que tienen
asociadas expresiones lingüísticas, tablas, expresiones lógico-matemáticas, expresiones
conjuntistas y Booleanas en diferentes sistemas de representación semiótica.
En documento anexo se presenta el instrumento de evaluación de ideas previas
aplicado al grupo de lógica-matemática del programa de ingeniería de sistemas de la
Universidad de Caldas en el primer semestre del año 2013.
45
3.4 DISEÑO DE LA UNIDAD DIDÁCTICA DE LAS EXPRESIONES LÓGICO-MATEMÁTICAS
3.4.1 Introducción
Esta unidad didáctica tiene como objetivo introducir a los estudiantes de Lógica-
Matemática de primer semestre del programa de Ingeniería de Sistemas de la Universidad
de Caldas en la conceptualización, manejo y utilización de las expresiones lógico-
matemáticas a través del trabajo con múltiples registros de representación semiótica, en
búsqueda de fomentar los procesos de conversión entre registros y su aplicación en la
resolución de problemas de tipo lógico-tecnológico, aplicando metodologías de desarrollo
teórico-prácticas para implementar soluciones, usando dispositivos electrónicos digitales
(hardware) o programas y subrutinas de computador (software).
3.4.2 Justificación teórica de la unidad didáctica
Esta unidad didáctica está enmarcada en los desarrollos teóricos sobre semiosis y
pensamiento humano de Raymond Duval. Recoge además elementos de otras teorías:
cognitivista, constructivista y socio-constructivistas de los procesos de aprendizaje
expuestos por autores como Piaget y Vigotski entre otros.
Como actividad exploratoria al desarrollo de esta unidad didáctica se aplicó un
instrumento de evaluación de ideas previas en el que se analizaron aspectos cognitivos y
metacognitivos relacionados con el manejo de las expresiones lógico-matemáticas (lógica
proposicional, teoría de conjuntos) y su relación con la tecnología moderna. Estas ideas
sirvieron de apoyo para la evaluación del progreso y evolución de los conceptos y
habilidades que durante el desarrollo del tema iban adquiriendo los estudiantes.
Con esta investigación se intentó evidenciar si la riqueza de sistemas de
representación semiótica, que pueden ser utilizados en el tratamiento de estas
expresiones lógico-matemáticas, empleados a través de una adecuada estrategia didáctica
que diera preponderancia a los procesos de formación, tratamiento y conversión de estas
representaciones, permitía que los estudiantes lograran un aprendizaje que los llevara a
46
adquirir habilidades y destrezas con las que pudieran utilizar estos conocimientos en la
resolución de problemas reales de la ciencia y la ingeniería y sus aplicaciones tecnológicas,
en situaciones similares a las que se presentarán en su desempeño profesional.
Como cita Tamayo (2006) en su artículo sobre representaciones semióticas y
evolución conceptual en la enseñanza de las ciencias y las matemáticas: “La creciente
atención que en los últimos años ha captado la producción e interpretación de
representaciones externas ha llegado al ámbito de la educación en ciencias. En la
actualidad, se reconoce la importancia, para el logro de aprendizajes en profundidad, de la
construcción de múltiples representaciones externas de los conceptos estudiados”. El
modelo de unidad didáctica propuesto en este trabajo se adapta del de Tamayo y
colaboradores (2011) y del capítulo 13 del texto “El caso de niños y maestros. Pequeños
científicos” (Tamayo, Restrepo & Velasco, 2012), donde este autor expone una perspectiva
teórica para el diseño de unidades didácticas, en la forma que se presenta en el siguiente
diagrama:
Figura 2. Modelo de Unidad Didáctica (Adaptado de: Tamayo, 2011)
47
El diagrama anterior muestra que la unidad didáctica que se implementó para el
aprendizaje de las expresiones lógico-matemáticas partió del análisis del instrumento de
evaluación de las ideas previas de los estudiantes, consideró aspectos de la reflexión
metacognitiva, la historia y epistemología de la lógica-matemática e hizo énfasis en los
sistemas de representación semiótica.
3.4.3 Contexto
La unidad didáctica se elaboró para que fuera aplicada con estudiantes de los
cursos de lógica-matemática de primer semestre de ingeniería de sistemas. Esta rama de
las matemáticas es fundamental en la formación de este tipo de ingenieros que la
necesitan para dar soluciones lógicas a problemas científico-tecnológicos frecuentes en su
desempeño profesional. Además, sienta las bases lógico-matemáticas de cursos más
avanzados como circuitos digitales, programación lógica, diseño y programación de
microprocesadores, estructuras lógicas de programación, etc.
La unidad didáctica se aplicó durante el desarrollo del curso lógica-matemática;
para ello se utilizaron 40 horas del curso incluyendo la evaluación del aprendizaje
mediante el desarrollo de un proyecto teórico-práctico que involucró la aplicación de los
conceptos aprendidos en el desarrollo de la unidad didáctica.
3.4.4 Presentación de la unidad didáctica
Tema: Expresiones lógico-matemáticas
Nivel: Educación universitaria
Población: Estudiantes de primer semestre de ingeniería de sistemas (U. de Caldas)
Edad: 18.2 ± 2.6 años.
Número de sesiones: 7 Número de horas: 40
Materiales: Libro guía “Matemática Moderna y Tecnología: Un enfoque lúdico –
interactivo”, “Laboratorio de Matemática Moderna: DIGIMAN”, software “Matemática
48
Moderna: DIGIMAN”, libros de: lógica, lógica- matemática, electrónica digital, diseño
lógico digital, paquetes computacionales de diseño lógico, software gratuito para diseño
digital, Internet, Infografías.
3.4.5 Objetivos
General
Aprender los conceptos, manejo y utilización de las expresiones lógico-
matemáticas en ingeniería de sistemas, haciendo énfasis en los procesos de conversión
entre múltiples registros de representación semiótica.
Específicos
- Conocer, interpretar y valorar los conceptos, expresiones y leyes en las que se
fundamentan las álgebras lógicas.
- Utilizar las expresiones lógicas en diferentes contextos y realizar procesos de
tratamiento en registros de representación semiótica.
- Interpretar y comprender problemas lógico-matemáticos enunciados en el
lenguaje natural y convertirlos a otros registros de representación semiótica.
- Resolver problemas lógico-tecnológicos y justificar su solución desde las teorías
de la lógica-matemática.
- Implementar, construir y probar las soluciones de los problemas lógico-
matemáticos a través de dispositivos o programas de diseño lógico.
3.4.6 CONTENIDOS
SESIÓN
CONTENIDOS
ACTIVIDADES
Horas
Aspectos Históricos y Epistemológicos de la Lógica- Matemática. Definiciones:
Lógica.
Lógica-Matemática.
Variables Lógicas.
Exploración de ideas previas acerca de la lógica y la lógica-matemática. Lectura y discusión de documentos sobre las definiciones de lógica y lógica-matemática por varios autores. Trabajos individuales y en grupos sobre los documentos. Discusión plenaria sobre los conceptos
49
1 Operaciones Lógicas.
Algebras de Boole.
Leyes del Algebra Lógica.
estudiados y confrontación con las ideas previas expuestas por los estudiantes. Debate Grupal sobre aspectos metacognitivos y epistemológicos de los conceptos tratados. Actividades de evaluación sobre expresiones lógico-matemáticas y su tratamiento en diferentes sistemas de representación semiótica.
4
2, 3
Expresiones algebraicas lógicas. Problemas de tratamiento y conversión de expresiones lógico-matemáticas utilizando diferentes sistemas de representación semiótica.
Tablas de verdad.
Diagramas de Venn-Euler.
Diagramas Sagitales.
Mapas de Karnaugh.
Diagramas de Veitch.
Diagramas Lógicos Circuitales con cajas y compuertas lógicas.
Circuitos eléctricos.
Actividades individuales y grupales utilizando ejercicios con expresiones lógico-matemáticas. Elaboración de diagramas lógicos para la comprensión del isomorfismo matemático entre la lógica proposicional, la teoría de conjuntos y las álgebras de Boole. Laboratorio: Utilización del Hardware y el Software diseñados para trabajar expresiones lógico-matemáticas. Reflexión metacognitiva sobre los diferentes sistemas de representación semiótica. ¿Con cuál sistema de representación semiótica aprendes mejor? ¿En qué rama del Isomorfismo matemático entiendes mejor las expresiones lógico-matemáticas? Actividades de evaluación.
10
4
Funciones Lógicas o Booleanas en varias variables lógicas.
Funciones lógicas de dos variables.
Funciones lógicas de tres o más variables.
Formas canónicas de las funciones lógicas.
Simplificación de funciones lógicas.
Sistemas isomorfos en estructuras lógicas bivalentes.
Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Lógicas.
Utilización de diferentes sistemas de representación semiótica para el aprendizaje, conceptualización, simplificación y utilización de las funciones Lógico-Booleanas. Laboratorio: Implementación de funciones lógicas a través del software y el hardware diseñados para el curso. Búsqueda y utilización por parte de los estudiantes de software gratuito conseguible en Internet. Actividad Grupal: Compartir con el grupo los hallazgos de la búsqueda anterior. Actividad plenaria sobre aspectos metacognitivos del aprendizaje de las funciones lógicas. Actividades de evaluación.
10
Lógica-Matemática en la Aritmética Binaria y la Teoría de Códigos.
Aritmética Binaria.
En esta sesión se hará énfasis en el enfoque socioconstructivista del conocimiento adquirido mediante la experimentación y solución de problemas que encaminen a los estudiantes a
50
5
Circuitos lógicos sumadores, restadores, multiplicadores y comparadores.
Códigos Binarios: BCD, Octal, Hexadecimal, Exceso 3, Gray.
Codificadores y Decodificadores.
compartir y consensuar el conocimiento de manera social. Se realizará en estas sesiones una profunda revisión bibliográfica especializada encaminada a la búsqueda y consolidación del Proyecto final que busca evaluar la profundidad en el aprendizaje que ha tenido el estudiante. Laboratorio: Utilización de los dispositivos y componentes electrónicos o el software de diseño para implementar los circuitos lógicos estudiados. Actividades de Evaluación.
8
6
Aplicaciones Tecnológicas de las expresiones Lógica-Matemática.
Circuitos Lógicos de Control y Automatismo:
Control de motores, Control de niveles, Control de lámparas
Circuitos lógicos de vigilancia.
Aplicaciones en otras áreas del conocimiento: Medicina, Agronomía, Química etc.
Diseño y Construcción de sistemas de seguridad.
En esta sesión y como proyecto final los estudiantes, por grupos máximo de cuatro integrantes, deben plantear un problema lógico-matemático expresado en el sistema semiótico del lenguaje natural, el cual expondrán en plenaria ante el grupo y el profesor quienes brindarán realimentación y orientación. Una vez expuesto el problema cada grupo debe transformarlo a través de procesos de conversión a cuatro sistemas semióticos a saber: dibujos o gráficos explicativos del problema, tablas de verdad, diagramas de Venn-Euler, diagramas sagitales. Una vez terminado los procesos anteriores deben convertir el problema al sistema semiótico de las expresiones lógico-matemáticas y efectuar procesos de tratamiento, aplicando las leyes del álgebra de Boole hasta lograr simplificar al máximo dichas expresiones. Posteriormente deben efectuar los procesos de conversión al sistema semiótico de los mapas de Karnaugh y comprobar las simplificaciones obtenidas en el paso anterior. A continuación deben efectuar procesos de conversión al sistema semiótico de los diagramas lógicos con cajas o compuertas y finalmente obtener una solución tecnológica en los sistemas semióticos de los circuitos electrónicos o los programas de computador, los cuales debe construir de manera física o computacional y comprobar su correcto funcionamiento desde los planteamientos lógicos requeridos en su formulación.
8
Tabla 4. Sesiones de la Unidad Didáctica.
51
Durante el desarrollo de esta unidad didáctica se utilizarán diferentes
complementos: Consultas en internet sobre los temas tratados, observación de videos e
infografías disponibles en la red y otras elaboradas por el autor, se presentarán
aplicaciones de la lógica matemática en diferentes ámbitos, se dispondrá de una amplia
bibliografía para que sea consultada por los estudiantes.
3.4.7 Metodología
El proceso de desarrollo y evaluación de la unidad didáctica que se diseñó para
este proyecto tuvo en cuenta las siguientes etapas, adaptadas del texto “Unidades
didácticas en ciencias y matemáticas” (Couso, Cadillo, Perafán & Adúriz-Bravo, 2011):
Diseño, elaboración, aplicación y evaluación del instrumento de ideas previas.
- Consulta con otros profesores de matemáticas que hayan dictado los temas a
tratar en la unidad didáctica.
- Identificación de obstáculos: Epistemológicos o conceptuales, Axiológicos –
ontológicos, Cognitivo-lingüísticos, Motivacionales.
Análisis y diseño de la unidad didáctica.
- Selección y secuenciación de conceptos y temáticas a enseñar en cada sesión
de la unidad didáctica.
- Selección de estrategias y actividades a desarrollar en las sesiones de la unidad
didáctica.
Intervención en el aula a través de la aplicación secuencial de la unidad didáctica
con el grupo objeto de estudio.
Evaluación de resultados obtenidos en la ejecución de la unidad didáctica desde las
teorías de la semiosis y el pensamiento humano de Raymond Duval.
3.4.8 Actividades
La propuesta de selección y secuenciación de actividades a desarrollar en esta
unidad didáctica tendrá en cuenta los siguientes criterios:
52
- Actividades de: iniciación, exploración, explicitación, planteamiento de
problemas, hipótesis o conceptos iniciales.
- Actividades de promoción de la evolución de los modelos iniciales, de
introducción de nuevas variables, de identificación de otras formas de observar
y de explicar o de reformular los problemas.
- Actividades de síntesis, de elaboración de conclusiones, de estructuración del
conocimiento.
- Actividades de aplicación, de transferencia a otros contextos, de
generalización.
3.4.9 Evaluación
Durante el proceso de evaluación, que será permanente, se tendrán en cuenta
actividades de autoevaluación, coevaluación (evaluación entre subgrupos de estudiantes),
negociación y hetero-evaluación.
En el capítulo I: La unidad didáctica en el paradigma constructivista (Couso et al.,
2011) menciona Neus Sanmartí: “desde los planteamientos socioconstructivistas del
aprendizaje, la evaluación, y más aún, la autoevaluación y la coevaluación, constituyen
forzosamente el motor de todo el proceso de construcción de conocimiento” (p. 43).
Durante los procesos de enseñanza-aprendizaje, permanentemente el docente y
los estudiantes, están obteniendo información y valorando la coherencia de nuevos
modelos y procedimientos, para tomar decisiones acerca de si es o no conveniente
introducir cambios en las estructuras mentales que permiten interpretar y utilizar en
diferentes contextos dichos modelos.
53
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS
4.1 ANÁLISIS DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN DE IDEAS PREVIAS
A continuación se presenta el análisis de los resultados obtenidos al aplicar el
instrumento de evaluación de ideas previas a un grupo de 52 estudiantes de primer
semestre de ingeniería de sistemas de la Universidad de Caldas, correspondientes al
primer semestre del 2013.
En la primera parte se exploró el concepto intuitivo de lógica y su utilización en la
vida cotidiana, se encontraron tres nodos fundamentales o aspectos con los que los
estudiantes relacionan las palabras ’lógica’ y ‘lógico’:
El primero es el de asociar la palabra lógica o usarla como sinónimo de
obligaciones a cumplir. A este respecto es frecuente encontrar que en las expresiones
escritas por los estudiantes aparezca repetidamente el hecho de ser lógicos el respeto y
cumplimento de normas, reglas y leyes, sean de carácter social o natural: “es lógico
proceder y actuar bien” o expresiones como “es lógico que si camino bajo la lluvia me
mojo”, y algunas normas que se han promovido a través de campañas en los medios
masivos de comunicación “es lógico cuidarme en las relaciones sexuales” o “es lógico
solucionar los problemas mediante el diálogo”.
El segundo nodo que se encuentra en la utilización de la palabra lógica es el que
tiene que ver con procesos de pensamiento. En este caso los estudiantes hacen referencia
al razonamiento en expresiones como “llevar una secuencia lógica”. También es frecuente
encontrar que asocian la palabra lógica con conocimiento y observación, en expresiones
como “es lógico contestar bien si estudié para el examen” o “es lógico que si hay nubes o
está nublado es que va a llover” o “lo lógico es lo que pueda suceder o no”. También
relacionan la palabra lógica con lo que se puede probar o lo probatorio en un juicio (en
expresiones como “la lógica permite obtener pruebas de culpabilidad”), o con procesos en
los que se pone a prueba la mente. Muchos estudiantes asimilan el concepto con la
54
capacidad de analizar, relacionar o inferir. También la relacionan con las destrezas
matemáticas; en este aspecto es frecuente que se refieran a la lógica de las operaciones
aritméticas elementales o a la capacidad de resolver problemas o ejercicios, comprender
fórmulas y entender procesos; así mismo hablan de la habilidad lógica de probar o
concluir en una determinada situación social, moral o matemática.
El tercer nodo hace referencia a lo necesario, elemental, fácil, claro, evidente,
cotidiano, lo posible o imposible, lo que puede suceder o no. A este respecto escriben: “la
lógica permite dar respuesta y soluciones simples a problemas”, o expresan que la lógica
trata con las cosas que se ven claras. Es también frecuente encontrar expresiones en las
que los estudiantes relacionan la lógica con las ideas, con el comportamiento, con “algo
que tienen las cosas” (sic), con la lógica de los juegos (ganar o perder) y dicen de manera
reiterada que está asociada con los seres humanos y la manera como razonan, y además
que es algo que se debe usar con frecuencia en la vida para poder tomar decisiones
correctas.
También se les preguntó a los estudiantes si para razonar de manera lógica ante
una situación problema es necesario obtener un grado académico. De los 52 que
participaron en la prueba 16 (30.7%) contestaron afirmativamente ya que asocian el grado
académico con el entrenamiento de la mente para responder ante situaciones
problemáticas. De otro lado, 30 de los 52 estudiantes (57.8%) contestaron negativamente
y en sus justificaciones expusieron que razonar es propio de los seres humanos y que el
entrenamiento mejora con la madurez de la persona. 6 de los 52 estudiantes (11.5%) no
dieron una respuesta afirmativa o negativa pero expusieron que la lógica es lo fácil, lo
cotidiano y que los problemas complejos requieren conocimientos; que los pensamientos
son verdades y que para resolver problemas son necesarias academia y humanidad;
algunos dijeron que lo académico no es todo.
Se nota en estas respuestas que los estudiantes no han tenido acercamientos de
tipo académico con la lógica como rama de la ciencia en ninguna de sus formas, pues
entregan unas definiciones y opiniones tomadas de la cotidianidad.
55
En la segunda parte se exploraron las ideas previas de los estudiantes sobre cómo
se relacionan la lógica, la matemática y la tecnología. Esta exploración se realizó a través
de 4 preguntas. La primera, indagó sobre el papel de la matemática en el diseño y
construcción de los equipos electrónicos actuales a lo que los estudiantes respondieron
que este es el más importante o el principal ya que la matemática, como lenguaje
universal, permite poner a funcionar los equipos. La interpretan como el soporte y parte
fundamental tanto en el diseño como en la operación de los equipos electrónicos,
haciendo énfasis en la interacción hombre – máquina. También se mencionó la
importancia de las matemáticas en la medición, la predicción y el control.
La segunda pregunta indagó sobre la idea que tienen los estudiantes acerca de la
rapidez en hacer cálculos que tienen los computadores. Entre las respuestas, las más
frecuentes se refieren a la programación de los equipos, a la manera como procesan datos
e información, a los programas o reglas de cálculo que utilizan, a su capacidad de memoria
y a la lógica y la matemática con que se hacen los programas. También se refirió esta
pregunta a cómo creen que funciona la unidad central de procesamiento (CPU) de un
ordenador; respondieron haciendo alusión a la capacidad de almacenamiento y
procesamiento de la información. Otros estudiantes dijeron que la CPU administra el
ordenador y que recibe, almacena, ordena, procesa y transmite códigos, información y
datos. La mayoría de los estudiantes opina que la rapidez del procesamiento de la
máquina se debe a la rapidez en el funcionamiento de los circuitos y al software como
sistema operativo, códigos y bases de datos. La CPU funciona como una unidad central de
administración de la información.
Las ideas que tienen acerca del funcionamiento de los computadores están
arraigadas en sus propias relaciones con estos aparatos. Tienden a asimilar las partes que
conforman una CPU con algunas partes del cuerpo humano, en especial con procesos del
sistema nervioso.
Otra pregunta realizada en esta parte exploró las ideas previas de los estudiantes
sobre si el procesamiento de información hecho por máquinas es mejor que el hecho por
56
humanos. De los 52 estudiantes encuestados, 20 (38.5%) contestaron afirmativamente y
argumentaron a favor de las máquinas. 19 de los 52 estudiantes (36.5%) contestaron y
argumentaron a favor de los humanos. 13 (25%) no respondieron afirmativa ni
negativamente pero argumentaron cuestiones a favor y en contra de las máquinas y de los
humanos.
La segunda parte de esta pregunta indagó sobre las ideas previas acerca de las
ventajas y desventajas de las máquinas respecto a los humanos y viceversa. Sobre las
máquinas mencionaron: tienen como ventajas rapidez, precisión, exactitud, eficacia,
utilidad. Como desventajas mencionaron que no tienen pensamientos ni sentimientos, no
hacen distinción del bien o del mal, se hacen obsoletas rápidamente, están sujetas a fallas
de operación.
Sobre los humanos mencionaron que tienen las siguientes ventajas: son
innovadores y creativos; tienen emociones, tienen la capacidad de planear, pensar y
aprender. Como desventajas mencionaron: procesan lentamente, olvidan con facilidad
pueden llegar a depender completamente de las máquinas.
La última pregunta de esta parte exploró las ideas previas que tienen los
estudiantes acerca de las partes que constituyen un sistema de cómputo o de
procesamiento de datos y la manera como éstas se relacionan a través de la elaboración
de un dibujo o un diagrama. De los 52 estudiantes que presentaron la evaluación, 13
(25%) no la contestaron, 12 (23%) dibujaron algunas partes de un PC, 8 (15%) dibujaron
los circuitos electrónicos con que se construyen los ordenadores y 19 (36%) realizaron o
intentaron un diagrama de flujo o un mapa conceptual de un sistema de cómputo. En
algunos dibujos mostraron relaciones a través de redes, cables y circuitos; algunos
ejemplos se muestran a continuación:
57
Figura 3. Dibujos de estudiantes acerca de las ideas previas sobre sistema de cómputo.
Con respecto a la pregunta sobre cómo se relacionan estas partes, en la mayoría
de las respuestas trataron de explicar cómo funciona un computador o cómo funciona un
sistema, cómo se relacionan el hardware y el software, o explicaron qué funciones
cumplen algunas de estas partes. En otras respuestas hablaron de cómo se hace la
mediación del usuario para que funcione el sistema, enumeraron los pasos básicos para el
procesamiento de datos, explicaron cómo funciona un disco duro, cómo se enciende un
dispositivo y trataron de explicar cómo actúa la electrónica.
En otra parte de la evaluación se examinaron las ideas previas con respecto al
concepto de proposición. En la primera pregunta se dieron 7 oraciones -algunas son
58
proposiciones y otras no- y se les pidió que asignaran un valor de verdad o de
indeterminación a cada una. De los 52 estudiantes sólo 3 (5%) asignaron correctamente el
valor de verdad pedido a todas las oraciones, 25 (48%) cometieron entre uno y tres
errores y 24 (46%) tuvieron 5 o más errores.
La pregunta ¿En qué se diferencian estas oraciones? se formuló con el fin de
indagar si tienen o no el concepto de proposición; respondieron nuevamente apelando a
su conocimiento cotidiano, frases como: su verdad depende del momento; unas aseguran
cosas y otras nada; algunas son incorrectas; todas son distintas. En otro tipo de
respuestas, un 20% de los estudiantes las identificó como enunciados lógicos a los que se
les puede asignar un valor de verdad.
A la pregunta: De las oraciones dadas ¿cuáles son más útiles en matemáticas? las
respuestas fueron: las que se pueden cuantificar; las afirmaciones; las proposiciones; las
que son falsas o verdaderas para la matemática; las que hablan de todo o de algunos. El
7% de los estudiantes dijeron que todas son importantes y el 8% que ninguna es
importante. A este respecto 39 de los estudiantes (75%) escogieron la oración “Todos los
ángulos son rectángulos”, 14 (27%) escogieron también ¿Qué hora es? Estos estudiantes
reconocieron su utilidad para las matemáticas en el hecho de que estas expresiones
tienen que ver con números. 10 estudiantes (19%) escogieron “El hierro es un metal” y
“Algunos planetas son gaseosos” porque según ellos, se requiere de matemáticas para
poder llegar a este conocimiento.
La siguiente pregunta de esta parte de la evaluación indagó sobre la condición que
debe tener una oración para ser considerada falsa o verdadera con el fin de conocer
cómo piensan los estudiantes acerca de la asignación del valor de verdad de una
proposición, tanto en el campo de la lingüística como en el de la matemática. A
continuación se les formuló la pregunta En el campo de las matemáticas ¿qué considera
usted que es una proposición? En general, los estudiantes creen que la proposición es
una oración que tiene como objeto conducir a una respuesta; la mayoría no tiene en
59
cuenta las condiciones necesarias para la adecuada construcción de la oración y la asocian
con una operación matemática.
Después de esta pregunta se exploró si pueden identificar una proposición y saber
por qué. Para esto se dio en el sistema semiótico del lenguaje natural una proposición que
es una fórmula matemática “El área del triángulo se puede calcular como el producto de
su base por su altura sobre dos” y se les preguntó si es una proposición y por qué. De los
52 estudiantes cuestionados, 47 (90%) la reconoce como tal, ya que, según ellos, tiene un
propósito, sirve para calcular, da una información y plantea un proceso. El 10% de los
estudiantes contestaron que no es una proposición o no respondieron la pregunta. Al
presentar la anterior proposición negada “El área del triángulo NO se puede calcular como
el producto de su base por su altura sobre dos” el 69% contestaron que sí es proposición y
el 31% que no. Los que contestaron afirmativamente reconocen en la oración algún valor
de verdad y algún propósito, aunque sea contradictorio. Los que contestaron
negativamente lo hicieron porque opinan que no se establece una relación o no tiene un
propósito claro cómo ayudar a resolver un problema, ya que niega algo que está
comprobado.
Es generalizada la idea de que para que una oración sea proposición, debe tener
un propósito o un objetivo claro y debe conducir a una respuesta.
También se exploró acerca de los conceptos y las operaciones elementales con
conjuntos; para ello se dieron un conjunto de referencia, dos subconjuntos de éste y se les
solicitó a los estudiantes que hallaran 5 conjuntos básicos que se obtienen con
operaciones elementales como la intersección, la unión, la diferencia y el complemento.
De los 52 estudiantes realizaron bien: -la intersección 38 (73%), -la unión 31 (59.6%), -el
complemento de un solo conjunto 34 (65.4%), -las diferencias entre conjuntos 34 (65.4%),
el complemento de una unión 36 (69.2%). También en estas respuestas se encontró que
32 (61.5%) de los estudiantes no utilizan bien la notación conjuntista.
A continuación se les solicitó a los estudiantes que construyeran diagramas de al
menos tres de los conjuntos anteriores y los resultados obtenidos fueron: 18 (34.6%) no
60
hicieron diagramas, 13 (25%) hicieron uno, 9 (17.3%) hicieron dos, 11 (21.2%)
construyeron los 3 diagramas solicitados y un estudiante realizó 4. De los 52 hubo 3 (6%)
que realizaron: un diagrama de flujo, un diagrama sagital y un diagrama de flujo con otro
tipo de información no dada en la pregunta.
Se evaluaron las ideas previas en la valoración de expresiones lógicas construidas
con expresiones cotidianas. Para esto fueron dadas tres proposiciones y se les solicitó que
dieran el valor de verdad de 5 proposiciones compuestas formadas con las proposiciones
simples dadas, que utilizaban los conectivos lógicos conjunción (y), disyunción (o),
condicional (si, entonces), bicondicional (sí y sólo sí) y que justificaran sus respuestas. Los
resultados obtenidos fueron: 32 de los 52 (61.5%) interpretaron bien la conjunción; 20
(38.5%) la disyunción; 33 (63.5%) el condicional con antecedente afirmativo; 17 (32.7%) el
condicional con antecedente negativo, y 12 (23%) el bicondicional. Al solicitar que
escribieran expresiones matemáticas que representaran las proposiciones compuestas
dadas antes, 15 estudiantes (29%) contestaron correctamente la pregunta y utilizaron
bien la notación y los operadores lógicos; el restante 71% no conceptualizan ni utilizan
correctamente el lenguaje formal de las proposiciones.
En otra parte de la evaluación de ideas previas se exploró la habilidad que tienen
los estudiantes para identificar y clasificar variables lógicas. Dado un grupo de 36
variables lógicas en diferentes contextos se les solicitó que identificaran criterios para
poderlas clasificar. Entre las respuestas dadas se encontró: 15 (28.8%) escribieron que son
términos opuestos o contrarios y los clasificaron en pares, 30 (57.7%) las clasificaron en
grupos de dos o más y dijeron que cada palabra tenía su antónimo.
La última pregunta exploró las ideas previas de los estudiantes en la
interpretación de un diagrama lógico elemental constituido por un circuito con tres
interruptores en serie-paralelo y cuya enseñanza es frecuente en las clases de ciencias de
primaria y secundaria. De los 52 estudiantes 21 (40.4%) lo interpretaron bien, 26 (50%) lo
interpretaron mal y 5 (9.6%) no contestaron la pregunta. De todos los estudiantes sólo 6
(11.5%) lo explicaron de manera lógica y los demás no lo explicaron o lo hicieron mal.
61
Con el fin de diseñar la unidad didáctica se analizó el instrumento de evaluación de
ideas previas en busca de los obstáculos más relevantes que presentaban los estudiantes
al inicio del curso de lógica matemática. En este análisis se encontró que dichos obstáculos
son de tipo epistemológico como el sentido común, la experiencia básica o conocimientos
previos, el obstáculo verbal que se refleja en el lenguaje aprendido, la simplicidad y la
claridad, la explicación por la utilidad y el obstáculo animista. También se encontraron
obstáculos de tipo cognitivo – lingüístico y otros asociados a la simbolización y a los
registros semióticos.
Los obstáculos epistemológicos en el sentido de Bachelard (1993) fueron evidentes
en las explicaciones dadas por los estudiantes cuando se les indagó por el concepto
intuitivo de “lógica”. Muchas de sus respuestas fueron dadas utilizando expresiones de la
vida cotidiana o el conocimiento vulgar; fue frecuente que trataran de explicar el
concepto de lógica utilizando algunas normas que se han promovido a través de campañas
en los medios masivos de comunicación.
El sentido común y la experiencia básica se notan cuando dicen de manera
reiterada que la lógica está asociada con los seres humanos y la manera como razonan, y
además que es algo que se debe usar con frecuencia en la vida para poder tomar
decisiones correctas.
La simplicidad y la claridad se evidencian cuando mencionan que la lógica es lo
fácil, lo cotidiano y que los problemas complejos requieren conocimientos; que los
pensamientos son verdades y que para resolver problemas son necesarias academia y
humanidad.
El obstáculo animista: “… tendencia a explicar ciertos fenómenos o a definir ciertos
conceptos haciendo analogías con la naturaleza animada” (Mora, 2002) se muestra en las
ideas que tienen acerca del funcionamiento de los computadores, que están arraigadas en
sus propias relaciones con estos aparatos y que las explican utilizando una similaridad con
organismos vivos; les asignan la capacidad de pensar, o en algún momento, tomar el
control. Tienden a asimilar las partes que conforman una CPU con algunas partes del
62
cuerpo humano, en especial con procesos del sistema nervioso. Siguiendo la teoría de los
planos o sentidos de representación de A. Rivière, se observa en esta respuesta que los
estudiantes utilizan el plano máquina
Las considera (a las representaciones) en términos de la correspondencia entre las
estructuras y procesos del sistema nervioso y las funciones cognitivas y/o conscientes de
representación o, en último término, la estructura del ‘mundo’ que se proyecta (por muy
indirectamente que sea) en dichas estructuras. (A. Rivière, 1986).
La explicación por la utilidad se observa cuando los estudiantes mencionan que la
proposición es una oración que tiene como objeto conducir a una respuesta o tener un
objetivo o propósito especial. Al respecto, Bachelard (1993, p 109) menciona: “También la
utilidad ofrece una especie de inducción muy particular que podría llamarse inducción
utilitaria. Ella conduce a generalizaciones exageradas. (…) Todo pragmatismo, por el mero
hecho de ser un pensamiento mutilado, lleva fatalmente a la exageración”.
Algunos obstáculos cognitivo-lingüísticos se evidenciaron en que los estudiantes
sólo reconocieron como proposiciones útiles para las matemáticas aquellas expresiones
que tienen que ver, de manera directa o indirecta, con números, fueran o no
proposiciones. Es el caso de la expresión: ¿Qué hora es?, que, aunque no es proposición,
la reconocieron como tal. Otras como “El hierro es un metal” y “Algunos planetas son
gaseosos” también las escogieron porque según ellos, se requiere de matemáticas para
poder llegar a este conocimiento, pero no por el hecho de ser expresiones a las que se les
puede asignar un valor de verdad.
Este tipo de obstáculos también se evidenció en que la mayoría de los estudiantes
no tuvo en cuenta las condiciones necesarias para la adecuada construcción de la
proposición como pareja {sujeto, predicado} y además, cuando no la reconocen sin
asociarla con una operación matemática.
Los obstáculos asociados a la simbolización y los registros semióticos fueron
evidentes en la pregunta que requería escribir proposiciones utilizando el lenguaje formal
63
de la lógica proposicional. Los asociados a los registros semióticos, cuando se les solicitó
realizar diagramas de Venn-Euler en operaciones con conjuntos o cuando se les pidió
interpretar el funcionamiento lógico de un circuito eléctrico, a lo que muchos estudiantes
respondieron con otro tipo de diagramas o con explicaciones fuera de contexto.
64
4.2 ANÁLISIS DE CASO: ESTUDIANTE JUAN DIEGO
Se presentan las respuestas a las sesiones 1 a 4 de la unidad didáctica presentadas
por Juan Diego, un joven de 16 años de edad que recién ingresó a la Universidad de Caldas
a comenzar sus estudios en ingeniería de sistemas. Las respuestas al instrumento de
evaluación de ideas previas se encuentran en anexo.
ACTIVIDADES SESIÓN 1
1.1 Aspectos metacognitivos. (Para reflexionar extra-clase de manera individual)
1.1.1 ¿Qué crees que el profesor quería lograr con la sesión sobre lógica y lógica-
matemática?
R./ Creo que quería que compartiéramos nuestros puntos de vista sobre lo que es lógico, para
enriquecer a los demás con nuestros criterios y enriquecernos con los criterios de nuestros
compañeros, además para formar un argumento general más sólido y diverso.
1.1.2 ¿Qué ideas vinieron a tu mente cuando pensaste en la palabra lógica?
R: / Razonable, correcto, válido, cuerdo, oportuno, conveniente, benéfico, exacto, acertado,
apropiado.
1.1.3 ¿En qué pensaste cuando trataste de definir la lógica-matemática?
R: / Pensé en la generalidad de ambas definiciones, todo lo que abarcan ambas terminologías,
pensé en tomar un significado concreto de ambas y tomarlas a ambas para formar una definición
concisa pero que pudiera abordarlas a ambas.
1.1.4 ¿Qué dificultades encontraste al tratar de dar tus propias definiciones?
R. / En que a veces no encontraba los términos más adecuados para definir de manera adecuada
una definición dual, donde sabía que si acomodaba una palabra para un término éste no sería
adecuado para el otro, o que la definición no me sonaba tan coherente y precisa como esperaba.
1.1.5 Haz un diagrama con el que puedas mostrar cómo se relacionan las principales
ideas de los conceptos estudiados. ¿Cómo extraes las ideas principales? Describe
tu plan.
65
R. /
La lógica es la ciencia del razonamiento, aborda los pensamientos y mediante un procedimiento
estructurado y ordenado transformo argumentos en conclusiones. Si no son correctas, debe
volverse a razonar.
1.2 Aspectos epistemológicos. (Para discutir por subgrupos)
1.2.1 ¿Crees que es necesario estudiar lógica para razonar de manera correcta?
R. / No, porque razonar de manera correcta no requiere estudios específicos o minuciosos, pero
aquellos que estudian lógica tienen una mayor posibilidad de razonar de una manera más correcta
o válida.
1.2.2 ¿Crees que hay diferencias entre argumentos y razonamientos? ¿Cuáles son esas
diferencias? Explícalas.
R. / Sí hay diferencias, un argumento es una idea personal con la que se convalida o reprueba una
afirmación, en cambio un razonamiento es la reflexión o análisis de una idea para comprobar si es
adecuada o no.
1.2.3 ¿Cuál es tu opinión de definir la lógica como: “ciencia que estudia las leyes del
pensamiento”?
R. /No estoy de acuerdo, porque la lógica si es una ciencia, pero no estudia el pensamiento, sino
que lo modifica buscando volverlo más capaz de analizar y decidir correctamente.
1.2.4 ¿Cuál es tu opinión de definir la lógica como la ciencia del razonamiento?
R. / Sí estoy de acuerdo, porque busca que el ser humano desarrolle su razonamiento y lo entrene
para que con él pueda reflexionar sobre sus decisiones, para que cada vez se equivoque menos y
aprenda a discernir entre sus ideas correctas y adecuadas.
66
1.2.5 Cuando nos enfrentamos a un problema, ¿cuáles crees que son las preguntas
lógicas que debemos hacernos y en qué orden? Justifica tu respuesta.
R. / Primero hay que plantearse qué hacer, luego analizar las opciones de cómo debe hacerse y las
consecuencias que cada opción acarrea, luego debe escogerse la opción más adecuada y benéfica,
implementarla y si falla debe replantearse y rehacerse.
1.2.6 ¿Crees que la lógica es una rama de las matemáticas o las matemáticas una rama
de la lógica? Explica.
R. / Creo que las matemáticas son una rama de la lógica, porque todas las matemáticas deben
partir de raciocinios lógicos; es decir, todas las operaciones matemáticas tanto teóricas como
prácticas parten de la lógica para obtener resultados válidos o correctos.
ACTIVIDADES SESIÓN 2
LEYES DEL ÁLGEBRA LÓGICA
2.1 VARIABLES LÓGICAS.
Una variable x se dice que es una variable lógica cuando ella puede tomar uno y sólo uno
de dos valores posibles.
2.1.1 Escribe algunos ejemplos de situaciones cotidianas que tú creas pueden ser
representadas mediante variables lógicas.
R. / El estado de una puerta: abierta o cerrada, el estado de una lámpara: encendida o apagada,
las señales circuitales altas y bajas, el grado de validez: verdadero o falso, el estado de un objeto:
quieto o en movimiento.
En esta respuesta se observa que el estudiante identifica situaciones que pueden ser interpretadas
a través de variables lógicas y que son mutuamente excluyentes (encendida-apagada; altas-bajas;
quieto-movimiento). Estas situaciones las considera físicas (lámpara, circuito, movimiento) pero
también abstractas cuando las observa desde lo argumental (grado de validez). Se encuentra por
lo tanto que el estudiante está en capacidad de identificar el objeto matemático (variable lógica x)
en diferentes contextos.
67
Las variables lógicas también son llamadas variables Booleanas y los valores que ellas
pueden tomar pertenecen al conjunto B = {0, 1}
Los valores 0, 1 son llamados constantes lógicas.
2.1.2 Haz dos dibujos donde muestres variables lógicas que se presenten en tu vida
cotidiana.
R. /
En esta pregunta se buscó analizar si el estudiante, a partir de la definición de “variable lógica” en
el lenguaje natural, efectúa el proceso de conversión a un registro gráfico. Se observa que el
estudiante hace una coordinación adecuada entre estos dos tipos de registro semiótico cuando de
manera gráfica muestra que la variable lógica puede tener sólo dos estados que son mutuamente
excluyentes, en el primer dibujo la puerta puede estar o cerrada o abierta y en el segundo la
lámpara puede estar o encendida o apagada.
2.1.3 ¿Crees que las proposiciones son variables lógicas? SI _X__ NO ___ ¿Por qué?
R. / Sí, porque a las proposiciones se les puede dar uno de dos valores de veracidad: verdadero o
falso.
2.1.4 ¿Cómo crees que se originaron las variables lógicas y por qué?
R. / Las variables lógicas se originaron por la necesidad de marcar una diferencia clara entre dos
partes opuestas o contrarias.
2.1.5 ¿Cuál crees que es la utilidad de las variables lógicas?
R. / Las variables lógicas determinan de manera clara y concreta dos estados opuestos absolutos
para determinar la validez de dos proposiciones.
68
2.1.6 ¿Crees que los conjuntos se pueden trabajar a través de variables lógicas? SI _X__
NO ___ Justifica tu respuesta:
R. / Ya que los valores de verdadero y falso son comparables y válidos con los valores de
pertenencia y no pertenencia de un elemento en un conjunto.
En este grupo de respuestas 2.1.3 a 2.1.6 se observa que el estudiante ha aprehendido el concepto
matemático de variable lógica y lo identifica desde el valor de verdad de las proposiciones y desde
la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto.
2.2. OPERACIONES LÓGICAS: Las operaciones lógicas se pueden clasificar en binarias o
unitarias.
Una operación binaria es aquella que se efectúa al menos sobre dos variables lógicas.
Suma Lógica: Dadas dos variables lógicas x, y, su suma lógica x+y es tal que su resultado
está dado por el mayor valor de las constantes lógicas que aparecen en dicha suma.
2.2.1 ¿Crees que en vez de utilizar 0 y 1 como constantes para las operaciones con
variables lógicas se pudieran utilizar otros símbolos? SI_X__NO___. Justifica tu respuesta:
R. / Sí, cuando se unen los elementos de conjuntos, los símbolos son pertenece y no pertenece (,
)
En esta respuesta se observa que el estudiante diferencia el objeto matemático de su
representación, lo que indica que, debido a la equivalencia computacional entre las constantes
lógicas (0, 1) del álgebra de Boole y la relación de pertenencia (, ) en teoría de conjuntos, el
estudiante puede hacer procesos de conversión entre estas dos estructuras matemáticas
isomorfas. Este se puede constatar desde las respuestas anteriores cuando expresó que las
variables lógicas también se podían interpretar desde la relación de pertenencia en teoría de
conjuntos.
69
2.2.2 Reflexiona sobre la definición de suma lógica y posteriormente llena las siguientes
tablas.
R. /
2.2.3 ¿Crees que en las tablas anteriores hay congruencia entre 0 y 1 y los símbolos y?
SI X NO___. Si tu respuesta es afirmativa ¿a cuál de ellos le asignarías el 0 y a cuál el 1 o
crees que es indiferente? Explica tu respuesta:
R. / Sí. Debe asignársele a los símbolos un valor, que permita determinar cuál es mayor y menor,
pero no es muy importante o diferente asignarle ese valor a uno en específico.
2.2.4 ¿Cuál fue el plan que pensaste para resolver el ejercicio anterior? Explícalo de
manera secuencial:
R. / Primero revisé la definición de suma lógica, luego analicé bien las variables y sus valores y por
último le asigné el valor mayor a cada suma efectuada en la tabla.
2.2.5 ¿Crees que hay un error al afirmar que 1 + 1 = 1? Justifica tu respuesta:
R. / Pues desde el aspecto aritmético sí, pero como lo dice la definición de suma lógica, el valor de
la suma equivale al mayor valor de los sumandos, que en este caso es 1.
En este grupo de respuestas 2.2.2 a 2.2.5 se observa que el estudiante comprende que las variables
lógicas pueden ser etiquetadas con números (0, 1) o con otro tipo de símbolos como (, ).
Entiende además que si uno de ellos se considera el mayor, el otro será el menor (por exclusión)
pero expresa que es indiferente a cuál de ellos se le asigne dicho valor. Cuando llena la tabla I
considera que 0 < 1 como en aritmética, lo que puede constituir un obstáculo epistemológico, pero
en la tabla II considera < mostrando que no confunde el objeto matemático (variable lógica)
de su representación y además que entiende la diferencia entre una suma lógica y una suma
aritmética cuando no encuentra error en la expresión 1+1=1.
70
El Producto Lógico de dos variables lógicas, que se escribe x•y es tal que su resultado es
el menor valor de las constantes lógicas que aparecen en dicho producto.
2.2.6 Reflexiona sobre la definición anterior y llena las siguientes tablas:
2.2.7 ¿En la tabla II α sería 0 y β sería 1? SI_X__NO___. ¿Podría ser al contrario?
SI___NO_X__. Explica tu respuesta:
R. / Porque la tabla establece que era el valor menor, y si tomara como el mayor, los resultados
serían totalmente opuestos a los que son en realidad.
Respuestas 2.2.2 a 2.2.7: En este grupo de respuestas se observa que a partir de las definiciones de
las operaciones suma lógica y producto lógico en el lenguaje natural, el estudiante las convierte en
registros tabulares (llena de manera correcta las tablas propuestas) y diferencia estas operaciones
sin que importen los símbolos numéricos o icónicos utilizados en su construcción, sino más bien las
relaciones que se presentan entre las variables.
2.2.8 Traza las flechas de los siguientes diagramas sagitales para correlacionar los
elementos de los conjuntos (Dominio y Recorrido) según la operación indicada:
2.2.9 ¿Crees que este tipo de representación es de ayuda para la comprensión de las
expresiones lógico-matemáticas? SI_X__NO___. ¿Qué ventajas le ves?
71
R. / Porque permite interpretar con mayor facilidad el funcionamiento minorante de producto y
mayorante de la suma lógica.
En esta respuesta el estudiante reconoce que la representación sagital es de ayuda para
comprender que en el producto lógico el resultado será igual al valor menor de las constantes que
en él intervienen y lo denomina minorante. Así mismo, que en la suma lógica el resultado es el
valor mayor de las constantes que en ella intervienen y la denomina mayorante. También se
observa que efectuó la conversión del lenguaje natural (las definiciones de las operaciones suma y
producto lógicos) al diagramal (diagrama sagital).
2.2.10 ¿Crees que la suma y el producto lógicos funcionan de la misma manera que la
suma y el producto de enteros positivos en aritmética? SI _X__ NO ___ Justifica tu
respuesta.
R. / Casi completamente concuerdan, la única excepción es la suma de dos variables cuyo valor es
1.
Esta respuesta muestra que el estudiante comprende que, aunque las operaciones suma y
producto en aritmética se parecen a las operaciones suma y producto lógicos, no son
completamente iguales y que la diferencia se encuentra en la interpretación de 1+1=1 como lo
había mostrado en la respuesta 2.2.5
Suma Exclusiva (): A continuación se presenta una tabla de doble entrada que define de
manera lógico–matemática la suma exclusiva (xy) de dos variables lógicas.
x
0 1
y 0 0 1
1 1 0
2.2.11 A partir de la tabla escribe tu propia definición de la operación Suma Exclusiva.
R. / Es una proposición en la cual ambas variables no pueden ser simultáneamente verdaderas o
simultáneamente falsas.
En esta respuesta el estudiante convierte del registro tabular al lenguaje natural. A partir de la
información suministrada en la tabla él puede definir con palabras de manera correcta la
operación suma exclusiva, además muestra que ha asimilado el valor de verdad con los símbolos 0
y 1. También se observa que para explicar una tabla lógica booleana, utiliza el lenguaje de la lógica
de proposiciones dado que existe equivalencia funcional entre ambos sistemas.
72
2.2.12 ¿Cuál crees que es la diferencia entre las operaciones suma lógica y suma
exclusiva?
R. / Que en la suma lógica, con que solo una variable sea verdadera, independientemente del
valor de la otra variable, la suma será 1, en cambio en la suma lógica el resultado es 1, solo si hay
una variable verdadera dependiente.
En esta respuesta se observa que el estudiante tiene dificultades para definir la diferencia entre
suma lógica y suma exclusiva. No es claro a qué se refiere cuando habla de una variable verdadera
dependiente, ya que en ningún momento se mencionó si una variable dependía de la otra ni se
presentó una relación lógica funcional, es decir, si una variable lógica es función de la otra.
2.2.13 Escribe dos situaciones cotidianas que se puedan analizar una con suma lógica y
otra con suma exclusiva:
R. / Suma exclusiva: Cuando se busca a un culpable entre dos sospechosos, teniendo de cada uno
una afirmación de inocencia, ambos no pueden ser simultáneamente F o V.
En esta respuesta el estudiante sólo escribe una situación correspondiente a la suma exclusiva lo
que parece reforzar lo comentado en el punto anterior sobre la distinción de situaciones que
involucren disyunciones inclusivas (donde se puede presentar que ambas proposiciones sean
simultáneamente verdaderas) o disyunciones exclusivas (donde no se pueden presentar
simultaneidad en el valor de verdad de las proposiciones componentes).
Operación unitaria: Es aquella que se puede realizar sobre una sola variable.
Complemento Lógico: También llamado Inversión Lógica, es una operación unitaria que, al
ser aplicado sobre una variable lógica, ésta cambia su valor.
Para una variable lógica x, su complemento se nota x’
2.2.14 A partir de la definición anterior, llena la siguiente tabla y elabora un diagrama de
Venn – Euler donde se muestren las regiones correspondientes a x y x’.
R. /
73
En esta pregunta se dio como información la definición del complemento lógico en el lenguaje
natural y se observa que el estudiante hace la conversión a los registros tabular (tabla lógica) y
diagramal (diagramas de Venn – Euler) sin importar que no esté utilizando las letras que
frecuentemente se usan en teoría de conjuntos. Es decir, el estudiante en este punto realiza el
proceso de conversión desde el álgebra de Boole y los registros diagramales de la teoría de
conjuntos, ambos ramas del isomorfismo matemático.
2.2.15 ¿Cuáles son las salidas en los siguientes diagramas de cajas? Justifica tu respuesta
enunciando debajo de cada diagrama las operaciones que consideraste.
R. /
En esta respuesta el estudiante interpreta el registro diagramal de cajas como un sistema cuyas
entradas son registros numéricos binarios y en el cual se efectúa la operación para producir una
salida también en registro numérico binario. Además identifica desde el lenguaje natural el tipo de
operación lógica ejecutada.
74
2.3. ÁLGEBRA DE BOOLE
Un conjunto B, junto con dos operaciones binarias + y • definidas sobre él, se denomina
un álgebra de Boole, si se verifican las siguientes leyes para todas las variables lógicas x, y,
z, que son elementales de B.
i. Leyes conmutativas: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 ; 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥
ii. Leyes distributivas:
𝑥 + (𝑦 ∙ 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑧)
𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧
iii. Existencia del cero y la unidad: El conjunto B tiene dos elementos que
designamos 0 y 1, tales que:
𝑥 + 0 = 𝑥 ; 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
iv. Complementación: Para todo 𝑥 ∈ 𝐵, existe un 𝑦 ∈ 𝐵 tal que:
x + y = 1 ; x • y =0
En general, al elemento y se le nota x’, es decir, y = x’; por lo tanto se puede
escribir:
𝑥 + 𝑥′ = 1 ; 𝑥 ∙ 𝑥′ = 0
2.3.1 Reflexiona sobre las leyes fundamentales del álgebra de Boole y llena la siguiente
tabla utilizando unos y ceros:
2.3.2 ¿Qué puedes concluir al observar la tabla?
R. / En base a las dos primeras operaciones y teniendo en cuenta las leyes del álgebra de Boole, se
puede hallar mucho más fácilmente el resultado de operaciones más complejas.
75
Respuestas 2.3.1 y 2.3.2: Se observa en estas respuestas que el estudiante tiene obstáculos
conceptuales para convertir del lenguaje formal en álgebra de Boole al registro tabular; para
obtenerlo debe proceder mediante una segmentación de las representaciones en el lenguaje
formal (las 6 primeras columnas de la tabla son las unidades significantes para obtener las últimas
2 columnas). En este caso el estudiante procede de manera mecánica y no conceptualiza la ley
distributiva de la suma lógica sobre el producto lógico en los registros tabulares. Esta afirmación se
apoya con los datos obtenidos en las dos últimas columnas resaltadas: x+(y.z) y (x+y).(x+z) del
registro de representación tabular, las cuales deben ser iguales por ser una identidad en el álgebra
lógica.
2.3.3 ¿Cómo crees que se puede comprobar la ley distributiva 𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧
utilizando diagramas de Venn – Euler? Enuncia los pasos, en orden secuencial, que vas a
seguir para resolver este problema.
R. / Primero se realiza un diagrama para la primera expresión y se resalta su extensión, que debe
ser igual que si se hace un diagrama para la segunda expresión.
En esta respuesta se observa que el estudiante propone 3 pasos para resolver el ejercicio: El
primero es realizar un proceso de conversión para el primer miembro de la igualdad del lenguaje
formal al diagramal (diagrama de Venn-Euler). El segundo es efectuar el mismo proceso de
conversión para el segundo miembro de la igualdad y el tercer paso, que está implícito, es
comprobar que los diagramas deben mostrar las mismas regiones, que es a lo que se refiere
cuando dice que deben ser iguales.
Realiza los diagramas y a continuación explica cómo los interpretas en la comprobación de
la ley citada.
R. /
76
R. / Explicación: el área que ocupan las expresiones dadas se encuentran en las regiones 101, 110
y 111 y corresponden a sus dominios.
En estas respuestas se observa que el estudiante efectúa el proceso de conversión del lenguaje
formal al diagramal (diagramas de Venn – Euler) de manera correcta y utiliza, por economía del
tratamiento, un proceso de conversión de los registros diagramales a registros de representación
de la aritmética binaria, los cuales utiliza como registros de representación transicionales auxiliares
que le facilitan su interpretación. Este proceso lo lleva a cabo porque asocia a cada región
resaltada del diagrama de Venn-Euler un código binario. Esto se observa cuando manifiesta que las
regiones son 101 (región de X y Z pero no de Y); 110 (región de X y Y pero no de Z); 111 (región de
X, Y y Z simultáneamente).
Si observaste que las leyes fundamentales del álgebra de Boole fueron presentadas por
pares, ¿hay algún principio que crees que se pueda enunciar a partir de estas
observaciones? SI ____ NO _X__. Enúncialo con tus propias palabras:
R. / *No hay respuesta*
El estudiante tiene obstáculos epistemológicos-conceptuales pues no identifica el principio de
dualidad de las expresiones lógico-matemáticas. Así mismo tiene dificultades para convertir del
lenguaje formal en el álgebra booleana al lenguaje natural. Esto se evidencia en que ni siquiera
trata de enunciar el principio solicitado lo que puede deberse a que presenta también obstáculos
cognitivo-lingüísticos.
2.3.4 Haz diagramas lógicos, utilizando compuertas lógicas, que permitan comprobar las
leyes distributivas del álgebra de Boole.
R. /
77
Explica cómo se interpretan:
R. / Las compuertas OR son equivalentes a la suma lógica, donde se toma el valor mayor, en las
compuertas AND que son equivalentes al producto lógico, donde se toma el valor menor.
Comprueba los diagramas anteriores para x = 1; y = 0; z = 1. Qué puedes concluir?
R. / El valor de ambas funciones siempre es 1, son equivalentes.
En estas respuestas el estudiante efectúa de manera parcialmente correcta la conversión del
lenguaje formal a los registros de representación diagramal. Se evidencia en la respuesta que tiene
obstáculos epistemológicos-conceptuales en la comprobación de una ley lógica pues se observa
que hace corresponder un diagrama a un solo término de la identidad cuando en su comprobación
son necesarios dos diagramas, por ejemplo en la primera no dibujó el diagrama de x+y.z y en la
segunda no dibujó el de x.(y+z). Esto no le permite identificar a través de diagramas lógicos las
leyes distributivas de la suma sobre el producto y su ley dual del producto sobre la suma. Estos
obstáculos ya se habían hecho evidentes al no haber hecho anteriormente de manera correcta, la
conversión del lenguaje formal al registro tabular.
2.3.5 ¿Podrías proponer tus propios símbolos para representar las operaciones lógico-
matemáticas? SI___NO_X_. En caso de ser tu respuesta afirmativa dibújalos.
R. / *No hay dibujo*
En esta respuesta se evidencia que el estudiante confunde los objetos matemáticos, en este caso
las operaciones lógicas, con los signos que se utilizan para representarlas, tanto así que ni siquiera
propone símbolos diferentes que puedan indicar las operaciones y relaciones de la lógica
matemática, es decir, no ha logrado el nivel de abstracción requerido para la interpretación de este
tipo de operadores.
2.4. OTRAS LEYES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE.
El siguiente grupo de leyes puede ser encontrado aplicando las cuatro leyes
fundamentales expuestas anteriormente, por esto, aunque son muy importantes, no
suelen enunciarse en la definición del álgebra de Boole como un sistema axiomático.
Para todo x, y, z, variables lógicas que son elementos de un conjunto B se cumplen las
siguientes leyes:
i. Asociativas: 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
78
𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑧) = (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧
ii. Idempotencia: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥
Estas leyes también son denominadas Leyes de la Tautología y se pueden
generalizar así:
𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 = 𝑥 ; 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ ⋯ ∙ 𝑥 = 𝑥
iii. Involución: (x’)’ = x
También se conoce como la Ley de la Doble Negación.
iv. Dominación: x + 1 = 1 ; x • 0 = 0
También se conoce como Ley de Acotación.
v. Absorción: x + x • y = x ; x•(x + y) = x
vi. Consenso:
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥′𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥′𝑧
(𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥′ + 𝑧) ∙ (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥′ + 𝑧)
vii. D’Morgan: Estas leyes son debidas al matemático y lógico inglés August
D’Morgan y se pueden utilizar en lógica proposicional, teoría de conjuntos y
álgebras booleanas.
(𝑥 + 𝑦)′ = 𝑥′ ∙ 𝑦′ (𝑥 ∙ 𝑦)′ = 𝑥′ + 𝑦′
2.4.1 Como has observado, cada una de las leyes presentadas tiene dos expresiones
igualmente válidas. Esta propiedad constituye el Principio de Dualidad.
Enuncia con tus propias palabras el principio de dualidad.
R. / Si en una expresión lógica se cambia + por • y viceversa, se obtiene una nueva expresión
igualmente válida.
Busca en el libro “Matemática Moderna y Tecnología” el enunciado del principio de
dualidad y compáralo con el que tú has enunciado. ¿Coinciden? SI _X__ NO ___. Si tu
respuesta es NO, ¿qué crees que no tuviste en cuenta?
R. / En parte coinciden, me faltó considerar el intercambio de 0 y 1 y viceversa se obtiene otra
expresión igualmente válida.
En estas respuestas se observa que el estudiante ha comenzado a identificar el principio de
dualidad y ha mejorado en el proceso de conversión del lenguaje formal del álgebra de Boole al
lenguaje natural, pues como se ve en la primera parte de la respuesta a partir de expresiones
escritas en el lenguaje formal describe casi completamente el principio solicitado.
79
A continuación se presenta la demostración, aplicando las leyes fundamentales del
álgebra de Boole, de una expresión lógico–matemática conocida como “Ley de Absorción
Débil”:
𝑥 + 𝑥′ ∙ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
2.4.2 Debes llenar las dos columnas faltantes con el nombre de la ley fundamental que se
aplicó en cada paso de la demostración y en la tercera columna, la demostración dual.
R. /
En la tabla llenada por el estudiante se evidencia que a pesar de haber confrontado con el libro el
principio de dualidad, no lo aplica correctamente en la solución del ejercicio. Esto se evidencia en el
tercer renglón (resaltado) al escribir la ley dual, que de manera correcta sería para 1.(x+y) la dual
es 0+(x.y), por lo tanto es necesario cambiar el 1 por 0, pues en caso contrario, la expresión sería
equivalente a 1, es decir, 1+(xy)=1. Este aspecto de aplicación del principio de dualidad ya lo había
identificado y expresado en la respuesta anterior pero acá no lo aplica. También se observa que el
estudiante tiene obstáculos en los procesos de tratamiento con expresiones lógicas al no explicar
por qué no usó otras leyes que lo pueden conducir a la respuesta, pues deja la última columna
vacía.
2.4.3 Identifica qué ley se puede estudiar usando los siguientes diagramas lógicos. ¿Cuál
será la salida en cada caso? Comprueba tu respuesta usando el software diseñado para el
curso.
R. /
80
El estudiante convierte de manera consciente e intencionada el registro de representación
diagramal al lenguaje formal del álgebra de Boole, lo que se ve claramente cuando escribe la
expresión lógica y la identifica con su nombre. Se observa en la solución del ejercicio (parte
superior) que el estudiante asocia las compuertas OR con sumas lógicas, las compuertas AND con
productos lógicos y las NOT con negadores y además identifica la ley de D´Morgan escrita con
registros diagramales. En los dos diagramas de la parte inferior no logra identificar el principio de
dualidad (lo confunde con la ley distributiva) aunque realiza correctamente el proceso de
conversión de los registros diagramales al lenguaje formal, pues las expresiones lógicas escritas
son las que corresponden a estos diagramas.
- Escribe funciones lógicas en las variables x, y, z que se puedan asociar a cada uno de los
siguientes diagramas, tablas, mapas y circuitos mostrados a continuación y comprueba
cada una utilizando el software.
En cada caso realiza un plan que te lleve de manera lógica a encontrar la respuesta.
2.4.4 Tabla de verdad
x y f(x, y)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
R. / f(x, y) = x’+y
2.4.5 ¿Cómo fue tu plan para obtener la solución? Explícalo y verifícalo.
R. / Recordé la definición del condicional y sus equivalencias, por lo que obtuve la fórmula con
mucha rapidez.
En esta respuesta se observa que el estudiante convierte correctamente del registro tabular al
lenguaje formal y utiliza en el proceso de solución la definición del condicional de dos proposiciones
para hallar la expresión en el lenguaje formal de las álgebras de Boole. En este proceso se observa
que tomó el tercer renglón de la tabla que corresponde a un 0 y escribe la expresión asociada así:
la x que vale 1 la niega (x´), la y que vale 0 la toma directa; por haber tomado un renglón con 0 en
f(x,y), las debe separar con el operador + (suma lógica). Es de anotar que este aspecto había sido
81
tratado en la clase cuando se expuso el tema de la lógica negativa en álgebra de proposiciones,
aspecto que el estudiante menciona cuando dice que recordó la definición del condicional.
- ¿Cómo crees que se puede pasar de las tablas de verdad a los diagramas de Venn-Euler?
Explica:
R. / Teniendo en cuenta la expresión lógica simplificada, se realiza un diagrama donde se unen los
valores que pertenecen a y pero no pertenecen a x.
El estudiante describe el proceso para convertir del registro tabular al diagramal en el ejercicio
anterior, menciona que se tiene en cuenta la expresión simplificada, la cual sólo se puede obtener
mediante un proceso de conversión del registro tabular al lenguaje formal, una vez se tenga esta
expresión mediante otro proceso de conversión del lenguaje formal al registro diagramal obtiene
este último tipo de registro. Sin embargo la descripción en lenguaje natural no es del todo correcta
pues la expresión f(x,y)= x´+ y corresponde a los valores que no pertenecen a x (los x complemento
o x´) más los valores que pertenecen a y.
2.4.6 Diagrama de Venn-Euler
En esta respuesta el estudiante efectúa de manera correcta la conversión del registro de
representación diagramal a expresiones lógicas booleanas en el lenguaje formal y hace
corresponder cada unidad significante (cada región del diagrama de Venn – Euler) con cada uno
de los términos significantes que conforman la expresión en el lenguaje formal.
2.4.7 ¿Cómo fue tu plan para obtener la solución? Explícalo y verifícalo.
R. / Repasé cómo extraer las funciones en base a diagramas de Venn – Euler.
Para llevarlo a cabo, el estudiante le asigna a cada región del diagrama un registro auxiliar
numérico binario que se observa, fue colocado en cada una de las 8 regiones; por esto los registros
82
numéricos binarios van desde 000 (región que no pertenece ni a x, ni a y, ni a z) hasta 111(región
que pertenece a x, y, z simultáneamente). Este ejercicio se interpreta de la siguiente manera: 011
corresponde a x´.y.z; 100 corresponde a x.y´.z´; 111 corresponde x.y.z. Debe observarse que si en la
posición de la variable hay un 0, ésta se muestra complementada y si hay un 1 la variable se
muestra directa. Es de anotar que esta metodología para obtener la función lógica había sido
discutida en clase y a ello se refiere el estudiante en su respuesta.
2.4.8 Diagrama Sagital
R. / f(x, y) = (x’y’) + (x’y)
El estudiante efectúa correctamente el proceso de conversión entre el registro diagramal (sagital) y
la expresión en el lenguaje formal. Además, se vale del registro tabular como auxiliar. El proceso
llevado a cabo por el estudiante es tomar los 1´s en la columna de la función f(x,y) y poner las
variables complementadas si les corresponde un 0 o directas si les corresponde un 1. Cada renglón
es una unidad significante de la representación tabular que está en correspondencia con las
unidades significantes de la expresión en lenguaje formal. Las unidades significantes en lenguaje
formal se separan con el signo + de la suma lógica. Parece que hasta el momento, el estudiante no
identifica el hecho de que se puede hallar una expresión dual utilizando las salidas 0 en la función
f(x, y), es decir, no conceptualiza la equivalencia entre las formas normales disyuntiva y conjuntiva.
-¿Se puede asociar un diagrama de Venn – Euler a esta función lógica? SI _X__ NO ___.
¿Cómo se haría este cambio de registro semiótico? Explícalo:
R. / Se debería tener en cuenta la equivalencia entre las variables y sus complementos
comparados con su aplicación en los diagramas de Venn – Euler (conjuntos) que son pertenencia y
no pertenencia.
83
El estudiante muestra que es consciente del cambio de registro entre el lenguaje formal del álgebra
lógica y el diagramal (Venn – Euler) en teoría de conjuntos y su correspondencia. El cambio inverso
de registro ya lo había realizado anteriormente cuando había convertido del diagramal (Venn-
Euler) a lenguaje formal de las expresiones lógico booleanas.
- ¿Se puede asociar un circuito lógico al diagrama sagital? SI __X_ NO ___.Cómo lo harías?
R. / Aquí debe tenerse en cuenta las equivalencias entre las compuertas y las operaciones lógicas.
¿Qué se debería tener en cuenta para hacer esos cambios de registro? Justifica la
respuesta:
R. / Las equivalencias entre los sistemas semióticos: las operaciones lógicas del álgebra de Boole,
las compuertas de los circuitos lógicos.
En las respuestas anteriores el estudiante manifiesta que ya es consciente de estos cambios de
registro, pues ya los ha realizado en ejercicios anteriores.
2.4.9 En caso de ser posible los cambios de registro anteriores, dibuja el diagrama de
Venn-Euler y el circuito lógico equivalente asociados a la función mostrada en el diagrama
sagital.
R. /
El estudiante muestra en las respuestas anteriores que es consciente del cambio de registro entre
el diagramal (sagital) y el diagramal (circuital), en el álgebra lógica, utilizando la equivalencia
entre los registros de representación respectivos. Así mismo, efectúa la conversión entre los
diagramas de Venn-Euler adaptados al álgebra lógica y los diagramas lógicos digitales propios del
álgebra de Boole, e identifica las unidades significantes de cada uno de los registros movilizados. El
proceso llevado a cabo por el estudiante muestra que a partir de la expresión lógica en lenguaje
formal hace corresponder compuertas NOT para las variables negadas o complementadas,
84
compuertas AND para los productos lógicos y compuertas OR para sumas lógicas, de esta manera
logra la conversión al registro diagramal (circuito lógico) asociado a la expresión.
2.4.10 Mapa de Karnaugh
R. /
El estudiante realiza el proceso de conversión entre el mapa de Karnaugh, registro de
representación semiótica diagramal, y la expresión lógica booleana en el lenguaje formal. El
proceso llevado a cabo por el estudiante muestra que a partir del registro diagramal (mapa de
Karnaugh) primero resalta las adyacencias, 1´s contiguos horizontal o verticalmente y a partir de
ellas escribe las expresiones lógicas para las unidades significantes del registro en lenguaje formal.
Debe observarse que en el primer término de la expresión lógica f(x,y,z) no considera la variable y
debido a que cambia, en la adyacencia horizontal, de 0 a 1 mientras que x, z permanecen en 0 por
lo cual los toma complementados, es decir, (x´. z´). En el segundo término, correspondiente a la
adyacencia vertical no considera z porque cambia de 0 a 1 pero x permanece en 1 (lo toma directo)
y la variable y en 0 (la toma complementada), es decir, ( x . y´). Finalmente separa ambos términos
con el signo + que se interpreta: la expresión f(x,y,z) es 1 cuando se presenta que una u otra o
ambas de estas unidades significantes son iguales a 1.
2.4.11 ¿Cómo has obtenido la expresión lógico-matemática asociada al anterior mapa de
Karnaugh? Explica el proceso mental que llevaste a cabo para obtenerla.
R. / 1. Se extraen las expresiones asociadas a cada posición. 2. Se simplifican por medio de
adyacencias.
En esta respuesta el estudiante explica de manera concreta el proceso descrito anteriormente. Esto
indica que es consciente del proceso de conversión entre mapas K y expresiones en el lenguaje
formal del álgebra lógica.
85
- ¿Cómo crees que se relacionan los mapas de Karnaugh para variables lógicas y los
diagramas de Carroll en teoría de conjuntos?
R. / Son semejantes, los diagramas de Karnaugh y los diagramas de Carroll son las
representaciones gráficas para las variables lógicas a los conjuntos.
En esta respuesta el estudiante identifica la equivalencia funcional y computacional de los mapas
de Karnaugh en álgebra lógica y los diagramas de Carroll en teoría de conjuntos, es decir, ha
aprehendido que son representaciones isomorfas y por lo cual se refiere a ellas como semejantes.
2.4.12 Escribe la expresión conjuntista equivalente a la expresión lógico-matemática
anterior. Utiliza las letras A, B, C. Explica de manera secuencial el plan que llevaste a cabo
para encontrar dicha expresión:
R. / (�̅� ∩ �̅� ∩ 𝐶̅) ∪ (�̅� ∩ �̅� ∩ 𝐶) ∪ (�̅� ∩ 𝐵 ∩ 𝐶̅) ∪ (�̅� ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ �̅� ∩ 𝐶̅) ∪ (𝐴 ∩ �̅� ∩ 𝐶) ∪
(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
En esta respuesta se observa que el estudiante muestra un obstáculo conceptual al pasar de la
expresión en el lenguaje formal del álgebra de Boole a la expresión en el lenguaje formal en la
teoría de conjuntos; al parecer, el estudiante asume que la expresión corresponde a la unión de
cada una de las subregiones del mapa, como si se tratara del Universal en teoría de conjuntos, es
por esto que escribe la forma normal completa de la unión cuando a la expresión anterior
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥´. 𝑧´) + (𝑥. 𝑦´) se le debe hacer corresponder 𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶) = (𝐴 ̅ ∩ 𝐶 ̅) ∪ (𝐴 ∩ �̅�).
2.4.13 Dibuja el diagrama de Carroll correspondiente.
En esta respuesta se observa que el estudiante convierte de manera correcta entre los registros
diagramales del mapa de Karnaugh y de Carroll; utiliza en ambos casos las letras correspondientes
al álgebra lógica y la teoría de conjuntos, respectivamente, a pesar de que en la respuesta anterior
no encontró la expresión correcta en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos. Esta situación ya
86
la había identificado anteriormente cuando reconoció que estos registros de representación son
semejantes.
2.4.14 Llena la siguiente tabla con expresiones que creas que son isomorfas en lógica
proposicional, teoría de conjuntos y álgebra de Boole. Usa p, q, r para proposiciones, A, B,
C para conjuntos, x, y, z para álgebra de Boole. Comprueba tus respuestas usando el
software “Matemática moderna y tecnología Digiman”
𝒑 ∨ ~(𝒒 ∧ 𝒓) ; 𝑨 ∪ (𝑩 ∩ 𝑪)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ; 𝒙 + (𝒚 + 𝒛)´
87
~[𝒑 ∧ (𝒒 ∨∼ 𝒓)] ; 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ �̅�)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ; [𝒙. (𝒚 + 𝒛´)]´
𝒑 → (𝒒 ∧ 𝒓) ; �̅� ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) ; 𝒙´ + (𝒚. 𝒛)
Se observa de manera clara en esta respuesta que el estudiante ha contextualizado y aprehendido
las analogías entre los sistemas isomorfos que conforman la lógica matemática y, de manera
natural, trabaja en los sistemas de representación semiótica del lenguaje formal en cada uno de
ellos, aprovechando su equivalencia computacional.
Es también importante observar en el cuarto renglón de la tabla (resaltado) donde aparece la
proposición condicional 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) el estudiante la convierte mediante un proceso de
88
tratamiento, en los registros del lenguaje formal, a una expresión del condicional material
equivalente ∼ 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) para luego realizar el proceso de conversión a los lenguajes formales de
la teoría de conjuntos y del álgebra de Boole y que le permiten, utilizando el software “Laboratorio
de matemática moderna DIGIMAN” implementarlas y trabajarlas mediante los registros de
representación diagramal que éste contiene, aspecto que se observa en el tercer cableado
realizado por el estudiante.
Al comparar esta respuesta y la dada en el numeral 2.4.12, se observa cómo, para este estudiante
de ingeniería, se facilitan los procesos de tratamiento dentro de los registros monofuncionales de
los sistemas simbólicos y a partir de ellos supera los obstáculos de tipo epistemológico-
conceptuales que presentaba en algunos procesos de conversión entre registros de representación
semiótica como el lenguaje formal y el diagramal.
2.4.15 ¿Cuál de todos los sistemas algebraicos anteriores te causa más dificultad y a qué
crees que se debe?
R. / El sistema de los conjuntos, me parece difícil en ocasiones ubicar una región a la que una
variable pertenece pero otra no.
- Realiza un plan para tratar de superar estas dificultades. ¿Qué piensas hacer y cómo lo
vas a hacer?
R. / Necesito repasar más cómo es el funcionamiento de este sistema, buscando por mi cuenta y
buscando asesorías cuando encuentre teoría que no entienda.
En estas respuestas el estudiante manifiesta que se le presentan obstáculos ligados a los registros
semióticos diagramales, pues tiene dificultades cuando se le solicita realizar procesos de
conversión del lenguaje formal en teoría de conjuntos a los diagramas de Venn-Euler o Carroll. Este
tipo de registros requieren una partición el conjunto universal o referencial en regiones o
subconjuntos disyuntos, cada una de ellos asociado a una unidad significante elemental que se
hace corresponder y es congruente con las unidades significantes simples de los registros en
lenguaje formal, aspecto que le parece aún difícil al estudiante.
- Haz un listado de nuevos términos que hayas encontrado durante el desarrollo de esta
actividad.
R. / Registro semiótico, consenso.
89
- ¿Consideras que has usado bien la nueva terminología para explicar los temas vistos
hasta el momento? ¿Por qué lo crees?
R. / No, porque no tenía claros varios aspectos fundamentales en la definición de esos temas, pero
ahora sé en qué estoy fallando.
Se observa en esta respuesta que el estudiante aún tiene obstáculos epistemológicos-conceptuales
y cognitivo-lingüísticos en el manejo de algunos de estos temas. Pero en las respuestas siguientes
manifiesta que tiene un plan, o por lo menos la intención para superarlos.
- ¿De los temas estudiados cuál es el que explicas con mayor facilidad y por qué?
R. / El tema de las operaciones lógicas, puesto que ya los conozco y domino de buena manera.
- ¿Cuál de los temas tratados te dio más dificultad y cómo planeas solucionar esas
dificultades?
R. / El álgebra de conjuntos y los mapas de Karnaugh, no los había entendido muy bien, pero para
superar esto se debe repasar mucho más y estar siempre en la jugada.
2.4.16 Haz un listado de los sistemas de representación semiótica que utilizaste en los
temas vistos.
R. / Lógica proposicional, Teoría de conjuntos, Algebra de Boole.
En esta respuesta se observa que el estudiante confunde los diferentes sistemas de representación
semiótica con las ramas de los isomorfismos que se presentan en lógica matemática ya que no
menciona las tablas, los diferentes tipos de diagramas, los mapas K, el lenguaje natural, el
lenguaje formal etc. que son utilizados en cada una de estas estructuras.
- ¿Con cuál de los sistemas de representación semiótica te sientes más cómodo
trabajando? ¿Explica por qué?
R. / Con la lógica proposicional, debido a que manejo bien sus bases y sus operaciones.
- ¿Consideras que has aprendido y conceptualizado el manejo de las leyes del álgebra
lógica o booleana para simplificar expresiones lógico-matemáticas? SI X NO___. Explica
por qué.
R. / Porque al observar expresiones que son largas, noto de inmediato si puede o no simplificarse,
en base a las leyes del álgebra lógica.
90
En esta respuesta el estudiante manifiesta que es consciente y ha aprehendido sobre los procesos
de tratamiento en lógica proposicional. Esto se hace evidente cuando dice que expresiones largas
en el lenguaje formal de esta rama de la lógica matemática, las puede simplificar aplicando las
leyes, es decir, las puede transformar en expresiones equivalentes reducidas o simplificadas dentro
del mismo registro.
2.4.17 ACTIVIDADES DE COEVALUACIÓN
Esta actividad es un proceso de coevaluación que se debe realizar en grupos de hasta 4
estudiantes de la siguiente manera:
- En la columna de la izquierda entre los integrantes del grupo escriben que
actividades serían capaces de realizar para la evaluación del tema.
- En las columnas siguientes cada estudiante debe responder que tanto sabe del
tema escrito en la primera columna así:
1. Lo sabe bien (SB); 2. Lo sabe a medias (SM); 3. No lo sabe (NS).
- En la última columna se escriben propuestas del grupo para mejorar la
comprensión de los temas vistos.
En esta actividad los estudiantes expresan que tienen obstáculos conceptuales asociados a los
registros gráficos cuando deben simplificar funciones o también cuando deben convertir de los
91
registros gráficos al lenguaje formal. Así mismo, se les presentan dificultades para realizar
demostraciones con expresiones duales que requieren procesos de tratamiento al interior del
lenguaje formal. Estos aspectos se ven en las respuestas consignadas en la tabla donde los cuatro
estudiantes que participan del proceso de coevaluación manifiestan que estos procesos los saben a
medias.
2.4.18 Después de trabajar con los compañeros, debes repasar el tema visto sobre “leyes
del álgebra lógica” para contestar de manera individual, reflexionando sobre cada una de
las respuestas en la siguiente tabla:
92
El estudiante Juan Diego identifica fortalezas y debilidades en el proceso de aprendizaje de la
lógica matemática; aunque manifiesta que utiliza diferentes sistemas de representación semiótica,
considera que el manejo de los temas: operaciones lógicas, álgebras de Boole, leyes del álgebra de
Boole y simplificación de expresiones lógico matemáticas los sabe de manera regular. Estas
dificultades ya se habían evidenciado en la resolución de algunos de los ejercicios que el estudiante
ha realizado hasta este momento y donde se han detectado obstáculos de tipo epistemológico-
conceptuales y cognitivo-lingüísticos. Así mismo manifiesta que se siente más confiado trabajando
con las representaciones semióticas en el isomorfismo de la lógica proposicional.
2.5 ACTIVIDAD FINAL DE LA SESIÓN
2.5.1 Lee nuevamente el artículo “El álgebra de Boole” que se te entregó como
material de apoyo para esta sesión. Reflexiona sobre cada uno de los aspectos que
trata y contesta las siguientes preguntas:
- ¿Crees que ahora lo entiendes mejor que la primera vez que lo leíste? SI X NO___.
Explica tu respuesta:
R. / Después de haber repasado y estudiado las definiciones del álgebra de Boole se hizo mucho
más sencillo comprender los temas de los que habla el texto.
- ¿Qué aspectos de los tratados en este artículo puedes ahora explicar claramente?
Explica.
R. / La vida y obra de George Boole, las etapas de la historia de la lógica, el álgebra de Boole,
operaciones lógicas fundamentales.
- ¿Cuáles de los aspectos del artículo aun te causa dificultad y por qué?
R. / Pues no entiendo muy bien por qué x3 = x, suponiendo que x fuera 2 la condición no se
cumple, y según el texto esto se da para todo x.
- ¿Cómo explicas que en el artículo se diga que es cierto que 𝑥3 = 𝑥 , tú crees que hay
algún error? Justifica la respuesta.
R. / No, porque x puede valer 0 y 1, lo que satisfacería (sic) la ecuación.
En estas respuestas se observa que persisten en el estudiante obstáculos epistemológicos-
conceptuales, pues aún confunde las variables lógicas, que sólo pueden tomar uno de dos valores o
estados posibles, con registros numéricos de la aritmética que pueden tomar más de dos valores.
93
Esto se evidencia cuando supone que la variable lógica a la que se refiere el artículo, que sólo
puede valer 1 o 0 (verdadero o falso), toma el valor 2 que no tiene sentido cuando se está
trabajando con una estructura lógica bivalente. En la segunda respuesta supone que x=0 y por lo
tanto x3=0 o que x=1 y x3=1 pero no conceptualizando desde la lógica matemática binaria sino
desde casos particulares de la aritmética.
- ¿Cómo interpretas que en este artículo se plantee que la ecuación 𝑥𝑦 = 𝑥, expresa
elegantemente que todos los x son y? Explica:
R. / Porque al estar y ya contenido en x, su intersección será por consiguiente x.
En esta respuesta se observa que el estudiante interpreta esta expresión propia del álgebra
booleana, utilizada para definir la relación de orden parcial propia de esta estructura matemática
(x<y si y sólo si xy=x), recurriendo a la relación de continencia en teoría de conjuntos, pero se
evidencia un obstáculo epistemológico-conceptual dado que ella se debe interpretar cómo x está
contenido en y y no como lo interpreta el estudiante cuando dice:…”al estar y ya contenido en x”…,
es decir, el análisis correcto es: si xy es la intersección o producto lógico de estas dos variables
booleanas y x está contenido o es subconjunto de y, entonces este producto es igual a x.
2.5.2 Con lo que has aprendido en esta sesión trata de resolver el siguiente problema
lógico.
Tres niños llamados Alberto, Bernardo y Carlos estaban jugando fútbol. De repente uno de
ellos pateó el balón y rompió una ventana de la casa de la abuela. La señora salió a
preguntar a cada uno de ellos quién había roto la ventana y las respuestas que recibió
fueron:
Se sabe que uno de los niños dijo dos veces la verdad, otro mintió dos veces y el
tercero dijo una verdad y una falsedad.
94
i. ¿Quién rompió la ventana? Plantea un método de razonamiento lógico
diferente al que se pide en la segunda parte.
ii. Escribe una expresión lógico-algebraica y simplifícala de tal manera que te
permita saber quién rompió la ventana.
En la solución del problema el estudiante utiliza la correspondencia semántica entre los elementos
significantes de las representaciones en el lenguaje natural (resaltadas en azul y rojo) y la
univocidad semántica terminal entre las unidades significantes del lenguaje natural
(representación de partida) y las unidades significantes elementales del lenguaje formal booleano
(registros de representación de llegada) cuando hace corresponder a cada una de las primeras una
expresión válida de las segundas (resaltadas en azul y verde). Con base en lo anterior obtiene una
expresión lógico matemática que puede ser usada para solucionar el problema (resaltada en
naranja). Sin embargo, se evidencia que el estudiante tiene obstáculos conceptuales en el proceso
de conversión al asumir que la expresión x´z + x z´ es una contradicción y le da un valor 0 cuando
realmente esta situación no lo es, ya que su conversión al lenguaje natural sería: “Alberto no
rompió la ventana y fue Carlos ó Alberto la rompió y no fue Carlos”. El otro obstáculo que se
evidencia es que el estudiante no plantea una estrategia adecuada para resolver el problema, pues
deja de considerar parte de la información dada, que en este caso son las condiciones (resaltadas
en morado): “Se sabe que uno de los niños dijo dos veces la verdad, otro mintió dos veces y el
tercero dijo una verdad y una falsedad” y las cuales son necesarias para encontrar la respuesta. Es
decir, se debían suponer tres casos x=1 (Alberto la rompió) ó y=1 (Bernardo la rompió) ó z=1
(Carlos la rompió); en cada caso, el valor dado a una de las variables determina los valores de las
otras dos; luego se reemplazan estos valores en la expresión lógica que había sido encontrada por
el estudiante y se observa con cuál de ellos se cumplen las condiciones, como se muestra en la
siguiente tabla:
Supuesto x’z + xz’ + yz’ Cumple
condiciones Explicación
x = 1 00 + 11 + 01 SI Alberto mintió dos veces, Bernardo dijo dos veces la verdad y Carlos dijo una falsedad y una verdad.
y = 1 10 + 01 + 11 NO Alberto y Bernardo dijeron una verdad y una falsedad; Carlos dijo dos veces la verdad.
z = 1 11 + 00 + 00 NO Alberto dijo dos verdades, Bernardo y Carlos dijeron dos falsedades.
De este análisis se puede concluir que fue Alberto quien rompió la ventana.
95
2.5.3 ¿Qué ideas vinieron a tu mente cuando leíste el problema propuesto?
R. / No pensaba que podía representarse con proposiciones, pero al plantearla obtuve una
conclusión rápida.
- ¿Pensaste en algún plan para resolver el problema? SI X NO ____. Explícalo lo más
detalladamente que puedas:
R. / Pues pensé en comparar las afirmaciones en un paralelo y determinar quién había sido más
acusado y quiénes eran inocentes del hecho.
- ¿Crees que hay otras maneras de resolver el problema? SI __X__ NO ____. Explícalas.
R. / Sí. También creo que podría realizarse con métodos de deducción en base a inferencias
lógicas, comparando cada afirmación.
- ¿Cree que son mejores? SI ____NO __X__. Justifica la respuesta.
R. / No. El método que se plantea por medio del álgebra de Boole es fácil de entender y rápido
para implementar y simplificar.
- ¿Crees que tu respuesta es correcta? SI __X__NO ___. ¿Cómo lo compruebas?
R. / Sí, pero no sabría cómo comprobarla. La expresión primaria debe ser equivalente a la
simplificada y por tanto, correcta.
¿En qué orden realizaste tu razonamiento para resolver el problema?
R. / Primero analicé cada una de las afirmaciones, luego extraje de ella una función para
determinar al culpable, la simplifiqué y hallé al responsable.
Al ser planteado un problema lógico en el lenguaje natural, el estudiante efectúa un proceso de
conversión al lenguaje formal del álgebra lógica o booleana; encuentra de manera correcta la
expresión equivalente, pero tiene obstáculos en su interpretación, ya que no la utiliza de manera
lógica para encontrar la solución en el proceso inverso de conversión desde el lenguaje formal al
lenguaje natural; a esta conclusión se llega después del proceso de análisis que se presentó
anteriormente, donde se hizo evidente que aplica de manera errónea las leyes del álgebra lógica y
obtiene una respuesta incorrecta, ya que no tuvo en cuenta las condiciones dadas en el
planteamiento del problema. Además en este grupo de respuestas se observa que el plan que el
96
estudiante desarrolla sólo lo lleva a encontrar la expresión en el lenguaje formal del álgebra lógica,
pero no sabe cómo utilizarla para analizar las condiciones del problema ni cómo probar si la
respuesta por él encontrada es correcta, confunde el análisis lógico con un proceso de tratamiento
al interior del registro en el lenguaje formal al pensar que la solución la halla mediante una
simplificación de la expresión, dificultad de la que el estudiante ni siquiera tiene conocimiento.
- Haz un diagrama que ilustre el método que pensaste al resolver el problema.
R. /
Se identifica un obstáculo epistemológico-conceptual al no aplicar, para construir el diagrama, lo
aprendido en clase para la resolución de problemas, para lo cual, según G. Polya (2005) se deben
tener en cuenta las etapas: Comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar
la solución obtenida. En esta respuesta el estudiante confunde un diagrama para explicar un
proceso de pensamiento con un diagrama de Veitch para álgebra lógica (diagrama análogo al de
Carroll en teoría de conjuntos) que utilizó para representar la expresión simplificada yz´ que había
obtenido de manera errónea al tratar de resolver el problema planteado.
- ¿Qué otros sistemas de representación semiótica puedes utilizar para abordar el
problema?
R. / El diagrama de Venn – Euler, el mapa de Karnaugh.
- ¿Crees que con lo que has hecho podrías abordar un problema similar en otro contexto o
situación? SI _X_NO ____. Justifica tu respuesta.
R. / Otro problema que involucre otras afirmaciones que puedan compararse de manera…
- ¿Qué tipo de obstáculos encuentras al tratar de resolver problemas similares al anterior?
97
R. / El número de variables, a mayor número se incrementa la dificultad de hallar la veracidad.
Estas respuestas refuerzan lo dicho anteriormente sobre los obstáculos que tiene el estudiante en
la conceptualización y elaboración de un plan para resolver el problema. Pues aunque menciona
algunos sistemas de representación semiótica que podrían llegar a utilizarse, no tiene claridad
sobre cómo lo llevaría a cabo, se observa que sus respuestas son etéreas y descontextualizadas y
algunas finalizadas con puntos suspensivos.
98
ACTIVIDADES SESIÓN 3
3.1 Repaso sobre álgebra de proposiciones.
ORACIÓN: Conjunto de palabras que expresan un pensamiento o raciocinio completo.
3.1.1 Escribe algunas oraciones que utilices en tu vida cotidiana que se puedan clasificar
según el diagrama anterior.
R. /
Las oraciones declarativas son enunciados que declaran o afirman algo que puede ser
considerado verdadero o falso. Es por esto que se les denomina proposiciones y se les
puede asignar un símbolo que representa su valor de verdad.
99
¿Qué otros símbolos crees que se pueden utilizar para representar el valor de verdad de
una proposición? Explica.
R. / Con valores absolutos opuestos: (0, 1) (Abierto, cerrado) (apagado, encendido) (señal alta,
señal baja)
3.1.2 Las proposiciones se han representado tradicionalmente con las letras minúsculas p,
q, r, s, etc. En los siguientes ejemplos, asigna un valor de verdad a:
p: 9 es divisible entre 3. __V_
q: Colombia es un país suramericano. __V__
r: Los ángulos interiores de un triángulo suman 120o. __F__
s: La lógica estudia los razonamientos de tipo argumentativo. __V__
- ¿Crees que a partir de las proposiciones anteriores se puede enunciar otra proposición
cuyo valor de verdad sea contrario al que asignaste? SI __X__ NO ____. Si tu respuesta
es afirmativa, explica cómo lo harías:
R. / Añadiéndoles la palabra NO a la estructura de las oraciones, por ejemplo, diciendo ‘9 no es
divisible entre 3’ su valor de verdad se invierte.
La negación de una proposición p se nota p y su valor de verdad es contrario al de p.
Reflexiona sobre la definición y posteriormente llena las tablas.
R. /
Las proposiciones se pueden clasificar en simples o atómicas y compuestas o
moleculares.
100
3.1.3 Da dos ejemplos de proposiciones simples y dos de compuestas
R. / SIMPLE: * La universidad de Caldas está en Manizales
* Rusia es la nación con mayor extensión territorial del mundo.
COMPUESTA: * La Universidad de Caldas está en Manizales y Bogotá es la capital de Caldas
* La Universidad de Caldas está en Manizales o Medellín es la capital de Antioquia.
- ¿Cómo crees que se pueden formar proposiciones compuestas? Explica tu respuesta.
R. / Se unen al enlazar dos o más proposiciones simples por medio de partículas conectoras como
las conjunciones “y” u “o”.
- ¿Por qué crees que las proposiciones son también llamadas atómicas y moleculares?
R. / Es una analogía, los átomos son partículas que en conjunto forman moléculas, así como las
proposiciones simples en conjunto forman proposiciones compuestas.
- ¿Qué crees que son y para qué se utilizan los conectivos lógicos?
R. / Son los elementos que enlazan a las proposiciones para formar proposiciones compuestas.
- ¿Cuáles conectivos lógicos conoces? Enúncialos y descríbelos con tus propias palabras.
R. / Hay dos opuestos: conjunción (“y”) y disyunción (“o”); en la primera, la verdad se obtiene
partiendo de dos verdades; la segunda solo se necesita una verdad. De la disyunción se deriva la
disyunción exclusiva. También conozco el condicional.
3.1.4 ¿Crees que se pueden realizar operaciones algebraicas utilizando sólo
proposiciones? SI__X__ NO ____. Justifica tu respuesta:
R. / El álgebra lógica y la lógica proposicional son sistemas isomorfos, es decir, representan las
mismas operaciones pero con una nomenclatura diferente.
101
- ¿Qué operaciones lógicas conoces? Enúncialas y da tu propia definición de cada una de
ellas.
R. / Para dos proposiciones se cumplen:
Suma: Su resultado es 0 si y solo si las dos proposiciones son 0.
Producto: Su resultado es 1 si y solo si las dos proposiciones son 1.
Suma exclusiva: Su resultado es 1 si y solo si las dos proposiciones tienen valores opuestos.
- ¿Crees que la negación de una proposición es una operación? SI _X__ NO ___. En caso de
ser afirmativa tu respuesta qué tipo de operación es? Explícalo.
R. / Sí, porque partiendo de un valor inicial, y luego de un raciocinio lógico, se obtiene un
resultado, en este caso el resultado opuesto a los valores iniciales.
En estas respuestas se observa que el estudiante ha aprehendido las definiciones y conceptos
fundamentales del álgebra de proposiciones: Escribe y clasifica diferentes tipos de oraciones, utiliza
diferentes signos para los valores de verdad de las proposiciones mostrando que no confunde el
signo de representación con el objeto matemático representado, conceptualiza el proceso de
negación y los conectivos lógicos fundamentales y los asocia a las operaciones elementales del
álgebra lógica, identifica las estructuras isomorfas que pueden ser expresadas mediante una
variedad de signos y símbolos. Además, realiza el proceso de conversión entre una definición dada
en el lenguaje natural y registros de representación tabulares.
Reflexiona sobre tus respuestas anteriores y llena la siguiente tabla:
R. /
102
En esta respuesta se puede observar que el estudiante efectúa de manera correcta la conversión
del lenguaje natural, en el que había expresado las operaciones lógicas, al registro tabular; sin
embargo, se observa que de manera natural utilizó los símbolos 0 y 1 propios del álgebra lógica o
booleana en lugar de V y F que tradicionalmente han sido utilizados en el álgebra de proposiciones.
Esto muestra el dominio que ha adquirido de los sistemas isomorfos y cómo utiliza los símbolos de
uno de ellos para resolver preguntas en los otros.
- Enuncia oraciones proposicionales simples, unas verdaderas y otras falsas y con ellas
forma las proposiciones compuestas que obtuviste en la tabla anterior. ¿Cuál será su valor
de verdad y por qué?
R. / p: Colombia es una nación suramericana (1); q: Manizales es la capital de Colombia (0)
p ∧ q = 1 ∧ 0 = 0 p ∨ q = 1 ∨ 0 = 1 p ⊻ q = 1 ⊻ 0 = 1
p → q = 1 → 0 = 0 p ↔ q = 1 ↔ 0 = 0
En esta respuesta el estudiante parte de enunciados (proposiciones verdaderas y falsas) escritas en
el lenguaje natural y lleva a cabo la conversión al lenguaje formal de la lógica proposicional, para
ello utiliza las letras proposicionales p y q y los operadores lógicos conjunción, disyunción,
disyunción exclusiva, condicional y bicondicional y sus respectivos símbolos. Todas estas
representaciones semióticas las utiliza para efectuar el proceso de conversión y para la
construcción de proposiciones compuestas o moleculares a partir de proposiciones simples o
atómicas. Además, muestra las equivalencias entre estas expresiones simbólicas efectuando una
conversión a los registros con dígitos binarios (0, 1) y aplica con ellos las operaciones básicas de la
lógica proposicional para encontrar los valores de verdad de las proposiciones compuestas. Se
puede notar claramente que el estudiante coordina los registros de partida y de llegada, los cuales
cumplen los criterios de congruencia y, por lo tanto, las unidades significantes de cada uno de estos
lenguajes (natural, formal y numérico binario) pueden ser puestas en correspondencia biunívoca, lo
que permite que el estudiante realice los procesos de conversión y tratamiento de manera cuasi-
instantánea. En este repaso de álgebra de proposiciones se evidencia el progreso que ha tenido el
estudiante en lo epistemológico-conceptual y lo cognitivo-lingüístico en esta rama de la lógica
matemática y en algunos de los sistemas de representación semiótica utilizados para su estudio.
103
3.2 Repaso de álgebra de conjuntos.
3.2.1 Reflexiona sobre lo que te han enseñado desde la escuela sobre teoría de conjuntos,
y a partir de esto da tu propia definición de los siguientes términos:
R. / Conjunto: Es la unión de diversos elementos con características comunes.
Elementos: Son objetos que unidos forman conjuntos.
Pertenencia: Se da cuando un elemento forma parte de un conjunto.
Subconjunto: Se da cuando todos los elementos de un conjunto A hacen parte de un
conjunto U.
Conjunto vacío: Es el conjunto que no posee elementos.
Conjunto universal: Es el conjunto de todos los elementos de los que se trata.
3.2.2 Para responder las siguientes preguntas debes tener en cuenta que el conjunto
universal o de referencia es:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A partir de este conjunto debes obtener 3 subconjuntos A, B y C y utilizarlos para
responder lo siguiente:
R. / A = {1, 9}; B = {2, 3, 4}; C = {5, 6, 7}
Si son subconjuntos, todos los elementos de A, B o C deben estar contenidos en el
conjunto universal, de lo contrario no serían subconjuntos.
En esta respuesta el estudiante efectivamente obtiene tres subconjuntos, pero parece no
considerar elementos que pertenezcan de manera simultánea a varios subconjuntos. Esto parece
reflejar un obstáculo epistemológico en los conceptos de obtención de subconjuntos -donde
pueden haber elementos que simultáneamente pertenezcan a dos o más conjuntos- y una partición
del universal donde los subconjuntos deben ser disyuntos (no poseer elementos comunes) que es lo
que se observa en los tres conjuntos escritos por el estudiante.
104
- ¿Crees que puede haber un conjunto que tenga más elementos que U? SI ___ NO _X .
Justifica tu respuesta.
R. / Si son subconjuntos, todos los elementos de A, B o C deben estar contenidos en el conjunto
universal, de lo contrario no serían subconjuntos.
- ¿Crees que es lógico que un conjunto que no tenga elementos pueda ser subconjunto del
universal U? SI X NO __ ¿Cómo has razonado para esta respuesta?
R. / El primer elemento del conjunto U es vacío y luego los números que lo integran, por ello
cualquier conjunto vacío es subconjunto de U.
- Teniendo en cuenta los conjuntos anteriores ¿Cuáles serían los valores de verdad de las
siguientes proposiciones? ¿Cómo lo escribirías en notación matemática?
R. /
Las respuestas consignadas en esta tabla hacen evidentes los procesos de conversión llevados a
cabo por el estudiante, entre el lenguaje natural en lógica proposicional y el lenguaje formal en
teoría de conjuntos. Para llevar a cabo el proceso de conversión el estudiante consideró el conjunto
universal o referencial dado U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los tres subconjuntos por él propuestos
en el ejercicio anterior A = {1, 9}; B = {2, 3, 4}; C = {5, 6, 7} y utilizó los signos para la pertenencia
(,) propios de la teoría de conjuntos, analizó si las proposiciones dadas resultaban verdaderas o
falsas y las escribió en el lenguaje formal de esta teoría. Así mismo, se observa que el estudiante
asigna correctamente el valor de verdad de las proposiciones, realiza de manera correcta la
conversión de las proposiciones p, q, r pero no lo logra con s y t, que de manera correcta deben ser:
“1 (A⋂B)” y “x es un digito xU” respectivamente.
105
3.2.3 Dibuja un diagrama de Venn – Euler acorde a tus conjuntos A, B, C y ubica en él los
elementos de estos tres conjuntos.
R. /
3.2.4 ¿Cuál fue el proceso que llevaste a cabo para resolver la pregunta anterior? Enuncia
los pasos que pensaste.
R. / Primero elaboré tres círculos con intersecciones para que fueran los conjuntos, luego revisé si
tenían elementos comunes y luego asigné los elementos a sus respectivos conjuntos.
En estas respuestas se observa que el estudiante realiza de manera correcta la conversión entre los
registros de representación semiótica: conjuntos determinados por extensión, al registro diagramal
de Venn – Euler. Para llevar a cabo la conversión inicialmente dibujó un diagrama de Venn-Euler en
el cual los tres conjuntos se intersectan, representación común en los libros de texto, pero al tratar
de asignar los elementos encontró que había regiones que no se presentaban en este caso
particular, regiones con elementos comunes. Esta situación era previsible desde el ejercicio
anterior, cuando se observó que los tres subconjuntos propuestos por el estudiante eran una
partición del universal y por lo cual no se presentan regiones donde se intersecten dos o más
conjuntos. Esto hace que el estudiante redibuje el diagrama acorde a sus conjuntos y logre llevar a
cabo el proceso de conversión de manera correcta.
3.2.5 A partir del diagrama de Venn – Euler anterior, determina por extensión los
siguientes conjuntos: Expresa en tus propias palabras qué elementos conforman cada uno
de estos conjuntos:
R. / 𝐴 ∩ 𝐵 = { } Conjunto Vacío
106
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = { } Conjunto Vacío
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶= { } Conjunto Vacío
�̅� = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
�̅� ∩ �̅� ∩ 𝐶̅ = {0, 8}
�̅� ∪ �̅� ∪ 𝐶̅ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
3.2.6 Haz los diagramas de Venn – Euler y sombrea las regiones asociadas a los conjuntos
de la pregunta anterior:
R. /
3.2.7 ¿Qué estrategias has usado para hallar los diagramas? Explícalo.
R. / Primero analicé qué elementos conformaban cada subconjunto y la relación que había entre
ellos, luego los dibujé y resalté la región del diagrama a la que correspondía cada expresión.
- ¿Qué dificultades has encontrado en este ejercicio?
R. / No saber qué regiones se subrayaban cuando las operaciones eran uniones o cuando los
conjuntos eran vacíos.
107
El estudiante efectúa de manera correcta la conversión del lenguaje formal en teoría de conjuntos
a la representación de éstos por extensión (enumerando todos sus elementos). En el proceso
determina cuáles son los elementos que pertenecen a cada uno de los conjuntos solicitados o si
ellos son vacíos debido a que no hay elementos que cumplan las condiciones establecidas; así por
ejemplo, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 es vacío, ya que no hay elementos comunes a los tres conjuntos. Cuando se
solicitan conjuntos que involucren los complementos como en �̅� ∩ �̅� ∩ 𝐶̅ , el estudiante debe
hallar cada uno de estos complementos y luego determinar cuáles son los elementos que son
comunes a todos ellos; al realizar este proceso logra determinar que el conjunto pedido está
conformado por {0,8}. También se observa que no realiza el proceso de conversión de la
representación conjuntista por extensión al lenguaje natural, esto puede indicar algunos
obstáculos de tipo cognitivo-lingüísticos, por ejemplo para el conjunto anterior �̅� ∩ �̅� ∩ 𝐶̅ = {0,8}
una expresión válida en el lenguaje natural sería: “Está formado por los elementos que
simultáneamente no pertenecen a A ni a B ni a C”. También se observa en estas respuestas que el
estudiante realiza de manera correcta la conversión entre el lenguaje formal de la teoría de
conjuntos y los registros de representación de conjuntos por extensión a los registros diagramales
de Venn – Euler y los interpreta de manera correcta, esto se puede ver cuando sombrea bien las
zonas de los diagramas correspondientes a los conjuntos encontrados en los anteriores procesos y
cuando de manera explícita lo describe como la estrategia usada para llevar a cabo el proceso.
3.2.8 ¿Cómo crees que se relacionan los conjuntos en los siguientes diagramas de Venn –
Euler?
Diagrama 1 Diagrama 2
R. / Diagrama 1: Es un conjunto universal formado a la vez por tres subconjuntos A, B, C. A y B
interceptan y la unión de A y B contiene a C.
108
Diagrama 2: Es un conjunto universal formado por dos subconjuntos A y B que no tienen
elementos comunes. C es subconjunto de B.
En esta respuesta el estudiante convierte representaciones diagramales al lenguaje natural y
explica de manera correcta las regiones en las que está particionado el conjunto universal, así
mismo explica bien las relaciones entre los conjuntos en cada uno de los diagramas dados,
conjuntos que constituyen las unidades significantes elementales de estos registros semióticos.
Estos diagramas son especiales y no tienen univocidad semántica terminal; por ejemplo, en el
diagrama 1 se presentan dos regiones (resaltadas en café) que corresponden a una sola unidad
elemental en el lenguaje natural, las regiones de los elementos que están en A y B
simultáneamente pero no en el conjunto C. En el diagrama 2, no se presentan regiones (unidad
semántica elemental) que tengan correspondencia semántica con: elementos que pertenecen
simultáneamente a A y B, o elementos que pertenezcan a C pero no a B o elementos que
pertenezcan simultáneamente a A y C.
-¿Cómo construirías un diagrama de Venn – Euler en el que se muestren las siguientes
relaciones entre los conjuntos A, B y C? Dibújalos.
i. 𝐴 ⊂ 𝐵 ⊂ 𝐶
R. /
109
-¿Crees que puede haber otros diagramas que cumplan estas condiciones? SI _X_ NO ___.
Si tu respuesta es afirmativa, dibújalo y explica tu respuesta.
R. /
En este grupo de respuestas, el estudiante realiza de manera correcta la conversión del lenguaje
formal al diagramal, y además considera diferentes relaciones entre los conjuntos en los
diagramas que tienen correspondencia con una única expresión en el lenguaje formal, como se
observa en la condición escrita en lenguaje formal 𝐴⋂𝐵 = ∅ 𝑦 𝐵 ⊂ 𝐶 para la cual el estudiante
dibuja dos diagramas que son igualmente válidos pero no equivalentes, ya que en el primero los
conjuntos A y C no son disyuntos, tienen elementos comunes y en el segundo, este par de conjuntos
son disyuntos y no tienen elementos comunes.
- ¿Crees que la relación de pertenencia puede ser estudiada como una variable lógica?
SI _X_NO ___. ¿Puedes precisar más tu respuesta?
R. / La relación de pertenencia se asemeja a las proposiciones, ya que sólo un elemento x respecto
a un conjunto A solo puede pertenecer o no pertenecer, solo puede tomar 1 de 2 valores.
3.2.9 A partir de tu reflexión sobre la pregunta anterior, ¿Cómo llenarías la siguiente
tabla?
R. / Sería exactamente igual que en la tabla de 0 y 1, pero ahora representa los 1 y representa
los 0.
110
-Explica el plan que elaboraste para realizar el ejercicio anterior:
R. / Reemplacé los valores absolutos 0 y 1 por las expresiones pertenece () y no pertenece () y
teniendo en cuenta las operaciones les asocié el valor correspondiente a las operaciones
proposicionales.
En estas respuestas se observa cómo el estudiante convierte del lenguaje formal en teoría de
conjuntos al registro tabular (tablas de pertenencia) mediante una asociación con expresiones
isomorfas de la lógica proposicional, que son computacionalmente equivalentes, y de los valores
lógicos de verdad 0 y 1 (falso, verdadero) con los signos pertenece y no pertenece propios de la
teoría de conjuntos. Así mismo, se observa que el estudiante interpreta el concepto de variable
lógica y los diferentes signos que pueden ser utilizados para su representación en diferentes
contextos.
3.2.10 Observa el siguiente diagrama sagital construido para un elemento x que puede o
no pertenecer a los conjuntos A y B.
-¿Qué operación entre los conjuntos A y B crees que está presentando el diagrama?
111
R. / La diferencia simétrica.
- Explica en palabras el plan que llevaste a cabo para resolverlo.
R. / Primero revisé cuáles eran las salidas para cada entrada, y al compararlas con la tabla anterior
descubrí que la operación en cuestión era la diferencia simétrica.
El estudiante convierte del registro diagramal sagital para teoría de conjuntos al lenguaje natural,
pero manifiesta haber utilizado un registro transicional auxiliar a través de registros tabulares, las
tablas de pertenencia que había construido en el ejercicio anterior. También se observa que el
estudiante empieza a comprender la equivalencia funcional y computacional entre estos dos tipos
de registros cuando menciona que al comparar el registro diagramal sagital y el tabular (tablas de
pertenencia) descubre que ambos están representando la misma operación, en este caso la
diferencia simétrica entre los dos conjuntos: A Δ B dada por los elementos que pertenecen a A pero
no a B ó los elementos que pertenecen a B pero no a A, es decir, A Δ B=(A ⋂ B´)⋃ (A´⋂ B).
3.2.11 Asigna una expresión conjuntista a cada una de las regiones del siguiente diagrama
de Carroll. Justifica tu respuesta.
Cada expresión está asociada a un valor de A y a un valor de B; los separé con intersecciones
porque son operaciones isomorfas a la conjunción (“y”).
El estudiante convierte correctamente del registro diagramal al lenguaje formal, lo que se
evidencia cuando a cada una de las subregiones del diagrama de Carroll le asocia una expresión
correspondiente en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos; adicionalmente el estudiante
manifiesta que utilizó el isomorfismo entre esta teoría y la lógica proposicional, como un registro
auxiliar.
112
- ¿Cómo harías el diagrama de Carroll para los tres conjuntos A, B y C? Justifica tu
respuesta y dibújalo.
R. / También debe dividirse en regiones basados en 2n (n = núm. variables) y a cada región
asignarle la expresión correspondiente a la intersección de las tres variables.
- ¿Crees que existe algún tipo de relación entre los diagramas de Carroll anteriores y los
diagramas de Venn – Euler? SI _X__ NO ____ Explica tu respuesta.
R. / A cada diagrama de Venn – Euler también pueden asignárseles una expresión para cada región
semejante al diagrama de Carroll.
- ¿Cómo usarías los números binarios para construir e interpretar los diagramas de Venn –
Euler y Carroll?
R. / Tendría que cambiarse las relaciones de pertenencia por 1 y las de no pertenencia por 0,
dependiendo de cada región, cada variable tomará su valor correspondiente.
- ¿Facilita la utilización de cadenas de números binarios la interpretación de los diagramas
de Venn – Euler y de Carroll? SI _X_ NO ____ ¿Por qué?
R. / Si, porque cada región de ambos diagramas se relaciona con un número binario, lo que
permite ubicar más fácil una intersección entre las variables.
El estudiante realiza el proceso de formación del registro semiótico diagramal (diagrama de
Carroll) para tres conjuntos y explica el proceso que llevó a cabo: Al considerar 3 conjuntos el
número de regiones en las que se divide el universal es de 23 = 8, cada conjunto parte el universal
en 2 regiones disyuntas, una correspondiente al conjunto y otra a su complemento y al hacerlo
113
para los tres conjuntos resultan las 8 regiones requeridas. También convierte correctamente del
registro diagramal al lenguaje formal, lo que se evidencia cuando a cada una de las subregiones
del diagrama de Carroll le asocia una expresión en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos,
proceso que se facilita dado que estos dos tipos registros de representación son congruentes, es
decir, cumplen los criterios de correspondencia semántica, univocidad semántica terminal y el que
deben ser aprendidos en el mismo orden. Adicionalmente el estudiante utiliza los registros de
representación numéricos de la aritmética y los códigos binarios como registros auxiliares, se
observa que a cada casilla del diagrama de Carroll le asocia un número y un código (resaltados rojo
y verde en el diagrama anterior), por ejemplo, a la región etiquetada con el número 6 que en
registros binarios es igual a 110 le corresponde la expresión 𝐴⋂𝐵⋂𝐶̅, es por esto que el primer
conjunto A se toma directo ya que en su posición aparece un 1, lo mismo que el conjunto B, en el
caso de C se toma complementado al corresponderle un 0; dado que la región debe cumplir estas
tres condiciones simultáneamente, los conjuntos deben separarse por el operador intersección.
En las respuestas dadas, el estudiante muestra que todos estos procesos de conversión los realiza
de manera consciente e intencionada y que la combinación de procesos de conversión le facilita la
comprensión y le ayuda en la solución del ejercicio como se lee en sus respuestas sobre los aspectos
metacognitivos.
3.3. De las proposiciones lógicas a los conjuntos.
3.3.1 ¿Crees que el álgebra proposicional es isomorfa con el álgebra de conjuntos? SI _X__
NO ____ Justifica tu respuesta.
R. / Debido a que todas las expresiones del álgebra proposicional son equivalentes a las
expresiones del álgebra de conjuntos.
- Si tu respuesta anterior fue afirmativa, ¿cómo llenarías la siguiente tabla con expresiones
de la teoría de conjuntos y de la lógica proposicional?
114
¿Qué tuviste en cuenta para llenar la tabla anterior? Explica.
R. / Tuve en cuenta el isomorfismo de los sistemas y en base a las leyes de la Teoría de Conjuntos
hice la transcripción a álgebra proposicional.
En la respuesta anterior el estudiante muestra que identifica plenamente que el álgebra de
proposiciones y el álgebra de conjuntos son estructuras isomorfas y que por lo tanto cualquier
expresión, sea una identidad, un principio o una ley, escrita en el lenguaje formal de una de ellas
puede también ser escrita en el lenguaje formal de la otra. Para ello, basta con reemplazar los
conjuntos A y B por las proposiciones p y q, los operadores intersección (⋂) y unión (⋃) por los
conectores conjunción () y disyunción () y la operación complemento de un conjunto por la
operación negación de una proposición. En la tabla se observa que el estudiante confunde las leyes
de identidad y el complemento al pasar del álgebra de conjuntos al álgebra de proposiciones ya
que las expresiones p0=p y p1=p, esta última escrita por él como (pU=p), son las leyes
modulativas en álgebra de proposiciones mientras que p ~p=1 y p ~p=0 son los principios del
tercero excluido y no contradicción respectivamente, lo que puede evidenciar que los
conocimientos previos en teoría de conjuntos que posee el estudiante se establecen como un
obstáculo epistemológico para los nuevos aprendizajes en álgebra de proposiciones.
115
- ¿Crees que los principios o leyes de identidad, no contradicción y tercero excluido
también se cumplen en teoría de conjuntos? SI __X__ NO ___ ¿Cómo elaborarías un
cuadro que permitiera justificar tu respuesta?
R. /
Para contestar esta pregunta, el estudiante se vale de una combinación de varios tipos de
registros, efectuando procesos de formación, tratamiento y conversión (diagramas, sistemas
numéricos, lenguaje formal). Se puede anotar que este tipo de solución no aparece en los textos,
sino que fue elaborada de manera original por el estudiante. Así mismo, se observa que el
obstáculo epistemológico mencionado en el ejercicio anterior ya no lo tiene, cuando utiliza
registros gráficos en teoría de conjuntos, donde se ve con claridad que: 1. Todo conjunto es
idéntico a sí mismo (principio de identidad). 2. Todo elemento del universal está en un conjunto o
en su complemento (principio del tercero excluido). 3. Ningún elemento del universal puede estar
en un conjunto y en su complemento simultáneamente (principio de no contradicción).
-¿Con qué expresiones asociarías las leyes de dominación en lógica proposicional con
expresiones en teoría de conjuntos? ¿Cómo las enunciarías desde los conjuntos? Explica.
R. / p ∨ 1 = 1 A ∪ U = U
p ∧ 0 = 0 A ⋂ ∅ = ∅
Cualquier conjunto A unido al universal será equivalente al universal. Cualquier conjunto A
intersectado al vacío será equivalente al vacío.
116
El estudiante convierte los registros en el lenguaje formal de la lógica proposicional a registros en
el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, dado que estos registros son funcional y
computacionalmente equivalentes. Así mismo, efectúa el proceso de conversión de los lenguajes
formales al lenguaje natural. Este proceso de cambio de registro se caracteriza porque al convertir
una proposición p en un conjunto A los conectores lógicos conjunción () y disyunción () deben
ser cambiados por los operadores intersección (⋂) y unión (⋃) y así la expresión p∨ 1 = 1, que en
lógica proposicional se interpreta como: “la disyunción de cualquier proposición con un verdad es
también una verdad”, en teoría de conjuntos se interpreta como lo hace el estudiante: “cualquier
conjunto A unido con el universal es igual o equivalente al universal” y que se escribe en el lenguaje
formal A ∪ U ≡ U. De manera análoga la expresión p∧ 0 = 0 que se interpreta: “la conjunción de
una proposición con una falsedad es otra falsedad”, se interpreta en teoría de conjuntos como:
“cualquier conjunto A intersectado con el vacío es igual al vacío” y se escribe en el lenguaje formal
como A ⋂ ∅ = ∅.
- En la siguiente tabla escribe la ley enunciada desde la lógica proposicional y desde la
teoría de conjuntos.
R. /
¿Cómo fue el plan que llevaste a cabo para llenar la tabla anterior? Relata los pasos que
seguiste.
R. / Primero repasé todas las leyes y sus expresiones y luego hice la transcripción del álgebra de
proposiciones a la teoría de conjuntos.
117
- En la siguiente tabla se presenta paso a paso la simplificación de una expresión lógica
proposicional. Escribe en las columnas restantes el nombre de la ley utilizada y su
expresión equivalente en teoría de conjuntos.
3.3.2. ¿Qué estrategias has usado para resolverlo?
R. / Primero analicé desde la última expresión hasta la primera, analizando cómo cambiaban,
identificaba la ley y luego transcribí las expresiones de la lógica a los conjuntos.
- ¿Qué puedes concluir acerca de la forma como se relacionan el álgebra de proposiciones
y el álgebra de conjuntos?
R. / Que son sistemas isomorfos porque todas sus leyes son equivalentes, así como sus
operaciones y notaciones.
En este grupo de respuestas el estudiante exhibe dominio sobre los procesos de conversión entre
registros en el lenguaje formal, tanto del álgebra proposicional como de la teoría de conjuntos y
maneja de manera natural el isomorfismo entre estas dos teorías, dadas sus evidentes
equivalencias funcional y computacional. Además, identifica claramente las leyes que estructuran
estos sistemas isomorfos. Es de anotar que el álgebra lógica proposicional y el álgebra de
conjuntos ya han sido estudiadas durante el desarrollo de la unidad didáctica y estos ejercicios son
una recapitulación de los anteriores temas, en este sentido el estudiante dice que repasó las leyes y
expresiones y simplemente hizo la transcripción de uno a otro tipo de registros.
118
3.3.3 Haz un diagrama de Venn – Euler con el que puedas mostrar que:
(𝑝 ∧ ~𝑟) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) ↔ 𝑝
R. /
- Escribe los pasos que seguiste en su construcción.
R. / Primero analicé las expresiones pasándolas a teoría de conjuntos, luego correlacioné las
expresiones con las regiones del diagrama y las subrayé. Se comprobó la equivalencia.
- A partir del diagrama anterior, asocia cada una de las regiones sombreadas con un
código binario de 3 bits y contesta: ¿Cuáles son los códigos asociados a cada región?
Explica tu respuesta.
R. / A cada región le corresponde una expresión de pertenencia de los conjuntos A, B y C (,),
que también pueden tomarse como 0 y 1, por ejemplo si en la región no se encuentra A (Ā) en
binario se asignaría 0, y así con los demás.
- ¿Qué expresiones conjuntistas estarán asociadas a cada región y por qué?
R. / El diagrama tiene 8 regiones, correspondientes a los primeros 8 binarios, dependiendo de las
pertenencias de los conjuntos A, B, C por 1 y los Ā, B̄, C ̄por 0.
El estudiante realiza de manera correcta la conversión entre los registros semióticos del lenguaje
formal en álgebra de proposiciones al registro diagramal Venn – Euler. Se ve en esta respuesta que
la expresión lógica proposicional la convierte primero en una expresión formal en teoría de
conjuntos que utiliza como registro auxiliar, es decir, (𝑝 ∧ ~𝑟) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) ↔ 𝑝 la
119
escribe como (𝐴 ∩ 𝐶̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ 𝐴, utiliza esta última expresión para la
conversión al registro diagramal y explica cómo asigna a cada unidad significante un código
binario, proceso que fue explicado anteriormente; utilizado como registro transicional le permite
mostrar en el diagrama de Venn-Euler la identidad solicitada. De la misma manera, en sus
respuestas expresa cómo de manera consciente e intencionada, realiza estos procesos.
3.3.4 Demuestra por álgebra de conjuntos que la expresión anterior es equivalente al
conjunto A. Justifica cada paso enunciando la ley utilizada.
R. /
En esta respuesta el estudiante no trabaja la expresión solicitada sino que utiliza otra conocida
como forma normal disyuntiva completa y demuestra que ella es equivalente al universal, el cual
representa con el signo 1. Adicionalmente, lleva a cabo un proceso de tratamiento en el lenguaje
formal de la teoría de conjuntos, pero al mencionar la manera en que llevó a cabo la reducción,
necesariamente debió utilizar diagramas de Carroll para 3 conjuntos y operar con ellos, dado que
sólo este tipo de registros permiten el trabajo de simplificación de expresiones conjuntistas
aplicando el concepto de adyacencias. La otra forma de simplificar la expresión es aplicando las
leyes del álgebra de conjuntos pero se evidencia en lo presentado por el estudiante que este no fue
el proceso que llevó a cabo.
ACTIVIDADES DE COEVALUACIÓN
3.3.5 Esta actividad es un proceso de coevaluación que se debe realizar en grupos de
hasta 4 estudiantes de la siguiente manera:
120
- En la columna de la izquierda entre los integrantes del grupo escriben que
actividades serían capaces de realizar para la evaluación del tema.
- En las columnas siguientes cada estudiante debe responder que tanto sabe del
tema escrito en la primera columna así:
1. Lo sabe bien (SB); 2. Lo sabe a medias (SM); 3. No lo sabe (NS).
- En la última columna se escriben propuestas del grupo para mejorar la
comprensión de los temas vistos.
En las respuestas consignadas en esta actividad de coevaluación se observa que los estudiantes
reconocen haber aprendido sobre los temas tratados en esta sesión de la unidad didáctica, la cual
hizo énfasis en los sistemas de representación semiótica en álgebra de proposiciones y teoría de
conjuntos. En el 58% de las respuestas manifiestan que estos temas los saben bien y en el 42% que
lo saben a medias. En la columna de las propuestas para mejorar es evidente que requieren
trabajar más ejemplos y aplicaciones que les permitan implementar estas teorías en la resolución
de problemas lógicos utilizando diversos sistemas de representación semiótica. Estas respuestas
sirven de insumo para la construcción de la sesión 4, que será desarrollada mediante el trabajo en
paralelo con las diferentes ramas de la lógica-matemática y la aplicación de estas estructuras
isomorfas en la resolución de problemas lógicos y tecnológicos.
121
3.3.6 Después de trabajar con los compañeros, debes repasar el tema visto sobre “Álgebra
de proposiciones y Teoría de conjuntos” para contestar de manera individual,
reflexionando sobre cada una de las respuestas en la siguiente tabla:
En estas tablas de evaluación se hace evidente el progreso parcial que han tenido los estudiantes
en diferentes aspectos teóricos y conceptuales de estas ramas de la matemática y de su
aprendizaje a través de diferentes sistemas de representación semiótica y mediante el desarrollo
de ejercicios que hacen énfasis en los procesos de conversión y algunos de tratamiento. Expresan
de manera clara el dominio de los sistemas de representación tabular y diagramal, así como
todavía muestran algunos obstáculos epistemológicos-conceptuales en los procesos de conversión
122
de los registros diagramales al lenguaje formal; cognitivo-lingüísticos en la conversión de los
registros en lenguaje formal al lenguaje natural y conceptuales en los procesos de tratamiento de
las expresiones en lenguaje formal aplicando las leyes y principios de las diferentes ramas de los
diferentes isomorfismos que se presentan en la estructura de la lógica matemática.
3.4 ACTIVIDAD FINAL DE LA SESIÓN
3.4.1 Lee el siguiente razonamiento enunciado por una persona:
“Si no tengo frío entonces hace calor o estoy afiebrado y si mi temperatura corporal es
alta o estoy sediento entonces no tengo frío y mi temperatura corporal es alta o estoy
sediento” Luego: ?
- Reflexiona sobre este razonamiento y trata de hallar la conclusión:
R. / Sea: p: tengo frío. q: hace calor r: estoy afiebrado
s: mi temperatura es alta t: estoy sediento.
-¿Cómo lo has resuelto?
R. / 1. ∼p
2. (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑠 ∨ 𝑡)
3. ~𝑝 ∧ (𝑠 ∨ 𝑡)
- Asigna letras a cada una de las proposiciones que aparecen en el razonamiento anterior,
determina cuales son las premisas y aplica las leyes de inferencia lógica para obtener la
conclusión. En cada paso enuncia la regla de inferencia que has usado y justifícala.
R. / Las premisas son las condiciones que plantea el ejercicio. Para hallar mi conclusión anterior
planteé las premisas como proposiciones. La conclusión sería:
∼ 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ (𝑠 ∨ 𝑡)
-¿Crees que hay otra manera de resolverlo y de ser así cuál sería?
123
R. / Con el lenguaje natural, haciendo reducciones con las expresiones que se repitan y las que se
contradigan.
- ¿Cómo escribirías el razonamiento anterior y su conclusión con una sola proposición
compuesta? Escríbela:
R. / No tengo frío entonces hace calor o estoy afiebrado o mi temperatura corporal es alta o estoy
sediento.
En estas respuestas, el estudiante plantea correctamente la segmentación del enunciado en el
lenguaje natural, determinando cada una de las unidades significantes, pero no realiza
adecuadamente el proceso de conversión del lenguaje natural al lenguaje formal, ya que no
plantea correctamente las premisas necesarias para llevar a cabo el proceso de tratamiento
aplicando las reglas de inferencia lógica, lo que indica que tiene obstáculos conceptuales que le
dificultan los procesos de conversión y tratamiento dentro de los registros semióticos del lenguaje
formal en álgebra de proposiciones. Es evidente que no considera este razonamiento como una
implicación compuesta de un antecedente y un consecuente, el primero construido como una
conjunción de las premisas y el segundo que puede ser obtenido a través de un proceso de
tratamiento mediante la correcta aplicación de las reglas de inferencia. Para el problema dado y
después del proceso de conversión del lenguaje natural al lenguaje formal y de tratamiento en el
lenguaje formal se debe obtener: {[∼ 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟)] ∧ [(𝑠 ∨ 𝑡) →∼ 𝑝] ∧ [𝑠 ∨ 𝑡]} ⟹ (𝑞 ∨ 𝑟) donde
la primera parte, antes del signo de implicación y escrita entre llaves, corresponde a la conjunción
de las premisas o antecedente y la segunda parte después del signo de implicación (en verde)
corresponde a la conclusión. Teniendo en cuenta las unidades significantes que propuso el
estudiante anteriormente la conclusión en lenguaje natural es: Luego “hace calor o estoy
afiebrado”.
3.4.2 ¿Puedes comprobar la anterior proposición utilizando una tabla de verdad?
Constrúyela y explica cómo lo has hecho.
R. / Sí, la tabla de verdad demostrará si la conclusión es verdadera.
124
El estudiante realiza correctamente la conversión del lenguaje formal en álgebra de proposiciones
al registro tabular; presenta obstáculos al no identificar los conectores lógicos apropiados para
demostrar la validez de una argumentación; lo que intenta el estudiante es demostrar la
equivalencia de dos expresiones y no la tautología que se presenta cuando una conjunción de
premisas implica una conclusión válida.
3.4.3. En una encuesta realizada a 120 estudiantes en una universidad se obtuvo la
siguiente información:
a. 65 estudian francés.
b. 45 estudian alemán.
c. 42 estudian inglés.
d. 20 estudian francés y alemán.
e. 25 estudian francés e inglés.
f. 15 estudian alemán e inglés.
g. 8 estudian los tres idiomas.
- Construye un diagrama de Venn-Euler y utilízalo para contestar las siguientes preguntas:
R. /
125
3.4.4 ¿Qué estrategia has usado para resolver este problema?
R. / Debí empezar desde la última región (F ∩ A ∩ I), luego antes de asignar valores a las otras
regiones iba restando los valores donde las condiciones también se cumplían, y así comencé a
asignar valores desde la última hasta la primera región.
3.4.5 ¿Cuál otro sistema de representación semiótica podrías haber utilizado para resolver
este problema y cómo lo usarías? Explícalo y utilízalo.
R. / También podrían usarse diagramas de Carroll, que son isomorfos a los diagramas de Venn –
Euler.
126
- Haz de nuevo el diagrama de Venn-Euler y en cada una de sus subregiones escribe la
proposición lógica asociada según el enunciado del problema. Toma 3 de ellas y enúnciala
en palabras.
Región 1: ∼p ∧∼q ∧∼r: Es el grupo de estudiantes que no estudian francés y no estudian alemán y
no estudian inglés.
Región 2: ∼p ∧∼q ∧ r: Es el conjunto de estudiantes que no estudian francés y no estudian alemán
y estudian inglés.
Región 3: ∼p ∧ q ∧∼r: Es el grupo de estudiantes que no estudian francés y estudian alemán y no
estudian inglés.
Región 4: ∼p ∧ q ∧ r Región 5: p ∧∼q ∧∼r
Región 6: p ∧∼q ∧ r Región 7: p ∧ q ∧ r
Región 8: p ∧ q ∧ r
En la solución de este problema se observa cómo el estudiante aplica diferentes procesos de
conversión entre el lenguaje natural, los registros diagramales (Venn – Euler y Carroll) y el lenguaje
formal y además aplica estos procesos para resolver problemas en contextos diferentes a los
aprendidos durante el curso. Además efectúa procesos de conversión inversa, cuando los registros
en el lenguaje formal del álgebra de proposiciones los explica en lenguaje natural y utiliza
correctamente las conjunciones y disyunciones de la gramática española. Esto permite concluir que
el estudiante ha tenido un progreso en la conceptualización, razonamiento y análisis de la
información que se evidencia por la manera clara de explicar la estrategia que llevó a cabo en la
solución del problema y en cómo analizó la información dada e interpretó los resultados obtenidos.
También se observa que al convertir del diagrama de Venn-Euler al diagrama de Carroll el
estudiante se ha apropiado de la estrategia de asignar a cada una de las unidades significantes
que conforman este registro, uno y sólo uno de los registros numéricos binarios, como lo había
hecho en ejercicios anteriores.
127
ACTIVIDADES SESIÓN 4.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS LÓGICAS II
4.1 El isomorfismo matemático de las álgebras proposicional, conjuntista y booleana.
En el álgebra lógica o booleana los productos, sumas y sumas exclusivas se representan
por x.y, x+y y xy respectivamente.
Para simplificar la escritura, el producto x.y se escribe simplemente como la yuxtaposición
de las variables x y y, así: xy
La negación de una variable lógica se nota en álgebra de Boole como x’.
4.1.1 De manera consciente e intencionada, llena la siguiente tabla con expresiones que
creas que son equivalentes entre proposiciones, conjuntos y álgebra de Boole.
4.1.2 Explica cuál fue tu plan para llenar la tabla.
Primero estuve revisando algunas equivalencias entre estos sistemas como la diferencia de los
conjuntos y el bicondicional de las proposiciones y luego hice las transcripciones a los otros
sistemas semióticos.
En estas respuestas el estudiante muestra dominio sobre los procesos de conversión entre registros
del álgebra proposicional, la teoría de conjuntos y las álgebras de Boole que son equivalentes
funcional y computacionalmente. Así mismo, se observa que a pesar de ser este ejercicio similar al
desarrollado en el ítem 2.4.14, el estudiante ha ampliado su campo cognitivo al operar con
128
registros formales de la lógica matemática que involucran nuevas operaciones y signos para
representarlas como en el caso de la disyunción exclusiva de dos proposiciones (), la diferencia
simétrica de dos conjuntos (Δ) y la suma exclusiva de variables lógicas booleanas (⊕). También se
evidencia el proceso que llevó a cabo para hacer la conversión de la diferencia de conjuntos
(resaltada en rojo en la tabla) a los lenguajes formales del álgebra de proposiciones y el álgebra
booleana; para esto se debe utilizar su definición en el lenguaje natural: “la diferencia de dos
conjuntos A-B está dada por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen B” que presenta
correspondencia semántica con la expresión en el lenguaje formal y que mediante un proceso de
conversión puede ser escrita como: 𝑨 ∩ �̅�.
Luego, para la expresión conjuntista dada 𝑨 − (𝑩 ∩ 𝑪) se puede escribir: 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) y es esta
última expresión la que puede ser llevada a los lenguajes formales de las álgebras proposicional y
booleana como en ejercicios anteriores y como de manera correcta lo presenta el estudiante.
4.1.3 Observa la siguiente tabla correspondiente a una expresión lógica en las variables x,
y, z.
x y z f(x, y, z)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
- ¿Por qué crees que la tabla tiene 8 renglones? Justifica tu respuesta.
R. / Por el número de variables, al ser 3, se reemplaza en una fórmula general 2n; 23=8.
- ¿Cuál crees que es la expresión lógica asociada a los (1) de la tabla?
129
R. / (x’ y’ z) + (x’ y z’) + (x’ y z) + (x y’ z) + (x y z’)
- ¿Cómo obtuviste la respuesta anterior? Explica.
R. / Para obtener una función tomando como salidas los 1 se tiene en cuenta el concepto de forma
canónica de la suma, donde las expresiones intersectadas se unen.
- ¿Podrías escribir expresiones proposicionales y conjuntistas congruentes con la
expresión lógica anterior? SI _X__ NO ____. ¿Cuáles son y cómo las hallarías? Explica tu
procedimiento.
R. / Al ser sistemas isomorfos solo es cambiar la simbología.
Proposiciones: (~𝑝 ∧ ~𝑞 ∧ 𝑟) ∨ (~𝑝 ∧ 𝑞 ∧ ~𝑟) ∨ (~𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟) ∨ (𝑝 ∧ ~𝑞 ∧ 𝑟) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞 ∧ ~𝑟)
Conjuntos: (�̅� ∩ �̅� ∩ 𝐶) ∪ (�̅� ∩ 𝐵 ∩ 𝐶̅) ∪ (�̅� ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ �̅� ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶̅)
4.1.4 ¿Crees que de la tabla anterior también se pueda hallar una expresión lógica
utilizando los (0)? SI _X__ NO ___ ¿Cuál es esta expresión y en qué pensaste para hallarla?
R. /Sí, se llama función canónica del producto y sería (x’ + y’ + z’)(x + y’ + z’)(x + y + z). Al ser
funciones inversas los productos se cambian por sumas y viceversa.
- Describe un plan que llevarías a cabo para hallar un diagrama de Venn – Euler asociado a
la tabla anterior y dibuja el diagrama.
R. / Las zonas de verde representarán la función canónica del producto, las zonas amarillas
representan la función canónica de la suma.
130
4.1.5 ¿Cómo harías el diagrama de Carroll correspondiente? Justifica tu respuesta y
dibújalo.
R. / Tomando en cuenta que en la función se presentan menos 0, se subrayarán las expresiones
que conforman la forma canónica del producto.
- Observa el siguiente diagrama de árbol:
¿Qué escribirías en la columna en blanco para que fuera equivalente a la tabla
anteriormente dada? Explica tu proceso mental.
R. / Considerando las salidas de la tabla anterior, he reasignado los valores primarios de la función
inicial al diagrama de árbol.
Haz un diagrama sagital que permita estudiar la expresión f(x, y, z) = x’y + x’y’z
R. /
131
En este grupo de respuestas, 4.1.3, 4.1.4 y 4.1.5, que corresponden a una actividad de
recapitulación sobre los temas tratados, el estudiante muestra que ha comprendido y elabora de
manera consciente e intencionada –que se evidencia en la justificación de sus respuestas y en la
explicación de sus planes y procesos mentales- la conversión del registro tabular como registro de
partida a los registros en el lenguaje natural y en los lenguajes formales del álgebra de Boole, la
lógica proposicional y la teoría de conjuntos como registros de llegada. Así mismo, ha aprehendido
y utiliza nuevos términos cómo “formas canónicas de la suma y el producto” y nuevos conceptos
como el de la lógica negativa y efectúa de manera correcta la conversión del registro tabular al
lenguaje formal de esta nueva lógica. También se observa que el estudiante ha desarrollado sus
habilidades y destrezas para pasar de los registros tabulares a una variedad de registros
diagramales como los diagramas de Venn – Euler y Carroll, los diagramas de árbol y los diagramas
sagitales. Es también importante anotar que en esta sesión de la unidad didáctica el estudiante ya
trabaja de manera natural y por economía de tratamiento, los registros binarios 0 y 1 para tratar
las proposiciones, los conjuntos y las variables lógicas.
4.1.6 Los mapas de Karnaugh también son conocidos como diagramas de Veitch y algunos
autores los denominan Mapas de Veitch – Karnaugh o simplemente Mapas V – K. Observa
los pares de mapas dados:
Mapa K.1 Mapa V.1
132
Mapa K.2 Mapa V.2
- ¿Qué similitudes ves entre los mapas K y los mapas V? Explica.
R. /Son gráficas que representan con unos símbolos diferentes, expresiones iguales, es decir son
gráficos isomorfos de representaciones lógicas.
- ¿Cuáles son las regiones que muestra cada mapa? Explica cómo las hallas.
R. / Cada mapa muestra diferentes regiones donde se intersectan las variables.
Mapa K.1: x y’, x y
Mapa K.2: x’ y z’, x’ y z, x y z’, x y z
Mapa V.1: x y’, x y
Mapa V.2: x’ y z’, x’ y z, x y z’, x y z
- ¿Qué puedes concluir del anterior ejercicio?
R. / Los diagramas de Carroll y los mapas de Karnaugh son isomorfos, su diferencia en la
simbología está que el primero subraya regiones y en el segundo se resaltan las regiones con 1.
En estas respuestas se observa que el estudiante determina las unidades significantes simples de
los registros semióticos: mapas de Karnaugh y de Veitch para 2 y 3 variables lógicas y las convierte
en unidades significantes elementales de los registros en el lenguaje formal del álgebra lógica. Este
proceso se le facilita ya que estos dos tipos de registros son congruentes y no presentan obstáculos
para el estudiante a pesar de ser los mapas un nuevo tipo de registros, pero que él analiza desde el
isomorfismo con los diagramas de Carroll que antes había trabajado en teoría de conjuntos.
133
- Para la siguiente expresión lógico booleana ¿Cuál es el mapa de Karnaugh asociado?
¿Cómo lo determinas? Explica cuál es tu plan. Dibuja el mapa K.
f(w, x, y, z) = w’x’y’z’ + w’xyz’ + w’xy’z’ + w’x’yz’
R. /
- ¿Puedes reducir la expresión anterior utilizando el mapa que dibujaste? ¿Cuál es tu plan?
Descríbelo.
R. / A partir de adyacencias: (w’ x’ y’ z’) + (w’ x y z’) + (w’ x y’ z’) + (w’ x’ y z’)
- ¿Cómo reducirías la expresión utilizando las leyes del álgebra de Boole? Efectúa las
simplificaciones y explica cada paso.
R. / [(w’ x’ y’ z’) + (w’ x y’ z’)] + [(w’ x y z’) + (w’ x’ y z’)]
w’ y’ z’ +w’ y z’ = w’ z’
En estas respuestas el estudiante demuestra que maneja correctamente las conversiones entre
expresiones lógicas en lenguaje formal y los mapas K. A cada unidad significante simple de los
registros en el lenguaje formal le asocia una unidad significante elemental de los mapas. Además,
realiza procesos de tratamiento en estos nuevos registros utilizando el concepto de adyacencias:
regiones del mapa entre las cuales sólo cambia una variable de directa a negada o viceversa, la
cual puede ser eliminada al aplicar la ley del complemento x+x’=1 y la ley modulativa x.1=x. Este
proceso se puede también observar cuando se le solicita al estudiante reducir la expresión lógica
obtenida del mapa, aplicando las leyes del álgebra de Boole.
134
4.1.7 ¿Crees que puedes asociar un diagrama lógico de compuertas a la expresión dada?
SI _X__ NO ___.
- Dibújalo y explica tu proceso mental para resolverlo.
R. / Deben hacerse cuatro entradas, cada variable que entra a una compuerta AND junto con las
otras tres variables y luego su salida va a la compuerta OR junto con las otras salidas.
- Observa el siguiente diagrama lógico y escribe la expresión en cada salida hasta llegar a
la salida final. Escríbela donde indica la flecha. Justifica cada paso.
R. /
Cada compuerta lógica tiene una equivalencia con las operaciones lógicas, las compuertas AND
equivalen al producto lógico (.), las compuertas OR equivalen a la suma (+) y las compuertas XOR
equivalen a la suma exclusiva.
En estas respuestas el estudiante explica de manera somera el proceso mental que llevaría a cabo
para convertir expresiones en lenguaje formal del álgebra booleana al registro diagramal o circuito
lógico digital. Para la expresión del ejercicio anterior: (w’ x’ y’ z’) + (w’ x y z’) + (w’ x y’ z’) + (w’ x’ y
z’) él piensa en una técnica llamada AND-OR, la cual consiste en dibujar compuertas AND de 4
entradas para cada una de las unidades significantes elementales del registro en el lenguaje formal
y luego sumar sus salidas con una compuerta OR de cuatro entradas; sin embargo el estudiante no
dibuja el circuito pedido. En la segunda parte se le solicita un proceso de conversión inverso, es
decir, del registro diagramal al lenguaje formal, se observa que a cada salida de las compuertas del
circuito, de manera sistemática, le asocia una expresión lógica-algebraica equivalente hasta llegar
al resultado final.
135
- Observa los trenes de pulsos siguientes. Asocia una cadena de bits a cada uno.
- ¿Cómo realizaste este ejercicio? Explícalo.
R. / Tuve en cuenta que las altas eran 0 y las bajas eran 1
- ¿Cuáles crees que serán los trenes de pulso en las salidas de los siguientes circuitos
lógicos?
R. /
El estudiante realizó la operación de conversión entre registros de representación diagramales
(lógico digital, trenes de pulsos, combinación de ellos) a registros en el sistema de numeración
binario para obtener las respuestas solicitadas. Se nota en los diagramas de pulsos que ha
asociado de manera diferente la salida al número binario correspondiente. Este hecho evidencia
que el estudiante ha aprehendido el concepto y el manejo de la variable lógica, aunque no obtenga
el mismo resultado que tradicionalmente se ha asumido, el pulso alto como 1 y el pulso bajo como
0, su respuesta es consistente con su propia conceptualización de variable lógica, es decir, una
variable a la que sólo se le puede asignar uno de dos valores que son mutuamente excluyentes y
los cuales pueden ser etiquetados con dos signos cualquiera que los representen. En este orden de
ideas no importa si el pulso alto se asume como 1 o como 0 sino en la consistencia de la elección
136
hecha. Esto muestra que el estudiante no confunde el objeto matemático, la variable lógica, con su
representación.
-Elabora un plan para representar la expresión lógica f(x, y, z) = x’ y + x z’ + x’ y’ z’
mediante un diagrama de cajas. Realiza el diagrama.
R. / Primero se deben analizar las tres expresiones y su equivalencia con binarios, luego de
determinarlos se ubican en un diagrama de Carroll de 8 regiones.
Se evidencia en esta respuesta que el estudiante tiene obstáculos de tipo epistemológico y de tipo
cognitivo-lingüísticos. Los primeros se presentan cuando confunde los diagramas de cajas con los
diagramas de Carroll que había estudiado en las sesiones anteriores y los segundos se pueden
deber a su falta de conocimiento de estos diagramas, aunque ya se habían estudiado en la sesión 2
en el ítem 2.2.15.
4.1.8 De manera consciente e intencionada, representa la anterior expresión lógica
utilizando cada uno de los siguientes sistemas de representación semiótica. En cada caso
explica cómo lo hiciste.
R. / - Una tabla de verdad
137
138
-Circuito eléctrico de interruptores: Para este sistema de representación semiótica debes
tener en cuenta la siguiente ayuda. Describe el plan que llevarías a cabo para resolver este
problema.
R. /
Primero revisé cómo eran las equivalencias entre las operaciones, luego hice un borrador y luego
lo pasé.
En este grupo de respuestas el estudiante efectúa los procesos de conversión del lenguaje formal
del álgebra de Boole a un registro tabular y a una variedad de registros diagramales (Venn – Euler,
sagital, Veitch, Karnaugh, lógico digital, circuito eléctrico de interruptores); además, hace la
conversión simultánea de cada registro diagramal al lenguaje natural. Sin embargo se detectan
obstáculos conceptuales cuando no escribe la función dada f(x, y, z) = x’ y + x z’ + x ’y ’z’ en la forma
139
canónica para poderla convertir a registros tabulares, diagramales y mapas K y V. Para llevar a
cabo el proceso, las unidades significantes que sólo tienen 2 de las tres variables involucradas,
deben ser multiplicadas por 1, escrito como la suma de la variable que falta más su complemento.
Por ejemplo, en el término x’y que no tiene la variable z se debe multiplicar por el módulo del
producto (1) escrito como (z + z’) y por lo tanto, este término se convierte en la suma de dos
términos canónicos que equivalen al término original. Así, x’ y = x’ y (z + z’)= x ’y z + x’ y z’.
Efectuando este proceso en el primero y segundo términos de la función dada, escrita con todos
sus términos canónicos, que constituyen sus unidades significantes elementales, es: f(x, y, z) = x’ y z
+ x’ y z’ + x y z’+ x y’ z’ + x ’y ’z’. Es esta función la que permite ser convertida al registro tabular, los
registros diagramales y los mapas de Karnaugh y Veitch. Por el contrario, los procesos de
conversión del lenguaje formal a los diagramas lógicos digitales y eléctricos circuitales pueden ser
realizados utilizando la expresión lógica-algebraica original. Estos procesos que se facilitan por la
congruencia de estos tipos de registros, fueron llevados a cabo de manera correcta por el
estudiante.
4.1.9 Señala en los siguientes mapas de Karnaugh las adyacencias que veas y a partir de
ellas describe las expresiones lógicas reducidas. Compruébalas utilizando el software
diseñado para el curso.
R. /
140
4.1.10 ¿Cómo has obtenido las expresiones lógicas reducidas a partir de los mapas K?
Explica el proceso mental que llevaste a cabo para obtenerlas.
R. / Primero analicé el número de adyacencias de cada mapa, luego los bits que cambiaban en
cada adyacencia, por último saqué las expresiones lógicas asociadas.
En estas respuestas se observa que el estudiante lleva a cabo procesos de tratamiento en los
registros mapas de Karnaugh. De los resultados obtenidos, aplicando las reglas propias de este tipo
de registros, realiza los procesos de conversión del mapa K al lenguaje formal del álgebra de Boole
para las expresiones lógicas simplificadas. Sin embargo se evidencian obstáculos epistemológicos-
conceptuales en los procesos de tratamiento al interior de los registros mapa K como los
siguientes:
1.) No identifica regiones adyacentes de más de 4 unidades significantes elementales o
subregiones del mapa, lo que se observa en los mapas primero y tercero donde se resaltan en rojo
adyacencias de 23 = 8 subregiones que permiten eliminar tres variables –tantas como el exponente
de 2- y por lo tanto obtener expresiones más simplificadas.
2.) No tiene en cuenta que para obtener adyacencias mayores puede utilizar subregiones que estén
de manera simultánea dentro de 2 o más bucles con sólo cumplir la condición de que haya por lo
menos una subregión que no esté en el bucle anterior, esta situación se resalta en el bucle verde en
el primer mapa y en el bucle rojo en el tercer mapa.
3.) No obtiene la expresión lógica completa correspondiente a todas las regiones adyacentes en los
mapas de 5 variables.
Teniendo en cuenta lo anterior, las expresiones asociadas a los mapas mostrados son: para el
primero x + y z’ (una adyacencia de 8 y una de 4 subregiones); para el segundo x z +x’ z’ (dos
adyacencias de 4 subregiones); para el tercero, que es un mapa K de 5 variables lógicas, la
expresión en lenguaje formal es w’ x’ z’ + v’ w x + v w’ x’+ x z, donde los tres primeros términos
corresponden a adyacencias de 4 subregiones y el último a una adyacencia de 8 subregiones.
ACTIVIDADES DE COEVALUACIÓN
4.1.11 Esta actividad es un proceso de coevaluación que se debe realizar en grupos de
hasta 4 estudiantes de la siguiente manera:
141
- En la columna de la izquierda entre los integrantes del grupo escriben qué actividades
serían capaces de realizar para la evaluación del tema.
- En las columnas siguientes cada estudiante debe responder que tanto sabe del
tema escrito en la primera columna así:
1. Lo sabe bien (SB); 2. Lo sabe a medias (SM); 3. No lo sabe (NS).
- En la última columna se escriben propuestas del grupo para mejorar la
comprensión de los temas vistos.
En las respuestas consignadas en esta actividad de coevaluación se observa que los estudiantes
reconocen haber aprendido sobre los temas tratados en esta sesión de la unidad didáctica, la cual
hizo énfasis en los sistemas de representación semiótica en álgebra lógica o booleana. En el 50% de
las respuestas manifiestan que estos temas los saben bien y en el 50% que lo saben a medias. En la
columna de las propuestas para mejorar reconocen que manejan bien los registros tabulares pero
aun tienen obstáculos en los procesos de tratamiento, cuando se requiere simplificar expresiones
utilizando los mapas de Karnaugh y en los de conversión a otros tipos de registros.
142
4.1.12 Después de trabajar con los compañeros, debes repasar el tema visto sobre
“Expresiones algebraicas lógicas II” para contestar de manera individual, reflexionando
sobre cada una de las respuestas en la siguiente tabla:
En las actividades de evaluación se observa que el estudiante ha ampliado su horizonte epistémico
y el vocabulario relacionado con el tema. Es consciente de que debe reforzar en algunos temas
como el manejo de las leyes de la lógica matemática, principalmente en procesos de tratamiento
que involucran simplificación algebraica de expresiones lógicas booleanas. También reconoce que
tiene obstáculos cognitivos para simplificar expresiones utilizando mapas de Karnaugh. Propone
así mismo, ejercitarse más en el manejo de los diferentes registros de representación semiótica.
143
4.2 ACTIVIDAD FINAL DE LA SESIÓN
4.2.1 Considere el siguiente razonamiento: “Para que mi programa empiece es
necesario que yo especifique las condiciones iniciales. Para que mi programa no
termine, basta con que yo programe un ciclo infinito. Si mi programa no falla, él
empieza y termina. Por lo tanto, para que el programa no falle, es necesario que yo
especifique las condiciones iniciales y que no programe un ciclo infinito”.
a. Escriba el razonamiento en forma simbólica.
b. Determine la validez del razonamiento por reglas de inferencia.
c. Determine la validez del razonamiento por contradicción (Ayuda: niegue la
conclusión y aplique de nuevo las reglas de inferencia).
144
En la solución dada por el estudiante a este problema lógico planteado en un contexto diferente a
los desarrollados en clase, se hace evidente que efectúa de manera correcta los procesos de
segmentación de un problema planteado en el lenguaje natural en unidades significantes
elementales y les hace corresponder unidades significantes simples en el lenguaje formal. Sin
embargo, al hacer corresponder estas unidades agrupadas en premisas para obtener una
conclusión válida, el estudiante no plantea correctamente los enunciados dados en el lenguaje
natural, al no asignar de manera correcta las condiciones suficientes y necesarias, por lo que
plantea las expresiones sin reconocer los antecedentes y los consecuentes, lo que lo lleva a obtener
una conclusión no válida del razonamiento.
Adicionalmente, utilizando la expresión encontrada en el lenguaje formal, el estudiante efectúa el
proceso de tratamiento que le permite encontrar, aplicando las leyes de inferencia, una conclusión
lógica de una argumentación en lenguaje simbólico, aunque no sea válida.
4.2.2 ¿Qué dificultades has encontrado en el procedimiento que utilizaste para resolver
este problema?
R. / El manejo de las reglas de inferencia se me dificulta y también el uso de contradicciones extra.
- ¿Crees que hay alguna otra manera de hacerlo? En caso afirmativo di cuál es y explica
cómo lo harías?
R. / Tal vez con el lenguaje natural. Al reflexionarlos se observa claramente que el razonamiento
es válido.
En estas respuestas el estudiante reconoce que tiene obstáculos conceptuales en los procesos de
demostración de la validez de un razonamiento por contradicción y para la correcta aplicación de
las reglas de inferencia, dificultad que no logra superar, a pesar de encontrar desde el lenguaje
natural que el razonamiento es válido.
4.2.3 Diseña un circuito lógico que controle un grupo de motores M1, M2, M3 y M4
utilizados en un proceso industrial y que funcionan bajo las siguientes condiciones.
i. El motor M1 puede sólo llevar a cabo todo el proceso.
ii. Si el motor M1 no funciona se requiere que funcionen en paralelo M2 y
M3.
iii. Los tres motores M1, M2 y M3 no pueden funcionar conjuntamente.
145
iv. Ningún motor puede funcionar si no funciona M4 dado que es el que pone
en movimiento la bomba de lubricación de todo el sistema.
a. Consigna toda la información en una tabla de verdad y a partir de ella, halla la función
lógica original del sistema.
R. /
En este proceso de conversión el estudiante pone en correspondencia las unidades significantes del
lenguaje natural y las filas de la tabla. Se observa en las filas subrayadas que la cuarta condición:
“Ningún motor puede funcionar si no funciona M4, dado que es el que pone en movimiento la
bomba de lubricación de todo el sistema” es una condición necesaria pero no suficiente para el
proceso, es decir, M4 debe ser 1 para que la función de control f(M1, M2, M3, M4) sea 1 pues en
caso contrario será 0 .
La primera fila subrayada corresponde a la situación: “Si el motor M1 no funciona se requiere que
funcionen en paralelo M2 y M3” para esto M1=0, M2=1, M3=1, M4=1. La segunda fila subrayada
corresponde a “El motor M1 puede sólo llevar a cabo todo el proceso” por lo tanto M1=1, M2=0,
M3=0, M4=1. La tercera y la cuarta corresponden a situaciones donde funciona el motor M1 con
otro de los dos motores M2 o M3. La última fila de la tabla, subrayada en verde, corresponde a la
condición “Los tres motores M1, M2 y M3 no pueden funcionar conjuntamente”; es por esto que la
salida en la función de control f(M1, M2, M3, M4) = 0. Una vez se han identificado las unidades
146
significantes en el registro tabular, se encuentra la función lógica original del sistema haciendo
corresponder a cada una de las filas subrayadas una unidad significante elemental del registro en
lenguaje formal. Se observa que el estudiante ha realizado, por economía de tratamiento un
cambio a las variables w, x, y, z.
b. Convierte la tabla en un mapa de Karnaugh y simplifica la función anterior.
R. /
En el proceso de conversión del registro tabular al mapa K se presenta un error de asignación en los
valores binarios asociados a las subregiones del mapa K, no se tuvo en cuenta la condición de que
tanto horizontal como verticalmente se deben etiquetar las casillas utilizando el código Gray que
por ser secuencial, al pasar de una casilla a otra sólo puede haber cambio en sólo bit. Esto se ve
resaltado en el mapa donde de 01 se pasó a 10 y por lo tanto se cambió el primero y el segundo bit.
Este error, cometido por descuido, pues el estudiante ha aplicado correctamente esta condición en
ejercicios anteriores de la unidad didáctica, hace que la expresión simplificada no sea la óptima
porque al quedar intercambiadas la tercera y la cuarta fila de este registro, se dejan de considerar
algunas regiones adyacentes en el mapa K. Es de anotar que en un mapa bien construido la
expresión simplificada debe ser f (w, x, y, z) = w’ x y z + w y’ z + w x’ z.
c. Construye el diagrama de Venn-Euler asociado a la expresión lógica simplificada.
R. /
147
Se identifica en este proceso de conversión la presencia de un obstáculo epistemológico producido
por el conocimiento previo que tiene el estudiante de los diagramas de Venn-Euler de hasta tres
variables. Se observa que al construir el diagrama para 4 variables, él realiza primero el de tres y
luego introduce la cuarta variable siguiendo el método para tres. Esto hace que la partición del
universal o referencial no permita observar todas las 24 = 16 subregiones en que dividen al universal
4 variables y por lo tanto se dejen de considerar algunas de las unidades significantes elementales
de este tipo de registro. De las 16 subregiones que se deben visualizar, el diagrama hecho por el
estudiante sólo permite observar 14, es decir, no se consideran 2 regiones que son: w x’ y’ z (región
de los elementos en w z pero no en x ni en y), w x y’ z (región de los elementos en w x z pero no en
y).
d. Elabora un diagrama sagital que te permita estudiar el problema. Explica cómo se
interpreta.
R. / Aquí se muestran las salidas acordes al problema, las demás no sirven para controlar los
motores.
En esta respuesta se encuentra que el estudiante presenta aún obstáculos asociados con este tipo
de registro. El primero es no ponerlo en correspondencia con el registro tabular que había realizado
antes y por lo tanto hace corresponder a la salida 1 sólo 3 de las 4 entradas que debe tener. El
148
segundo es que en este registro señala una salida en la que la variable correspondiente a M4 vale
0, una condición que viola los supuestos del problema planteado en lenguaje natural. El tercero es
que aún no conceptualiza el diagrama sagital como un registro congruente con la expresión en
lenguaje formal de la función escrita en su forma canónica, la cual ya había escrito de manera
correcta anteriormente.
e. Dibuja el diagrama lógico con compuertas que permitan implementar el circuito de
control y pruébalo con las condiciones dadas.
R. /
f. ¿De qué otra manera hubieras podido realizar el circuito lógico?
R. / Haciendo la representación con un sistema isomorfo como el circuito de interruptores.
g. Si hay alguna otra forma de realizarlo, dibújala y explícala.
R. /
Este es un circuito de interruptores, igualmente válido porque es isomorfo con los diagramas
lógicos de compuertas.
149
h. ¿Qué dificultades has encontrado en la solución de este problema y cómo las has
resuelto?
R. / He encontrado algunos vacíos teóricos que he resuelto haciendo consultas en los libros
sugeridos en la bibliografía.
En estas respuestas se observa que el estudiante realiza la conversión de una expresión lógica en
lenguaje formal a los registros diagramales circuitales tanto digital como eléctrico. Sin embargo se
detecta que presenta obstáculos cognitivos y conceptuales para utilizarlos y con ellos comprobar
las condiciones que fueron dadas desde el lenguaje natural.
Esta actividad de repaso utilizó un problema tecnológico para analizar si el estudiante ha
desarrollado su habilidad para hallar soluciones a problemas tecnológicos en contextos similares a
los que se pueden presentar en el ejercicio profesional de un ingeniero de sistemas. Para esto se le
solicitó usar diferentes registros de representación semiótica. El estudiante mostró que ha
desarrollado parcialmente habilidades, destrezas y capacidades cognitivas; efectúa procesos de
conversión desde el lenguaje natural a registros tabulares y al lenguaje formal, pero aún se le
presentan obstáculos epistemológicos y cognitivos asociados con los procesos de conversión a los
registros de representación semióticos diagramales de Venn-Euler, sagital y mapas de Karnaugh
como registros de llegada. A pesar de lo anterior logra convertir expresiones del lenguaje formal a
los registros circuitales digitales y eléctricos. También muestra que tiene capacidad para elaborar
un plan que le permita superar los obstáculos cuando se refiere a la consulta bibliográfica en
búsqueda de aclarar algunos vacíos teóricos.
4.3 ANÁLISIS DE LOS PROCESOS DE CONVERSIÓN
LUIS DANIEL YEISSON
Registro de
Partida
Registro de
Llegada
Item en Unidad
Didáctica Observaciones Observaciones
Len
guaj
e N
atu
ral
Tab
ula
r 2.2.2, 2.2.3, 2.2.6, 2.2.7,
2.2.14, 3.1.2, 3.1.4, 4.2.3
- Efectúa conversión del lenguaje natural al registro tabular y distingue entre el objeto matemático y el signo usado para representarlo. - Realiza correctamente la conversión simultánea del lenguaje natural a los registros tabulares (tabla lógica) y al diagramal (Venn - Euler). - Efectúa de manera correcta la conversión de las definiciones dadas en el lenguaje formal de la lógica proposicional al registro tabular (tablas de verdad y tablas lógicas). - Muestra obstáculos conceptuales y cognitivo- lingüísticos en la comprensión de un problema con múltiples condiciones lógicas.
- Efectúa conversión del lenguaje natural al registro tabular y distingue entre el objeto matemático y el signo usado para representarlo. - - Realiza correctamente la conversión simultánea del lenguaje natural a los registros tabulares (tabla lógica) y al diagramal (Venn - Euler). - Efectúa de manera correcta la conversión de las definiciones dadas en el lenguaje formal de la lógica proposicional al registro tabular (tablas de verdad). - Hace correctamente la conversión de un problema dado en el lenguaje natural al registro tabular. - Realiza correctamente la conversión de un problema tecnológico con múltiples condiciones al registro tabular asociado a dicho problema.
Dia
gram
al
2.2.14, 2.5.3, 3.4.3, 4.2.3
- Convierte un problema lógico en el lenguaje natural a un registro diagramal para el cual el estudiante ha efectuado una actividad de formación. - Muestra obstáculos en la comprensión de un problema con múltiples condiciones lógicas, pero efectúa el proceso de conversión adecuadamente. - Realiza correctamente la conversión del registro del lenguaje natural al diagramal (Venn - Euler).
Tiene obstáculos asociados a los registros semióticos para convertir un problema lógico en el lenguaje natural a registro diagramal, pues lo confunde con una tabla (registro tabular de doble entrada), aunque la utiliza de manera correcta para resolver el problema. - Interpreta correctamente un problema lógico en teoría de conjuntos y hace la conversión al diagrama de Venn - Euler. - Realiza correctamente la conversión del registro del lenguaje natural al diagramal (Venn - Euler).
151
Len
guaj
e fo
rmal
2.5.2, 3.4.1, 4.2.1, 4.2.3
- Presenta obstáculos cognitivo-lingüísticos en la conversión de un problema lógico en lenguaje natural (con múltiples condiciones) al lenguaje formal. - Efectúa correctamente el proceso de conversión de un enunciado lógico en el lenguaje natural al lenguaje formal y la utiliza mediante un proceso de tratamiento, aplicando las reglas de inferencia, para hallar la conclusión correcta. - Hace la conversión de lenguaje natural al lenguaje formal y sobre ella aplica las reglas de inferencia para obtener una conclusión válida. - Hace la conversión del lenguaje natural al formal utilizando como registro auxiliar una representación tabular.
- Presenta obstáculos cognitivo-lingüísticos en la conversión de un problema lógico en lenguaje natural (con múltiples condiciones) al lenguaje formal. - Para resolver el problema opta por utilizar un registro numérico. - Efectúa correctamente el proceso de conversión de un enunciado lógico en el lenguaje natural al lenguaje formal y la utiliza mediante un proceso de tratamiento, aplicando las reglas de inferencia, para hallar la conclusión correcta. - Hace la conversión de lenguaje natural al lenguaje formal pero presenta obstáculos en la interpretación de las condiciones lógicas del problema. - Hace la conversión del lenguaje natural al formal utilizando como registro auxiliar una representación tabular.
Icó
nic
o
2.1.2 - Realiza correctamente la conversión de una definición dada en el lenguaje natural al registro icónico o gráfico.
- Tiene obstáculos asociados a las representaciones semióticas para convertir desde el lenguaje natural al icónico o gráfico.
Len
guaj
e N
atu
ral
2.2.11, 2.3.2, 4.1.8
- Realiza correctamente la conversión del registro tabular al lenguaje natural. - Explica en palabras la estructura de la tabla. - Justifica en el lenguaje natural los pasos realizados para llevar a cabo el proceso de conversión.
- Realiza correctamente la conversión del registro tabular al lenguaje natural y es consciente de la equivalencia entre las operaciones lógicas booleanas, la lógica proposicional y la teoría de conjuntos. - Explica en palabras la estructura de la tabla. - Justifica en el lenguaje natural los pasos realizados para llevar a cabo el proceso de conversión.
Tab
ula
r
Len
guaj
e Fo
rmal
2.4.4, 4.1.3, 4.1.4, 4.2.3
- Efectúa correctamente la conversión del registro tabular al lenguaje formal y explica el resultado aplicando las leyes de la lógica. - Obtiene las expresiones en lenguaje formal en las tres estructuras isomorfas, tanto en lógica positiva como en lógica negativa.
- Efectúa de manera correcta la conversión entre el registro tabular al lenguaje formal; además, extrae informaciones adicionales a partir de la tabla. - Obtiene las expresiones en lenguaje formal en las tres estructuras isomorfas, tanto en lógica positiva como en lógica negativa.
Dia
gram
al
2.2.14, 4.1.4, 4.1.5
- Hace la conversión correcta del registro tabular al diagramal, tanto en diagramas de Venn - Euler, como en diagramas de Carroll.
- Hace la conversión correcta del registro tabular al diagramal, tanto en diagramas de Venn - Euler, como en diagramas de Carroll.
152
Len
guaj
e N
atu
ral
3.2.8, 3.4.5, 4.1.8
- Presenta obstáculos cognitivo-lingüísticos en la conversión de un registro diagramal al lenguaje natural; en algunas ocasiones, recurre al lenguaje formal. - Explica en detalle la manera cómo realizó la conversión.
- Presenta un obstáculo al hacer la conversión del registro diagramal al lenguaje natural; recurre a una combinación de lenguaje natural y lenguaje formal. -Se observa en algunos casos que el proceso de conversión es incompleto.
Dia
gram
al
Len
guaj
e Fo
rmal
2.2.15, 2.4.3, 2.4.6, 2.4.8,
2.4.10, 3.2.10,
3.2.11, 3.4.5, 4.1.6, 4.1.7, 4.1.9, 4.2.3
- Convierte correctamente a los lenguajes formales (proposicional, conjuntista y booleano): diagramas lógicos digitales, diagramas de Venn - Euler, diagramas sagitales, Carroll, Karnaugh, Veitch, lógico digital.
- Convierte correctamente a los lenguajes formales (proposicional, conjuntista y booleano): diagramas lógicos digitales, diagramas de Venn - Euler, diagramas sagitales, Carroll, Karnaugh, Veitch, lógico digital.
Nu
mér
ico
B
inar
io
4.1.7
- Convierte correctamente diagramas de pulsos a registro numérico binario; además, interrelaciona los diagramas de pulsos con diagramas lógicos digitales y hace la conversión a registro numérico binario.
- Convierte correctamente diagramas de pulsos a registro numérico binario; además, interrelaciona los diagramas de pulsos con diagramas lógicos digitales y hace la conversión a registro numérico binario.
Tab
ula
r
2.3.1, 3.2.9, 3.4.2, 4.1.8
- Convierte correctamente del lenguaje formal al registro tabular y simultáneamente las presenta como tablas lógicas y de pertenencia. - Se evidencia que conceptualiza el isomorfismo entre estas dos teorías. - Presenta obstáculos epistemológico-conceptuales al convertir expresiones proposicionales complejas al registro tabular.
- Convierte correctamente del lenguaje formal al registro tabular y utiliza el lenguaje natural para explicar la estructura de la tabla; convierte del lenguaje formal en teoría de conjuntos a registro tabular (tabla de pertenencia) y explica de manera consciente cómo hizo el cambio de registro a través de analogías con el álgebra proposicional. - Utiliza este cambio de registro para demostrar equivalencias e inferencias lógicas. - Presenta obstáculos en este tipo de conversiones, cuando debe segmentar las expresiones lógicas booleanas en los registros tabulares.
153
Len
guaj
e Fo
rmal
Dia
gram
al 2.3.3, 2.3.4,
2.4.13, 3.2.3, 3.2.6, 3.3.3, 4.1.5, 4.1.6, 4.1.7, 4.1.8
- Convierte correctamente expresiones formales del álgebra lógica, de la teoría de conjuntos y la lógica proposicional a registros diagramales de Venn - Euler, diagramas lógicos digitales, diagramas de Carroll, diagramas de árbol, sagitales, pulsos y circuito eléctrico de interruptores. - Utiliza registros auxiliares y combina las notaciones de las proposiciones y de los conjuntos.
- Convierte expresiones formales del álgebra lógica a registros diagramales de Venn - Euler utilizando como representación auxiliar registros numéricos binarios y la notación conjuntista. - También convierte a diagramas de árbol, sagitales, lógico digital, pulsos. - Presenta obstáculos conceptuales en la determinación correcta de las regiones del diagrama de Venn - Euler asociadas a la expresión lógica y para asignar elementos de un conjunto determinado por extensión en sus respectivas regiones del diagrama de Venn - Euler. - Convierte correctamente del lenguaje formal del álgebra proposicional a diagramas lógicos digitales. - Convierte expresiones formales en teoría de conjuntos a diagramas de Carroll. - Presenta obstáculos asociados a los registros semióticos al convertir expresiones en el lenguaje formal a diagramas eléctricos de interruptores.
2.4.9, 3.4.5, 4.2.3
- Realiza correctamente la conversión entre los diferentes tipos de diagramas que se presentan en cada uno de los isomorfismos: lógica proposicional, teoría de conjuntos y álgebras lógicas o booleanas. - Utiliza combinaciones de signos y notaciones y frecuentemente recurre a registros auxiliares para pasar de un tipo de diagrama a otro.
- Al inicio del curso presentó obstáculos para convertir entre diagramas en los diferentes isomorfismos, los cuales superó al finalizar el curso, donde resuelve un problema tecnológico convirtiendo correctamente entre todos los tipos de diagramas.
Co
nve
rsio
nes
hec
has
en
tre
dif
eren
tes
regi
stro
s d
iagr
amal
es
2.4.12, 2.4.14, 3.2.2, 3.3.1, 3.3.3,
4.1.1
- Convierte correctamente entre los lenguajes formales del álgebra proposicional, teoría de conjuntos y álgebras booleanas. - Identifica las leyes en cada uno de estos lenguajes formales y demuestra que ha conceptualizado la estructura de estos isomorfismos matemáticos.
- Convierte correctamente entre los lenguajes formales del álgebra proposicional, teoría de conjuntos y álgebras booleanas. -Identifica las leyes en cada uno de estos lenguajes formales y demuestra que ha conceptualizado la estructura de estos isomorfismos matemáticos.
CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
La teoría de Duval acerca de la semiosis y el pensamiento humano conforma un
entorno que permite explicar la manera como los estudiantes entienden y aprenden un curso
formal de matemáticas, en diversos niveles y con complejidad variable. Se ha encontrado a
través de este trabajo, que este entorno tiene aspectos en común con los temas
desarrollados en este curso, los isomorfismos encontrados en las varias disciplinas que
conforman la lógica matemática. Hoy en día, se admite que la pluralidad de los sistemas
semióticos permite diversificar las representaciones de un mismo objeto y, de esta forma,
amplía las capacidades cognitivas de los sujetos, y por lo tanto, sus representaciones
mentales. (Tamayo et al., 2012, pg. 250).
Este trabajo realizó un énfasis importante en la actividad de la conversión, guiando a
los estudiantes hacia la coordinación de los diferentes registros de representación semiótica,
que en la lógica matemática se presentan en amplia variedad. La teoría de Duval pone de
manifiesto que es durante el proceso de conversión cuando se desarrolla una verdadera
actividad conceptual (Duval, 1999).
El concepto fundamental de la lógica-matemática bivalente es el de variable lógica,
definida como aquella que puede tomar uno y solo uno de dos valores posibles; los signos
utilizados frecuentemente para representar estos valores son V y F (Verdadero o falso) o 0 y
1, pero pueden ser cualquier par de signos que representen estos valores mutuamente
excluyentes (Kaye, 1970). Los estudiantes aprehenden este concepto y fácilmente lo
representan utilizando todo tipo de registros, incluidos los multifuncionales de operaciones
no discursivas como los íconos.
Todo este sustento teórico es precisamente el que hace posible que la lógica-
matemática sea una de las áreas que de manera más cómoda permita ser aprendida a través
de una amplia gama de registros de representación semiótica y de facilitar los procesos de
formación, tratamiento y en especial los de conversión entre registros en el sentido expuesto
por Duval (Duval, 1999, 2006a) para que los estudiantes universitarios de ciencias, ingeniería
155
y tecnología puedan desarrollar las actividades cognitivas fundamentales de
conceptualización, razonamiento, comprensión de textos y solución de problemas en
contextos tecnológicos.
Las preguntas de investigación:
¿Cuáles son los procesos de conversión que realizan los estudiantes universitarios
en el aprendizaje de la Lógica Matemática?
¿Cómo emplean los estudiantes universitarios los registros semióticos en su proceso
de aprendizaje de la Lógica Matemática?
Se lograron responder a través del meta-análisis realizado en los tres estudiantes
tomados como representativos y para los criterios tenidos en cuenta: procesos de trabajo,
regularidades y obstáculos del aprendizaje.
5.1 PROCESOS
Para hallar la solución de un problema lógico-matemático utilizando diferentes tipos
de registros de representación semiótica y con énfasis en las actividades de conversión, los
estudiantes analizados llevaron a cabo los siguientes procesos: A partir del problema
enunciado en lenguaje natural efectuaron la conversión a registros tabulares (tablas de
verdad, pertenencia, booleanas). Para problemas planteados en teoría de conjuntos, una vez
obtenida la tabla, algunos estudiantes obtuvieron a partir de ella y mediante un segundo
proceso de conversión una expresión simbólica canónica (no simplificada) en el lenguaje
formal, luego efectuaron un tercer proceso de conversión que les permitió obtener los
diagramas de Venn-Euler o Carroll.
L. Natural R. Tabular L. Formal R. Diagramal
Cuando los problemas se plantearon en álgebras lógicas, el segundo proceso de
conversión se orientó hacia los mapas de Karnaugh-Veitch; estos mapas permiten, mediante
tratamiento, obtener expresiones lógicas simplificadas las cuales, a través de un tercer
proceso de conversión, pueden ser llevadas a diagramas lógico digitales, eléctricos o de cajas.
156
Una vez obtenidos estos diagramas utilizaron registros numérico-binarios o diagramas de
pulsos para realizar las pruebas de escritorio que permiten corroborar el funcionamiento
lógico de estos diagramas, como último paso antes de implementarlos de manera física o
computacional.
L. Natural R. Tabular L. Formal (expresión canónica) R. Diagramal (Mapas de
Karnaugh-Veitch) + Tratamiento (Simplificación de expresiones) L. Formal (expresión
simplificada) R. Diagramal (Lógico digital, eléctrico, cajas).
En ejercicios que involucraban la demostración de identidades lógicas, algunos
estudiantes propusieron los siguientes tres pasos: El primero es realizar un proceso de
conversión para el primer miembro de la equivalencia del lenguaje formal al diagramal
(diagrama de Venn-Euler). El segundo es efectuar el mismo proceso de conversión para el
segundo miembro de la equivalencia y el tercer paso, es comparar los diagramas y observar
que deben mostrar las mismas regiones.
En ejercicios para convertir expresiones lógicas en lenguaje formal a registros
diagramales lógicos digitales, el proceso llevado a cabo por los estudiantes es hacer
corresponder compuertas NOT para las variables negadas o complementadas, compuertas
AND para los productos lógicos y compuertas OR para sumas lógicas y conectarlas según el
orden de los operadores lógicos que aparecen en las expresiones.
Para la conversión de registros diagramales (mapa de Karnaugh) a registros en el
lenguaje formal del álgebra booleana, el estudiante lleva a cabo el siguiente proceso:
primero resalta las adyacencias, casillas contiguas horizontales o verticales que tienen un
número 1 y a partir de ellas encuentra las expresiones lógicas asociadas a las unidades
significantes del registro en lenguaje formal.
Es frecuente en las respuestas dadas por los estudiantes que identifiquen la
equivalencia funcional y computacional de los mapas de Karnaugh en álgebra lógica y los
diagramas de Carroll en teoría de conjuntos, es decir, han aprehendido que son
representaciones isomorfas y por lo cual se refieren a ellas como semejantes.
157
También se encontró que a partir de enunciados (proposiciones verdaderas y falsas)
escritas en el lenguaje natural, los estudiantes analizados llevaron a cabo la conversión al
lenguaje formal de la lógica proposicional; para ello utilizaron las letras proposicionales p y q
y los operadores lógicos conjunción, disyunción, disyunción exclusiva, condicional y
bicondicional y sus respectivos símbolos. Todas estas representaciones semióticas las
utilizaron para efectuar el proceso de conversión y para la construcción de proposiciones
compuestas o moleculares a partir de proposiciones simples o atómicas. Además, mostraron
las equivalencias entre estas expresiones simbólicas efectuando una conversión a los
registros con dígitos binarios (0, 1) y aplicaron con ellos las operaciones básicas de la lógica
proposicional para encontrar los valores de verdad de las proposiciones compuestas. Según
Duval (1999, p 36) “la escritura binaria en 0 y 1, así como la representación proposicional por
parejas {predicado, argumentos} son las representaciones semióticas corrientemente utilizadas para
representar estas representaciones internas no conscientes”
La conversión del registro diagramal al lenguaje formal en teoría de conjuntos fue
llevada a cabo por los estudiantes asociando a cada una de las subregiones del diagrama de
Carroll una expresión en el lenguaje formal; proceso que se facilita dado que estos dos tipos
registros de representación son congruentes, es decir, cumplen los criterios de
correspondencia semántica, univocidad semántica terminal y mismo orden de aprehensión
(Duval, 1999, p 50). A continuación se discute un ejemplo del proceso llevado a cabo por uno
de los estudiantes:
Ejemplo 1: En el ítem 3.4.3 (ver respuestas en unidad didáctica) se presentó la
información sobre una encuesta realizada a 120 estudiantes en una universidad. En la
siguiente tabla se muestra la congruencia entre los registros semióticos movilizados para este
ejercicio, evaluando la correspondencia semántica entre las unidades significantes en el
lenguaje natural y en los registros diagramales de Venn – Euler y de Carroll. Se observa
además, cómo en el diagrama de Carroll, el estudiante utiliza una representación transicional
auxiliar, dada por cadenas de tres dígitos binarios, así por ejemplo, a las unidades
significantes “estudian francés” les hace corresponder las cadenas binarias 110, 100, 111,
101, mostradas en un círculo rojo; a las unidades significantes “estudian alemán e inglés” les
158
hace corresponder las cadenas binarias 011 y 111 (encerradas en azul) y a la unidad
significante “estudian los tres idiomas” le hace corresponder el número binario 111
(encerrado en verde), que se interpreta como “estudian francés, inglés y alemán
simultáneamente”.
Unidades significantes simples en lenguaje
natural
Unidades significantes elementales en registros diagramales
65 estudian francés.
45 estudian alemán.
42 estudian inglés.
20 estudian francés y alemán.
25 estudian francés e inglés.
15 estudian alemán e inglés.
8 estudian los tres idiomas.
Figura 4. Congruencia entre los registros lenguaje natural y dos registros diagramales, por el
estudiante Juan Diego.
A continuación se discuten dos ejemplos de procesos de conversión realizados por los
estudiantes: uno, entre registros que no son totalmente congruentes y otro en donde sí lo
son.
Ejemplo 2: En el proceso de conversión del lenguaje natural al registro tabular del
ejercicio 4.2.3 de la unidad didáctica, se ve que ambos registros son parcialmente
congruentes, ya que cumplen con el criterio de correspondencia semántica entre sus
unidades significantes, pero no el de univocidad semántica terminal ni el mismo orden
159
posible de aprehensión de estas unidades en las dos representaciones. Al respecto menciona
Duval (1999, p 51)
naturalmente, puede no haber correspondencia porque no se cumple ninguno, dos o solo uno
de los tres criterios. La no congruencia entre dos representaciones, por tanto, puede ser más o
menos grande. La dificultad de la conversión de una representación depende del grado de no
congruencia entre la representación de salida y la representación de llegada.
Unidades significantes simples en lenguaje
natural
Unidades significantes elementales en registro tabular
i. El motor M1 puede él solo llevar a cabo todo el proceso. ii. Si el motor M1 no funciona se requiere que funcionen en paralelo M2 y M3. iii. Los tres motores M1, M2 y M3 no pueden funcionar conjuntamente. iv. Ningún motor puede funcionar si no funciona M4, dado que es el que pone en movimiento la bomba de lubricación de todo el sistema.
Figura 5. Congruencia entre los registros lenguaje natural y tabular, por el estudiante Juan Diego.
La correspondencia semántica de los elementos significantes, en este caso, se
presenta porque a cada renglón de la tabla se le puede hacer corresponder una conjunción
de expresiones en el lenguaje natural, como se ilustra; el primer renglón resaltado de la tabla
(en morado) corresponde a una situación donde solamente estaría funcionando el motor 2
(M2), situación que no es posible dadas las condiciones lógicas del problema y que se
observa cuando resulta un 0 en la última columna; por el contrario, el segundo renglón
resaltado (en verde) corresponde a una situación donde estarían funcionando M2, M3 y M4 y
el número 1 que aparece en la última columna indica que esta situación es posible de darse.
El tercer renglón resaltado (en rosado) corresponde a la situación en la que el motor M1 y la
160
bomba de lubricación M4 (que es condición necesaria), llevan a cabo el proceso. La cuarta
región resaltada corresponde a dos renglones (en amarillo) que ilustran la situación dada en
el numeral iii; se ve claramente que no hay univocidad semántica, es decir, no hay
correspondencia uno a uno entre las unidades significantes simples en el registro de partida y
el de llegada. También se ve en este ejemplo que no existe igual orden de aprehensión entre
ambos registros. La conversión inversa entre estos dos registros no es posible, ya que a
partir de la tabla no puede inferirse la información que se presenta en el lenguaje natural.
Los obstáculos que se identificaron al hacer la conversión entre lenguaje natural y
registro tabular se presentan en aquellos problemas que tienen múltiples condiciones lógicas
que deben ser tenidas en cuenta de manera simultánea para obtener una solución al
problema; algunos estudiantes tuvieron obstáculos en la construcción secuencial del registro
tabular, que depende de la correspondencia que se debe tener en cuenta entre el número de
variables y el número de renglones que contiene la tabla.
Ejemplo 3: En la actividad final de la sesión 3, ejercicio 3.4.1 de la unidad didáctica se
propone realizar un proceso de conversión del lenguaje natural al lenguaje formal de la lógica
proposicional. En éste se cumple la congruencia entre registros de representación, dado que
se presenta correspondencia semántica, univocidad semántica terminal e igual orden de
aprehensión, como se muestra en el siguiente ejemplo, donde a partir de un enunciado en
lenguaje natural, el estudiante identificó las unidades significantes elementales (recuadro
azul) y las pone en correspondencia biunívoca con expresiones del lenguaje formal de la
lógica de proposiciones (óvalos rojo, azul y verde). Además, las utiliza para llevar a cabo una
transformación por tratamiento, aplicando las reglas de inferencia lógica, que le permite
obtener una conclusión válida del razonamiento dado (recuadro amarillo).
161
“Si no tengo frío entonces hace calor o estoy afiebrado y
si mi temperatura corporal es alta o estoy sediento entonces no tengo frío y
mi temperatura corporal es alta o estoy sediento”
Figura 6. Congruencia entre los registros lenguaje natural y lenguaje formal, por el estudiante Luis
Daniel.
5.2 REGULARIDADES
Para analizar las regularidades se ha tomado como base el concepto de R. Duval
acerca de los problemas específicos a los cambios de registro:
“La actividad de la conversión es menos inmediata y menos simple de lo que se tiene
la tendencia a creer. Para darse cuenta de esto, es necesario analizar cómo puede efectuarse
la puesta en correspondencia sobre la cual reposa toda conversión de representación. La
puesta en correspondencia de dos representaciones pertenecientes a registros diferentes
puede establecerse localmente a través de una correspondencia asociativa entre las unidades
significantes elementales constitutivas de cada uno de los dos registros”. (Duval, 1999 p 47).
Las siguientes son algunas de las regularidades en la forma como los estudiantes,
cuyas respuestas fueron analizadas, resuelven diferentes tipos de ejercicios y problemas
propuestos en la unidad didáctica.
162
Es frecuente que los estudiantes utilicen la equivalencia computacional entre los
registros de representación semiótica (lenguajes formales o simbólicos) utilizados en
proposiciones, conjuntos o álgebras booleanas para interpretar problemas de un sistema
isomorfo en otros. Por ejemplo, algunos problemas del álgebra de proposiciones, los
resuelven utilizando registros propios del álgebra de conjuntos. Al respecto, opina Duval
(1999):
La noción de equivalencia computacional recubre un fenómeno de congruencia, no por la
actividad cognitiva de conversión de representaciones de un registro a otro, sino por la
actividad de tratamiento: hay correspondencia entre las diferentes operaciones de
tratamiento que pueden efectuarse en dos registros semióticos distintos, cuyas
representaciones iniciales son convertibles entre sí. (p. 53)
Los estudiantes resuelven algunos problemas usando diferentes tipos de registros de
representación semiótica, por lo regular aquellos en los que trabajan con más confianza. Para
esto se apoyan en el carácter binario o bivalente de la variable lógica en la interpretación de
un cierto tipo de registro semiótico, ya que utiliza en ocasiones otros a los que accede con
mayor facilidad. Por ejemplo, se ayuda de la pertenencia o no de elementos a un conjunto
para resolver problemas en otro sistema isomorfo que no es la teoría de conjuntos, y que
involucra variables lógicas. Esto muestra la existencia de ideas previas bien configuradas con
fortalezas conceptuales a las que el estudiante regresa para poder, a partir de ellas, construir
un nuevo aprendizaje por asociación y correspondencia. No se observaron claramente
problemas de encerramiento, dado que se trata de una estructura multi-registro de la
representación, lo que apoya en gran medida la actividad conceptual: “La diversificación de los
registros de representación semiótica es la constante del desarrollo de los conocimientos”. (Duval,
1999, p 58).
También es frecuente la utilización de representaciones transicionales auxiliares (con
frecuencia números binarios o cadenas de bits) para hacer demostraciones o construir y
realizar pruebas de escritorio de diagramas lógico digitales o de cajas, o movilizar registros
tabulares o diagramales; así mismo, para la interpretación de expresiones en el lenguaje
163
formal utilizan diagramas conjuntistas. Al respecto de los registros transicionales auxiliares,
plantea Duval (2006):
La ventaja educativa de los problemas de la vida real es que permiten trabajar libremente con
aquellas representaciones que parezcan más accesibles que las que se usan en matemáticas.
Son pues, representaciones auxiliares que pueden ayudar al estudiante a comprender cada
etapa del proceso de resolución. (…) Las representaciones auxiliares pueden satisfacer
solamente una función específica en la resolución de los problemas y ésta es relativa a pensar
en la conversión o el tratamiento. De cualquier manera, lo que importa no es averiguar la
‘buena’ representación, sino las diversas y adecuadas representaciones para coordinarlas. (p.
164).
De nuevo, se observa que el estudiante regresa a sus ideas previas bien constituidas y
adquiridas durante el curso.
5.3 OBSTÁCULOS
El análisis detallado de las respuestas consignadas en la unidad didáctica por los tres
estudiantes tomados como representantes mostró que los obstáculos que se presentan con
más frecuencia en el desarrollo del curso así planteado son de carácter institucional,
epistemológico-conceptual, cognitivo-lingüístico y metacognitivo.
5.3.1 Obstáculos institucionales
En el trabajo de aula para llevar a cabo esta investigación se encontraron obstáculos
de tipo institucional debidos entre otros a los siguientes factores: la extensión y variedad de
temas exigidos por el programa institucional para el curso de lógica- matemática en el
programa de ingeniería de sistemas, al gran número de estudiantes en el curso (52 en total),
el reducido espacio por estudiante (1.2 m2), las condiciones arquitectónicas y auditivas del
aula y la falta de recursos tecnológicos para orientar el curso.
164
5.3.2 Obstáculos epistemológico-conceptuales
En el análisis del instrumento de evaluación de ideas previas, a partir del cual se
diseñó la unidad didáctica, se identificaron obstáculos de tipo epistemológico en el sentido
de Bachelard y de Brousseau, es decir, ideas previas acerca de los conceptos de lógica,
operaciones lógico-matemáticas y teoría de conjuntos que habían adquirido en la escuela
primaria y secundaria o a través del conocimiento vulgar. Según Brousseau (citado por
Barrantes, 2006): “El error no es solamente el efecto de la ignorancia, la incertidumbre, sino que es
el efecto de un conocimiento anterior que, a pesar de su interés o éxito ahora se revela falso o
simplemente inadecuado”
En el desarrollo de las primeras sesiones de la unidad didáctica, la manera como el
estudiante construía las tablas de verdad o tablas lógicas se constituyó en un obstáculo
epistemológico cuando se debieron utilizar para resolver un problema que involucrara
condiciones lógicas dadas desde el lenguaje natural y las cuales debían ser consignadas de
manera esquemática y consciente en el registro tabular.
Este tipo de obstáculos también se presentaron en los procesos de conversión entre
expresiones lógico-matemáticas en el lenguaje formal o simbólico y los registros tabulares
utilizados como ayuda para la demostración de identidades lógicas. Además, en la no
conceptualización del principio de dualidad en los procesos de tratamiento con expresiones
lógicas y su conversión a otros registros; esto debido a que los estudiantes sólo reconocían
los procesos lógicos desde la lógica positiva también llamada en tecnología “lógica de alto
nivel” pero la cual obstaculiza la conceptualización de la lógica negativa o “lógica de bajo
nivel”. Debido a esto el estudiante no identifica el hecho de que se puede hallar una
expresión dual utilizando las salidas 0 en las funciones lógicas f(x, y), es decir, no
conceptualiza la equivalencia entre las formas normales disyuntiva y conjuntiva en las cuales
se pueden escribir dichas funciones.
También se constituyeron en obstáculos epistemológicos-conceptuales los registros
numéricos y las operaciones elementales del álgebra clásica, donde una variable puede
tomar más de dos valores. Esto obstaculizó la conceptualización de las variables lógicas, que
165
sólo pueden tomar uno de dos valores o estados posibles. Por ejemplo, el estudiante
interpretó que si x=0, x3=0 o que si x=1 entonces x3=1 pero no conceptualizado desde las
leyes de idempotencia de la lógica matemática binaria sino desde casos particulares de la
aritmética.
En algunos de los ejercicios y problemas planteados, los diagramas de Venn – Euler
clásicos aprendidos en la escuela, se convierten en un obstáculo epistemológico cuando se
les solicita a los estudiantes elaborar diagramas donde los conjuntos involucrados presentan
relaciones de pertenencia diferentes a las enseñadas tradicionalmente; por ejemplo, si los
conjuntos son disyuntos o alguno de ellos es subconjunto de otro. Esto también obstaculiza
la conceptualización de problemas en los que se presentan situaciones lógicas irrelevantes y
en los procesos de conversión desde el lenguaje natural a los registros tabulares.
Así mismo, se presentaron obstáculos epistemológicos producidos por el
conocimiento previo que tenían los estudiantes acerca de los diagramas de Venn-Euler de
hasta tres conjuntos. Se observó que al construir el diagrama para 4 conjuntos, primero
realizaban el de tres y luego introducían el cuarto conjunto siguiendo el método para tres.
Esto hace que la partición del universal o referencial no permita observar todas las 24 =16
subregiones en que dividen al universal 4 conjuntos y por lo tanto se dejen de considerar
algunas de las unidades significantes elementales de este tipo de registro. De las 16
subregiones que debían visualizar, los diagramas hechos por los estudiantes sólo permitían
observar 14, es decir, no se consideraron 2 subregiones.
También se observaron obstáculos epistemológico-conceptuales cuando los
estudiantes trataban de demostrar identidades lógicas mediante procesos y tratamientos
comunes en álgebra clásica y no reconocían que en álgebras lógicas este tipo de procesos no
funcionan de manera igual. Por ejemplo, en la aplicación de la ley de absorción x + x.y = x;
algunos estudiantes escribieron, como en álgebra clásica: x + x.y = x(1+y) sin considerar que
en álgebra lógica 1+ y = 1.
En algunos problemas que involucraban razonamientos y que los estudiantes
solucionaron desde el lenguaje natural, fueron frecuentes los obstáculos conceptuales en los
166
procesos de demostración de la validez de estos razonamientos por contradicción o
mediante la aplicación de las reglas de inferencia.
5.3.3 Obstáculos cognitivo-lingüísticos
Otro tipo de obstáculos que se presentaron en el desarrollo de la unidad didáctica son
los cognitivo–lingüísticos, que se refieren a “las dificultades que tiene un alumno para conocer y
resolver problemas y que no provienen necesariamente de un conocimiento anterior” (Bastién et. al.,
2010)
Estos obstáculos se hicieron evidentes cuando los estudiantes no reconocían las
reglas de correspondencia semántica entre registros formales y diagramales, así mismo
cuando no identificaban algunos principios del álgebra lógica ni los expresaban en el lenguaje
natural.
También se presentaron estos obstáculos en respuestas donde los estudiantes
confundían los objetos matemáticos con los signos que se utilizan para representarlos; por
ejemplo, no proponer símbolos diferentes para representar los operadores y las relaciones
de la lógica-matemática. De igual manera, cuando no realizaron el proceso de conversión de
conjuntos determinados por extensión a los registros en el lenguaje natural.
Los obstáculos cognitivo–lingüísticos se encontraron con cierta regularidad en los
procesos de conversión de registros de representación semiótica de los lenguajes formales al
lenguaje natural. También se evidenciaron obstáculos cognitivos en los procesos de
tratamiento de las expresiones en lenguaje formal aplicando las leyes y principios de los
diferentes isomorfismos que constituyen la estructura de la lógica - matemática.
Obstáculos Metacognitivos
En la unidad didáctica desarrollada con los estudiantes se tuvieron en cuenta algunos
procesos de conocimiento metacognitivo, así mismo sus obstáculos relacionados. Para
definirlos, se ha tomado como referencia lo consignado por Tamayo et. al. (2011):
167
el conocimiento derivado de la reflexión misma del acto de conocer, o cuando el individuo
supervisa, controla, autocontrola, regula sus propios procesos cognitivos (…). La
metacognición influye en la didáctica de las ciencias porque incide en la adquisición,
comprensión, conservación y aplicación de lo que se aprende; su importancia es la eficacia del
aprendizaje, el pensamiento crítico y la resolución de problemas (p. 115).
Se encontraron obstáculos metacognitivos en los procesos de tratamiento y
conversión con expresiones lógico–matemáticas cuando el estudiante no logró explicar un
plan que le llevara a encontrar la solución o cuando no logró responder preguntas como “por
qué no usó otras leyes que lo pueden conducir a la respuesta”; de igual manera, en algunas
respuestas no propuso el plan que llevaría a cabo para aclarar vacíos teóricos.
Algunos estudiantes realizaron un registro semiótico diagramal de los usuales en los
procesos de conversión de la lógica-matemática cuando se les había solicitado un diagrama
para explicar el proceso metacognitivo para resolver un problema.
168
CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1 CONCLUSIONES
En este trabajo se encontró que los procesos de enseñanza y aprendizaje de la lógica-
matemática para estudiantes de primer semestre de Ingeniería de Sistemas, son más
efectivos aprovechando que en esta estructura matemática es posible utilizar una amplia
variedad de registros de representación semiótica. Esto está en concordancia con lo
expuesto por varios autores que coinciden en decir que el recurso y la utilización de múltiples
registros de representación semiótica estimulan la aprehensión de los objetos matemáticos y
el desarrollo de las actividades cognitivas fundamentales.
En el análisis del instrumento de ideas previas se encontró que los estudiantes que
ingresan a la universidad traen desde el bachillerato variados obstáculos de tipo
epistemológico–conceptual, cognitivo–lingüístico, metacognitivo y obstáculos asociados a los
registros semióticos y a la simbología. El desarrollo de la unidad didáctica por los estudiantes
mostró que los obstáculos persistieron durante un corto periodo de tiempo, pero fueron
siendo superados a través del ejercicio de la conversión entre registros, una vez hicieron
conscientes tanto la estrategia cognitiva como la metacognitiva.
Si bien no se indagaron en profundidad los procesos metacognitivos de los
estudiantes, sí se utilizaron como un elemento conductor dentro de la unidad didáctica para
reconocer y caracterizar los procesos que ellos realizaron. El interés principal de indagar
sobre los aspectos metacognitivos fue corroborar o descartar la persistencia de algunas ideas
previas en el desarrollo de la unidad didáctica, para que tanto los estudiantes como el
docente hicieran explícito el cómo se llevan a cabo estos procesos. Esta estrategia se centró
más en el conocimiento metacognitivo que en la regulación.
Durante el curso dictado a través del desarrollo de la unidad didáctica se hizo
evidente que la lógica matemática es una estructura particularmente adecuada para ser
abordada desde las tres actividades cognitivas inherentes a la semiosis: la formación, el
169
tratamiento y la conversión. Esta última, catalogada como la actividad fundamental en los
procesos de aprendizaje es la que más obstáculos presenta a los estudiantes. Los procesos de
conversión se abordaron desde el lenguaje natural, sistema semiótico por excelencia, a
registros tabulares, diagramales, lenguajes formales, registros numéricos binarios, icónicos,
etc. y permitió que los estudiantes fueran capaces de llevar su conocimiento a otros
contextos y transitar por las diferentes estructuras de la lógica-matemática, evitando así
problemas de encerramiento.
El hecho de movilizar diferentes registros de representación semiótica y utilizarlos de
manera consciente e intencionada en los procesos de conversión involucrados les permitió a
los alumnos identificar sus obstáculos y proponer estrategias para superarlos desde la
metacognición. Cuando ellos abordaron un problema lógico-matemático planteado desde el
lenguaje natural, pudieron proponer diferentes estrategias a través de múltiples procesos de
conversión hasta llevarlos a encontrar una solución ingenieril o tecnológica para
implementarla de manera física o computacional. También se evidenció la ruptura de
obstáculos cognitivo-lingüísticos por hacer corresponder diferentes sistemas de
representación semiótica aplicados a problemas reales.
Al finalizar el curso los estudiantes mejoraron en los aspectos metacognitivos, que les
posibilitaron el planteamiento de estrategias para resolver un problema científico o
tecnológico, al punto de capacitarlos para acceder a textos y manejo de software de un nivel
superior al de su grado de formación.
Se observó que los estudiantes llevaron a cabo fácilmente los procesos de conversión
entre registros tabulares y diagramales o entre registros diagramales y expresiones en el
lenguaje formal de los diferentes isomorfismos cuando utilizaron registros transicionales
auxiliares y representaciones computacionales como las cadenas de bits.
Las actividades de autoevaluación y coevaluación contribuyeron a la aprehensión del
conocimiento desde las teorías del constructivismo y el socio-constructivismo, ya que
hicieron posible compartir y debatir las experiencias personales y socializarlas con sus
170
compañeros y con el docente; fueron importantes en la identificación y superación de sus
propios obstáculos.
La estrategia didáctica elegida por el docente fue adecuada para suplir las
necesidades educativas, institucionales y sociales de los estudiantes, dado que se realizaron
exitosamente algunos proyectos con aplicaciones industriales y de ingeniería.
6.2 RECOMENDACIONES
Se recomienda que este trabajo sea replicado a nivel de secundaria en institutos
tecnológicos, tratando con esta metodología la teoría de conjuntos en los grados 6 y 7; la
lógica proposicional en los grados 8 y 9, con el fin de hacer un estudio longitudinal sobre la
evolución conceptual y el aprendizaje en profundidad.
A nivel universitario es recomendable trabajar este tipo de proyectos de investigación
con grupos que no superen los 30 estudiantes, de manera que los proyectos sean planteados
desde el inicio del curso de manera individual y puedan ser monitoreados y asesorados por el
docente en los 4 meses escasos que dura un semestre.
Sería de gran importancia si pasados por lo menos seis meses de haber cursado la
materia se realizara una evaluación a un grupo de estudiantes a los que se les aplicó la
unidad didáctica para evaluar si aún son conscientes de lo aprendido y si conservan sus
habilidades y destrezas en esta rama de las matemáticas.
Es también recomendable que, si se repite el curso de lógica matemática con una
nueva cohorte, la unidad didáctica pueda estar lista inmediatamente después de la
realización del instrumento de ideas previas, situación que en este trabajo no fue posible por
cuestiones de tiempo.
Se recomienda para nuevos trabajos que sean abordadas otras partes de la teoría de
R. Duval como las correspondientes a las funciones discursivas de la lengua, la lengua natural
171
y lengua formal, las aplicaciones de semiótica en la geometría y de gran importancia realizar
desde la lógica de predicados el análisis del razonamiento.
172
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Abbagnano, N. (2004). Diccionario de Filosofía. México: Fondo de Cultura Económica.
Alvarado A., & González, M. (2009). La implicación lógica en el proceso de demostración
matemática. Estudio de un caso. Enseñanza de las ciencias, 28(1), 73–84.
Aristizábal, W. (2001). Matemática Moderna y Tecnología. Manizales: Didáctica Interactiva
Ltda.
Aristizábal, W. (2006). Matemática Moderna y Tecnología. 2a Ed. Manizales: Didáctica
Interactiva Ltda.
Aristizábal, W. & Salas, A. (2012). Electronic Solution of Boolean Equation. Applied
Mathematical Sciences. 6 (58), 2881 – 2889.
Bachelard, G. (1993). La formación del espíritu científico. México: Siglo Veintiuno Editores.
Barco, C. & Aristizábal, W. (1994). Matemática para la computación I y II. Manizales:
Publicaciones Universidad de Caldas.
Barco, C., Barco, G., & Aristizábal, W. (1998). Matemática Digital. Santafé de Bogotá:
McGraw-Hill Interamericana S. A.
Barco, C. & Aristizábal, W. (2000). Laboratorio de Matemática Digital. Pereira: Compañía
Editorial Electrónica S. A. CEKIT.
Barrantes, H. (2006). Los obstáculos epistemológicos. Cuadernos de investigación y formación
en educación matemática. Año 1 (2).
Bastién, G. M., Montoya, G. M., Mora, C., & Sanchez-Guzman, D. (2010). Obstáculos en la
resolución de problemas en alumnos de bajo rendimiento. México: Centro de
Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico
Nacional.
173
Bolívar, A. (1978). Aproximación a la didáctica de la lógica matemática en 3º de bachillerato.
Revista de Bachillerato, 7 (julio-septiembre, 1978), 23-30.
Boole, G. (1958). An investigation of the laws of thought on which are founded the
mathematical theories of logic and probabilities. New York: Dover Publications Inc.
Couso, D., Cadillo, E., Perafán, G., Adúriz-Bravo, A. (2011). Unidades didácticas en ciencias y
matemáticas. Bogotá: Cooperativa Editorial Magisterio.
D'Amore, B. (2004). Conceptualización, registros de representaciones semióticas y noética.
Interacciones constructivistas en el aprendizaje de los conceptos matemáticos e
hipotesis sobre algunos factores que inhiben la devolución. Barcelona España: Uno,
35-106.
D’Amore, B. (2006). Didáctica de la matemática. Bogotá: Cooperativa Editorial Magisterio.
D’Amore, B. & Fandiño, M. I. (2012). Análisis de situaciones de aula en el contexto de la
práctica de investigación: un punto de vista semiótico. Educación Matemática. 24, (3),
89 – 117.
Dienes, Z.P. (1974). Iniciación a la lógica y conjuntos. Barcelona: Teide.
Duval, R. (1988). Gráficas y ecuaciones: la articulación de dos registros. Traducción del
Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN, México.
Duval, R. (1993). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del
pensamiento. En Hitt, F. (Ed), Investigaciones en Matemática Educativa II (pp. 173-
201). Grupo Editorial Iberoamérica, México
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes
intelectuales. Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, grupo de
educación matemática.
Duval, R. (2006a). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of
mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61,103-131.
174
Duval, R. (2006b). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el
registro de representación. La Gaceta de la RSME. 9.1 143-168.
Guétmanova, A., Panov, M., & Petrov, V. (1991). Lógica: En forma simple sobre lo complejo.
Diccionario. Moscú: Progreso.
Guzmán, I. (1998). Registros de representación, el aprendizaje de nociones relativas a las
funciones: Voces de estudiantes. Revista latinoamericana de investigación en
matemática educativa, 1 (1), 5 – 21.
Hesselbart, A. (2007). Mathematical reasoning and semiosis. Institut for naturfagenes
didaktik. Københavns universitet. INDs studenterserie nr. 4.
Kaye, D. (1970). Sistemas Booleanos. Madrid: Alhambra S. A.
Kohavi, Z. (1978). Switching and finite automata theory. New York: McGraw-Hill Computer
Science Series.
Mora, A. (2002). Obstáculos epistemológicos que afectan el proceso de construcción de
conceptos del área de ciencias en niños de edad escolar. Inter Sedes, 3 (5) 75 – 89.
Orozco-Moret, C. & Díaz, M. (2009). Formación del razonamiento lógico matemático.
Revista Aleph Zero, Universidad de las Américas, Puebla México.
Peirce, C. (1987). Obra Lógico Semiótica. Madrid: Taurus Comunicación.
Piaget, J. & Inhelder, B. (1967). Génesis de las estructuras lógicas elementales. Clasificaciones
y seriaciones. Buenos Aires: Guadalupe.
Prieto, F. R. & Vicente S. L. (2006) Análisis de registros semióticos en actividades de
ingresantes a la facultad de ingeniería. Buenos Aires: Facultad de Ingeniería -
Universidad Nacional de La Pampa
Rivière, A. (1986). Razonamiento y representación. Madrid: Siglo veintiuno de España
Editores S. A.
Salas, A. & Aristizábal, W. (2000). Simplificación en Mathematica de funciones lógicas.
Bogotá, 17 Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística: Universidad Pedagógica
Nacional.
175
Tamayo, O. E. (2006). Representaciones semióticas y evolución conceptual en la enseñanza
de las ciencias y las matemáticas. Revista Educación y Pedagogía, 18 (45) 39 – 49.
Tamayo, O. E., Vasco, C. E., Suarez, M. M., Quiceno C. H., García, L. I., & Giraldo, A. M.
(2011). La clase multimodal y la formación y evolución de conceptos científicos a
través del uso de tecnologías de la información y la comunicación. Manizales:
Universidad Autónoma de Manizales.
Tamayo, O. E., Restrepo, F., Velasco, L. A. (2012). El caso de niños y maestros. Pequeños
científicos. Manizales: Universidad Autónoma de Manizales.
Tamayo, O. E. (2013). Notas del seminario “Didáctica de la Matemática”: Maestría en
Didáctica de la Matemática, Universidad de Caldas.
Vallejo, F. A., & Tamayo, O. E. (2008). Dificultades de los estudiantes de grado octavo en los
procesos de tratamiento y conversión de los números racionales. Revista
latinoamericana de estudios educativos, 4 (2), 151 – 182.
