PRODUCTOS NOTABLESEn la multiplicación algebraica, como en la aritmética, existen operaciones en las que se pueden escribir el resultado sin necesidad de efectuar la multiplicación. El resultado se determina aplicando alguna regla específica.

Los productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección son los productos notables.

Cuadro de Productos Notables.

Nombre Forma Desarrollo.Cuadro de la suma de dos cantidades.

(a+b)2 a2+2ab+b2

Cuadro de la diferencia de dos cantidades

(a-b)2 a2-2ab+b2

Producto de la adición por la sustracción de dos cantidades (binomio)

(a+b) (a-b) a2-b2

Producto de dos binomios con termino igual literal

(x+a)(x+b) x2+(a+b).(x)+a.b

Cubo de una suma (a+b)3 a3+3a2b+3ab2+b3

Cubo de una diferencia (a-b)3 a3-3a2b+3ab2-b3

Trinomio cuadrado (a+b+c)2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Ejemplo No. 1Nombre: Cuadrado de la suma de dos cantidades. (4m5+5n6)2

= (4m5)2+2(4m5)+(5n6)+(5n6)2

= (4m5)2+2(4m5)+2(20m5n6)+(5n6)(5n6)Respuesta:16m10+40m5n6+25n12

Ejemplo No. 2(m+3)2

= (m)2 + 2(m)(3) + (3)2

= m2+6m+9Respuesta: m2+6m+9

Ejemplo No. 3(6a+b)2= (6a)2+2(5a)(b)+(b)2

= (6a)(6a)+2(6ab)+(b)(b)= 36a2+12ab+b2

Respuesta: 36a2+12ab+b2

Ejemplo No. 4

(5+x)2= (5)2+2(5)(x)+(x)2= 25+10x+x2Respuesta: 25+10x+x2

Ejemplo No. 5(9+4m)2= (9)2+2(9)(4m)+(4m)2

= (9)(9)+2(36m)+(4m)(4m)= 81+72m+16m2

Respuesta: 81+72m+16m2

Tema General: Productos Notables.Tema de Hoy: Caso II cuadrado de la Diferencia de dos Cantidades. (a-b)2

Desarrollo: a2-2ab+b2

Ejemplo No. 1(x-7)2

= (x)2-2.x.7+(7)2

= x2-14x+49Respuesta: x2+14x+49

Ejemplo No. 2(2a -3b)2= (2a)2-2.2a.3b+(3b)2

= 4a2-12ab+a2

Respuesta: 4a2-12ab+ab2.

Ejemplo No. 3(10x3-9xy5)2

= (10x3)2 -2.10x3.9xy5+(9xy5)2

= 100x6-180x4y5+81x2y10

Respuesta: 100x6-180x4y5+81x2y10

Ejemplo No. 4(3a4+5b2)2= (3a4)2-2.3a4.5b2+(5b2)2

= 9a8-30a4b2+25b4

Respuesta: 9a8-30a4b2+25b4

Productos Notables:Son operaciones donde se siguen reglas fijas cuyo resultado puede hallarse por simple inspección.

Caso No.3Producto de la adición por la sustracción de dos cantidades (a+b) (a-b)Forma: (a+b) (a-b)Desarrollo: a2-b2

Ejemplo No. 1(5x+2)(5x-2)

= (5x)2-(2)2

= 25x2 – 4Respuesta: 25x2 – 4

Ejemplo No. 2(x+y) (x-y)= (x)2 – (y)2

= x2- y2

Respuesta: x2- y2

Ejemplo No. 3(1-3ax) (3ax+1)= (1)2 –(3ax)2

= 1-9a2x2

Respuesta: 1-9a2x2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.Ejemplo No. 1(a-3)2= (a)2-2.a.3+(3)2

= a2-6a+9Repuesta: a2-6a+9.

Ejemplo No. 2(x-7)2= (x)2 -2.x.7+(7)2

= x2-14x+49Respuesta: x2-14x+49

Ejemplo No. 3(9-a)2= (9)2-2.9.a+(a)2

= 81-18a+a2

Respuesta: 81-18a+a2

Ejemplo No. 4(2ª-3b)2

= (2a)2)-2.2a.3b+(3b)2

= 4a2-12ab+ab2

Respuesta: 4a2-12ab+ab2

Ejemplo No. 5(4ax-1)2

= (4ax)2-2.4ax.1+(1)2

= 16a2x2-8ax+1Respuesta: 16a2x2-8ax+1

Caso No. 5 Cubo de una Suma.Forma (a+b)3

Desarrollo: a3+3a2b+3ab2+b3

Ejemplo No. 1(4x+5)3

= (4x)3+3(4x)2.(5)+3(4x)(5)2+(5)3

= 64x3+240x2+300x+125Respuesta: 64x3+240x2+300x+125

Ejemplo No. 2(2x+3y)3

= (2x)3+3(2x)2-(3y)+3(2x)(3y)2+(3y)3

= 8x3+36x2y+54xy2+27y3

Respuesta: 8x3+36x2y+54xy2+27y3

Ejemplo No. 3(n-19) (n+10)= (n)2+(-19+10.(n)+(-19)(+10)= n2+9n-190Respuesta: n2+9n-190

Ejemplo No. 4(a2+5)(a2-9)= (a2)2+(5-9).(a2)+(5).(-9)= a4+4a2-45Respuesta: a4+4a2-45

Ejemplo No. 5(x2-1)(x2-7)= (x2)2+(-1-7).(x2)+(-1).(-7)= x4-8x2+7Respuesta: x4-8x2+7

Cubo de la DiferenciaEjemplo No. 1(a+2)3

= (a)3+3(a)2.(2)+3(a)(2)+(2)3

= a27+3a4

Respuesta: a3+6a2+12a-8

Ejemplo No. 2(x-1)3

= (x)3+3(x)2(-1)+3(x)(-1)2+(1)2

Respuesta: x3-3x2+3x-1

Ejemplo No. 3(m+3)3

(m)3+3(m)2(3)+3(m)(3)2+(3)3

Respuesta: m3+9m2+27m+27

Ejemplo No. 4

(n-4)3= (n)3+3(n)2(-4)+3(n)(-4)3+(-4)3

Respuesta: n3-12n2+48n-64

Ejemplo No. 5(2x+1)3

= (2x)3+3(2x)2(1)+3(2x)(1)2+(1)2

Respuesta: 8x3+12x2+6x+1

SEGUNDA UNIDADFACTORIZACION

El proceso inverso al desarrollar una multiplicación se le llama descomposición factorial. Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de otros polinomios en menor grado, llamados factores de tal modo que al multiplicarlos entre si se obtenga el polinomio original. Para realizar esta factorización se puede utilizar varias técnicas: Sacar factor común, igualdades notables o aplicar la regla de Fuffini, entre otras.

Factores

(x+5) (x+5) X2+10x+25

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(5) (2)

Ejemplo: Factor común a la que se repite una variable en cada expresión.De la expresión ab2+3cb-b3 podemos factorizar “b” y se obtiene que la expresión: ab2+3cb-b3

= abb+3cb-bbb= b(ab+3c-b2)= ab2+3cb-b3

Caso I:Factor Común Monomio

Como su nombre lo indica es un término o elemento que se repito en todos los términos de la expresión algebraica, efectuando la operación de multiplicación de allí su nombre factor por ser un multiplicador y común porque encontrarse en todos los términos de la expresión.

Ejemplo No. 1a2+2aa=(aa+2a)Respuesta: a(a+2)

Ejemplo No. 2a2+aba2 = a a2 = b

a abRespuesta: a(a+b)

Ejemplo No. 3b+b2

b 1 b2 =bb b

Respuesta: b (1+b)

Ejemplo No. 4x2+xRespuesta: x(x+1)

Ejemplo No. 5x3-4x4

x3(1-4x)