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Estadística. Profesora María Durbán1
Procesos Estocásticos
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán2
Al final del tema el alumno será capaz de:�Entender el concepto de proceso estocástico
�Interpretar y calcular los estadísticos de los procesos estocásticos: esperanza, autocovarianza y autocorrelación
�Interpretar y comprobar la estacionariedad de los procesos estocásticos
�Interpretar y determinar si un proceso es ergódico
�Saber calcular probabilidades en procesos estocásticos formados a través de distribuciones estudiadas en los temas anteriores
Referencias:Capítulo 8 de Introducción a los Sistemas de Comunicación. Stremler, C.G. (1993)
Apuntes de la Universidad de Vigo (página Web)Capítulo 6 de Principios de Probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias
Procesos Estocásticos
Estadística. Profesora María Durbán3
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Procesos Estocásticos
Estadística. Profesora María Durbán4
En los temas anteriores hemos estudiado procesos que no varían con el tiempo o sólo dependen de una variable.
Por ejemplo, estudiamos el número de llamadas que se producen en una central telefónica.
Si definimos X como el número de llamadas que se reciben en una hora, podemos decir que X sigue una distribución de Poisson de media λ.
¿Pero, qué pasa si queremos definir ahora otra variable que corresponda al número de llamadas recibidas en la misma centralita
durante todo el día de trabajo (8 horas)?
Podríamos definir una nueva X’, variable que seguiría una distribución de Poisson, definida como número de llamadas recibidas en la centralita durante 8 horas, con una nueva λ’ que sería igual a 8·λ.
1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán5
Las representaciones serían (si λ=2, por ejemplo):
1 Introducción y conceptos básicos
λ=2
λ’=16
Estadística. Profesora María Durbán6
Definición
1 Introducción y conceptos básicos
Así, para cada tiempo que fijemos, tendríamos una variable aleatoria.
Se define entonces una familia de variables aleatorias que dependen de una variable determinista, (en este caso el tiempo).
PROCESO ESTOCÁSTICO
Se define el proceso estocástico X(t) como el número de llamadas que se producen en la centralita en el tiempo (0,t).
Así, para cada valor de t que se elija, tendremos una variable aleatoria distinta, con forma similar pero distinto valor.
En los temas anteriores definimos X(x), en este caso X(λ).Ahora debemos representar X(x,t), en este caso, X(λ,t).En general, diremos X(t) igual que antes llamábamos X y no X(λ).
Estadística. Profesora María Durbán7
1 Introducción y conceptos básicos
EjemplosEn los sistemas de comunicaciones aparecen señales aleatorias como:
� La señal de información , tiene pulsos de voz de duración aleatoria y posición aleatoria.�Una interferencia en el canal que es debida a la presencia cercana de otros sistemas de comunicaciones.� El ruido en un receptor es debido al ruido térmico en resistencias y componentes del receptor.
Así, la señal recibida va ser una señal con varias componentes aleatorias. Aunque no es posible describir este tipo de señales con una expresión matemática, se pueden utilizar sus propiedades estadísticas
Son señales aleatorias en el sentido de que antes de realizar el experimento no es posible describir su forma exacta
Estadística. Profesora María Durbán8
1 Introducción y conceptos básicos
Proceso EstocásticoEs una función de dos variables, t y x, una determinista y otra aleatoria
a) X(x,t) es una familia de funciones temporales.
b) Si se fija x, tenemos una función temporal X(t) llamada realización del proceso .
c) Si se fija t, tenemos una Variable Aleatoria .
d) Si se fijan t y x, tenemos un número real o complejo (muy normal en teoría de la señal).
Estadística. Profesora María Durbán9
Espacio de tiempos, T
Conjunto de los posibles valores de tiempo que puede tomar el proceso estocástico.
Espacio de estados, S
Conjunto de los posibles valores del proceso estocástico (resultado numérico, real o complejo).
TDiscreto
S
Continuo
Discreto
Continuo
Proceso discreto en el tiempo.
Proceso continuo en el tiempo.
Proceso discreto en el espacio de estados.
Proceso continuo en el espacio de estados.
1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán10
Ejemplo 1
Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π), respectivamente.
1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán11
1 Introducción y conceptos básicos
En general:
Estadística. Profesora María Durbán12
Ejemplo 2
Caracterice la continuidad del número de llamadas que llegan a la centralita.
Es continuo en el tiempo, porque puede tomar cualquier valor real:t =1 horat =1,67 horast = 8 horast = 35 horas, etc.
Es discreto en el espacio de estadosX(λ, t=t0) es siempre un número entero
Ejemplo 3El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una VA Y~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.
Dibuje una realización del proceso y especifique los espacios T y S.
1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán13
0 20 40 60
tiempo
02
46
x
λ=1/36
1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán14
Función de distribución
Dado un proceso estocástico cualquiera, si fijamos un tiempo t=t0tendremos una V.A. X(t0) que tendrá una función de distribución asociada.
Si, para el mismo proceso, fijamos otro instante t=t1 tendremos otra VA, en principio, distinta a la anterior, con una función de distribución diferente.
Se define la función de distribución de primer orden del proceso X(t) como
))((),( xtXPtxFX ≤=
Y, por tanto, se tiene también la función de densidad de primer orden derivando la función de distribución respecto a x
dx
txdFtxf X ),(),( =
1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán15
Función de distribución de segundo orden
De igual modo:
Se define la función de distribución de segundo orden del proceso X(t) como
Se puede obtener la función de densidad de segundo orden derivando la función de distribución parcialmente respecto a x1 y a x2
))()((),,,( 22112121 xtXxtXPttxxF ≤∩≤=
21
2121
2
2121
),,,(),,,(
xx
ttxxFttxxf
∂∂∂=
1 Introducción y conceptos básicos
Estadística. Profesora María Durbán16
Aplicación de la función de distribución y función d e densidad
Realización de un proceso continuo en el tiempo con función de densidad de primer orden gaussiana.
1 Introducción y conceptos básicos
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1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Procesos Estocásticos
Estadística. Profesora María Durbán18
Media
La media de un proceso estocástico corresponde a:
� En el caso real: [ ] ∫+∞
∞−
⋅== dxtxfxttXE x ),()()( µ
� En el caso complejo: [ ] [ ] [ ])()()( tYEjtXEtZE ⋅+=
Característica:
� Para cada t, se tiene una VA distinta → una media distinta
La media es, en general, una función dependiente del tiempo
Se puede entender gráficamente como el centro de gravedad de la función densidad de probabilidad
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán19
Ejemplo 4Considere la oscilación aleatoria X(t) = cos (2Π·f·t + B·Φ), donde f es una constante real, Φ es una variable aleatoria uniforme en [− Π/2, Π/2], y B es una variable aleatoria discreta, independiente de Φ, tal que P(B=0)=p y P(B=1)=q.
Defina y calcule la esperanza de la variable aleatoria X(t).
Para cada t, cos (2Π·f·t+Φ) es una variable aleatoria función de φ. Podemos escribir:
2 Estadísticos de un proceso estocástico
[ ] [ ]( ) cos(2 )E X t E ft Bπ φ= +
[ ] / 2
/ 2
1 2cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )E ft ft ft
π
ππ φ π φ φ π
π π−+ = + ∂ =∫
( )2( ) cos 2x t p q f tµ π
π = + ⋅ ⋅ ⋅
[ ] [ ][ ]
cos(2 ) | 0 Pr( 0) cos(2 ) | 1 Pr( 1)
cos(2 ) cos(2 )
E ft B B B E ft B B B
p f qE ft
π φ π φπ π φ
= + = = + + = =
= + +t
Estadística. Profesora María Durbán20
Ejercicio 1
Calcule la función valor medio del proceso estocástico X(t)
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Un transmisor envía pulsos rectangulares de altura y posición aleatorias. Cada pulso transmitido corresponde a una realización del proceso estocástico
X(t) = V·h(t − T), t > 0,
Donde la altura V del pulso es una variable aleatoria uniforme en [0,v0], y T es una variable aleatoria exponencial de parámetro λ, independiente de V, y la función determinista h(t) es
1, 0<t<1,h(t)=
0, en el resto.
Estadística. Profesora María Durbán21
Varianza
Recordamos:
La media de un proceso estocástico corresponde a:
� En el caso real: [ ] ( )∫+∞
∞−
⋅−== dxtxftxttXVar xx ),()()()(22 µσ
[ ] [ ] [ ] [ ]22222 )()()()()( ttXEtXEtXEt xx µσ −=−=
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero, la varianza y el valor cuadrático medio coincidirían.
2 Estadísticos de un proceso estocástico
[ ] ( )22( ) ( ) ( ) ( , )x xVar X t t x t f x t dxσ µ+∞
−∞
= = − ⋅∫
[ ] [ ]( )22Var X E X E X = −
Estadística. Profesora María Durbán22
Correlación
O esperanza del producto de Variables Aleatorias como función de dos variables temporales tk y ti dada por:
En el caso de que t1 = t2 se tiene el valor cuadrático medio del proceso estocástico que es una función de una variable temporal:
Potencia del proceso
2 Estadísticos de un proceso estocástico
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 212121212121 dd,;,, xxttxxfxxtXtXEttRX ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−==
( ) ( )( )[ ] ( ) xtxfxtXEttRX d;, 22
∫∞
∞−==
Estadística. Profesora María Durbán23
Covarianza
Covarianza del proceso X(t) como una función de dos variables temporales tk y ti dada por:
En el caso de que tk = ti se tiene la varianza del proceso estocástico.
( ) ( )[ ]
( ) ( )∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
−⋅−=
=−⋅−=
dxdyyxftytx
ttXttXEttC
tXtXXX
xxX
),()()(
)()()()(),(
)2(),
1(
21
221121
µµ
µµ
De las definiciones de correlación y covarianza, se puede obtener:
)()(),(),( 212121 ttttRttC xxXx µµ ⋅−=
En el caso de que la media del proceso estocástico sea siempre cero, la función de correlación y la de covarianza coincidirían.
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán24
Matriz de Correlación de dos procesos
Dados dos procesos X(t) e Y(t). Todas las propiedades de correlación se pueden colocar de forma matricial según una matriz de funciones de dos dimensiones temporales.
En el caso de que t=u la matriz de correlación tiene la expresión siguiente, siendo una matriz de funciones de una variable temporal y simétrica.
( , ) ( , )( , )
( , ) ( , )
X XY
YX Y
R t u R t uR t u
R t u R t u
=
[ ]( , ) ( ) ( )XYR t u E X t Y u=
[ ][ ]
2
2
( ) ( ) ( )( , )
( ) ( ) ( )
E X t E X t Y tR t t
E Y t X t E Y t
=
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán25
Ejemplo 4
Si X(t) representa un proceso estocástico de media µx(t) = 3 y función de correlación RX(t1, t2) = 9 + 4exp{−0,2·|t1−t2|}. Calcule la esperanza, la varianza y la covarianza de las variables aleatorias Z = X(5) y T = X(8).
1) Esperanzas E(Z) = E(X(5)) = µx(5) = 3E(T ) = E(X(8)) = µx(8) = 3
2) Varianzas E(Z2) = E(X(5)·X(5)) = RX(5,5) = 13E(T2) = E(X(8)·X(8)) = RX(8,8) = 13Var(Z) = E(Z2) − (E(Z))2 = 4Var(T) = E(T2) − (E(T))2 = 4
3) Covarianzas E(ZT) = E(X(5)X(8)) = RX(5, 8) = 9+4e−0.6
Cov(Z,T) = E(ZT) − E(Z)E(T ) = 4·e−0.6
O también como, Cov (Z,T) = CX(5, 8) = RX(5, 8) −µx(5)·µx(8) = 4·e−0.6
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán26
Independencia
Dos procesos X(t) e Y(t) son independientes si su función de densidad conjunta de cualquier orden se puede descomponer como el producto de dos funciones de densidad marginales, una conteniendo términos sólo dependientes del proceso X(t) y la otra dependientes de Y(t).
IncorrelaciónDos procesos X(t) e Y(t) son incorrelados si CXY(t1, t2) = 0 para cualquier valor de t1 y t2.
[ ] [ ] [ ])()()()( tYEtXEtYtXE ⋅=⋅
)()(),( 2121 ttttR YXXY µµ ⋅=
Ortogonalidad
Dos procesos X(t) e Y(t) son ortogonales si RXY(t1, t2)=0 para cualquier valor de t1 y t2. )()(),( 2121 ttttC YXXY µµ ⋅−=
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán27
Ejercicio
Calcule la función de correlación del proceso X(t) = A·cos (2Π·f·t+Φ), donde A y Φ son variables aleatorias independientes, siendo Φ una variable aleatoria uniforme en [− Π, Π], y A exponencial de parámetro λ.
Ejercicio
El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar una tarea es una v.a. Y ~Exp(λ). Para hacer un estudio de la evolución temporal del sistema se construye el proceso estocástico X(t) definido como el tiempo que resta para completar la tarea sabiendo que ya ha consumido t minutos.
a) Determine E[X(t)], Var[X(t)], E[X(t)2].b) Indique si cada una de las funciones del aparatado anterior
depende del tiempo o no e interprete el resultado.
2 Estadísticos de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán28
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Procesos Estocásticos
Estadística. Profesora María Durbán29
Cuando utilizamos un modelo estocástico, generalmente vamos a estar interesados en predecir el comportamiento del proceso en el futuro y paraello nos basamos en la historia del proceso. Estas predicciones no serán correctas a menos que las condiciones futuras sean análogas a las pasadas
El mecanismo físico que genera el experimento no cambia con el tiempo
Un proceso estocástico es estacionario si sus propiedades estadísticas son invariantes ante una traslación del tiempo
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
tiempo
0
5
10
15
20
25x2x1
Ejemplo 5
El número de llamadas que llegan a una centralita hasta el instante t
El número medio dellamadas no esconstante, dependede t
No estacionario
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán31
Ejemplo 6
Distintas realizaciones del proceso X(t) = N·cos((2π/24)t+φ) siendo N y φ VA con distribuciones P(10) y U(0,2π) respectivamente.
La media del proceso se mantiene constante puede serestacionario
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán32
Estacionariedad (en sentido estricto o fuerte)
Un proceso X(t) es estacionario en sentido estricto s i la función de densidad de densidad conjunta, de cualesquiera d e sus n v.a. medidas en instantes t 1,…,tn, permanece constante cuando transcurre cualquier intervalo de tiempo εεεε
Esta es una condición muy fuerte ya que implicaría estudiar infinitas funciones de densidad conjunta
EstacionariedadEstacionariedad en sentido den sentido d éébil o ampliobil o amplio
1 1 1 1( ,.... ; ,..., ) ( ,.... ; ,..., )n n n nf x x t t f x x t tε ε= + +
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán33
Estacionariedad (en sentido débil)
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
Propiedades:
La potencia no depende de t
ya que
ya que
1 2 2 1( , ) ( ) (depende solo de la distancia X XR t t R t tτ τ= = −
2( )E X t 2( ) (0)XE X t R =
( ) ( )X XR Rτ τ= −
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X XR E X t X t E X t X t Rτ τ τ τ= − = − = −
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
[ ]( ) (independiente del tiempo)E X t µ=
1 2 2 1( , ) ( ) (depende solo de la distancia
entre los tiempos considerados)
R t t R t tτ τ= = −
( ) (independiente del tiempo)µ
Estadística. Profesora María Durbán34
Estacionariedad (en sentido débil)
Un proceso X(t) es débilmente estacionario si:
Propiedades:
Estacionario en sentido estricto débil
Si el proceso es gaussiano: estricto = dé bil
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
1 2 2 1( , ) ( ) (depende solo de la distancia X XR t t R t tτ τ= = −
[ ]( ) (independiente del tiempo)E X t µ=
1 2 2 1( , ) ( ) (depende solo de la distancia
entre los tiempos considerados)
R t t R t tτ τ= = −
( ) (independiente del tiempo)µ
Estadística. Profesora María Durbán35
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?
0 20 40 60
tiempo
-10
-50
510
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Ejemplo 7
Estadística. Profesora María Durbán36
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?
Utilizando:
[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 0
2E X t AE t A t d
π
π
π φ π φ φπ−
= + = + =∫
cos( ) cos( )cos( ) sen( )sen( )
2cos( )cos( ) cos( ) cos( )
α β α β α β
α β α β α β
± =⇓
= + + −
m
Ejemplo 7
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]φτπφπττ +++=+=+ ttEAtXtXEttRX 24/2cos24/2cos, 2
Estadística. Profesora María Durbán37
Distintas realizaciones del proceso X(t) = A·cos((2π/24)t+φ) siendo A constante y φ una VA con distribución U(-π, π).¿Es X(t) débilmente estacionario?
Es débilmente estacionario
[ ] [ ] 1( ) cos((2 / 24) ) cos((2 / 24) ) 0
2E X t AE t A t d
π
π
π φ π φ φπ−
= + = + =∫
2cos( )cos( ) cos( ) cos( )α β α β α β= + + −
Ejemplo 7
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )( )[ ]
( )( )( ) ( )( )[ ]
( )( )τπ
τπφτπ
φτπφπττ
24/2cos2
24/2cos2224/2cos2
24/2cos24/2cos,
2
2
2
A
tEA
ttEAtXtXEttRX
=
+++=
+++=+=+
Estadística. Profesora María Durbán38
Ejercicio
Sea U una VA uniforme en [0,1], a partir de ella se construye el procesoX(t)=exp(-Ut)
a) Para cada valor de t, determine el rango de X(t)b) Calcule E[X(t)] y Rx(t1,t2)c) Estudie la estacionariedad en sentido amplio (es decir, en sentido
débil)
Si X e Y son VA normales, independientes, con media 0 y varianza 1, se define el proceso Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
a) Determine la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2)b) Calcule la media y la autocovarianza del proceso Z(t)c) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto
Ejercicio
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán39
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Procesos Estocásticos
Estadística. Profesora María Durbán40
En muchas ocasiones, sólo disponemos de una realización del proceso (es decir, disponemos de una función temporal), en este caso, para conocer el proceso calculamos sus promedios temporales
Sea X(t) un proceso estacionario (en sentido débil)La media temporal o valor medio en el tiempo se define como:
La autocorrelación temporal se define como:
Ambas son VA ya que toman valores distintos para cada realización del proceso.
1lim ( ) lim
2
T
X T T TT
M X t dtT
µ∞ ∞−= =∫uuur uuur
1lim ( ) ( )
2
T
X TT
A X t X t dtT
τ∞ −= +∫uuur
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán41
Diremos que un proceso es ergódico si sus promedios estadísticos coinciden con los temporales sólo necesitamos una realización del proceso para conocer los promedios estadísticos
Ergodicidad en media : Dado que la media temporal µT no depende del tiempo, para que un proceso sea ergódico en media, es necesario que la media del proceso µX sea constante, esto se cumple si el proceso es estacionario
Ejemplo 8Sea A una VA N(0,1), definimos el proceso X(t)=A. ¿Es ergódico en media?
No es ergódico en media[ ] 0
10
2
X
T
TT
E A
A t AT
µ
µ−
= =
= ∂ = ≠∫
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
Estadística. Profesora María Durbán42
Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
Ejemplo 7Se considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudie la ergodicidad en media y autocorrelación.
[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=
( )Z tτ( )X t
[ ] 1( ) ( ) ( ) cos( )
3
1( ) ( )
2
X
T
T
R E X t X t w
X t X t tT
τ τ τ
τ−
= + =
+ ∂∫sin( ) cos( )sin( ) sin( ) cos( )α β α β α β± = ±
Es ergódico en media
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
[ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )( ) ( )
0limsin
sincos2
1
000sincos
=→=+=
=+=+=
∞→−∫ TT
T
TT
X
wT
wTadtwtbwta
T
wtbEwtaE
µµ
µ
Estadística. Profesora María Durbán43
( ) ( ) ( )Z t X t X tτ τ= + [ ]( ) ( )XE Z t Rτ τ=
( )Z tτ( )X t
[ ]2 2
1( ) ( ) ( ) cos( )
3
1 1lim ( ) ( ) ( ) cos( )
2 2
X
T
TT
R E X t X t w
X t X t t a b wT
τ τ τ
τ τ∞ −
= + =
+ ∂ = +∫uuur
No es ergódico en autocorrelación
Ergodicidad en autocorrelación : Sea . Si construimos el proceso , entonces , por lo tanto es ergódico en autocorrelación si es ergódico en media
Ejemplo 7Sea considera el proceso X(t)=a cos(wt)+b sin(wt), donde a y b son dos VA independientes uniformemente distribuidas en [-1,1], estudiar la ergodicidad en media y autocorrelación.
[ ]( ) ( ) ( )XR E X t X tτ τ= +
3 Ergodicidad de un proceso estocástico
[ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )( ) ( )
0limsin
sincos2
1
000sincos
=→=+=
=+=+=
∞→−∫ TT
T
TT
X
wT
wTadtwtbwta
T
wtbEwtaE
µµ
µ
Estadística. Profesora María Durbán44
1 Introducción y conceptos básicos
2 Estadísticos de un proceso estocástico
3 Estacionariedad de un proceso estocástico
4 Ergodicidad de un proceso estocástico
5 Ejemplos
Procesos Estocásticos
Estadística. Profesora María Durbán45
Proceso de Poisson
Es un proceso de tiempo continuo y estado discreto.X(t)= número de sucesos en [0,t]X(t)~P(λt)µX=λtCX(t1,t2)=λmin{t1,t2}
“Ruido”= señales indeseables que constituyen una interferencia en un sistema de comunicaciones. Hay dos tipos de ruido: ruido externo al sistema (atmosférico), ruido interno al sistema (fluctuaciones aleatorias debidas a dispositivos). Generalmente se representan las interferencias mediante un ruido blanco.Ruido blanco : Un proceso es un ruido blanco si las variables X(t1), X(t2) están incorreladas para todo t. Si las variables son gaussianas, incorreladas = independientes
Ruido
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán46
Procesos Gaussianos
Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos su función media y su autocovarianza (o auticorrelación)
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0
Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza 1, se define el proceso gaussiano: Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
Ejercicio. Febrero 2003
-3 -2 -1 0 1 2 3
tiempo
-2-1
01
2
x1
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán47
Procesos Gaussianos
Diremos que un proceso es gaussiano, si cualquier colección de VA del proceso tiene distribución conjunta gaussianaEl proceso está totalmente descrito si conocemos sufunción media y su autocovarianza (o auticorrelación)
Estacionariedad en sentido débil = estacionariedad en sentido estrictoUn proceso es independiente C(ti,tj)=0
Sean X e Y dos VA independientes y normales con media 0 y varianza 1, se define el proceso gaussiano: Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt)
a) Determine la función de probabilidad conjunta de Z(t1) y Z(t2).b) Estudie la estacionariedad en sentido débil y estricto.
Ejercicio. Febrero 2003
5 Ejemplos
Estadística. Profesora María Durbán48
Procesos Autorregresivos
Un proceso autorregresivo de orden 1, AR(1), tiene la siguiente forma:2( ) ( 1) ~ (0, )t tX t c X t Nα ε ε σ= + − +
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0-4
-20
2 α = 0 . 7
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
-3-2
-10
12
3 α − 0 . 5
5 Ejemplos
( )[ ] ( )[ ] ( )2
2
2
2
11Var
1 ασατ
ασ
α
τ
−=
−=
−= XCtX
ctXE