Programacion 7

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones.Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual? Solucin Es un problema de programacin lineal. Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

inversin Tipo A Tipo B x y 210000 Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

rendimiento 0,1x 0,08y 0,1x+0,08y

R1 R2 R3 R4

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la regin factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4

x 0 210000

y 210000 0

x 130000

y 0

x 0

y 60000

x 0 130000

y 0 65000

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La funcin objetivo es; F(x, y)= 0,1x+0,08y Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar grficamente que el vrtice mas alejado es el D, y por tanto es la solucin ptima. Comprobarlo analticamente (es decir comprobar que el valor mximo de la funcin objetivo, F, se alcanza en el vrtice D)

2. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita uncuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer ms de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio? Solucin En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos: Tipo T. Vienesa T. Real N x y Bizcocho 1.x 1.y 150 Relleno 0,250x 0,500y 50 Beneficio 250x 400y

Funcin objetivo (hay que obtener su mximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la regin factible:

Para 0.25x+0.50y=50, x + 2y=200 x 0 200 Y 100 0

Para x + y =150

x 0

Y 150

150 0 La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125 Al eje Ox y =125

Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La regin factible la hemos coloreado de amarillo: Encontremos los vrtices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados) Se observa que la restriccin y Resolviendo el sistema: es redundante (es decir sobra)

, por reduccin obtenemos y=50, x=100

Otro vrtice es el punto C(100, 50) Y el ltimo vrtice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema: X+y=150 X=125 Cuya solucin es: X=125, Y=25 B(125, 25)

Los vrtices de la regin son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100), Si dibujamos el vector de direccin de la funcin objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200

x 0 200

Y 0 -125

Se ve grficamente que la solucin es el punto (100, 50), ya que es el vrtice mas alejado (el ltimo que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 ) Lo comprobamos con el mtodo analtico, es decir usando el teorema que dice que si existe solucin nica debe hallarse en uno de los vrtices La uncin objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vrtices obtenemos f(125,0)=31.250 f(125,25)=31.250+10.000=41.250 f(100,50)=25.000+20.000=45.000 f(0,100)=40.000 El mximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50) Conclusin: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.

3. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeo, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo mas econmica posible para la escuela. Solucin Es un problema de programacin lineal, en este caso lo que queremos es hacer mnima la funcin objetivo. Llamamos x al n de autocares de 40 plazas e y al n de autocares de 50 plazas que alquila la escuela. Entonces se tiene x ,y

Como slo hay 9 conductores se verifica que: x +y Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: 40x +50y , que simplificada quedara 4 x +5y

Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la regin factible (conjunto de puntos solucin donde se cumplen todas las condiciones) son

La funcin objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y Dibujamos las rectas auxiliares, r1 x 8 y 0 0 r2 x y 10 r3 x 0 0 r4 y 9 9 x 0 10 y 8 0

As como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.

Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la regin factible. En el dibujo es la parte amarilla.

Los vrtices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este ltimo es el punto de interseccin de las rectas r3 y r4

por reduccin

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1 ecuacin, y =4 Resolviendo grficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solucin del problema. La solucin ptima . Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vrtices y que este es el que da menor valor (mtodo analtico).

4. Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de altacalidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operacin es de 2000 euros en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el coste sea mnimo?. Solucin Organizamos los datos en una tabla:

das Mina A Mina B x y

Alta calidad 1x 2y 80

Calidad media 3x 2y 160

Baja calidad 5x 2y 200

Coste diario 2000x 2000y

La funcin objetivo C(x, y)=2000x + 2000y

Las restricciones son:

La regin factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la regin no acotada que determina el sistema de restricciones:

Los vrtices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estn dentro de la regin factible).

r1

r2

que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)

r2

r3

que nos da el punto (20, 50)

r1

r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la regin factible.

En la grfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solucin es trabajar 40 das en la mina A y 20 en la B. (mtodo grfico) Lo comprobamos aplicando el mtodo analtico: C(0, 100)=2000.100=200000 C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000 C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 C(80, 0)= 2000.80 =160000 coste mnimo

5. Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas ymecnicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio y cual es este? Sea x = n electricistas y = n mecnicos La funcin objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones La regin factible sera para estas restricciones:

Se aprecia grficamente (lnea en rojo) que la solucin ptima est en el punto (20, 20). Por tanto: 20 electricistas y 20 mecnicos dan el mximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000

6. Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo sumo, 5000plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros. El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean mximas. Solucin Sea x el n que se ofertan de tipo T, y el n que se ofertan de tipo P. n Turista Primera Total x y 5000 Ganancia 30x 40y 30x +40y

La funcin objetivo es: f(x, y)=30x +40y

Las restricciones:

La regin factible:

Los vrtices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente) El mtodo grfico nos da que el punto solucin es el B (3750, 1250)

7. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, apartir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus caractersticas nutricionales y los costos de stos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo: Leche Legumbre (lt) Niacina Tiamina 3,2 Naranjas Requerimientos

(1 porcin) (unidad) Nutricionales 4,9 0,8 0,19 93 0,25 13 15 45

1,12 1,3 0 0,2

Vitamina C 32 Costo

2

Variables de Decisin:

X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta

Funcin Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3 Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales

Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13 Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15 Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45 No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0

Compruebe utilizando nuestro Mdulo de Resolucin que la solucin ptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor ptimo V(P)=2,4145.

8. LotesConsidere que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificacin y se tiene adicionalmente la siguiente informacin: Demandas Costo Prod. Periodos (unidades) (US$/unidad) (US$/unidad) 1 2 3 4 130 80 125 195 6 4 8 9 2 1 2.5 3 Costo de Inventario

Adicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del perodo. Variables de Decisin:

Xt: Unidades elaboradas en el perodo t (Con t =1,2,3,4) It: Unidades en inventario al final del perodo t (Con t =1,2,3,4)

Funcin Objetivo: (Minimizar los Costos de Produccin e Inventarios) Min 6X1 + 4X2 + 8X3 + 9X4 + 2I1 + 1I2 + 2,5I3+ 3I4 Restricciones:

Capacidad de Produccin por Perodo: Xt =0, It >=0

Solucin ptima utilizando Solver de MS Excel (Para ver una aplicacin de esta herramienta ingrese AQUI): X1=115,X2=150, X3=100, X4=150, I1=0, I2=70, I3=45, I4=0. Valor ptimo V(P)=3.622,5

8. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.El fabricante dispone para la confeccin de 750 m de tejido de algodn y 1000 m de tejido de polister. Cada pantaln precisa 1 m de algodn y 2 m de polister. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodn y 1 m de polister. El precio del pantaln se fija en 50 y el de la chaqueta en 40 . Qu nmero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que stos consigan una venta mxima? 1Eleccin de las incgnitas. x = nmero de pantalones y = nmero de chaquetas 2Funcin objetivo f(x,y)= 50x + 40y 3Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodn 1 polister 2 x + 1.5y 750 2x + y 1000 Como el nmero de pantalones y chaquetas son nmeros naturales, tendremos dos restricciones ms: x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar grficamente las restricciones. 1,5 1 2x+3y1500 750 1000

Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos grficamente la inecuacin: 2x +3y 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 20 + 30 1 500 Como 0 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo anlogo resolvemos 2x + y 1000. 20 + 0 1 00 La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera la solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles. La solucin ptima, si es nica, se encuentra en un vrtice del recinto. stos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

6 Calcular el valor de la funcin objetivo

En la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 500 + 40500 = 20000 f(500, 0) = 50500 + 400 = 25000 f(375, 250) = 50375 + 40250 = 28750 Mximo La solucin ptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 .

La solucin no siempre es nica, tambin podemos encontrarnos con una solucin mltiple. Ejemplo Si la funcin objetivo del ejercicio anterior hubiese sido: f(x,y)= 20x + 30y f(0,500) = 200 + 30500 = 15000 f(500, 0) = 20500 + 300 = 10000 f(375, 250) = 20375 + 30250 = 15000 Mximo Mximo

En este caso todos los pares, con soluciones enteras, del segmento trazado en negro seran mximos.

f(300, 300)= 20300 + 30300 = 15000

Mximo

9. Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L y L . Para su fabricacin se1 2

necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo beneficio. 1Eleccin de las incgnitas. x = n de lmparas L1 y = n de lmparas L2 2Funcin objetivo f(x, y) = 15x + 10y 3Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 Manual L2 Tiempo

1/3 1/2 100

Mquina 1/3 1/6 80 1/3x + 1/2y 100 1/3x + 1/6y 80 Como el nmero de lmparas son nmeros naturales, tendremos dos restricciones ms: x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar grficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/30 + 1/20 100 1/30 + 1/60 80 La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera la solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles. La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto. stos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

6 Calcular el valor de la funcin objetivo En la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000 f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600 f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo La solucin ptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 .

10. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espaciorefrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeracin y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilmetro de un camin del tipo A es de 30 y el B de 40 . Cuntos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mnimo? 1Eleccin de las incgnitas. x = camiones de tipo A y = camiones de tipo B 2Funcin objetivo f(x,y) = 30x + 40y 3Restricciones

A

B

Total

Refrigerado

20

30

3 000

No refrigerado

40

30

4 000

20x + 30y 3 000 40x + 30y 4 000 x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(0, 400/3) = 30 0 + 40 400/3 = 5 333.332 f(150, 0) = 30 150 + 40 0 = 4 500 Como x e y han de ser nmeros naturales redondeamos el valor de y. f(50, 67) = 30 50 + 40 67 = 4180 Mnimo El coste mnimo son 4 180 para A = 50 yz B = 67.

11. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composicin mnima de 15unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo? 1Eleccin de las incgnitas. x=X y=Y 2Funcin objetivo f(x,y) = 10x + 30y 3Restricciones

X

Y

Mnimo

A

1

5

15

B

5

1

15

x + 5y 15 5x + y 15 x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles


6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(0, 15) = 10 0 + 30 15 = 450 f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150 f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 Mnimo El coste mnimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2.

12. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenesquieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolgrafos para la oferta, empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los precios de cada paquete sern 6.5 y 7 , respectivamente. Cuntos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el mximo beneficio? 1Eleccin de las incgnitas. x = P1 y = P2 2Funcin objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y 3Restricciones P1 P2 Disponibles Cuadernos 2 Carpetas Bolgrafos 1 2 3 1 1 600 500 400

2x + 3y 600 x + y 500 2x + y 400 x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles


6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x,y)= 6.5 200 + 7 0 = 1300 f(x,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400 f(x,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 Mximo La solucin ptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675

13. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporadaanterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 1Eleccin de las incgnitas. x = n de lotes de A y = n de lotes de B 2Funcin objetivo f(x, y) = 30x + 50y 3Restricciones

A

B

Mnimo

Camisas

1

3

200

Pantalones

1

1

100

x + 3y 200 x + y 100 x 20 y 10 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles


6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x, y) = 30 20 + 50 10 = 1100 f(x, y) = 30 90 + 50 10 = 3200 f(x, y) = 30 20 + 50 60 = 3600 f(x, y) = 30 50 + 50 50 = 4000 Mximo Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia mxima de 4000 .

14. Se dispone de 600 g de un determinado frmaco para elaborar pastillas grandes ypequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequea de 1 . Cuntas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea mximo? 1Eleccin de las incgnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeas 2Funcin objetivo f(x, y) = 2x + y 3Restricciones 40x + 30y 600 x3 y 2x x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles


6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x, y)= 2 3 + 16 = 22 f(x, y)= 2 3 + 6 = 12 f(x, y)= 2 6 + 12 = 24 Mximo El mximo beneficio es de 24 , y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeas .

15. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero slo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeo 600 . Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela. 1Eleccin de las incgnitas. x = autobuses pequeos y = autobuses grandes 2Funcin objetivo f(x, y) = 600x + 800y 3Restricciones 40x + 50y 400 x+y9 x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles


6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(0, 8) = 600 0 + 800 8 = 6 400 f(0, 9) = 600 0 + 800 9 = 7 200 f(5, 4) = 6 00 5 + 800 4 = 6 200 Mnimo El coste mnimo es de 6 200 , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeos .

16. Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero slo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeo 600 . Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo ms econmica posible para la escuela. 1Eleccin de las incgnitas. x = autobuses pequeos y = autobuses grandes 2Funcin objetivo f(x, y) = 600x + 800y 3Restricciones 40x + 50y 400 x+y9 x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles


6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(0, 8) = 600 0 + 800 8 = 6 400 f(0, 9) = 600 0 + 800 9 = 7 200 f(5, 4) = 6 00 5 + 800 4 = 6 200 Mnimo El coste mnimo es de 6 200 , y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeos .

17. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T y T , para lo que usa tres ingredientes A, B y C.1 2

Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. x= nmero de tartas T1 y= nmero de tartas T2 La funcin es: F =1000x+ 2300y La tabla es: Ingrediente Ingrediente B A Tarta T1 X Tarta T2 Y Restricciones: X + 5 y 150 X + 2 y 90 2X + y 150 x 0 y 0 1X 5Y 1X 2Y Ingrediente C

2X 1Y

Vrtices del polgono: ( 0 , 0) (0, 30) (50,20) (75,0) (70,10) Solucin : Debe fabricar 50 Tarta T1 y 20 Tarta T2

18. Una fbrica de carroceras de automviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, parahacer la carrocera de un camin, se invierten 7 das-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 das-operario. En la nave B se invierten 3 das-operario tanto en carroceras de camin como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 dasoperario, y la nave B de 270 das-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camin son de 6 millones y de 3 millones por cada auto. Cuntas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? Sean las variables: x= nmero de camiones fabricados. y= nmero de autos fabricados. La funcin a maximizar es: F = 6000000x+3000000y La tabla de das-operario para cada nave es: Nave A Das-operario (camin) X Das-operario (auto) Y 7X 2Y Nave B 3X 3Y

Restricciones: 7X + 2 y 300 3X + 3 y 270 x 0 y 0

Vrtices del polgono: ( 0 , 0)

300 ( 7 , 0)(24,66) (0,90) Solucin : Debe fabricar 24 CAMIONES Y 66AUTOS.

19. Minimizar la funcin f(x, y)=2x+8y sometida a las restricciones:

Llamando, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres ltimas restricciones, la zona de soluciones factibles sera:

Siendo los vrtices: A interseccin de r y t:

B interseccin de s y t:

C interseccin de r y s:

Siendo los valores de la funcin objetivo en ellos:

Alcanzndose el mnimo en el punto C.

20. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo yde montaa que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolvares cada una para sacar el mximo beneficio. Para la de paseo emplear 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaa 2 kgs. de ambos metales. Cuntas bicicletas de paseo y de montaa vender? Sean las variables de decisin: x= n: de bicicletas de paseo vendidas. y= n: de bicicletas de montaa vendidas. Tabla de material empleado: Acero Paseo Montaa 1 2 Aluminio 3 2 mxima.

Funcin objetivo: f(x, y)= 20.000x+15.000y Restricciones:

Zona de soluciones factibles: Vrtices del recinto (soluciones bsicas): A(0, 40) B interseccin de r y s:

C(40,0) Valores de la funcin objetivo en los vrtices:

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaa para obtener un beneficio mximo de 850.000 Bolvares.

21. Un autobs Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolvaresy a no fumadores al precio de 6.000 Bolvares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobs tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. Cul ha de ser la oferta de plazas de la compaa para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio? Sean las variables de decisin: x= n: de plazas de fumadores. y= n: de plazas de no fumadores. La Funcin objetivo: f(x, y)=10.000x+6.000y mxima Restricciones:

Zona de soluciones factibles: Vrtices: A(0, 60)

B interseccin de r y s:

C(90, 0) Valores de la funcin objetivo:

Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y as obtener un beneficio mximo de 900.000 bolvares.

22. A una persona le tocan 10 millones de bolvares en una lotera y le aconsejan que lasinvierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen ms riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son ms seguras, pero producen slo el 7% anual. Despus de varias deliberaciones decide invertir como mximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Adems, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. Cmo deber invertir 10 millones para que le beneficio anual sea mximo? Sean las variables de decisin: x= cantidad invertida en acciones A y= cantidad invertida en acciones B La funcin objetivo es:

Y las restricciones son:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vrtices del recinto: A interseccin de u,t:

B interseccin de r,u:

C interseccin de r,s:

D interseccin de s,t: La funcin objetivo toma en ellos los valores:

Siendo la solucin ptima invertir 6 millones de bolvares en acciones tipo A y 4 millones en acciones tipo B

23. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresaA le paga 5 Bs.. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos ms grandes, le paga 7 Bs. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada da es capaz de repartir 150 impresos como mximo. Lo que se pregunta el estudiante es: Cuntos impresos habr que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea mximo? Sean las variables de decisin: x= n: de impresos diarios tipo A repartidos. y= n: de impresos diarios tipo B repartidos. La funcin objetivo es: f(x, y)=5x+7y Las restricciones:


Vrtices: A(0, 100) B interseccin de s,t:

C interseccin de r,t:

D (120, 0) Siendo los valores de la funcin objetivo:

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia mxima diaria de 950 bolvares.

24. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 Bs. Le ofrecendos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 Bs el kg. y las de tipo B a 80 Bs. el kg. Sabiendo que slo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como mximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el kg. de tipo B a 90 ptas., contestar justificando las respuestas: a. Cuntos kg. de naranjas de cada tipo deber comprar para obtener mximo beneficio? b. Cul ser ese beneficio mximo? Sean las variables de decisin: x= kg. de naranjas tipo A comprados. y= kg. de naranjas tipo B comprados. La funcin objetivo que da el beneficio es: Y las restricciones:


Y los vrtices: A(0, 625) B interseccin de r,s:

C(700, 0) Y en ellos la funcin objetivo toma los valores:

Ha de comprar 200 kgs. de naranjas A y 500 kgs. de naranjas B para obtener un beneficio mximo de 6.600 bolvares

25. Un sastre tiene 80 m de tela de algodn y 120 m de tela de lana. Un traje requiere 12 2

m2 de algodn y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el nmero de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. 1. Sean las variables de decisin: x= nmero de trajes. y= nmero de vestidos a= precio comn del traje y el vestido. Funcin objetivo: Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vrtices: A(0, 40) B interseccin de r y s:

C(40, 0) Los valores de la funcin objetivo son:

El mximo beneficio lo obtendr fabricando 20 trajes y 30 vestidos.

26. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones debolvares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El nmero de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. Cuntas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio mximo? Sean las variables de decisin: x= n: de viviendas construidas tipo A y= n: de viviendas construidas tipo B. La funcin objetivo es: Las restricciones son:

La zona de soluciones factibles queda, pues: Siendo los vrtices: A interseccin de r,s:

B interseccin de r,t:

C (0, 0) Y la funcin objetivo toma los valores:

Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio mximo de 130 millones de bolvares.

27 Cierta persona dispone de 10 millones como mximo para repartir entre dos tipos deinversin (A y B). En la opcin A desea invertir entre 2 y 7 millones. Adems, quiere destinar a esa opcin, como mnimo, tanta cantidad de dinero como a la B. a. Qu cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar grficamente el conjunto de soluciones. b. Sabiendo que el rendimiento de la inversin ser del 9 % en la opcin A y del 12 % en la B, Qu cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cunto ascender a) Sean las variables de decisin: x= cantidad invertida en acciones tipo A y= cantidad invertida en acciones tipo B Las restricciones son:

Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno de los puntos de la zona sombreada de la siguiente grfica:

b) La funcin de beneficios es:

Y los vrtices de la zona sombreada son: A interseccin de r,t:

B interseccin de t,u:

C interseccin de s,u, o sea C(7, 3) D(7, 0) E(2, 0) Los valores de f en esos puntos son:

Ha de invertir, pues 5 millones de bolvares en A y 5 millones en B para obtener un beneficio mximo de 1,05 millones, o sea 1.050.000 bolvares.

28 Una refinera de petrleo tiene dos fuentes de petrleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35dlares por barril y crudo pesado a 30 dlares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinera produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefaccin (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinera ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mnimo. Sean las variables de decisin: X= nmero de barriles comprados de crudo ligero. Y= nmero de barriles comprados de crudo pesado. La tabla de produccin de cada producto con arreglo al tipo de crudo es: G Ligero Pesado 0,3 0,3 C 0,2 0,4 T 0,3 0,2

La funcin objetivo que hay que minimizar es: f(x, y)=35x+30y Las restricciones:

Y la zona de soluciones factibles:

Los vrtices son: A(0, 3000000) B interseccin de r,s:

C(4000000, 0) Y en ellos la funcin objetivo presenta los valores:

Siendo la solucin de mnimo coste la compra de 3.000.000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo pesado para un coste de 90.000.000 dlares.

29

La fbrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al

pblico de una mesa es de 2.700 Bs. y el de una silla 2.100Bs. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 Bs. de materias primas y de 1.400 Bs. de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1.000 Bs de costos laborales. La construccin de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintera y un proceso final de acabado (pintura, revisin de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintera y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintera y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero slo puede contar semanalmente con un mximo de 80 horas de carpintera y un mximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como mximo, 40 mesas a la semana. No ocurre as con las sillas, para los que no hay ningn tipo de restriccin en cuanto al nmero de unidades fabricadas. Determinar el nmero de mesas y de sillas que semanalmente deber fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Sean las variables de decisin: x= n: de soldados fabricados semanalmente. y= n: de trenes fabricados semanalmente. La funcin a maximizar es: La tabla de horas de trabajo: Carpintera Soldados Trenes 1 1 Acabado 2 1

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es: Siendo los vrtices: A(0, 80) B interseccin de r,s:

C interseccin de s,t:

D(40, 0). En los que la funcin objetivo vale:

Debiendo fabricar 20 mesas y 60 sillas para un beneficio mximo de 18.000 Bs.

30

Una campaa para promocionar una marca de productos lcteos se basa en el reparto

gratuito de yogures con sabor a limn o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limn necesita para su elaboracin 0,5 gr. de un producto de fermentacin y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentacin. El coste de produccin de un yogurt de fresa es es doble que el de un yogurt de limn. Cuntos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaa sea mnimo? Sean las variables de decisin: x= nmero de yogures de limn producidos. y= nmero de yogures de fresa producidos. a= coste de produccin de un yogurt de limn. La funcin a minimizar es: f(x, y)=ax+2ay Y las restricciones:

La zona de soluciones factibles es: Siendo los vrtices: A(0, 45000) B(0, 30000) C interseccin de r y s:

En los que la funcin objetivo toma los valores:

Hay que fabricar, pues, 10.000 yogures de limn y 20.000 yogures de fresa para un costo mnimo de 50.000a bolvares.

31

Una fbrica de carroceras de automviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para

hacer la carrocera de un camin, se invierten 7 das-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 das-operario. En la nave B se invierten 3 das-operario tanto en carroceras de camin como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 dasoperario, y la nave B de 270 das-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camin son de 6 millones de Bs. .y de 3 millones por cada auto. Cuntas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias? Sean las variables de decisin: x= nmero de camiones fabricados. y= nmero de autos fabricados. La funcin a maximizar es: f(x, y)=6x+3y La tabla de das-operario para cada nave es: Das-operario (camin) Nave A Nave B 7 3 Das-operario (auto) 2 3

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es: Siendo los vrtices:

A(0, 90) B interseccin de r,s:

En los que la funcin objetivo toma los valores:

Hay que fabricar 24 camiones y 66 automoviles para un beneficio mximo de 342 millones de bolvares.

32

Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C.

Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. a. Si se venden las tartas T1 a 1.000 bolvares la unidad y las T2 a 2.300 bolvares. Qu cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 Bs. Cul ser el precio de una tarta del tipo T2 si una solucin ptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2? a) Sean las variables de decisin: x= nmero de tartas T1 y= nmero de tartas T2 La funcin objetivo es: f(x, y)=1000x+2300y La tabla de contingencia es: Ingrediente A Tarta T1 Tarta T2 1 5 Ingrediente B 1 2 Ingrediente C 2 1

Restricciones:


Vrtices: A(0, 30) B interseccin de r.s:

C interseccin de s,t:

D (75, 0) Valores de la funcin objetivo:

Hay que fabricar 50 tartas T1 y 20 tartas T2 para un beneficio mximo de 96.000 Bs. b) Llamemos ahora p al nuevo precio de la tarta T2. La funcin objetivo es entonces: f(x, y)=1500x+py Siendo iguales las restricciones. Si una solucin ptima consiste en fabricar 60 tartas T1 y 15 T2, se tendr que: f(60, 15)=f(p)=1500.60+15p es mximo Para los puntos A, B, C y D anteriores:

Se ha de cumplir, el el punto (60, 15) ha de ser mximo que: El menor valor que cumple esta condicin es p=3000 Bs. y con l el beneficio sera: Bolvares

33

Una fbrica produce chaquetas y pantalones. Tres mquinas (de cortar, coser y teir) se

emplean en la produccin. Fabricar una chaqueta representa emplear la mquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la mquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teir ninguna. La mquina de teir se puede usara durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantaln. ?Cmo emplearamos las mquinas para conseguir el beneficio mximo? Sean las Variables de decisin: x= nmero de chaquetas fabricadas. y= nmero de pantalones fabricados. Funcin objetivo: Tabla de uso de las mquinas: Cortar Chaqueta Pantaln 1 1 Coser 3 1 Teir 1 -

Restricciones:


Vrtices: A(0, 7) B interseccin de s,t:

C interseccin de r,s:

D (3,0) Valores de la funcin objetivo:

Como el mximo se alcanza para valores no enteros y no se puede fabricar un nmero no entero de chaquetas ni pantalones tomamos como solucin aproximada 2 chaquetas y 5 pantalones lo cual sera exacto cambiando la restriccin s por de 41 euros. y obteniendo con ello un beneficio

34 Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando unamarca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague slo a 250 Bs. el litro de aceite C y a 125 Bs. el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o ms, y 2) La cantidad comprada de aceite C est comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un mximo de 3.125 Bolvares, se pide: a. Representa grficamente los modos de acogerse a la oferta. b. Acogindonos a la oferta, Cul el la mnima cantidad de aceite D que podemos comprar? Cul es la mxima de C? a) Sean las variables de decisin: x= litros comprados de aceite C y= litros comprados de aceite D Las restricciones del problema son:

Y la zona mediante la cual podemos acogernos a la oferta es la representada por cada uno de los puntos de la parte sombreada en la siguiente grfica.

b) La mnima cantidad de aceite D que debemos comprar acogindonos a la oferta (punto ms bajo de la zona) es el punto interseccin de las rectas r,t:

La mxima cantidad de aceite C para acogernos a la oferta (punto ms a la derecha de la zona) es la interseccin de las rectas t,u:

Conclusin, la mnima cantidad de D es 2 litros y la mxima de C 10 litros.

35 La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo Aa un precio de 1,5 millones de bolvares, y el modelo B en 2 millones. La oferta est limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaa, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de bolvares Cuntos automviles de cada modelo deber vender para maximizar sus ingresos? Sean las variables de decisin: x= autos vendidos del modelo A y= autos vendidos del modelo B Funcin objetivo:

Restricciones:


Vrtices: A interseccin de s,t:

B Interseccin de r,s:

C(20, 0) D(4, 0) Valores de la funcin:

Por lo cual se han de vender 20 autos modelo A y 10 autos modelo B para un beneficio mximo de 50 millones de bolvares.

36

En una explotacin agrcola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio

de una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades de trabajo de explotacin son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa slo 2 jornadas. La subvencin de la Unin Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por Ha. de B, siendo la subvencin mxima por explotacin agrcola de 200 euros. a. Representar el conjunto factible. b. Calcular el beneficio mximo. a) las variables de decisin son: x = nmero de hectreas del cultivo A y = nmero de hectreas del cultivo B La funcin objetivo es:

Siendo:

Las restricciones son:

Y el conjunto factible es: Siendo dicho conjunto el segmento de la recta r comprendido entre los puntos A (interseccin de r,s) y B(interseccin de r,t)

Valores de la funcin objetivo en A y B:

Obteniendo el mximo beneficio para 10 Ha de tipo A y 15 de tipo B, siendo entonces el beneficio de 650.000 euros.

37 Se considera la regin del plano determinada por las inecuaciones: x + 3

y; 8

x+

y ; y x - 3 ; x 0; y 0 a) Dibujar la regin del plano que definen, y calcular sus vrtices. b) Hallar el punto de esa regin en el que la funcin F(x,y) = 6x + 4y alcanza el valor mximo y calcular dicho valor. a ) Hay que dibujar la regin factible correspondiente. Para ello vamos a representar las rectas: x-y=-3;x+y=8;x-y=3 La regin factible es la determinada por los vrtices O, A, B, C y D. Las coordenadas de los vrtices son: A(3,0) ; B(5.5, 2.5) ; C(2.5, 5.5) ; D(0,3) y O(0,0)

b) Para determinar dnde la funcin objetivo F(x,y) = 6x + 4y alcanza su mximo, calculamos los valores que toma en los vrtices: F(A) = 18 ; F(B) = 43 ; F(C) = 37 ; F(D) = 12 ; F(O) = 0. Luego la funcin alcanza su mximo en el vrtice B y su valor es 43.

38 Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescarcomo mximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, adems, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 Bs/kg y el precio del rape es de 1.500 Bs/kg, qu cantidades debe pescar para obtener el mximo beneficio? Sean las variables de decisin: x = nmero de toneladas de merluza y = nmero de toneladas de rape Del enunciado deducimos las restricciones: Como mximo 2000 toneladas de merluza: x 2000 Como mximo 2000 toneladas de rape: y 2000 Las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas: x + y 3000 La funcin objetivo que da el beneficio en miles de pesetas y que hay que maximizar viene dada por: f(x,y) = 1000x + 1500y Representando las rectas: x = 2000, y = 2000 , x + y = 3000 correspondientes a las fronteras de las restricciones obtenemos la regin factible:

Donde los vrtices obtenidos son: A(2000,0) ; B(2000, 1000) ; C(1000, 2000) , D(0,2000) y O(0,0) Al sustituir sus coordenadas en la funcin objetivo f resulta : f(A) = 2000 millones de ptas. ; f(B) = 3500 millones de pesetas; f(C) = 4000 millones de pesetas ; f(D) = 3000 millones de pesetas y f(O)= 0 ptas. La funcin objetivo alcanza su mximo en el vrtice C, por lo que las cantidades a pescar son 1000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape.

39 Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A est compuesto de un 30%de p y un 40% de q, B est compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a. Qu mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b. Qu mezcla hace q mnimo? Sean x e y, respectivamente, los gramos de las pinturas A y B que aparecen en la mezcla. Traduzcamos a inecuaciones las restricciones a las que se han de someter esas cantidades. La cantidad de A es mayor que la de B: x > y Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos: 30 x - y 10 B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos: 30 y 10 Adems sabemos que : x 0 , y 0. Veamos las cantidades de pigmento de cada tipo: Cantidad de pigmento de tipo p: Fp (x, y) = 0.3x + 0.5y Cantidad de pigmento de tipo q: Fq (x, y) = 0.4x + 0.2y La regin factible es la que aparece en la imagen del margen. Sus vrtices son A(20,10) , B(40,10), C(60,30) y D(40,30) a) La mayor cantidad de pigmento p, se produce para 60 gramos de la pintura A y 30 de la B: Fp (40,30) = 0.340 + 0.530 = 27 ; Fp (20,10) = 11 ; Fp (40, 10) = 17; Fp (60, 30) = 33 b) La menor cantidad de pigmento q, se produce para 20 gramos de la pintura A y 10 de la B: Fq (40, 30) = 0.440 + 0.230 = 22; Fq (20, 10) = 10 ; Fq (40, 10) = 18 ; Fq (60, 30) = 30

40 Problema de la dietaEl problema se llama as porque en sus orgenes consisti nicamente en En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 determinar la dieta humana de una sustancia B. En el mercado slo se encuentran dos clases de ms econmica. compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y En su forma industrial ms cinco de B, y el tipo Y, con una composicin de cinco unidades de A y corriente, el problema una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de consiste en saber cmo mezclar de la forma ms 3000 pesetas. Se pregunta: econmica posible las Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo ? materias primas que constituyen un producto de frmula qumica conocida. Podemos organizar la informacin mediante una tabla: Unidades Sustancia A Sustancia B Costo Compuesto X x Compuesto Y y Total x 5y 15 5x y 15 1000x 3000y 1000x + 3000y

La funcin objetivo del costo total, f, si se emplean x kg del compuesto X e y kg del compuesto Y, es : Z = f(x,y) = 1000x + 3000y El conjunto de restricciones es: x 0 , y 0 ; x + 5y 15 ; 5x + y 15 . Con estos datos representamos la regin factible y las rectas de nivel de la funcin objetivo. De todas las rectas de nivel que tocan a la regin factible, hace que el costo Z sea mnimo la que pasa por el vrtice A(2.5,2.5). La solucin ptima se obtiene comprando 2.5 unidades de X y 2.5 unidades de Y. El costo total es : Z = f(2.5,2.5) = 10002.5 + 30002.5 = 10.000 bolvares

41 Considera el recinto de la figura en el que estn incluidos todos los lados y todoslos vrtices. a) Escribe la inecuaciones que lo definen b) Maximiza la funcin Z = x + y a) Hallamos la ecuacin de la recta que pasa por (2,0) y (0,2): (0,2) y = mx + n (2,0) 0 = m2 + 2 m=-1 2 = m0 + n n=2 y=-x+2 x+y=2

Los puntos del recinto (por ejemplo, el (0,0) ) verifican x + y 2 Ecuacin de la recta paralela al eje X que pasa por (0,2) : y = 2. Los puntos del recinto verifican y 2 Ecuacin de la recta paralela al eje X que pasa por (0,-1): y = -1 Los puntos del recinto verifican y - 1 Ecuacin de la recta paralela al eje Y que pasa por (2,0) : x = 2 Los puntos del recinto verifican x 2 Ecuacin de la recta paralela al eje Y que pasa por (-2,0): x = - 2 Los puntos del recinto verifican x - 2 Las inecuaciones que cumplen los puntos del recinto son: x+y -2 -1 x y 2 2 2

b) Como la direccin de la funcin Z = x + y a maximizar es la misma que la del borde x + y = 2, resulta que esta recta es tal que deja todo el recinto a un lado, precisamente del lado que hace x + y 2 . Por tanto, el mximo de Z = x + y para (x,y) en el recinto se alcanza para cualquier punto de ese segmento del borde y tiene por valor 2.

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Programacion 7