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PRODUCCIÓN DE NUMERALES EN DIFERENTES FORMATOS DE
REPRESENTACIÓN NUMÉRICA EN NIÑOS DE 2˚ Y 3˚ GRADO DE BÁSICA
PRIMARIA
BREHINERT ALFREDO MARTÍNEZ MORA
UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
FACULTAD DE PSICOLOGÍA
SANTIAGO DE CALI
2013
PRODUCCIÓN DE NUMERALES EN DIFERENTES FORMATOS DE
REPRESENTACIÓN NUMÉRICA EN NIÑOS DE 2˚ Y 3˚ GRADO DE BÁSICA
PRIMARIA
BREHINERT ALFREDO MARTÍNEZ MORA
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de Psicólogo
Director Monografía de Grado
Ps. Jhon Heider Orrego
UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
FACULTAD DE PSICOLOGÍA
SANTIAGO DE CALI
2013
NOTA DE ACEPTACIÓN
_______________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
______________________________
JHON HEIDER ORREGO
Director(a) de Monografía de Grado
______________________________
MARTHA STELLA BONILLA
Jurado 1
______________________________
JHON JAIRO QUICENO
Jurado 2
Enero 2013
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 1
1. JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................................. 4
2. ESTADO DEL ARTE ............................................................................................................................ 6
3. MARCO TEORICO ............................................................................................................................ 14
3.1 El proceso de transcodificación numérica y algunos modelos de procesamiento numérico: ........... 14
3.2 Formatos de representación numérica: ............................................................................................... 18
3.2.1 Sistema numérico verbal ................................................................................................................... 18
3.2.2 Sistema numérico arábigo ................................................................................................................ 20
3.2.3 Representación numérica y cantidad ............................................................................................... 21
4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................................................... 24
5. OBJETIVOS .......................................................................................................................................... 29
5.1 Objetivo general ................................................................................................................................... 29
5.2 Objetivos específicos ............................................................................................................................ 29
6. HIPÓTESIS .......................................................................................................................................... 30
6.1 Hipótesis de trabajo .............................................................................................................................. 30
6.2 Hipótesis nula ....................................................................................................................................... 30
6.3 Hipótesis alternativa ............................................................................................................................ 30
7. METODOLOGÍA ................................................................................................................................... 31
7.1 Descripción del diseño ......................................................................................................................... 31
7.2 Población .............................................................................................................................................. 32
7.3 Tareas y materiales .............................................................................................................................. 33
7.3.1 Descripción tarea 1 – composición con material concreto .............................................................. 33
7.3.1.1 Consigna ......................................................................................................................................... 34
7.3.1.2 Procedimiento ................................................................................................................................. 34
7.3.2 Descripción tarea 2 – escritura de numerales arábigos ................................................................... 35
7.3.2.1 Consigna ......................................................................................................................................... 35
7.3.2.2 Procedimiento ................................................................................................................................. 35
7.3.3 Categoría de los numerales ............................................................................................................... 35
7.4 Niveles de análisis por cada tarea ....................................................................................................... 36
7.4.1 Logro en función de las tareas propuestas ....................................................................................... 36
7.4.2 Categorías de análisis por cada tarea propuesta.............................................................................. 36
7.4.2.1 Tipos de error en la composición de numerales con material concreto ....................................... 37
7.4.2.2 Tipos de relaciones en la escritura de numerales arábigos .......................................................... 38
7.4.3 Análisis de los datos .......................................................................................................................... 39
8. RESULTADOS....................................................................................................................................... 41
8.1 Resultados en función de logro por grado académico ........................................................................ 41
8.1.1 Desempeño niños segundo grado de primaria ................................................................................. 41
8.1.2 Desempeño niños tercer grado de primaria ..................................................................................... 42
8.2 Categorías de desempeño en función de los tipos de errores por grado académico y formato de
representación numérico ........................................................................................................................... 43
8.2.1 Desempeño segundo grado de primaria por categorías en la composición con material concreto 43
8.2.1.2 Desempeño segundo grado de primaria por categorías en la escritura de numerales arábigos . 43
8.2.2 Desempeño tercer grado de primaria por categorías en la composición con material concreto: .. 44
8.2.3 Desempeño tercer grado de primaria por categorías en la escritura de numerales arábigos ........ 45
8.3 Comparación entre segundo y tercer grado de primaria por formato de representación numérico . 45
8.3.1 Comparación entre grado académico en la composición con material concreto ........................... 45
8.3.2 Comparación entre grado académico en la escritura de numerales arábigos ................. 46
9. DISCUSIÓN ............................................................................................................................. 47
9.1 Discusión segundo grado de primaria .................................................................................. 47
9.2 Discusión tercer grado de primaria ....................................................................................... 50
10. CONCLUSIONES .................................................................................................................. 52
11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 54
TABLA DE ILUSTRACIONES
Tabla 1. Tipo de numeral y numerales aplicados ......................................................................... 36
Tabla 2. Desempeño de los niños de segundo de primaria. .......................................................... 42
Tabla 3. Desempeño de los niños de tercer grado de primaria. .................................................... 42
Tabla 4. Desempeño de los niños de segundo grado de primaria en función de los tipos de errores
en la composición con material concreto. ..................................................................................... 43
Tabla 5. Desempeño de los niños de segundo grado de primaria en función de los tipos de
relaciones en la escritura de numerales arábigos. ......................... ¡Error! Marcador no definido.
Tabla 6. Desempeño de los niños de tercer grado de primaria en función de los tipos de errores
en la composición con material concreto. ..................................................................................... 44
Tabla 7.Desempeño de los niños de tercer grado de primaria en función de los tipos de relaciones
en la escritura de numerales arábigos. .......................................................................................... 45
Tabla 8. Comparación en el desempeño de los niños de segundo y tercer grado de primaria en la
composición con material concreto. ............................................................................................. 46
Tabla 9. Comparación en el desempeño de los niños de segundo y tercer grado de primaria en la
escritura de numerales arábigos. ................................................................................................... 46
RESUMEN
Se propone un estudio cuasi experimental con observaciones solo post simple de cohortes
con un enfoque cuantitativo y un alcance de investigación descriptivo en niños que cursan 2˚ y 3˚
grado de primaria, donde se pretende indagar como los formatos de representación numérica que
se plantean a los niños afectan sus desempeños durante la resolución de situaciones de
transcodificación numérica. Se utiliza una tarea que exige a los niños participantes traducir
conceptos numéricos al formato arábigo escrito y al formato de representación con material
concreto. Los resultados indican que los niños de 2˚ grado de primaria presentan un mayor logro
en la escritura de numerales arábigos, mientras los niños de 3˚ grado muestran un mayor logro en
la composición de numerales con material concreto, de igual manera no se presentan diferencias
significativas entre 2° y 3°grado en la escritura de numerales arábigos, pero si se presentan
diferencias significativas entre 2° y 3° grado de primaria en la composición de numerales con
material concreto.
Palabras claves. Transcodificación numérica –modelos de procesamiento numérico –
formatos de representación numéricos.
ABSTRACT
We propose a quasi-experimental study with a simple post comments only cohort with a
quantitative approach and a range of descriptive research on children in grade 2° and 3° grade,
which seeks to investigate and numerical representation formats that arise children affect their
performance during the problem solving numerical transcoding. It uses a task that requires
participating children number concepts to translate written Arabic format and display format
with concrete material. Results indicate that children in grade 2° at increased achievement in
writing Arabic numerals, while the children of 3° degree show greater achievement in the
composition of numerals with concrete material, likewise not differ significant between 2nd and
3rd grade writing in Arabic numerals, but if there are significant differences between 2nd and 3rd
grade in the composition of numerals with concrete material.
Key words. Trasncoding numeric – numeric processing models – numerical
representation formats.
1
INTRODUCCIÓN
La enseñanza de los formatos de representación numérica es uno de los grandes temas de
estudio dentro de la escuela que ha sido motivo de preocupación para los docentes de las
instituciones educativas.
Ante esta preocupación los docentes han usado el material concreto para facilitar la
comprensión del sistema notacional en base diez. En ocasiones, este tipo de intervención no
genera ningún efecto por la forma en la que se usan los objetos físicos para enseñar a los
estudiantes las reglas que se deben tener en cuenta para representar un concepto numérico
(Baroody, 1990). Sumado a lo anterior, otra dificultad que se presenta es que la enseñanza del
sistema numérico verbal y el sistema numérico arábigo se imparte con una serie de
procedimientos repetitivos que dejan de lado los procesos de comprensión en el desarrollo del
conocimiento numérico.
A demás, en algunos salones de clases los docentes toman el sistema numérico verbal
como el modelo de enseñanza para generar el conocimiento a los estudiantes del sistema
numérico arábigo o el formato de representación numérico y cantidad, cuando los diferentes
sistemas de representación numéricos implican para los sujetos desafíos diferenciados, por las
reglas léxicas y sintácticas de cada sistema numérico.
Por tal motivo se hace necesario que las prácticas educativas en la asignatura de
matemática en los primeros años escolares implementen modelos de enseñanza donde se
establezca una relación entre los diferentes formatos de representación numérica con la finalidad
de promover una comprensión que se haga evidente en el desempeño al representar un concepto
numérico en diversos sistemas numéricos como lo plantea (Fuson y Briars, 1990).
En este orden de ideas se privilegia la relación entre los formatos de representación
numérica con el objetivo de comparar como estos afectan el desempeño de los estudiantes de 2°
y 3° grado de primaria al producir un mismo concepto numérico en la escritura de numerales
arábigos y en la composición con material concreto a partir de un dictado de palabras números.
Desde este punto de vista la investigación aquí descrita se constituye en un problema psicológico
debido a que permite comprender los aspectos a nivel cognitivo y las rutas de procesamiento de
2
la información a la que acuden los estudiantes para establecer relaciones entre los distintos
sistemas de representación numéricos.
La revisión conceptual que se presenta en el texto abarca dos posturas teóricas, la
primera, se aborda desde un marco teórico del procesamiento de la información, haciendo énfasis
en los modelos de procesamiento numérico (Barrouillet, Camos, Perruchet y Seron, 2004;
Cipolotti y Butterworth, 1995; Dehaene,1992; McCloskey, 1985 y McCloskey y Maracuso,
1995) y la segunda, se aborda desde un marco teórico que estudia los elementos de los sistemas
de representación numérica, con la finalidad de facilitar en el proceso enseñanza – aprendizaje la
comprensión de los conceptos numéricos (Baroody,1990; Chao, Stigler y WoodWard, 2001 y
Price, 1997; Fuson y Briars, 1990; Fuson et.al, 1997; Martí y Pozo, 2000 y Saxton y
Towse,1998).
Teniendo en cuenta lo anterior, en primera instancia se realiza un amplio abordaje sobre
los modelos de procesamiento numérico realizando una definición del concepto transcodificación
numérica y las rutas de procesamiento numérico, posteriormente, se explica que es un formato
de representación numérico, cuales son las características de cada uno de los sistemas numéricos
(verbal, arábigo y material concreto) y como las diferentes investigaciones han mostrado la
relación entre los mismos.
En la investigación se trabajo un diseño cuasi experimental con observaciones solo post
simple de cohortes con un enfoque cuantitativo y un alcance de investigación descriptivo, de
igual manera se realizo un control de variables extrañas teniendo en cuenta, algunos aspectos que
pudieron afectar la validez externa e interna de la investigación, contrarrestándolos a través de la
técnica de balanceo, contrabalanceo y constancia de las condiciones.
Para analizar el desempeño de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria en la
composición con material concreto y en la escritura de numerales arábigos se tuvieron en cuenta
tres niveles de análisis: Primero, la categoría de acierto y error por tarea, segundo se
caracterizaron las producciones por tarea y por último, se estableció una comparación entre
grado académico por tarea.
3
El análisis de los datos se realizó con el programa SPSS en todos los niveles mencionados
anteriormente, para el primer y segundo nivel de análisis se trabajó a partir de una distribución
de frecuencia permitiendo obtener los porcentajes generales en cada tarea, pero el tercer nivel de
análisis se trabajó con una prueba t para muestras independientes con un nivel de significancia de
0,05 con la finalidad de hallar diferencias significativas en función de grado académico y tarea.
De acuerdo al análisis de los datos los resultados indican que los estudiantes de 3° grado
de primaria presentan un alto nivel de desempeño en la composición de numerales con material
concreto obteniendo un porcentaje entre el 90% y el 100% en todos los tipos de numeral
presentados, pero en la escritura de numerales arábigos el nivel de desempeño tiende a disminuir
obteniendo un porcentaje entre el 77% y el 85% de acuerdo a los tipos de numerales presentados,
de lo que se puede concluir que los estudiantes de 3° grado de primaria obtienen un mejor
desempeño en la composición de numerales con material concreto.
Por otra parte, los estudiantes de 2° grado de primaria presentan un nivel de desempeño
entre el 30% y el 85% en la escritura de numerales arábigos en todos los tipos de numeral
presentados, pero en la composición con material concreto obtienen un nivel de desempeño
entre el 10% y el 50% para todos los tipos de numeral presentados, de lo que se puede concluir
que los estudiantes de 2° grado de primaria obtienen un mejor desempeño en la escritura de
numerales arábigos.
Frente a los análisis de significancia se revela que no hay diferencias significativas entre
2° y 3° grado de primaria en función de la escritura de numerales arábigos, pero si existe
diferencia significativa entre 2° y 3° grado de primaria en la composición de numerales con
material concreto.
4
1. JUSTIFICACIÓN
Diferentes investigaciones han abordado el estudio de los formatos de representación
numérica (por ejemplo, arábigo escrito, arábigo verbal, etc.), de forma específica, es decir,
centrándose en la descripción e implicaciones que cada uno de ellos propone por separado para
los sujetos y dejando de lado la discusión sobre cómo los niños establecen relaciones entre los
diferentes sistemas de representación numérica, cuando se les propone dar cuenta de conceptos
numéricos en función de estos, por lo cual se hace importante trabajar este tipo de estudios .
La investigación psicológica en los estudios de cognición y matemática ha sido poco
desarrollada en la ciudad de Cali, por lo tanto proyectos de investigación en esta área específica
del conocimiento son de interés, ya que permiten abordar la construcción del conocimiento
numérico a través del desarrollo cognitivo o los procesos de aprendizaje, aportándole a los
docentes de la asignatura de matemática un amplio conocimiento del porqué la relación entre los
formatos de representación numéricos afecta el desempeño de los estudiantes en los primeros
grados escolares.
La necesidad de explorar la relación entre los formatos de representación numérico a
través de la escritura de numerales arábigos y la composición de numerales con material
concreto, a partir de un dictado de palabras números, es relevante en términos psicológicos,
porque dichas producciones permiten comprender a cual ruta de procesamiento numérico
acceden los estudiantes para establecer las relaciones entre los sistemas de representación
numérico. De igual manera, reflejan los aspectos a nivel cognitivo requeridos para dar cuenta de
un concepto numérico en distintos formatos de representación numéricos.
En este orden de ideas, estudiar la relación entre los formatos de representación numérica
es importante a nivel social haciendo énfasis en la educación matemática, ya que permite
pensarse diversas formas para hacer más comprensible el proceso enseñanza – aprendizaje, en
este caso, la enseñanza de la matemática ha estado orientada por procedimientos tradicionales
para establecer las relaciones entre los sistemas de representación numérico, donde no se alude a
generar un proceso de comprensión al sujeto que aprende, frente a esta dificultad diversos
autore/as han abordado esta problemática a partir de la creación de nuevos enfoques que
permitan a los niños hacer una construcción basada en la comprensión de las estructuras
5
conceptuales para el concepto de número y a su vez facilite el desempeño en los diferentes
formatos de representación numérico (Baroody,1990; Fuson y Briars,1990 y Fuson et.al,1997).
La nueva perspectiva para la enseñanza de la matemática se ha caracterizado por realizar
una descripción detallada de las reglas léxicas – sintácticas que obedecen a cada sistema de
representación numérico, por ejemplo, mientras la numeración escrita es posicional, la
numeración hablada es aditiva (decimos treinta y ocho pero no escribimos 308, si no 38).
Tomando como referencia lo mencionado anteriormente, se puede observar una dificultad
para establecer la relación entre el sistema numérico verbal y el sistema numérico arábigo. Para
contrarrestar dicho inconveniente, se han propuesto una serie de actividades académicas con la
finalidad de promover la comprensión al establecer la relación entre los diferentes formatos de
representación numérico. En este caso se trabaja con el orden, a partir de una serie de juegos:
Lotería, álbum de figuritas y ordenar los libros de la biblioteca, por ejemplo, en el juego de la
lotería, el docente debe entregar los cartones con los números ordenados de tal manera que haya
que saber a quién le corresponde, luego empieza a cantar las palabras números y los estudiantes
deben empezar ha ordenarla según el número que tenga en el cartón.
Otra actividad académica es la de composición y descomposición, que se realiza con la
finalidad de generar situaciones donde el estudiante escriba o diga numerales de diferentes
maneras, por lo tanto esto se ha trabajado a través de una serie de juegos cómo: Dados, cartas,
compra - venta y dominós, este tipo de situaciones son de interés debido a que promueven a los
alumnos la idea de que un número puede representarse de distintas maneras cómo producto de
las diferentes descomposiciones, facilitando al sujeto estrategias para establecer relaciones entre
los formatos de representación numéricos.
A nivel general, se puede decir que trabajar la numeración en la primera edad escolar
implica abordar los múltiples aspectos, cómo actividades significativas, uso de material concreto
y lo concerniente a la asignatura matemática, con la finalidad de facilitar la comprensión del
estudiante al construir la relación entre los diversos formatos de representación numéricos
ocupando el protagonismo a hora en la enseñanza de la matemática.
6
2. ESTADO DEL ARTE
La discusión en torno a la relación de los formatos de representación numérica es escasa.
Generalmente, el estudio de los formatos de representación arábigo escrito, arábigo verbal y
concreto, ocurre de forma individual. Por ejemplo, algunos autores abordan esta relación desde
una perspectiva que involucra el proceso de transcodificación numérica (Barrouillet et al. 2004;
Orozco, Guerrero y Otálora, 2007 y Power y Dall Martello, 1990). Otros, proponen establecer
una relación que se fundamenta en una perspectiva pedagógica, la cual intenta facilitar a los
niños la comprensión de los distintos formatos de representación mencionados (Fuson et al. 1997
y Fuson y Briars, 1990).
Tolchinsky y Smith (1993) explican que el sistema notacional esta compuesto por un
conjunto de reglas que al ser utilizado por los sujetos dan cuenta de las relaciones semánticas
propias de cada sistema, independientemente de las formas numéricas (operadores) que se
utilicen para realizar la representación de un número.
En este orden de ideas existen diversas formas para representar los conceptos numéricos
los cuales son:
El sistema numérico verbal es de mucha importancia debido a que cuando un sujeto nace
queda inmerso en una cultura que posee un lenguaje especifico, permitiendo al niño el primer
acercamiento a nombrar conceptos numéricos a través de actividades como el conteo que alude a
los formatos de representación numéricos.
Desde este punto de vista, se puede decir que diversos autores/as (Fuson y Briars, 1990;
Fuson et.al, 1997; Seron y Fayol, 1994; Seron y Fayol, 2005) han hecho énfasis en que la
organización del sistema numérico verbal para nombrar cantidades, afecta el desempeño de los
sujetos al establecer la relación con los conceptos numéricos, por ejemplo, los niños de habla
inglesa deben aprender las unidades de diez que van del “veinte” al “noventa”, las cuales
presentan una relación cardinal en la pronunciación de las palabras números que van del “uno” al
“nueve” (cuar, cuarenta o cincu, cincuenta, etc.). Por otro lado, en las palabras números que van
del “once” al “diecinueve” a los niños se le presentan dos dificultades, la primera es que no se
muestra una relación con el significado original de las palabras números que denotan cantidades
básicas y la segunda consiste que al establecer la relación con las palabras números que denotan
7
cantidades básicas de diez se da una similitud a nivel fonológico por ejemplo (thirteen, thirty o
fifteen, fifty, etc.).
Por otra parte, el sistema numérico arábigo no ha sido tan explicado como es el caso del
sistema numérico verbal, sin embargo Power y Dal Martello (1990) establece que este formato
de representación numérico, está compuesto por nueve dígitos operadores (1,2,……9)
denominados conceptos numéricos primitivos, debido a que no presentan una relación de tipo
aditivo ni multiplicativo, mientras los numerales que son resultado de una relación aditiva o
multiplicativa no son considerados conceptos numéricos primitivos.
Según los autores el sujeto para realizar el proceso de transcodificación numérica desde el
formato de representación numérico verbal al formato de representación numérico arábigo debe
tener en cuenta lo siguiente: Lo primero consiste en interpretar la palabra número construyendo
la representación semántica que permite identificar si la relación en la cadena de palabras
números es de tipo aditivo o multiplicativo, por ejemplo, cuando a un niño se le dicta el numeral
“ciento cinco” él debe comprender que en este caso hay una relación de tipo aditivo, lo que exige
operar con los conceptos numéricos primitivos a través de la operación de sobre escritura, la cual
permite eliminar de la cadena de dígitos los ceros de la derecha remplazándolo por el numeral
que corresponde “100#5” para producir la forma de salida final “105”; pero si al niño se le dicta
un numeral como “quinientos” él debe comprender que en este caso hay una relación de tipo
multiplicativo, lo que demanda operar con los conceptos numéricos primitivos a través de la
operación de concatenación, la cual designa los ceros que deben ser ubicados a la derecha del
numeral “5&00” permitiendo producir el numeral “500”.
En cuanto al material concreto, se puede decir que ha sido utilizado como un instrumento
de intervención para facilitar en los niños la relación entre lo físico y lo abstracto, por ejemplo,
los conceptos numéricos. En este sentido, Uttal, Scudder y Deloache (1997), al hacer una
revisión conceptual sobre los fundamentos teóricos de los materiales manipulativos propone que
uno de los autores que influencio el pensamiento de docentes o educadores fue Piaget, debido a
que este concebía al niño de prescolar como un sujeto que pensaba y operaba de forma concreta,
por lo tanto la enseñanza a los estudiantes de los primeros grados escolares debía fundamentarse
en este tipo de objetos físicos, por otra parte Bruner hace más énfasis en la instrucción con los
materiales físicos, debido a que el uso de diferentes objetos concretos puede llevar al niño más
8
allá de sus propiedades perceptuales, dicho de otra manera se pasaría de operar con propiedades
perceptuales a la comprensión de propiedades abstractas.
Teniendo en cuenta lo anterior, las investigaciones sobre la relación entre los formatos de
representación numérica pueden ser clasificadas en tres grupos: el primer grupo investiga la
relación del formato de representación numérico verbal al formato de representación numérico
arábigo o al formato de representación numérica y cantidad, centrándose únicamente en la forma
en la que se realiza la producción; el segundo grupo estudia la relación entre el formato de
representación numérico verbal al formato de representación arábigo o del formato de
representación numérica y cantidad al formato de representación arábigo, centrándose en
observar cuál de las formas de presentación afectan la producción y el tercer grupo trabaja la
relación entre los formatos de representación numérico a través de modelos pedagógicos que
puedan facilitar el desempeño en diferentes competencias matemáticas sistema numérico verbal,
sistema numérico arábigo y formato de representación y cantidad.
Dentro del primer grupo de investigaciones se encuentra el estudio de Power y Dal
Martello (1990) quienes observan el desempeño de los niños que están aprendiendo a
transcodificar numérales del formato de representación numérico verbal al formato de
representación numérico arábigo, en este sentido el objetivo fue identificar a partir de la
producción de numerales arábigos como los sujetos que no han aprendido este proceso cambian
la operación de sobre escritura por la operación de concatenación.
Esta investigación se llevó a cabo con nueve niños y seis niñas de segundo grado de
primaria, en un rango de edad de 7 años y 3 meses, a los cuales fue dictado numerales italianos
en un rango numérico de 1 digito, 2 dígitos, 3 dígitos con dos ceros sintácticos en la posición de
la unidad y la decena, sin ceros y con ceros sintácticos en la posición de las decenas y de 4
dígitos con tres ceros sintácticos en la posición de unidad, decena y centena, sin ceros y con
ceros sintácticos en la posición decena y centena, cero sintáctico en la posición decena y ceros
léxicos en la posición centena.
A partir de los resultados registrados, los investigadores concluyen que los niños cometen
errores de tipo sintáctico en la producción de numerales arábigos debido a que presentan
deficiencia en la regla correcta para combinar los componentes de una relación aditiva para
9
numerales mayores de cien donde el operador de sobre escritura es requerido y es difícil de
aprender ya que es especifico del sistema de numerales arábigos.
En este orden de ideas, Orozco, Guerrero y Otálora (2007) hacen una revisión de
antecedentes en trabajos de transcodificación numérica que les permite proponer argumentos
para dar una mirada más amplia y posibilitar nuevas clasificaciones a los errores sintácticos en la
escritura de dígitos arábigos, por lo tanto proponen cinco categorías (yuxtaposición,
compactación, concatenación, composición y nudos impropios) para caracterizar las
producciones realizadas del dictado de numerales en rango superior a 208 niños divididos entre
1°,2° y 3° grado de primaria donde la edad está en función del grado escolar.
Los resultados indican que los niños al escribir numerales arábigos cometen más errores
de tipo sintáctico que léxicos, pero los autores plantean que las reglas de producción propuestas
por Power y Dal Martello (1990) no son suficientes para explicar la evolución del error de
concatenación que aumenta significativamente de primero a segundo grado en numerales en el
orden de los miles y que continua en tercer grado de primaria.
De lo anterior se puede concluir que este estudio presenta una base empírica para realizar
una descripción evolutiva del proceso de transcodificación numérica, en este sentido los niños de
primer grado privilegian la relación de yuxtaposición, la cual disminuye a medida que el grado
escolar aumenta, mientras la relación de concatenación predomina en tercer grado y su
incremento es proporcional al de los grados. Este cambio se debe a que el niño cuando
yuxtapone o compacta escribe el numeral arábigo codificando marcas de cantidad y de potencia,
sin embargo, cuando el niño concatena codifica las marcas de cantidad y no opera con el valor de
posición, de lo que se podría inferir que los niños han logrado incorporar la regla que exige
codificar marcas de cantidad, pero en los numerales que contienen ceros sintácticos no logran
dominar el valor de posición.
Otra investigación es la realizada por Barrouillet, Camos, Perruchet y Seron (2004),
quienes proponen un modelo de desarrollo asemantico y procedural para transcodificar
numérales del sistema numérico verbal al sistema numérico arábigo, estos autores se centran en
cómo se da el proceso de desarrollo en la escritura de numerales arábigos, por lo cual el modelo
se divide en dos momentos, el ADAPT BASIC es un sistema complejo que permite la escritura
10
de extensas cadenas numéricas y el ADAPT ADV considera que la escritura de los numerales
del “1” hasta el “99” es realizada por recuperación directa en la memoria a largo plazo.
Bajo este criterio la presente investigación toma como referencia los resultados del
estudio de Power y Dal Martello (1990) que indica que los errores al escribir numerales arábigos
están localizado en las relaciones de tipo aditivo que requieren el operador de sobre escritura,
mientras en la relación de tipo multiplicativo que requiere de la operación de concatenación no
se presentaron errores. Por otra parte, los resultados de la investigación realizada por Seron y
Fayol (1994) reportan errores en la escritura de dígitos arábigos que implica una relación
multiplicativa.
En este sentido los autores con la finalidad de ampliar la discusión sobre los errores que
cometen los niños al escribir numerales arábigos, realizan un dictado de 92 numerales de dos,
tres y cuatro dígitos, a 410 niños de segundo y tercer grado de primaria, en un rango de edad
entre 7.6 y 8.6 años.
El modelo ADAPT ADV se aplicó a todos los 92 numerales dictados, debido a que esta
versión del modelo asume que todas las formas decena – unidad, ya han sido almacenadas en la
memoria a largo plazo y por lo tanto se transcriben por recuperación directa. Se trabaja de esta
forma con los sujetos ya que la enseñanza en transcodificación de numérales en colegios
franceses empieza en el último año de párvulos, por lo cual los autores suponen que los
estudiantes de segundo grado han interiorizado las cantidades básicas de diez.
Los resultados indican que los errores en las relaciones multiplicativas constituyen el
primer nivel de desarrollo en la escritura de numerales arábigos, de igual manera se puede decir
que los errores de transcodificación completamente literal predomina solo en niños que están a
prendiendo a escribir extensas cadenas numéricas por ejemplo se le dicta “ciento cinco” y escribe
“1005”, mientras los errores de transcodificación parcialmente literal se dan en segundo grado de
primaria, por ejemplo al niño se le dicta “ciento trece” y este lo escribe “1013”, en este sentido se
podría hablar de un avance en el desarrollo de la escritura de numerales arábigos debido a que el
error mencionando anteriormente baja la frecuencia en tercer grado de primaria.
Del anterior modelo se puede concluir que hace un aporte significativo en términos de la
forma en que se va dando el desarrollo de la escritura de numerales arábigos para dar cuenta de
11
pequeñas cadenas numéricas y para dar cuenta de extensas cadenas numéricas y el segundo
aporte está relacionado con los análisis estadísticos debido a que se ha demostrado que es un
adecuado modelo para predecir el desempeño de los sujetos.
Frente al material concreto, Saxton y Towse (1998), realizan una investigación donde
pretenden comparar el desempeño entre niños de habla inglesa y niños de habla japonesa, con la
finalidad de evidenciar si las palabras números pueden afectar la representación de los conceptos
numéricos. Este estudio se llevó a cabo con 93 niños de habla inglesa y 50 niños de habla
japonesa en un rango de 6 y 7 años de edad. Las tareas que se le presenta a los sujetos contienen
dos fases, la de comprensión donde a los niños se le muestran cubos de diferente valor numérico
y él debe nombrar el valor representado y la de producción donde a los niños se le muestra un
numeral arábigo en una tarjeta y lo debe representar por medio de los objetos concretos.
El análisis se realiza de acuerdo a trabajos anteriores, donde las respuestas son
clasificadas en tres categorías, composición solo con bloques de unidad, composición canónica
en base diez y composición no canónica, es decir el número de unidades es superior al de
decenas, los resultados indican que los niños de habla inglesa en la fase de comprensión dan
cuentan adecuadamente al representar los conceptos numéricos en palabras números, mientras
los niños de habla japonés en la fase de producción dan cuenta de composiciones de tipo
canónico, componiendo el concepto numérico con cubos de decena y unidad, aunque se pensó
que este grupo de niños podría tener una idea errónea al desempeñarse con los cubos de decena,
de lo anterior se puede concluir que las diferencias culturales o que los factores lingüísticos no
son limitantes a las capacidades de los niños para representar conceptos numéricos a través de
objetos concretos.
Dentro del segundo grupo de investigaciones se encuentra el trabajo realizado por Seron
y Fayol (1994), a través de un análisis funcional con 20 niños de habla francesa que cursan
segundo grado de primaria, a los cuales le propone cinco tareas, la (1) tarea es un dictado del
formato de representación verbal al formato de representación arábigo, la (2) tarea es de
comparar magnitudes numéricas, la (3) tarea fue de comprensión gramatical, la tarea (4)
consistía en representar verbalmente el numeral referido por las fichas de colores y la (5) tarea
consistía en escribir numerales arábigos de acuerdo al valor representado en las fichas.
12
A los niños les fue pedido escribir en dígitos, 95 numerales presentados verbalmente; 27
de estos ítems correspondían a primitivos léxicos verbales, 20 ítems a la estructura decena -
unidad, (20 ítems) en la estructura de la palabra centena en relación Producto - suma y la palabra
del tipo centena- década - unidad, (20items) en la estructura de la palabra mil en relación
producto - suma y (28 ítems) en la palabra de tipo mil- centena-década –unidad.
Los resultados muestran que los niños al producir numerales arábigos desde las diferentes
tareas, dictado de numerales y fichas de colores cometen los mismos tipos de errores
transcodificación completamente literal y transcodificación parcialmente literal, de lo que se
puede inferir que las formas de presentación afectan la escritura de numerales arábigos de igual
manera.
Por otra parte, Brizuela y Cayton (2010), estudia la relación entre las representaciones
orales, las representaciones con fichas y las representaciones arábigas, en un mismo estudio, con
el mismo grupo de niños que fueron distribuidos en pre escolar, primero y segundo de primaria.
En esta investigación se utilizaron dos tareas; (1) la primera de ellas consistió en
presentarles a los niños numerales verbales, para que luego los anotaran de forma arábiga y la (2)
segunda, consistió en presentar una colección de fichas para que representaran su valor con el
correspondiente numeral arábigo.
Los resultados indican claramente que a los niños cuando se les realizo la presentación
con las fichas de valor para escribir los numerales arábigos cometieron respuestas de tipo no
convencional transcodificación completamente literal y notación compactada, pero la
presentación de forma verbal para anotar los numerales arábigos se asoció con respuestas de tipo
convencional, en este sentido se puede plantear que se presenta un efecto representacional debido
a la disociación en las producciones en los numerales arábigos.
Otra investigación es la realizada por Smith y Tolchinsky (1993), quienes estudian la
relación entre el dibujo, el sistema numérico verbal y la notación numérica, este estudio se llevó
acabo con 56 niños, que se dividieron en 20 de párvulos con 4 años de edad, 20 niños de
prescolar con 5 años de edad y 16 niños de primer grado con 6 años de edad. La tarea que se
presentó al grupo de sujetos consistía en nombrar lo que había dibujado y luego escribir lo
dibujado.
13
Los resultados indican que las notaciones denotan niveles diferenciados, en el caso de los
niños de cuatro años acuden a la utilización de formas de representación diversa cuando intentan
expresar un mismo concepto numérico por ejemplo dicen el sintagma completo “dos ruedas”
para señalar lo escrito pero no lo representan de forma convencional, es decir muestran la
cantidad a través del dibujo. Sin embargo los niños de seis años acuden al uso específico de
sistemas de representación, por ejemplo dicen el sintagma completo “cinco ruedas” para dar
cuenta de lo escrito y lo representa de forma convencional, el digito “5”, la palabra rueda y
dibujan los cinco objetos, es decir dan cuenta de un mismo concepto numérico a través de
diferentes formas de representación, de lo que se podría concluir que un sujeto para usar un
sistema notacional bajo una función comunicativa debe transgredir la semántica interna para dar
cuenta de inscripciones funcionalmente adecuadas.
En el tercer grupo de investigaciones se encuentra el trabajo realizado por Fuson y Briars
(1990), aplican un modelo llamado aprendiendo a usar bloques en base diez / en la enseñanza del
enfoque del valor de posición, la suma y resta multidigito a 169 niños de primer y 75 niños
segundo grado”, con la finalidad de que los niños construyan la estructura conceptual que bajo
esta postura seria la adecuada interacción entre el formato de representación verbal, el formato
de representación arábigo y las operaciones aritméticas de suma y resta.
Los resultados indican que los niños de primer y segundo grado que trabajan con este
enfoque muestran un desempeño superior en la suma, la resta, la etiqueta verbal, la escritura de
numerales arábigos en función del valor de posición y la manipulación con el material concreto,
en comparación con los resultados de estudiantes de tercer grado que han tenido una instrucción
tradicional.
A nivel general se podría concluir de lo dicho anteriormente que cada formato de
representación presenta una complejidad que en primera instancia no permite que los niños
establezcan relaciones entre los sistemas de representación numérica y en segundo momento
afecta el desempeño de los niños para dar cuenta de los conceptos numéricos.
14
3. MARCO TEORICO
3.1 El proceso de transcodificación numérica y algunos modelos de procesamiento
numérico
De acuerdo a (Barrouillet, Camos, Perruchet y Seron, 2004; McCloskey y Maracuso,
1995 y Orozco y Hederich, 2002) se puede definir el proceso de transcodificación numérica
como un conjunto de reglas que son activadas para trasladar numerales de un formato de
representación numérico verbal a un formato de representación numérico arábigo o un formato
de representación material concreto y viceversa, independientemente que el modelo sea de tipo
semántico o asemantico, por ejemplo al sujeto se le dicta la palabra numero ocho y el la traduce
al formato de representación arábigo 8 o la representa en materiales concretos con ocho cubos de
unidad.
Según Barrouillet et al. (2004), Plantea que un modelo de procesamiento numérico es
semántico cuando dicho proceso involucra la generación de una representación semántica de la
cantidad para dar cuenta de la información numérica en los diferentes formatos de
representación, cuando esto no ocurre, se dice que el modelo es de tipo asemántico, debido a que
la relación entre los formatos de representación no va mediada por ningún significado.
Los modelos de procesamiento numérico están influenciados fuertemente por la metáfora
computacional de la mente. Así, estos modelos proponen el estudio del procesamiento final, bajo
la separación de estructuras y procesos, trabajando especialmente con adultos que presentan
lesiones cerebrales (ver, Cipolotti y Butterworth, 1995; Dehaene, 1992; McCloskey, 1985 y
McCloskey y Maracuso, 1995). En este sentido, la mayoría de los estudios que se interesan por
abordar el proceso de transcodificación numérica, no trabajan con sujetos normales, solo
recientemente se ha comenzado a abordar este tipo de población y el estudio de este fenómeno en
niños.
Orozco et al. (2007), proponen el estudio del proceso de transcodificación en niños
escolarizados de 1 a 3 grado de primaria, los resultados obtenidos indican que los niños cometen
15
más errores de tipo sintáctico que léxicos. Para estos autores los errores léxicos1 son aquellos
que se caracterizan por el cambio del último digito en la cadena del numeral arábigo sin alterar el
rango numérico, Por ejemplo, en la tarea de dictado al sujeto se le expresa la palabra número
veinticinco y este escribe el numeral 26. Por otra parte, los errores sintácticos presentan
alteraciones en el rango numérico, debido a la inserción o sustracción del digito “cero”, por
ejemplo en la tarea de dictado al sujeto se le expresa la palabra número trescientos veinticinco y
este la podría producir de diversas formas 3025 o 30025. De igual manera, Brizuela y Cayton
(2010) estudian la relación entre representaciones verbales, notaciones arábigas y
representaciones con fichas con niños de pre escolar, primero y segundo de primaria, los
resultados indican que las respuestas no convencionales están relacionadas con errores de
transcodificación completamente literal y notación compactada que son errores de tipo sintáctico.
Al comparar los desempeños de los niños que están en proceso de adquirir las
competencias numéricas en función de los modelos de procesamiento numérico que están
divididos en una ruta de carácter semántico y otra de carácter asemántico, se podría pensar que
en esta población es necesario apelar a la ruta de tipo semántico ya que es poco adecuado
establecer que utilizan procedimientos automatizados, debido a que carecen de experticia en la
codificación de numerales en diversos rangos numéricos (Guerrero,2004).
El modelo de Deloche y Seron (1987), propone que para trasladar algoritmos de un
formato numérico verbal a un formato numérico arábigo o viceversa, se da a través de una
representación asemántica, que contiene una serie de reglas.
Desde este modelo la relación entre los formatos numéricos se inicia con el proceso de
parsing que se encarga de operar en el código fonológico desde el inicio hasta el final de las
palabras números, identificando los primitivos léxicos a través de la búsqueda en un lexicón
fonológico; otro proceso es el de categorización que su función es determinar a qué clase
pertenece los primitivos léxicos y el valor de posición, de igual manera identifica la palabra
centena, los separadores de mil y millón y por último la producción da como resultado la
escritura del numeral en la forma de dígitos. Por lo tanto se puede concebir la transcodificación
1 En la presente investigación no se van a tener en cuenta los errores léxicos puesto que diversas investigaciones han
mostrado un mayor número de errores sintácticos que léxicos en la escritura de numerales arábigos (Brizuela y
Cayton, 2010; Orozco et al. 2007; Power & Dal Martello, 1990 y Seron y Fayol, 1994).
16
como el conjunto de reglas que son activadas por la información relacionada con los primitivos
léxicos.
Una última forma de analizar el proceso de transcodificación numérica va ser llevada a
cabo desde el modelo de múltiples rutas de Cipolotti (1995), y Cipolotti y Butterworth (1995),
quienes proponen que la transcodificación numérica es mediado por un proceso semántico o
asemántico, que es activado en función del tipo de tarea donde es inhibido un proceso cuando se
va a operar con el otro.
Dentro de esta categoría se encuentra el modelo del triple código propuesto por Dehaene
(1992), el cual opera en función de tres representaciones numéricas, la primera es la forma
arábigo visual, la segunda es la forma auditiva de la palabra verbal y la tercera es la magnitud
análoga de cantidad.
El autor plantea que al transcodificar numerales conocidos se activa una vía semántica y
léxica, mientras que al transcodificar numerales desconocidos entre el formato verbal y el
formato arábigo o lo contrario, se activara una vía asemántica, para dar mayor precisión a lo
dicho anteriormente trasladar numerales arábigos a numerales verbales en forma hablada
requiere convertir las representaciones numéricas arábigo visuales a respuestas por medio de la
palabra número bajo un proceso directo, es decir se transforma la representación grafémica del
digito a representaciones fonológicas de la palabra número, donde esto sucede por un marco
sintáctico que viene del digito hasta la palabra.
El modelo de procesamiento numérico más representativo en la literatura es el de
McCloskey (1985) que propone un modelo a nivel general que está compuesto por mecanismos
de procesamiento numérico que asumen una independencia funcional. Estos mecanismos son
denominados de comprensión y producción numérica y son activados tanto para el
procesamiento de numerales arábigos, como para el de procesamiento de numerales verbales. De
acuerdo con este modelo, el sistema de comprensión numérica se encarga de trasladar los
numerales que ingresan al sistema cognitivo en representaciones semánticas internas,
información que será usada posteriormente para otros procesos, como la realización de cálculos o
la comparación de cantidades. De forma contraria el sistema de producción de numerales traslada
las representaciones semánticas de los números a la forma de salida adecuada. La representación
17
semántica es asumida para especificar una cantidad numérica abstracta y la potencia de diez
asociada a cada una.
Dentro del sistema de comprensión y de producción de numerales verbales y arábigos, se
da una diferencia entre el proceso léxico y sintáctico. El proceso léxico implica comprender y
producir un numeral individual en cualquier tipo de formato por ejemplo el digito “5” en su
representación arábiga y la palabra “cinco” en su representación verbal; y el proceso sintáctico
implica la combinación de los elementos individuales ya sea en forma arábiga o en forma verbal
para producir el numeral en su totalidad, por ejemplo el digito “25” en su representación arábiga
o la palabra “veinte y cinco” en su representación verbal, necesitarán que su composición tenga
en cuenta la potencia de diez asociada al numeral y el valor de posición para dar como resultado
una cantidad total.
En el proceso léxico se hace una distinción entre dos mecanismos, el fonológico que tiene
como función procesar numerales hablados y el grafémico que procesa numerales escritos. Por
ejemplo, la producción hablada de la palabra ocho necesitará ser recuperada de la representación
fonológica que será buscada en un depósito mental o lexicón fonológico, mientras la producción
escrita de esta palabra necesitará ser recuperada de la representación grafémica (o-c-h-o) que
será buscado en un lexicón grafémico para producir el numeral como un todo. En el proceso
sintáctico la distinción fonológica–grafémica no es requerida debido a que este proceso combina
las representaciones para producir el numeral (McCloskey y Maracuso, 1995).
Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, en primer momento el modelo es relevante
debido a que diversos autores lo han tomado como fuente de referencia para explicar cómo se da
el procesamiento numérico o donde radican las dificultades de los sujetos en el desempeño de la
escritura de numerales arábigos y en segunda instancia permite establecer una relación
fundamentada empíricamente entre el formato de representación verbal y el formato de
representación arábigo, dejando claro que las representaciones fonológicas de los numerales
hablados y la representación grafémica de los dígitos dan cuenta de las características externas
del numeral, donde la representación externa puede ser convertida en una representación
semántica interna o viceversa, en este sentido la relación entre los formatos cumple una función
en doble vía (ver McCloskey y Maracuso,1995).
18
3.2 Formatos de representación numérica:
Según Fayol y Seron (2005), se podría decir que el concepto de representación numérica
abarca diferentes categorías, numerosidad, notación numérica o código simbólico y
representaciones numéricas mentales, bajo este criterio en el presente trabajo se hará énfasis en
los sistemas de representación externos o códigos simbólicos.
Desde este punto de vista se puede decir que las representaciones externas se definen
como construcciones cognitivas que reflejan un conocimiento a partir de reglas externas que
guían la escritura de dígitos, gráficos y objetos físicos en la relaciones espaciales o visuales, de
igual manera contienen unas características que son variadas, por ejemplo, las palabras números
o los signos numéricos en el lenguaje braille son representaciones externas directamente
perceptibles no permanentes mientras, la escritura de palabras números o la notación numérica se
consideran representaciones externas permanentes, en este sentido cada formato de
representación externo genera comportamientos a nivel cognitivo diferentes (Martí y Pozo, 2000;
y Zhang 2000).
3.2.1 Sistema numérico verbal
El sistema numérico verbal ingles según McCloskey (1992), está compuesto por palabras
número, que van del “uno” al “nueve”, y que designan cantidades básicas. Las palabras que van
del “veinte” al “noventa”, representan las cantidades básicas de diez. Las palabras que van del
“once” al “diecinueve” que resultan de las combinaciones entre las cantidades básicas y las
decenas. Por otra parte, los numerales de mayor orden surgen de la asociación de todos los
numerales verbales mencionados anteriormente, añadiendo la palabra multiplicada de cien, mil y
millón.
Bajo este criterio Brysbaert (2005), propone que los numerales verbales de cero a doce se
pueden considerar como mono-morfémico ya que dan cuenta del significado de una sola unidad,
también pueden ser poli-morfémico debido a que el significado va mediado por dos morfemas,
por ejemplo la representación de cantidad básica de diez (veinte) y la representación básica de
cantidad (uno), y hay algunos numerales verbales que no están en ninguna de las categorías,
porque las palabras que los componen no son derivados de la palabra número original.
19
En el caso de las expresiones numéricas verbales en castellano Orozco y Hederich (2002)
proponen dos categorías, primero morfonológica para diferenciar prefijos de sufijos y analizar
contracciones, segundo, sintácticas que permiten establecer diferencias entre las palabras que
componen cada expresión y la relación entre ellas.
En este sentido, se diría que hay palabras numéricas que marcan cantidades básicas, en
este caso las palabras números “dos, tres, cuatro, cinco” y los prefijos “cuar/ cincu”; mientras
hay palabras numéricas que dentona potencia de diez, en este sentido las palabras números “cien,
mil y millón” y los sufijos “enta/ cientos”.
Partiendo de lo anterior, se podría decir que las expresiones numéricas verbales en
castellano denotan una secuencia de operaciones aditivas y multiplicativas entre “prefijos y
sufijos o palabras números que denotan marcas de cantidad básica y palabras números que
denotan potencia de diez”.
A nivel general, el sistema verbal para nombrar cantidades varía de una cultura a otra, sin
embargo, se presentan unos principios de organización que parecen universales. La diferencia
radica en las variaciones léxicas y sintácticas que hacen al sistema numérico verbal más o menos
transparente, dicho de otra forma lo léxico y lo sintáctico indican que un sistema numérico verbal
es transparente cuando se presenta una relación entre la estructura de la palabra número y el
concepto de número. En este sentido Fuson et al. (1997) y Seron y Fayol (2005), proponen que
las palabras números afectan los procesos de aprendizaje para establecer la relación con otros
sistemas de representación numérico, por ejemplo para los niños Europeos o de Estados unidos
es demasiado complejo establecer una relación entre las palabras números denominadas
“cantidades básicas de diez y las cantidades básicas” o “ las cantidades básicas y las decenas”
con los numerales arábigos escritos o con materiales concretos, debido a las irregularidades en
las decenas que no son explicitas, por el contrario las palabras números en Chinos facilitan al
niño establecer la relación con los dígitos escritos, ya que la relación entre unidades y decenas es
explicita, por ejemplo el “12” se pronuncia “ ten two” o “53” “five ten three”.
Desde esta perspectiva, Seron y Fayol (1994) realizan un estudio comparativo entre niños
Wallones y Franceses con la finalidad de analizar las complejidades léxicas y sintáctica del
sistema numérico verbal, a los niños les fue pedido escribir en dígitos, 95 numerales presentados
20
verbalmente; 27 de estos ítems correspondían a primitivos léxicos verbales, 20 ítems a la
estructura decena - unidad, (20 ítems) en la estructura de la palabra centena en relación Producto
- suma y la palabra del tipo centena- decena - unidad, (20items) en la estructura de la palabra mil
en relación producto - suma y (28 ítems) en la palabra de tipo mil- centena-decena –unidad, los
resultados indican que la estructura decena – unidad presenta una gran influencia en el
desempeño de los niños franceses en la tarea de comprensión gramatical y en la escritura de
dígitos arábigo, los autores proponen que estos errores pueden ser debido a factores culturales en
Francia por la forma de nombrar las cantidades numéricas.
3.2.2 Sistema numérico arábigo
De acuerdo a (Brysbaert, 2005; Orozco y Hederich, 2002; Seron y Fayol, 2005 y Zhang y
Norman, 1995), se podría decir que el sistema de numerales arábigos se organiza en función de
un sistema numérico que responde a una base diez, el cual propone diez dígitos operadores que
corresponden al 1,2,……9 y el 0, que se utiliza para denotar ausencia de cantidad, estos
operadores permiten representar cualquier tipo de concepto numérico
Es importante mencionar que la base numérica designa la forma como deben ser
utilizados los operadores. Igualmente, este sistema de expresión numérica se caracteriza por ser
posicional, esto implica que cada posición que ocupa un digito en un numeral arábigo expresa un
valor diferente y que dicho valor aumenta de derecha a izquierda, es decir, las posiciones más a
la derecha en un numeral expresan unidades con valor menor que aquellas que se encuentran en
una posición inmediatamente a su izquierda.
Teniendo en cuenta lo anterior, la relación que establece el sistema numérico arábigo en
primer momento es de tipo multiplicativo. De esta manera, el valor de cada unidad se incrementa
en diez veces de derecha a izquierda, por ejemplo, las unidades de “1”; las unidades de “10”; las
unidades de “100”; las unidades de “1000” y las unidades de “1000.000” y en segunda instancia
se habla de una relación de tipo aditivo debido a que los operadores están ubicados en posiciones
diferentes dando cuenta de un valor, por ejemplo en el numeral “ciento cincuenta y siete”
muchos niños lo escriben de la siguiente manera “100 – 50 – 7” obviando que el digito “1” está
ubicado en la posición de las unidades que valen cien, que el digito “5” está ubicado en la
posición de las unidades que valen diez y que el digito “7” está ubicado en la posición de las
unidades que valen uno.
21
Diversas investigaciones ( Orozco, Guerrero y Otálora, 2007; Power y Dall Martello,1990
y Seron y Fayol, 1994) han mostrado que el desempeño de los niños en los primeros grados
escolares en tareas de transcodificación numérica (escritura de numerales arábigos) no es el más
adecuado, esto puede ser debido a que los niños no logran establecer una relación entre las
palabras número y el valor de posición que es requerido para operar con el sistema numérico
arábigo, por ejemplo en “cinco mil cien” el mil da el valor del digito 5 indicando que no son
cinco unidades si no que son cinco mil, en este sentido se puede evidenciar la irregularidad entre
los diferentes formatos de representación numérica que afecta el desempeño de los sujetos en el
sistema numérico arábigo.
3.2.3 Representación numérica y cantidad
Una de las dificultades más grandes en la asignatura de matemáticas es como se puede
ayudar a los niños a comprender los conceptos abstractos, tales como la suma, la multiplicación
y los símbolos numéricos que son usados para representar los conceptos numéricos, frente a esta
problemática tanto docentes como psicólogos que trabajan en investigación en cognición y
matemática han desarrollado una serie de técnicas con la finalidad de ayudar a los niños en el
aprendizaje de los conceptos numéricos (Uttal; Scudder y Deloache, 1997).
Muchos de los intentos por mejorar la instrucción metamatemática han estados
vinculados al uso de los objetos concretos en relación con otras formas de expresión matemática,
por lo cual investigadores han propuesto que es importante usar este tipo de materiales por la
estructura sistemáticamente paralela al sistema notacional en base diez, lo que permite al niño la
comprensión del valor de posición, reconocer las palabras números y la escritura de dígitos
arábigos (ver a Chao, Stigler y WoodWard, 2001 y Price, 1997).
Según Baroody (1990) el uso de los materiales concretos sirve para que los niños
construyan un esquema abstracto del sistema notacional en base diez, por lo tanto atribuirle un
valor numérico para dar cuenta de conceptos numéricos posibilita en el sujeto diferentes niveles
de representación. En este sentido se podría decir que los niveles de representación, físico, cuasi
abstracto y abstracto pueden asociarse con el material concreto, bloques de unidad, bloques de
Dienes y fichas de colores o juegos de dinero.
22
El trabajo con el primer tipo de material concreto consiste en que el sujeto haga un grupo
de 10 unidades, por lo cual esta forma de uso permite al niño construir una relación entre
cantidad y los conceptos numéricos simples. Dicho de otra manera, el concepto de unidad tiene
relevancia con lo físico, a lo que se denominaría primer nivel de cantidad; El segundo tipo de
material concreto; llamados bloques de Dienes, son utilizados para trabajar con problemas que
involucran más de dos dígitos. En este caso los tamaños de los cubos se relacionan con las
diferentes unidades del sistema notacional en base diez donde el niño para dar cuenta de un
concepto numérico debe establecer relaciones de tipo aditivo y multiplicativo, sin embargo,
muchos sujetos cometen errores debido a que se estarían empezando hacer una desvinculación
entre lo físico y el concepto de número, pero la relación entre el nivel cuasi abstracto y los
bloques de Dienes llevan al sujeto a usar operaciones de unión, facilitando al niño la
comprensión en la noción de unidad compuesta (Medina, 2012). Por lo tanto se puede hablar de
un segundo nivel de cantidad y el tercer tipo de material concreto llamado fichas de colores o
juegos de dinero permiten que el niño establezca una relación entre lo concreto y lo abstracto,
debido a que la forma de uso requiere que el sujeto atribuya valores numéricos lo que implica
realizar composiciones fundamentadas en conceptos numéricos, que dan cuenta que se está
operando en el plano de lo mental, en este sentido se hablaría del tercer nivel que sería la
construcción de un esquema abstracto.
Partiendo de lo dicho anteriormente se puede concluir que el material concreto genera
que los niños puedan construir relaciones con diferentes niveles de complejidad numérica y por
otro lado la forma de usar los objetos concretos lleva a que los sujetos presenten diferentes
demandas cognitivas de acuerdo con el nivel de representación que se están desempeñando.
Teniendo en cuenta los formatos de representación numéricos descritos anteriormente,
sistema numérico verbal, sistema numérico arábigo y representación numérica y cantidad, es de
interés retomar el modelo de Fuson et al. (1997), quien establece un acercamiento a la dificultad
de los niños en la relación entre los distintos formatos de representación numéricos.
La autora propone que la comprensión de los conceptos numéricos se da a través de la
relación entre los formatos de representación numéricos, bajo este criterio los niños primero
aprenden las palabras números y luego aprenden la escritura de dígitos, en este modelo para que
se establezcan relaciones se debe tener en cuenta dos pasos, el primero relacionar la escritura de
23
numerales arábigos con la palabra número y segundo relacionar la palabra número con la
cantidad, por ejemplo la relación entre cantidad y los numerales arábigos esta mediada por el
nombre de las palabras números a través del proceso de conteo, para dar cuenta de lo
representado en los dígitos arábigos, por lo tanto la relación directa entre cantidad y marcas
numéricas se da por procesos de asociación en memoria con algunos conceptos numéricos.
En la concepción de unidad multidígito la relación entre palabras números, dígitos
escritos y cantidades, se caracteriza porque los niños en la cantidad no establecen la diferencia en
los grupos de objetos, en las palabras números y en la escritura de numerales arábigos no
diferencian entre las diferentes unidades del sistema notacional en base diez, por ejemplo en 15
galletas el “1” no es relacionado con las unidades de diez para dar cuenta del quince y en la
cantidad no se presenta una separación significativa entre 10 galletas y 5 galletas.
Por otra parte en la concepción de decena y unidad, los niños al tener la experiencia de
contar largos números a través de objetos concretos y ver las marcas escritas, facilitan al sujeto al
escuchar las palabras números separar las decenas de las unidades, para establecer una relación
con la cantidad, por ejemplo “cincuenta” para cincuenta objetos y “tres” para tres objetos, pero
en la escritura de numerales arábigos esta concepción conduce regularmente a un error, debido a
que el niño escribe los dígitos traduciendo las características de las palabras números o dicho de
otra manera las palabras números son concatenadas, por ejemplo los niños escriben el cincuenta
y tres de la siguiente manera “503”.
24
4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Una capacidad asombrosa de la mente huma en la primera edad escolar, es la habilidad
para operar con números y establecer relaciones entre ellos como mayor que o menor que. Sin
embargo el número al ser un concepto abstracto independiente mente de los objetos que se
cuenten o formas que se usan para representarlo, presenta dos propiedades que tienen dichas
características, la primera seria la cardinalidad, que implica la condición de unidad compuesta
susceptible de descomponerse entre otras unidades compuesta y volverse a componer, mientras
la segunda seria la ordinalidad, que hace referencia a un sistema organizado con un orden
establecido donde cualquier elemento siempre será mayor que el anterior y que el siguiente
(Otálora, 2007).
Cuando los niños logran establecer relaciones abstractas entre los conceptos numéricos
dando cuenta de un significado cardinal, ordinal, aditivo y multiplicativo se podría decir que han
alcanzado el manejo de los números naturales.
Los formatos de representación numéricos como las palabras número2 y la notación
arábiga3 permiten la manipulación de los conceptos numéricos a nivel interno donde se ponen en
juego las propiedades abstractas mencionadas anteriormente, de igual manera, cumplen una
función comunicativa dando cuenta de la expresión de cantidades y los resultados de las
operaciones ejecutadas a nivel interno.
Los niños inicialmente en el acercamiento a los sistemas de representación numérico
carecen de significado abstracto atribuidos propiamente a los objetos numéricos, pero en el
proceso de inmersión a la cultura la significación toma lugar y progresivamente los va dotando
de sentido hasta alcanzar avanzados niveles de abstracción y formalización.
Según Otálora (2007) el proceso de construcción del conocimiento numérico esta
mediado por tres pasos, el primero sería la construcción de significados idiosincráticos que se
caracterizan por ser representaciones propias que el mismo niño establece y solo son entendidas
por él, lo segundo seria la construcción del significado uno a uno de la cantidad donde se
2 Las palabras números son un formato de representación externo donde se alude al leguaje hablado.
3 La notación arábiga es un formato de representación externo donde se aluden a los dígitos para dar cuenta de los
conceptos numéricos. Por ejemplo: 1, 2,3 etc.
25
establece una correspondencia biunívoca con los elementos a contar o actividades de
composición/descomposición, dicho de otra manera, hay una relación entre los elementos con la
idea que ellos representan y por último, aparecen los significados ordinales, cardinales, la
significación alterna de las reglas de los diversos sistemas de representación numéricos.
Finalmente el anterior proceso permite la flexibidad del pensamiento del niño para operar con las
propiedades abstractas en los diversos formatos de representación numérica.
De lo anterior se podría concluir que la progresiva significación de las propiedades
abstractas para desempeñarse en los distintos formatos de representación numéricos constituye
un proceso altamente psicológico siendo esta la ruta para acceder al desarrollo de la función
simbólica.
No se podría decir que lo anterior se restringe al dominio del procesamiento numérico
pero es fundamental para su constitución porque a nivel de los procesos de desarrollo cognitivo o
aprendizaje, si un sujeto presenta dificultades para acercarse a la adquisición de habilidades
matemáticas, como operaciones aritméticas, operar con los sistemas de representación numérico
y realizar el proceso de transcodificación numérica, se hablaría de una discalculia del desarrollo,
que se caracteriza por una diferencia significativa en las capacidades matemáticas específicas y
la inteligencia general, dicho de otra manera, hay una marcada diferencia entre la edad mental y
la edad cronológica frente al dominio matemático. En este caso los modelos de procesamiento
numérico se convierten en exitosos para interpretar el desempeño de los sujetos que presentan
problemas de aprendizaje al operar con conceptos numéricos en los diversos sistemas de
representación numérica.
Uno de los formatos de representación numérica que ha sido estudiado con mayor
profundidad y frecuencia, es el sistema numérico arábigo, pero en menor medida el sistema
numérico verbal y el formato de representación numérico a partir de la utilización de material
concreto.
Fuson et al,(1997) y Seron y Fayol (2005), proponen que el sistema numérico verbal
exige operar con palabras número que representan cantidades básicas (e.j., “uno”, “dos”, etc.),
cantidades básicas de diez (e.j., “diez”, “veinte”, etc.) y primitivos léxicos como “cien”, “mil” y
26
“millón”; las cuales proponen un nivel de dificultad mayor para los sujetos, pues no
proporcionan información sobre las cantidades que representan.
Las exigencias que subyacen al dominio de este formato – numérico verbal – y de los
tipos de numerales mencionados, suponen un efecto en los procesos de aprendizaje y en el
establecimiento de relaciones con otros formatos de representación numérica, tales como el
arábigo escrito ó la representación de cantidades con material concreto. Igualmente, estas
también aluden a las características propias de cada sistema de representación numérico, pues
cada uno de ellos plantea unas reglas de funcionamiento diferentes que deben ser coordinadas y
relacionadas para poder establecer traducciones de un número entre distintos formatos de
representación. Por ejemplo, escribir un numeral arábigo como “12” a partir del dictado de la
palabra numérica “doce”, exige identificar la cantidad básica “dos” que aparece en la segunda
posición de dicho numeral y asociarla a una posible partícula de cantidad en su correspondiente
palabra numérica. Así, un numeral verbal como “doce” dificulta el establecimiento de relaciones
entre los dos formatos mencionados, en la medida que no proporciona ningún indicador verbal
que permita reconocer la cantidad básica a la cual se alude.
En este sentido, autores como Barrouillet, Camos, Perruchet y Seron, 2004; Power y Dall
Martello, 1990; Seron y Fayol, 1994; y Orozco, Guerrero y Otálora, 2007, han mostrado que el
desempeño de los niños en los primeros grados escolares en tareas de escritura evidencia
dificultades en su producción, que involucran errores reiterativos de tipo sintáctico, como por
ejemplo, cuando al sujeto se le dicta la palabra número “ciento veinte” y el sujeto escribe; 10020
ó 1020. Fuson y Briars (1990) y Fuson et.al. (1997), plantean que a los niños también se les
dificulta establecer relaciones entre las palabras números y el valor de posición, cuando
componen cadenas de dígitos en el sistema numérico arábigo, dicho de otra manera, los niños
presentan dificultad en traducir palabras numéricas al formato de representación numérico
arábigo, porque las reglas léxico – sintácticas en ambos formatos son diferentes. En este sentido
se podría pensar que el origen del error está enmarcado en que los sujetos no logran comprender
las reglas operatorias de cada sistema de representación numérico, debido a que, en la primera
edad escolar los docentes enseñan la numeración arábiga o el trabajo con material concreto a
partir de las palabras números.
27
Frente al formato de representación con material concreto, Baroody (1990), propone que
la forma de usar los objetos concretos posibilita al sujeto acceder a diversos niveles de
representación; físico, cuasi abstracto y abstracto. Pare este tipo de formato Saxton y Towse
(1998), estudian el desempeño de niños de habla inglesa y niños de habla Japonesa en una tarea
de comprensión y otra de producción con material concreto, concluyendo que los factores
lingüísticos no son limitantes a las capacidades de los niños para representar conceptos
numéricos a través de objetos concretos.
Por su parte Brizuela y Cayton (2010), Seron y Fayol (1994), se han interesado en
observar la relación entre los formatos de representación numérico verbal, numérico arábigo y el
material concreto a través de diferentes situaciones, por ejemplo, a los niños se les propone un
dictado de palabras números para que generen su correspondiente escritura numérica ó se les
presentan colecciones de objetos concretos que proponen un valor numérico determinado, el cual
deben debe escribir en el formato de representación numérico arábigo.
Así, Seron y Fayol (1994), a través de un análisis funcional con 20 niños de habla
francesa a los cuales le propone cinco tareas: (1) escritura de numerales arábigos al dictado, (2)
comparación de magnitudes numéricas, (3) comprensión gramatical, (4) asignación de un ítem
numérico verbal a colecciones compuestas por fichas de colores y finalmente, (5) escritura de
numerales arábigos de acuerdo al valor representado en una serie de fichas. Concluye que las
formas de presentación afectan de igual manera la escritura de numerales arábigos.
Por su parte Brizuela y Cayton (2010), trabajo con niños de preescolar, primero y
segundo de primaria, a los cuales les aplicó dos tareas, la primera de ellas consistía en un dictado
de palabras números, para luego ser escritos en notación arábiga y la segunda consistió en
presentar una colección de fichas, para luego representar su valor en con el correspondiente
numeral arábigo. Concluyendo que las formas de presentación afectan el desempeño de los
sujetos dándose un efecto representacional.
Partiendo de lo dicho anteriormente, la presente investigación propone abordar el estudio
de la relación entre los formatos de representación, pero se diferencia de las investigaciones
mencionadas en párrafos anteriores, debido a que se va realizar un dictado de numerales como
28
única forma de presentación, centrándose en observar cómo los niños producen el mismo
concepto numérico en la escritura de numerales arábigos y con el material concreto.
La pregunta que orienta el presente estudio es:
¿Existen diferencias en el desempeño de los niños de 2° y 3° grado de primaria, cuando
realizan una tarea de escritura de numerales arábigos y otra de composición numérica con
material concreto?
29
5. OBJETIVOS
5.1 Objetivo general
Identificar diferencias en el desempeño de niños de 2° y 3° grado de primaria, cuando se
desempeñan en una tarea de escritura de numerales arábigos y otra de composición numérica con
material concreto.
5.2 Objetivos específicos
Establecer el logro de los niños de 2° y 3° grado de primaria, cuando se desempeñan en
una tarea de escritura de numerales arábigos y la composición numérica con material concreto.
Caracterizar las dificultades de los niños de 2° y 3° grado de primaria, cuando se
desempeñan en una tarea de escritura de numerales arábigos y otra de composición numérica con
material concreto.
Comparar las dificultades que se presentan en los niños de 2° y 3° grado de primaria,
cuando se desempeñan en una tarea de escritura de numerales arábigos y otra de composición
numérica con material concreto.
30
6. HIPÓTESIS
6.1 Hipótesis de trabajo
Existen diferencias en el desempeño de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria,
cuando realizan una tarea de escritura de numerales arábigos y otra de composición numérica
con material concreto.
6.2 Hipótesis nula
No existen diferencias en el desempeño de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria,
cuando realizan una tarea de escritura de numerales arábigos y otra de composición numérica
con material concreto.
6.3 Hipótesis alternativa
Las diferencias en el desempeño de los estudiantes 2° y 3° grado de primaria, cuando
realizan una tarea de escritura de numerales arábigos y otra de composición numérica con
material concreto se asocia con el nivel académico en el que se encuentran.
31
7. METODOLOGÍA
7.1 Descripción del diseño
Para dar respuesta a la pregunta de investigación se propuso un enfoque cuantitativo,
acudiendo a una modalidad cuasi experimental, debido a que no se realizó aleatorización de
sujetos y se introdujo una variable para lo ver las diferencias en el desempeño en la escritura de
numerales arábigos y la composición de numerales con material concreto; aunque lo niveles de
control no fueron tan fuertes como en una investigación experimental. Dentro de la modalidad
cuasi experimental se utilizó un diseño con observaciones solo post simple de cohortes, este
tipo de diseño se caracteriza por contrastar la influencia de una variable a través de distintos
grupos de sujetos, los cuales son expuestos a la misma situación experimental.
Durante cada sesión se aplica a cada uno de los grupos de manera individual dos tareas:
1) Tarea de composición con material concreto, 2) Tarea de escritura de numerales arábigos al
dictado.
Para la aplicación de las tareas se tuvo en cuenta el control de variables extrañas4:
Dentro de los factores externos e internos que pudieron afectar la investigación se
encontró, la maduración, que se contrarresto con la técnica de balanceo, que consiste en
establecer grupos homogéneos para disminuir el efecto de la edad como variable extraña sobre la
variable experimental, en ese sentido para 2° grado de primaria se escogieron sujetos en el
mismo rango de edad y en 3° grado de primaria sujetos en el mismo rango de edad, con la
finalidad de evidenciar como los formatos de representación numéricos afectan el desempeño a
través de los grados escolares.
Otro de los factores que pudo afectar la investigación fue la interferencia de los
tratamientos múltiples, que se contrarresto con la técnica de contrabalanceo, la cual propone, que
el orden de presentación puede afectar el resultado frente a una variable dependiente, por lo tanto
en los ítems numéricos utilizados en las tareas, se realiza un procedimiento de control en el
4 Inicialmente en la investigación propuesta no se realizó control de variables extrañas lo que afecto directamente el
rigor de la investigación por cuestiones de tipo pedagógico y didáctico los jurados le recomendaron anexar la
información.
32
dictado de los numerales, que consiste en cambiar en cada sesión el orden de presentación de los
numerales, con la finalidad de evitar que los niños memoricen los ítems numéricos.
Un último factor que pudo afectar la investigación fue la administración de los test, que
se contrarresto con la técnica constancia de las condiciones, la cual propone, que sea cual sea la
variable extraña, se presenta un mismo valor para todos los sujetos, por ejemplo mantener la
misma instrucción para todos los sujetos, en el caso de la investigación se presentó la consigna
tanto en la tarea de composición de numerales con material concreto y en la escritura de
numerales arábigos de forma similar a los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria.
7.2 Población
Se trabajó con la población de la Institución educativa IMPROVACC de la ciudad Cali
ubicada en el barrio la Rivera, la cual está conformada por estudiantes de estrato dos en su
mayoría. La gran parte de los estudiantes que participaron en la investigación pertenecen a
familias monoparentales, sin embargo presentan una situación económica estable, de igual
manera no se registran antecedentes de maltrato infantil o reportes de violencia intrafamiliar en
las familias de los mismos5.
Para el desarrollo de este estudio se seleccionó una muestra no probabilística intencional,
debido a que se escogen los estudiantes que cumplen los criterios de inclusión, en este caso 26
niño/as distribuidos de la siguiente manera: 13 niños/as que cursan el 2° grado de primaria y 13
niño/as que cursan el 3° grado de primaria.
La selección de los estudiantes se realizó teniendo en cuenta algunos criterios de
inclusión y exclusión:
a) Estudiantes en el mismo rango de edad dentro de cada grado escolar, en este caso
los estudiantes de 2° grado de primaria que participaron en la investigación presentaron edades
entre 7;7.5 años y los estudiantes de 3° grado de primaria que participaron en la investigación
presentaron edades entre 8;8.5 años.
5 Esta información fue obtenida por medio de la directora de la institución educativa.
33
b) Niños que pertenecen al mismo nivel socio económico dentro de cada grado
escolar, en este caso los estudiantes de 2° grado de primaria como los de 3° grado de primaria
que participaron en la investigación pertenecen a un estrato socio económico nivel dos.
c) No se incluyeron niño/as que presentaran dificultades de aprendizaje o problemas
neuropsicológicos. En este caso se realizó un muestreo a propósito donde se le pidió a los
directores de grupo el concepto de cuales estudiantes presentan problemas a nivel cognitivo
diagnosticado, en 2° grado de primaria se encontró un caso y en 3° grado de primaria no se
encontró ninguno.
7.3 Tareas y materiales
En cada una de las tareas se aplicaron en total 16 ítems. Las variables que se consideraron
en las tareas fueron las siguientes:
Tipo de numeral, se trabaja con una cantidad de dígitos de tres cifras que contiene unos
tipos de numerales, en este caso palabras números que no presentan ceros y palabras números
que contienen ceros en decena y en la cantidad de dígitos de cuatro cifras hay unos tipos de
numerales, palabras números que no presentan ceros y palabras números que presentan cero en
decena y centena. En este sentido se le otorga un rol al niño/a que está ubicado como
solucionador de la tarea, por ejemplo escuchar el dictado de los numerales, reconocer la
categoría a la que pertenece o en el caso de los numerales que contienen cero reconocer su valor
cardinal, para luego realizar la composición con material concreto y escribirlo en numeral
arábigo.
En la investigación se trabajó con dos tareas, por lo tanto el objetivo de estas tareas fue
evaluar y detectar diferencias en el desempeño de los niño/as en función de los formatos de
representación.
7.3.1 Descripción tarea 1 – composición con material concreto
La primera tarea consiste en la composición de numerales con material concreto donde el
material utilizado son cubos de madera balso que presentan diferentes tamaños y representan las
unidades de orden diferenciado según el sistema notacional en base diez. Así, los cubos de 1cm
por cada lado representan el valor de las unidades que valen uno; Los cubos de 2cm por cada
34
lado representan el valor de las unidades que valen diez; Los cubos de 3cm por cada lado
representan el valor de las unidades que valen cien y los cubos de 4cm por cada lado representan
el valor de las unidades que valen mil. Se trabaja con un total de 120 cubos que se dividieron en
cuatro tarros decorados, los cuales tienen el valor del numeral que representa cada tamaño.
Luego se procede al dictado de numerales.
7.3.1.1 Consigna
Se va a presentar un títere llamado “Elmo” y se le dice a los niño/as que “A Elmo le
gustan muchos los números y por eso él nos va explicar cómo se debe realizar la tarea”.
Elmo le explica al niño/a el valor numérico representado por cada uno de los cubos “Los
cubos de menor tamaño (señala con el dedo el cubo de 1 cm) representan el valor de unidades
que valen uno; Los cubos más grandecitos (señala con el dedo el cubo de 2 cm) representan el
valor de unidades que valen diez; Los cubos medianos (señala con el dedo el cubo de 3 cm)
representan el valor de las unidades que valen cien y los cubos grandes (señala con el dedo el
cubo de 4 cm) representan las unidades que valen el valen mil”.
Luego “Elmo” propone un ejemplo para que el niño/a observe como debe llevarse a cabo
la tarea diciendo “trescientos cincuenta” entonces debes coger “tres cubos de unidades que valen
cien y cinco cubos de unidades que valen diez” y pregunta te quedo claro.
7.3.1.2 Procedimiento
Para llevar a cabo la tarea de composición de numerales con material concreto se les
explico a los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria, que él experimentador estaría acompañado
de un coinvestigador encargado de filmar las composiciones que se realizaran no con la
finalidad de evaluarlos si no para dar cuenta de que se hicieron las salidas de campo.
Posteriormente se procede a un dictado de palabras números iniciando con los numerales
de tres dígitos sin ceros y con cero en decena, luego sigue con los numerales de cuatro dígitos sin
ceros y con cero en decena – centena. En este sentido se trabajó de forma individual usando una
mesa grande donde se colocaron los tarros que contienen los cubos de acuerdo a su respectivo
valor, para que los participantes contaran con el suficiente espacio y facilidad para realizar las
composiciones con los objetos concretos como lo consideren.
35
7.3.2 Descripción tarea 2 – escritura de numerales arábigos
En esta tarea, se propuso a los niños la escritura de numerales arábigos a partir de un
dictado. A cada niño/a se le entrega una hoja de papel y un lápiz y se le solicita que escriban su
nombre y grado, para posteriormente pedirle que “por favor escriba los siguientes numerales en
la hoja de arriba hacia abajo”. Luego se procede al dictado de numerales.
7.3.2.1 Consigna
Se le entrego a los niños/as un lápiz y una hoja de papel diciendo que escriban su nombre
y grado, y se le pide que “por favor escriba los siguientes numerales en la hoja de arriba para
abajo”. Luego se procede al dictado de numerales.
7.3.2.2 Procedimiento
Para la aplicación de la segunda tarea un experimentador capacitado realizo el dictado de
palabras números cambiando el orden de presentación llevado al de la primera tarea, iniciando
con los numerales de tres dígitos con cero en decena, luego con los de cuatro digito sin cero,
continuando con los de tres dígitos sin ceros y finalizo con los de cuatro dígitos con cero en
decena y centena, de igual manera se trabajó de forma individual y se le hace énfasis a los
niño/as en que escriban los numerales arábigos como crean que deben ser escritos.
7.3.3 Categoría de los numerales
En este apartado se hace mención a los tipos de numerales utilizados para realizar el
dictado de palabras números, que son representados a través de la tarea de composición con
material concreto y escritura de numerales arábigos, vale la pena hacer mención que la cantidad
de dígitos y los tipos de numeral permanecieron constante tanto en 2° grado de primaria como en
3° grado de primaria y variaron en función de la ausencia y de la posición del cero dentro del
numeral.
36
Tabla 1. Tipo de numeral y numerales aplicados
7.4 Niveles de análisis por cada tarea
En esta investigación, se propuso utilizar los siguientes niveles de análisis: logro
entendido como el nivel de acierto y error que presentan los estudiantes de 2° y 3° grado de
primaria en la tarea de composición con material concreto y escritura de numerales arábigos en
función de la variable tipo de numeral. Un segundo nivel de análisis hace referencia al porcentaje
de los tipos de error presentados por los niños de 2° y 3° grado de primaria en la tarea de
composición con material concreto en función de la variable tipo de numeral, de igual manera
este segundo nivel de análisis implica obtener el porcentaje en los tipos de relaciones usadas por
los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria en la tarea de escritura de numerales arábigos en
función de la variable tipo de numeral y por último se realiza un análisis cuantitativo para
establecer diferencias en función de la variable tipo de numeral y tipo de tarea, en este caso tarea
de composición con material concreto y tarea de escritura de numerales arábigos.
7.4.1 Logro en función de las tareas propuestas
Este nivel de análisis hizo referencia al porcentaje de acierto y error obtenida por los
estudiantes de 2° y 3° grado de primaria, en la tarea de composición de numerales con material
concreto y escritura de numerales arábigos en función de la variable tipo de numeral.
7.4.2 Categorías de análisis por cada tarea propuesta
Según Otálora (2007) es importante usar las categorías de análisis para caracterizar el
desempeño de los sujetos, debido a que permiten realizar un acercamiento al nivel de desarrollo
cognitivo en el que se encuentran los estudiantes en el conocimiento numérico.
Tipo de numeral Numerales aplicados
Numerales de tres dígitos sin cero 198, 367, 524, 985
Numerales de tres dígitos con cero en decena 206, 402, 603, 809
Numerales de cuatro dígitos sin cero 1524,3452,5246,9673
Numerales de cuatro dígitos con cero en decena y
centena
1004,4006,6505,9803
37
Teniendo en cuenta lo anterior, este nivel de análisis hace referencia a los tipos de errores
que usan los niños de 2° y 3° grado de primaria para componer numerales con material concreto
y los tipos de relaciones que usan los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria para escribir
numerales arábigos.
7.4.2.1 Tipos de error en la composición de numerales con material concreto
Para caracterizar el desempeño de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria en la
composición con material concreto, se va tomar como referencia las categorías de análisis
propuestas por (Saxton y Towse, 1998 y Giraldo, 2005) y se proponen dos nuevas categorías que
no han sido reportadas en la literatura.
Composición solo con bloques de unidad
Es cuando a un sujeto se le dicta la palabra número “cincuenta” y la compone usando
unidades que valen uno (Saxton y Towse, 1998).
Composición mixta
Se habla de composición mixta porque hay una relación entre algún fragmento de la
palabra número comprimiendo al máximo la cantidad de bloques, por ejemplo al sujeto se le
dicta la palabra número “quinientos veinticuatro” y la compone con 5 cubos de unidades que
valen cien, 20 cubos de unidades que valen diez y 4 cubos de unidades que valen uno (Giraldo,
2005).
Composición canónica en base diez
Esta categoría hace énfasis en la composición que da cuenta de una relación entre el
numeral presentado y las unidades de diferente valor representada en los bloques, manteniendo la
regla del valor de posición y la relación aditiva entre unidades de orden diferenciado, por
ejemplo al sujeto se le dicta la palabra número “ciento veinte” y la compone a través de 1 cubo
de unidad que vale cien y 2 cubos de unidad que valen diez (Saxton y Towse, 1998).
38
Composición en rango numérico superior
Esta categoría hace referencia a la composición que mantiene la regla del valor de
posición dando cuenta de una relación aditiva entre las unidades de diferente valor representada
en el material concreto, pero los niño/as componen el numeral presentado tomando los bloques
de unidad que corresponden a un rango numérico mayor, por ejemplo a un sujeto se le dicta la
palabra número “doscientos seis” y la compone a través de 2 cubos de unidad que valen mil y 6
cubos de unidad que valen uno (Martínez, 2012).
Composición invirtiendo el orden numérico
Esta categoría hace referencia a la composición que mantiene la regla del valor de
posición debido a que se mantiene una relación aditiva entre las unidades de diferente valor
representada en los bloques, pero los niño/as componen el numeral presentado cambiado los
bloques de unidad que valen “uno” por bloques de unidad que valen “diez”, en este sentido se
puede decir que aluden a las palabras números debido a que se cambia la cantidad básica por el
prefijo, por ejemplo a un sujeto se le dicta la palabra número “cuatrocientos dos” y la compone a
través de 4 cubos de unidad que valen cien y 2 cubos de unidad que valen diez (Martínez, 2012).
7.4.2.2 Tipos de relaciones en la escritura de numerales arábigos
Para caracterizar el desempeño de los niño/as de 2° y 3° grado de primaria en la escritura
de numerales arábigos, se va tomar como referencia las categorías de análisis propuestas por
(Orozco et al. 2007) que dan una mirada más amplia a los errores de tipo sintáctico.
Yuxtaposición
Es cuando el niño/a escribe la cadena de dígitos uno seguido del otro, codificando los
fragmentos de la expresión verbal por ejemplo “trescientos sesenta y siete” lo escriben “30067” o
“300607” “300067”.
Compactación
Es cuando el niño/a escribe la cadena de dígitos correspondiente al fragmento de orden
inferior, en lugar de los últimos ceros de los numerales que da cuenta inmediatamente del
39
fragmento de orden superior por ejemplo “trescientos sesenta y siete” lo escriben “3067” o en el
caso de “mil quinientos veinticuatro” escriben “1005024”.
Concatenación
Es cuando los niño/as escriben los dígitos codificando las marcas de cantidad presente en
la expresión verbal por ejemplo “doscientos seis” lo escriben “26” o en el caso del “dos mil
ocho” lo escriben “208” y en el caso del “dos mil noventa y ocho” lo escriben “2.98”.
Composición
Es cuando el niño/a compone la cadena de dígitos codificando las marcas de cantidad
básica, presentes en la expresión verbal y la posición está definida por el poder de diez asociado,
por ejemplo “trescientos sesenta y siete” lo escriben “367” o “dos mil ciento noventa y ocho” lo
escribe “2198” y en el caso de “dos mil noventa y ocho” lo escriben “2098”.
7.4.3 Análisis de los datos
El análisis de los datos se trabajó de la siguiente manera:
• En el primer nivel de análisis se trabajó con el programa estadístico SPSS, el cual
realizo un análisis de distribución de frecuencias arrojando los porcentajes de acierto y error en
cada formato de representación numérico con su respectivo tipo de numeral, en este sentido este
tipo de análisis permitió establecer cuál es el formato de representación de mayor dificultad y
cuál es el tipo de numeral de mayor complejidad para los estudiantes de 2° y 3° grado de
primaria.
• En el segundo nivel de análisis se trabajó con el programa estadístico SPSS, el cual
realizo un análisis de distribución de frecuencias arrojando los porcentajes de cada categoría de
análisis usada para los distintos formatos de representación numéricos. Posteriormente se tomó
el porcentaje obtenido en cada categoría de análisis en función de cada tipo de numeral y se
realizó la suma y el valor total fue dividido sobre cuatro para obtener el porcentaje general en la
clasificación del desempeño de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria.
• En el tercer nivel de análisis se trabajó con el programa estadístico SPSS, con el cual
se realizó una prueba t para muestras independientes con la finalidad de comparar a través de los
40
análisis de significancia si realmente hay una influencia de los formatos de representación
numéricos en el desempeño de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria. Para llevar a cabo
este análisis estadístico se estableció un nivel de significancia del 0,05, lo cual quiere decir que
si p < es menor a 0,05 existe diferencias significativas, pero si p > es mayor a 0,05 no se presenta
diferencias significativas, luego se realizo un cruce de variables entre 2° y 3° grado de primaria
en función del formato de representación numérico y la variable tipo de numeral.
41
8. RESULTADOS
Los resultados serán presentados en tres secciones. La primera sección contiene una
descripción de porcentaje sobre los niveles de acierto y error en el desempeño de los niños de 2°
y 3° grado de primaria en función de la tarea de composición con material concreto y escritura de
numerales arábigos.
La segunda sección describe el desempeño de los sujetos de 2° y 3° grado de primaria en
la composición con material concreto y la escritura de numerales arábigos cuantitativamente a
través de las categorías de análisis usadas para cada formato de representación numérico.
La tercera sección de resultados, hace énfasis en comparar el desempeño de los niños de
2° y 3° grado de primaria en los formatos de representación en función de la variable tipo de
numeral, por lo cual se aplicara una prueba T para muestras independientes con la finalidad de
establecer si existen diferencias significativas entre los dos grupos de estudiantes.
8.1 Resultados en función de logro por grado académico
8.1.1 Desempeño niños segundo grado de primaria
En 2˚ grado (ver tabla 2), en la escritura de numerales arábigos se puede evidenciar que
los estudiantes presentan un mejor desempeño en los numerales de tres dígitos sin cero (85%) y
en los numerales de tres dígitos con cero en decena (69%), pero en los numerales de cuatro
dígitos el nivel de desempeño tiende a disminuir, en este orden de ideas para los numerales de
cuatro dígitos sin cero (46%) y en los numerales de cuatro dígitos con cero en decena y centena
(31%).
Por otra parte en la composición con material concreto se puede observar que en los
estudiantes no se presentó altos niveles de acierto, debido a que los mejores desempeños
obtenidos se encontraron en los numerales de tres dígitos sin cero (50%) y numerales de cuatro
dígitos sin cero (50%), mientras en los numerales que contienen ceros el nivel de desempeño
tiende a disminuir, en este caso para los numerales de tres dígitos con cero en decena (20%) y en
los numerales de cuatro dígitos con cero en decena y centena (10%).
42
Tabla 2. Desempeño de los niños de segundo de primaria.
8.1.2 Desempeño niños tercer grado de primaria
En 3˚ grado (ver tabla 3), en la escritura de numerales arábigos se puede observar que los
estudiantes presentan un nivel de acierto significativo lo que puede ser corroborado con el
desempeño obtenido frente a cada numeral presentado, en este sentido para los numerales de tres
dígitos sin cero (85%) y para las categorías numéricas restantes una igualdad con un (77%).
Por otro lado en la composición con material concreto se evidencia que los estudiantes
presentan un alto nivel de acierto lo que puede ser ratificado con el desempeño alcanzado en las
categorías numéricas presentadas dando cuenta de un porcentaje entre el (90%) y el (100%).
Tabla 3. Desempeño de los niños de tercer grado de primaria.
Arábigo Material concreto
Acierto Error Acierto Error
Numerales 3
dígitos sin cero 77% 23% 100% 0%
Numerales 3
dígitos con cero en
decenas
77% 23% 100% 0%
Numerales 4
dígitos sin cero 85% 15% 100% 0%
Numerales 4
dígitos con cero en
decenas y centenas
73% 27% 90% 10%
Arábigo Material concreto
Acierto Error Acierto Error
Numerales 3 dígitos
sin cero 85% 15% 50% 50%
Numerales 3 dígitos
con cero en decenas 69% 31% 20% 80%
Numerales 4 dígitos
sin cero 46% 54% 50% 50%
Numerales 4 dígitos
con cero en decenas
y centenas
31% 69% 10% 90%
43
8.2 Categorías de desempeño en función de los tipos de errores por grado académico
y formato de representación numérico
8.2.1 Desempeño segundo grado de primaria por categorías en la composición con
material concreto
En 2˚ grado (ver tabla 4), los tipos de errores en la composición con material concreto
indica que en los numerales de tres dígitos sin cero se presenta la composición en rango
numérico superior con el (47%), mientras en los numerales de tres dígitos con cero en decena
aparece en la composición invirtiendo el orden numérico con el (70%).
En cuanto a los numerales de cuatro dígitos sin cero se puede decir que se encuentra la
composición mixta con el (30%), y en los numerales de cuatro dígitos con cero en decena y
centena se privilegia la composición invirtiendo el orden numérico con el (73%).
Tabla 4. Desempeño de los niños de segundo grado de primaria en función de los tipos de errores en la composición
con material concreto.
Composición
solo con
bloques de
unidad
Composición
mixta
Composición
canónica en
base diez
Composición en
rango numérico
superior
Composición
invirtiendo el
orden numérico
Numerales 3
dígitos sin cero 0% 0% 53% 47% 0%
Numerales 3
dígitos con cero
en decenas
0% 0% 10% 20% 70%
Numerales 4
dígitos sin cero 0% 30% 60% 0% 10%
Numerales 4
dígitos con cero
en decena y
centena
0% 0% 27% 0% 73%
8.2.1.2 Desempeño segundo grado de primaria por categorías en la escritura de
numerales arábigos
En 2˚ grado (ver tabla 5), los tipos de relaciones en la escritura de numerales arábigos
indica que en los numerales de tres dígitos sin cero aparece la relación de yuxtaposición (12%),
mientras en los numerales de tres dígitos con cero en decena se privilegia la relación de
composición con el (70%).
44
En cuanto a los numerales de cuatro dígitos sin cero se puede decir que se encuentra la
relación de compactación con el (33%) y en los numerales de cuatro dígitos con cero en decena
y centena aparece la relación de concatenación con el (31%).
Tabla 5. Desempeño de los niños de segundo grado de primaria en función de los tipos de relaciones en la escritura
de numerales arábigos
Yuxtaposición Compactación Concatenación Composición
Numerales de 3
dígitos sin cero 12% 6% 0% 82%
Numerales de 3
dígitos con
cero en decenas
30% 0% 0% 70%
Numerales de 4
dígitos sin cero 19% 33% 0% 48%
Numerales de 4
dígitos con
cero en decena
y centena
26% 15% 31% 28%
8.2.2 Desempeño tercer grado de primaria por categorías en la composición con
material concreto:
En 3˚ grado (ver tabla 6), de acuerdo a las categorías de análisis para caracterizar los tipos
de errores en la composición con material concreto se puede decir que los estudiantes presentan
la composición canónica en base diez de forma reiterativa con un alto desempeño (100%) en
todas las categorías de los numerales presentados.
Tabla 6. Desempeño de los niños de tercer grado de primaria en función de los tipos de errores en la composición
con material concreto.
Composición
solo con
bloques de
unidad
Composición
mixta
Composición
canónica en
base diez
Composición en
rango numérico
superior
Composición
invirtiendo el
orden numérico
Numerales 3
dígitos sin cero 0% 3% 97% 0% 0%
Numerales 3
dígitos con cero
en decenas
0% 0% 100% 0% 0%
Numerales 4
dígitos sin cero 0% 0% 100% 0% 0%
Numerales 4
dígitos con cero
en decena y
centena
0% 0% 95% 0% 5%
45
8.2.3 Desempeño tercer grado de primaria por categorías en la escritura de
numerales arábigos
En 3˚ grado (ver tabla 7), los tipos de relaciones en la escritura de numerales arábigos,
indica que en los numerales de tres dígitos sin cero aparece la relación de yuxtaposición con el
(13%), mientras en los numerales de tres dígitos con cero en decena se encuentran la relación de
composición con el (79%).
En cuanto a los numerales de cuatro dígitos sin cero se puede decir que se encuentra la
relación de compactación con el (12%) y en los numerales de cuatro dígitos con cero en decena y
centena se presenta la relación de concatenación con el (6%).
Tabla 7. Desempeño de los niños de tercer grado de primaria en función de los tipos de relaciones en la escritura de
numerales arábigos.
Yuxtaposición Compactación Concatenación Composición
Numerales de 3 dígitos
sin cero 13% 11% 0% 76%
Numerales de 3 dígitos
con cero en decenas 21% 0% 0% 79%
Numerales de 4 dígitos
sin cero 10% 12% 0% 78%
Numerales de 4 dígitos
con cero en decena y
centena
12% 4% 6% 78%
8.3 Comparación entre segundo y tercer grado de primaria por formato de
representación numérico
8.3.1 Comparación entre grado académico en la composición con material concreto
Frente a los desempeños de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria (ver tabla 8), en
función de la variable tipo de numeral y tarea de composición con material concreto, indica que
se presenta de forma reiterativa diferencias significativas entre los grados, dicho de otra manera
los niños de 3°grado de primaria muestran un mejor desempeño en la composición de numerales
46
con material concreto en todas las categorías de los numerales presentados, lo que no es igual
para los estudiantes de 2° grado de primaria.
Tabla 8. Comparación en el desempeño de los niños de segundo y tercer grado de primaria en la composición con
material concreto.
Niveles de significancia
Numerales de 3 dígitos sin
cero ,006
Numerales 3 dígitos con cero
en decenas ,000
Numerales de 4 dígitos sin
cero ,002
Numerales de 4 dígitos con
cero en decenas y centenas ,000
8.3.2 Comparación entre grado académico en la escritura de numerales arábigos
Frente a los desempeños de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria (ver tabla 9), en
función de la variable tipo de numeral y tarea de escritura de numerales arábigos, indica que en
los numerales de cuatro dígitos con cero en decena y centena se presenta diferencia significativa
entre los grados, de lo que se puede decir que el desempeño de los estudiantes de 3° grado de
primaria en esta categoría numérica es mucho mejor que el de los niños de 2° grado de primaria.
Sin embargo en las categorías numéricas restantes no se presenta diferencias significativas.
Tabla 8. Comparación en el desempeño de los niños de segundo y tercer grado de primaria en la escritura de
numerales arábigos.
Niveles de significancia
Numerales de 3 dígitos sin
cero ,703
Numerales 3 dígitos con cero
en decenas ,653
Numerales de 4 dígitos sin
cero ,069
Numerales de 4 dígitos con
cero en decenas y centenas ,001
47
9. DISCUSIÓN
9.1 Discusión segundo grado de primaria
Teniendo en cuenta los desempeños de los estudiantes de 2° grado de primaria se podría
decir que los numerales de tres dígitos y cuatro dígitos sin cero en la composición con material
concreto tienden hacer de mayor logro para los estudiantes que los numerales de tres dígitos con
cero en decena y cuatro dígitos con cero en decena y centena, en este caso tomando como
referencia a Fuson et.al (1997) se puede proponer que el acierto en los numerales de tres y
cuatro dígitos sin cero, se debe a que al nombrar las palabras números el valor en las unidades
que vale “cien y mil” presentan una correspondencia con las unidades de diferente valor
representada en los bloques, lo que facilita mantener la regla del valor de posición y la relación
aditiva entre las unidades de orden diferenciado.
Por otro lado, en los numerales de tres y cuatro dígitos que presentan ceros se puede
plantear que el bajo nivel de logro está relacionado con la no comprensión del valor cardinal y el
valor de posición, dicho de otra manera el estudiante debe reconocer el lugar donde está ubicado
el cero ya que este permite establecer la relación entre el valor cardinal y el valor de posición,
por ejemplo el sujeto para componer “seis mil quinientos cinco” debe tomar 6 cubos de unidades
que valen “mil”, 5 cubos de unidades que valen “cien” y 5 cubos de unidades que valen “uno”
donde las cinco unidades restantes que valen “1” denotan el valor cardinal y el valor de posición
determina que sean cinco unidades que valen uno (Baturo, 2000).
En este orden de ideas es de interés retomar las categorías de análisis usadas para
caracterizar el desempeño de los estudiantes en la composición con material concreto debido a
que permiten hacer un acercamiento al desarrollo cognitivo al representar conceptos numéricos
en el formato de representación numérico y cantidad. En este sentido los errores en los numerales
de tres dígitos con cero en decena y de cuatro dígitos con cero en decena y centena se
caracterizan por una composición invirtiendo el orden numérico, vale la pena hacer mención que
este tipo de composición presenta la regla del valor de posición y la relación de tipo aditivo entre
las unidades de orden diferenciado, de acuerdo a Fuson et. al (1997) se podría plantear que la
dificultad radica en que los sujetos en los numerales de dos dígitos aprenden una lista de
unidades de orden uno que van del “ 10,20,……,90” donde se presenta una relación entre las
cantidades básicas y los prefijos, por lo cual cuando al estudiante se le dicta la palabra número
48
que contiene ceros en decena “doscientos seis” o en decena y centena “seis mil quinientos
cinco” por lo general realizan este tipo de composiciones: 2 cubos de unidades que valen “cien”
y 6 cubos de unidad que valen “diez” o 6 cubos de unidad que valen “mil”, 5 cubos de unidad
que valen “diez” y 5 cubos de unidad que valen “uno”, de lo que se podría decir que omiten el
cero cambiando la cantidad básica por el prefijo dando cuenta de una composición basada en
procesos de asociación en memoria.
En cuanto a los numerales de tres dígitos sin cero se caracterizan por una composición en
rango numérico superior, es de interés mencionar que este tipo de composición mantiene la regla
del valor de posición y la relación de tipo aditivo entre las unidades de orden diferenciado, sin
embargo la dificultad radica en que los estudiantes al representar la palabra número “tres cientos
sesenta y siete” con el material concreto lo realizan de la siguiente manera: 3 cubos de unidad
que valen “mil” , 6 cubos de unidad que valen “diez” y 7 cubos de unidad que valen “uno” en
este caso se diría que se presenta un cambio en el sufijo “cientos” aludiendo a la palabra número
mil que denota potencia de diez, lo que se hace evidente al retomar los 3 cubos de unidad que
valen “mil (Orozco y Hederich, 2002).
Frente a los numerales de cuatro dígitos sin cero el error se caracteriza por una
composición mixta, de lo que se puede decir que en este tipo de composición no se presenta la
regla del valor de posición ni la relación de tipo aditivo entre las unidades de orden diferenciado,
en este sentido tomando como referencia a Fuson et. al (1997) se diría que la dificultad radica en
que los estudiantes operan con una concepción de unidad multidigito ya que en la cantidad no se
establece la diferencia en las unidades de orden diferenciado para dar cuenta de los conceptos
numéricos, por ejemplo cuando a los sujetos se le dicta la palabra número “quinientos
veinticuatro” la compone con 5 cubos de unidad que valen “cien”, 20 cubos de unidad que valen
“diez” y 4 cubos de unidad que valen “uno”.
Teniendo en cuenta el desempeño de los estudiantes de segundo grado de primaria, según
Otálora (2007) se podría proponer que la composición en rango numérico superior y la
composición invirtiendo el orden numérico se consideran indicadores que los sujetos están en un
proceso transicional hacia el dominio completo del sistema notacional en base diez, debido a que
se hace evidente el recurso operacional al usar la regla del valor de posición y la relación aditiva
entre las unidades de orden diferenciado.
49
Por otro lado frente al desempeño de los estudiantes de 2° grado de primaria en la
escritura de numerales arábigos se puede pensar que el mayor nivel de acierto en las categorías
numéricas de tres dígitos sin cero y de tres dígitos con cero en decena se atribuye a que los
sujetos están operando con numerales que corresponden a su grado académico, por lo cual la
tendencia es mostrar alto nivel de logro, pero en los numerales de cuatro dígitos con ceros en
decena y centena su bajo nivel de desempeño puede ser atribuido a que los estudiantes están
operando con numerales que no son acordes a su grado académico y además contiene la variable
cero en diferentes posiciones, donde la literatura ha reportado que la presentación de este tipo de
numeral a los niños les causa mucha dificultad escribiendo los numerales arábigos de forma no
convencional (Guerrero, 2004).
En relación con la anterior es de vital importancia tomar las categorías de análisis usadas
para caracterizar el desempeño de los estudiantes en la escritura de numerales arábigos ya que
permiten establecer un indicador de desarrollo cognitivo en el formato de representación
numérico arábigo.
En este orden de ideas los numerales de tres dígitos sin cero se caracterizan por la
relación de yuxtaposición, de este tipo de producción se puede decir que se distingue porque el
sujeto al escribir el numeral arábigo fragmenta la palabra número uno seguido del otro, por
ejemplo se dicta “trescientos sesenta y siete” y se produce “30067 0 300067”, de acuerdo a
Barrouillet et. al (2004) considera que esta forma de transcodificación predomina solo en los
niños que están aprendiendo a escribir extensas cadenas numéricas, vale la pena aclarar que es
muy poca la población de estudiantes que usan esta relación.
Frente a los numerales de cuatro dígitos sin cero se caracterizan por la relación de
compactación, este tipo de producción se identifica porque los sujetos al escribir el numeral
arábigo aluden a la categoría numérica de orden menor al estimulo presentado, por ejemplo se le
dicta la palabra número “mil quinientos veinticuatro” y se produce “1005024”, de acuerdo a
Power y Dal Martello (1990) considera que este tipo de producción se debe a la no comprensión
del operador de sobre escritura, puesto que el sujeto primero debe identificar que la palabra
número esta en una relación de tipo aditivo, para posteriormente operar con los conceptos
numéricos primitivos a través del operador de sobre escritura, el cual permite eliminar de la
cadena de dígitos los ceros de la derecha remplazándola por el numeral que corresponde.
50
Mientras en los numerales de cuatro dígitos con cero en decena y centena se caracterizan
por la relación de concatenación, este tipo de producción se identifica porque los sujetos cuando
escriben los numerales arábigos lo hacen codificando las marcas de cantidad, por ejemplo se le
dicta la palabra número “nueve mil ochocientos tres” y la produce “9.83”, frente a este tipo de
producción tomando como referencia a Fuson et. al (1997) se puede decir que el origen de la
concatenación es que los sujetos no han interiorizado la unidades que valen “diez”, por lo cual
fragmentan la palabra número con sus respetivas marcas de cantidad.
A nivel general se puede concluir de 2˚grado de primaria que el desempeño en los
diferentes formatos de representación, indica que los niños presentan un mejor manejo de la
escritura de numerales arábigos en todas las categorías de los numerales presentados, pero en la
composición con material concreto muestra un menor nivel de logro para representar los
conceptos numéricos en las diferentes categorías numéricas.
9.2 Discusión tercer grado de primaria
Teniendo en cuenta los desempeños de los estudiantes de 3° grado de primaria se podría
decir que en la composición de numerales con material concreto se encuentra un alto porcentaje
de forma reiterativa en las diferentes categorías de los numerales presentados. De igual manera
en las categorías de análisis usadas para clasificar la composición realizada por los sujetos
muestra un gran nivel de porcentaje la composición canónica en base diez de forma equivalente
para todas las categorías de los numerales presentados, en términos del desarrollo cognitivo en el
formato de representación numérico y cantidad, se podría decir según Baroody (1990) que la
forma en la que los sujetos representan los conceptos numéricos con el material concreto da
cuenta que están en un nivel de representación abstracto, debido a que se ha dado una
desvinculación total entre lo físico y los conceptos numéricos permitiendo la construcción de un
esquema abstracto.
Por otro lado, del desempeño de los estudiantes de 3° grado de primaria en la escritura de
numerales arábigos se puede decir que el nivel de logro en las categorías numéricas presentadas,
de acuerdo a Otálora (2007) se puede pensar que la gran mayoría de los sujetos de tercer grado
de primaria dan cuenta de algunos recursos operatorios en el manejo del valor de posición, la
base diez, las marcas de cantidad y las palabras números que indican potencia, tanto para los
numerales de tres dígitos y cuatro dígitos con sus respectivas variables.
51
En relación con la anterior es importante tomar las categorías de análisis usadas para
caracterizar el desempeño de los estudiantes en la escritura de numerales arábigos ya que
permiten conocer cuáles son los tipos de relaciones usadas para dar cuenta de conceptos
numéricos en este formato de representación numérico, facilitando el conocimiento del
desarrollo cognitivo en este sistema numérico, vale la pena aclarar que en este grupo de
estudiantes la mayoría de la relación usada es la de composición, sin embargo aparece la relación
de yuxtaposición, al igual que la relación de compactación y la relación de concatenación, frente
a estos tipos de relaciones se puede pensar que los estudiantes de tercer grado al venir operando
con numerales de tres dígitos donde los marcadores de potencia son los sufijos “cientos”, se
podría pensar que la palabra “mil” genera un conflicto dando cuenta de un cambio en la
estructura de la palabra número haciéndose evidente en la producción del numeral arábigo, en
este caso los estudiantes en la escritura de numerales arábigos presenten un menor nivel de
acierto, lo que puede ser atribuido a la demanda cognitiva que ese cambio implica para los niños
(Orozco et al, 2007).
A nivel general se puede concluir de 3˚ grado de primaria que el desempeño en los
diferentes formatos de representación, indica que los niños presentan un mejor manejo de los
elementos que implica realizar la composición de numerales con material concreto en todas las
categorías de los numerales presentados, pero en la escritura de numerales arábigos presentan un
menor nivel de logro en las diferentes categorías numéricas para representar los conceptos
numéricos.
52
10. CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos del desempeño de los estudiantes de 2° y 3° grado de primaria
permiten sostener la hipótesis del efecto representacional propuesto por Brizuela y Cayton
(2010) debido a que en segundo grado de primaria la composición de numerales con material
concreto se relaciona con un menor nivel de logro, mientras la escritura de numerales arábigos se
asocia con un mayor nivel de logro, sin embargo en tercer grado de primaria el efecto
representacional tiende a disminuir, debido a que la composición con material concreto se
relaciona con un alto nivel de logro, pero en la escritura de numerales arábigos a pesar de que
hay un alto nivel de logro en todas las categorías de los numerales presentados, siempre se
encuentra un margen mínimo de acierto en las categorías numéricas presentadas.
Por otra parte es claro que los numerales de tres dígitos con cero en decena y los
numerales de cuatro dígitos que contienen cero en decena y centena, presentan un menor nivel de
logro para los niños de segundo grado de primaria y mayor nivel de logro para los estudiantes de
tercer grado de primaria, de acuerdo a Orozco y Hederich (2002) se podría pensar que los
alumnos que presentan bajos desempeños para operar con el cero no han realizado un
construcción o comprensión total de las diferentes relaciones que exigen la representación de un
concepto numérico en cualquier formato de representación, en este caso composición con
material concreto y escritura de numerales arábigos.
Partiendo de lo anterior según Baturo (2000) el cero cognitivamente demanda un proceso
de abstracción ya que implica trabajar con la posición. Por ejemplo un cero después de las
unidades que valen diez se convierte en una unidad que vale cien, pero si el cero está en la
posición de las unidades que valen mil y se quita ocupa la posición de las unidades que valen
cien, convirtiéndose en un proceso de mucha complicación para los niño/as porque el cero
denota un sentido de cantidad.
Frente a la composición con material concreto y la escritura de numerales arábigos Nunes
y Bryant (1996) a lo largo de sus investigaciones han mostrado que no es necesario aprender a
escribir numerales para comprender el valor de las unidades y la composición aditiva de las
mismas, en este caso teniendo como referencia los resultados se puede pensar que el hecho de
que el estudiante de tercer grado de primaria al componer numerales con material concreto de
forma convencional no es sinónimo de escribir numerales arábigos convencionalmente o
53
viceversa los estudiantes de segundo grado de primaria muestran un mejor desempeño en la
escritura de numerales arábigos que en la composición de numerales con material concreto.
De lo anterior se puede concluir o apoyar la idea que la enseñanza de los conceptos
numéricos a través de los diferentes formatos de representación numérico no hace énfasis en
establecer una relación entre los mismos, dejando de lado la idea que todos los formatos de
representación tienen una línea base de conocimiento y requieren unas cogniciones particulares
para operar en cada sistema numérico (Baturo, 2000).
Frente al tipo de relaciones usadas por parte de los estudiantes de 2° y 3° grado de
primaria en la escritura de numerales arábigos apoya la hipótesis de Orozco et. al (2007) acerca
del carácter evolutivo del proceso de transcodificación numérica debido a que el uso en la
relación de yuxtaposición, compactación y concatenación disminuye de segundo a tercer grado
de primaria, mientras la relación de composición aumenta de segundo a tercer grado de primaria.
54
11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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