PROGRAMA Estándar Anual MT 2015.pdf

PROGRAMA PARA EL PROFESOR

MatemáticaPROCES001MT-A15V1

ESTÁNDAR ANUAL

programa para el profesorM

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Matemática

Cpech Preuniversitarios2

I. Objetivo

El Programa Estándar Anual tiene como objetivo principal que los alumnos del curso obtengan el puntaje PSU necesario para ingresar en la carrera y en la universidad de su preferencia. Está dirigido a estudiantes de cuarto año de enseñanza media que han obtenido un puntaje regular en la Prueba de Diagnóstico, lo cual indica que requieren una revisión del conjunto de contenidos de Matemática establecidos en el Marco Curricular de Enseñanza Media vigente, un conocimiento de la estructura de la PSU Matemática y el desarrollo de habilidades cognitivas en la resolución de ejercicios PSU.

II. Organización del programa

El Programa Estándar Anual de Matemática se estructura, en función de los ejes temáticos del Marco Curricular de Enseñanza Media vigente, en dos bloques. En el bloque MT21 se estudian los contenidos de los ejes temáticos de Números y Álgebra. En el bloque MT22 se estudian los contenidos de los ejes temáticos de Geometría y Datos y Azar. Cada semana se realiza una clase de cada bloque, coordinándose el aprendizaje de los ejes temáticos.

Cada bloque se compone de 29 clases, ordenadas en una red de contenidos según eje temático y área temática. Los contenidos de cada área temática se revisan en clases teórico-prácticas. Al terminar la revisión de los contenidos del área temática, se realiza una clase práctica o taller para ejercitar y lograr una síntesis de los contenidos vistos en el área temática correspondiente. Las clases Revisión de ensayo se realizan dos o tres semanas después de la fecha en que se realizó el ensayo inmediatamente anterior, en uno de los bloques, MT21 o MT22, alternadamente. El orden en el que se realizan las clases se muestra en la Red de contenidos del bloque correspondiente .

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III. Metodología y materiales por tipos de clases

Cada clase está estructurada, dependiendo del tipo, del siguiente modo:

Clase teórico-práctica tiene como objetivo principal la enseñanza de los contenidos de los ejes temáticos, la ejercitación y la retroalimentación correspondiente, en base a la presentación en PPT de la clase y la guía práctica correspondiente de 25 ejercicios.

• Inicio: en base a la presentación PPT se presenta el título de la clase; la ubicación de la clase en el mapa del programa; los aprendizajes esperados de la clase, vinculándolos con los contenidos y los aprendizajes de la clase anterior; y se presenta una pregunta PSU referida a los contenidos de la clase que permita anclar los aprendizajes esperados con la PSU a rendir, dejando pendiente la resolución para el término de la clase e indicando el número de preguntas estimado que se pregunta en la PSU referidos al eje temático o área temática a tratar.

• Desarrollo: en base a la presentación PPT se desarrollan los contenidos de la clase, poniendo énfasis en los aprendizajes claves y en los modos de resolución de los ejercicios correspondientes. Posterior a la presentación de los contenidos, se dedica un tiempo para la realización de los ejercicios de la guía por parte de los alumnos, seguido de la correspondiente retroalimentación.

• Cierre: en base a la presentación PPT, al término de la clase se realiza una síntesis de los contenidos vistos, anclándolo con los contenidos que se revisarán en la siguiente clase, resaltando la importancia de los contenidos de esa clase y la siguiente.


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Clase práctica o Taller tiene como objetivo principal ejercitar los contenidos del área temática estudiada en las clases anteriores, recibiendo la retroalimentación inmediata del docente responsable del curso y permitiendo que el alumno se autoevalúe en el dominio de contenidos y en el desarrollo de las habilidades requeridas en el área para rendir la PSU. Para ello, se dispone de la guía práctica correspondiente con 30 ejercicios.

Clase Revisión de ensayo tiene como objetivo principal ofrecer una retroalimentación a los estudiantes, posterior a la rendición de un ensayo, revisando los ejercicios válidos, es decir, los ejercicios de contenidos vistos en los bloques MT21 y MT22 hasta la fecha del ensayo a revisar.

• Inicio: en base a la presentación PPT se presenta el título de la clase; se indican los contenidos que se revisarán.

• Desarrollo: se dedica el tiempo central de la clase a la resolución en el PPT y en la pizarra de los ejercicios válidos del último ensayo, aclarando todas las dudas que surjan en el desarrollo de los mismos. En caso de que se considere pertinente, el docente puede recordar y sistematizar los conceptos y procedimientos fundamentales que hayan generado dudas en los alumnos.

• Cierre: se realiza una síntesis de las preguntas revisadas, indicando tips y anclando el área ejercitada con los contenidos que se revisarán en la siguiente clase, resaltando la importancia de los contenidos de las clases siguientes.

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IV. EvaluacionesPara evaluar el logro de los aprendizajes esperados a lo largo del curso, existen dos tipos de instrumentos: los talleres y los ensayos.

• Los talleres o clases prácticas permiten que el alumno autoevalúe el logro de sus aprendizajes al término de la clase. De este modo el alumno reconoce cuál es su avance en el logro en el área temática estudiada, resuelve dudas e identifica las necesidades académicas asociadas al área. La retroalimentación se realiza durante la misma clase.

• Los ensayos son pruebas que replican la PSU real a rendir, en la estructura, los contenidos evaluados, número de preguntas por contenido y habilidad y formato de pregunta. Por ello, los ensayos constan de 80 preguntas de selección múltiple y una hoja de respuesta asociada. Durante el año se rinden 6 ensayos en total (1 ensayo de diagnóstico y 5 ensayos para evaluar el avance en el logro de los estudiantes en función de la PSU real). Esos días se dedican exclusivamente a la rendición de los ensayos. Requieren de la inscripción previa del estudiante y el docente debe procurar que todos sus estudiantes lo rindan, para conocer su avance real.

Las fechas establecidas para los ensayos son las siguientes:

MT-024 19 y 20 de mayoMT-034 3 y 4 de julioMT-044 31 de agosto y 1 de septiembreMT-054 7 y 8 de octubreMT-064 5 y 6 de noviembre

La retroalimentación se realiza durante las clases Revisión de ensayo y mediante el GPS académico.


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V. Recursos complementariosPara apoyar la labor del docente y el aprendizaje de los estudiantes, existen distintos recursos, que se suman a las clases presenciales y las evaluaciones correspondientes.

• Intranet: cada alumno tiene una cuenta personal del preuniversitario, a la cual puede acceder en la página www.cepech.cl, en la sección “Intranet alumnos”. Para acceder por primera vez debe ingresar su RUT (sin puntos ni guión) y su contraseña, que corresponde a los cuatro últimos dígitos antes del dígito verificador. En ella tiene acceso a:

Mis materiales: materiales digitales de clases y material complementario. Cada guía y cada PPT estará disponible el día en que se dicte la clase. El solucionario estará disponible al día siguiente.

Mis avances: centro de información académica del alumno, donde puede revisar su asistencia, resultados, fechas de ensayo y el GPS académico. Este último recurso es clave, pues después de cada ensayo, le indica las respuestas correctas e incorrectas y cuáles son los contenidos que debe reforzar. Por ello es una herramienta de evaluación y retroalimentación fundamental.

Mis informes: datos personales del alumno y firmante (responsable económico). Además encuentra el estado de cuenta para consultar y/o generar pagos.

Mis servicios: información y servicios de apoyo académico, tales como: inscripción de ensayos, información de consejería educacional y tutor Cpech, mediante el cual puede contactar al profesor online.

Mis contactos: mediante esta herramientas puede modificar la clave y contactar un centro de atención, para realizar consultas, sugerencias y reclamos.

También cada profesor tiene habilitada una cuenta personal, a la cual puede ingresar en la página www.cepech.cl, en la sección “Acceso profesores”. En ella acceden a materiales de clases, materiales de capacitación, horario y evaluaciones de sus cursos y el servicio de modificación de clave.

• Libros: cada alumno tiene derecho a un libro de apoyo, en versión impresa y digital.

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VI. Calendario académico 2015DIRECCIÓNACADÉMICA CURSOS ESTÁNDAR ANUAL 2015

NÚMERO DE CLASESNÚMERO DE SEMANAS

Lunes Sábado Semana LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO06/abr 11/abr 1 01 01 01 01 01 0113/abr 18/abr 2 02 02 02 02 02 0220/abr 25/abr 3 03 03 03 03 03 0327/abr 02/may 4 04 04 04 04 Feriado 0404/may 09/may 5 05 05 05 05 04 0511/may 16/may 6 06 06 06 06 05 0618/may 23/may 7 07 Ensayo 024 Feriado 06 0725/may 30/may 8 08 07 07 07 07 0801/jun 06/jun 9 09 08 08 08 08 0908/jun 13/jun 10 10 09 09 09 09 1015/jun 20/jun 11 11 10 10 10 10 1122/jun 27/jun 12 12 11 11 11 11 1229/jun 04/jul 13 Feriado 12 12 12 Ensayo 03406/jul 11/jul 14 13 13 13 13 12 1313/jul 18/jul 15 14 14 14 Feriado 13 1420/jul 25/jul 16 15 15 15 14 14 1527/jul 01/ago 17 16 16 16 15 15 1603/ago 08/ago 18 17 17 17 16 16 1710/ago 15/ago 19 18 18 18 17 17 Feriado17/ago 22/ago 20 19 19 19 18 18 1824/ago 29/ago 21 20 20 20 19 19 1931/ago 05/sep 22 Ensayo 044 21 20 20 2007/sep 12/sep 23 21 21 22 21 21 2114/sep 19/sep 24 22 22 23 22 Feriado21/sep 26/sep 25 23 23 24 23 22 2228/sep 03/oct 26 24 24 25 24 23 2305/oct 10/oct 27 25 25 Ensayo 054 24 2412/oct 17/oct 28 Feriado 26 26 25 25 2519/oct 24/oct 29 26 27 27 26 26 2626/oct 31/oct 30 27 28 28 27 27 Feriado02/nov 07/nov 31 28 29 29 Ensayo 064 2709/nov 14/nov 32 29 28 28 2816/nov 21/nov 33 29 29 29


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VII. Red de contenidos y materiales MT 21

Clase Título Material Folio1 Presentación de la PSU Matemática PPT PPTCES017MT21-A15V1

2 Generalidades de números realesGuía GUICES020MT21-A15V1PPT PPTCES018MT21-A15V1

3 Operatoria en los racionalesGuía GUICES021MT21-A15V1PPT PPTCES019MT21-A15V1

4 Resolución de problemas en los racionales

Guía GUICES022MT21-A15V1PPT PPTCES020MT21-A15V1

5 PotenciasGuía GUICES011MT21-A15V1PPT PPTCES008MT21-A15V1

6 RaícesGuía GUICES012MT21-A15V1PPT PPTCES009MT21-A15V1

7 LogaritmosGuía GUICES023MT21-A15V1PPT PPTCES021MT21-A15V1

8 Orden y aproximación en los irracionalesGuía GUICES024MT21-A15V1PPT PPTCES022MT21-A15V1

9 Revisión ensayo MT-024 PPT PPTCES024MT21-A15V1

10 Números imaginarios y complejosGuía GUICES025MT21-A15V1PPT PPTCES023MT21-A15V1

11 Taller de Números Taller TALCES009MT21-A15V1

12 Transformación algebraicaGuía GUICES026MT21-A15V1PPT PPTCES025MT21-A15V1

13 Expresiones algebraicas fraccionariasGuía GUICES027MT21-A15V1PPT PPTCES026MT21-A15V1

14 Ecuaciones de primer gradoGuía GUICES028MT21-A15V1PPT PPTCES027MT21-A15V1

15 Sistemas de ecuaciones de primer gradoGuía GUICES029MT21-A15V1PPT PPTCES028MT21-A15V1

16 Ecuaciones de segundo gradoGuía GUICES030MT21-A15V1PPT PPTCES029MT21-A15V1

17 Desigualdades e inecuaciones de primer grado


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18 Sistemas de inecuaciones de primer grado


19 Taller de Álgebra Taller TALCES010MT21-A15V1

20 Conceptos generales de funcionesGuía GUICES033MT21-A15V1PPT PPTCES032MT21-A15V1

21 Teoría de funcionesGuía GUICES034MT21-A15V1PPT PPTCES033MT21-A15V1

22 Función afín y función linealGuía GUICES035MT21-A15V1PPT PPTCES035MT21-A15V1


24 Función exponencialGuía GUICES036MT21-A15V1PPT PPTCES036MT21-A15V1

25 Función logarítmicaGuía GUICES037MT21-A15V1PPT PPTCES037MT21-A15V1

26 Función raíz cuadradaGuía GUICES038MT21-A15V1PPT PPTCES038MT21-A15V1

27 Función cuadráticaGuía GUICES039MT21-A15V1PPT PPTCES039MT21-A15V1

28 Función potenciaGuía GUICES040MT21-A15V1PPT PPTCES040MT21-A15V1

29 Taller de Funciones Taller TALCES011MT21-A15V1


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VIII. PlanificacióngeneraldecadaclaseMT21

Clase 1Presentación de la PSU Matemática

Aprendizajes esperados

• Identificar la estructura de la prueba de Matemática.• Establecer la relación entre distractores y errores comunes.• Establecer los principios del “descarte inteligente”.• Comprender la relación existente entre habilidades cognitivas, contenidos mínimos

obligatorios y nivel de escolaridad, como ejes determinantes de la PSU de Matemática.

• Diferenciar rasgos propios de cada habilidad cognitiva.

Contenidos

1. Organización interna de la prueba.2. Contenidos. 3. Habilidades que conforman la PSU de Matemática.

Estrategias didácticas

• Utilizar presentación como material de apoyo de la clase. • Recoger experiencias en torno a la PSU.• Explicar diferencias entre contenidos y habilidades. • Explicar la forma en que se construyen los distractores.• Destacar la importancia de la comprensión lectora en el desarrollo de los ejercicios.

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Clase 2Generalidades de números reales


• Identificar los conjuntos numéricos y sus características.• Comprender los conjuntos numéricos en función de los problemas asociados a

ellos. • Reconocer las propiedades de los números reales. • Clasificar los números enteros en función de sus características. • Determinar divisores y múltiplos de números naturales.

Contenidos

1. Descripción de conjuntos numéricos (reales, naturales, enteros, racionales, irracionales, imaginarios y complejos).

2. Propiedades de los números reales. Recíproco y opuesto. 3. Clasificación de los números enteros (pares, impares).4. Divisibilidad en los números enteros (Múltiplos, divisores, m.c.m. y M.C.D.) y

clasificación de los números enteros según divisibilidad. 5. Ubicación de números reales en la recta numérica y valor absoluto.


• Utilizar presentación como material de apoyo de la clase. • Utilizar diagramas para reconocer la pertenencia de un número a un conjunto

numérico y para reconocer cuándo un conjunto es subconjunto de otro. • Presentar ejemplos para reconocer las propiedades de los reales, referidos a

valores numéricos particulares, como el 0 y el 1. • Presentar ejemplos para determinar la divisibilidad de un número natural y para

determinar los múltiplos de dicho número. • Presentar ejemplos para determinar el m.c.m. y el M.C.D. de dos o más números. • Identificar las expresiones que se indefinen en distintos conjuntos numéricos.


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Clase 3Operatoria en los racionales


• Transformar decimales finitos, periódicos y semiperiódicos en fracción, justificando la transformación.

• Ubicar y ordenar números racionales en la recta numérica. • Aproximar números racionales mediante redondeo, truncamiento y aproximación

por exceso. • Establecer equivalencias entre números racionales mediante la simplificación y

amplificación de fracciones. • Establecer la prioridad de las operaciones (PAPOMUDAS).• Aplicar operaciones (adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones) con

números racionales.

Contenidos

1. Transformaciones de números decimales en fracción (enteros, decimales finitos, decimal periódico y decimal semiperiódico).

2. Transformaciones de fracción en número decimal.3. Transformación de fracción impropia en número mixto.4. Orden en los racionales mediante la comparación de fracciones y de números

decimales.5. Aproximación (redondeo, truncamiento, aproximación por exceso).6. Operatoria básica en los números racionales (adición, sustracción, multiplicación y

división).


• Presentar ejemplos y justificar la transformación de números decimales semiperiódicos en fracciones.

• Indicar situaciones en que sea recomendable trabajar con fracciones y situaciones en que sea recomendable trabajar con números decimales.

• Indicar situaciones límite de aproximación y situaciones donde se justifique un tipo de aproximación por sobre otro.

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Clase 4Resolución de problemas en los racionales


• Comprender que los números racionales permiten resolver problemas sin solución en naturales y enteros.

• Reconocer problemas donde sea pertinente operar números racionales.• Extraer información en la resolución de problemas numéricos, planteando el

problema numérico y aplicando estrategias y recursos de resolución. • Identificar regularidades numéricas, reconociendo distintas operaciones que

permitan establecerlas.

Contenidos

1. Operatoria en los racionales. 2. Resolución de problemas numéricos.3. Secuencias numéricas y sumatorias.4. Cuadrados mágicos.


• Indicar restricciones para la operatoria de números racionales.• Indicar la posibilidad de operar las fracciones como decimales. • Presentar las regularidades más comunes en secuencias numéricas (progresión

aritmética, progresión geométrica, secuencia de números primos, paridad).• Presentar los cuadrados mágicos como objetos matemáticos construidos a partir

de regularidades e indicar referencias culturales de estos objetos. Por ejemplo, dar a conocer la presencia de un cuadrado mágico en la obra “La melancolía” de Alberto Durero.


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Clase 5Potencias


• Comprender la definición de potencias de base racional y exponente entero.• Aplicar propiedades y operatoria de potencias (multiplicación, división, potencia de

potencia) en la resolución de problemas.• Transformar números decimales y enteros múltiplos de 10 a potencias de 10. • Interpretar la potencia de 10 y la notación científica en situaciones cotidianas.

Contenidos

1. Potencias de base entera y exponente entero. 2. Potencias de base racional y exponente entero.3. Signos de una potencia.4. Propiedades de potencias.5. Potencia de 10 y notación científica.


• Indicar cómo reconocer la base de una potencia en presencia de paréntesis y la potencia correspondiente.

• Enfatizar la diferencia entre el signo de la base, el signo del exponente y la determinación del signo de la potencia.

• Indicar que la potencia de base 0 y exponente 0 se indefine. • Indicar estrategias particulares para desarrollar la adición y sustracción de potencias,

escribiendo la base como potencia y aplicando otras propiedades aritméticas. • Presentar ejemplos cotidianos de potencias y de notación científica. Por ejemplo,

al estudiar la masa de electrones y protones.

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Clase 6Raíces


• Comprender la definición de raíz de índice natural, identificando sus elementos. • Analizar la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales en

función de la paridad del índice natural y el signo del subradical.• Establecer y comprender la relación de raíces con potencias de exponente racional. • Aplicar propiedades y operatoria de raíces (multiplicación, división, raíz de raíz) en

la resolución de problemas.

Contenidos

1. Raíces de índice natural.2. Existencia de raíces en función de la paridad del índice y el signo del subradical.3. Signos de una raíz de índice par e impar.4. Relación entre raíces y potencias de exponente fraccionario. 5. Propiedades y operatoria de raíces. 6. Racionalización.


• Enfatizar las condiciones necesarias para la existencia de una raíz, indicando en qué situación la solución no se encuentra en el conjunto de los reales.

• Enfatizar la importancia de poder escribir una raíz como potencia, de modo que las propiedades y operaciones de raíces pueden obtenerse a partir de las propiedades y operaciones de potencias.

• Ejemplificar cómo racionalizar una fracción, amplificando por el término correspondiente.


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Clase 7Logaritmos


• Comprender la definición de logaritmo y sus distintos elementos.• Establecer y comprender la relación entre logaritmo, potencia y raíz en el contexto

de los números reales.• Aplicar propiedades y operatoria de logaritmos (adición, sustracción, cambio de

base) en la resolución de problemas.

Contenidos

1. Logaritmo de base positiva distinta de 1 y argumento positivo. 2. Relación entre logaritmos, potencias y raíces.3. Propiedades y operatoria de logaritmos.


• Enfatizar las condiciones de la base y el argumento del logaritmo para que tenga solución en los reales.

• Indicar el comportamiento de logaritmos de base positiva menor y mayor que 1. • Enfatizar que el logaritmo equivale al exponente de la potencia correspondiente,

por lo cual se pueden resolver problemas de logaritmos trabajando con sus correspondientes potencias.

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Clase 8Orden y aproximación en los irracionales


• Comprender los números irracionales como un conjunto numérico que permite resolver problemas sin solución en los números racionales.

• Ubicar números reales (racionales e irracionales) en la recta numérica, ordenándolos correspondientemente.

• Aproximación del valor de un número irracional por defecto, por exceso y por redondeo.

Contenidos

1. Ubicación y orden de números reales en la recta numérica. 2. Aproximación de números irracionales por defecto, exceso y redondeo.3. Aproximación de expresiones numéricas, aplicando propiedades de potencias,

raíces y logaritmos.4. Análisis de la irracionalidad de raíces cuadradas y la determinación de la racionalidad

de un número obtenido mediante operatoria.


• Enfatizar la importancia de determinar la ubicación de números irracionales entre dos números enteros consecutivos.

• Indicar la pertinencia de ubicar números racionales entre dos números racionales cercanos para determinar el orden de números reales dados.

• Enfatizar las diferencias numéricas máximas y mínimas entre un número irracional y sus distintos valores aproximados.

• Indicar la pertinencia de reconocer que el producto de dos números racionales es racional y que el producto de un número racional por otro irracional es irracional.


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Clase 9Revisión ensayo MT-024


• Identificar los ejercicios de contenidos vistos en los programas MT 21 y MT 22 hasta la clase 5, la que se realizó inmediatamente antes del ensayo. Es decir, revisar los ejercicios válidos.

• Analizar la(s) forma(s) correcta(s) de resolución de los ejercicios válidos. • Identificar los errores comunes en la resolución de los ejercicios válidos,

reconociendo los modos de aplicar el “descarte inteligente” en estos.

Contenidos

1. Números racionales.2. Potencias.3. Generalidades de ángulos, polígonos y cuadriláteros.4. Generalidades de triángulos y circunferencia.5. Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano.6. Traslación y vectores en el plano.


• Propiciar un ambiente adecuado para poder plantear indicaciones a los ejercicios, consultar las dudas y discutir las resoluciones desarrolladas.

• Entregar indicaciones particulares para cada ejercicio revisado. Por ejemplo, entregar recursos mnemotécnicos para relacionar contenidos.

• Indicar la relación entre los contenidos vistos y los contenidos que se revisarán a lo largo del curso, para reforzar la importancia de dichos contenidos.

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Clase 10Números imaginarios y complejos


• Comprender que los números complejos permiten resolver problemas sin solución en los números reales.

• Identificar la unidad imaginaria a partir de la raíz cuadrada de – 1. • Reconocer la relación entre los números complejos, los números imaginarios y los

reales.• Reconocer geométricamente el plano complejo y la ubicación de números

complejos. • Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y

divisiones de números complejos, formulando conjeturas y demostrando algunas propiedades.

Contenidos

1. Identificación de los números imaginarios. 2. Descripción de los números complejos y presentación analítica.3. Descripción geométrica del plano complejo y presentación geométrica del número

complejo como par ordenado.4. Aplicación de propiedades y operaciones de números complejos como extensión

de las propiedades y operaciones en los números reales (producto entre un número complejo y su conjugado; adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional).


• Enfatizar que problemas sin solución en los reales, tienen solución en el conjunto de los números complejos, por lo que es necesario reconocer en qué conjunto se realizan los distintos problemas.

• Enfatizar la importancia de escribir un número complejo de la forma (a + bi) y como par ordenado (a, b) y poder ubicarlo en el plano complejo.

• Indicar que las propiedades de números complejos se pueden obtener como extensión de las propiedades en los números reales, mediante manejo algebraico.


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Clase 11Taller de Números


• Aplicar los contenidos de conjuntos numéricos (enteros, racionales, irracionales, reales y complejos) en la resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Generalidades de números reales.2. Operatoria en los racionales.3. Problemas en los racionales.4. Potencias.5. Raíces.6. Logaritmos.7. Orden y aproximación en los irracionales.8. Números imaginarios y complejos.


• En función de las necesidades del curso, puede anotar en la pizarra las fórmulas básicas que deben manejar para responder la guía.

• Enfatizar la importancia de que los estudiantes desarrollen un trabajo individual, como preparación para la PSU, aun cuando puedan discutir las distintas resoluciones de los ejercicios en pareja o en grupo.

• Atender regularmente las consultas de los estudiantes y realizar la síntesis de los contenidos y un resumen de indicaciones al término de la clase.

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Clase 12Transformación algebraica


• Comprender el lenguaje algebraico como una forma de generalizar los elementos y las propiedades de los conjuntos numéricos estudiados.

• Analizar e interpretar los elementos de los términos y las expresiones algebraicas. • Comprender la relación entre una expresión algebraica general y una expresión

particular dados valores para las variables de la expresión.• Aplicar propiedades para la adición, sustracción y multiplicación de términos y

expresiones algebraicas.

Contenidos

1. Lenguaje algebraico. 2. Término y expresión algebraica. 3. Valorización de expresiones algebraicas. 4. Reducción algebraica. 5. Producto algebraico y productos notables.


• Enfatizar la importancia de discriminar el coeficiente numérico y el coeficiente literal, para reconocer términos semejantes.

• Presentar los términos semejantes con ejemplos cotidianos, para justificar la adición en estos términos.

• Indicar que los productos algebraicos son una generalización de las propiedades numéricas, enfatizando que todo producto notable se puede obtener como producto algebraico, aun cuando reconocer el producto notable es necesario para factorizar expresiones.


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Clase 13Expresiones algebraicas fraccionarias


• Identificar los factores presentes en un término algebraico, para determinar factor común.

• Utilizar técnicas para determinar factor común simple y compuesto.• Identificar productos notables en una expresión algebraica.• Factorizar expresiones algebraicas.• Simplificar y operar expresiones algebraicas fraccionarias.

Contenidos

1. Factorización de expresiones algebraicas.2. Simplificación de fracciones algebraicas.3. Operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias.


• Enfatizar la importancia de reconocer factor común en una expresión algebraica, para luego factorizar la expresión restante.

• Enfatizar la importancia de identificar productos notables, fundamentalmente la suma por su diferencia y el producto de binomios con término en común, para factorizar expresiones.

• Enfatizar que para operar fracciones algebraicas, es fundamental primero simplificar por medio de la factorización del numerador y el denominador de las distintas fracciones.

• Anotar en la pizarra los productos notables y factorizaciones principales, indicando las de mayor presencia en la PSU.

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Clase 14Ecuaciones de primer grado


• Comprender una ecuación de primer grado con una incógnita como una igualdad dada donde hay que determinar el valor de la incógnita que satisface la igualdad.

• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.• Determinar el número de soluciones de una ecuación de primer grado con una

incógnita.• Plantear ecuaciones de primer grado con una incógnita.• Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones de primer

grado con una incógnita.

Contenidos

1. Identificación de ecuaciones de primer grado numéricas y literales. 2. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.3. Determinación del número de soluciones de una ecuación: cuándo una ecuación

no tiene solución; tiene una única solución; o tiene infinitas soluciones en los reales.4. Planteamiento de ecuaciones de primer grado con una incógnita.


• Enfatizar cuándo una ecuación de primer grado con una incógnita no tiene solución y cuándo tiene infinitas soluciones, ejemplificando y justificando los distintos casos.

• Enfatizar que la solución de una ecuación se puede verificar, valorizando la incógnita.

• Reforzar la comprensión lectora y el metalenguaje matemático para presentar un problema de planteo.

• Indicar errores comunes en el modelamiento de un problema.


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Clase 15Sistemas de ecuaciones de primer grado


• Resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.• Determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas. • Modelar situaciones mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos

incógnitas.

Contenidos

1. Identificación de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.2. Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas mediante

distintos métodos: sustitución, igualación, reducción.3. Determinación del número de soluciones de un sistema de ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas: cuándo tienen una única solución, cuándo no tienen solución y cuándo tienen infinitas soluciones.

4. Planteamiento de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.


• Enfatizar cuándo un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas no tiene solución y cuándo tiene infinitas soluciones, ejemplificando y justificando los distintos casos.

• Enfatizar que la solución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se puede verificar, valorizando las incógnitas.


• Indicar errores comunes en el modelamiento de problemas.

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Clase 16Ecuaciones de segundo grado


• Comprender una ecuación de segundo grado con una incógnita como una igualdad dada donde hay que determinar los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad.

• Comprender que toda ecuación de segundo grado con coeficientes reales tiene raíces en el conjunto de los números complejos.

• Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completación de cuadrados, factorización o inspección, con raíces reales o complejas.

• Interpretar las soluciones y determinar a qué conjunto numérico pertenecen. • Deducir la fórmula de la ecuación general de segundo grado y el comportamiento de

sus raíces.

Contenidos

1. Identificación de ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales. 2. Resolución de ecuaciones de segundo grado mediante completación de cuadrados,

factorización o inspección, con raíces reales o complejas. 3. Determinación y análisis del discriminante. 4. Deducción de la ecuación general de segundo grado. 5. Planteamiento de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.


• Enfatizar cuándo una ecuación de segundo grado tiene soluciones reales distintas, reales iguales o complejas conjugadas, mediante el análisis del discriminante.

• Indicar cuándo es recomendable utilizar uno u otro método para la resolución de ecuaciones de segundo grado, recordando la factorización del producto de binomio con término en común.

• Enfatizar que las soluciones de una ecuación de segundo grado se pueden verificar, valorizando las incógnitas en la ecuación.


• Indicar errores comunes en el modelamiento de un problema.


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Clase 17Desigualdades e inecuaciones de primer grado


• Comprender el conjunto de los reales como un conjunto ordenado, donde se puede establecer siempre una relación de orden entre dos elementos del conjunto.

• Comprender y aplicar propiedades de desigualdad, relativas a la adición, sustracción, multiplicación y división.

• Interpretar los intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos en la recta numérica, algebraica y gráficamente.

• Comprender una inecuación como una desigualdad con una incógnita donde hay que determinar los valores de la incógnita que satisfacen la desigualdad, encontrando el intervalo solución.

• Determinar los tipos de solución de una inecuación.

Contenidos

1. Identificación de desigualdades en los números reales.2. Aplicación de las propiedades de desigualdad, relativas a la operatoria

correspondiente.3. Interpretación de intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos en la recta numérica,

algebraica y gráficamente. 4. Resolución de una inecuación de primer grado, mediante la aplicación de

propiedades.5. Representación de los intervalos solución de una inecuación de primer grado.


• Enfatizar la importancia de interpretar correctamente la relación de orden en los reales. Por ejemplo, indicar que 3 = 3, por lo cual también se cumple que 3 ≥ 3.

• Ejemplificar con cifras el comportamiento de las desigualdades relativas a las distintas operaciones.

• Enfatizar la importancia de poder representar en sus distintas formas la solución de una inecuación.

• Enfatizar que dada una inecuación se debe determinar el mayor conjunto solución que satisface la inecuación.

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Clase 18Sistemas de inecuaciones de primer grado


• Comprender que en un sistema de inecuaciones de primer grado se debe determinar la intersección de los intervalos solución de cada una de las inecuaciones componentes.

• Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado. • Determinar cuándo un sistema de inecuaciones de primer grado no tiene solución

en los reales, expresándolo en lenguaje conjuntista, algebraica y gráficamente.• Modelar situaciones mediante sistemas de inecuaciones de primer grado.

Contenidos

1. Uso de lenguaje conjuntista para interpretar la solución de un sistema de inecuaciones, presentando la operatoria de conjuntos y su correspondiente representación.

2. Resolución de sistemas de inecuaciones de primer grado. 3. Análisis del intervalo solución del sistema en función de las soluciones de cada

inecuación en particular.4. Planteo de sistemas de inecuaciones de primer grado.


• Enfatizar que el uso de lenguaje conjuntista permite interpretar correctamente la solución del sistema de inecuaciones de primer grado.

• Enfatizar que en un sistema de inecuaciones de primer grado es preciso determinar la intersección de los intervalos solución de las inecuaciones componentes. Justificar que los elementos de la intersección son los que satisfacen las condiciones establecidas por las distintas inecuaciones.

• Discutir los distintos tipos de solución de un sistema de inecuaciones: cuando no hay solución; cuando la solución es un conjunto formado por un único elemento; y en qué casos nos encontramos con intervalos estudiados. Revisar ejemplos para cada caso.


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Clase 19Taller de Álgebra


• Aplicar los contenidos de álgebra (transformación algebraica, expresiones algebraicas fraccionarias, ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado, desigualdades e inecuaciones de primer grado, sistema de inecuaciones de primer grado) en la resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Transformación algebraica.2. Expresiones algebraicas fraccionarias.3. Ecuaciones de primer grado. 4. Sistemas de ecuaciones de primer grado. 5. Ecuaciones de segundo grado.6. Desigualdades e inecuaciones de primer grado.7. Sistema de inecuaciones de primer grado.





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Clase 20Conceptos generales de funciones


• Comprender la definición de función, reconociendo qué condiciones debe cumplir una relación para ser una función.

• Comprender la noción de imagen, pre-imagen, dominio y recorrido. • Interpretar la representación de una función en el plano cartesiano. • Evaluar una función.

Contenidos

1. Definición de una función.2. Interpretación y análisis de la gráfica de una función.3. Evaluación de una función.


• Para comprender la definición de una función pueden utilizarse diagramas sagitales, pudiendo establecer de este modo la relación entre dominio y conjunto de partida y recorrido y conjunto de llegada. Para ello también puede utilizarse la notación de pares ordenados.

• Enfatizar en la interpretación y construcción del gráfico de una función, de modo de entender cuál es la imagen y la pre-imagen considerando un punto de la gráfica de la función.

• Generalizar la gráfica de una función mediante la ubicación en el plano cartesiano de los puntos (x, f(x)).


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Clase 21Teoría de funciones


• Determinar el dominio y el recorrido de una función, analítica y gráficamente. • Comprender el concepto de composición de funciones, reconociendo las

condiciones necesarias para su establecimiento. • Comprender las propiedades de la composición de funciones. • Determinar dominio y recorrido de funciones compuestas.• Evaluar funciones compuestas.

Contenidos

1. Dominio y recorrido de funciones. 2. Composición de funciones, condiciones y propiedades. 3. Determinación del dominio y recorrido de una función compuesta.4. Evaluación de funciones compuestas.


• Enfatizar en la interpretación y construcción del gráfico de una función, de modo de entender cuál es la imagen y la pre-imagen y también determinar el dominio y el recorrido a partir de la gráfica.

• Enfatizar que no se puede establecer una composición de dos funciones cualesquiera, a menos que cumplan condiciones en su dominio y recorrido. Por ello, enfatizar que el orden en que se componen dos funciones es relevante. Dar ejemplos cotidianos de dos asignaciones en órdenes distintos.

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Clase 22Función afín y función lineal


• Identificar y clasificar funciones de comportamiento lineal. • Identificar una función lineal algebraica y gráficamente, reconociendo dominio y

recorrido de la función. • Analizar las distintas representaciones de una función lineal. • Establecer la relación entre la función lineal y la proporcionalidad directa. • Modelar situaciones mediante la función lineal. • Identificar una función afín algebraica y gráficamente, reconociendo dominio y

recorrido de la función.• Analizar las distintas representaciones de una función afín. • Aplicación de la función afín en la resolución de distintos problemas.

Contenidos

1. Identificación y clasificación de funciones de comportamiento lineal (función constante, función lineal, función afín y rectas que no son funciones).

2. Función lineal en su forma algebraica y representación gráfica.3. Determinación del dominio y recorrido de una función lineal. 4. Análisis del comportamiento de una función lineal, dependiendo de los parámetros. 5. Relación entre la función lineal y la proporcionalidad directa. 6. Modelamiento de situaciones y fenómenos por medio de la función lineal. 7. Función afín en su forma algebraica y representación gráfica.8. Determinación del dominio y recorrido de una función afín. 9. Análisis del comportamiento de una función afín, dependiendo de los parámetros. 10. Modelamiento de situaciones y fenómenos por medio de la función afín.


• Enfatizar que no toda recta en el plano representa una función, sin embargo, todas las funciones de comportamiento lineal pueden ser representadas por medio de una recta en el plano.

• Enfatizar la importancia de reconocer cómo la modificación de los parámetros de una función determinan el comportamiento de las distintas funciones.

• Enfatizar en las diferencias gráficas de los distintos tipos de función y, fundamentalmente, dar ejemplos de fenómenos que se modelen por los diversos tipos de función.


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Contenidos

1. Números racionales.2. Números irracionales.3. Números complejos.4. Potenciación.5. Transformación algebraica.6. Ecuaciones y sistemas de primer grado.7. Ecuación de segundo grado.8. Desigualdades, inecuaciones.9. Ángulos y polígonos.10. Geometría de proporción.11. Transformaciones isométricas.12. Circunferencia.13. Geometría analítica.14. Cuerpos geométricos.





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Clase 24Función exponencial


• Identificar la función exponencial. • Analizar la función exponencial, estudiando las variaciones que se producen por la

modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función.• Analizar las distintas representaciones de la función exponencial. • Utilizar la función exponencial para modelar situaciones o fenómenos en contextos

significativos, y representarlos gráficamente. • Resolver ecuaciones exponenciales.

Contenidos

1. Identificación de la función exponencial. 2. Comportamiento y análisis de la función exponencial, dependiendo de los

parámetros.3. Representación de la función exponencial. 4. Crecimiento y decrecimiento exponencial. 5. Ecuaciones exponenciales.


• Enfatizar la importancia de los parámetros en el comportamiento de la función. • Estudiar ejemplos de crecimiento y decrecimiento exponencial en situaciones de la

vida cotidiana.


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Clase 25Función logarítmica


• Identificar la función logarítmica. • Analizar la relación entre la función logarítmica y la función exponencial. • Analizar la función logarítmica, estudiando las variaciones que se producen por la

modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función.• Analizar las distintas representaciones de la función logarítmica. • Utilizar la función logarítmica para modelar situaciones o fenómenos en contextos

significativos, y representarlos gráficamente. • Resolver ecuaciones logarítmicas.

Contenidos

1. Identificación de la función logarítmica. 2. Comportamiento y análisis de la función logarítmica, dependiendo de los

parámetros.3. Representación de la función logarítmica. 4. Ecuaciones logarítmicas.


• Enfatizar la importancia de los parámetros en el comportamiento de la función. • Enfatizar la relación que se establece entre la función logarítmica y la función

exponencial.

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Clase 26Función raíz cuadrada


• Identificar la función raíz cuadrada. • Analizar la función raíz cuadrada, estudiando las variaciones que se producen por

la modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función.• Analizar las distintas representaciones de la función raíz cuadrada. • Utilizar la función raíz cuadrada para modelar situaciones o fenómenos en contextos

significativos, y representarlos gráficamente.

Contenidos

1. Identificación de la función raíz cuadrada. 2. Comportamiento y análisis de la función raíz cuadrada, dependiendo de los

parámetros.3. Representación de la función raíz cuadrada.


• Enfatizar la importancia de los parámetros en el comportamiento de la función.


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Clase 27Función cuadrática


• Identificar la función cuadrática. • Determinar concavidad, vértice, eje de simetría e intersección con el eje de las

ordenadas en una función cuadrática, estudiando las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función.

• Analizar la existencia de los ceros o raíces de una función cuadrática, mediante la interpretación del discriminante y determinarlos, indicando a qué conjunto pertenecen.

• Analizar las distintas representaciones de la función cuadrática.• Utilizar la función cuadrática para modelar situaciones o fenómenos en contextos


Contenidos

1. Identificación de la función cuadrática. 2. Análisis del comportamiento de la función, dependiendo de los parámetros y

determinación de concavidad, vértice, eje de simetría e intersección con el eje Y.3. Determinación del discriminante y análisis y determinación de los ceros de la

función.4. Análisis gráfico de la función.5. Modelamiento de situaciones por medio de la función cuadrática.


• Enfatizar la importancia de los parámetros en el comportamiento de la función. • Enfatizar la importancia de la determinación de la existencia de las raíces de una

función cuadrática por medio del análisis del discriminante. • Enfatizar la importancia del análisis de la ecuación de segundo grado para

determinar los ceros de la función cuadrática.

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Clase 28Función potencia


• Identificar la función potencia. • Analizar la relación entre la función potencia y la función raíz cuadrada. • Analizar la función potencia, estudiando las variaciones que se producen por la

modificación de sus parámetros y determinar el dominio y recorrido de la función.• Analizar las distintas representaciones de la función potencia. • Utilizar la función potencia para modelar situaciones o fenómenos en contextos


Contenidos

1. Identificación de la función potencia. 2. Comportamiento y análisis de la función potencia, dependiendo de los parámetros.3. Representación de la función potencia. 4. Modelamiento de situaciones que representen comparación de tasas de crecimiento

aritmético y geométrico y cálculo de interés compuesto.


• Enfatizar la importancia de los parámetros en el comportamiento de la función.


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Clase 29Taller de Funciones


• Aplicar los contenidos de funciones (conceptos generales de funciones, teoría de funciones, función afín y función lineal, función exponencial, función logarítmica, función raíz cuadrada, función cuadrática, función potencia) en la resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Conceptos generales de funciones.2. Teoría de funciones.3. Función afín y función lineal.4. Función exponencial.5. Función logarítmica.6. Función raíz cuadrada.7. Función potencia.





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IX. Red de contenidos y materiales MT 22

Clase Título Material Folio

1 Generalidades de ángulos, polígonos y cuadriláteros


2 Generalidades de los triángulosGuía GUICES022MT22-A15V1PPT PPTCES020MT22-A15V1

3 Generalidades y ángulos en la circunferencia


4 Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano


5 Traslación y vectores en el planoGuía GUICES025MT22-A15V1

PPT PPTCES023MT22-A15V1

6 Rotación y reflexión en el planoGuía GUICES026MT22-A15V1


7 Taller de geometría general Taller TALCES008MT22-A15V1

8 Congruencia de triángulosGuía GUICES027MT22-A15V1


9 Semejanza de triángulosGuía GUICES028MT22-A15V1


10Teorema de Thales y división de segmentos

Guía GUICES029MT22-A15V1


11 Teorema de EuclidesGuía GUICES030MT22-A15V1


12Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia



13 Taller de geometría de proporción Taller TALCES009MT22-A15V1

14Ecuación de la recta en el plano cartesiano




16Posiciones relativas de rectas en el plano




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17 Sistema tridimensionalGuía GUICES034MT22-A15V1


18Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio



19 PoliedrosGuía GUICES036MT22-A15V1


20 Cuerpos redondosGuía GUICES037MT22-A15V1


21 Taller de plano y espacio Taller TALCES010MT22-A15V1

22Medidas de tendencia central en tablas y gráficos



23 Medidas de posición y dispersiónGuía GUICES039MT22-A15V1


24Técnicas combinatorias y regla de Laplace



25 Tipos de probabilidadesGuía GUICES003MT22-A15V1


26 Variable aleatoria y distribución normalGuía GUICES041MT22-A15V1



28Función de probabilidad y función de distribución



29 Taller de Datos y Azar Taller TALCES011MT22-A15V1

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X. PlanificacióngeneraldecadaclaseMT22

Clase 1Generalidades de ángulos, polígonos y cuadriláteros


• Comprender la definición, las características y los sistemas de medición de los ángulos.

• Comprender y aplicar las propiedades de ángulos en la resolución de ejercicios.• Comprender la definición y las características de los polígonos.• Comprender y aplicar las propiedades de los polígonos convexos y regulares en la

resolución de ejercicios.• Comprender la definición y las características de los cuadriláteros.• Comprender la clasificación de los cuadriláteros y aplicar sus propiedades en la

resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Definición de ángulo, notación y elementos.2. Sistema sexagesimal de medida y clasificación de los ángulos según medida.3. Relaciones y propiedades de ángulos. 4. Definición de polígono, notación y elementos.5. Clasificación de polígonos.6. Propiedades generales de un polígono convexo. 7. Definición de cuadrilátero y elementos.8. Clasificación de cuadriláteros y propiedades.


• Enfatizar la importancia de las propiedades de los ángulos en el estudio de las distintas figuras geométricas.

• Enfatizar la importancia de la notación de ángulos para eliminar la ambigüedad en su estudio.

• Enfatizar la importancia del estudio de los polígonos en la comprensión de los casos particulares.


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Clase 2Generalidades de los triángulos


• Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. • Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. • Clasificar los triángulos según las medidas de sus lados y de sus ángulos.• Aplicar propiedades del triángulo equilátero, en particular, aplicar el teorema de

Pitágoras. • Aplicar propiedades de triángulos equiláteros e isósceles.• Aplicar propiedades generales de triángulos.

Contenidos

1. Definición de triángulo.2. Elementos primarios de un triángulo y propiedades.3. Elementos secundarios de un triángulo y propiedades.4. Propiedades generales: área y perímetro de triángulos. 5. Clasificación de triángulos, según medidas de lados y ángulos. 6. Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras. 7. Triángulo equilátero y triángulo isósceles.


• Enfatizar la importancia de interpretar correctamente la notación en geometría, en particular, al tratar de triángulos.

• Enfatizar la importancia del trabajo con triángulos al estudiar polígonos dado que, en general, un polígono lo podemos descomponer en figuras conocidas, como rectángulos y triángulos, pudiendo así establecer propiedades generales.

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Clase 3Generalidades y ángulos en la circunferencia


• Identificar los elementos de una circunferencia y un círculo. • Calcular áreas y perímetros del círculo, del sector circular y del segmento circular. • Identificar y clasificar ángulos en la circunferencia, aplicando sus propiedades y

teoremas. • Resolver ejercicios que involucren teoremas de ángulos en la circunferencia.

Contenidos

1. Identificación de elementos de la circunferencia y el círculo.2. Cálculo de áreas y perímetros de círculos, sectores y segmentos circulares.3. Aplicación de propiedades de ángulos en la circunferencia.


• Enfatizar la importancia de distinguir los elementos de una circunferencia y su notación.

• Enfatizar la importancia de manejar fórmulas básicas como las de área y perímetro del círculo pudiendo, a partir de estas, determinar el área y el perímetro de secciones por medio de proporcionalidad directa.

• Enfatizar la importancia de relacionar los distintos tipos de ángulos con los arcos que comprenden y, principalmente, con el ángulo del centro correspondiente, para poder deducir las relaciones establecidas.


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Clase 4Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano


• Comprender el plano cartesiano como una herramienta matemática que permite determinar y comparar posiciones de puntos y figuras, pudiendo establecer longitudes y distancias.

• Identificar los elementos del plano cartesiano: ejes, cuadrantes, puntos. • Ubicar puntos y figuras en el plano cartesiano.• Determinar la distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano. • Determinar el punto medio entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano. • Aplicar conceptos geométricos en el plano cartesiano.

Contenidos

1. Elementos de un plano cartesiano: ejes, cuadrantes, puntos.2. Ubicación de puntos y figuras en el plano cartesiano. 3. Determinación del punto medio entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano.4. Determinación de la distancia entre dos puntos ubicados en el plano cartesiano.5. Aplicación de conceptos geométricos en el plano cartesiano.


• Enfatizar en la importancia de trabajar con puntos como pares ordenados, de modo de poder operar con puntos en esta notación.

• Indicar que la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, se puede establecer por medio del teorema de Pitágoras.

• Mostrar ejemplos cotidianos de mapas y planos que se pueden estudiar y analizar del mismo modo que el plano cartesiano.

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Clase 5Traslación y vectores en el plano


• Comprender el concepto de vector e identificar los elementos que lo definen (módulo, dirección y sentido).

• Representar analítica y gráficamente vectores en el plano cartesiano. • Determinar el módulo de un vector en el plano cartesiano. • Ponderar un vector por un escalar. • Aplicar adición y sustracción de vectores, analítica y gráficamente. • Comprender la traslación de vectores como adición vectorial y aplicarla en puntos

y figuras en el plano cartesiano.

Contenidos

1. Elementos de un vector (módulo, dirección y sentido) y de un escalar.2. Representación de vectores en el plano cartesiano. 3. Determinación del módulo del vector en el plano cartesiano. 4. Ponderación de vector por escalar. 5. Adición y sustracción de vectores. 6. Aplicación de la adición vectorial para describir traslaciones en el plano cartesiano.


• Enfatizar en la diferencia entre vector y escalar. • Enfatizar en la importancia de representar analítica y gráficamente un vector, para

poder operar de ambas formas. • Enfatizar en la importancia del tratamiento vectorial de las transformaciones

isométricas, en particular, la traslación.


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Clase 6Rotación y reflexión en el plano


• Comprender las transformaciones isométricas en el plano euclidiano. • Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto al origen. • Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto a un

punto distinto del origen.• Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a un eje de simetría. • Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a los ejes coordenados.• Aplicar simetría central de puntos y figuras con respecto al origen y con respecto a

un punto distinto del origen.• Aplicación de la composición de transformaciones isométricas.

Contenidos

1. Transformaciones isométricas en el plano euclidiano.2. Rotación de puntos y figuras con respecto a un centro de rotación.3. Simetría axial de puntos y figuras con respecto a un eje de simetría. 4. Simetría central de puntos y figuras con respecto a un centro de simetría. 5. Composición de transformaciones isométricas y propiedades.


• Ejemplificar cómo un punto rota con respecto al origen en 90°, 180°, 270° y 360°. Mostrar qué sucede con el vector que va desde el origen al punto, para explicitar el ángulo de rotación.

• Enfatizar que la simetría axial corresponde al efecto espejo, y que si ponen un espejo en el eje de simetría podrán reconocer la figura simétrica como la imagen que se obtiene en el espejo.

• Enfatizar que la simetría central se puede obtener puntualmente como una doble traslación vectorial.

• Mostrar como ejemplo de composición de transformaciones isométricas la teselación del plano.

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Clase 7Taller de geometría general


• Aplicar los contenidos de geometría general (generalidades de ángulos, polígonos y cuadriláteros; generalidades de los triángulos; generalidades y ángulos en la circunferencia; ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano; traslación y vectores en el plano; rotación y reflexión en el plano) en la resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Generalidades de ángulos, polígonos y cuadriláteros.2. Generalidades de los triángulos.3. Generalidades y ángulos en la circunferencia.4. Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano.5. Traslación y vectores en el plano.6. Rotación y reflexión en el plano.






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Clase 8Congruencia de triángulos


• Comprender el concepto de congruencia en figuras planas y relacionarlo con las transformaciones isométricas.

• Aplicar criterios de congruencia en triángulos para la resolución de problemas y demostración de propiedades.

Contenidos

1. Definición de congruencia. 2. Identificación de elementos homólogos y correspondientes. 3. Criterios de congruencia en triángulos. 4. Aplicación de criterios de congruencia en triángulos para la resolución de problemas

y demostración de propiedades.


• Enfatizar en la importancia de reconocer elementos homólogos en triángulos congruentes, de modo de poder estudiar luego tanto figuras congruentes como semejantes.

• Enfatizar en la importancia de reconocer los distintos criterios de congruencia, para poder aplicar y deducir propiedades geométricas en figuras compuestas por triángulos.

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Clase 9Semejanza de triángulos


• Comprender el concepto de semejanza en figuras planas y relacionarlo con las transformaciones isométricas.

• Aplicar criterios de semejanza en triángulos para la resolución de problemas y demostración de propiedades.

• Describir la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar, visualizando las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano.

• Aplicar la noción de semejanza a la homotecia de figuras planas.

Contenidos

1. Semejanza e identificación de elementos homólogos.2. Aplicación de criterios de semejanza en triángulos para la resolución de problemas

y demostración de propiedades. 3. Descripción de la homotecia de figuras planas como producto de un vector y un

escalar.4. Aplicación de semejanza a la homotecia de figuras planas.


• Enfatizar en la importancia de reconocer elementos homólogos en triángulos semejantes.

• Enfatizar en la importancia de reconocer los distintos criterios de semejanza, para poder aplicar y deducir propiedades geométricas en figuras compuestas por triángulos y en relaciones entre triángulos, como por ejemplo en el teorema de Euclides y de Thales.


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Clase 10Teorema de Thales y división de segmentos


• Aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.• Aplicar el teorema de la bisectriz. • Aplicar la división interior de un trazo en una razón dada. • Verificar relaciones que se establecen en divisiones de trazos.

Contenidos

1. Identificar condiciones para aplicar el teorema de Thales.2. Aplicación del teorema de Thales en su caso general y en sus casos particulares. 3. Aplicación del teorema de la bisectriz. 4. Aplicación de la división interior de un trazo en una razón dada. 5. Aplicación de división exterior de un trazo y otras divisiones de trazos.


• Enfatizar la importancia de reconocer los triángulos semejantes que se forman al trazar transversales a paralelas.

• Mostrar ejemplos de división de segmento en razones dadas.

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Clase 11Teorema de Euclides


• Aplicar el teorema de Euclides en el triángulo rectángulo en la resolución de ejercicios.

• Analizar la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo y la semejanza de triángulos en el triángulo rectángulo.

• Analizar la demostración del teorema de Euclides y su relación con el teorema de Pitágoras y el recíproco del teorema de Pitágoras.

Contenidos

1. Aplicación del teorema de Euclides en la resolución de ejercicios. 2. Análisis de la proporcionalidad de trazos y semejanza de triángulo en el triángulo

rectángulo.3. Análisis de la demostración del teorema de Euclides y su relación con el teorema

de Pitágoras.


• Enfatizar la importancia de reconocer las condiciones necesarias para establecer el teorema de Euclides.

• Enfatizar la importancia de identificar los elementos del triángulo rectángulo para aplicar el teorema de Euclides.


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Clase 12Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia


• Aplicar la noción de semejanza a la relación entre segmentos en cuerdas en una circunferencia.

• Aplicar el teorema de cuerdas y propiedades asociadas a este. • Aplicar la noción de semejanza a la relación entre secantes en una circunferencia. • Aplicar el teorema de las secantes, de la secante y la tangente, y de las tangentes.

Contenidos

1. Aplicación de la noción de semejanza en el teorema de cuerdas.2. Aplicación del teorema de cuerdas y de propiedades asociadas a cuerdas. 3. Aplicación de la noción de semejanza en el teorema de secantes en la circunferencia.4. Aplicación del teorema de las secantes, de la secante y la tangente, y de las

tangentes.


• Enfatizar en la importancia de aplicar la noción de semejanza en los teoremas de proporcionalidad en la circunferencia.

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Clase 13Taller de geometría de proporción


• Aplicar los contenidos de geometría de proporción (congruencia de triángulos, semejanza de triángulos, teorema de Thales y división de segmento, teorema de Euclides, teoremas de proporcionalidad en la circunferencia) en la resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Congruencia de triángulos.2. Semejanza de triángulos.3. Teorema de Thales y división de segmento.4. Teorema de Euclides.5. Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia.






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Clase 14Ecuación de la recta en el plano cartesiano


• Comprender la forma de la ecuación principal de la recta en el plano.• Deducir e interpretar la pendiente de una recta dados dos puntos pertenecientes a

ella. • Deducir e interpretar los puntos de intersección de una recta con los ejes

coordenados. • Determinar la ecuación de la recta dados dos puntos pertenecientes a ella o dado

un punto y la pendiente. • Analizar el comportamiento de la recta dados los parámetros de su ecuación.• Establecer la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano.

Contenidos

1. Ecuación principal y general de la recta en el plano. 2. Determinación de la pendiente de una recta, dados dos puntos de ella. 3. Determinación de las intersecciones de la recta con los ejes coordenados. 4. Análisis y representación gráfica de una recta en función de sus parámetros.


• Enfatizar la importancia de escribir una ecuación de la recta en su forma principal para poder identificar la pendiente y el coeficiente de posición de la recta.

• Enfatizar la importancia de entender que en una recta la pendiente es constante, por lo cual, dados dos puntos cualesquiera, la pendiente que se determina es siempre la misma.

• Mostrar distintos ejemplos de rectas en el plano cartesiano para, a partir del gráfico determinar la ecuación de la recta.

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Contenidos

1. Números racionales.2. Números irracionales.3. Números complejos.4. Potenciación.5. Generalidades de ángulos, polígonos y cuadriláteros.6. Generalidades de triángulos y circunferencia.7. Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano.8. Transformaciones isométricas.9. Congruencia de triángulos.10. Semejanza de triángulos.11. Teorema de Thales y división de segmento.12. Teorema de Euclides.






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Clase 16Posiciones relativas de rectas en el plano


• Interpretar analíticamente las posiciones relativas de rectas en el plano, determinando si dos rectas son paralelas, coincidentes u oblicuas.

• Analizar gráficamente las soluciones de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, relacionando cada ecuación con la recta asociada y determinando si no hay solución, hay una única solución o son infinitas soluciones.

Contenidos

1. Análisis de las posiciones relativas de rectas en el plano.2. Análisis gráfico de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas.


• Enfatizar la importancia del análisis de los parámetros para determinar si dos rectas son paralelas, coincidentes u oblicuas.

• Mostrar ejemplos donde se pueda determinar una única solución del sistema de ecuaciones; donde no haya solución del sistema de ecuaciones; y donde haya infinitas soluciones del sistema de ecuaciones.

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Clase 17Sistema tridimensional


• Comprender qué puntos y rectas pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio.

Contenidos

1. Ubicación de puntos en el espacio.2. Determinación de la distancia entre dos puntos en el espacio.3. Identificación y descripción de rectas en el plano y en el espacio.4. Deducción de la ecuación vectorial de la recta en el plano y en el espacio.


• Recordar el concepto de plano cartesiano y la ubicación de puntos mediante pares ordenados.

• Mostrar la ubicación de puntos en el sistema tridimensional, incluyendo coordenadas negativas.

• Explicar características geométricas del cubo, como paralelismo y perpendicularidad de las caras y las aristas.


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Clase 18Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio


• Comprender qué rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta y del plano en el espacio.

Contenidos

1. Identificación y descripción de planos en el espacio.2. Ecuación cartesiana y vectorial del plano en el espacio.


• Ejemplificar a través de dibujos los conceptos de rectas y planos en el espacio.

Clase 19Poliedros


• Calcular área y volúmenes de poliedros.

Contenidos

1. Cuerpos geométricos y su clasificación.2. Poliedros.


• Ejemplifique mediante dibujos la composición de poliedros, para así explicar el cálculo de áreas y volúmenes.

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Clase 20Cuerpos redondos


• Calcular área y volúmenes de cuerpos redondos.

Contenidos

1. Cuerpos redondos.


• Ejemplifique mediante dibujos la composición de poliedros, para así explicar el cálculo de áreas y volúmenes.

• Señale algunos cuerpos redondos que se generan por traslaciones de figuras o por rotaciones de estas.


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Clase 21Taller de plano y espacio


• Aplicar los contenidos de plano y espacio en la resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Posiciones relativas de rectas en el plano y espacio.2. Posiciones relativas de planos en el espacio. 3. Sistema tridimensional.4. Semejanza de triángulos.5. Poliedros.6. Cuerpos redondos.





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Clase 22Medidas de tendencia central en tablas y gráficos


• Calcular e interpretar las medidas de tendencia central.• Aplicar la estadística descriptiva en la resolución de problemas de la vida real.

Contenidos

1. Medidas de tendencia central (moda, mediana, media aritmética).


• Ejemplificar la determinación básica de medidas de tendencia central y el concepto detrás de cada una (datos NO tabulados y NO agrupados).

Clase 23Medidas de posición y dispersión


• Calcular e interpretar las medidas de posición y dispersión.• Aplicar la estadística descriptiva en la resolución de problemas de la vida real.

Contenidos

1. Medidas de posición (percentil, decil, cuartil, quintil).2. Medidas de dispersión (rango, desviación estándar, varianza).


• Interpretar las medidas de dispersión y posición mediante ejemplos cotidianos.


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Clase 24Técnicas combinatorias y regla de Laplace


• Aplicar el concepto de factorial en los ejercicios de combinatoria.• Aplicar el concepto de probabilidad.• Resolver problemas que involucren probabilidad clásica.

Contenidos

1. Combinatoria (combinaciones, permutaciones y variaciones).2. Definiciones de probabilidad.3. Ley de los grandes números.4. Probabilidad clásica.


• Explicar formas rápidas de resolver problemas simples de combinatoria, como el principio multiplicativo y factorial.

• Utilizar distintos caminos para calcular probabilidades.

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Clase 25Tipos de probabilidades


• Utilizar árboles y triángulo de Pascal en la resolución de problemas.• Aplicar el concepto de probabilidad total.• Aplicar el concepto de probabilidad condicionada.• Aplicar el concepto de probabilidad compuesta.

Contenidos

1. Diagrama de árbol.2. Triángulo de Pascal.3. Probabilidad total.4. Probabilidad condicionada.5. Probabilidad compuesta.


• Mostrar la resolución de problemas de probabilidad total con sucesos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes.

• Ejemplificar la resolución de problemas mediante árboles y triángulo de Pascal.


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Clase 26Variable aleatoria y distribución normal


• Comprender y aplicar el concepto de variable aleatoria en la resolución de ejercicios.• Aplicar la distribución normal en problemas cotidianos.

Contenidos

1. Distribución normal.


• Ejemplificar la distribución normal con ejemplos cotidianos, como el modelamientos de los puntajes PSU.

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reconociendo los modos de aplicar el “descarte inteligente” en estos. Contenidos

1. Números racionales.2. Números irracionales.3. Números complejos.4. Potenciación.5. Transformación algebraica.6. Ecuaciones y sistemas de primer grado.7. Ecuación de segundo grado.8. Desigualdades, inecuaciones.9. Funciones.10. Ángulos y polígonos.11. Geometría de proporción.12. Transformaciones isométricas.13. Circunferencia.14. Geometría analítica.15. Cuerpos geométricos.16. Medidas de tendencia central, posición y dispersión.






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Clase 28Función de probabilidad y función de distribución


• Comprender y calcular funciones de probabilidad y distribución de una variable aleatoria discreta.

Contenidos

1. Función de probabilidad.2. Función de distribución.


• Repasar el concepto de función y llevarlo a la probabilidad a través de ejemplos cotidianos.

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Clase 29Taller de Datos y Azar


• Aplicar los contenidos de Datos y Azar en la resolución de ejercicios.

Contenidos

1. Medidas de tendencia central, posición y dispersión.2. Distribución normal.3. Combinatoria y regla de Laplace.4. Tipos de probabilidades.5. Función de probabilidad y distribución.






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Habilidades y contenidos evaluados en la PSU

Duración: 2 horas 40 minutos.

Habilidadescognitivas

Ejestemáticos

Comprensión AplicaciónAnálisis,

Síntesis y Evaluación

Total (%)

Números 21

Álgebra 27

Geometría 30

Datos y Azar 22

Total (%) Entre 20 y 25 Entre 40 y 45 Entre 30 y 40 100

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