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Prof. Rafael Cristancho 1
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
ECUACIONES DIFERENCIALES
En cursos de cálculos anteriores se estudió que, dada una función ( )y f x ,
podemos encontrar su derivada ( )y f x , utilizando algunos métodos apropiados. En el
Subproyecto Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, estudiaremos métodos para resolver el
problema siguiente: Dada la ecuación ( , )dy
f x y ydx
, encontrar una función ( )y y x
que satisface dicha ecuación.
Definición: Una Ecuación Diferencial es una igualdad que contiene las derivadas de una o
más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.
Son Ecuaciones Diferenciales 2 3 ( )y xy xy sen x , ( 3) ( ) 0x dy x y dx
2
2
u u v vsenx x y
x y y
, x y dy
e x ydx
.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN LA
DERIVADA, EL ORDEN, EL GRADO Y LA LINEALIDAD.
1.- Según el tipo de derivada:
Se dice que una Ecuación Diferencial es Ordinaria si y sólo si es una igualdad que
contiene las derivadas ordinarias de una o más variables dependiente respecto a una sola
variable independiente. Son Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, 3 xdye xsenx
dx ,
2cosdu dz
x xdx dx
, 24 tan(ln ) 5y x y xy .
Se dice que una Ecuación Diferencial es Parcial si y sólo si es una igualdad que
contiene las derivadas parciales de una o más variables dependiente respecto a dos o más
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
variables independientes. Son Ecuaciones Diferenciales Parciales, 0u v
x y
,
2 2u vu v
x y x y
.
Observación: Para el Subproyecto nos limitaremos al estudio de las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias.
2.- Según el orden: El orden de una Ecuación Diferencial es la derivada de mayor orden
que aparece en la ecuación.
Ejemplos:
a) 33 ( ) 3 0y x y x es una Ecuación Diferencial de segundo orden.
b) 1
2dy xy dx es una Ecuación diferencial de primer orden, ya que se puede expresar
como 1
2dy
xydx
c) 2 3
2 30
u v
x y
es una Ecuación Diferencial parcial de tercer orden.
Observación: Denotaremos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden n como
( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y
3.- Según el grado: El grado de una Ecuación Diferencial, que puede escribirse como un
polinomio en la variable dependiente y sus derivadas, es la potencia a la cual está elevada la
derivada de mayor orden.
Ejemplos:
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
a) 5 7 3( ) 3 ( ) 4 5y y y y xsenx es una Ecuación Diferencial Ordinaria de grado 5.
Obsérvese que la variable dependiente es y y la variable independiente es x.
b)
73
34
d y dyy x
dx dx
es una Ecuación Diferencial Ordinaria de grado uno.
c) ( ) 2iv yy xy x y e senx es una Ecuación Diferencial Ordinaria que no tiene grado,
pues ye no representa un polinomio.
4.- Según la linealidad: Una Ecuación Diferencial Ordinaria en la variable independiente x
y la variable dependiente y es lineal si y sólo si tiene la siguiente forma:
( ) ( 1)
1 1 0( ) ( ) ....... ( ) ( ) ( )n n
n na x y a x y a x y a x y g x
.
Observación: Recuérdese que ( )
nn
x
d yy
dx ,
1( 1)
1
nn
n
d yy
dx
,….,
dyy
dx . Cada coeficiente
depende solamente de la variable x, y la variable dependiente junto con sus derivadas tienen
potencia uno.
Las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias son lineales: 0dy
x ydx
,
2 2 xy x y senxy xy e . Las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias no son
lineales: 1
2dy
xydx
, 2 1yy y x , 3
3
3
d yy senx
dx . El estudiante identificará los
términos para los cuales no se cumple la linealidad.
Problemas Propuestos.
Clasifique las siguientes Ecuaciones Diferenciales según: Derivada, Orden, Grado y
Linealidad. Además, identifique la variable dependiente e independiente.
1.- 2
25 2 9 2cos3
d x dxx t
dt dt 2.-
2
1dy
y cdx
, c es constante.
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
3.- 4
48 (1 )
d yx x
dx 4.- (4 )(1 )
dxk x x
dt , k es una constante.
5.- ( )dp
kp P pdt
donde k y p son constantes. 6.- 2
2
2(1 ) 9 0
d y dyy y
dx dx donde
es una constante.
7.- 2 1n
n
d xy
dy 8.-
2
2 2
d R k
dt R k es una constante.
9.- ( ) ''' (cos ) ' 2sen y y 10.- 3
2
4 823
25 2 9 2
d y dyx y x
dx dx
SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
Soluciones explícitas e implícitas:
Definición: Una solución explícita de una Ecuación Diferencial ( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y
en un intervalo I, es una función ( )y x que satisface la ecuación diferencial para todos los
valores de x en I.
Ejemplo: 2 cos2y asen x b x es solución explícita de la ecuación diferencial
4 0y y . En efecto:
:: 2 cos2 2 cos2 2 2 4 2 4 cos2y asen x b x y a x bsen x y asen x b x . Luego
tenemos que:
4 4 2 4 cos 2 4( 2 cos 2 )
4 4 2 4 cos 2 4 2 4 cos 2 0 4 0
y y asen x b x asen x b x
y y asen x b x asen x b x y y
Para todo número real x.
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Definición: Se dice que una relación ( , ) 0G x y es una solución implícita de la ecuación
diferencial ( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y en un intervalo I si define dos o más soluciones
explícitas en I.
Ejemplo: La relación 2ln 1y y x es una solución implícita de la ecuación diferencial
2
1
dy xy
dx y
, en efecto derivando la ecuación
2ln 1y y x implícitamente respecto a x
tenemos que: 1 1
2 0 2dy dy y dy
x xdx y dx y dx
2
1
dy xy
dx y
.
Problemas Resueltos:
1.- Determinar si la función 2 3x xy e e es solución explícita de la ecuación diferencial
2
22 0
d y dyy
dx dx
Solución:
Veamos si la función 2 3x xy e e es solución explícita de la ecuación diferencial
2
22 0
d y dyy
dx dx . Para esto debemos derivar dos veces la función
2 3x xy e e ,
sustituirla en la ecuación diferencial y verificar si se cumple la igualdad. Veamos:
22 2 2
2:: 3 2 3 4 3x x x x x xdy d y
y e e e e e edx dx
. Luego se tiene que:
2
2 2 2
22 4 3 2 3 2 3x x x x x xd y dy
y e e e e e edx dx
22 2 2
22 4 3 2 3 2 6x x x x x xd y dy
y e e e e e edx dx
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
22 2
22 4 4 6 6x x x xd y dy
y e e e edx dx
2
22 0
d y dyy
dx dx . Por lo tanto, la función
2 3x xy e e es solución explícita de la ecuación diferencial 2
22 0
d y dyy
dx dx .
2.- Verifique que la relación 2 2 1x y es una solución implícita de la ecuación diferencial
2 1
dy xy
dx x
.
Solución:
Veamos si la relación 2 2 1x y es solución implícita de la ecuación diferencial
2 1
dy xy
dx x
. Para esto debemos derivar implícitamente la relación
2 2 1x y .
2 2 2 2:: 1 ( ) ( ) (1) 2 2 0d d d dx dy
x y x y x ydx dx dx dx dx
22 2 0 2 2
2
dy dy dy xx y y x
dx dx dx y
2
dy x dy xy
dx y dx y
2 2 2 2
2:: 1 1
1
dy xyx y y x
dx x
2 2( 1) 1
dy xy dy xy
dx x dx x
. Luego la
relación 2 2 1x y es solución implícita de la ecuación diferencial
2 1
dy xy
dx x
SOLUCIONES GENERALES, PARTICULARES Y SINGULARES.
Definición: Una solución general de una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden n
( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y , es una familia de soluciones que contiene n parámetros o
constantes arbitrarias 1 2( , , , ,..., ) 0nG x y c c c .
La solución general para la ecuación diferencial 4 0y y es
1 22 cos2y c sen x c x donde 1c y 2c son constantes arbitrarias.
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Definición: Una solución particular de una Ecuación Diferencial Ordinaria es una solución
que se obtiene asignándole valores específicos a las constantes que intervienen en la
solución general.
Si hacemos 1 3c y 2 2c en el ejemplo anterior, obtenemos la función
3 2 2cos2y sen x x que representa una solución particular de la ecuación diferencial
4 0y y .
Definición: Una solución singular de una Ecuación Diferencial Ordinaria es una solución
que no puede obtenerse a partir de la solución general, asignándole valores a las constantes
arbitrarias.
1
yx c
es solución general de la ecuación diferencial 2 0y y . En efecto:
1y
x c
0y es una solución de la ecuación diferencial
2 0y y que no se obtiene
dándole valores específico a la constante c en la solución general. Por lo tanto 0y es una
solución singular de la ecuación diferencial.
Problemas Resueltos:
1.- Demuestre que 1 2( ) cosx c senx c x es solución de la ecuación diferencial
2
20
d yy
dx para cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . De este modo,
1 2 cosc senx c x es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada.
Grafique algunas curcas solución.
Demostración:
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Q.D.Q: 1 2( ) cosx c senx c x es solución de la ecuación diferencial 2
20
d yy
dx para
cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . Sea ( )y x , entonces derivando la función
dos veces se tiene que:
1 2 1 2 1 2:: ( ) ( ) cos cos cosdy
y x x c senx c x y c senx c x c x c senxdx
2
1 22cos ( )
d yc senx c x I
dx . Ahora, veamos si se (I) satisface la ecuación diferencial
2
20
d yy
dx .
2 2
1 2 1 22 2cos cos 0
d y d yy c senx c x c senx c x y
dx dx . Con lo cual,
1 2( ) cosx c senx c x es una familia biparamétrica de soluciones de la ecuación
diferencial 2
20
d yy
dx . La gráfica de algunas soluciones se representara por medio del
paquete matemático MAPLE.
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2.- Verifique que 2
( )1 x
xce
, donde c es una constante arbitraria, es una familia
uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial ( 2)
2
dy y y
dx
. Grafique las curcas
solución correspondiente a 0, 1, 2c c c usando los mismos ejes de coordenadas.
Solución:
Sea 2
( )1 x
y xce
. Veamos si es solución de la ecuación diferencial ( 2)
2
dy y y
dx
2 2
2 2( ) 2:: ( )
1 (1 ) (1 )
x x
x x x
dy ce dy cey I
ce dx ce dx ce
2 2:: (1 ) 2 1
1
x x
xy y ce ce
ce y
21 xce
y
2( )x y
ce IIy
. Sustituyendo
(II) en (I) se tiene que:
2
22
2
y
dy y
dx
y
2
2
2( 2)
2( 2) ( 2)
4 4 2
y
dy dy y y dy y yy
dx dx y dx
y
. Luego podemos
concluir que: 2
( )1 x
xce
es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación
diferencial ( 2)
2
dy y y
dx
. Las gráficas de las curvas solución correspondiente a
0, 1, 2c c c está dada por:
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3.- Determinar si la relación 3 2seny xy x es solución implícita de la Ecuación
Diferencial 3 2
2
6 ' ( ') 2( ')''
3
xy y seny yy
x y
Solución. Veamos si 3 2seny xy x es solución implícita de la Ecuación Diferencial
3 2
2
6 ' ( ') 2( ')''
3
xy y seny yy
x y
. Para esto procedamos a derivar implícitamente la relación
3 2seny xy x .
3 3 3:: 2 ( ) ' 2' ( ) ' ( ) ' ( ) ' 0seny xy x seny xy x seny xy x 2(cos ) ' ' ' 3 ' 0y y x y xy x x 2(cos ) ' ' 3 0y y y xy x
2(cos ) ' 3 ( )y x y x y i
Derivando implícitamente la relación 2(cos ) ' ' 3 0y y y xy x tenemos que:
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2 2:: (cos ) ' ' 3 0 ((cos ) ' ' 3 ) ' 0'y y y xy x y y y xy x
(cos ) ' ' (cos )( ') ' ' ' ' ( ') ' 6 ' 0'y y y y y x y x y xx
( ') ' (cos )( '') ' ' '' 6 0seny y y y y y y xy x
2( ') cos ( '') 2 ' '' 6 0seny y y y y xy x 2(cos ) '' 6 ( ') 2 'y x y x y seny y
26 ( ') 2 '''
cos
x y seny yy
y x
2(6 ( ') 2 ') '''
(cos ) '
x y seny y yy
y x y
3 26 ' ( ') 2( ')'' ( )
(cos ) '
xy y seny yy ii
y x y
Sustituyendo (i) en (ii) se tiene que:
3 2
2
6 ' ( ') 2( ')''
3
xy y seny yy
x y
Luego
3 2seny xy x es solución implícita de la
Ecuación Diferencial 3 2
2
6 ' ( ') 2( ')''
3
xy y seny yy
x y
.
4.- Compruebe que 2 2 2
1
xx t x
oy e e dt c e es una familia de soluciones de la ecuación
diferencial ' 2 1y xy
Demostración. QDQ 2 2 2
1
xx t x
oy e e dt c e es una familia de soluciones de la ecuación
diferencial ' 2 1y xy . En efecto:
2 2 2 2 2 2'
1 1:: 'x x
x t x x t x
o oy e e dt c e y e e dt c e
2 2 2
1: ( ) ' ( ) 'x
x t x
oy e e dt c e
2 2 2 2 2
1' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( )x x
x t x t x
o oy e e dt e e dt c e i
Determinemos 2
( ) 'xe
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2 2 2 22( ) ' ( ) ' ( ) ' 2 ( )x x x xe e x e xe ii
Ahora determinemos 2
( ) 'x
t
oe dt . Por el Primer Teorema Fundamental el cual dice que: Sea
f una función continua en un intervalo cerrado ,a b y sea x cualquier número de ,a b . Si
F es una función definida por ( ) ( )x
aF x f t dt entonces
'( ) ( ) ( ) ( )x
a
dF x f x f t dt f x
dx se tiene que:
2 2 2 2
( ) ' ( ) ' ( )x x x
t t t x
o o o
de dt e dt e dt e iii
dx . Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
2 2 2 2 2
1' 2 2x
x t x x x
oy xe e dt e e c xe
2 2 2
1' 2 1 2x
x t x
oy xe e dt c xe Luego
tenemos que:
2 2 2 2 2 2
1 1' 2 2 1 2 2 ( )x x
x t x x t x
o oy xy xe e dt c xe x e e dt c e
2 2 2 2 2 2
1 1' 2 2 1 2 2 2x x
x t x x t x
o oy xy xe e dt c xe xe e dt c xe ' 2 1y xy con lo
cual se tiene que 2 2 2
1
xx t x
oy e e dt c e es una familia de soluciones de la ecuación
diferencial ' 2 1y xy
Problemas Propuestos.
1.- Demuestre que la ecuación 2 1
ln1
xt
x
es solución implícita particular de la
Ecuación Diferencial ( 1)(1 2 )dx
x xdt
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2.- Compruebe que 1
11
t
t
c eP
c e
, donde 1c es una constante, es una familia uniparamétrica
de soluciones de la Ecuación Diferencial (1 )dP
P Pdt
3.- Las gráficas de los miembros de una familia uniparamétrica 3 3 3x y cxy se llama
folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita general de la
Ecuación Diferencial de primer orden 3 3
3 3
( 2 )
(2 )
dy y y x
dx x y x
4.- Demuestre que la función 22 1y c x es solución explícita general de la Ecuación
Diferencial 2(1 ) ' 2x y xy x
5.- Demuestre que ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la Ecuación Diferencial
' (ln )xy ytg y
6.- Verifique que 2
0
xx t xy e e dt ce donde c es una constante, es una familia
uniparamétrica de soluciones de la Ecuación Diferencial 2
' x xy y e
7.- Determinar si las ecuaciones paramétricas cos ,x t y sent es solución de la Ecuación
diferencial ' 0x yy
8.- Verifique que 2y x cx es solución general de la Ecuación Diferencial
2 2( ) 3 0x y dx xydy
9.- Determinar si la ecuación lnx y cy es solución de la Ecuación Diferencial
'( )y x y y
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10.- Determinar si la relación 2 2ln 0y
arctg c x yx
es solución implícita de la
Ecuación Diferencial ( ) ( ) 0x y dx x y dy
11.- Demuestre que la relación 2
0
x
x y sent dt es solución implícita de la Ecuación
Diferencial 2 2'y xy y senx
12.- Compruebe que 0
lnx sent
x dt y yt
es solución implícita de la Ecuación Diferencial
' ln lnxy x y xsenx y y
13.- Verifique si la relación 1ye cx es o no solución de la Ecuación Diferencial
' 1 yxy e
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y PROBLEMAS DE VALOR LÍMITES
Definición: Una Ecuación diferencial junto con las condiciones complementarias de la
variable dependiente y sus derivadas, todas dadas para el mismo valor de la variable
independiente, constituye un problema de valor inicial y las condiciones complementarias
se llaman condiciones iniciales.
Ejemplo: El problema 2 xy y e ; ( ) 1; ( ) 2y y es un problema de valor inicial.
Definición: Una Ecuación diferencial junto con las condiciones complementarias de la
variable dependiente y sus derivadas, dadas para más de un valor de la variable
independiente, constituye un problema de valor límite y las condiciones complementarias
se llaman condiciones límites.
Ejemplo: El problema 2 xy y e ; (0) 1; (1) 1y y es un problema de valor límite.
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Definición: Una solución para un problema de valor inicial o un problema de valor límite
es una función ( )y x que satisface tanto la ecuación diferencial como todas las condiciones
complementarias.
Problemas Resueltos:
1.- Demuestre que la función 2
1 2
x xy c e c e es solución de la ecuación diferencial
2
22 0
d y dyy
dx dx para cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . Determine 1 2 y c c , de
tal manera que se satisfaga las condiciones iniciales (0) 2; '(0) 1y y
Solución:
Q.D.Q: la función 2
1 2
x xy c e c e es solución de la ecuación diferencial
2
22 0
d y dyy
dx dx para cualquier elección de las constantes 1 2 y c c . Para esto debemos ver
que la función 2
1 2
x xy c e c e satisface la ecuación diferencial 2
22 0
d y dyy
dx dx . En
efecto:
22 2 2
1 2 1 2 1 22:: 2 4x x x x x xdy d y
y c e c e c e c e c e c edx dx
. Con lo cual se tiene que:
22 2 2
1 2 1 2 1 222 4 2 2( )x x x x x xd y dy
y c e c e c e c e c e c edx dx
22 2 2
1 2 1 2 1 222 4 2 2 2x x x x x xd y dy
y c e c e c e c e c e c edx dx
2
22 0
d y dyy
dx dx . Con
lo cual 2
1 2
x xy c e c e es solución de la ecuación diferencial 2
22 0
d y dyy
dx dx . Ahora
procedamos a determinar 1 2 y c c tal que se satisfaga las condiciones iniciales
(0) 2; '(0) 1y y
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 0 2.0
1 2 1 2:: (0) 2 2x xy y c e c e c e c e 1 2 2 ( )c c I
2 0 2.0
1 2 1 2:: '(0) 1 ' 2 1 2x xdyy y c e c e c e c e
dx
1 22 1( )c c II
De (I) y (II) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:1 2
1 2
2
2 1
c c
c c
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2:: 2 2 1 2 2 1 3 3 1c c c c c c c c c c
2 1 2 1 1:: 1 2 1 2 1c c c c c . Por lo tanto el valor de 1 2 y c c que satisface las
condiciones iniciales (0) 2; '(0) 1y y , son: 1 21 y 1c c , así la función queda expresada
de la siguiente manera: 2x xy e e . La gráfica de esta solución es:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.
Definición: La forma estándar de una ecuación diferencial, de primer orden es ( , )y f x y
Definición: La forma diferencial de una ecuación diferencial, de primer orden tiene la
forma ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy .
Observación: Una Ecuación Diferencial en la forma estándar se puede escribir en la forma
diferencial y una Ecuación Diferencial en la forma diferencial puede escribirse en la forma
estándar.
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ejemplo: Sea la ecuación diferencial 2dy x y
dx x y
, expresemos dicha ecuación en la forma
diferencial. En efecto. 2
2:: ( ) ( )dy x y
x y dy x y dxdx x y
2( ) ( ) 0x y dx x y dy siendo ( , )M x y x y y 2( , ) ( )N x y x y .
Ahora, veamos la ecuación diferencial 2 2( 4) 0x dx y dy , vamos a expresarla en la
forma estándar. En efecto. 2 2 2 2:: ( 4) 0 ( 4) 0dy
x dx y dy x ydx
22 2 2 2
2:: ( 4) 0 ( 4)
4
dy xy x y y y y x y
dx y
Teorema: Si ( , )f x y y f
y
son continuas en el rectángulo 0 0: ,R x x a y y b ,
entonces existe un intervalo alrededor de 0x en el cual el problema de valor inicial
0 0( , ), ( )y f x y y x y tiene una solución única. El teorema permite establecer que
cumpliéndose las condiciones siempre es posible encontrar una única solución.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN LINEALES.
Definición: Una Ecuación Diferencial, de primer orden en la variable dependiente y es
lineal si tiene la forma ( ) ( )dy
p x y q xdx
, la cual puede escribirse en la forma
( ) ( )dy
p x y q xdx
. Como dy
ydx
, tenemos que ( ) ( )y p x y q x o su equivalente
( ) ( )y p x y q x .
Prof. Rafael Cristancho 18
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Observación: Si la variable dependiente es x, y la variable independiente es y, la ecuación
diferencial lineal, de primer orden tiene la forma ( ) ( )dx
p y x q ydy
. Los ejemplos los
puede conseguir en la página http://ecuacionesytransformadas.jimdo.com/libros
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN HOMOGÉNEAS.
Definición: Una Ecuación Diferencial de primer orden, en la forma estándar es homogénea
si y sólo se cumple que ( , ) ( , )f tx ty f x y para todo número real 0t
Ejemplo: Veamos si la ecuación diferencial y x
yx
es homogénea. En efecto.
:: ( , ) ( , ) ( , )y x y x ty tx
y f x y y f x y f tx tyx x tx
( )( , ) ( , )
t y x y xf tx ty f tx ty
tx x
. Pero ( , ) ( , ) ( , )
y xf x y f tx ty f x y
x
con
lo cual la Ecuación Diferencial es homogénea.
Observación: El término homogénea se usa solo para la definición anterior, pues en
términos generales es completamente diferente.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DE VARIABLE
SEPARABLE.
Definición: Una Ecuación Diferencial de primer orden, es de variable separable si y sólo si
tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy , donde A(x) depende sólo de x y B(y) depende sólo de
y, o si es posible encontrar una expresión D (que dependa de x, de y, o de ambas) tal que al
multiplicarla por la ecuación diferencial en la forma diferencial se obtiene una ecuación
diferencial de la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy .
Ejemplos:
Prof. Rafael Cristancho 19
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1.- cos 3 0xdx ydy es una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de Variable
Separable, ya que tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy con ( ) cosA x x y ( ) 3B y y
2.- 2
2
10dx y dy
x es una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de Variable
Separable, con 2
1( )A x
x y
2( )B y y .
3.- 2 2sec tan sec tan 0x ydx y xdy no tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy , sin embargo
si se multiplica por 1
tan tanx y obtenemos la ecuación diferencial
2 2sec sec0
tan tan
x ydx dy
x y que tiene la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy . Por lo tanto la ecuación
diferencial 2 2sec tan sec tan 0x ydx y xdy es de Variable Separable.
4.- 2( ) cos( ) 0xyx y dx e x y dx , no es de Variable Separable ya que no tiene la forma
( ) ( ) 0A x dx B y dy y es imposible encontrar una expresión que al multiplicarla por la
ecuación diferencial se convierta en la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EXACTAS
Definición: Una Ecuación Diferencial Ordinaria, de primer orden en la forma diferencial es
exacta si y sólo si M N
y x
Ejemplos:1.- La Ecuación Diferencial 2 2sec tan sec tan 0x ydx y xdy es exacta. En
Efecto. Sean 2( , ) sec tanM x y x y y
2( , ) sec tanN x y y x , entonces 2 2sec sec
My x
y
y
2 2sec secN
y xx
M N
y x
Prof. Rafael Cristancho 20
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2.- Veamos si la Ecuación Diferencial 25 0xydx x ydy es exacta. Sean ( , ) 5M x y xy y
2( , )N x y x y , entonces 5M
xy
y 2
Nxy
x
M N
y x
con lo cual la Ecuación
Diferencial no es exacta.
SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DE
VARIABLE SEPARABLE.
La solución general de la Ecuación Diferencial de primer orden de variable
separable ( ) ( ) 0A x dx B y dy es ( ) ( )A x dx B y dy c , donde c es una constante
arbitraria. El problema de valor inicial 0 0( ) ( ) 0; ( )A x dx B y dy y x y tiene por solución
0 0
( ) ( ) 0x y
x yA x dx B y dy
Problemas Resueltos:
1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2(1 ) 'x y y
Solución:
2:: (1 ) 'x y y está en la forma estándar Hallemos su forma diferencial.
2 2 2:: (1 ) ' ' (1 ) (1 )dy dy
x y y y x y x dy y dxdx dx
2 1
dy dx
y x
2( )
1
dy dxI
y x
Determinemos 2
dy
y.
2 1 12
1 1 12 2 2 2
1( )
2 1 1
dy dy y dy y dyy dy c c c II
y y y y y
Prof. Rafael Cristancho 21
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Determinemos ahora 1
dx
x. Sea 1u x du dx du dx . Por lo tanto tenemos
que: 2 2ln ln 1 ( )
1 1 1 1
dx du dx du dx dxu c x c III
x u x u x x
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
1 2
1ln 1c x c
y
2 1
1 1ln 1 ln 1 lnx c c x c
y y
11 1ln 1 ln ln (1 ) (1 )yx c c x e c x
y y
2.- Obtenga la solución del problema de valor inicial ; ( ) 3dy
ysenx ydx
Solución:
Para obtener la solución del problema de valor inicial ; ( ) 3dy
ysenx ydx
, se procede de
la siguiente manera:
1. Se obtiene la solución de la ecuación diferencial dy
ysenxdx
2. Se obtiene el valor de la constante tal que cumpla que ( ) 3y
Procedamos primero a obtener la solución de la ecuación diferencial dy
ysenxdx
.
cos:: ln cos x cdy dy dyysenx senxdx senxdx y x c y e
dx y y
. Así la
solución de la ecuación diferencial dy
ysenxdx
es cos x cy e . Ahora determines el valor
de la constante c talque se cumpla que ( ) 3y .
Prof. Rafael Cristancho 22
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
cos cos:: ( ) 3 3x c cy y e e ( 1) 13 3 3c c ce e ee
133c ce e e
e
. Luego se tiene que:
cos cos cos 1:: ( 3 )x c x c xy e y e e y e e cos 1 cos 1:: 3 3x xy y e e y e .
En conclusión la solución del problema de valor inicial ; ( ) 3dy
ysenx ydx
está dado
por cos 13 xy e . La gráfica de esta solución es
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
HOMOGÉNEAS.
Para obtener la solución de una ecuación diferencial de primer orden homogéneo se
hace el cambio y vx y su respectiva derivada dy vdx xdv o su equivalente
dy dvv x
dx dx . Si al aplicar este método las integrales resultantes son muy complejas se
aplica el método alterno. Se hace el cambio x uy y sus respectivas derivadas
dx udy ydu .
Prof. Rafael Cristancho 23
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Problemas Resueltos:
1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2 2( ) 2 0x y dx xydy
Solución:
Se puede verificar que la ecuación diferencial 2 2( ) 2 0x y dx xydy es homogénea, ie, la
ecuación diferencial satisface la condición ( , ) ( , )f tx ty f x y . (Verifíquela!!!. Observe que
la ecuación está en la forma diferencial, debe transformarla a la forma estándar).
Sea y ux dy udx xdu . Luego se tiene que:
2 2 2 2 2:: ( ) 2 0 ( ) 2 ( ) 0x y dx xydy x u x dx xux udx xdu
2 2 2(1 ) 2 ( ) 0x u dx x u udx xdu 2 2[(1 ) 2 ( )] 0x u dx u udx xdu
2(1 ) 2 ( ) 0u dx u udx xdu 2 2(1 2 ) 2 0u u dx uxdu 2(1 3 ) 2 0u dx uxdu
2
20
1 3
dx du
x u
2
2
1 3
dx duc
x u
. Pero lndx
xx . Ahora determinemos
2
2
1 3
du
u. Hacemos el cambio 21 3 6 3.2 2
3
dww u dw udu dw du du .
Luego:
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1ln ln 1 3
1 3 3 1 3 3 1 3 3
du dw du duw u
u w u u
. Luego:
2
2 2
2 2 1:: ln ln 1 3
1 3 1 3 3
dx du dx duc x u
x u x u
21
ln ln 1 33
x u c
2 3 23ln ln 1 3 3 ln ln 1 3x u c x u k , 3k c
3 2 3 2ln (1 3 ) (1 3 ) kx u k x u e 3 2
1(1 3 )x u c
Prof. Rafael Cristancho 24
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
23 3 2
1 12(1 3 ) 3
y yy ux u x c x xy c
x x
PROBLEMAS RESUELTOS
Objetivo #1: Clasificar las Ecuaciones Diferenciales según: Derivada, Orden, Grado y
Linealidad. Valor: 2%. Criterio de aprobación: 100%.
1.- Clasifique las siguientes Ecuaciones Diferenciales según: Derivada, Orden, Grado y
Linealidad:
1.1.- 2
20
d Q dQ QR
dt dt C 1.2.-
4 53 2
3 20
d y d yy
dx dx
1.3.- ' cosy y x
1.4.- 2 3
4 2 4
2 3
dy d y d yx x y
dx dx dx 1.5.-
2
2
x d y dye senx x
dx dx
RESPUESTAS:
1.1.- La Ecuación Diferencial 2
20
d Q dQ QR
dt dt C es una Ecuación Diferencial Ordinaria
(la derivada ordinaria), de Orden dos (derivada de mayor orden), Grado uno (El grado de
una Ecuación Diferencial que puede escribirse como un polinomio en la variable
dependiente y sus derivadas es el exponente de la derivada de mayor orden), Lineal (los
coeficientes de la variable dependiente y sus derivadas están compuesta solamente de la
variable independiente y el grado de la variable dependiente y sus derivadas es de grado
uno). En este caso la variable dependiente es Q e independiente t.
1.2.- La Ecuación Diferencial
4 53 2
3 20
d y d yy
dx dx
es una Ecuación Diferencial
Ordinaria, de Orden tres, Grado cuatro, no lineal ya que la variable dependiente y sus
derivadas deben de ser de grado uno. En este caso la variable dependiente es y e
independiente es x.
1.3.- La Ecuación Diferencial ' cosy y x es una Ecuación Diferencial Ordinaria, de
Orden Uno (La derivada de mayor orden que se encuentra en la Ecuación Diferencial), no
tiene grado ya que no se puede expresar como un polinomio en la variable dependiente y
Prof. Rafael Cristancho 25
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
sus derivadas y por lo tanto es no lineal. En este caso la variable dependiente es y e
independiente es x.
1.4.- La Ecuación Diferencial 2 3
4 2 4
2 3
dy d y d yx x y
dx dx dx es una Ecuación Diferencial
Ordinaria, de orden tres, grado uno, no lineal por el término 4y . En este caso la variable
dependiente es y e independiente es x.
1.5.- La Ecuación Diferencial 2
2
x d y dye senx x
dx dx es una Ecuación Diferencial Ordinaria,
de Orden dos, Grado uno, Lineal. En este caso la variable dependiente es y e independiente
es x.
Objetivo #2: Determinar si una función dada en o no solución explícita o implícita general,
particular o singular de una Ecuación Diferencial Ordinaria. Valor: 2%. Criterio de
aprobación: 90%.
2.1.- Demuestre que la ecuación 2 1
ln1
xt
x
es solución implícita particular de la
Ecuación Diferencial ( 1)(1 2 )dx
x xdt
Solución: Veamos que 2 1
ln1
xt
x
es solución implícita de la Ecuación Diferencial
( 1)(1 2 )dx
x xdt
. En efecto: 2 1
:: ln1
xt
x
2 1ln
1
d x dt
dt x dt
ln(2 1) ln( 1)d dt
x xdt dt
ln(2 1) ln( 1)d d dt
x xdt dx dt
2 11
2 1 1
dx dx
x dt x dt
2 11
2 1 1
dx
x x dt
2( 1) (2 1)1
(2 1)( 1)
x x dx
x x dt
2 2 2 11
(2 1)( 1)
x x dx
x x dt
11
(2 1)( 1)
dx
x x dt
(2 1)( 1)
dxx x
dt
Prof. Rafael Cristancho 26
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
(1 2 )( 1)dx
x xdt
con lo cual se tiene que 2 1
ln1
xt
x
es solución implícita de la
Ecuación Diferencial ( 1)(1 2 )dx
x xdt
.
2.2.- Las gráficas de los miembros de una familia uniparamétrica 3 3 3x y cxy se llama
folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita general de la
Ecuación Diferencial de primer orden 3 3
3 3
( 2 )
(2 )
dy y y x
dx x y x
Demostración: Q.D.Q:3 3 3x y cxy es solución implícita de la Ecuación Diferencial
3 3
3 3
( 2 )
(2 )
dy y y x
dx x y x
. En efecto:
3 3:: 3x y cxy 3 3 3d d
x y cxydx dx
3 3( ) ( )
3d x d y d
c xydx dx dx
2 23 3 3dy dy dx
x y c x ydx dx dx
2 23 3 3 3dy dy
x y cx cydx dx
2 23 3 3 3dy dy
y cx cy xdx dx
2 23 3 (3 3 )dy
y cx cy xdx
2
2
3 3( )
3 3
dy cy xi
dx y cx
3 3:: 3x y cxy 3 3
3 ( )x y
c iixy
Sustituyendo (ii) en (i) se tiene que:
3 32
3 32
3
3
x yy x
dy xy
x ydxy x
xy
3 32
3 32
3
3
x yx
dy x
x ydxy
y
3 3 3
3 3 3
3
3
x y x
dy x
y x ydx
y
3 3
3 3
2
2
y x
dy x
y xdx
y
3 3
3 3
( 2 )
(2 )
dy y y x
dx x y x
. Así se tiene que
3 3 3x y cxy es solución implícita de la Ecuación
Diferencial 3 3
3 3
( 2 )
(2 )
dy y y x
dx x y x
.
2.3.- Demuestre que la función 22 1y c x es solución explícita general de la
Ecuación Diferencial 2(1 ) ' 2x y xy x
Prof. Rafael Cristancho 27
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Demostración: Q.D.Q.: La función 22 1y c x es solución explícita general de la
Ecuación Diferencial 2(1 ) ' 2x y xy x
2:: 2 1y c x 2' 2 ' ( 1 ) 'y c x 2
'1
cxy
x
. Luego tenemos que:
2 2 2
2(1 ) ' (1 ) (2 1 )
1
cxx y xy x x c x
x
2 2 2(1 ) ' 1 2 1x y xy cx x x cx x 2(1 ) ' 2x y xy x . Con lo cual tenemos
que la función 22 1y c x es solución explícita general de la Ecuación Diferencial
2(1 ) ' 2x y xy x
2.4.- Demuestre que ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la Ecuación Diferencial
' (ln )xy ytg y
Demostración: Q.D.Q.: ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la Ecuación
Diferencial ' (ln )xy ytg y
( ):: arcsen cxy e ln ( )y arcsen cx (ln )sen y cx ( (ln )) ' ( ) 'sen y cx
cos(ln )(ln ) ' ( ) 'y y c x cos(ln )
'y
y cy
'cos(ln )
cyy
y Pero :: (ln )sen y cx
(ln )sen yc
x con lo cual tenemos que
(ln )
'cos(ln )
sen yy
xyy
1 (ln )
'cos(ln )
sen yy y
x y
' (ln )xy ytg y así concluimos que ( )arcsen cxy e es solución explícita general de la
Ecuación Diferencial ' (ln )xy ytg y
Objetivo #3: Determinar si una función dada es solución de un Problema de Valor Inicial o
Valor Límite. Valor: 3%. Criterio de aprobación: 90%.
3.1.- Demuestre que 2 2
1 2cosx xy c e x c e senx es solución de la ecuación diferencial
'' 4 ' 5 0y y y para cualesquiera constantes arbitrarias de 1 2 y c c . Hallar los valores de
1 2 y c c tal que se cumpla que: 2 2( ) 4 ; '( ) 5y e y e
Prof. Rafael Cristancho 28
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Demostración: Q.D.Q.: 2 2
1 2cosx xy c e x c e senx es solución de la ecuación diferencial
'' 4 ' 5 0y y y . Veamos:
2 2
1 2:: cosx xy c e x c e senx 2 2 2 2
1 1 2 2' 2 cos 2 cosx x x xy c e x c e senx c e senx c e x
2 2
1 2 1 2' (2 ) cos ( 2 )x xy c c e x c c e senx
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2'' 2(2 ) cos (2 ) 2( 2 ) ( 2 ) cosx x x xy c c e x c c e senx c c e senx c c e x
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2'' (4 2 ( 2 )) cos ( (2 ) ( 2 4 ))x xy c c c c e x c c c c e senx
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2'' (4 2 2 ) cos ( 2 2 4 )x xy c c c c e x c c c c e senx
2 2
1 2 1 2'' (3 4 ) cos ( 4 3 )x xy c c e x c c e senx . Luego tenemos que:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
'' 4 ' 5 (3 4 ) cos ( 4 3 ) 4((2 ) cos
( 2 ) ) 5( cos )
x x x
x x x
y y y c c e x c c e senx c c e x
c c e senx c e x c e senx
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
'' 4 ' 5 (3 4 ) cos ( 4 3 ) ( 4(2 ) cos
4( 2 ) ) (5 cos 5 )
x x x
x x x
y y y c c e x c c e senx c c e x
c c e senx c e x c e senx
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
'' 4 ' 5 (3 4 ) cos ( 4 3 ) ( 8 4 ) cos
(4 8 ) 5 cos 5
x x x
x x x
y y y c c e x c c e senx c c e x
c c e senx c e x c e senx
2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2'' 4 ' 5 (3 4 ( 8 4 ) 5 ) cos ( 4 3 (4 8 ) 5 )x xy y y c c c c c e x c c c c c e senx
2 2'' 4 ' 5 0 cos 0x xy y y e x e senx '' 4 ' 5 0y y y
con lo cual tenemos que 2 2
1 2cosx xy c e x c e senx es solución de la ecuación diferencial
'' 4 ' 5 0y y y
Ahora determinemos los valores de 1 2 y c c tal que 2 2( ) 4 ; '( ) 5y e y e
2 2
1 2:: cosx xy c e x c e senx 2 2 2
1 24 cose c e c e sen
2 2 2
1 24 ( 1) (0)e c e c e 2 2
14e c e 14 c
1 4 ( )c i 2 2
1 2 1 2:: ' (2 ) cos ( 2 )x xy c c e x c c e senx
2 2 2
1 2 1 25 (2 ) cos ( 2 )e c c e c c e sen
2 2 2
1 2 1 25 (2 ) ( 1) ( 2 ) (0)e c c e c c e 2 2
1 25 (2 )e c c e 1 25 2c c
Prof. Rafael Cristancho 29
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1 22 5 ( )c c ii . Sustituyendo (i) en (ii) tenemos que:
22( 4) 5c 28 5c 2 5 8c 2 3c con lo cual se tiene que:
2 24 cos 3x xy e x e senx
Objetivo #4: Determinar si una Ecuación Diferencial de Primer Orden es Lineal,
Homogénea, Variable Separable y Exacta. Valor: 2%. Criterio de aprobación: 90%.
4.1.- Demuestre que la Ecuación Diferencial Ordinaria (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy es una
Ecuación diferencial Ordinaria de Primer Orden Homogénea y Exacta pero no de Variable
separable no lineal.
Demostración: Q.D.Q.: la Ecuación Diferencial Ordinaria (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy es
una Ecuación diferencial Ordinaria de Primer Orden Homogénea y Exacta pero no de
Variable separable no lineal. Probemos primero que la Ecuación Diferencial Ordinaria de
Primer Orden es Homogénea y es Exacta. Para esto debemos probar que:
* : ( , ) ( , )t R f tx ty f x y (Homogénea) y además se cumple que: M N
y x
(Exacta)
:: (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy está en la forma diferencial Veamos que se cumple
M N
y x
con ( , ) 2 3M x y x y y ( , ) (3 8 )N x y x y .
:: ( , ) 2 3M x y x y ( , ) 3M
x yy
:: ( , ) (3 8 )N x y x y 3N
x
por lo tanto
M N
y x
y en consecuencia la Ecuación
Diferencial Ordinaria es Exacta.
:: (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy está en la forma diferencialhallemos su forma estándar
:: (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy (2 3 ) (3 8 ) 0dx dy
x y x ydx dx
2 3 (3 8 ) ' 0x y x y y ya que 'dy
ydx
2 3 (3 8 ) 'x y x y y
Prof. Rafael Cristancho 30
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 3'
3 8
x yy
x y
:: ' ( , )y f x y
2 3( , )
3 8
x yf x y
x y
2( ) 3( )( , )
3( ) 8( )
tx tyf tx ty
tx ty
(2 3 )( , )
(3 8 )
t x yf tx ty
t x y
2 3( , )
3 8
x yf tx ty
x y
( , ) ( , )f tx ty f x y con lo cual la Ecuación
Diferencial Ordinaria es Homogénea. Veamos ahora que la Ecuación Diferencial no es de
Variable Separable. En Efecto. La Ecuación Diferencial (2 3 ) (3 8 ) 0x y dx x y dy no
puede expresarse de la forma ( ) ( ) 0A x dx B y dy con lo cual la Ecuación Diferencial
Ordinaria no es de Variable Separable. La Ecuación Diferencial 2 3
'3 8
x yy
x y
no puede
expresarse de la forma ' ( ) ( )y P x y Q x o su equivalente ' ( ) ( )y P x y Q x así tenemos
que la Ecuación Diferencial Ordinaria no es Lineal.
Objetivo #5: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden de
Variable separable. Valor: 3%. Criterio de aprobación: 80%.
5.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2
(1 ) ' 0ln
y yy e y
x x .
Solución: 2
(1 ) ' 0ln
y yy e y
x x
2
(1 ) 0ln
y dy yy e
dx x x
2
(1 )0
ln
yy e dxdy
y x x
2
(1 )( )
ln
yy e dxdy c i
y x x
.Calculemos
2
(1 ) yy edy
y
. Aplicando integración por
partes se tiene que: udv uv vdu . Sea (1 ) ((1 ) )y yu y e du d y e
(1 ) (1 ) ( )y ydu d y e y d e (1 )y ydu e dy y e dy ( )y y ydu e e ye dy
ydu ye dy ; 2 2
dy dydv dv
y y
1v
y . Luego tenemos que:
2
(1 ) 1 1(1 ) ( )
yy yy e
dy y e ye dyy y y
2
(1 ) 1 1 1( ( ) )
yy yy e
dy y e ye dyy y y y
Prof. Rafael Cristancho 31
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
(1 ) 1( 1)
yy yy e
dy e e dyy y
2
(1 ) y yy yy e e
dy e ey y
2
(1 )( )
y yy e edy ii
y y
. Calculemos ahora
ln
dx
x x . Sea lndx
w x dwx
con lo
cual tenemos que ln
dx dw
x x w ln
ln
dxw
x x ln ln ( )
ln
dxx iii
x x . Sustituyendo
(ii) y (iii) en (i) tenemos que: ln lnye
x cy
ln lnye
x cy
ln ln yy x e cy
Objetivo #6: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden
Homogénea. Valor: 3%. Criterio de aprobación: 80%.
6.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden
2 2 2 22 '( ) ( 2 )xy x y y y x
Solución: 2 2 2 2:: 2 '( ) ( 2 )xy x y y y x es una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer
Orden Homogénea sea y ux dy udx xdu . Luego tenemos que:
2 2 2 2:: 2 '( ) ( 2 )xy x y y y x 2 2 2 22 ( ) ( 2 )dy
x x y y y xdx
2 2 2 22 ( ) ( 2 )x x y dy y y x dx 2 2 2 22 ( ( ) )( ) (( ) 2 )x x ux udx xdu ux ux x dx
2 2 2 2 2 22 ( )( ) ( 2 )x x u x udx xdu ux u x x dx
3 2 3 22 (1 )( ) ( 2)x u udx xdu ux u dx 2 22(1 )( ) ( 2)u udx xdu u u dx
2 2 22(1 ) 2(1 ) ( 2)u udx u xdu u u dx 2 2 22(1 ) 2(1 ) ( 2) 0u udx u xdu u u dx
2 2 2(2(1 ) ( 2)) 2(1 ) 0u u u u dx u xdu 3 3 2(2 2 2 ) 2(1 ) 0u u u u dx u xdu
3 22(1 ) 0u dx u xdu 2
3
2(1 )0
dx u du
x u
2
3
2(1 )dx u duc
x u
2
3
12
dx udu c
x u
3
1 12 2
dxdu du c
x u u
3 12 2
dxu du du c
x u
2
ln 2 2ln2
ux u c
2
1ln 2lnx u c
u 2
2
1ln lnx u c
u
Prof. Rafael Cristancho 32
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
2
1ln xu c
u
2
1
2c
uxu e
2
1
2 c uxu e e 2
1
2 uxu ke
::y
y ux ux
2
1
2 y
xyx ke
x
2
2
1
2
2
y
xy
x kex
2
22 x
yyke
x
2
22
x
yy kxe
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS O A
SEPARABLES.
Sea la ecuación diferencial 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0a x b y c dx a x b y c dy , no homogénea
ni de variable separable.
Si 1 1
2 2
0a b
a b , entonces la ecuación diferencial se transforma en variable separable en la
variable w y x haciendo 1 1w a x b y y 1
1
dw a dxdy
b
Si 1 1
2 2
0a b
a b , entonces la ecuación diferencial se transforma en homogénea en las
variables u y w, haciendo x u m y y w n , donde ( , )m n es solución del sistema de
ecuaciones 1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial ( 1) (2 2 1) 0x y dx x y dy
Solución:
:: ( 1) (2 2 1) 0x y dx x y dy tiene la forma 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0a x b y c dx a x b y c dy
entonces veamos si 1 1
2 2 es igual o diferente de cero.
Prof. Rafael Cristancho 33
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1 1::
2 2 tiene dos columnas iguales
1 10
2 2 con lo cual la ecuación diferencial
( 1) (2 2 1) 0x y dx x y dy es reducible a variable separable. Sea
w x y dw dx dy dy dw dx . Luego
:: ( 1) (2 2 1) 0 ( 1) (2 1)( ) 0x y dx x y dy w dx w dw dx
( 1) (2 1) (2 1) 0w dx w dw w dx ( 1 2 1) (2 1) 0w w dx w dw
( 2) (2 1) 0w dx w dw ( 2) (2 1) 0w dx w dw 2 1
02
wdx dw
w
2 1 2 1( )
2 2
w wdx dw dx dw I
w w
Determinemos 2 1
2
wdw
w
. Sea 2z w dz dw .
:: 2 2 2 2 4z w w z w z 2 1 2 3w z . Luego.
2 1 2 3 2 1 32
2 2
w z wdw dz dw dz
w z w z
2 12 3
1
w dzdw dz
w z
1 1
2 1 2 12 3ln 2( 2) 3ln 2
2 2
w wdw z z c dw w w c
w w
1
2 12 4 3ln 2
1
wdw w w c
w
2
2 12 3ln 2 ( )
1
wdw w w c II
w
Por otro
lado 3 ( )dx x c III . Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
3 22 3ln 2 3ln 2 2x c w w c w w x c 3ln 2 2w w x c
Pero w x y 3ln 2 2 2x y x y x c ln 2 2x y x y c
2.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial (2 ) (4 6) 0x y dx x y dy
Solución:
Prof. Rafael Cristancho 34
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
:: (2 ) (4 6) 0x y dx x y dy tiene la forma 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0a x b y c dx a x b y c dy
entonces veamos si 2 1
4 1
es igual o diferente de cero.
2 12 4 6 0
4 1
la ecuación diferencial (2 ) (4 6) 0x y dx x y dy es
reducible a homogénea. Sea x u m y y w n , donde ( , )m n son las soluciones de
x y respectivamente del sistema de ecuaciones 2 0( )
4 6 0( )
x y I
x y II
Sumando (I) y (II) se tiene que: 2 4 6 0 6 6 0x y x y x 1x
:: 1 2 0 2 0 2x x y y y
Con lo cual se tiene que: 1 2x u y w dx du dy dw
:: (2 ) (4 6) 0 (2( 1) ( 2)) (4( 1) 2 6) 0x y dx x y dy u w du u w dw
(2 2 2) (4 4 2 6) 0u w du u w dw (2 ) (4 ) 0u w du u w dw donde la
nueva ecuación diferencial es homogénea. Sea w zu dw zdu udz teniéndose que:
:: (2 ) (4 ) 0 (2 ) (4 )( ) 0u w du u w dw u zu du u zu udz zdu
(2 ) (4 )( ) 0u z du u z udz zdu (2 ) (4 )( ) 0z du z udz zdu
(2 ) (4 ) (4 ) 0z du z udz z zdu 2(2 4 ) (4 ) 0z z z du z udz
2(2 3 ) (4 ) 0z z du z udz 2
(4 )0
3 2
du z dz
u z z
2
(4 )( )
3 2
du z dzc i
u z z
Determinemos du
u. Trivial. ln ( )
duu ii
u . Ahora determinemos
2
(4 )
3 2
z dz
z z
2
2
(4 ) (4 )3 2 ( 1)( 2)
3 2 ( 1)( 2)
z dz z dzz z z z
z z z z
. Aplicando fracciones parciales
tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho 35
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
44 ( 2) ( 1)
( 1)( 2) 1 2
z a bz a z b z
z z z z
:: 1 4 ( 1) ( 1 2) ( 1 1)z a b 3a
:: 2 4 ( 2) ( 2 2) ( 2 1)z a b 2 2b b . Luego tenemos que:
2 2
4 3 2 (4 ) 3 2
3 2 1 2 3 2 1 2
z z dz dz dz
z z z z z z z z
2
(4 )3ln 1 2ln 2 ( )
3 2
z dzz z iii
z z
. Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) tenemos que:
ln 3ln 1 2ln 2u z z c . Aplicando propiedades logarítmicas tenemos que:
33 2
2
( 1)ln ln 1 ln 2 ln
( 2)
u zu z z c c
z
3 3
2 2
( 1) ( 1)
( 2) ( 2)
cu z u ze k
z z
.
Pero w
w zu zu
con lo que se tienen que:
3
3
22
( 1)
2( 2)
w uw uuuu k k
w w uu u
3
3
2
2
( )
( 2 )
w uu
u kw u
u
3
2
( )
( 2 )
w uk
w u
3 2( ) ( 2 )w u k w u . :: 1 2 1 2x u y w u x w y
3 2( 2 1) ( 2 2( 1))y x k y x 3 2( 3) ( 2 4)y x k y x
3.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial ' ( )y sen x y
Solución: Sea ' 1 ' ' 1 'u x y u y y u con lo cual se tiene que:
:: ' ( ) 1 ' 1du
y sen x y u senu senudx
1du
senudx
(1 )du senu dx
(1 )
1 1 ( 1)(1 )
du du senu dudx dx dx
senu senu senu senu
Prof. Rafael Cristancho 36
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 2
(1 ) (1 )
1 cos
senu du senu dudx dx
sen u u
2 2
1
cos cos
senudu dx
u u
2 2cos cos
du senudu dx
u u
2sec sec tanudu u udu dx 1
tan seccos cos
senuu u x C x C
u u
1
cos
senux C
u
1 cos ( ) ( ) 1 cos( )( )senu u x C sen x y x y x C
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.
Definición: La diferencial total de la función ( , )g x y , denotada por ( ( , ))d g x y está dada
por ( , ) ( , )
( ( , ))g x y g x y
d g x y dx dyx y
Definición: La expresión ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy es una diferencial exacta, si existe una
función ( , )g x y tal que ( , )
( , )g x y
M x yx
y
( , )( , )
g x yN x y
y
Teorema: ( , ) ( , )M x y dx N x y dy es una diferencial exacta si y sólo si M N
y x
De lo anterior tenemos que para obtener la solución de una ecuación diferencial
exacta se procede de la siguiente manera
( , )( , )
g x yM x y
x
(I)
( , )( , )
g x yN x y
y
(II) ( , )g x y c (III)
Problemas Resueltos.
1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2 2 2(1 ) ( 2 ) 0y xy dx x y y xy dy
Solución:
Prof. Rafael Cristancho 37
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Veamos si la Ecuación Diferencial 2 2 2(1 ) ( 2 ) 0y xy dx x y y xy dy es exacta, i.e,
veamos si M N
y x
siendo
2 2( , ) 1M x y y xy y 2( , ) 2N x y x y y xy
2 2:: ( , ) 1 2 2 ( )M
M x y y xy y xy iy
2:: ( , ) 2 2 2 ( )N
N x y x y y xy xy y iix
De (i) y (ii) se tiene que M N
y x
. Con lo cual la Ecuación Diferencial
2 2 2(1 ) ( 2 ) 0y xy dx x y y xy dy es exacta. Sean:
2 2( , ) 1 ( )g g
M x y y xy Ix x
, 2( , ) 2 ( )
g gN x y x y y xy II
y y
,
( , ) ( )g x y c III
De (I) integramos respecto a x y se tiene que:
2 2 2 2 2 2 211 ( , ) (1 ) ( , ) ( ) ( )
2
gy xy g x y y xy dx g x y x xy x y h y IV
x
De (IV) derivamos respecto a y y se tiene que:
2 2 2 21( , ) ( ) 2 '( ) ( )
2
gg x y x xy x y h y xy x y h y V
y
. De (II) y (V) igualamos y
se tiene que: 2 22 2 '( ) '( ) ( )x y y xy xy x y h y h y y h y ydy
21( ) ( )
2h y y VI . Sustituyendo (VI) y (III) en (IV) se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 38
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 2 2 2 2
2 2c x xy x y y c x xy x y y k x xy x y y
2.- Obtenga la solución del problema de valor inicial:
2 2( 2 3) 2( ) ; (1) 1xy x y dx x ydy x y dy y
Solución:
Obtener primero la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria
2 2( 2 3) 2( )xy x y dx x ydy x y dy y luego la solución particular para las
condiciones iniciales.
2 2 2 2:: ( 2 3) 2( ) ( 2 3) ( 2( )) 0xy x y dx x ydy x y dy xy x y dx x y x y dy
Veamos si la Ecuación Diferencial Ordinaria es Exacta, i.e, veamos si M N
y x
siendo
2( , ) 2 3M x y xy x y y 2( , ) 2( )N x y x y x y
2:: ( , ) 2 3 2 2 ( )M
M x y xy x y xy Ay
2:: ( , ) 2( ) 2 2 ( )N
N x y x y x y xy Bx
De (A) y (B) se tiene que M N
y x
con lo cual la Ecuación Diferencial Ordinaria es
Exacta. Sean: 2( , ) 2 3 ( )g g
M x y xy x y ix x
, ( , ) ( )g x y c iii
2( , ) 2( ) ( )g g
N x y x y x y iiy y
De (ii) integramos respecto a y y se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 39
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 2 2 2 21:: 2( ) ( , ) ( 2( )) ( , ) 2 ( ) ( )
2
gx y x y g x y x y x y dy g x y x y xy y h x iv
y
De (iv) derivamos respecto a x y se tiene que:
2 2 2 21:: ( , ) 2 ( ) 2 '( ) ( )
2
gg x y x y xy y h x xy y h x v
x
. De (i) y (v) igualamos y
se tiene que: 2 22 '( ) 2 3xy y h x xy x y '( ) 3h x x ( ) ( 3)h x x dx
21( ) 3 ( )
2h x x x vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene que:
2 2 2 21 12 3
2 2c x y xy y x x
2 2 2 2 2 2 2 22 4 2 6 4 2 6c x y xy y x x k x y xy y x x . Ahora hallemos la
solución particular cuando (1) 1y .
2 2 2 2 2 2 2 2:: (1) 1 4 2 6 1 .1 4.1.1 2.1 1 6.1y k x y xy y x x k
1 4 2 1 6 2k k , por lo tanto la solución del problema de valor inicial está
dada por: 2 2 2 22 4 2 6x y xy y x x
3.- Obtenga la solución de la Ecuación diferencial
2 2(3 2 ) ( 2 2 ) 0y y sen x dx x xy ysen x dy
Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial dada es exacta, ie, veamos si se cumple que:
M N
y x
con
2 2( , ) 3 2M x y y y sen x y ( , ) 2 2N x y x xy ysen x
2 2 2:: ( , ) 3 2 1 4M
M x y y y sen x ysen xy
Prof. Rafael Cristancho 40
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
:: ( , ) 2 2 1 2 2 cos2 1 2 (1 cos2 )N N
N x y x xy ysen x y y x y xx x
pero
2 21 cos22 1 cos 2
2
xsen x sen x x
con lo cual se tiene que 21 2 (2 )
Ny sen x
x
21 4N
ysen xx
::M N
y x
la Ecuación Diferencial dada es exacta. Sean:
2 2:: ( , ) 3 2 ( )g g
M x y y y sen x ix x
:: ( , ) 2 2 ( )
g gN x y x xy ysen x ii
y y
( , ) ( )g x y C iii
De ( )ii integramos respecto a y y se tiene que:
:: 2 2 ( , ) ( 2 2 )g
x xy ysen x g x y x xy ysen x dyy
2 21( , ) 2 ( ) ( )
2g x y xy xy y sen x h x iv
De ( )iv derivamos respecto a x y se tiene que:
2 2 2 21:: ( , ) 2 ( ) cos2 '( )
2
gg x y xy xy y sen x h x y y y x h x
x
2 (1 cos2 ) '( )g
y y x h xx
2 (1 cos 2 ) '( )g
y y x h xx
2 22 '( ) ( )g
y y sen x h x vx
De ( )i y ( )v igualamos y se tiene que:
2 2 2 22 '( ) 3 2 '( ) 3 ( ) 3y y sen x h x y y sen x h x h x dx ( ) 3 ( )h x x vi
Prof. Rafael Cristancho 41
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Sustituyendo ( )iii y ( )vi en ( )iv se tiene que:
2 2 2 212 3 2 2 2 6
2C xy xy y sen x x C xy xy y sen x x
FACTOR DE INTEGRACIÓN.
Definición: Si la ecuación diferencial ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy no es exacta, pero la
ecuación ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y M x y dx x y N x y dy es exacta, la cual resulta de multiplicar
a la ecuación diferencial por la función ( , )x y , entonces ( , )x y se llama factor de
integración de la ecuación diferencial ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
Teorema: Si ( )
M N
y xg x
N
es continua, entonces
( )
( , )g x dx
x y e es un factor de
integración de ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy . Si ( )
M N
y xh y
M
es continua, entonces
( )
( , )h y dy
x y e es un factor de integración de ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy
Problemas Resueltos:
1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria
2 2( 1) ( 2 ) 0x y dx x x y dy .
Solución:
Veamos si la Ecuación Diferencial es Exacta, i.e, veamos si M N
y x
siendo
2 2( , ) 1M x y x y y ( , ) ( 2 )N x x x x y .
2 2:: ( , ) 1 2 ( )M
M x y x y y Ay
, :: ( , ) ( 2 ) 2 2 ( )
NN x x x x y x y B
x
Prof. Rafael Cristancho 42
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
De (A) y (B) se tiene que M N
y x
con lo cual la Ecuación Diferencial no es Exacta.
Veamos si tiene un Factor de Integración.
2 (2 2 ) 4 2 2( 2 )
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
M N M N M N
y x y y x x yy x y x y x
N x x y N x x y N x x y
2( )
M N
y xg x
N x
con lo cual
( )
( , )g x dx
x y e es un factor de integración de la
Ecuación Diferencial 2 2( 1) ( 2 ) 0x y dx x x y dy . Luego.
22:: ( ) ( ) 2ln ( ) lng x g x dx x g x dx x
x
2( ) ( )ln 2 2( , )g x dx g x dxx
e e e x x y x
. Por lo tanto la Ecuación Diferencial
2 2 2 2( 1) ( 2 ) 0x x y dx x x x y dy es exacta (VERIFICAR). Sean
2 2 2( 1) ( )g
x x y ix
1( 2 ) ( )
gx x y ii
y
( , ) ( )g x y c iii
De (ii) integramos respecto a y y se tiene que:
1 1 1:: ( 2 ) 1 2 ( , ) (1 2 )g g
x x y x y g x y x y dyy y
1 2( , ) ( ) ( )g x y y x y t x iv . De (iv) derivamos respecto a x y se tiene que:
1 2 2 2:: ( , ) ( ) '( ) ( )g
g x y y x y t x x y t x vx
. De (v) y (i) igualamos y se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 43
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2'( ) ( 1) '( ) 1 '( ) 1x y t x x x y x y t x x y x t x x
2 1( ) (1 ) ( ) ( )t x x dx t x x x vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene que:
1 2 1 2 2 1c y x y x x cx xy y x
2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 2(3 1) 0y dx xy y dy
Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial 2 2(3 1) 0y dx xy y dy es exacta, i.e,
veamos si M N
y x
siendo
2( , )M x y y y 2( , ) 3 1N x y xy y
2:: ( , ) 2 ( )M
M x y y y Ay
, 2:: ( , ) 3 1 3 ( )
NN x y xy y y B
x
. De (A) y (B) se
tiene que M N
y x
con lo cual la Ecuación Diferencial no es exacta. Veamos si tiene un
Factor de Integración.
2 2
2 3( )
3 1 3 1
M N M N
y y yy x y xg x
N xy y N xy y
2 2
2 3 1( )
M N M N M N
y y yy x y x y xh y
M y M y M y
por lo tanto
( )
( , )h y dy
x y e es un Factor de Integración de la Ecuación Diferencial dada.
ln1:: ( ) ( ) ( ) ln ( , ) ( , )
ydyh y h y dy h y dy y x y e x y y
y y así la
nueva Ecuación Diferencial 3 2(3 1) 0y dx y xy y dy es Exacta. Sean:
Prof. Rafael Cristancho 44
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
3 ( )g
y ix
2(3 1) ( )
gy xy y ii
y
( , ) ( )g x y c iii
De (i) integramos respecto a x y se tiene que:
3 3 3:: ( , ) ( , ) ( ) ( )g
y g x y y dx g x y xy t y ivx
. De (iv) derivamos respecto a y y
se tiene que:
3 2:: ( , ) ( ) 3 '( ) ( )g
g x y xy t y xy t y vy
. De (ii) y (v) igualamos y se tiene que:
2 2 2 2 3 33 '( ) (3 1) 3 '( ) 3 '( )xy t y y xy y xy t y xy y y t y y y
3 4 21 1( ) ( ) ( ) ( )
4 2t y y y dy t y y y vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene
que: 3 4 2 3 4 2 3 4 21 14 4 2 4 2
4 2c xy y y c xy y y k xy y y
SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
PRIMER ORDEN.
Sea la ecuación diferencial de primer orden lineal en y ( ) ( )y P x y Q x .Dicha
ecuación se puede expresar en la forma diferencial como sigue:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
dyy P x y Q x P x y Q x dy P x y Q x dx
dx
P x y Q x dx dy
:: ( ) ( ) 0 ( , ) ( ) ( ) ( , ) 1P x y Q x dx dy M x y P x y Q x N x y
Prof. Rafael Cristancho 45
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
( ) 0M N
P xy x
por lo tanto la ecuación ( ) ( )y P x y Q x no es exacta, sin
embargo ( )
M N
y xP x
N
con lo cual
( )
( , )P x dx
x y e es un factor de integración de la
ecuación diferencial ( ) ( )y P x y Q x . Multiplicando a la ecuación diferencial
( ) ( )y P x y Q x por ( )
( , )P x dx
x y e se tiene que: ( ) ( )
( ) ( )P x dx P x dx
e y P x y e Q x
Pero ( ) ( ) ( )P x dx P x dx P x dxd d
ye y e y edx dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )P x dx P x dx P x dx P x dx P x dxd d
ye y e yP x e ye e y P x ydx dx
Luego tenemos que
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )P x dx P x dx P x dx P x dxd
ye Q x e ye Q x edx
o su equivalente
( ) ( )
( )P x dx P x dx
y e Q x e dx
Así la ecuación diferencial ( ) ( )y P x y Q x tiene por solución la función
( ) ( )
( )P x dx P x dx
y e Q x e dx
Problemas Resueltos.
1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 5( 3 ) 0x y dx xdy
Solución:
Prof. Rafael Cristancho 46
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
5 5 5:: ( 3 ) 0 ( 3 ) 0 3 ' 0dx dy
x y dx xdy x y x x y xydx dx
5' 3xy y x
43'y y x
x la ecuación diferencial es lineal con lo cual la solución está dada por:
( ) ( )
( )P x dx P x dx
y e Q x e dx siendo 43
( ) ( )P x Q x xx
33 3:: ( ) ( ) ( ) 3ln ( ) lnP x P x dx dx P x dx x P x dx x
x x
3( ) lnP x dx x
3 3( ) ( ) ln ln 4 3 3 4:: ( )P x dx P x dx x x
y e Q x e dx y e e x dx y x x x dx
3y x xdx 3 2 5 3 5 31 1( ) 22 2
y x x c y x cx y x kx
2.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 3x a dy x x a y dx ,
donde a es una constante.
Solución:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2:: ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3dy dx
x a dy x x a y dx x a x x a ydx dx
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ' 2 ( ) 3 ( ) ' 2 ( ) 6x a y x x a y x a y x x a xy 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
6 2 ( )( ) ' 6 2 ( ) '
x x x ax a y xy x x a y y
x a x a
2 2
2 2
6' 2 ( )
xy y x x a
x a
con lo cual la ecuación diferencial tiene la forma
' ( ) ( )y P x y Q x siendo 2 2
2 2
6( ) ( ) 2 ( )
xP x Q x x x a
x a
Prof. Rafael Cristancho 47
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 2
2 2 2 2
6 2:: ( ) ( ) 3 ( ) 3ln
x xdxP x P x dx P x dx x a
x a x a
32 2( ) lnP x dx x a
3
2 2 2 2( ) 3ln ( ) lnP x dx x a P x dx x a por lo
tanto la ecuación diferencial tiene por solución la función ( ) ( )
( )P x dx P x dx
y e e Q x dx
3 32 2 2 2( ) ( ) ln ln 2 2:: ( ) 2 ( )
P x dx P x dx x a x ay e e Q x dx y e e x x a dx
2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2y x a x a x x a dx y x a x a xdx
Sea 2 2 2u x a du xdx . Por lo tanto se tiene que:
3 2 3 1 2 2 3
2 2
1( ) ( ) ( )y u u du y u u c y x a c
x a
2 2 2 2 2 3( ) ( )y x a c x a
ECUACIÓN DE BERNOULLI.
Definición: la ecuación diferencial ( ) ( ) ny P x y Q x y con n R , 0n y 1n , recibe
el nombre de Ecuación de Bernoulli en honor al matemático suizo Jacobo Bernoulli.
1:: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )n n n ny P x y Q x y y y P x y Q x y y P x y Q x .
Hacemos 1 1( 1)
1
n n nw y w n y y y y wn
y tenemos que
1( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
1w P x w Q x w n P x w n Q x
n
siendo esta nueva ecuación
diferencial lineal.
Problemas Resueltos.
1.- Obtenga la solución de la Ecuación diferencial 3 2' xy y xy e
Prof. Rafael Cristancho 48
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Solución:
3 2 3 2 3 2 2:: ' ' 'x x xy y xy e y y xy e y y y xe . Ahora se realiza el cambio.
Sea 2 3' 2 'z y z y y 3'
'2
zy y con lo cual se tiene que: 2'
2
xzz xe
2' 2 2 xz z xe con lo cual la nueva ecuación diferencial es lineal por lo tanto la
solución está dada por: ( ) ( )
( )p x dx p x dx
z e e Q x dx con
2( ) 2 ( ) 2 xp x Q x xe
:: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2p x p x dx dx p x dx x p x dx x . Luego se tiene que:
( ) ( ) 2 2 2:: ( ) 2p x dx p x dx x x xz e e Q x dx z e e xe dx
22 xz e xdx
2 212
2
xze x c
2 212 2
2
xze x c 2 2 ( 2 )xze x k k c . Luego
22 2 2 2 2 2 2 2
2:: ( )
xx xe
z y y e x k x k e y x ky
2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria ( )dy
sen x ydx
Solución: :: ( )dy
sen x ydx
sea 1 1du dy dy du
u x ydx dx dx dx
con lo cual se
tiene que: 1 u 11
du du dusen senu dx
dx dx senu
( )
1
dudx i
senu
1 ( )dx x c ii Por otro lado tenemos que: (1 )
1 (1 )(1 )
du senu du
senu senu senu
Prof. Rafael Cristancho 49
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
(1 )
1 1
du senu du
senu sen u
2
(1 )
1 cos
du senu du
senu u
2 2
1
1 cos cos
du senudu
senu u u
2 1sec
1 cos cos
du senuu du
senu u u
2sec tan sec1
duu u u du
senu
2sec tan sec
1
duudu u udu
senu
2tan sec ( )1
duu u c iii
senu
Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
tan secu u x c pero u x y con lo que se tiene que: tan( ) sec( )x y x y x c
3.- Obtenga la solución de la Ecuación diferencial Ordinaria
( tan ln ) tan 0y x x y dx xdy
Solución:
:: ( tan ln ) tan 0 ( tan ln ) tan 0dy
y x x y dx xdy x x y dx xy
.Sea lndy
z y dzy
con lo cual tenemos que: :: ( tan ln ) tan 0 ( tan ) tan 0y x x y dx xdy x x z dx xdz
tan tan 0dz
x x z xdx
tan ' tan 'tan
zxz z x x z x
x ' ( )z ctgx z x
con lo cual la nueva ecuación diferencial es lineal en la variable dependiente z e
independiente x, por lo tanto tiene por solución ( ) ( )
( )p x dx p x dx
z e e Q x dx con
( )p x ctgx y ( )Q x x .
:: ( ) ( ) ( ) ln( )p x ctgx p x dx ctgxdx p x dx senx ( ) ln( )p x dx senx 1( ) ln( )p x dx senx . Luego tenemos que:
1( ) ( ) ln( ) ln( ):: ( ) ( )p x dx p x dx senx senxz e e Q x dx z e e x dx
1( )z senx xsenxdx
1z xsenxdx
senx
zsenx xsenxdx Aplicando integración por partes se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 50
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
;u x du dx dv senxdx dv senxdx cosv x , así tenemos que:
:: ( cos cos )zsenx xsenxdx zsenx x x xdx cos coszsenx x x xdx coszsenx x x senx c
:: ln ln cosz y senx y x x senx c
4.- Obtenga la solución de la ecuación Diferencial Ordinaria 2 2' tan 2 cosy xsen y sen x y
Solución: Sea 2cos ' 2cos ( ) 'z y z y seny y ' 2 cos 'z seny yy ' 2 'z sen yy
' 2 'z sen yy
2 2 2 2:: ' tan 2 cos tan 2 ' cosy xsen y sen x y xsen yy sen x y 2tan ( ')x z sen x z
2(tan ) ' zx z sen x 2z
'tan tan
sen xz
x x ' z cosz ctgx senx x con lo cual la
nueva ecuación diferencial es lineal así la solución está dada por
( ) ( )
( )p x dx p x dx
z e e Q x dx con ( )p x ctgx y Q( ) cosx senx x
:: ( ) ( ) ( ) ln( ) ( ) ln( )p x ctgx p x dx ctgxdx p x dx senx p x dx senx 1( ) ln( )p x dx senx Luego tenemos que:
1( ) ( ) ln( ) ln( ):: ( ) ( cos )p x dx p x dx senx senxz e e Q x dx z e e senx x dx
1( ) ( cos )z senx senx senx x dx
21cosz sen x xdx
senx
2 coszsenx sen x xdx 31
3zsenx sen x c
33 3zsenx sen x c
33 3zsenx sen x c 33zsenx sen x k
2:: cosz y 2 33cos ysenx sen x k 2 2(3cos )y sen x senx k
Prof. Rafael Cristancho 51
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
PROBLEMAS RESUELTOS
Objetivo #7: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden
Reducibles a Variable Separable u Homogénea. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.
7.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 2 1 '( 2) 0x y y x y
Solución: :: 2 2 1 '( 2) 0 'dy
x y y x y ydx
2 2 1 ( 2) 0dy
x y x ydx
(2 2 1) ( 2) 0x y dx x y dy
2 2:: 0
1 1 La Ecuación Diferencial 2 2 1 '( 2) 0x y y x y es reducible a
Variable Separable. Sea u x y du dx dy du dx dy luego tenemos que:
:: (2 2 1) ( 2) 0x y dx x y dy (2( ) 1) ( 2) 0x y dx x y dy
(2 1) ( 2)( ) 0u dx u du dx (2 1) ( 2) ( 2) 0u dx u du u dx
(2 1 ( 2)) ( 2) 0u u dx u du (2 1 2) ( 2) 0u u dx u du
( 1) ( 2) 0u dx u du 2
01
udx du
u
2( )
1
udx du c i
u
( )dx c ii 2 ( 1) 3
1 1
u udu du
u u
2 1 3
1 1 1
u udu du
u u u
2 3
1 1
udu du du
u u
2
3ln 1 ( )1
udu u u iii
u
. Sustituyendo (ii) y (iii) en
(i) se tiene que: 3ln 1x u u c 3ln 1x x y x y c
2 3ln 1x y x y c 2 3ln 1x y c x y 3
2 ln 1x y c x y
Prof. Rafael Cristancho 52
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 3( 1)x y ce x y 2 3( 1)x y ce e x y 2 3( 1)x yke x y
7.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial ( 3) (3 1) 0x y dx x y dy
Solución: 1 1
:: 4 03 1
La Ecuación Diferencial ( 3) (3 1) 0x y dx x y dy es
reducible a Homogénea. Sean x u m y y v n , donde m y n son soluciones de x y y
respectivamente del sistema de ecuaciones 3 0
3 1 0
x y
x y
Resolviendo el sistema tenemos
que: 3 0
4 4 0 13 1 0
x yx x
x y
:: 3 0 1x y x 1 3 0y 2y . Luego tenemos que: 1x w y 2y z
1x w dx dw ; y 2y z dy dz
:: ( 3) (3 1) 0x y dx x y dy ( 1 ( 2) 3) (3( 1) 2 1) 0w z dw w z dz
( ) (3 ) 0w z dw w z dz así la nueva Ecuación Diferencial es Homogénea.
Sea w uz dw udz zdu ( )( ) (3 ) 0uz z udz zdu uz z dz
( 1)( ) (3 1) 0z u udz zdu z u dz ( 1) ( 1) (3 1) 0u udz u zdu u dz
2( 3 1) ( 1) 0u u u dz u zdu 2( 2 1) ( 1) 0u u dz u zdu
2
10
2 1
dz udu
z u u
2
10
( 1)
dz udu
z u
2
1( )
( 1)
dz udu c i
z u
ln ( )dz
z iiz
2
1
( 1)
udu
u
. Sea 1p u dp du ; 1 2 1p u p u
Prof. Rafael Cristancho 53
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 2
1 2
( 1)
u pdu dp
u p
2 2
1 1 12
( 1)
udu dp dp
u p p
2
1 2ln
( 1)
udu p
u p
2
1 2ln 1 ( )
( 1) 1
udu u iii
u u
. Luego, sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
2ln ln 1
1z u c
u
::
ww uz u
z
2ln ln 1
1
wz c
wz
z
2ln ln
w zz c
w zz
z
2ln
w z zz c
z w z
2ln
zw z c
w z
( ) ln 2 ( )w z w z z c w z Pero 1x w y 2y z 1x w y 2y z con
lo cual tenemos que: ( 1 2)ln 1 2 2( 2) ( 1 2)x y x y y c x y
( 1) ln 1 2( 2) ( 1)x y x y y c x y
7.3.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial (3 7 7) (3 7 3) 0y x dx x y dy
Solución: 7 3
:: 40 03 7
La Ecuación Diferencial es reducible a Homogénea. Sean
x w m y z n donde m y n son soluciones de x y y respectivamente del sistema de
Ecuaciones Lineales 3 7 7 0
3 7 3 0
y x
x y
3 7 7 0::
3 7 3 0
y x
x y
7 3 7
3 7 3
x y
x y
3( 7 3 ) 3( 7)
7( 3 7 ) 7( 3)
x y
x y
21 9 21
21 49 21
x y
x y
40 0y 0y ::3 7 7 0 0y x y 3(0) 7 7 0x 7 7x
1x . Luego tenemos que: 1x w y z dx dw dy dz con lo cual tenemos
que:
Prof. Rafael Cristancho 54
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
:: (3 7 7) (3 7 3) 0y x dx x y dy (3 7( 1) 7) (3( 1) 7 3) 0z w dw w z dz
(3 7 ) (3 7 ) 0z w dw w z dz por lo tanto la nueva Ecuación Diferencial es
Homogénea. Sea w uz dw udz zdu
(3 7 ) (3 7 ) 0z w dw w z dz (3 7 )( ) (3 7 ) 0z uz udz zdu uz z dz
(3 7 )( ) (3 7) 0z u udz zdu z u dz (3 7 )( ) (3 7) 0u udz zdu u dz
(3 7 ) (3 7 ) (3 7) 0u udz u zdu u dz (3 7 (3 7)) (3 7 ) 0u u udz u zdu
(3 7 3 7) (3 7 ) 0u u udz u zdu (10 10 ) (3 7 ) 0u udz u zdu
10(1 ) (3 7 ) 0u udz u zdu 3 7
10 0(1 )
dz udu
z u u
7 310 0
( 1)
dz udu
z u u
7 310 ( )
( 1)
dz udu c i
z u u
10 10ln ( )dz
z iiz
7 3
( 1)
udu
u u
Aplicando Fracciones Parciales tenemos que:
7 3
( 1) 1
u A B
u u u u
7 3 ( 1)
( 1) ( 1)
u Au B u
u u u u
7 3 ( 1)u Au B u
:: 0 7(0) 3 (0) (0 1)u A B 3 ( 1)B 3B
:: 1 7(1) 3 (1) (1 1)u A B 7 3 (1) (0)A B 4 A Luego:
7 3::
( 1) 1
u A B
u u u u
7 3 4 3
( 1) 1
u
u u u u
7 34 3
( 1) 1
u du dudu
u u u u
7 34ln 1 3ln ( )
( 1)
udu u u iii
u u
Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 55
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
10ln 4ln 1 3lnz u u c 10 4 3ln ln ( 1) lnz u u c
10 4 3ln ( 1)z u u c 10 4 3( 1) cz u u e 10 4 3( 1)z u u k Pero
ww uz u
z con
lo cual 10 4 3( 1) ( )w w
z kz z
4 310
4 3
( )w z wz k
z z
3 4 3( )z w z w k .
:: 1x w y z 1x w y z 3 4 3( 1 ) ( 1)y x y x k
3 4 3( 1) ( 1)y x y x k
Objetivo #8: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden exacta.
Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.
8.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 2 2 2(2 ) ( 2 ) ' 0x x y y x y y
Solución: 2 2 2 2:: (2 ) ( 2 ) ' 0x x y y x y y 2 2 2 2(2 ) ( 2 ) 0
dyx x y y x y
dx
2 2 2 2(2 ) ( 2 ) 0x x y dx y x y dy . Veamos si la Ecuación Diferencial es Exacta, i.e.
veamos si se cumple que M N
y x
con
2 2 2 2( , ) (2 ) ( , ) ( 2 )M x y x x y N x y y x y
2 2 2 2:: ( , ) (2 ) ( , ) ( 2 )M x y x x y N x y y x y
3 2 2 3( , ) 2 ( , ) 2M x y x xy N x y yx y 2 ( , ) 2M N
xy x y yxy x
M N
y x
con lo cual la Ecuación Diferencial es Exacta. Sean ( , )g
M x yx
2 2(2 ) ( )g
x x y ix
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
( , )g
N x yy
2 2( 2 ) ( )g
y x y iiy
y ( , ) ( )g x y c iii . De (i) integramos respecto a x y
se tiene que: 2 2:: (2 )g
x x yx
2 2( , ) (2 )g x y x x y dx 3 2( , ) (2 )g x y x xy dx
3 2( , ) 2g x y x dx xy dx 4 2 21 1
( , ) ( ) ( )2 2
g x y x x y h y iv De (iv) derivamos
respecto a y y se tiene que: 4 2 21 1:: ( , ) ( )
2 2g x y x x y h y 2 '( ) ( )
gx y h y v
y
. De (ii)
y (v) igualamos y tenemos que: 2 2 2( 2 ) '( )y x y x y h y 2 3 22 '( )yx y x y h y
3'( ) 2h y y 3( ) 2h y y dy 41
( ) ( )2
h y y vi . Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv)
tenemos que: 4 2 2 41 1 1
2 2 2c x x y y
4 2 2 42c x x y y 4 2 2 4k x x y y
8.2.- Obtenga la solución del Problema de Valor Inicial
2 2 2 2(1 ) (1 ) 0; (2) 1xy dx y x xy dy y
Solución: Determinemos primero la solución de la Ecuación Diferencial
2 2 2 2(1 ) (1 ) 0xy dx y x xy dy . Para esto veamos si la Ecuación Diferencial dada
es Exacta, i.e., veamos si se cumple que: M N
y x
con
2 2 2 2( , ) (1 ) ( , ) (1 )M x y xy N x y y x xy
2:: ( , ) (1 )M x y xy 32(1 ) ( )M
xy xy
3
2( )
(1 )
M xI
y xy
2 2 2:: ( , ) (1 )N x y y x xy 2 2 32 (1 ) ( 2)(1 ) ( )N
x xy x xy yx
Prof. Rafael Cristancho 57
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
2 3
2 2
(1 ) (1 )
N x x y
x xy xy
2
3
2 (1 ) 2
(1 )
N x xy x y
x xy
2 2
3
2 2 2
(1 )
N x x y x y
x xy
3
2( )
(1 )
N xII
x xy
. Luego de (I) y (II) se tiene que:
M N
y x
con lo cual la ecuación
diferencial es exacta. Sean: 2( , ) (1 ) ( )g g
M x y xy ix x
2 2 2( , ) (1 ) ( )g g
N x y y x xy iiy y
y ( , ) ( )g x y c iii
De (ii) integramos respecto a y, y se tiene que:
2 2 2:: (1 )g
y x xyy
2 2 2( , ) ( (1 ) )g x y y x xy dy
2 2 2( , ) (1 )g x y y dy x xy dy 2 2 2( , ) (1 )g x y y dy x xy dy
2 31
3y dy y Calculemos 2 2(1 )x xy dy Sea 1u xy du xdy
dudy
x así
tenemos que: 2 2 2 2(1 )du
x xy dy x ux
2 2 2(1 )x xy dy x u du
12 2(1 )
1
ux xy dy x
2 2 1
(1 )x xy dy xu
2 2(1 )
1
xx xy dy
xy
2 2 2:: ( , ) (1 )g x y y dy x xy dy 31
( , ) ( ) ( )3 1
xg x y y h x iv
xy
De (iv) derivamos respecto a x y se tiene que:
31:: ( , ) ( )
3 1
xg x y y h x
xy
2
1 ( )'( )
(1 )
g xy x yh x
x xy
2
1'( )
(1 )
g xy xyh x
x xy
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
1'( ) ( )
(1 )
gh x v
x xy
De (i) y (v) igualamos y se tiene que:
2
2
1'( ) (1 )
(1 )h x xy
xy
2 2
1 1'( )
(1 ) (1 )h x
xy xy
'( ) 0h x ( ) 0 ( )h x vi
Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) tenemos que:
310
3 1
xc y
xy
33 (1 ) (1 ) 3c xy y xy x 3 4(1 ) 3k xy y xy x
Ahora determinemos el valor de la constante k tal que (2) 1y .
3 4:: (1 ) 3 (2) 1k xy y xy x y 3 4(1 (2)(1)) 1 2(1) 3(2)(1)k
(1 2) 1 2 6k 5k 5k , así tenemos que:
3 4 35(1 ) 3xy y xy xy 3 4 35 5 3xy y xy xy 3 45 3 5y xy x xy
4 3 5 3 5xy y xy x . Así la solución del Problema de Valor Inicial
2 2 2 2(1 ) (1 ) 0; (2) 1xy dx y x xy dy y está dada por 4 3 5 3 5xy y xy x
Objetivo #9: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden por
factor de integración. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.
9.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial (8 9 ) 2 ( 3 ) 0y x y dx x x y dy
Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial (8 9 ) 2 ( 3 ) 0y x y dx x x y dy es Exacta,
i.e., veamos si se cumple que: M N
y x
con ( , ) (8 9 ) ( , ) 2 ( 3 )M x y y x y N x y x x y
:: ( , ) (8 9 ) ( , ) 2 ( 3 )M x y y x y N x y x x y
Prof. Rafael Cristancho 59
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
8 9 (0 9) 2( 3 ) 2 (1 0)M N
x y y x y xy x
8 9 9 2 6 2M N
x y y x y xy x
8 18 4 6
M Nx y x y
y x
::M N
y x
La Ecuación Diferencial no es Exacta. Veamos si tiene un Factor de
Integración: 8 18 (4 6 )M N
x y x yy x
8 18 4 6
M Nx y x y
y x
4 12M N
x yy x
4( 3 )
M Nx y
y x
4( 3 )
( , ) 2 ( 3 )
M N
x yy x
N x y x x y
2( )
( , )
M N
y xh x
N x y x
( )
( , )h x dx
x y e Es un factor de integración de la Ecuación
Diferencial (8 9 ) 2 ( 3 ) 0y x y dx x x y dy
2:: ( )h x
x
2( )h x dx dx
x ( ) 2
dxh x dx
x ( ) 2lnh x dx x
2( ) lnh x dx x
( )
:: ( , )h x dx
x y e 2ln
( , )x
x y e 2( , )x y x Con lo cual la Ecuación Diferencial
2 2(8 9 ) 2 ( 3 ) 0yx x y dx xx x y dy es Exacta.
2 2:: (8 9 ) 2 ( 3 ) 0yx x y dx xx x y dy 2 3(8 9 ) 2 ( 3 ) 0yx x y dx x x y dy . Sean
2 (8 9 ) ( )g
yx x y ix
32 ( 3 ) ( )
gx x y ii
y
( , ) ( )g x y c iii
De (i) integramos respecto a x y se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 60
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2:: (8 9 )g
yx x yx
2( , ) (8 9 )g x y yx x y dx 3 2 2( , ) (8 9 )g x y yx y x dx
3 2 2( , ) 8 9g x y yx dx y x dx 3 2 2( , ) 8 9g x y y x dx y x dx
4 32( , ) 8 9 ( )
4 3
x xg x y y y f y 4 2 3( , ) 2 3 ( ) ( )g x y yx y x f y iv
De (iv) derivamos respecto a y, y tenemos que:
4 2 3:: ( , ) 2 3 ( )g x y yx y x f y 4 32 6 '( ) ( )g
x yx f y vy
De (ii) y (v) igualamos y tenemos que: 4 3 32 6 '( ) 2 ( 3 )x yx f y x x y
4 3 4 32 6 '( ) 2 6x yx f y x yx '( ) 0f y ( ) 0 ( )f y vi
Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) tenemos que: 4 2 32 3 0c yx y x 3(2 3 )c yx x y
9.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy
Solución: Veamos si la Ecuación Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy es exacta, i.e., veamos
si se cumple que: M N
y x
con
2( , ) ( , ) 2M x y x y N x y xy .
2:: ( , ) ( , ) 2M x y x y N x y xy 2 2M N
y yy x
M N
y x
con lo cual la
Ecuación Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy no es exacta. Veamos si tiene un factor de
integración. 2 ( 2 )
( , ) 2
M N
y yy x
N x y xy
2 2
( , ) 2
M N
y yy x
N x y xy
4
( , ) 2
M N
yy x
N x y xy
Prof. Rafael Cristancho 61
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2( )
( , )
M N
y xh x
N x y x
( )
( , )h x dx
x y e es un factor de integración de la Ecuación
Diferencial 2( ) 2 0x y dx xydy .
2:: ( )h x
x
2( )h x dx dx
x
( ) 2
dxh x dx
x
( ) 2lnh x dx x 2( ) lnh x dx x
2ln( , )
xx y e
2( , )x y x con lo cual la
Ecuación Diferencial 2 2 2( ) 2 0x x y dx x xydy es Exacta.
2 2 2:: ( ) 2 0x x y dx x xydy 1 2 2 1( ) 2 0x x y dx x ydy . Sean:
1 2 2 ( )g
x x y ix
12 ( )
gx y ii
y
( , ) 0 ( )g x y iii
De (ii) integramos respecto a y, y se tiene que: 1:: 2g
x yy
1( , ) 2g x y x ydy
1( , ) 2g x y x ydy 1 2( , ) ( ) ( )g x y x y f x iv . De (iv) derivamos respecto a x y
se tiene que: 1 2:: ( , ) ( )g x y x y f x 2 2 '( ) ( )
gx y f x v
x
. De (i) y (v) igualamos y
se tiene que: 2 2 1 2 2'( )x y f x x x y
1'( )f x
x ( )
dxf x
x ( ) ln ( )f x x vi
Sustituyendo (iii) y (vi) en (iv) se tiene que: 1 2 lnc x y x 2 lncx y x x
Objetivo #10: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial de Primer Orden Lineal.
Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.
10.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2
' 2 2 xy xy xe
Prof. Rafael Cristancho 62
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Solución: 2
:: ' 2 2 xy xy xe tiene la forma ' ( ) ( )y P x y Q x la Ecuación Diferencial es
Lineal con 2
( ) 2 ( ) 2 xP x x Q x xe con lo cual la solución está dada por:
( ) ( )
( )P x dx P x dx
y e e Q x dx
:: ( ) 2P x x ( ) 2P x dx xdx 2( )P x dx x
2( )P x dx x . Luego tenemos
que:
( ) ( )
:: ( )P x dx P x dx
y e e Q x dx
2 2 2
2x x xy e e xe dx 2
2 xy e xdx
2 212
2
xy e x k
2 2212 2
2
x xy x e k e 2 2( )xy e x c
10.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2 4 2(2 ) (1 ) 0xy x x dx x dy
Solución: 2 4 2:: (2 ) (1 ) 0xy x x dx x dy 2 4 2(2 ) (1 ) 0
dx dyxy x x x
dx dx
2 4 22 (1 ) ' 0xy x x x y 2 2 4(1 ) ' 2 ( )x y xy x x
2 2 2(1 ) ' 2 (1 )x y xy x x 2 2
2 2
2 (1 )'
(1 ) (1 )
x x xy y
x x
2
2
2'
1
xy y x
x
la Ecuación Diferencial tiene la forma ' ( ) ( )y P x y Q x con
2
2
2( ) ( )
1
xP x Q x x
x
, por lo tanto la solución está dada por:
( ) ( )
( )P x dx P x dx
y e e Q x dx .
2
2:: ( )
1
xP x
x
2
2( )
1
xP x dx dx
x
Prof. Rafael Cristancho 63
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2( ) ln 1P x dx x 1
2( ) ln 1P x dx x
2( ) ln 1P x dx x . Luego tenemos
que: ( ) ( )
:: ( )P x dx P x dx
y e e Q x dx
12 2ln1 ln1 2x x
y e e x dx
2 2 1 2(1 ) (1 )y x x x dx
22
2(1 )
1
xy x dx
x
2
2
2
1 1(1 )
1
xy x dx
x
2
2
2 2
1 1(1 )
1 1
xy x dx
x x
2
2(1 )
1
dxy x dx
x
2 1(1 ) tan ( )y x x x c
Objetivo #11: Determinar la solución de una Ecuación de Bernoulli. Valor: 5%. Criterio de
aprobación: 80%.
11.1.- Determinar la solución de la Ecuación Diferencial ' 1 6 x yy xe
Solución: Sea u x y ' 1 'u y ' 1 'y u . Luego tenemos que:
:: ' 1 6 x yy xe 1 ' 1 6 uu xe 6 uduxe
dx 6
u
duxdx
e 6ue du xdx
6ue du xdx 23ue x c pero u x y
( ) 23x ye x c
23y xe x c
11.2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2( ) 2 cos 0seny x seny dx x ydy
Solución: Sea u seny cosdu ydy . Luego tenemos que:
2:: ( ) 2 cos 0seny x seny dx x ydy 2( ) 2 0u x u dx x du 2( ) 2 0dx du
u x u xdx dx
2 22 ' 0xu u x u 2 22 'x u xu u 2
2 2'
2 2
x uu u
x x
Prof. Rafael Cristancho 64
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 22 2
2 2'
2 2
x u uu u uu
x x
2 1
2
1 1'
2 2u u u
x x
. Sea 1z u 2' 'z u u
2' 'z u u 2
1 1'
2 2z z
x x
2
1 1'
2 2z z
x x con lo cual la nueva Ecuación
Diferencial es lineal con 2
1 1( ) ( )
2 2P x Q x
x x , así la solución está dada por:
( ) ( )
( )P x dx P x dx
z e e Q x dx
1:: ( )
2P x
x
1( )
2
dxP x dx
x
1( ) ln
2P x dx x
12( ) lnP x dx x
12( ) lnP x dx x . Luego tenemos que:
( ) ( )
:: ( )P x dx P x dx
z e e Q x dx
1 12 2ln ln
2
1
2
x x
z e e dxx
1 1
2 2
2
1
2z x x dx
x
512 2
1
2z x x dx
32
12
1
322
xz x c
312 2
1 2
2 3z x x c
3 1 12 2 2
2 1 1
3 2 2z x x c x
1211
3z x kx
12
1
13z c x
x
32
13 1zx c x
1:: z u3
21
13 1u x c x 3
2
13 1x
c xu
3
2
13 ( 1)x c x u . Pero u seny con lo cual
tenemos que: 3
2
13 ( 1)x c x seny
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN.
TEORÍA GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.
Una ecuación diferencial de orden n es lineal si tiene la forma
( ) ( 1)
1 2 1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n
n nb x y b x y b x y b x y b x y g x
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
donde ( )g x y los coeficientes ( )jb x , 1,2,...,j n depende únicamente de la variable x.
Si ( ) 0g x , entonces la ecuación diferencial se llama homogénea. Si ( )jb x , 1,2,...,j n
son constantes, se dice que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes, en caso
contrario se dice que tiene coeficientes variables.
Teorema: Sea la ecuación diferencial lineal
( ) ( 1)
1 2 1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n
n nb x y b x y b x y b x y b x y g x
y las n condiciones iniciales ( 1)
0 0 0 1 0 1( ) , ( ) ,..., ( )n
ny x c y x c y x c
. Si ( )g x y ( )jb x ,
1,2,...,j n son continuos en algún intervalo I que contiene a 0x y si ( ) 0nb x en I,
entonces el problema de valor inicial tiene una solución única en I.
Observación: Si ( ) 0nb x , la ecuación diferencial
( ) ( 1)
1 2 1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n
n nb x y b x y b x y b x y b x y g x
se puede escribir como
( ) ( 1)
1 2 1 0( ) .... ( ) ( ) ( ) ( )n n
ny a x y a x y a x y a x y x
, donde
( )( ) , 0,1,2,..., 1
( )
j
j
n
b xa x j n
b x y
( )( )
( )n
g xx
b x
Definición: Se define y denota el operador lineal como:
( ) ( 1)
1 1 0( ) ( ) ... ( ) ( )n n
nL y y a x y a x y a x y
Teorema: El operador ( )L y es una transformación lineal.
Teorema: Si 1 2, ,..., ky y y son soluciones de ( ) 0L y , entonces 1 1 2 2 ... k kc y c y c y es
también una solución de ( ) 0L y para constantes arbitrarias 1 2, ,..., kc c c
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Definición: El conjunto de funciones 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es linealmente independientes
si y sólo si 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ... ( ) 0 ... 0n n nc y x c y x c y x c c c
Definición: El conjunto de funciones 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es linealmente dependiente si
y sólo si existen escalares 1 2, ,..., nc c c , no todos nulos tal que
1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n nc y x c y x c y x
Teorema: Es posible determinar n soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial ( ) ( )L y x
Definición: Sea 1 2( ), ( ),..., ( )nz x z x z x un conjunto de funciones en ,a b , cada una de las
cuales tiene n-1 derivadas. El determinante
1 2
1 21 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
...
...( , ,..., )
: : : :
...
n
nn
n n n
n
z z z
z z zw z z z
z z z
se llama Wronskiano del conjunto de funciones dadas.
Teorema: Supongamos que 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es un conjunto se n soluciones para la
ecuación diferencial lineal homogénea de orden n ( ) 0L y . El conjunto
1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x es linealmente independiente en ,a b si y sólo si el Wronskiano
del conjunto es diferente de cero.
Teorema: Si 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x son n soluciones linealmente independientes de
( ) 0L y , entonces cualquier solución ( )y x de ( ) 0L y se puede escribir como
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
combinación lineal de 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x , ie, existen constantes 1 2, ,..., nc c c tal que
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n ny x c y x c y x c y x
Teorema: La ecuación diferencial lineal homogénea de orden n ( ) 0L y tiene siempre n
soluciones linealmente independientes. Si 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x representan estas
soluciones, entonces la solución general de ( ) 0L y es
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n ny x c y x c y x c y x , donde 1 2, ,..., nc c c son constantes arbitrarias. El
conjunto 1 2( ), ( ),..., ( )ny x y x y x se llama conjunto fundamental de soluciones.
Teorema: Dada la ecuación diferencial lineal ( ) ( )L y x , no homogénea. Si py es
solución particular de ( ) ( )L y x y hy es la solución general asociada a la ecuación
diferencial ( ) 0L y , entonces la solución general de la ecuación diferencial ( ) ( )L y x es
G p hy y y
SOLUCIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES
Teorema: mxy e es solución de la ecuación diferencial 2 1 0 0a y a y a y si y sólo si m
es una raíz de la ecuación 2
2 1 0 0a r a r a . La ecuación 2
2 1 0 0a r a r a se llama
ecuación característica de la ecuación diferencial 2 1 0 0a y a y a y .
Teorema: Si m y n son soluciones de la ecuación 2
2 1 0 0a r a r a y m n , entonces
,mx nxy e y e forman un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial
2 1 0 0a y a y a y y la solución general está dada por 1 2
mx nxy c e c e
Teorema: Si m es una raíz de multiplicidad dos de la ecuación 2
2 1 0 0a r a r a , entonces
,mx mxy e y xe forman un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial
2 1 0 0a y a y a y y la solución general está dada por 1 2
mx mxy c e c xe .
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Teorema: Si ,m a bi n a bi son dos raíces complejas de la ecuación
2
2 1 0 0a r a r a , entonces cos ,ax axy e bx y e senbx forman un conjunto fundamental
de soluciones y la solución general está dada por 1 2cosax axy c e bx c e senbx
1.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial '' 2 ' 3 0y y y
Solución:
:: '' 2 ' 3 0y y y la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial está dada
por 2 2 3 0r r . Para obtener la solución de la ecuación 2 2 3 0r r se aplica la
resolvente cuadrática.
2:: 2 3 0 ( 3)( 1) 0 3 0 1 0r r r r r r 3 1r r
:: 3 1r r es solución de la ecuación característica 2 2 3 0r r 3
1 2,x xy e y e
constituye un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaciones diferenciales
'' 2 ' 3 0y y y , por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial
'' 2 ' 3 0y y y es 3
1 2
x x
hy c e c e
2.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial ''' 3 '' 4 ' 0y y y
Solución:
:: ''' 3 '' 4 ' 0y y y la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial está
dada por: 3 23 4 0r r r
3 2 2:: 3 4 0 ( 3 4) 0 ( 4)( 1) 0r r r r r r r r r 0 4 0 1 0r r r
0 4 1r r r
:: 0, 4, 1r r r es solución de la ecuación 3 2 4
1 2 33 4 0 1, ,x xr r r y y e y e
constituye un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
''' 3 '' 4 ' 0y y y , por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial
''' 3 '' 4 ' 0y y y es: 4
1 2 3
x xy c c e c e
3.- Obtenga la solución de la ecuación diferencial ( ) 6 ''' 9 '' 0ivy y y
Solución:
( ):: 6 ''' 9 '' 0ivy y y la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial está
dada por: 4 3 26 9 0r r r . Factorizando tenemos que:
2 2 2 2( 6 9) 0 ( 3) 0 0 3r r r r r r r
:: 0, 3r r es solución de la ecuación característica 4 3 26 9 0r r r
3 3
1 2 3 41, , ,x xy y x y e y xe constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación diferencial ( ) 6 ''' 9 '' 0ivy y y , con lo cual la solución general de la ecuación
diferencial ( ) 6 ''' 9 '' 0ivy y y es: 3 3
1 2 3 4
x xy c c x c e c xe
4.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 4 ''' 13 ' 6 0y y y
Solución:
:: 4 ''' 13 ' 6 0y y y la ecuación característica asociada a la Ecuación Diferencial está
dada por: 34 13 6 0r r . Determinemos las posibles raíces del polinomio de grado tres.
(6) 1, 2, 3, 6D , (4) 1, 2, 4D 3 31 11, , , 2, 3, , , 62 4 2 4
PR
Aplicando el Teorema del Resto se tiene que:
Sea 3( ) 4 13 6 (1) 4 13 6 (1) 15 0P r r r P P .
Prof. Rafael Cristancho 70
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
3(2) 4.2 13.2 6 (2) 32 26 6 (2) 0P P P . Luego 2r es una raíz de la
Ecuación Característica 34 13 6 0r r
SOLUCIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO
HOMOGÉNEAS DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES.
Método de los coeficientes indeterminados: Dada la ecuación diferencial de orden dos
lineal no homogénea, 2 1 0 ( )a y a y a y x . Para obtener la solución de la ecuación
diferencial se procede de la siguiente manera. Se determina la solución homogénea general,
hy asociada a la ecuación diferencial 2 1 0 0a y a y a y . Para obtener la solución
particular de la ecuación diferencial 2 1 0 ( )a y a y a y x , se debe considerar a la
función ( )x como sigue:
1. ( ) px a y A , siendo a y A constantes arbitrarias
2. 1 1
1 1 0 1 1 0( ) ... ...n n n n
n n p n nx a x a x a x a y A x A x A x A
3. ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )px a x bsen x y A x Bsen x
4. ( ) mx mx
px ae y Ae
5. ( ) ( ) ( )mx mx
n p nx p x e y P x e , 1
1 1 0( ) ...n n
n n np x a x a x a x a
y
1
1 1 0( ) ...n n
n n nP x A x A x A x A
6. ( ) ( )cos( ) ( ) ( ) ( )cos( ) ( ) ( )n m p N Nx p x x q x sen x y P x x Q x sen x
1
1 1 0( ) ...m m
m m mq x b x b x b x b
y 1
1 1 0( ) ...n n
n n nQ x B x B x B x B
donde
,N máx n m
7. ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( )cos( )
( ) ( )
mx mx mx
n m p N
mx
N
x p x e x q e x sen x y P e x x
Q x e sen x
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Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
8. ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( )mx mx mx mx
px ae x be sen x y Ae x e Bsen x
Así la solución general está dada por G h py y y . Si para la solución de py , esta contiene
soluciones de hy , entonces a la solución py se multiplicara por sx hasta que esta no
coincida con la solución hy .
Método de variación de parámetros: Si 1 1 2 2( ) ( )hy c y x c y x es solución homogénea de
la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden 2 1 0 0a y a y a y y si
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py v x y x v x y x donde 1 2( ) y ( )v x v x satisfacen las condiciones
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
v x y x v x y x
v x y x v x y x x
entonces py es solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden
2 1 0 ( )a y a y a y x y la solución general está dada por G h py y y
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES DE POTENCIAS.
Definición: Una serie de potencias en torno al punto 0x es una expresión de la forma
2 3
0 0 1 0 2 0 3 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ......n
n
n
a x x a a x x a x x a x x
, donde x es una variable y
los coeficientes na son constantes. Se dice que la serie de potencias
2 3
0 0 1 0 2 0 3 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ......n
n
n
a x x a a x x a x x a x x
converge en el punto x r
si la serie infinita (de números reales) 0
0
( )n
n
n
a r x
converge; i.e, el límite de las sumas
parciales, 0
0
lim ( )N
n
nN
n
a r x
existe. Si el límite no existe, se dice que la serie de potencias
Prof. Rafael Cristancho 72
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
diverge en x r . Nótese que la serie de potencias 0
0
( )n
n
n
a x x
converge en 0x x ya
que 2 3
0 0 0 1 2 3 0
0
( ) 0 0 0 ......n
n
n
a x x a a a a a
.
Teorema: Para cada serie de potencias de la forma 0
0
( )n
n
n
a x x
, existe un número
(0 ) , llamado radio de convergencia de la serie de potencias, tal que la serie
0
0
( )n
n
n
a x x
converge absolutamente para 0x x y diverge para 0x x . Si la
serie 0
0
( )n
n
n
a x x
converge para todo valor real x , entonces . Si la serie
0
0
( )n
n
n
a x x
converge solamente en 0x , entonces 0
Observación: El teorema resuelve la cuestión de la convergencia excepto en los extremos
0x . De manera que estos dos puntos requieren un análisis separado. Para determinar el
radio de convergencia , un método que resulta fácil de aplicar es el criterio del cociente.
Teorema: Si 1lim n
nn
aL
a
, donde 0 L , entonces el radio de convergencia de la serie
de potencias 0
0
( )n
n
n
a x x
es 1
L , con sí 0L y 0 si L .
Observación: Si el límite del cociente 1n
n
a
a
no existe, entonces se deben aplicar otros
métodos distintos del criterio del cociente para determinar a .
Teorema: Si la serie de potencias 0
0
( ) ( )n
n
n
f x a x x
tiene un radio de convergencia
positivo, entonces la diferenciación término a término da lugar a la serie de potencias de la
Prof. Rafael Cristancho 73
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
derivada de f como: 1
0
1
( ) ( )n
n
n
f x na x x
para 0x x , y la integración término a
término de la serie de potencias de la integral de f como 1
0
0
( ) ( )1
nn
n
af x dx x x C
n
para 0x x .
Definición: Se dice que una función f es analítica en 0x , si f es derivable en 0x , o si, en
un intervalo abierto en torno a 0x , esta función es la suma de una serie de potencias
0
0
( )n
n
n
a x x
que tiene un radio de convergencia positivo.
Teorema: Si f es analítica en 0x , entonces la representación
( ) 2
0 0 00 0 0 0
0
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ....
! 2
nn
n
f x f x x xf x x x f x f x x x
n
es válida en cierto intervalo abierto con centro en 0x . La serie ( )
00
0
( )( ) ( )
!
nn
n
f xf x x x
n
se llama serie de Taylor de f en torno a 0x . Cuando 0 0x , se le conoce como la serie de
Maclaurin de f .
Definición: Un punto 0x se llama punto ordinario de la ecuación diferencial ordinaria
2 1 0( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y si 1
2
( )( )
( )
a xp x
a x y 0
2
( )( )
( )
a xq x
a x son analíticas en 0x . Si 0x
no es un punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación diferencial.
Teorema: Supóngase que 0x es un punto ordinario de la ecuación diferencial
2 1 0( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y . Entonces la ecuación diferencial tiene dos soluciones
analíticas linealmente independientes de la forma 0
0
( ) ( )n
n
n
y x a x x
. Además el radio de
Prof. Rafael Cristancho 74
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
convergencia de cualquier solución en serie de potencias de la forma 0
0
( ) ( )n
n
n
y x a x x
es por lo menos igual a la distancia de 0x al punto singular (real o complejo) de la ecuación
diferencial 2 1 0( ) ( ) ( ) 0a x y a x y a x y más cercano.
PROBLEMAS RESUELTOS
Objetivo #14: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de
Orden dos con coeficientes constantes no Homogénea usando el método de los coeficientes
indeterminados. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.
14.1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial 2'' 3 ' 2 12y y y x
Solución: Determinemos la solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial
2'' 3 ' 2 12y y y x usando el método de los coeficientes indeterminados.
Paso #1: Determinar la solución homogénea asociada a la Ecuación Diferencial
'' 3 ' 2 0y y y
:: '' 3 ' 2 0y y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial está
dada por: 2 3 2 0r r ( 1)( 2) 0r r 1 0 2 0r r 1 2r r
2
1 2;x xy e y e constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación
Diferencial '' 3 ' 2 0y y y y la Solución Homogénea está dada por: 2
1 2
x x
hy c e c e
Paso #2: Determinar la Solución Particular py asociada a la Ecuación Diferencial
2'' 3 ' 2 12y y y x .
2 2
1 2:: ( ) 12 x x
hx x y c e c e 2
0 1 2py A A x A x ,
1 22py A A x ,,
22py A .
Luego tenemos que: 2:: '' 3 ' 2 12y y y x 2 2
2 1 2 0 1 22 3( 2 ) 2( ) 12A A A x A A x A x x
Prof. Rafael Cristancho 75
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 2
2 1 2 0 1 22 3 6 2 2 2 12A A A x A A x A x x
2 2
2 1 0 2 1 2(2 3 2 ) (6 2 ) 2 12A A A A A x A x x
2 1 0
2 1
2
2 3 2 0
6 2 0
2 12
A A A
A A
A
0 2 1
1 2
2
3
2
3
6
A A A
A A
A
0
1
2
21
18
6
A
A
A
221 18 6py x x
Paso #3: Determinar la Solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial
2'' 3 ' 2 12y y y x
:: G h py y y 2 2
1 2 21 18 6x x
Gy c e c e x x
2.- Obtenga la Solución de la Ecuación Diferencial '' (2 4cos )xy y e senx x
Solución: Determinemos la solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial
'' (2 4cos )xy y e senx x usando el método de los coeficientes indeterminados.
Paso #1: Determinar la solución homogénea asociada a la Ecuación Diferencial '' 0y y
:: '' 0y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial está dada por:
2 1 0r 2 1r 2 1r 1r 1r
1 2;x xy e y e constituyen un
conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación Diferencial '' 0y y y la solución
Homogénea está dada por: 1 2
x x
hy c e c e
Paso #2: Determinar la Solución Particular py asociada a la Ecuación Diferencial
'' (2 4cos )xy y e senx x .
Prof. Rafael Cristancho 76
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1 2:: ( ) (2 4cos )x x x
hx e senx x y c e c e cosx x
py Ae senx Be x
, cos cosx x x x
py Ae senx Ae x Be x Be senx
, ( ) cos ( )x x
py A B e x A B e senx
,, ( ) cos ( ) ( ) ( ) cosx x x x
py A B e x A B e senx A B e senx A B e x
,, ( ( ) ( )) cos ( ( ) ( ))x x
py A B A B e x A B A B e senx
,, ( ) cos ( )x x
py A B A B e x A B A B e senx
,, 2 cos 2x x
py Ae x Be senx . Luego tenemos que:
:: '' (2 4cos )xy y e senx x
2 cos 2 ( cos ) (2 4cos )x x x x xAe x Be senx Ae senx Be x e senx x
( 2 ) cos ( 2 ) 2 4 cosx x x xA B e x A B e senx e senx e x
2 4
2 2
A B
A B
2 4
2 4 4
A B
A B
2 2 4 4 4A B A B 5 0B 0B
:: 2 2 0A B B 2(0) 2A 2A 2A
:: cosx x
py Ae senx Be x 2 0 cosx x
py e senx e x 2 x
py e senx
Paso #3: Determinar la Solución General Gy asociada a la Ecuación Diferencial
'' (2 4cos )xy y e senx x .
:: G h py y y 1 2 2x x x
Gy c e c e e senx 1 2( 2 )x x
Gy e c senx c e
Prof. Rafael Cristancho 77
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
3.- Obtenga la solución del Problema de Valor Inicial 3'' 4 ' 5 10 ;xy y y e
(0) 4; '(0) 0y y
Solución: Para determinar la solución del Problema de Valor Inicial, debemos obtener una
función que sea solución de la Ecuación Diferencial dada y satisfaga las condiciones
iniciales, i.e., determinar primero la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria y luego
determinar los valores de la constantes que satisfagan las condiciones iniciales dadas.
3:: '' 4 ' 5 10 xy y y e Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación
Diferencial Ordinaria dada usando el método de los coeficientes indeterminados.
Paso #1: Determinar la solución homogénea hy asociada a la Ecuación Diferencial
'' 4 ' 5 0y y y
:: '' 4 ' 5 0y y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial está
dada por: 2 4 5 0r r
2 4
2
b b acr
a
donde 1; 4; 5a b c
24 4 4(1)(5)
2(1)r
4 16 20
2r
4 4
2r
4 4( 1)
2r
4 4 1
2r
4 2
2
ir
2r i 2 2
1 2cosx xy e x y e senx
constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación Diferencial
'' 4 ' 5 0y y y y la solución homogénea está dada por: 2 2
1 2cosx x
hy c e x c e senx
Paso #2: Determinar la solución particular py asociada a la Ecuación Diferencial
3'' 4 ' 5 10 xy y y e
3 2 2
1 2:: ( ) 10 cosx x x
hx e y c e x c e senx 3x
py Ae , 33 x
py Ae ,, 39 x
py Ae
Luego tenemos que: 3:: '' 4 ' 5 10 xy y y e 3 3 3 39 4( 3 ) 5 10x x x xAe Ae Ae e
Prof. Rafael Cristancho 78
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
3 3 314 12 10x x xAe Ae e 3 32 10x xAe e 2 10A 5A 35 x
py e
Paso #3: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial
3'' 4 ' 5 10 xy y y e .
:: G h py y y 2 2 3
1 2cos 5x x x
Gy c e x c e senx e
Luego, la Ecuación Diferencial 3'' 4 ' 5 10 xy y y e tiene por solución la función
2 2 3
1 2cos 5x x x
Gy c e x c e senx e . Ahora, determinemos los valores de 1 2c c tal que
(0) 4; '(0) 0y y
2 2 3
1 2:: cos 5x x x
Gy c e x c e senx e
, 2 2 2 2 3
1 1 2 22 cos 2 cos 15x x x x x
Gy c e x c e senx c e senx c e x e
, 2 2 3
1 2 1 2( 2 ) cos ( 2 ) 15x x x
Gy c c e x c c e senx e
:: (0) 4y 2(0) 2(0) 3(0)
1 24 cos(0) (0) 5c e c e sen e 0 0 0
1 24 (1) (0) 5c e c e e
1 24 (1) (0) 5c c 14 5c 14 5 c 11 c
:: '(0) 0y 2(0) 2(0) 3(0)
1 2 1 20 ( 2 ) cos(0) ( 2 ) (0) 15c c e c c e sen e
1 20 2 15c c 20 2( 1) 15c 20 2 15c 20 13c 213 c . Por lo
tanto la solución del Problema de Valor Inicial está dada por:
2 2 3cos 13 10x x x
Gy e x e senx e
Prof. Rafael Cristancho 79
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Objetivo #15: Determinar una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de orden dos con
coeficientes constantes no homogénea a partir de la solución general. Valor: 5%. Criterio
de aprobación: 80%.
1.- Determinar una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden dos con Coeficientes
Constantes no homogénea que tiene por solución la función 3 2
1 2
1( )
2
x x x
Gy c x e c e e
Solución: Determinemos una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con
Coeficientes Constantes no homogénea que tenga por solución la función
3 2
1 2
1( )
2
x x x
Gy c x e c e e
3 2
1 2
1:: ( )
2
x x x
Gy c x e c e e 3 2
1 2
1
2
x x x x
Gy c e xe c e e
3 2
1 2
1
2
x x x x
Gy c e c e xe e G h py y y con 3 2
1 2
1
2
x x x x
h py c e c e y xe e
3
1 2:: x x
hy c e c e 3
1 2
x xy e y e constituyen un conjunto fundamental de
soluciones de una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con coeficientes
constantes homogénea 1 3r r son raíces de una Ecuación Característica
asociada a una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con coeficientes
Constantes Homogénea ( 1)( 3) 0r r 2 4 3 0r r '' 4 ' 3 0y y y es la
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con coeficientes constantes
homogénea. Ahora determinemos ( )x tal que '' 4 ' 3 ( )y y y x para 21
2
x x
py xe e
21::
2
x x
py xe e 1 2p p py y y con
1 2
21
2
x x
p py xe y e 1 2( ) ( ) ( )x x x
1 2
21::
2
x x
p py xe y e 2
1 0 1 2( ) ( ) ( )x xx A A x e x Be
Prof. Rafael Cristancho 80
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
0 1( ) ( ) x xx A A x e Be Con lo cual tenemos que: 2
0 1'' 4 ' 3 ( ) x xy y y A A x e Be
21::
2
x x
py xe e , 21 12
2 2p
x x xy e xe e ,, 21 1 14
2 2 2p
x x x xy e e xe e
,, 214
2p
x x xy e xe e . Luego: 2
0 1:: '' 4 ' 3 ( ) x xy y y A A x e Be
2 2 2 2
0 1
1 1 1 14 4( 2 ) 3( ) ( )
2 2 2 2
x x x x x x x x x xe xe e e xe e xe e A A x e Be
2 2 2 2
0 1
1 34 2 2 8 3 ( )
2 2
x x x x x x x x x xe xe e e xe e xe e A A x e Be
2 2
0 115 ( )x x x xe e A A x e Be 0 1 1
15
A A x
B
0
1
1
0
15
A
A
B
Luego tenemos que:
2'' 4 ' 3 (1 0 ) 15x xy y y x e e 2'' 4 ' 3 15x xy y y e e
2.- Obtenga una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con Coeficientes
Constantes No Homogénea que tenga por solución la función 1 2 2x x x
Gy c e c e e senx
Solución: Determinemos una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con
Coeficientes Constantes No Homogénea que tenga por solución la función
1 2 2x x x
Gy c e c e e senx . 1 2:: 2x x x
Gy c e c e e senx G h py y y con
1 2
x x
hy c e c e y 2 x
py e senx . 1 2:: x x
hy c e c e 1 2
x xy e y e Constituyen un
conjunto fundamental de soluciones de una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de
Orden Dos con Coeficientes Constantes Homogénea 1 1r r son raíces de una
Ecuación Característica asociada a una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden
Dos con Coeficientes Constantes Homogénea, con lo cual la Ecuación Característica está
dada por: ( 1)( 1) 0r r 2 1 0r . Así la Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de
Prof. Rafael Cristancho 81
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Orden Dos con Coeficientes Constantes Homogénea está dada por: '' 0y y . Ahora
determinemos ( )x tal que '' ( )y y x donde tiene como solución particular la función
2 x
py e senx . :: 2 x
py e senx ( ) cosx xx Ae x Be senx . Así tenemos que:
'' cosx xy y Ae x Be senx :: 2 x
py e senx , 2 2 cosp
x xy e senx e x
,, 2 2 cos 2 cos 2p
x x x xy e senx e x e x e senx ,, 4 cosp
xy e x . Luego tenemos
que: :: '' cosx xy y Ae x Be senx 4 cos ( 2 ) cosx x x xe x e senx Ae x Be senx
4 cos 2 cosx x x xe x e senx Ae x Be senx 4 2A B . Así tenemos que la
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden Dos con Coeficientes Constantes No
Homogénea que tiene por solución la función 1 2 2x x x
Gy c e c e e senx está dada por:
'' 4 cos 2x xy y e x e senx '' (4cos 2 )xy y e x senx
Objetivo #16: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de
Orden dos con coeficientes constantes no Homogénea usando el método de Variación de
parámetros. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.
1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria 4'' secy y x
Solución: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial
4'' secy y x usando el método de Variación de Parámetros.
Paso #1: Determinar la solución homogénea hy asociada a la Ecuación Diferencial
'' 0y y . :: '' 0y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación Diferencial
está dada por: 2 1 0r 2 1r 2 1r r i r i
Prof. Rafael Cristancho 82
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
0 0
1 2cosx xy e x y e senx Constituyen un conjunto fundamental de soluciones de la
Ecuación Diferencial Ordinaria '' 0y y y la solución homogénea está dada por:
1 2coshy c x c senx
Paso #2: Determinar la solución particular py asociada a la Ecuación Diferencial
4'' secy y x . 1 2:: coshy c x c senx 1 2( )cos ( )py v x x v x senx tal que
1 2( ) ( )v x v x satisface las siguientes condiciones: 1 2
1 2
, ,
, , 4
( )cos ( ) 0
( ) ( )cos sec
v x x v x senx
v x senx v x x x
1 2
1 2
, ,
, , 4
( )cos ( ) 0::
( ) ( )cos sec
v x x v x senx
v x senx v x x x
1 2
1 2
, , 2
, , 2 4
( ) cos ( ) 0
( )cos ( )cos sec cos
v x senx x v x sen x
v x xsenx v x x x x
2 2
, 2 , 2 4( ) ( )cos sec cosv x sen x v x x x x 2
, 2 2 3( )( cos ) secv x sen x x x 2
, 3( ) secv x x
3
2( ) secv x xdx . Aplicando integración por partes tenemos que:
3 2sec sec secxdx x xdx .
Sean 2 2sec sec tan ; sec sec tanu x du x xdx dv xdx v xdx v x . Luego:
3 2sec sec sec sec tan tan sec tanxdx x xdx x x x x xdx
3 2sec sec tan sec tanxdx x x x xdx 3 2sec sec tan sec (sec 1)xdx x x x x dx
3 3sec sec tan (sec sec )xdx x x x x dx
3 3sec sec tan sec secxdx x x xdx xdx 32 sec sec tan secxdx x x xdx
32 sec sec tan ln sec tanxdx x x x x 3 1 1
sec sec tan ln sec tan2 2
xdx x x x x
Prof. Rafael Cristancho 83
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
1 1( ) sec tan ln sec tan
2 2v x x x x x
1 2 2
, , , 3:: ( )cos ( ) 0 ( ) secv x x v x senx v x x 1
, 3( )cos sec 0v x x xsenx
1
, 3( )cos secv x x xsenx 1
,
3
1( )
cos cos
senxv x
x x
1
,
4( )
cos
senxv x
x
1 4( )
cos
senxv x dx
x . Sea cosw x dw senxdx
1 4:: ( )
cos
senxv x dx
x 1 4
( )cos
senxv x dx
x
1 4
( )dw
v xw
4
1( )v x w dw
3
1( )3
wv x
1 3
1 1( )
3v x
w 1 3
1 1( )
3 cosv x
x 3
1
1( ) sec
3v x x . Luego se tiene
que:
1 2:: ( )cos ( )py v x x v x senx
31 1 1( sec )cos ( sec tan ln sec tan )
3 2 2py x x x x x x senx
21 1 1sec sec tan ln sec tan
3 2 2py x x xsenx senx x x
2
1 1 1 1 1ln sec tan
3 cos 2 cos cos 2p
senxy senx senx x x
x x x
2
2 2
1 1 1 1ln sec tan
3 cos 2 cos 2p
sen xy senx x x
x x
2
2
1 1 1 1( ) ln sec tan
cos 3 2 2py sen x senx x x
x
Prof. Rafael Cristancho 84
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
2
1 2 3 1ln sec tan
cos 6 2p
sen xy senx x x
x
2 2
2
1 2 2 1ln sec tan
cos 6 2p
sen x sen xy senx x x
x
2 2
2
1 2(1 ) 1ln sec tan
cos 6 2p
sen x sen xy senx x x
x
2 2
2
1 1( 2cos ) ln sec tan
6cos 2py x sen x senx x x
x
2 2
2 2
1 1 12cos ln sec tan
6cos 6cos 2py x sen x senx x x
x x
21 1 1tan ln sec tan
3 6 2py x senx x x
Paso #3: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial Ordinaria
4'' secy y x .
:: G h py y y 2
1 2
1 1 1cos tan ln sec tan
3 6 2Gy c x c senx x senx x x
2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria '' 3 ' 2 cos( )xy y y e
Solución: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial
'' 3 ' 2 cos( )xy y y e usando el método de variación de parámetros.
Paso #1: Determinar la solución homogénea hy asociada a la Ecuación Diferencial
'' 3 ' 2 0y y y . :: '' 3 ' 2 0y y y La Ecuación Característica asociada a la Ecuación
Diferencial está dada por: 2 3 2 0r r ( 2)( 1) 0r r 2 0 1 0r r
Prof. Rafael Cristancho 85
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 1r r 2
1 2
x xy e y e Constituyen un conjunto fundamental de soluciones de
la Ecuación Diferencial '' 3 ' 2 0y y y y la solución homogénea está dada por:
2
1 2
x x
hy c e c e
Paso #2: Determinar la solución particular py asociada a la Ecuación Diferencial
'' 3 ' 2 cos( )xy y y e . 2
1 2:: x x
hy c e c e 2
1 2( ) ( )x x
py v x e v x e tal que 1 2( ) ( )v x v x
satisface las siguientes condiciones , 2 ,
1 2
, 2 ,
1 2
( ) ( ) 0
2 ( ) ( ) cos( )
x x
x x x
v x e v x e
v x e v x e e
, 2 ,
1 2
, 2 ,
1 2
( ) ( ) 0::
2 ( ) ( ) cos( )
x x
x x x
v x e v x e
v x e v x e e
, 2 ,
1 2
, 2 ,
1 2
( ) ( ) 0
2 ( ) ( ) cos( )
x x
x x x
v x e v x e
v x e v x e e
, 2 , , 2 ,
1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) cos( )x x x x xv x e v x e v x e v x e e , 2
1( ) cos( )x xv x e e
,
1 2
cos( )( )
x
x
ev x
e
, 2
1( ) cos( )x xv x e e 2
1( ) cos( )x xv x e e dx
1( ) cos( )x x xv x e e e dx . Sea x x xw e dw e dx dw e dx . Luego tenemos
que: 1:: ( ) cos( )x x xv x e e e dx 1( ) cos( )( )v x w w dw 1( ) cosv x w wdw .
Aplicando integración por partes se tiene que: ; cosu w du dw dv wdw v senw
1:: ( ) cosv x w wdw 1( )v x wsenw senwdw 1( ) cosv x wsenw w
1( ) cosv x wsenw w 1( ) cosx x xv x e sene e . Por otro lado tenemos que:
, 2 , , 2
1 2 1:: ( ) ( ) 0 ( ) cos( )x x x xv x e v x e v x e e 2 2 ,
2cos( ) ( ) 0x x x xe e e v x e
,
2cos( ) ( ) 0x xe v x e ,
2( ) cos( )x xv x e e ,
2
cos( )( )
x
x
ev x
e
Prof. Rafael Cristancho 86
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
,
2( ) cos( )x xv x e e 2( ) cos( )x xv x e e dx 2 ( ) ( )xv x sen e .
2
1 2:: ( ) ( )x x
py v x e v x e 2( cos ) ( ( ))x x x x x x
py e sene e e sen e e
2 2 cos ( )x x x x x x x
py e e sene e e e sen e
2 cos ( )x x x x x x
py e sene e e e sen e 2 cosx x
py e e
Paso #3: Determinar la solución general Gy asociada a la Ecuación Diferencial Ordinaria
'' 3 ' 2 cos( )xy y y e . :: G h py y y 2 2
1 2 cosx x x x
Gy c e c e e e
Objetivo #17: Determinar la solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria lineal de
Orden dos con coeficientes constantes o variables Homogénea no Homogénea por series de
potencias. Valor: 5%. Criterio de aprobación: 80%.
1.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria '' 3 ' 3 0y xy y alrededor
del punto 0x .
Solución: Determinar la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria por series de
potencias. :: '' 3 ' 3 0y xy y ( ) 3 ; ( ) 3; ( ) 0p x x q x r x son analíticas en todo R, por
lo tanto son analíticas en 0x , con lo cual 0x es un punto ordinario de la Ecuación
Diferencial '' 3 ' 3 0y xy y y en consecuencia tiene por solución la función 0
n
n
n
y a x
0
:: n
n
n
y a x
1
1
' n
n
n
y na x
2
2
'' ( 1) n
n
n
y n n a x
. Luego tenemos que:
:: '' 3 ' 3 0y xy y 2 1
2 1 0
( 1) 3 3 0n n n
n n n
n n n
n n a x x na x a x
Prof. Rafael Cristancho 87
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
2 1 0
( 1) 3 3 0n n n
n n n
n n n
n n a x na x a x
. Realicemos cambios de variables en los
exponentes. 2
2
( 1) n
n
n
n n a x
Sea 2 2; 2 0;m n n m n m n m
Así tenemos que: 2
2
2 0
( 1) ( 2)( 1)n m
n m
n m
n n a x m m a x
. De la misma manera
tenemos que:
1
3 n
n
n
na x
. En este caso hacemos m n y tenemos que: 1 1
3 3n m
n m
n m
na x ma x
.
Similarmente: 0
3 n
n
n
a x
, hacemos m n y tenemos que: 0 0
3 3n m
n m
n m
a x a x
. Luego:
2
2 1 0
:: ( 1) 3 3 0n n n
n n n
n n n
n n a x na x a x
2
0 1 0
( 2)( 1) 3 3 0m m m
m m m
m m m
m m a x ma x a x
. Observe que cada polinomio tiene
el mismo exponente pero no inician en el mismo elemento. Vamos a desarrollar la primera
y tercera sumatoria para el primer término para que así tenga el mismo exponente e inicien
en el mismo elemento. Por lo tanto tenemos que:
2 2 0
1 1 1
2 ( 2)( 1) 3 3 3 0m m m
m m m
m m m
a m m a x ma x a a x
2 0 2
1
(2 3 ) ( 2)( 1) 3 3 0m
m m m
m
a a m m a ma a x
2 0 2
1
(2 3 ) ( 2)( 1) 3( 1) 0m
m m
m
a a m m a m a x
2 0
2
2 3 0( )
( 2)( 1) 3( 1) 0; 1( )m m
a a I
m m a m a m II
. De (I) tenemos que: 2 02 3 0a a
Prof. Rafael Cristancho 88
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 02 3a a 2 0
3( )
2a a III . De (II) tenemos que:
1 2 11 (1 2)(1 1) 3(1 1) 0m a a 3 13(2) 3(2) 0a a 3 16 6 0a a
3 1 ( )a a IV
2 2 22 (2 2)(2 1) 3(2 1) 0m a a 4 2(4)(3) 3(3) 0a a 4 24 3 0a a
4 24 3a a 4 2
3
4a a . Pero 2 0
3
2a a con lo cual
4 0
3 3
4 2a a
4 0
9( )
8a a V
3 2 33 (3 2)(3 1) 3(3 1) 0m a a 5 3(5)(4) 3(4) 0a a 5 35 3 0a a
5 35 3a a 5 3
3
5a a Pero 3 1a a con lo cual 5 1
3( )
5a a
5 1
3( )
5a a VI .
Luego tenemos que:
0
:: n
n
n
y a x
2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 ......y a a x a x a x a x a x
2 3 4 5
0 1 0 1 0 1
3 9 3( ) ( ) ( ) ( ) ......
2 8 5y a a x a x a x a x a x
2 3 4 5
0 1 0 1 0 1
3 9 3......
2 8 5y a a x a x a x a x a x
2 4 3 5
0 0 0 1 1 1
3 9 3( ....) ( ...)
2 8 5y a a x a x a x a x a x
Prof. Rafael Cristancho 89
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 4 3 5
0 1
3 9 3(1 ....) ( ...)
2 8 5y a x x a x x x
2.- Obtenga la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria 2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y
alrededor de 0x .
Solución: Determinemos la solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria
2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y por series de potencias.
2:: ( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y 2 2 2
6 4 0'' '
4 4 4
xy y y
x x x
2 2
6 4'' ' 0
4 4
xy y y
x x
2 2
6 4( ) ; ( ) ; ( ) 0
4 4
xp x q x r x
x x
son funciones
analíticas en todo R, en particular en 0x , i.e., ( ); ( ); ( )p x q x r x son analíticas en 0x ,
por lo tanto 0x es un punto ordinario de la Ecuación Diferencial
2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y , así la Ecuación Diferencial tiene por solución la función
0
n
n
n
y a x
. 0
:: n
n
n
y a x
1
1
' n
n
n
y na x
2
2
'' ( 1) n
n
n
y n n a x
, Luego tenemos
que:
2:: ( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y 2 '' 4 '' 6 ' 4 0x y y xy y
2 2 2 1
2 2 1 0
( 1) 4 ( 1) 6 4 0n n n n
n n n n
n n n n
x n n a x n n a x x na x a x
2
2 2 1 0
( 1) 4 ( 1) 6 4 0n n n n
n n n n
n n n n
n n a x n n a x na x a x
. Realicemos cambios de
variables en los exponentes de tal manera que todos los polinomios tengan el mismo
Prof. Rafael Cristancho 90
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
exponente. 2
( 1) n
n
n
n n a x
en este caso hacemos m n y tenemos que:
2 2
( 1) ( 1)n m
n m
n m
n n a x m m a x
.
2
2
4 ( 1) n
n
n
n n a x
para este caso hacemos 2 2;m n n m 2 0;n m
n m , así tenemos que: 2
2
2 0
4 ( 1) 4( 2)( 1)n m
n m
n m
n n a x m m a x
1
6 n
n
n
na x
acá hacemos m n y tenemos que: 1 1
6 6n m
n m
n m
na x ma x
. Para 0
4 n
n
n
a x
hacemos m n con lo cual 0 0
4 4n m
n m
n m
a x a x
. Luego tenemos que:
2
2 2 1 0
:: ( 1) 4 ( 1) 6 4 0n n n n
n n n n
n n n n
n n a x n n a x na x a x
2
2 0 1 0
( 1) 4( 2)( 1) 6 4 0m m m m
m m m m
m m m m
m m a x m m a x ma x a x
. Se ha resuelto
el primer problema, ya todos los polinomios tienen el mismo exponente. Nuestro siguiente
problema es que cada sumatoria no inicia en el mismo elemento, por lo tanto debemos
desarrollar el segundo, tercero y cuarto polinomio hasta 2m con lo cual se tiene que:
2 3 2 1 0
2 2 2
1
2
( 1) 8 24 4( 2)( 1) 6 6 4
4 4 0
m m m
m m m
m m m
m
m
m
m m a x a a x m m a x a x ma x a
a x a x
2 0 3 1 2
2
(8 4 ) (24 10 ) ( 1) 4( 2)( 1) 6 4 0m
m m m m
m
a a a a x m m a m m a ma a x
Prof. Rafael Cristancho 91
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 0
3 1
2
8 4 0( )
24 10 0( )
( 1) 4( 2)( 1) 6 4 0; 2( )m m m m
a a I
a a II
m m a m m a ma a m III
De (I) tenemos que: 2 08 4 0a a 2 08 4a a 2 0
4
8a a
2 0
1( )
2a a IV
De (II) tenemos que: 3 124 10 0a a 3 124 10a a 3 1
10
24a a
3 1
5( )
12a a V
De (III) t5enemos que:
2 2 2 2 22 2(2 1) 4(2 2)(2 1) 6(2) 4 0m a a a a 2 4 2 22 48 12 4 0a a a a
4 248 18 0a a 4 248 18a a 4 2
18
48a a 4 2
3
8a a pero 2 0
1
2a a con lo
cual 4 0
3 1
8 2a a
4 0
3( )
16a a VI
3 3 2 3 33 2(3 1) 4(3 2)(3 1) 6(3) 4 0m a a a a 3 5 3 34 80 18 4 0a a a a
5 380 26 0a a 5 380 26a a 5 3
26
80a a 5 3
13
40a a pero 3 1
5
12a a con lo
que se tiene que: 5 1
13 5
40 12a a
5 1
13( )
96a a VII . Luego:
0
:: n
n
n
y a x
2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 ......y a a x a x a x a x a x
2 3 4 5
0 1 0 1 0 1
1 5 3 13......
2 12 16 96y a a x a x a x a x a x
2 4 3 5
0 0 0 1 1 1
1 3 5 13.... ....
2 16 12 96y a a x a x a x a x a x
Prof. Rafael Cristancho 92
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2 4 3 5
0 1
1 3 5 131 .... ....
2 16 12 96y a x x a x x x
Observación: Obsérvese que la Ecuación Diferencial 2( 4) '' 6 ' 4 0x y xy y es una
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de Orden dos, por lo tanto tiene dos soluciones
linealmente independiente. Dichas soluciones se encuentran expresadas en series de
potencias. Las series de Taylor se define como ( )
0
0
( ) ( )( )
!
n n
n
n
x x f xf x
n
mientras que la
serie de Maclaurin se define como ( )
0
(0)( )
!
n n
n
x ff x
n
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición: Sea ( )f t una función en 0, . La TRANSFORMADA DE LAPLACE
de ( )f t es la función ( )F s definida por la integral 0
( ) ( )stF s e f t dt
. El dominio de
( )F s consta de todos los valores para los cuales la integral existe. La transformada de
Laplace de ( )f t se denota por medio de los símbolos ( )F s y ( )f t
Observación: 0 0
( ) lim ( )N
st st
Ne f t dt e f t dt
es una integral impropia y existe siempre
que el límite exista.
Teorema: Transformadas de algunas funciones Especiales.
1.- 1
1s
2.- 1
!,n
n
nt n N
s 3.-
1ates a
4.- 2 2
asenat
s a
5.- 2 2cos
sat
s a
Prof. Rafael Cristancho 93
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Definición: Se dice que una función ( )f t es continua por segmentos en un intervalo
finito ,a b si ( )f t es continua en todo punto de ,a b , excepto posiblemente en un
número finito de puntos en los que ( )f t tiene discontinuidad de salto.
Se dice que una función ( )f t es continua por segmentos en 0, si ( )f t es
continua por segmentos en 0, N para todo 0N
Definición: Se dice que una función ( )f x es de orden exponencial si existen constantes
positivas T y M tales que ( ) ,tf t Me t T
Teorema: Si ( )f t es continua por segmentos en 0, y de orden exponencial ,
entonces ( )f t existe para s
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema: Sean 1 2 y f f funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s , y
sea c una constante. Entonces
i) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t ii) 1 1( ) ( )cf t c f t
Teorema: Si la Transformada de Laplace ( )f t existe para s , entonces
( ) ( )ate f t F s a para s a
Observación: ( ) ( ) ( ) ( )atf t F s e f t F s a
Teorema: Sea ( )f t continua en 0, y '( )f t continua por segmentos en 0, ,
siendo ambas de orden exponencial . Entonces, para s , '( ) ( ) (0)f t s f t f
Prof. Rafael Cristancho 94
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Teorema: Sean ( 1)( ), '( ),...., ( )nf t f t f t
continuas en 0, y ( ) ( )nf t continua por
segmentos en 0, , siendo todas las funciones de orden exponencial . Entonces, para
s , ( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0) '(0) .... (0)n n n n nf t s f t s f s f f
Teorema: Sea ( )f t continua en 0, y continua por segmentos en 0, , siendo
ambas de orden exponencial . Entonces, para s ( )
( ) ( 1)n
n n
n
d F st f t
ds , siendo
( ) ( )f t F s
Teorema: 0
( )( )
t F sf d
s siendo ( ) ( )f t F s
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Definición: La transformada inversa de Laplace de ( )F s es aquella función única ( )f t que
es continua en 0, y satisface ( ) ( )f t F s , i.e, 1( ) ( ) ( ) ( )F s f t F s f t
Teorema: Supóngase que 1 1
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f t F s f t F s existen y son continuas en
0, , y sea c cualquier constante, entonces:
i) 1 1 1
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )F s F s F s F s ii) 1 1
1 1( ) ( )cF s c F s
Teorema: Si 1 ( ) ( )F s f t , entonces 1 1( ) ( )atF s a e F s
Teorema: Transformadas de algunas funciones Especiales.
1.- 11 11 1
s s
2.- 1
1 1
! !,n n
n n
n nt t n N
s s
3.- 11 1at ate es a s a
4.- 1
2 2 2 2
a asenat senat
s a s a
Prof. Rafael Cristancho 95
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
5.- 1
2 2 2 2cos cos
s sat at
s a s a
Teorema: 1
0
( )( )
tF sf d
s
siendo 1 ( ) ( )F s f t
Definición: Sean ( ) ( )f t g t continuas por segmentos en 0, . La Convolución de
( ) ( )f t g t , denotada por ( ) ( )f t g t , se define como 0
( )( ) ( ) ( )t
f g t f t v g v dv
Teorema: Sean ( ), ( ) ( )f t g t h t continuas por segmentos en 0, . Entonces:
1. f g g f
2. ( ) ( * ) ( * )f g h f g f h
3. ( * ) ( * )*f g h f g h
4. 0 0f
Teorema: Supóngase que ( ) ( )f t g t continuas por segmentos en 0, y de orden
exponencial , supóngase además que ( ) ( ) ( ) ( )F s f t G s g t . Entonces
1( * )( ) ( ) ( ) ( * )( ) ( ) ( )f g t F s G s f g t F s G s
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1 al 26, obtenga la solución general de la ecuación diferencial
1.- '' 2 ' 0y y 2.- 2
26 0
d y dyy
dx dx 3.- ''' 3 '' 4 ' 0y y y 4.- ''' 6 '' 11 ' 6 0y y y y
5.- ( )4 4 ''' 13 '' 7 ' 6 0ivy y y y y 6.- 4 ''' 7 ' 3 0y y y
7.- ''' 2 '' 5 ' 6 0; (0) 1; '(0) 7; ''(0) 1y y y y y y y 8.- 4 ''' 4 '' ' 0y y y
Prof. Rafael Cristancho 96
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
9.- ( ) ''' 0vy y 10.- 4 ''' 3 ' 0y y y 11.-
( ) 3 ''' 6 '' 28 ' 24 0ivy y y y y
12.- ( )4 4 ''' 23 '' 12 ' 36 0ivy y y y y 13.-
( )27 18 ''' 8 ' 0ivy y y y
14.- ( )4 15 ''' 5 '' 15 ' 9 0vy y y y y 15.-
( ) ( )5 7 ''' '' 8 ' 4 0v ivy y y y y y
16.- ''' 3 ' 2 0; (0) 0; '(0) 9; ''(0) 1y y y y y y 17.- '' 2 ' 2 0y y y
18.- '' 4 ' 7 0y y y 19.- ''' 2 '' ' 2 0y y y y 20.- ( ) 2 ''' 10 '' 0ivy y y
21.- ( ) 18 '' 81 0ivy y y 22.-
( ) ( )9 24 '' 16 0vi ivy y y y 23.- 2 ''' '' 36 ' 18 0y y y y
24.- ''' 7 '' 19 ' 13 0; (0) 0; '(0) 2; ''(0) 12y y y y y y y
25.- 2
2
02
(0)0; (0) 0; ; constante
d x dxk x x v k
dt dt
26.- 2
2
022 0; 0; (0) 0; '(0)
d x dxb k x k b x x v
dt dt
En los ejercicios 27 al 40, obtenga la solución de las ecuaciones diferenciales dadas usando
el método de los coeficientes indeterminados.
27.- '' 6 ' 9 xy y y e 28.- 2'' 3 ' 2 12y y y x 29.- '' 9 5 162xy y e x
30.- '' 3 ' 4 30 xy y y e 31.- 4'' 3 ' 4 30 xy y y e 32.- '' ' 2 6 6 xy y y x e
33.- '' 4 ' 3 2cos 4y y y x senx 34.- 3'' 4 ' 5 50 13 xy y y x e 35.- '' cosy y x
36.- '' 8 xy y xe 37.- 2'' 10y y sen x 38.-
2'' 12cosy y x 39.- 2'' 4 4y y sen x
40.- 2'' 9 81 14cos4 ; (0) 0; '(0) 3y y x x y y
Prof. Rafael Cristancho 97
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En los ejercicios 41 al 58, obtenga la solución de la ecuación diferencial dada usando el
método de variación de parámetros
41.- '' csc coty y x x 42.- '' cscy y x 43.- '' 2 ' 2 cscxy y y e x
44.- 3'' secy y x 45.-
4'' secy y x 46.- '' tany y x 47.- 2'' tany y x
48.- '' sec cscy y x x 49.- 2'' sec cscy y x x 50.-
2 2'' 2 ' ( 1)x xy y y e e
51.- 2
2'' 3 ' 2
1
x
x
ey y y
e
52.- '' 3 ' 2 cos( )xy y y e 53.-
12 2'' 2(1 )xy y e
54.- 2'' x xy y e sene 55.-
2 2'' 2 (1 )x xy y e e 56.- 2'' sec tany y x x
57.- 2
''1 x
y ye
58.- '' 4 ' 3 ( )xy y y sen e
En los ejercicios 59 al 72, obtenga la solución de la ecuación diferencial, por medio de
series de potencia, alrededor del punto 0x
59.- '' 3 ' 3 0y xy y 60.- 2(1 4 ) '' 8 0x y y 61.-
2(1 ) '' 4 ' 6 0x y xy y
62.- 2( 4) '' 2 ' 12 0x y xy y 63.- '' 2 ' 5 0y xy y 64.-
2'' 0y x y
65.- 2'' ' 3y xy y x 66.- 2 '' 9 ' 36 0y xy y 67.- (2 3) '' ' 0x y xy y
68.- '' 3 ' 0; (0) 2; '(0) 0y xy y y y 69.- '' 2 ' 2 0; (0) 1; '(0) 2y xy y y y
70.- 2( 2) '' 2 ' 3 0; (0) 1; '(0) 2x y xy y y y
71.- 2( 1) '' ' 0; (0) 0; '(0) 1x x y y y y y
72.- '' ( 2) ' 0; (0) 1; '(0) 0y x y y y y
Prof. Rafael Cristancho 98
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
73.- Obtenga, mediante series de potencias, la solución de la ecuación diferencial
'' 2( 3) ' 3 0y x y y alrededor de 3x
74.- Obtenga, mediante series de potencias, la solución de la ecuación diferencial
'' ( 2) 0y x y alrededor de 2x
75.- Obtenga, mediante series de potencias, la solución de la ecuación diferencial
2( 2 2) '' 4( 1) ' 6 0x x y x y y alrededor de 1x
En los ejercicios 76 al 87, obtenga la Transformada de Laplace, ( )f t usando la
definición.
76.- ( )f t t 77.- 2( )f t t 78.-
6( ) tf t e 79.- 3( ) tf t te 80.- ( ) cos2f t t
81.- ( ) cosf t bt 82.- ( ) 2tf t e sen t 83.- 2( ) cos3tf t e t
84.- 1 ,0 1
( )0, 1
t tf t
t
85.-
,0( )
0,
sent tf t
t
86.-
2 ,0 3( )
1, 3
te tf t
t
87.- 0, 0 2
( ), 2
tf t
t t
En los ejercicios 88 al 104, obtenga la transformada de Laplace usando propiedades.
88.- 2 23 tt e 89.- 2 2tt e sen t 90.- 6cos3 1t te t e 91.- 4 23 2 1t t
92.- 2 3 22t te sen t e t 93.- 22 cos4tt e t t 94.- 4( 1)t 95.- 2(1 )te
96.- 2 cos5tte t 97.- 2te tsen t 98.- 3 cos3sen t t 99.- 2sen t
100.- 7 2te sen t 101.- 3cos t 102.- 2tsen t 103.- 2 5sen sen t
Prof. Rafael Cristancho 99
Subproyecto: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
104.- 2 5tsen sen t
105.- Demuestre que 1
!
( )
at n
n
ne t
s a
106.- Demuestre que 2 2
3
2 2 2 2
( 7 )cos
( )( 9 )
s s kkt
s k s k
Bibliografía
1. Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Kent Nagle y Edward Saft
2. Ecuaciones Diferenciales. Earl Rainville
3. Ecuaciones diferenciales. Dennis Zill
4. Ecuaciones Diferenciales. Makarenko y otros
5. El Cálculo con Geometría Analítica. Louis Leithold
6. Análisis de las Ecuaciones Diferenciales. Tom Apostol
7. Cálculo con Geometría Analítica. Larson y otros