Producto punto

E l producto punto o producto escalar de dos vectores es un

número real que resu l ta a l mult ip l icar e l producto de sus módulos

por e l coseno del ángulo que forman .

Expresión anal í t ica del producto punto

Ejemplo

Ha l la r e l producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en

una base or tonorma l son: (1 , 1/2, 3) y (4 , −4, 1) .

(1 , 1/2, 3) · (4 , −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3

= 5

Expresión anal í t ica del módulo de un vector

Ha l la r e l va lor de l módulo de un vector de coordenadas =

(−3, 2 , 5) en una base or tonorma l .

Expresión anal í t ica del ángulo de dos vectores

Determinar e l ángulo que forman los vectores = (1, 2 , −3) y

= (−2, 4 , 1) .

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales s i su producto escalar es 0 .

Ejemplo

Ca lcu la r los va lores x e y para que e l vec tor (x , y , 1) sea

ortogona l a los vec tores (3 , 2 , 0) y (2 , 1 , −1) .

Propiedades del producto punto

1Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

4

El producto escalar de un vector no nulo por s í mismo

s iempre es posit ivo.

Interpretac ión geométr ica del producto punto

E l producto de dos vectores no nulos es igual a l módulo de

uno de e l los por la proyecc ión del otro sobre é l .

OA ' es la proyecc ión esca la r de sobre e l vec tor .

E l vec tor proyecc ión se ca lcu la mul t ip l i cando la proyecc ión esca lar

por un vector un i ta r io de , de modo que obtenemos ot ro vec tor con la

misma d i recc ión .

Ejerc ic io

Dados los vec tores y ha l la r:

1. Los módu los de y ·

2. E l producto esca la r de y ·

3. E l ángu lo que forman.

4. E l va lor de m para que los vec tores y

sean or togona les .

Aaapaarteeee

Producto escalar

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,

interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida

sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o

número.

Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:

donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un

escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de

escalares .

En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal

(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con

componentes y puede calcularse

sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:

= =

=

Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes, corresponde a:

= =

=

Apaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarte

Producto escalar

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,

interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida

sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o

número.

Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:

donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un

escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de

escalares .

En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal

(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con

componentes y puede calcularse

sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:

= =

=

Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes, corresponde a:

= =

=

Apaaaarte

Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre y da

como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario

especificar su módulo y dirección:

El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.

La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también

producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es

frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente

manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada

por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de

la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

[editar] Producto vectorial de dos vectores

Sean y dos vectores concurrentes

de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que

, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de

orden 3 por la primera fila, también decimos:

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el

primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el

de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

Con la notación matricial esto se puede escribir:

[editar] Ejemplo

El producto vectorial de los vectores y se calcula del

siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando

el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de

vectores).

[editar] Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores , y :

1. , (anticonmutatividad)

2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.

3. .

4. , conocida como regla de la expulsión.

5. , conocida como identidad de Jacobi.

6. , siendo θ el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .

[editar] Bases ortonormales y producto vectorial

Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que

S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.

2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).

3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.

[editar] Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra

mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto

a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se

llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente

formado de tres componentes es un vector físico.

[editar] Dual de Hodge

Artículo principal: Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción

de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto

de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto

vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

[editar] Generalización

Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede

generalizarse a n dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan n − 1

vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos

dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y

el resultado es un vector ortogonal.

Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado

por:

Producto cruz

E l producto cruz o producto vector ial de dos vectores es o t ro

vector cuya direcc ión es perpendicular a los dos vectores y su

sentido ser ía igua l a l avance de un sacacorchos a l g i ra r de u a v . Su

módulo es igua l a :

E l producto cruz se puede expresar med ian te un determinante :

Ejemplos

Ca lcu la r e l producto cruz de los vec tores = (1 , 2 , 3) y =

(−1, 1 , 2) .

Dados los vec tores y , ha l la r e l

producto cruz de d ichos vectores . Comprobar que e l vec tor ha l l ado es

ortogonal a y .

E l producto vector ia l de es or togona l a los vec tores y .

Área del parale logramo

Geométr icamente, e l módulo del producto cruz de dos vectores

co inc ide con e l área del parale logramo que t iene por lados a esos

vectores .

Ejemplo

Dados los vec tores y , ha l la r e l á rea

de l para le log ramo que t iene por lados los vec tores y ·

Área de un tr iángulo

Ejemplo

Determinar e l área del tr iángulo cuyos vér t i ces son los puntos

A(1, 1 , 3) , B(2, −1, 5) y C(−3, 3 , 1) .

Propiedades del producto cruz

1. Ant iconmutat iva

x = − x

2. Homogénea

λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )

3. Dis t r ibut iva

x ( + ) = x + x ·

4. E l producto vector ia l de dos vectores para le los es igua l a l

vec tor nu lo .

x =

5. E l producto vector i a l x es perpend icu la r a y a .

Apaaaaaatre

Fórmulas trigonométricas

Vectores. Producto escalar. Ejercicios

1Hal lar e l s imétr i co de l punto A(4, - 2) respecto de M(3, - 11) .

2Dados dos vért i ces de un t r iángulo A(2, 1) , B(1, 0) y e l bar i cent ro

G(2/3, 0) , ca lcu lar e l tercer vért i ce .

3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) ha l la un punto C, a l ineado con A y

B, de manera que se obtenga

4Calcu la las coordenadas de D para que e l cuadr i lá tero de vért i ces: A( -1,

-2) , B(4, -1) , C(5, 2) y D; sea un para le logramo.

5 S i { , } fo rma una base or tonormal , ca lcu lar:

1 ·

2 ·

3 ·

4 ·

6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2) , ca lcu la k para que los

vectores y sean:

1 Perpend icu lares.

2 Para le los.

3 Formen un ángulo de 60°.

7 Ca lcu lar e l va lor de k sab iendo que

8 Suponiendo que respecto de la base or tonormal { , } de l p lano los

vectores t ienen como expres iones:

Ca lcu lar e l va lor de k para que los dos vectores sean

or togonales