Embed Size (px)
DESCRIPTION
Procesos Electromagnéticos Transitorios en Los Sistemas Eléctricos de Potencia
Citation preview
1
Tema I.- Procesos electromagnéticos transitorios en los Sistemas Eléctricos de
Potencia.
Introducción.- Los Sistemas Electroenergéticos están formados por un gran número de
elementos que contribuyen al proceso de generación, transmisión y distribución de la energía
eléctrica. Durante este proceso, el sistema electroenergético puede encontrarse en diferentes
estados o regímenes de operación y también puede estar sometido a perturbaciones de naturaleza
interna o externa que provocan cambios en el propio régimen de operación.
Desarrollo.-
Se define como régimen de operación a cierto estado del sistema eléctrico caracterizado por los
valores de potencia activa (P), potencia reactiva (Q), intensidad de corriente (I), (inyectados en
cada nodo o transferidos por las líneas ), voltajes en cada nodo (U) y frecuencia (f), que
determinan el proceso de generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica. Son
precisamente P, Q, I,U y f los parámetros que caracterizan cada régimen de operación, siendo los
más utilizados U y f, pues conociendo el voltaje en cada nodo del sistema la frecuencia y la
configuración del sistema, es posible calcular el resto de los parámetros.
Cuando el Sistema Electroenergético (SE) trabaja en condiciones normales, o sea con una carga y
una generación fijas, entonces se puede decir que los parámetros de operación son constantes en el
tiempo o varían muy poco y sus valores están dentro de los valores de funcionamiento normal del
sistema, o sea en cada nodo los voltajes permanecen entre los valores Umin y Umax. permisibles,
y las transferencias de potencia por las líneas permanecen también entre los límites permisibles, así
como las potencias activas y reactivas inyectadas en los nodos, en este caso se dice que el sistema
está en un régimen estacionario normal (REN). Lo anterior quiere decir los parámetros de
operación son constantes o varían muy poco alrededor de un valor y están dentro de los límites
normales de operación.
Supóngase ahora que por cualquier motivo una planta generadora sale del sistema, inmediatamente
se produce un déficit de potencia activa y reactiva que tiene que ser cubierta por el resto de los
generadores, lo que no sucede instantáneamente, la salida de la planta generadora, al sobrecargar al
resto de las plantas, produce una disminución de la velocidad de las mismas, hasta que los
controles de velocidad de las turbinas logren restablecer de nuevo la velocidad al valor sincrónico,
lo que quiere decir que la frecuencia de operación del sistema cae, las inyecciones de potencia en
los nodos así como las transferencias de potencia por las líneas también varían al igual que los
voltajes en los nodos, o sea los parámetros de operación del sistema variarán hasta que el sistema
logre estabilizarse de nuevo, pero con nuevos parámetros de operación, que permanecerán de
nuevo constantes, pero puede ser que no dentro de los valores límites de operación, lo anterior
quiere decir que entre el régimen inicial y el final, que podemos decir son estacionarios pues sus
parámetros no varían, va a existir un régimen que dura un determinado tiempo en el que los
parámetros de operación varían bruscamente hasta estabilizarse de nuevo, este régimen se conoce
como transitorio.
2
Sobre la base de lo anteriormente expuesto, los regímenes de operación de los Sistemas Eléctricos
de Potencia (SEP) se clasifican en estacionarios y transitorios. Dentro de los estacionarios puede
darse el caso de que algunos de los parámetros de operación estén fuera de los límites permisibles
de trabajo, por ejemplo, en el caso analizado, si en el estado final alguna transferencia por una
línea es mayor que la permisible o el voltaje en un nodo es inferior al permisible, todo causado por
la contingencia de la salida de una planta o de una línea, en ese caso el régimen estacionario que
resulta se conoce como régimen estacionario de postavería (RPA).
Si el régimen transitorio no provoca la pérdida de sincronismo del sistema y el mismo se estabiliza
en un nuevo régimen estacionario , con incumplimiento incluso de los parámetros de operación
pero que no sean críticos , se dice que el régimen es transitorio es normal (RTN). Si por el
contrario el régimen transitorio produce variaciones inadmisibles del voltaje y la frecuencia que se
propagan por el sistema y se llega a la caída del sistema ,de no tomarse medidas rápidas, el
régimen transitorio se llama de emergencia (RTE).
Un caso régimen transitorio normal es el que se produce en el sistema cuando hay una variación
pequeña de carga en un nodo, y un régimen de transitorio de emergencia es el que se produce
cuando no se aísla rápidamente la línea en la cual ocurre un cortocircuito.
Clasificación de los regímenes transitorios.- Según la velocidad con que varían los parámetros del
régimen, éstos se clasifican en:
1.- Ultrarápidos: Sobrevoltajes internos y externos, asociados con descargas atmosféricas o
conmutaciones de los dispositivos de protección de los SEP.
Tiempo de duración (1.2 – 275 microsegundos).
Naturaleza: Electromagnética.
2.- Velocidad media: Cortocircuitos.
Tiempo de duración: Depende de la rapidez de los dispositivos de protección. Hasta 10 ciclos
166 ms.).
Naturaleza: Electromagnética.
3.- Lentos. El penduleo de las máquinas sincrónicas durante los fenómenos de estabilidad.
Tiempo de duración: Hasta 1 minuto.
Naturaleza: Electromecánica.
En la presente asignatura se estudiarán los fenómenos transitorios que se corresponden con
cortocircuitos y estabilidad, o sea de velocidades medias y lentas.
Definición de cortocircuito.- Un cortocircuito (cc.) es un cambio abrupto y anormal de la
configuración del sistema eléctrico que hace circular corrientes excesivamente altas y modifica los
parámetros del REN. Para analizar esta definición se verá el sistema elemental de la fig.1.1 que
representa una fase de un sistema elemental que alimenta una carga Zc a través de una línea cuya
impedancia se representa por Zl. La frecuencia del generador es 60 Hz.
3
Zl Ic
Zc
Eg U1 Uc
Figura 1.1 Sistema elemental a 60 Hz.
Si ocurre un cortocircuito trifásico al final de la línea como se indica en la figura 1.2, entonces:
- Hay un cambio abrupto de la configuración del sistema.
- Se establece en el circuito una corriente de cortocircuito Icc mayor que la corriente de carga
inicial.
- Se modifican los voltajes terminales de la fuente y de la carga. U1 y Uc.
- La frecuencia de la fuente aumenta, pues el generador se acelera al perder la potencia activa
debido al cortocircuito.
- Se modifica el flujo de potencia por la línea. -
Zl
Icc Uc=0
Eg U1
Figura 1.2 Sistema en condiciones de cortocircuito.
Lo anterior quiere decir que se modifican los parámetros del REN existentes antes del cc.
Clasificación de los cortocircuitos.-
De acuerdo al número de fases involucradas los cortocircuitos se clasifican en:
Trifásicos.- Cuando hay contacto entre las tres fases
Características. El sistema se mantiene balanceado.
Es el menos frecuente (5% del total).
Se usan en la selección de interruptores y cálculos de estabilidad
Transitoria así como en el ajuste de protecciones.
Bifásicos.- Cuando hay contacto entre dos fases sin involucrar la tierra.
Características. Se produce desbalance en el sistema.
Producen las menores corrientes de cc.
Frecuencia de ocurrencia 10% del total.
Se utilizan en el ajuste de protecciones.
Bifásicos a tierra.- Cuando hay contacto a tierra de dos fases.
Se produce desbalance en el sistema.
Frecuencia de ocurrencia 20% del total.
4
Monofásico a tierra.- Cuando hay contacto de una fase a tierra.
Se produce desbalance en el sistema.
Frecuencia de ocurrencia 65%.
Se calculan en el ajuste de protecciones y selección de interruptores.
De acuerdo al valor de la impedancia de conexión en el punto de cc. Los cortocircuitos se
clasifican en:
Efectivos, sólidos o metálicos.- Si la impedancia en el punto de falla es cero Zf=0
A través de impedancia si Zf >0 o sea si existe impedancia entre fases o a tierra dependiendo
del tipo de falla. Por ejemplo, la impedancia de falla en el caso de que ocurra un arco entre el
conductor y la torre de una línea de transmisión a través de un aislador como se muestra en la
figura 1.3 es:
Zf= Ra + Re + Rt.
Ra
Re
Rt
Figura 1.3 Componentes de la impedancia de falla.
Donde: Ra= Resistencia del arco (Es función de la corriente, velocidad del viento,
la longitud del arco).
Re= Resistencia de la estructura.
Rt= Resistencia de puesta a tierra de la estructura.
Efectos de los cortocircuitos.- Los cortocircuitos tienen efectos perjudiciales que tienen que ver
con los esfuerzos mecánicos y térmicos que producen cuando las altas corrientes asociadas con
ellos circulan por las máquinas eléctricas, las altas temperaturas pueden provocar daños
irreversibles en el aislamiento de las mismas, mientras que las fuerzas de atracción y repulsión
que se generan internamente pueden sacar de sus posiciones a los devanados de las máquinas,
por lo que los dispositivos de protección debe ser calculados para evitar esos daños.
Hay dos formas de limitar los efectos de los cortocircuitos:
1.- Eliminación rápida de la falla utilizando protecciones rápidas y selectivas.
2.- Limitar la corriente de cc. utilizando métodos que se verán en este curso, aunque siempre
hay que eliminar la falla.
5
Tema II .- Cálculo de cortocircuitos trifásicos
Introducción.-
En el presente tema se estudiará el cálculo de cortocircuitos trifásicos , para lo cuál es necesario
conocer el método por unidad, así como las cuatro posibles fuentes que pueden aportar a los
cortocircuitos en los SEP., para ello se supondrá una industria con generación propia que está
conectada además a un Sistema Electroenergético y que tiene un gran número de motores de
inducción y sincrónicos, como se indica en la figura 2.1.
MS S Fábrica
SEP
MI
Cc1
Cc2 GS
GS
Fig- 2.1 Esquema elemental de industria alimentada por el sistema electroenergético
Si en cualquier punto en la línea de enlace entre el SEP y la industria ocurre un cortocircuito
(cc1), o incluso en el interior de la industria (cc2),de cualquier tipo, al mismo contribuyen
cuatro fuentes de corrientes:
1.-El SEP.
2.-Los motores sincrónicos (MS).
3.- Los motores de inducción (MI).
4.- La generación propia (GS).
Si se hace un oscilograma de cada uno de los aportes de estas fuentes se obtienen curvas como
las que se muestran en la figura 2.2.
I I
SEN Gen. propia
t t
Motores sincrónicos Motores inducción
t t
Figura 2.2 Oscilogramas de corrientes de cortocircuito de diferentes fuentes
De estas gráficas se pueden sacar las siguientes conclusiones:
6
1.- El mayor aporte es el del SEP y es además el que mas lentamente disminuye debido a su
gran fortaleza y alta constante de tiempo.
2.-.Le sigue en orden de importancia por el valor del aporte la generación propia, lo que se
explica por el hecho de tener excitación, que tiende a mantener el voltaje terminal en
condiciones de cortocircuito y además tiene un motor primario cuyo sistema de regulación
tiende a mantener constante la velocidad del generador.
3.-Los motores sincrónicos debido a que tienen excitación independiente mantienen durante
mas tiempo el voltaje terminal y sus aportes demoran mas tiempo en caer que los motores
sincrónicos que como reciben la corriente de excitación del sistema al disminuir el voltaje en
condiciones de cortocircuito tienden a disminuir sus aportes de forma mas rápida.
En el caso de los motores de inducción al ocurrir un cortocircuito el voltaje terminal cae
bruscamente a valores que pueden ser cercanos a cero, dependiendo del lugar del cortocircuito,
pero por el teorema de las concatenaciones de flujo constantes, el flujo del rotor no puede
variar instantáneamente y el rotor, por la inercia, demora un cierto tiempo en detenerse, lo que
explica que aporten corrientes al cortocircuito, pero en este caso caen mas rápidamente por lo
ya dicho.
Cálculo de cortocircuitos trifásicos en Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP).
Los SEP. Son circuitos predominantemente inductivos, por lo que para analizar las corrientes
que van a circular por las diferentes partes de éstos cuando ocurren cortocircuitos es
conveniente recordar lo qué ocurre cuando una fuente de voltaje es aplicada a un circuito que
contenga valores constantes de resistencia e inductancia como se muestra en la fig. 2.3.
.
Si se supone que el voltaje de la fuente varia en el tiempo según la expresión:
Fig. 2.3 Circuito RL elemental
U=Umax sen (wt + ) ), entonces la ecuación diferencial del circuito al aplicar Kirchhoff sería:
Umax sen (wt + ) = Ri + Ldt
di
cuya solución es:
i= )))sen()((sen( L
Rt
max ewtZ
U
7
i i
Umax/Z
t t
Umax/Z
Figura
2.4 a Figura 2.4b
Figura 2.4 Soluciones en estado estable y transitoria del circuito de la figura 2.3
donde:
Z=
22 )(wLR y )(1
R
wLtan
i
t
Figura 2.5 Corriente total por el circuito de la figura 2.2
El primer término de la expresión de corriente representa la solución en estado estable y el
segundo término el transitorio de corriente directa. Si = 2/ , entonces las soluciones en
estado estable y la componente de directa se muestran en la figura 2.4a y 2.4b. La solución
general será la suma de ambas curvas como se muestra en la figura 2.5. Se observa que en t=0 la
suma de ambas expresiones es cero, pues la intensidad de la corriente no puede variar
bruscamente entre t=0- y t=0
+ . Si =0 no existirá componente de directa y la solución
será solamente el término de estado estable.
8
Cortocircuito trifásico en generador sin carga.
Si un generador trifásico se conecta en t=0 a su barra en condiciones de cortocircuito trifásico,
con condiciones iniciales en la fase a, 0 ,de lo ya visto es de esperar que la intensidad
de corriente en esa fase fuese sinusoidal de amplitud constante, sin embargo al obtener el
oscilograma de esa corriente de cortocircuito se observa (ver figura 2.6) que la intensidad de la
Fig. 2.6 Cortocircuito en generador en vacío, sin transitorio de directa
corriente decae exponencialmente hasta estabilizarse, siendo la rapidez de caída diferente en los
primeros ciclos después de ocurrido el cortocircuito, y después de varios ciclos hasta su
estabilización.
Lo anterior quiere decir que el generador presenta diferentes reactancias a partir de que ocurre
el cc. hasta la estabilización de ésta, lo que hace necesaria la definición de tres corrientes de
cortocircuito a partir de la figura 2.6.
XdEgao
I /2
, dXEgbo
I
/2
y ''" /2
0XdEg
cI
donde:
Eg – valor efectivo fem. generada en vacío entre neutro y tierra..
Xd – Reactancia sincrónica.
X d - Reactancia transitoria.
X d - Reactancia subtransitoria.
I – Valor efectivo intensidad de corriente simétrica en estado estable.
I - Valor efectivo intensidad de corriente simétrica transitoria.
I - Valor efectivo intensidad de corriente simétrica subtransitoria.
Este comportamiento se explica debido a que el flujo de las corrientes de cortocircuito que
circulan por el estator de la máquina inducen altas corrientes en los enrollados compensadores
del generador y las espiras del rotor que se opone a que el flujo de las corrientes de cortocircuito
penetre en el rotor y deben inicialmente cerrar por un recorrido de poco hierro o sea de baja
reactancia, hasta que finalmente penetran ambos circuitos y se llega al estado estable.
9
De lo antes visto se concluye que la máquina sincrónica presenta tres tipos de reactancias, cuyos
valores típicos en por unidad se dan a continuación.
Reactancia subtransitoria X d = 0.09 pu
Reactancia transitoria X d = 0.15 pu..
Reactancia sincrónica X d = 1.2 pu.
y dependiendo del momento en que se quiere calcular el valor efectivo de la corriente simétrica
de cortocircuito se utilizará para el generador sincrónico el circuito equivalente mostrado en la
figura 2.7.
X
X= Reactancia Subtransitoria, Transitoria o Sincrónica.
Eg
Figura 2.7 Circuito equivalente del generador.
Cálculo de cortocircuitos trifásicos en SEP.
Este tipo de cortocircuito es el menos frecuente, las causas principales pueden ser:
1.- El olvido de retirar las conexiones de tierra de seguridad cuando se concluye algún trabajo
para el cual se ha solicitado la correspondiente vía libre, lo que origina un cortocircuito
trifásico.
2.- En el caso de una red soterrada con cables trifásicos una falla no eliminada a tiempo puede
quemar el aislamiento y propagarse hasta unir las tres fases.
Cálculos manuales. Suposiciones.
En el caso de cálculos manuales, para simplificar, se pueden hacer las siguientes suposiciones:
1.- Que el sistema estaba sin carga antes de ocurrir el cc., es decir se desprecian las corrientes de
prefalla.
2.-Antes del cc. el sistema estaba en estado estacionario.
Estas dos suposiciones permiten, si es necesario, sustituir dos o mas generadores por uno
equivalente, ver figura 2.8, pues de ellas se desprende que todas sus fuerzas electromagnéticas
(fem) son iguales y están en fase. Lo anterior es válido pues las intensidades de corriente de
prefalla normalmente son despreciables comparadas con las corrientes de cortocircuito.
3.-Se desprecian las resistencias en todos los cálculos, lo que conduce a resultados
conservadores, pero tienen la ventaja de que hacen aritméticos los cálculos. Esto es válido pues
para los valores de voltajes de transmisión (superiores a 110 kV) los valores de reactancias de
los elementos del sistema son superiores a las resistencias como se ve en la tabla 1.
Relación típica X/R
Generadores 20/1
Transformadores 10/1
Líneas 10/1
Tabla 1 Valores típicos de relación X/R de elementos de los SEP.
10
50 MVA
Xd1” .eqdX
100 MVA
Xd2”
250 MVA
100 MVA
Xd3”
Fig. 2.8 Grupo de generadores y generador equivalente
Representación de un cc. trifásico en un sistema eléctrico.
Barra ficticia
a Ua
Zf Ia
b Ub
Zf Ib
c Uc
Zf Ic In=0
Fig. 2.9 Representación de un cc. trifásico en un punto de un SEP.
En la figura 2.9 se muestra la forma de considerar un cc. trifásico en un punto de un SEP, donde
se suponen barras ficticias en el punto de ocurrencia del mismo, se señalan las corrientes de
cortocircuito en cada fase como corrientes que salen de las barras ficticias y se señalan los
voltajes desde el punto de falla a la referencia o neutro en cada fase como Ua, Ub, y Uc. Se ha
considerado que existe una impedancia de falla representada por Zf. En este caso es necesario
calcular las corrientes de cortocircuito y los voltajes al neutro en el punto de falla y con
posterioridad calcular como se distribuyen las corrientes de cc. por las diferentes ramas del
sistema, para lo cual se puede proceder analizando cuáles son las condiciones de frontera en el
punto de falla.
Como la falla es balanceada entonces:
Ia + Ib + Ic = 0 por lo que In = 0
y los voltajes al neutro en el punto de falla se calculan como:
Ui = Zf Ii i= a, b o c, donde Ui= 0 , si no existe impedancia de falla.
Debido a que el sistema permanece balanceado en condiciones de cc. se puede analizar como se
hace durante las condiciones de prefalla representando una sola fase pues los resultados de las
otras dos fases serán iguales pero desfasadas 120 grados.
Para ejemplificar los pasos a seguir para la solución manual se analizará un caso sencillo como
el mostrado en la figura 2.10.
Pasos a seguir en la solución manual:
1.- Seleccionar las bases de potencia y voltaje y expresar el circuito en pu. En el ej. se toma
como base de potencia 125 MVA y 10 kV en el primario del transformador T2.
11
2.-Dibujar el diagrama de impedancias de la red, reducirlo entre el nodo de falla y la referencia.
j0.15 j0.075 j0.15 j0.075
0.1j
0.1j 0.1j j0.0333
j0.0333
3
j0.0333 3
j0.108
j0.101 3
j0.033 3
j0.1831
Figura 2.11 Reducción del diagrama de impedancias del sistema figura 2.10
3.-Calcular la corriente de cortocircuito ,suponiendo el voltaje de la fuente equivalente como
Upf3= 1 .0 ,
Icc= 1 101.0/0 j =-j9.9pu
Los pasos para resolver el ejemplo utilizando la matriz impedancia de barra y el teorema de
Thevenin deben ser:
Xd”+Xt=j0.15 pu
1Eg y=-j6.67pu 2 Eg
Xd”+Xt= j0.075 pu
y=-j13.33pu
6.3/120 kV
10.2/120 kV
1 X12=j0.1pu 2
y13= -j10pu
y12=-j10pu y13= -j10pu
X13=j0.1 X23= j0.1pu
3
Referencia
Fig. 2.10 Red sencilla de tres nodos.
12
1.- Formar la matriz admitancia de barra (Yb) por simple inspección.
La matriz impedancia de barra (Zb) no puede formarse a partir de los valores de las
impedancias de la red, es necesario formar primero la matriz (Yb), que sí se forma por
simple inspección y después invertirla para formar la matriz (Zb) .
La matriz (Yb) de la red en este caso será de dimensiones 3x3 y simétrica de manera que se
podrá representar como:
(Yb) =
333231
232221
13º1211
YYY
YYY
YYYY
Donde Yii =Suma de todas las admitancias conectadas al nodo i. = Y propia.
Yik= Yki= -yik = admitancia entre los nodos i y k con signo cambiado, lo que
resulta del convenio de signos adoptado para las inyecciones. Se consideran
positivas si entran al nodo y viceversa.
Cálculo de las admitancias de las distintas ramas.
Y12=1/j0.1=-j10pu, en este ej. Y12=Y13=Y23=-(-j10) = j10 pu. Y de la misma manera
Y11= -j(6.67 + 10 + 10)= -j26.67 pu., Y22= -j(13.33 + 10 + 10)=-j33.33 p.u,
Y33=-j(10 + 10)= -j20 pu.
La matriz (Yb) quedará entonces como:
(Yb)pu =
201010
1033.3310
101067.26
Si se invierte la matriz (Yb) se obtiene la matriz (Zb) que en este caso resulta:
(Zb)= pu
101.0047.0056.0
047.0055.0039.0
056.0039.0073.0
Es importante notar que (Zb) también es simétrica, y llena, normalmente (Yb) es una matriz
dispersa con pocos elementos diferentes de cero. Todos sus elementos son positivos pues son
impedancias, y sus términos no tienen un significado físico directo, como es el caso de la matriz
(Yb).
13
Solución del sistema aplicando superposición y el teorema de Thevenin .
E1” E2”
1 2
3
-Upf3
+ Upf3
- If3
Figura 2.12 Aplicación de Thevenin para cálculo de cortocircuitos
A partir del esquema de la figura 2.12 se observa que si la fuente de voltaje de valor –Upf3 se
pone en cortocircuito (cerrando el interruptor s), no hay cc pues la fuente de voltaje +Upf3 es el
voltaje normal de prefalla del nodo 3 y se tendrán las condiciones de prefalla..
Si se abre el interruptor s, como Upf3-Upf3=0, el voltaje entre el nodo 3 y la referencia es cero y
esto equivale a un cc trifásico efectivo en el nodo 3, esta condición de cc. puede analizarse por
superposición como el resultado de analizar conectadas todas las fuentes a excepción de –Upf3
(condición de prefalla) y sumar los resultados obtenidos con los de considerar conectada
solamente la fuente –Upf3 (que corresponderán con las variaciones que hay que producir en las
condiciones de prefalla para obtener las de cortocircuito.
En la figura 2.12 si se considera solo la fuente –Upf3.la intensidad de corriente que sale del
sistema en el nodo 3 debido a la única fuente conectada será –If3, y para esta condición la
ecuación del sistema aplicando el método nodal queda como:
))(()()(0
0
3
2
1
3
UYbI
Upf
U
U
Yb
If
De donde despejando el vector de los voltajes se obtiene:
(U)= (Yb)-1
(I) = (Zb) (I).
3
333231
232221
131211
3
2
1
0
0
IfZZZ
ZZZ
ZZZ
U
U
U
Si se efectúan las operaciones matriciales se obtiene:
14
3131 IfZU , 3232 IfZU y -Upf3 = -Z33 If3
o If3 = Upf3/Z33 (2)
Donde el vector de los voltajes calculados dará los cambios en los voltajes de prefalla de los
nodos 1, 2 y 3 debidos al cortocircuito en el nodo 3 e If3 será la intensidad de la corriente que
sale del nodo 3 debido a la caída a cero del voltaje en ese nodo debido al cortocircuito o sea se
corresponderá con la corriente de cortocircuito.
Si se compara la expresión de If3 obtenida con la obtenida con anterioridad para calcular
corrientes de cc trifásicos aplicando el teorema de Thevenin:
Icc = Upf3/ Zthev3
llegándose a la conclusión de que en la matriz impedancia de barra, Zii= Zthevi. Por lo que una
vez que se obtenga la matriz (Zb) del circuito la corriente de cc que sale del nodo fallado hacia
la referencia se puede obtener fácilmente por la expresión (2).
Normalmente es de mayor importancia calcular las corrientes que circulan por las diferentes
ramas del circuito para las condiciones de cc. en una barra dada si se conocen:
- Los voltajes de prefalla de los nodos del sistema.
- Los cambios de los voltajes debido al cortocircuito.
Si se aplica superposición y se suman ambos voltajes se obtienen los voltajes de los nodos en
condiciones de cortocircuito, de manera que:
33
3232
3131
3
2
1
3
2
1
3
2
1
UpfUpf
IfZUpf
IfZUpf
Upf
U
U
Upf
Upf
Upf
U
U
U
En la expresión anterior, el primer vector es el de los voltajes en los nodos durante el cortocircuito,
el segundo es el vector de los voltajes de prefalla y el tercero son las variaciones en los voltajes de
prefalla debido al cortocircuito. De la expresión matricial anterior se puede, de manera general,
escribir:
Un = Upfn – Znk (Upfk/ Zkk) (3)
La expresión 3 nos da el voltaje en el nodo n cuando ocurre un cortocircuito en el nodo k.
Donde: Znk – Impedancia transferencial entre el nodo n y el nodo fallado k.
Zkk – Impedancia propia del nodo k= Zthev. Medida entre el nodo k y la referencia.
Solución del problema.-
Icc3 = Upf3/Z33 = 1 0 / j0.101 = -j9.9 pu.
15
-j9.9 x 1203
1050 3
x
x = 2382 A.
Ib
Nivel de cortocircuito
MVAf = MVAxx 8.453382.21103
Voltaje en nodos del sistema en condiciones de cortocircuito.
U1 = Upf1 – Z13 33
3
Z
U pf= 3131 ccpf IZU = 1- j0.056(-j9.9)= 0.45 pu
= 0.45 x 120/ 3 = 31.17 kV al neutro – 54 kV entre líneas.
U2 = .6.63ln72.36
33
3
232 líneaskVentreeutrokVaZ
UZU
pf
pf
U3 = 0
Cálculo de las intensidades de corrientes por las líneas en condiciones de cortocircuito trifásico en
el nodo 3.
Del método nodal se conoce que:
Iik = yik (Ui – Uk)
De donde:
AkVMVAI
AjxjI
pujjUUyI
bbb 56.2403/
4.19256.2408.0
8.0)45.053.0(10)(
21
122121
.12753.5
10835.445.010)(
23
311313
AjpujI
AjpujxjUUyI
Cálculo de las contribuciones de los generadores.
Aplicando la primera ley de Kirchhoff en los nodos con generación, de acuerdo con la figura 2.10
IG1 = -j4.5 – (-j0.8) = -j 3.7 pu. IG2= -j5.3 + (-j0.8) = -j 6.1 pu
Lo que calculado en amperes equivale a:
IG1 = -j 3.7 x3.63
50000 = -j16954 A IG2 = -j 6.1 x A
5.103
50000
Es importante notar que todas las operaciones con los voltajes y las corrientes deben realizarse con
las magnitudes en por unidad, luego hay que ser cuidadoso al expresar las magnitudes en volts y
amperes de acuerdo a las bases correspondientes.
El ejemplo que se ha resuelto ha permitido conocer el régimen transitorio de emergencia debido a
un cortocircuito en una red eléctrica lo que implica conocer:
1.- La intensidad de la corriente de cortocircuito total.
16
2.- Los voltajes en los nodos durante el cortocircuito.
3.- Las intensidades de las corrientes por las líneas.
4.- Las contribuciones de los generadores.
En la realidad, estos cálculos se hacen en computadoras digitales, utilizando la matriz impedancia
de barra o ( Zb).
Un diagrama de flujo para calcular regímenes de operación bajo condiciones de cortocircuito
trifásico sería el siguiente:
Leer datos de los nodos y ramas
Datos de nodos. Relación de nodos,
Xgen, Upf, Carga/nodo, Zf, Pbase,
Leer datos de rama.
Nodo inicio, Nodo fin, R,X,B,Ub
Leer nodo en que ocurre el cc.
Formar matriz (Yb) a partir de los
datos de ramas,
Cálculo de matriz (Zb)= (Yb)-1
Calculo de Icc en el nodo fallado como
Icci=Upfi/Zthevi
Cálculo del voltaje en los nodos de
acuerdo a la expresión (3).
Cálculo de las transferencias en las
líneas conocidos los voltajes en los
terminales y su susceptancia.
Cálculo de las contribuciones de las
plantas generadoras aplicando 1ra ley
de Kirchhoff en los nodos generadores
Impresión de
resultados
17
Tema III .- Representación de los sistemas eléctricos para el cálculo de fallas asimétricas.
Introducción.-
Los cortocircuitos trifásicos no producen desbalances entre fases en los SEP., sin embargo
pueden existir otros tipos de cortocircuitos que implican contactos entre dos fases o una sola fase y
tierra, lo que genera un desbalance en el sistema. En estos casos se acostumbra a analizar el
sistema mediante el método de las componentes simétricas. Este método establece que para redes
desacopladas se puede plantear que:
Ui = Zi Ii , i = 0, 1, 2 , lo que indican secuencia cero positiva o negativa.
Lo anterior quiere decir que corrientes de una misma secuencia, circulando por impedancias de
dicha secuencia, provocan caídas de voltaje de dicha secuencia solamente .
El objetivo del presente tema es analizar porque son diferentes las impedancias de secuencia de los
diferentes elementos de los SEP. y estudiar los circuitos equivalentes de las diferentes secuencias
de cada elemento.
Desarrollo.- Según el método de las componentes simétricas un sistema de tres fasores desbalanceados puede
descomponerse en la suma de tres sistemas de fasores, dos balanceados de secuencias positiva y
negativa y un sistema de fasores del mismo módulo en fase llamado de secuencia cero u
homopolar como se muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1 Sistema de fasores desbalanceados y sus componentes simétricas
Donde:
El sistema de fasores de secuencia positiva coincide con la secuencia del sistema original.
El sistema de fasores de secuencia negativa tiene secuencia contraria al original.
El sistema de secuencia cero tienen la misma fase y módulo.
El sistema de fasores desbalanceados se relaciona con las componentes de secuencia según la
matriz de transformación de componentes simétricas.
C C B A B C
A = A + A +
B B C
Sistema fasores Secuencia (+) Secuencia (-) Secuencia (0)
Desbalanceados.
18
(I) = (S) (Is) (3.1)
Que desarrollado en forma matricial queda como:
)2.3(
1
1
111
2
1
0
2
2
a
a
a
c
b
a
I
I
I
aa
aa
I
I
I
Donde a= 1 866.05.0120 j , 866.05.012012 ja
( I ) = Vector de las tres corrientes desbalanceadas.
(Is) = Componentes simétricas de las corrientes.
(S) = Matriz de las componentes simétricas .
Despejando en 3.1 se tiene:
(I s)= (S)-1
(I) (3.3)
Lo que desarrollado en forma matricial queda como:
)4.3(
1
1
111
3
1
2
2
2
1
0
c
b
a
a
a
a
I
I
I
aa
aa
Ia
I
I
Si se desarrollan las operaciones de producto de (3.4) se obtienen las expresiones:
Ia0 = )(3
1cba III , Ia1 = )(
3
1 2
cba IaaII , Ia2 )(3
12 cba aIIaI
Análisis de las impedancias de secuencias de los diferentes elementos de los SEP.
Sobre la base de las características particulares de las componentes simétricas , así como de lo ya
visto relacionado con el cálculo de parámetros de líneas de transmisión queda claro que las
impedancias de secuencia + y – de los elementos lineales, bilaterales y pasivos son iguales entre sí
, por ser independiente de la secuencia del sistema de voltajes aplicado. Sin embargo las
impedancias de secuencia cero difieren de las de secuencia positiva y negativa porque el campo
magnético asociado con la secuencia cero es diferente al asociado con la secuencia positiva y
negativa. Por ej. en las líneas de transmisión si éstas se alimentan con voltajes de secuencia cero,
las concatenaciones de flujo por unidad de corriente en cada fase serán mayores que si se
alimentan con voltajes de secuencia positiva y negativa, (partiendo de módulos iguales), pues los
19
flujos en cualquier punto alrededor de los conductores se sumarán en fase, lo que implica que sean
mayores las impedancias de secuencia cero que las positivas y negativas.
Sin embargo en el caso de las máquinas rotatorias las impedancias de secuencia son todas
diferentes lo que implicará que tenga diferentes impedancias para cada secuencia, cuestión que se
verá a continuación.
Líneas de transporte de la energía eléctrica.- En el caso de las líneas de transporte de la energía
eléctrica, las concatenaciones de flujo por unidad de corriente alrededor de un conductor
cualquiera son iguales si se alimentan con voltajes de secuencias positiva o negativa por lo que en
este caso:
Z1 = Z2.
Sin embargo la impedancia de secuencia cero es mayor y depende de si la línea tiene o no cables
protectores. En caso de que los tenga, las corrientes inducidas en ellos producirá un efecto que
tiende a disminuir las concatenaciones de flujo por unidad de corriente en los conductores de fase,
por lo que disminuirá la impedancia de secuencia cero de la línea, en general se puede plantear que
la impedancia de secuencia cero será entre 2 y 3.5 veces mayor que la impedancia de secuencia
cero para líneas simple circuito y entre 3 y 5.5 veces la impedancia de secuencia positiva para
líneas doble circuito. El límite inferior corresponde a las líneas con cables protectores y el superior
a líneas sin cables protectores.
Transformadores.- La resistencia de los transformadores grandes es despreciable comparada con
la reactancia, y esta es fundamentalmente la reactancia de filtración para las condiciones de trabajo
correspondientes con los cortocircuitos, por lo que si se desprecian las pequeñas diferencias en la
reactancia de filtración a las diferentes secuencias, que dependen del tipo de núcleo magnético se
podrá suponer que X1=X2=X0.
Máquinas sincrónicas.- Las máquinas rotatorias, sean sincrónicas o no son elementos activos, por
lo que sus impedancias a las tres secuencias son diferentes y según lo visto en el cálculo de cc.
trifásicos en máquinas sincrónicas presentan tres impedancias a la secuencia positiva, la
subtransitoria, la transitoria y la sincrónica.
Impedancia de secuencia negativa.- Si se aplica a los enrollados de la máquina sincrónica que se
mueve a velocidad sincrónica un sistema de voltajes de secuencia negativa y frecuencia de 60 Hz,
éste producirá dentro de la máquina un flujo rotatoria que se mueve a velocidad sincrónica
contraria al movimiento del rotor, por lo que inducirá en los enrollados amortiguadores y del rotor
corrientes inducidas de doble frecuencia que se oponen a que el flujo del estator penetre en el
campo y en los enrollados compensadores teniendo un recorrido fundamentalmente por aire, muy
parecido al que se produce en el caso subtransitorio, por lo que la reactancia de secuencia negativa
corresponderá en valores con la subtransitoria de secuencia positiva.
Impedancia de secuencia cero.- Si se aplica a los enrollados de la máquina sincrónica un sistema
de voltajes de secuencia cero, como los enrollados de las tres fases están ubicados espacialmente a
120 grados uno del otro y las corrientes están en fase, el flujo que se produce internamente en la
máquina debe ser muy pequeño por lo que las concatenaciones de flujo por unidad de corriente en
20
este caso serán las menores de todas y el valor de reactancia de secuencia cero de la máquina
sincrónica será la de menor valor.
A continuación se muestran valores típicos de reactancias en pu. de generadores sincrónicos de dos
polos.
Secuencia positiva
.2.1
.15.0
.09.0
puX
puX
puX
d
d
d
, Secuencia negativa .09.02 puXX d
Secuencia cero .03.00 puX .
Como resumen de lo visto se puede concluir que las impedancias de secuencias positiva y negativa
de los elementos lineales bilaterales y pasivos son iguales entre si, no sucediendo así con la
secuencia cero. Para los circuitos activos, como el caso de las máquinas rotatorias, las tres
impedancias de secuencias son diferentes, existiendo además, debido al efecto de reacción de
armadura, tres impedancias de secuencia (+), (-) y (0).
Circuitos eléctricos equivalentes de las líneas de transmisión.
Como se conoce, las líneas de transmisión, en condiciones balanceadas, se pueden representar
como circuitos equivalentes tipo pi o simple impedancia, de manera que los circuitos equivalentes
para la línea quedarán como se muestra en la figura 3.2.
Zi Zi
j Bi/2 j Bi/2
neutro o tierra neutro o tierra
figura 3.2 Circuitos equivalentes para las diferentes secuencias de las líneas
de transmisión i = 0, 1, 2.
Máquinas rotatorias.-
Circuito equivalente de secuencia positiva:
Ia1
E Xd Ua1 Donde Xd = ddd XóXóX
Neutro E= ddd EóEóE .
Las ecuaciones de la segunda ley de Kirchhoff para las redes de secuencia (+) quedarán como:
21
Ua1= dd XaIE 1 , Ua1 = dd XaIE 1 , Ua1 = dd XIaE 1 .
Circuito equivalente de secuencia negativa:
Ia2 X2
No hay fem pues las máquinas no generan
voltajes de secuencia negativa. De la red de
Ua2 secuencia negativa podemos plantear:
Ua2 = - Ia2 X2
Neutro
Circuito equivalente de secuencia cero.
En las redes de secuencia positiva y negativa la barra de referencia era el neutro , pues como son
representaciones de sistemas balanceados, no circulará corriente entre neutro y tierra y ambos
estarán en estas redes al mismo potencial, sin embargo en el caso de la red de secuencia cero si se
aplica al sistema una triada de voltajes de secuencia cero circulará corriente entre neutro y tierra y
la referencia en este caso va a ser la tierra y no el neutro, y el circuito equivalente de secuencia
cero dependerá entonces también de cómo este conectado el neutro del generador.
Además de lo antes mencionado si por los enrollados de un generador están circulando corrientes
de secuencia cero como se indica en la figura 3.3, entonces entre tierra y neutro deberá circular una
intensidad de corriente igual a 3 veces la que circula por cada fase, pero como la red de secuencia
es una representación monofásica la corriente que circulara por la red de secuencia cero será Ia0 y
la impedancia entre neutro y tierra deberá representarse por 3 veces su valor para que nos de
correctamente la caída entre neutro y tierra .
Ia0
p
Xg0
3Zn Ua0
Zn
Xg0 p
Tierra
Fig. 3.3 Diagrama de secuencia cero de generador conectado en Y con neutro conectado
a tierra a través de una impedancia Zn.
Según el valor y tipo de puesta a tierra se pueden tener los siguientes casos:
Zn = Rn + j Xn , Zn= Rn , Zn = jXn, Zn= 0 y Zn= .
En cualquiera de estos casos Zo = Xgo + 3Zn.
22
Zn= infinito (neutro aislado), Ia0= 0
entonces el circuito equivalente queda :
:
Ia0 p Tierra
Si Zn = 0
Xgo
Si el generador esta conectado en delta entonces:
Ia0 Xgo
p
p
Figura. 3.4 Red de secuencia cero generador conectado en delta.
De lo visto se puede concluir que sólo la red de secuencia positiva tiene fem. y que la red de
secuencia cero depende de la conexión de la máquina.
Diagramas de secuencia de transformadores de dos devanados.-
Secuencia positiva y negativa.
Normalmente se desprecia la rama de magnetización y el circuito equivalente se representa como
una simple impedancia como se muestra en la figura 3.5.
p Xt q
Uaip Uaiq i= 1, 2
p q
Neutro
Figura 3.5 Diagrama de secuencia positiva y negativa de un transformador de dos
devanados.
Secuencia cero.-
La red de secuencia cero de los transformadores dependerá del tipo de conexión que estos tengan,
se analizarán distintos tipos de conexiones.
Xt
p q p q
3Zn.
3Zn
Tierra
Fig. 3.6 Conexión Y-D conectado a tierra a través de impedancia
23
Es conocido que para que por un enrollado del transformador circule una determinada corriente es
necesario que exista su reflejo en el otro enrollado, la corriente de magnetización es la única
corriente que circula por el primario y no tiene su reflejo en el secundario del transformador, por lo
que en el caso de las corrientes de secuencia cero para que circule por un enrollado tiene que poder
circular por el otro. En el caso del transformador cuya conexión se muestra en la figura 3.6 por el
primario podrá circular corriente de secuencia cero pues tiene su retorno por tierra, y estas
corrientes inducirán en el secundario voltajes de secuencia cero que producen corrientes que se
quedarán circulando dentro de la delta del secundario por estar en fase por lo que no saldrán a
línea, de ahí que el circuito equivalente que asegura que circule secuencia nula en línea en el
primario y no en el secundario es el que se muestra en la figura 3.6.
p q
Xt Xt
p q Ia0
Figura 3.7 Conexión delta delta y circuito equivalente de secuencia cero.
Si la conexión es delta delta solo podrá circular secuencia cero en una fase cuando en la del
enrollado acoplado con el también circule , pero nunca podrá circular secuencia cero en línea ni en
el primario ni en el secundario por lo que el circuito equivalente deberá estar abierto entre primario
y secundario como se muestra en la figura 3.7.
Xt
Xt
p q p q
Tierra
Fig. 3.8 Conexión Y-D y red de secuencia cero correspondiente.
En este caso como el neutro de la conexión Y esta aislada de tierra no podrá circular secuencia
cero por la fase del primario y por lo tanto tampoco circulará en el secundario y el circuito
equivalente de la secuencia cero estará abierto no permitiendo la circulación en línea ni en fase de
las corrientes de secuencia cero.
Xt Iao
p q p q
Uao
Fig. 3.9 Conexión Y-Y aterrada en primario y secundario y red de secuencia cero.
24
En este caso podrá circular por ambas fases la secuencia cero pues tiene retorno por tierra y por
tanto también habrá circulación en línea, por lo que la red equivalente de secuencia cero tiene
continuidad para la secuencia cero entre ambos enrollados.
Redes de secuencia para transformadores de tres enrollados.
Al igual que en el caso de los transformadores de dos devanados, los de 3 devanados son circuitos
estáticos por lo que sus redes de secuencia (+) y (-) son idénticas e independientes del tipo de
conexión, como se muestra en la figura 3.10.
Xp Xs
p s
p s
Xt
t t
Neutro
Fig. 3.10 Transformador de tres enrollados y circuitos equivalentes de secuencia (+) y (-).
Los valores de las impedancias Xp, Xs y Xt se obtienen a partir de pruebas de cortocircuito en el
transformador, a partir de las cuales es posible medir las impedancias transferenciales Xps. Xpt y
Xst y a partir de ellas se pueden obtener Xp, Xs y Xt.
P p s
s Xps= Xp + Xs Xst= Xs + Xt
t t
p s
Xpt = Xp + Xt
t
Fig- 3.11 Pruebas de cortocircuito a transformador de tres enrollados
A partir del sistema de ecuaciones obtenidos de las pruebas señaladas en la figura 3.11 se pueden
obtener los valores de Xp. Xs y Xt quedando estas como:
Xp= ½ (Xps + Xpt - Xst)
Xs =½ (Xps+ Xst -Xpt)
Xt= ½ (Xpt + Xst –Xps).
25
Los valores de Xp, Xs y Xt se deben dar en pu., en el caso de transformadores de dos devanados
los MVA del primario y del secundario son iguales, pero en un transformador de tres devanados en
general son diferentes los MVA de los enrollados. A continuación se verá como hay que proceder
en estos caso para expresar las reactancias del transformador en las mismas bases con un ejemplo.
Obtener el circuito equivalente del transformador de tres devanados cuyos datos aparecen en la
figura. 3.12.
p s Xps = 7% en bases 15 MVA ,66 kV.
15 MVA 10 MVA Xpt = 9% en 15 MVA, 66 kV.
66 kV 13.2 kV Xst = 8% en 10 MVA y 13.2 kV.
5 MVA
t 2.3 kV .
Znp Zns
Figura 3.12 Transformador de tres enrollados
Si se escogen bases de 15 MVA y 66 kV entonces refiriendo todo a esas bases.
Xst = (8/100) (15/10)= 0.12 pu.
Calculando, según las expresiones ya vistas Xp, Xs y Xt..
Xp= j/2 (0.07+0.09-0.12) = j0.02 pu. , Xs= j/2 (0.07+0.12-0.09)= j0.05 pu.
Xt = j/2 (0.09+0.12-0-07)= j0.07 pu.
La red equivalente de secuencia cero dependerá de cómo estén conectados los enrollados, en este
caso:
Znp Xp Xs 3Zns
p s
Znp Zns
t Xt
p s
t
Fig. 3.13 Transformador de tres enrollados y circuito equivalente de secuencia cero.
Para esta conexión la secuencia nula puede circular en el primario y el secundario en la fase y en
línea, y en el terciario en la fase, por lo que el circuito equivalente queda como se muestra en la
figura 3.13.
26
3Znp Xp Xs
p s p s
Xt
t t
Znp
Fig. 3.13 Diagrama de secuencia cero de transformador de tres enrollados.
Queda al lector el análisis del resto de las posibles conexiones aunque son válidas las siguientes
recomendaciones:
1.- El punto común del circuito equivalente del transformador de 3 devanados es ficticio por lo que
no se puede desconectar ni conectar nada a él.
2.-Todos los devanados conectados en delta deben conectarse a la referencia para que la secuencia
cero circule dentro de la delta.
3.-Entre el punto de conexión de cualquier devanado conectado en delta y la referencia no puede
conectarse ningún elemento del circuito, pues equivaldría, físicamente a suponerlo conectado
cerrando la delta.
27
Tema IV.- Fallas transversales.
Introducción.-
En el tema anterior se estudiaron las herramientas necesarias para analizar cortocircuitos que
producen desbalances en los SEP. Este tipo de fallas se puede dividir en dos grupos:
- Fallas transversales: cc. monofásico a tierra, bifásico a tierra y bifásico.
- Fallas longitudinales (conductores abiertos) una o dos fases.
En todos los casos anteriores se producen desbalances en el sistema y es necesario analizar el
régimen transitorio resultante apoyándonos en el método de las componentes simétricas.
Desarrollo.-
Supongamos un sistema eléctrico cualquiera del que se tienen sus tres redes de secuencia reducidas
por el teorema de Thevenin entre el punto en que ocurre el cortocircuito (p) y la referencia como se
muestra en la figura 4.1.
Upf X1 Ua1 X2 Ua2 X0 Ua0
p p p
Ia1 Ia2 Ia0
Ua1= Upf- j X1Ia1 Ua2= -j X2Ia2 Ua0= -j X0Ia0
Fig. 4.1 Redes de secuencias equivalentes de Thevenin entre el punto de falla y la
referencia.
Las expresiones de los voltajes de secuencia en forma matricial pueden ser escritas como:
2
1
2
1
2
1
0
00
00
00
0
0
Ia
Ia
Iao
X
X
Xo
Upf
Ua
Ua
Ua
(4.1)
pues se ha supuesto que no existe acoplamiento entre las secuencias, por lo que los términos
transferenciales en la matriz de impedancias son cero.
El objetivo que se persigue es obtener las corrientes de cortocircuito conocido el voltaje de
prefalla y las impedancias de secuencia de Thevenin, para lo cual es necesario obtener las
componentes simétricas de la corriente de cortocircuito. Ia0, Ia1 e Ia2.
28
Condiciones de frontera en el punto de cortocircuito. Caso de un cortocircuito monofásico a tierra
en la fase A.
a
Ia Ua Ua, Ub, y Uc son voltajes
medidos desde el punto de
b falla en cada fase a tierra.
Ib Ub
c
Ic Uc
Figura 4.2 Condiciones de frontera para cortocircuito monofásico a tierra.
Si ocurre un cortocircuito a tierra en la fase a, en el punto en que ocurre la falla se pueden plantear
las siguientes condiciones de frontera:
Ib=Ic= 0, por ser fases sanas, sin fallas, Ua = 0, si el cortocircuito es efectivo,
(Zf=0).
Si se utilizan las ecuaciones de componentes simétricas para calcular las componentes simétricas
de las corrientes de cortocircuito entonces:
0
0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
Ia
aa
aa
Ia
Ia
Iao
(4.2)
Obsérvese que las ecuaciones anteriores relacionan las componentes simétricas de la corriente de
cortocircuito con el sistema de corrientes desbalanceadas de falla, que en este caso son Ia, Ib=0 e
Ic=0.
Si se desarrolla el sistema de ecuaciones 4.2, se obtiene:
Iao=Ia1=Ia2= Ia3
1 (4.3)
Es decir que cuando ocurre un cortocircuito en una red eléctrica, las componentes de secuencias
(+), (-) y (0) de las corrientes son iguales. Si se utiliza esta igualdad y se re escriben las ecuaciones
4.1, se obtiene:
29
1
1
1
2
1
2
1
0
00
00
00
0
0
Ia
Ia
Ia
X
X
Xo
Upf
Ua
Ua
Ua
(4.4)
Si se efectúan las operaciones matriciales indicadas en (4.4) entonces:
12
11
1
2
1
0
0
IaX
IaXUpf
IaXo
Ua
Ua
Uao
(4.5)
Y como ya se había dicho el objetivo era obtener las componentes simétricas de las corrientes de
cc. en función de valores conocidos, en este caso Ia1, lo más conveniente es sumar las tres
ecuaciones con lo que se obtiene:
Uao + Ua1 + Ua2 = Upf – (Xo + X1 +X2) Ia1 (4.6)
y como Ua = Uao +Ua1 +Ua2 = 0 es posible entonces despejar Ia1 de 4.6, quedando:
Ia1 = 21 XXXo
Upf
(4.7)
Upf= Uthev.
Como Ia1= Ia/3, entonces la corriente total de cortocircuito será 3 Ia1. De manera que se han
obtenido las ecuaciones que permiten calcular la corriente de cortocircuito monofásico a tierra que
son:
Ia1 = Ia2= Ia0=Ia/3 , Ib=Ic=0 , Icc=Ia=3Ia1 , Ia1= 21 XXXo
Upf
.
Interconexión de las redes de secuencia para calcular las corrientes de cortocircuito monofásico a
tierra.
La manera más sencilla de recordar las ecuaciones características de los cortocircuitos asimétricos
es interconectando entre sí las redes de secuencia de manera adecuada, entre el punto de
cortocircuito y la referencia. En el caso particular analizado ¿Cuál sería esa conexión?.
Evidentemente si las tres corrientes de secuencia son iguales y la corriente de secuencia positiva se
calcula como el voltaje de prefalla entre la suma de las tres impedancias de secuencias
equivalentes de Thevenin entre el punto de falla y la referencia, la conexión deberá ser una
30
conexión serie como indica la figura 4.3, en la que se ha supuesto que Z1=Z2= j0.1pu y Zo= j
0.07pu.
Upf=1 0 Z1=j 0.1 Ua1
Ia1 Z1=j 0.1 p Ia1=Ia2=Iao
Ua2
Z1=j 0.1
Ia2 p
Iao Zo=j 0.07 Uao
Fig. 4.3 Conexión serie de redes de secuencia para calcular cortocircuitos monofásicos.
Para el ejemplo anterior si se aplica la segunda ley de Kirchhoff , se obtiene:
Ia1= .7.3)07.01.01.0(/01 pujj
La corriente de cortocircuito será 3Ia1= 3 (-j 3.7)= -j 11.1 pu..
¿Cuánto sería el valor de la corriente de cc. trifásico en el mismo punto que el monofásico antes
calculado?.
Si el cortocircuito fuese trifásico la corriente de cortocircuito sería:
Icc3 = 1 .101.0/0 pujj
En este caso sólo se utiliza la red de secuencia positiva pues este cortocircuito es balanceado.
Cálculo del voltaje en los puntos de falla.
La expresión para calcular los voltajes desbalanceados en el punto de cc es:
(U) = (S) (Us). (4.8)
En las redes de secuencia (+), (-) y (0) se tienen las siguientes ecuaciones como resultado de
aplicar la segunda ley de Kirchhoff.
Ua1 = Upf- jX1Ia1= 1-j0.1(-j3.7) = 0.63 pu.
Ua2 = -j X2Ia2 = -j 0.1(-j3.7)= -0.37 pu.
Uao= -j0.07 (-j3.7)= -0.26pu.
31
Si las expresiones de arriba se sustituyen en (4.8) se obtiene:
37.0
63.0
26.0
1
1
111
2
2
aa
aa
Uc
Ub
Ua
(4.9)
Despejando de (4.9) los voltajes Ua, Ub e Uc (voltajes de fase) en el punto fallado se obtiene:
Ua= -0.26+ 0.63- 0.37 =0 Como era de esperarse pues el cc. es monofásico en la fase a sin
impedancia de falla.
Ub= -0.26 + a2 0.63 – a 0.37 = 0.95 .8.245 pu .
Uc= -0.26 + a 0.63 – a2 0.37 = 0.95 .2.114 pu
Cálculo de los voltajes de línea en el punto fallado suponiendo que el voltaje base en esa zona es
de 121 kV.
Uab = Ua-Ub = -Ub= -0.95 pu8.245 , Uab = -0.95 (121/ )3 8.245
Uab = -66 .
Ubc=(Ub-Uc)=0.95 ,9073.12.11495.08.245 Ubc=1.73(121/ 90)3 ).
Ubc=121 kV.90 .
Uca=(Uc-Ua)=66 kV2.114 .
Nivel de cc debido a un cortocircuito monofásico.
En las redes de transmisión los cc. que provocan las mayores corrientes son los trifásicos y los
monofásicos, por ello es costumbre representar partes del sistema por los niveles de cortocircuito
que producen en una barra determinada, lo que disminuye los cálculos. Por ej. si se tiene una
industria es conveniente saber, para determinadas condiciones de trabajo, cuál es el aporte del
sistema que alimenta la industria, para no tener que considerar el sistema completo. Para el caso
considerado en los cálculos anteriores:
32
MVAcc3 = MVAxxxxIccUnom 90910)1213/10000(101103103 33
3
MVAcc1 = .100910)1213/100000(1.11110310.3 33
1 MVAxxxxxxIccUnom
De manera que para el caso del cc. trifásico el sistema puede ser representado como una fuente
con voltaje Upf y una reactancia de cortocircuito cuyo valor puede ser calculado en función de los
MVA de cortocircuito trifásico como:
Xcc3 = .)/( 2 pukVkVnomMVAcc
MVAB
B . Upf Ua1
Xcc3
En el caso de un cc. trifásico el sistema podrá representarse sólo por la red de secuencia positiva,
ahora bien si el cc. es monofásico habrá que representar el sistema por las tres redes de secuencia,
la de secuencia positiva podrá obtenerse a partir del cortocircuito trifásico en la barra en cuestión
como se mostró arriba, la red de secuencia negativa sería igual a la de secuencia positiva pero sin
fuente, sólo quedaría obtener la red de secuencia cero que se obtendrá a partir del cc. monofásico
de la siguiente manera:
Icc1 =
B
B
kV
MVA
XXX
Upf
3
1033
021 y como Upf=
kV
kVn pu.
MVAcc1 =3
3
103
10
21
3
3
B
BB
n
nkV
MVA
XoXX
kV
kV
kV , de donde despejando Xo se obtiene:
Xo=Xcco= 3 )()/)(( 21
2 XXkVkVnMVAcc
MVAB
B .
Donde resulta evidente que X1 y X2 se corresponden con la reactancia de cortocircuito de
secuencia positiva calculada a partir del cortocircuito trifásico.
Conclusiones:
En este tema se ha estudiado el procedimiento general para el cálculo de cortocircuitos asimétricos
y aplicado al caso particular del cc. monofásico. Este procedimiento consiste en:
1.- Representar el punto de cortocircuito por barras hipotéticas.
33
2.- Plantear las condiciones de voltaje y corriente en el punto en que ocurre el cc. (condiciones de
frontera) y determinar las componentes simétricas del voltaje y la corriente.
3.- Sustituir estas condiciones en la ecuación de las componentes simétricas de los voltajes y las
corrientes y despejar la componente de secuencia (+), Ia1, en función de los términos conocidos.
34
Tema V Cortocircuitos que comprenden dos fases.
Introducción.-
Como se analizó en el tema anterior, para resolver un sistema eléctrico sometido a una falla se
deben cumplir tres pasos:
1.-Representar el tipo de cc. en las barras hipotéticas.
2.-Hallar cuáles son las condiciones de voltaje y corrientes en el punto de falla y hallar las
componentes simétricas de las corrientes de cortocircuito.
3.- Sustituir estas condiciones en la ecuación:
(Us)= (Upf)-(Zs)(Is)
y despejar la componente de secuencia positiva de la corriente de cortocircuito, a partir de la cual
es posible obtener el valor de la corriente de cortocircuito.
Desarrollo.
Cortocircuitos que comprenden dos fases.
Cortocircuito bifásico.- Es el cortocircuito que provoca las menores corrientes de cortocircuito, y
se utiliza para ajustar la sensibilidad de los relés de protección contra fallas bifásicas y trifásicas.
a
Ia=0 Ua
b
Ib Ub
c Ic Uc
Figura 5.1 Representación de un cortocircuito bifásico.
De la figura 5.1 se pueden deducir las condiciones de frontera para los voltajes y las corrientes de
falla:
Ia=0 pues es una fase sana.
Ic=-Ib
Ub=Uc se ha considerado que no hay impedancia de falla.
Planteamiento de las componentes simétricas de las corrientes.
)1.5(
0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
Ic
Ib
aa
aa
Ia
Ia
Iao
35
Si se despeja en 5.1, Iao se obtiene Iao= 0)0(3
1 IbIb , resultado esperado pues el
cortocircuito no implica contacto con tierra.
Componentes simétricas de los voltajes en el punto de falla.
Uc
Ub
Ua
aa
aa
Ua
Ua
2
2
2
1
1
1
111
3
10
(5.2)
De las expresiones de la red de secuencia cero se tiene:
Uao=ZoIao= 0 pues Iao es cero.
De 5.2 se tiene que: Ua1=Ua2= .3
1)(
3
1))((
3
1 2 UabUbUaUbaaUa (5.3)
Si se despeja Ia1 e Ia2 de 5.1 se tiene:
Ia1= .)(3
1)(
3
1 22 IbaaIbaaIb , Ia2= IbaaaIbIba )(3
1)(
3
1 22
De las expresiones anteriores es evidente que Ia1= -Ia2 (5.4)
A partir de 5.3 y 5.4 se hace evidente que para que se cumplan esas condiciones es necesario
conectar las redes de secuencia positiva y negativa en paralelo como se muestra en la figura 5.2.
Ua1 Ia2
Upf X1=0.1j X2=0.1j Ia2
P P
Ia1
Fig. 5.2 Conexión paralelo de redes de secuencia positiva y negativa.
Cálculo de la corriente Ia1.-
Para los valores particulares de impedancias supuestos en la figura 5.2, si se aplica la segunda ley
de Kirchhoff se tiene:
36
Ia1=- Ia2= pujjXX
Upf5
)1.01.0(
01
21
Hasta ahora se tienen las componentes de secuencia de la corriente de la fase a, que no tiene nada
que ver con el cortocircuito, la corriente de cortocircuito será la que circule entre las fases b y c o
sea Ib y –Ic, por lo que es necesario aplicar las componentes simétricas para a partir de Iao, Ia1 e
Ia2 obtener las corrientes de cortocircuito.
2
1
2
2
0
1
1
111
Ia
Ia
aa
aa
Ic
Ib
Ia
(5.5)
De 5.5 se tiene: Ia=0 + Ia1- Ia1 =0 cosa evidente pues la fase a es una fase sana.
Ib=0 + (a2-a) Ia1= -j 13Ia (ver figura 5.3).
Ic= -Ib = j 13Ia .
a 1201
a2=1 240 -a= 1 60
(a2-a)= j3
Figura 5.3 Suma de los fasores a2 y –a
Sustituyendo valores numéricos en las expresiones anteriores y suponiendo los valores de
impedancias de secuencia positiva y negativa indicados en la figura 5.2.
Icc2 = Ib= -j .66.835)5(3 puj , Ic= 8.66pu..
Los valores obtenidos son valores reales aunque se ha supuesto despreciable la resistencia del
sistema.
Voltajes en el punto de falla.
En las redes de secuencia positiva y negativa se puede plantear:
Ua1= Upf- Ia1Z1 y Ua2= -Ia2Z2 .
37
Sustituyendo valores suponiendo Upf=1 0 :
Ua1= 1-j 0.1(-j5)=0.5pu.=Ua2.
Uc
Ub
Ua
=
5.0
5.0
0
1
1
111
2
2
aa
aa de donde despejando se tiene Ua=0.5+0.5= 1pu.
Ub=0.5 (a2-a) = 0.5(-1)= -0.5 pu=Uc.
Si suponemos UB= 121kV, entonces:
Ua=1 .086.693
1210 kV Ub=Uc= -0.5(121/ )3 = 34.93 .180 kV.
Uab= Ua-Ub=(1-(-0.5))121/ 3 =1.5(121/ 3 = 104.79 kV.
Ubc=Ub-Uc=0.
Uca=Uc-Ua=(-0.5-1)121/ 3 = -104.79 kV.
Resumen de condiciones de prefalla y postfalla.
Sistema Uab Ubc Uca
Sano 121 0 121 120 121 120
Falla 2 104.79 0 0 104.79 180
Uca
Uab Uca Uab
Ubc
Prefalla Postfalla.
Trabajo independiente.- Demuestre que si Z1=Z2 entonces :
Icc2 = -j 32
3Icc .
38
Cálculo de cortocircuito bifásico a tierra.-
a
Ua
b
Ub
c
Uc Ic Ib
In=Icc
Figura 5.4 Condiciones de frontera para cortocircuito bifásico a tierra.
Condiciones de voltaje y corriente.-.
Ia=0
Ib + Ic= In.
Ub = Uc = 0 (pues se supone efectivo, Zf=0)
Componentes simétricas de los voltajes y las corrientes en el punto de falla.-
0
0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
Ua
aa
aa
Ua
Ua
Uao
(5.6)
de 5.6 se obtiene: Uao= Ua1=Ua2= Ua/3 pu. (5.7)
0
0
1
1
111
3
1
2
2
2
1
Ua
aa
aa
Ia
Ia
Iao
(5.8)
Desarrollando 5.8 se tiene:
Iao= )(3
1IcIb , Ia1= )(
3
1 2
cb IaaI , Ia2 = 3
1 (a
2 I b + a Ic)
Si se suman las expresiones de Iao e Ia2 se obtiene:
39
Iao + Ia2 = 1/3 ((1+a2)Ib + (1+a)Ic), y como 1+a= -a y 1+a= -a
2, entonces:
Iao+ Ia2 = 1/3(-a Ib – a2 Ic) = -Ia1 (5.9)
Para que se cumplan las condiciones dadas por las ecuaciones 5.7 y 5.9 las redes de secuencia
deben conectarse en paralelo como se muestra en la figura (5.5):
Ua1 Ua2 Uao
Upf X1=j0.1 X2=j0.1 Xo=j0.07
Ia1 Ia2 Iao
Figura 5.5 Conexión paralelo de las redes de secuencia para cc. bifásico a tierra.
Cálculo de corriente Ia1.-
Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la red de la figura 5.5, se tiene:
Ia1= pu
ZZ
ZZZ
Upf
02
02
1
Sustituyendo para el caso específico de los valores indicados en la figura 5.5:
Ia1= pujx
j
08.7
)07.01.0
07.01.01.0(
01
Pero lo que se busca es calcular la corriente de cortocircuito bifásico a tierra, o sea In o Ib+Ic por
lo que es necesario calcular previamente las corrientes de secuencia negativa y nula, Ia2 e Iao lo
que se puede hacer mediante un divisor de corriente en el paralelo entre ambas redes teniendo en
cuenta los sentidos de las corrientes Ia2 e Iao indicados en la figura 5.5.
j0.1 j0.07
Upf j0.1 Ia2 Iao
Ia1
Figura 5.5 Esquema simplificado de conexión de redes de secuencia para cc. bifásico a
Tierra.
40
Ia2= -(- j7.08 .92.2))07.01.0(
07.0j
j
j
, Iao= -(-j7.08 jpu
j
j16.4)
)07.01.0(
1.0
.
Ya se tienen las tres corrientes de secuencia, ahora el siguiente paso es calcular Ib e Ic, y su suma
será la corriente In que es la corriente de cortocircuito bifásico a tierra. Para calcular Ib e Ic se
tiene que aplicar la expresión de las componentes simétricas.
92.2
08.7
16.4
1
1
111
2
2
j
j
j
aa
aa
Ic
Ib
Ia
(5.10)
Si se efectúan las operaciones en 5.10:
Ia=0 = (j(4.16 –7.08+2.92).
Ib= j4.16 – a2 j7.08 + a j2.92= 4.16 9092.212019008.7240190 xx .
=4.16 46.153.254.313.616.49092.215008.790 jjj
Ib= -8.66 + j 6.24= 10.67 pu22.144 .
Ic= 4.16 .9092.29008.790 2 aax = 4.16 21092.23008.790
= j4.16 + 6.13 + j3.54+ 2.5´-j1.463 = 8.66+j6.24.
Ic=10.67 78.35
In= Ib+ Ic = 3Iao= j 12.48 pu.
Cálculo de los voltajes en el punto del cortocircuito.-
En la red de secuencia positiva se puede plantear Ua1= Upf- Ia1 Z1 = 1-j0.1 (0.708)
Ua1= 1-0.708=0.292 pu. y como en este caso Ua1=Ua2=Uao entonces:
41
292.0
292.0
292.0
1
1
111
2
2
aa
aa
Uc
Ub
Ua
(5.11)
Desarrollando 5.11.
Ua= 3 (0.292)= 0.876 pu = 0.876 (121/ kV2.61)3
Ub= (1+a2+a) 0.292= 0, como era de esperar.
Uc=((1+a+a2) 0.292, idem al caso anterior.
Se le deja al estudiante calcular los voltajes de línea en el punto de falla, suponiendo voltaje base
121 kV entre líneas, en este caso cuyos valores deben ser:
Uab= 61.2 0 kV ,Ubc=0 y Uca= 61.2 180 kV.
Resumen de condiciones de prefalla y postfalla.
Sistema Uab Ubc Uca
Sano 121 0 121 120 121 120
Falla 2 t 61.2 0 0 61.2 180
Cortocircuitos a través de impedancias.
Todos los cortocircuitos estudiados fueron efectivos es decir se supuso en todos los casos que
Zf=0. Estos cortocircuitos dan lugar a los valores de corrientes mas altas y por tanto son los
valores más prudentes a utilizar cuando se determinan los efectos nocivos de las corrientes de
cortocircuito. Sin embargo, hay casos, como por ej. cuando se ajustan los relés llamados de
impedancia, en que se deben considerar las impedancias de falla, ya que su no inclusión en los
cálculos puede provocar ajustes no correctos para el relevador.
En caso de que se consideren las impedancias de falla las redes de secuencia quedarán como se
muestra en la figura 5.6 para los distintos cortocircuitos.
42
Ia1
Zf
Ia1=-Ia2 Zf
Ia1= ZfZth
Upf
Ia1=
ZfZthZth
Upf
Cortocircuito trifásico Cortocircuito bifásico
Ia1
Ia2 3Zf
Ia1 Iao
Ia1=
fZZthZth
ZfZthZthZth
Upf
3
)3(0
0
Cortocircuito bifásico a tierra
Iao 3Zf
Ia1=ZfZthZthZth
Upf
30
Cortocircuito monofásico
Fig. 5.6 Formas de conectar la impedancia de falla Zf para diferentes tipos de cortocircuitos.
Secuencia (+)
Secuencia (+)
Secuencia (-)
Sec. (+)
Sec. (-)
Sec (0)
Sec.(+)
Sec (-) Sec (0)
43
Tema VI Cálculo de cortocircuitos asimétricos mediante la matriz impedancia de barra (Zb).
Introducción.- En temas anteriores se vio que los términos de la matriz ZB de secuencia positiva no tenían un
significado físico como era el caso de la matriz YB , sin embargo es posible dibujar un circuito que
ayude a interpretar las ecuaciones del método de la matriz impedancia de barra y facilitar su uso en
el cálculo de cortocircuitos en general.
Recordando lo visto para el caso de la secuencia positiva, los términos diagonales de la matriz
impedancia de barra se correspondían con las impedancias equivalentes de Thevenin de los nodos
correspondientes, mientras que los términos fuera de la diagonal o transferenciales permitían
calcular los voltajes en los diferentes nodos del sistema cuando existía un cortocircuito trifásico en
otro nodo.
Desarrollo.- Si se supone una red de tres nodos, se tendrá para ella tres matrices de secuencia, con las mismas
características vistas para el caso de la secuencia positiva, o sea los términos diagonales se
corresponderán con la impedancia de Thevenin en cada nodo para cada secuencia y serán matices
simétricas y normalmente llenas, de manera que:
i
i
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Zb
333231
232221
131211
i= 0,1,2 .
Los circuitos equivalentes para las tres secuencias, despreciando las corrientes de prefalla y
suponiendo el mismo valor de los voltajes de prefalla en todos los nodos, quedarán como se
muestra en la figura 6.1.
Upf Z12-i Z23-i
X Z11-i
Z11-1 Z22-1 Z33-1 Z22-i Z33-i
Z13-i
Z12-1 Z23-1 1 2 3
Z13-1
Uai-1 Uai-2 Uai-3
1 2 3
Ua1-1 Ua1-2 Ua1-3 i=0,2
Figura 6.1 Redes equivalentes de secuencia en función de los términos de la matriz ZB.
44
En el circuito equivalente de secuencia positiva si no hay cc. Ua1-1 = Ua1-2= Ua1-3 = Upf pues no
hay corriente de prefalla, pues se desprecian.(En caso de considerarse las corrientes de prefalla la
fuente de voltaje deberá sustituirse por una para cada nodo con el correspondiente valor de voltaje
de prefalla de cada nodo y la barra X se desdoblará en tantas barras como nodos tenga la red.).
Si ocurre un cortocircuito trifásico en la barra 3, o sea el nodo 3 se conecta a la referencia en la
figura 6.1 (red de secuencia positiva), entonces la corriente de cortocircuito se calculará como:
Ia1-3 = 133Z
Upf =Icc3
Si el cortocircuito es monofásico entonces deberán de conectarse las tres redes de secuencia en
serie a través del nodo 3 y la componente de secuencia positiva de la corriente de cortocircuito se
calculará como:
Ia1 = 033233133 ZZZ
Upf
En este caso las componentes de secuencia negativa y cero serán iguales a la positiva, y en caso de
tener cualquier otro cortocircuito por procedimientos similares a los ya vistos es posible calcular
las componentes de secuencia de las corrientes de cortocircuito
Una vez calculadas las corrientes de secuencia , será posible en cada red de secuencia, teniendo en
cuenta el acoplamiento entre las ramas representado por las impedancias transferenciales, calcular
las componentes de secuencia de los voltajes de cada nodo sano de la red a partir de los cuales se
pueden calcular las componentes de secuencia de todas las transferencias de corriente bajo las
condiciones de cortocircuito, es decir el régimen de trabajo bajo esas condiciones. Lo anterior
quiere decir que es necesario hacer el mismo trabajo que se vio cuando se estudió el cálculo de
cortocircuitos trifásicos con la matriz ZB , pero ahora en cada red de secuencia.
Se resolverá un ejemplo sencillo para entender mejor el proceso de cálculo.
Calcular el RTE para un cc. monofásico a tierra en la barra 1 de la figura 6.2 mediante la matriz
impedancia de falla (ZB).
Datos: Generador: 7.5 MVA, 4.16 kV, X2=10%, X0= 5%, Xn= 5%.
Motores: Están entregando 1250 HP a fp=0.85 inductivo. Su capacidad nominal es de 1500 HP a
fp=1, 600V, eficiencia de un 89.5%, dX =X2= 20%, Xo=4%, Xn= 2%.
Los transformadores son tres, monofásicos, de 2.5 MVA, con reactancia del 10% y voltajes
primario y secundario de 2.4 kV/0.6 kV respectivamente.
Generador 1
2 Motores sincrónicos.
Xn
4.16kV Xn
0.6 kV
Figura 6.2 Sistema eléctrico sencillo
45
Solución.
Como el banco de transformadores es de 2.5x3 = 7.5 MVA trifásico se fijan como bases:
PB= 7.5 MVA, UB = 4.16 kV en la barra generadora.
1er paso.- Llevar todos los datos a la misma base.
Generador: No hay que hacer cambios de base.
Transformador.- No hay que hacer cambios de base, pues la unidad monofásica tiene 2.4 kV en
fase lo que equivale a 4.16 kV en línea en el primario y la potencia es de 7.5 MVA.
Motores.- Los datos dados se supone que están sobre la base de los datos de chapa de los motores,
por lo que hay que calcular sus kVA nominales que serán los kVAB de los motores.
kVAnom. = .25.1895.01
10746.01500 3
MVAx
xHPx
Por lo tanto, hay que cambiar la base de los datos de los motores.
dX =X2= .2.125.1
5.7
100
20pu , Xo= .24.06
100
4pu , Xn= .12.06
100
2pu
2do paso.- Formación de YB de cada red de secuencia.
Dada la ubicación del cc. es posible formar un motor equivalente. Para la red de secuencia positiva
el diagrama de impedancias y los correspondientes valores de susceptancia de cada rama queda:
-j10 2 -j10 1 -j 3.33
j 0.1 j0.1 j 1.2/4=j 0.3
gE
Figura 6.3 Diagrama de impedancias. Secuencia positiva.
A partir de la figura 6.3 se puede formar la matriz YB de secuencia positiva y negativa .
Y11= -j(10+3.33)=-j 13.33pu. , Y12 =Y21= -(-j10)= j10pu., Y22 = -j(10+10)pu.
(YB)1 = (YB)2 = j pu
200.10
1033.13
(6.1).
46
Red de secuencia cero.
j 3x0.12/4 = Xn
Xn=3.j0.05 Xg=j0.05 Xt=j0.1 Xm=j0.24/4
-j5 2 -j10 1 -j6.66
Figura 6.4 Diagrama de impedancia. Red secuencia cero.
A partir de la figura 6.4 se puede formar la matriz admitancia de barra de secuencia cero (YB)0.
Y11= -j6.66pu Y12 = Y21= 0 pues no hay unión entre el nodo 1 y el dos en la red de secuencia
cero, Y22= -
j 15pu.
(YB)0 = .150
066.6
puj
3er paso.- Obtención de ZB a partir de YB en cada red de secuencia.
Si se invierten las matrices de admitancias de cada secuencia:
(ZB)1,2 =j .08.006.0
06.012.0
pu
, (ZB)0 = .066.00
015.0
puj
4to paso.- Interconexión de las redes de secuencia.
En el caso que se analiza, el cortocircuito es monofásico a tierra en el nodo 1 por lo que hay que
conectar las redes en serie entre el nodo 1 y la referencia como se indica en la figura 6.5.
47
Upf Ia1= Ia2=Iao
j0.08 j0.12
j0.06
2 Ua1-2 Ua1-1 1
j0.08 j0.12
2 j0.06 1
Ua2-2 Ua2-1
j0.066 j0.15
0
2 1
Ua0-2 Ua0-1
Figura 6.5 Circuitos equivalentes representativos de matrices ZB conectados en serie.
5to paso.- Calculo de las corrientes de secuencias y de cortocircuito.
Ia1= pujj
56.2)15.012.012.0(
01
, Icc= 3Ia1= -j 7.68 pu.
Icc = -j7.68pu x Ib = -j7.68 kAx
5.5516.43
105.7 3
.
6to paso.- Cálculo de los voltajes en las barras.
(U)k = (S)(Us)k k=1,2 número de la barra en que se calcula
el voltaje.
Se calcularán, como comprobación, los voltajes en la barra fallada o sea la barra 1 .
48
)2.6(
1
1
111
12
1
2
2
1
Ua
Ua
Uao
aa
aa
Uc
Ub
Ua
Si se calculan los voltajes de secuencia en el nodo fallado a partir de la figura 6.5:
Uao1= - (Z11-0) Iao = -j 0.15 (-j2.56)= -0.384 pu.
Ua11= 1- (Z11-1)Ia1 = 1- j0.12(-j 2.56)= 0.692 pu.
Ua21= - (Z11-2)Ia2 = -j 0.12(-j2.56)= -0.308 pu.
Donde :
Uao1 = Voltaje de secuencia cero del nodo 1.
Ua11 = Voltaje de secuencia positiva del nodo 1.
Ua21 = Voltaje de secuencia negativa del nodo 1.
Z11-0 = Impedancia equivalente de Thevenin del nodo 1 de secuencia cero.
Z11-1 = Impedancia equivalente de Thevenin del nodo 1 de secuencia positiva.
Z11-2 = Impedancia equivalente de Thevenin del nodo 1 de secuencia negativa.
Si se sustituyen los valores de los voltajes de secuencia en 6.2:
Ua= Uao1+Ua11+Ua21=0, Ub = -0.384+a2 0.692 –a 0.308= 1.04 5636056 pu V.
Uc=-0.384+ a 0.692-a2 0.308= 1.04 124 =360 124 V.
En el caso del nodo 1 el voltaje base es 0.6 kV.
Cálculo de voltajes en la barra 2 cuando ocurre el cc. en la barra 1.
Uao2= 0- Z12-0 Iao =0 pues Z12-0 = 0 no hay impedancia transferencial en la matriz ZB de
secuencia cero.
Ua1-2= Upf – Z12-1Ia1 = 1- j0.06(-j 2.56) = 0.85 pu.
Ua2-2= 0- Z12-2 Ia2 = -0.15 pu.
Sustituyendo estos valores en 6.2 se obtiene:
49
Voltajes en el nodo 2
Ua= 0.69 0 pu = 1661 0 V, Ub= 0.93 pu248 = 2232 248 V.
Uc= 0.93 pu112 = 2232 112 V.
En el caso de la barra 2 el voltaje base es 4.16 kV.
Tabla resumen de resultados.
La primera fila relaciona los voltajes en condiciones normales y la segunda en condiciones de cc.
en la barra 1.
Fase a Fase b Fase c
Barra2 Barra 1 Barra2 Barra 1 Barra 2 Barra 1
2400 0 V 346 0 V 2400 120 V 346 120 V 2400 120 V 346 120 V
1661 0 V 0 ,. 2232 248 V 360 56 V 2232 112 V 360 124 V
Dejamos al alumno calcular las transferencias por las líneas como ejercitación.
