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Prof. José Luis Quintero 1

PROGRAMACIÓN LINEAL (8080741) Formulación de Modelos – Problemas propuestos – Mayo 2016

Para cada caso, formule el modelo de programación lineal correspondiente.

1. En una pequeña empresa se fabrican dos productos plásticos, 1 y 2. Cada producto debe

pasar por una máquina de cepillado A y otra de pulido B antes de salir a la venta. El producto

1 se vende a Bs. 60 por unidad y el 2, a Bs. 50 por unidad. El tiempo requerido por cada unidad de los productos 1 y 2 se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo requerido por unidad de producto

Producto En máquina A En máquina B

1 2 min. 3 min.

2 4 min. 2 min.

Tiempo total disponible 48 min. 36 min.

Se desea determinar el número de unidades que se debe fabricar de cada producto de manera

de maximizar la ganancia (bruta) por ventas.

2. Una compañía elabora tres productos 1, 2 y 3. Cada producto requiere un cierto tiempo de

producción en cada uno de los tres departamentos A, B y C de la compañía, como se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo en cada departamento (horas/unidad)

Producto A B C

1 2 2 1

2 4 1 3

3 2 2 3

Tiempo total disponible (hr) 60 40 30

Las ganancias netas por venta de los productos son: Producto 1 Bs. 10/unidad

2 Bs. 20/unidad

3 Bs. 12.50/unidad Construya un modelo matemático que permita determinar la cantidad de unidades que debe

fabricarse de cada producto para que la ganancia sea la máxima.

3. Una compañía fabricante de gabinetes de cocina elabora dos tipos: económico (E) y de lujo

(L), en sus tres departamentos de producción A, B y C. En A se elaboran las armaduras de

madera del tipo E; en B se elaboran las armaduras del tipo L y en C se ensamblan y se pintan los dos tipos. El tiempo de producción por cada unidad en cada departamento, así como la

ganancia neta por venta de los gabinetes, se muestra en la siguiente tabla:

Tiempos de producción por departamento

Tiempo en cada dpto.

(horas/unidad)

Ganancia por unidad

(Unidad x 100)

Producto A B C

E

L

2 0 6

0 4 4

6

10

Tiempo disk. (hr) 8 24 36


La compañía desea determinar el número de unidades del modelo E y el número de unidades

del modelo L que debe fabricar a fin de maximizar las ganancias.

4. Un agricultor tiene algunas hectáreas de tierra donde puede sembrar maíz, trigo y soya. Cada

hectárea de maíz cuesta Bs. 500 en preparación, requiere 7 días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs. 150. Una hectárea de trigo cuesta Bs. 600 en preparación, requiere 10

días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs. 200. Una hectárea de soya cuesta Bs.

350 en preparación, requiere 8 días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs. 100. Si el agricultor dispone de Bs. 500000 para preparación y puede contar con 8000 días-hombre

de trabajo, ¿cuántas hectáreas debe sembrar de cada cultivo para maximizar las ganancias?

5. Una compañía de productos químicos recibe una orden de 1200 Kg de un determinado

producto que se obtiene de la mezcla de tres ingredientes básicos. Los costos de estos

ingredientes son: Ingrediente Costo (Bs/kg)

1 12.50

2 15.50 3 20.00

Se exige que el producto elaborado cumpla con los siguientes requisitos:

a. Debe contener al menos 198 Kg del material 2 b. No puede contener más de 350 Kg del material 1

c. Debe contener por lo menos 125 Kg del material 3

Determine la mezcla que cumple con los requisitos, a un costo mínimo.

6. Con el objeto de mejorar la calidad de un tipo de combustible se emplean dos aditivos, 1 y 2.

Se requiere que cumpla: a. La cantidad total de aditivos no debe exceder ½ Kg/barril

b. La cantidad de aditivo 2 más dos veces la cantidad de aditivo 1 debe ser por lo menos ½

Kg/barril c. 1 Kg de aditivo 1 añade 10 octanos/kg al combustible y 1 Kg de aditivo 2 añade 20

octanos/Kg. Para asegurar un buen funcionamiento de los motores donde se usa el

combustible, el número de octanos no puede ser menor de 6 d. El aditivo 1 cuesta Bs. 153/Kg y el aditivo 2 cuesta Bs. 400/Kg

Se quieren determinar las cantidades de aditivos 1 (llámese x1) y 2 (llámese x2) a fin de

minimizar el costo total.

7. Un pequeño taller manufactura 2 tipos de productos de madera, 1 y 2. Cada producto 1

requiere 4 horas de torno y 2 horas de pulitura. Cada producto 2 requiere dos horas de torno y 5 horas de pulitura. El taller disponde de dos tornos y 3 pulidoras en la semana de 40 horas.

La ganancia que se obtiene por la venta de cada producto 1 es de Bs. 15 y de Bs. 20 por la

venta de cada producto 2. ¿Cuántos artículos de cada tipo debe fabricar el taller a fin de maximizar sus ganancias? (Suponiendo que todo lo que fabrica lo puede vender)


8. Supongamos dos tipos de alimentos sintéticos A y B. Sean sus componentes nutritivos los

siguientes: Componentes nutritivos de cada alimento

Alimento Calorías por unidad de peso

Proteínas por unidad de peso

Grasas por unidad de peso

A

B

100

200

50

10

0

30

Las unidades en que se miden las proteínas y las grasas son arbitrarias y no es necesario

siquiera especificarlas. Del mismo modo, el número de unidades de cada componente es

totalmente artificial. Vamos a suponer que las necesidades diarias mínimas de un hombre activo son 2500 calorías; 350 de proteínas; 150 de grasas. ¿Qué alimento o combinación de

alimentos debería emplearse: 1) para cubrir las necesidades mínimas diarias de nutrición; 2)

con el mínimo de peso total ingerido?

9. Un pequeño inversionista quiere comprar acciones de dos compañías (1 y 2). Cada acción de

la compañía 1 le suministrará al final del año una ganancia estimada de Bs. 3 y cada acción de la compañía 2 le suministrará una ganancia estimada de Bs. 5. La compañía 1 no vende más

de 800 acciones. Además, cada acción de la compañía 1 cuesta Bs. 10 y cada acción de la 2

cuesta Bs. 20. El inversionista dispone de un máximo de Bs. 16000 para la compra de acciones. Designe por x1 y x2 el número de acciones que se deben comprar de las compañías

1 y 2 respectivamente. Se quiere construir un modelo matemático que permita determinar los

valores de x1 y x2 para que el inversionista maximice sus ganancias.

10. Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea

de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierto

componente electrónico, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas

del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente.

Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.

11. Un hacendado cría cerdos para su venta a distribuidores de productos de ganado porcino. El

hacendado desea determinar la cantidad de alimento que debe ser suministrado a cada cerdo,

a fin de cumplir con ciertos requisitos de nutrición y a la vez con un costo mínimo. La tabla que se muestra a continuación, da los ingredientes nutritivos básicos (por cada kilogramo de

alimento tipo 1, tipo 2 y tipo 3), el número requerido y el costo por Kg. de alimento.

Ingredientes nutritivos básicos por cada Kg de alimento

Ingredientes

nutritivos

Tipo

1

Tipo

2

Tipo

3

Mínimo

Requerido

Carbohidrato

Proteínas

Vitaminas

9

3

1

2

8

2

4

6

6

20

18

15

Costo (Bs/Kg) 7 6 5

12. Una compañía manufacturera fabrica dos productos 1 y 2. Como se indica en la tabla anexa,

cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los tres departamentos.

Posteriormente en la tabla que sigue se indica el hecho de que cada departamento tiene


actualmente una cantidad fija de horas-hombre disponibles por semana. El problema consiste

en decidir qué cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción con el propósito de maximizar la

ganancia. La ganancia por cada unidad de producto 1 es Bs. 1 y de producto 2 es de Bs. 1.50.

(Suponiendo que todo lo que produce lo puede vender) Requerimientos de tiempo de manufacturación para producir una unidad de producto por

departamento.

Producto Dpto A Dpto B Dpto C

1

2

2

2

1

2

4

2

Límites de la capacidad de producción

Departamento

Horas-hombre Disponible por

Semana

A B

C

160 120

280

13. Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi-1 y HiFi-2, en la misma línea de

ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las

estaciones de trabajo son: Tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo

Minutos por unidad de

Estación

de

Trabajo

HiFi-1

HiFi-2

1

2

3

6

5

4

4

5

6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin

embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuyen al 10%,

14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán

de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en las tres

estaciones.

14. Para proveer de nitrógeno (N), fósforo (P) y cal (L) suficientes a las hectáreas de su granja, J.

Pérez compra x sacos de A e y sacos de B por Ha, siendo A y B dos clases de fertilizantes comerciales. Los datos necesarios se dan en la tabla siguiente:

Información al problema de la granja de J. Pérez

N P L Primer Año – Precio/Saco Segundo Año – Precio/Saco

A

B

6

6

2

9

8

15

$ 5

$ 10

$ 6

$ 1

Mín nec. por Ha 108 85 235

Hallar, para cada año, los valores de x e y que proporcionen el mínimo necesario de fertilizante con el mínimo costo por Ha.


15. En una institución ha sido acordado realizar un estudio relacionado con el problema del

rendimiento estudiantil, para lo cual serán designados miembros del personal de dos departamentos que proporcionarán sociólogos e investigadores respectivamente.

En la siguiente tabla se indican la distribución del tiempo y costos por semana:

Distribución de tiempo y costo

Horas de trabajo semanal

Sociólogos Investigadores

Número de

horas exigidas

cada semana

Trabajo de campo Trabajo de investigación

Costo por semana

20 30 60 10

5000 3000

170 270

¿Cuántos sociólogos y cuántos investigadores deben destinarse para realizar el estudio de modo que el costo sea mínimo y de manera que se cumplan los requisitos y tiempo de trabajo

semanal?

16. La WYNDOR GLASS CO. produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y

puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta

1, los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y en la 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general ha

decidido reorganizar la línea de producción. Se descontinuarán varios productos no rentables y

se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos que han tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto

1) es una puerta de vidrio de 8ft con marco de aluminio. El otro (producto 2) es una ventana

grande (4x6ft) para vidrio doble con marco de madera. El departamento de mercadotecnia ha sacado por conclusión que la compañía puede vender todo lo que pueda producir de

cualquiera de los productos. Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma

capacidad de producción en la planta 3, no es obvio que la mezcla de los dos productos sería la más redituable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de

operaciones que estudiara el asunto. Después de hacer algunas investigaciones, el

departamento mencionado determinó: 1) el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta que estará disponible para estos productos, 2) el porcentaje de esta capacidad que

requiere cada unidad producida por minuto y 3) la ganancia unitaria por cada producto. Esta

información se resume en la siguiente tabla: Capacidad usada por unidad de tasa de producción

Planta Producto 1 2

Capacidad disponible

1

2 3

1 0

0 2 3 2

4

12 18

Ganancia unitaria $3 $5

De inmediato el departamento de operaciones reconoció éste como un problema de

programación lineal clásico de mezcla de productos y emprendió la tarea de formular y

resolver el problema.


17. Una industria de productos químicos decide abordar el problema de la contaminación y a la

vez incrementar las utilidades que obtiene en la venta de un producto A. Con estos objetivos la industria introduce un sistema S1 de producción, diferente al S0 que actualmente utiliza y

mediante el cual se pierden 10 gramos de un compuesto B y 50 gramos de otro compuesto C

por cada kilogramo que obtiene de A. Mediante el sistema S1 se pierden 20 y 30 gramos de B y C respectivamente por cada kilogramo del producto A. Mediante los sistemas S0 y S1 la

industria obtiene utilidades de Bs. 0.35 y Bs. 0.63 por cada Kilogramo de A. Por otra parte, la

industria no puede, debido a normas legales de contaminación, permitir emanaciones mayores que 10000 Kg y 40000 Kg de los compuestos B y C respectivamente. ¿Cuántos kilogramos del

producto A deben producirse en cada sistema para optimizar la utilidad, cumpliendo con las

normas que regulan la contaminación? ¿Cuál es la utilidad máxima?

18. Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pinturas que produce colorantes para

interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas

diarias; la de B es de 8 toneladas por día. Los requisitos diarios de materias primas por

tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue:

Requisitos diarios de materias primas por tonelada de pintura para interiores y exteriores

Toneladas de materia prima por tonelada de pintura

Exterior

Interior

Disponibilidad Máxima

(toneladas)

Materia prima A Materia prima B

1 2

2 1

6 8

Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no

puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El

precio al mayoreo por tonelada es $3000 para la pintura de exteriores y $2000 para la pintura

de interiores. ¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto?

19. Una compañía desea fabricar una nueva aleación compuesta de 30% de plomo, 20% de zinc y 50% de latón. La materia prima se puede obtener de 5 materiales (1, 2, 3, 4 y 5) cuyas

propiedades y costos por Kg se señalan en la tabla siguiente:

Propiedades y costos de cada material por Kg.

Material

Propiedad

1

2

3

4

5

% plomo

% zinc % latón

30

60 10

10

20 70

50

20 30

10

10 80

50

10 40

Costo (Bs/Kg) 8.5 6 8.9 5.7 8.8

El objetivo es determinar las proporciones que deben tomarse de los materiales 1, 2, 3, 4 y 5

para formar 1 Kg de la nueva aleación a un costo mínimo.


20. Todo almacén tiene potencialmente más artículos para exhibir y vender de lo que permite el

espacio. Por consiguiente el problema que afronta el administrador de un almacén consiste en decidir cuáles articulos debe almacenar y cuánto espacio debe asignar a cada artículo. Este es

un problema de distribución de recursos escasos, que conduce por sí mismo, a una

formulación de programación lineal. Para simplificar el problema se ha restringido el número de artículos y el espacio disponible, sin embargo con cantidades más reales la formulación y el

método de solución permanecen invariables.

Se han acumulado los siguientes datos:

Número

del artículo

Demanda

Esperada

Ganancia/

unidad, centavos

Espacio/

unidad, pulg2

1 50 2 10

2 35 2 7

3 25 3 9

4 20 4 11

5 45 4 11

6 50 6 12

7 45 5 14

8 40 5 14

9 30 6 10

10 50 4 8

11 35 2 14

12 50 6 8

13 20 5 11

14 25 3 12

15 30 4 9

16 20 2 7

17 60 2 10

18 35 1 16

19 25 5 11

20 45 4 15

Si todos los artículos fueran almacenados hasta sus niveles esperados de demanda, se

requerirían aproximadamente 8105 pulgadas cuadradas de área de armario. El administrador sólo dispone de 5760 pulgadas cuadradas de espacio para distribuir estos artículos y por

consiguiente el problema consiste en repartir el espacio para maximizar la ganancia. El

administrador quiere imponer algunas restricciones arbitrarias a causa de las preferencias de los clientes, compromisos previos, etc. El administrador requiere cantidades mínimas para la

exhibición de cuatro artículos.

Cantidades mínimas para determinados artículos

Número

del

artículo

Cantidad

mínima

1 10

12 10

16 10

17 10


21. Un chef de restaurant ha constatado que su clientela prefiere los platos mixtos de mariscos y

que puede ofrecer indistintamente: • Platos mixtos de Bs. 800 que constan de: 5 calamares, 2 camarones y 1 ostra

• Platos mixtos de Bs. 600 que constan de: 3 calamares, 3 camarones y 3 ostras

El dispone de 30 calamares, 24 camarones y 18 ostras ¿Cómo debe él disponer de estos mariscos para obtener un máximo de ganancia?

22. El problema de confrontar las necesidades de un trabajo a los recursos humanos disponibles, ha sido un programa de investigación continuo. El problema de asignación de personal es

primordial en esta investigación y se puede plantear y resolver como un modelo de

programación lineal. Como un ejemplo de lo anterior, tomemos un centro de reclutamiento cuando hay poco movimiento de negocio. Sólo tres reclutas están procesándose en el centro

del campo P.L.; los cuales llamaremos Manuel, Fernando y Juan. Los tres han tomado una

serie de pruebas ó tests para determinar su aptitud como radio-operadores, programador de computadoras y oficinista. Su puntuación se muestra en la siguiente tabla:

Radio-operador Computadora Oficinista

Manuel 5 4 7

Fernando 6 6 3

Juan 8 11 2

Mientras más alta es la puntuación, mayor es la aptitud del recluta para el trabajo

correspondiente. El problema a que se enfrenta el centro es, como deben hacerse las asignaciones de cada hombre a cada trabajo, para maximizar la utilidad de los servicios de los

reclutas.

23. Una viuda dispone de un capital de Bs. 100000 y tiene opción de invertir su dinero en dos

planes:

• PLAN A: Garantiza que cada bolívar invertido ganará 70 céntimos cada año • PLAN B: Garantiza que cada bolívar invertido ganará Bs.2 cada dos años

¿Cómo debería colocar su capital para aumentar sus ganancias al cabo de tres años?

24. Un estudiante debe vivir con recursos económicos limitados y así debe cocinar él mismo para

lograr comer hasta fin de mes. Una vez en un inexplicable acto de generosidad, invita a comer

a tres compañeros. Decide hacer carne y papas asadas. Como conoce algo sobre requerimientos dietéticos decide que la comida debe tener por lo menos 4000 calorías y 200

gr. de proteínas. Su problema consiste en encontrar la combinación de carnes y papas que le

permita alcanzar el requerimiento mínimo de calorías y proteínas al costo mínimo. Se sabe que la carne proveerá 1200 calorías y 125 gr. de proteínas y que cuesta Bs. 1 por libra. Las

papas cuestan sólo Bs. 0.25 por libra y proporcionan 400 calorías y 12 gr. de proteínas por

libra.

25. El ejército está interesado en construir almacenes en tres estados. El costo por cada sitio es el siguiente:

• Estado A: Bs 20000000

• Estado B: Bs 30000000 • Estado C: Bs 24000000

Las necesidades de inventario requieren la construcción de por lo menos 15 almacenes. Sin

embargo, el departamento de Planificación ha especificado que el número de almacenes en A


sea al menos el doble del número de almacenes en B. Adicionalmente, el número total de

empleados no debe exceder a 4000; cada almacén en A empleará 200, en B cada uno empleará 750 y cada uno en C empleará 300. Se desea determinar la cantidad de almacenes

en A, B y C a fin de cumplir los requerimientos a un costo mínimo.

26. Suponga que una compañía opera tres plantas envasadoras de un producto de bebidas

gaseosas, localizadas en Puerto La Cruz, Maracaibo y Ciudad Bolívar. Las envasadoras pueden

llenar 250, 600 y 800 cajas de latas por día, respectivamente. Los distribuidores del producto tienen cinco almacenes localizados en Coro, Mérida, Caracas, Maturin y la Isla de Margarita.

Las envasadoras desean determinar el número de cajas que deben ser enviadas desde las tres

envasadoras hasta los cinco almacenes, de tal manera que cada almacén obtenga tantas cajas como pueda vender diariamente, a un costo total de transporte mínimo. Los costos unitarios

de transporte desde cada envasadora a cada distribuidor sean los siguientes:

Distribuidores 1 2 3 4 5

1 1.8 2.4 0.7 5.6 2.3

Envasadoras 2 4.1 6.2 5.0 3.1 1.8

3 6.3 4.9 0.9 0.8 4.0

Suponga además que los requerimientos diarios de los distribuidores 1, 2, 3, 4 y 5 son

respectivamente, 200, 400, 300, 450 y 300.

27. Suponga que una fábrica desea producir una aleación Z, con 30% del metal A, 30% del metal

B y 40% del C. Suponga además que hay nueve aleaciones en el mercado cuya composición y

precios se conocen y estan señalados en la tabla. Se desea determinar la cantidad que debe comprarse de cada una de las nueve aleaciones, para formar un kilogramo de la aleación al

menor costo posible.

Aleación 1 2 3 4 5 6 7 8 9

% A

% B

% C

10

10

80

10

30

60

40

50

10

60

30

10

30

30

40

30

40

30

30

20

50

50

40

10

20

30

50

Costo Bs/Kg 82 86 116 120 152 150 146 138 146

28. Suponga que en la fábrica F, la gerencia de producción considera conveniente descontinuar un

producto que tiene poco margen de ganancia y dedicar esa capacidad de producción para

fabricar uno, dos y hasta tres nuevos productos. La capacidad disponible en las máquinas A, B y C así como el número de horas que requiere cada unidad de los productos se muestra en la

tabla. El departamento de ventas indica que el potencial de venta para los productos 1 y 2

excede la tasa de producción y que el potencial para el producto 3 es de 20 unidades por semana. Cada unidad de los productos 1, 2 y 3 produce una ganancia neta de Bs. 300, Bs.

120 y Bs. 150, respectivamente. Se desea determinar cuánto debe producir la fábrica de cada

uno de los productos a fin de maximizar la ganancia total.

Tipo

de

Máquina

Tiempo

Disponible

(h/sem)

Horas de máquina/unidad

Producto

1 2 3

A

B C

500

350 150

9

5 3

3

4 0

5

0 2


29. Considere el problema de almacenar un determinado tipo de artículo para ser vendido en

fechas posteriores. El almacén sólo tiene capacidad para 100 artículos. Los costos de almacenamiento son de Bs. 100 por trimestre por cada unidad. En cada trimestre el precio de

compra iguala al precio de venta. Este precio varía de trimestre en trimestre de acuerdo a la

tabla; de tal manera que se puede obtener una ganancia comprando cuando el precio este bajo y vendiendo cuando el precio es alto. El objetivo es determinar el programa óptimo de

venta, almacenamiento y compra para el período de un año (en trimestres), suponiendo que

el inventario inicial es de 50 unidades.

Trimestre Precio

(Bs/unid)

1 1000

2 1200

3 800 4 900

El programa debe realizarse a un costo mínimo.

30. Un inversionista puede invertir en dos negocios A y B al comienzo de los primeros cinco años.

Cada bolívar invertido en A al comienzo de un año le produce una ganancia de Bs. 0.30 dos

años después (a tiempo de reinvertirlos si se desea). Cada bolívar invertido en B al comienzo de un año le produce una ganancia de Bs. 0.50 tres años después. Si se dispone además de

dos negocios C y D para invertir en los años 2 y 5 respectivamente. Cada bolívar invertido en

C al comienzo del año 2 devuelve Bs. 1.70 al final del año 5. Cada bolívar invertido en D al comienzo del año 5 devuelve Bs. 1.20 al final de ese año. El inversionista comienza con Bs.

10000 y desea determinar qué plan de inversiones maximiza la cantidad de dinero que puede

acumular al comienzo del año 6. Designe por:

At

Bt

C2 D5

Rt

La cantidad de bolívares invertidos en el negocio A al comienzo del año t

(t=1,2,3,4) La cantidad de bolívares invertidos en el negocio B al comienzo del año t

(t=1,2,3)

La cantidad de bolívares invertidos en el negocio C al comienzo del año 2 La cantidad de bolívares invertidos en el negocio D al comienzo del año 5

La cantidad de dinero (bolívares) no invertido en el año t (t=1,2,3,4)

31. Un mayorista almacena uno de sus productos en una edificación que puede acomodar 200

unidades. El primer día de cada mes, el mayorista puede comprar tanto como desee y va

despachando artículos a lo largo del mes. Suponga que la demanda es constante, de tal manera que no es necesario considerar ninguna distribución de probabilidad para esa

demanda. Los precios de venta y costos para los tres meses siguientes son:

Mes 1 2 3

Costo/unidad 10 11 10

Venta/unidad 12 12 15

Actualmente el mayorista tiene 50 unidades.

Designe por: jx : número de unidades compradas en el mes j (j = 1, 2, 3)

jy : número de unidades vendidas en el mes j (j = 1, 2, 3)


Hay varias restricciones que caen dentro de dos categorías: aquellas que se refieren al hecho

que el mayorista no puede vender lo que no tiene y aquellos que se refieren a no sobrepasar el límite de almacenamiento. Se desea maximizar la ganancia neta.

32. En una planta de producción que opera las 24 horas del día, se requiere una cantidad mínima de obreros que depende de la hora del día. Los requerimientos mínimos son los siguientes:

Hora del día Núm. de obreros

2 a 6

6 a 10

10 a 14 14 a 18

18 a 22

22 a 2

40

80

100 70

120

40

Cada trabajador labora 8 horas por día. El objetivo es encontrar el menor número de

trabajadores para cumplir con los requerimientos señalados.

33. A un centro de computación llegan cuatro tipos de programas, los cuales se procesan en dos

computadoras. Los tiempos de procesamiento (en minutos por programa) se muestran en la

siguiente tabla: Tiempo de procesamiento (min) por programa

Computadora 1 2 3 4

1

2

2

3

3

2

4

1

2

2

El costo total de procesar un programa está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por minuto de máquina para las computadoras 1 y 2 son Bs.10 y Bs.15.

la cantidad de minutos disponibles para todos los programas en las computadoras 1 y 2 son

600 y 420. Observación: Se obligan a pasar los programas por las 2 computadoras. Los precios que el centro de computación cobra por correr cada programa de los tipos 1, 2, 3 y 4

son, respectivamente, Bs.70, Bs.80, Bs.55 y Bs.65. Determine cuántos programas deben

procesarse de cada tipo, a fin de maximizar las ganancias del centro de computación.

34. Una corporación produce y mercadea 5 productos. Para obtener el producto final los productos

deben pasar por cuatro departamentos. La tabla que se muestra a continuación proporciona el tiempo empleado por cada unidad de producto en cada uno de los departamentos, así como la

ganancia obtenida por la venta de los productos.

Tiempo empleado (hr/unid) en cada departamento

Producto 1 2 3 4 Ganancia

(Bs/u)

1

2

3 4

5

3

4

2 2

5

8

3

2 1

4

2

1

0 3

4

6

0

2 4

3

90

120

150 60

180

Total horas Disponibles

700 600 400 900


El departamento de mercado ha estimado una demanda máxima de cada producto durante el

período en consideración y se han fijado unas metas mínimas de entrega. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:

Producto

Demanda Máxima

Cantidad Mínima

requerida

1 2

3

4 5

100 50

90

70 130

3 0

4

0 3

En la fabricación de los productos se necesitan cinco insumos A, B, C, D y E. La tabla siguiente

proporciona la cantidad de insumos (en Kg.) que se necesita para fabricar una unidad de producto y la cantidad total de insumo disponible.

Requerimiento de material (Kg/u)

Producto A B C D E

1

2 3

4

5

4

7 6

1

3

2

4 2

1

0

0

4 5

6

2

1

0 7

4

3

3

4 0

2

4

Disponibilidad 600 700 300 400 1100

Se desea determinar cuánto debe fabricarse de cada producto para maximizar las ganancias.

35. Una compañía tiene cinco proyectos en los cuales invertir durante los próximos cinco años. El

valor presente del retorno sobre la inversión y el capital (valor presente) requerido por cada proyecto en cada año, se muestra en la siguiente tabla:

Capital requerido/año (en miles)

Proyecto Retorno 1 2 3 4 5

1

2

3 4

5

30000

60000

45000 240000

450000

150

240

120 360

750

180

180

0 420

900

210

120

0 480

1200

240

0

0 510

0

0

0

0 630

0

Inversión

Disponible

(miles)

930

1290

1530

1830

2100

Determine la cantidad de dinero que debe asignarse a cada proyecto a fin de maximizar el

total del valor presente del retorno sobre la inversión.

36. Una empresa internacional desea distribuir un total de Bs.1120000 entre tres revistas (1, 2 y

3) de tal manera que se expongan sus anuncios al mayor número de lectores y además que

se cumplan las siguientes condiciones: a. Alcanzar al menos 1500000 lectores en la región 1 y al menos 6000000 en la región 2.

b. Alcanzar a lo sumo 2000000 de lectores entre 21 años y 35 años.

c. Alcanzar al menos 2500000 lectores con educación universitaria (población tipo A) La tabla siguiente ha sido recopilada por una firma especializada.


Revistas

1 2 3

Costo por anuncio (Bs)

Máximo de anuncios disponibles Min. anuncios que acepta la revista

Num. lectores/anuncio en región 1

Num. lectores/anuncio en región 2 Num. lectores entre 21-35/anuncio

Num. lectores A por anuncio

Num. total de lectores por anuncio

50000

14 2

50000

550000 90000

200000

600000

16000

35 0

90000

160000 70000

80000

250000

10000

20 4

100000

90000 30000

100000

190000

37. Una compañía desea invertir Bs.400000 en publicidad. Se desea llegar a la mayor cantidad de

clientes potenciales utilizando a lo sumo la cantidad señalada. Las opciones consideran colocación de anuncios en periódicos, radio y televisión. Se tiene que:

Prensa (1)

Radio (2)

TV (3)

Costo por anuncio

Núm. de personas alcanzadas/anuncio Núm. de personas en el rango /anuncio

Núm. de hombres mayores de 25 años/anuncio

Máximo número de anuncios disponibles Mínimo número de anúncios

10000

10000 7000

5000

- 0

4000

3000 1000

500

100 7

100000

75000 50000

25000

20 2

Núm. total de personas/anuncio 100000 380000 630000

Los objetivos de la compañía son:

a. Llegar a no menos de 3000 personas en el área.

b. Por lo menos el 50% de esas personas debe estar en el rango establecido. c. Llegar a no menos de 100000 hombres mayores de 25 años.

38. La compañía “Telares HM” elabora tres tipos de telas de algodón en tres plantas de producción T1, T2 y T3. La maquinaria en cada planta de producción produce cada uno de los tres tipos

de telas, sin embargo, la velocidad de producción es diferente; es decir, el número de Kg de

tela por huso y por tres turnos de 40 horas difiere entre las fábricas. Aun cuando el problema es simplificado, la metodología es la misma empleada, con ligeras modificaciones, en telares

de cualquier tamaño. Las dos tablas muestran los datos más relevantes para un determinado

período de producción. Las tres telas diferentes están representadas por 10, 16 y 20, designando las dimensiones del producto terminado. Puesto que cada una de los diferentes

tamaños de telas pueden ser manufacturadas en cada una de los tres telares, es conveniente

definir las variables de tal manera que refleje este hecho; es decir: Producida en

Tipo de tela Telar

1

Telar

2

Telar

3

10

16

20

X1

X4

X7

X2

X5

X8

X3

X6

X9


TELAR 1 TELAR 2 TELAR 3

A B C D C D C D

10

16 20

12000

15000 4000

6 0.10

8 0.20 3 0.50

10 0.12

5 0.16 4 0.40

12 0.08

6 0.25 2 0.30

E 10000 15000 25000

A: Tipo de tela B: Mínimo requerido (Kg) C: Kg. por hiladas en 120 horas D: Costo por Kg

E: Hiladas disponibles

Se desea determinar la cantidad de tipo de tela que debe producirse en cada una de las plantas para minimizar el costo total de producción.

39. Una corporación tiene una planta de producción donde se elaboran productos P y Q en las máquinas K y L durante los meses 1, 2 y 3. La corporación tiene un almacén propio (W) pero

también necesita alquilar (A) espacio de almacenamiento. Se estima que la demanda de

productos para los meses 1, 2 y 3 son las siguientes: Meses

Producto 1 2 3

P

Q

1200

800

1400

900

1550

1150

Las capacidades de producción de las máquinas no varían de un período a otro. Estas capacidades (unidad/día) y los días disponibles de cada máquina en cada período se muestran

en las siguientes tablas:

Capacidades (unid/día)

Producto K L

P Q

40 35

50 42

Días disponibles por mes

1 2 3

K

L

26

28

26

27

29

30

Para cada producto y cada tipo de almacenaje (propio o alquilado), hay tres combinaciones

posibles de manufactura-retiro de producto de los almacenes. Así, por ejemplo, para el

producto P y el almacén propio, se pueden considerar las opciones siguientes: Opción 1-2: Producir en el período 1 y retirarlo en el 2

Opción 1-3: Producir en el período 1 y retirarlo en el 3

Opción 2-3: Producir en el período 2 y retirarlo en el 3 El objetivo es determinar cuántos días de producción deben dedicarse a P y a Q en cada uno

de los períodos y las unidades involucradas en cada una de las combinaciones de

manufactura-retiro de productos de los almacenes, de tal manera que los costos totales sean los mínimos. Los costos de operación de las máquinas (Bs/día) en cada uno de los períodos y

para cada producto son los siguientes:


Costos Operación (Bs/día)

Período

1 2 3

K P Q

100 102

90 92

80 82

L P

Q

105

108

95

98

85

88

Los costos involucrados en el almacenamiento de los productos P y Q, por tipo de almacenaje

y por combinación manufactura-retiro, son los siguientes (Bs/unidad) Almacén propio (W), Producto P

Produce en 1, retira en 2 Costo: 8

1, “ 3 8 2, “ 3 7

Almacén Propio (W), Producto Q

Produce en 1, retira en 2 Costo: 9 1, “ 3 9

2, “ 3 8

Almacén Alquilado (A), Producto P Produce en 1, retira en 2 Costo: 12

1, “ 3 14

2, “ 3 11 Almacén Alquilado (A), Producto Q

Produce en 1, retira en 2 Costo: 13

1, “ 3 15 2, “ 3 12

40. Considere una corporación que tiene dos plantas de producción, 1 y 2. En las plantas se producen los productos P y Q, procesándose en las máquinas K y L de la planta 1 y en las

máquinas M, N, O de la planta 2. Debido a la distancia entre las plantas, debe tomarse en

consideración los costos de transporte de productos entre las plantas 1 y 2. Se admite que el intercambio de productos entre las plantas es en los dos sentidos, es decir, se pueden enviar

productos de 1 a 2 y viceversa. Las demandas de los productos P y Q en las plantas 1 y 2,

respectivamente, son las siguientes: Demanda (unidades)

1 2

P Q

1400 1020

1350 1820

Las capacidades de producción de las máquinas (unidades/día) y el tiempo disponible (días) de cada máquina en cada planta, se muestran en la siguiente tabla:

1 2

K L M N O

P

Q

40

35

50

42

35

32

50

45

60

58

Disponible

(días)

30 24 30 28 30

Los costos de transportar una unidad de producto entre las plantas son las siguientes:


Producto P

De planta 1 a planta 2: 10 De planta 2 a planta 1: 10

Producto Q

De planta 1 a planta 2: 12 De planta 2 a planta 1: 12

Los costos de operación de las máquinas en las plantas 1 y 2 son los siguientes:

Costos (Bs/día)

Producto K L M N O

P Q

100 102

105 108

92 94

104 107

110 113

El objetivo es determinar cuántos días de producción deben dedicarse a los productos P y Q en

cada una de las plantas y cuántas unidades deben intercambiarse, para cumplir con la demanda a un costo total mínimo. (Considere 1 mes de período de producción)

41. El Departamento de Nutrición del Hospital General de San Luis prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope,

espinacas y pastel de manzana. Como director del Departamento de Nutrición, usted ha

determinado que esta comida debe proporcionar 63000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de

esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla.

Nutriente (mg/100 g)

Proteínas Hierro Niacina Tiamina Vitamina C Grasa

Espagueti Pavo

Papas

Espinacas Pastel de manzana

5000 29300

5300

3000 4000

1.1 1.8

0.5

2.2 1.2

1.4 5.4

0.9

0.5 0.6

0.18 0.06

0.06

0.07 0.15

0.0 0.0

10.0

28.0 3.0

5000 5000

7900

300 14300

Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300

gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrición, usted desea

determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y

proporciona la mínima cantidad de grasas.

42. BlubberMaid fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso), Extendex

(material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad total de cada ingrediente usada por libra del

producto final se muestra en la tabla:

Ingrediente (oz/lb de producto)

Producto Polímero A Polímero B Polímero C Base

Airtex Extendex

Resistex

4 3

6

2 2

3

4 2

5

6 9

2

BlubberMaid tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extendex y 400 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía

sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los

ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B, 650 libras del polímero C


y 1100 libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada

libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del deparatmaneto de producción, usted necesita determinar un plan de producción

óptimo para esta semana.

43. Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente

en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de

tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la

producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El

costo total se estima es $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente. Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan

2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se dispone de

40 horas de tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que

requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11000 onzas de material de soldar. No

se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunos

de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por

pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla. Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la

cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer

la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.

TIPO

PRECIO

DE VENTA ($/FT)

DEMANDA

(FT)

TIEMPO DE

MÁQUINA (MIN/FT)

MATERIAL

PARA SOLDAR (OZ/FT)

COSTO DE

PRODUCCIÓN

($/FT)

COSTO DE

COMPRA ($/FT)

A

B C

10

12 9

2000

4000 5000

0.50

0.45 0.60

1

1 1

3

4 4

6

6 7

Cantidad disponible 40 hr 5500 oz

44. Al gerente de cartera de Pension Planners se le ha pedido invertir $1000000 de un gran fondo

de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos

mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla:

Fondo

1 2 3 4 5 6

Precio ($/acción)

Devolución esperada (%) Categoría de riesgo

45

30 Alto

76

20 Alto

110

15 Alto

17

12 Mediano

23

10 Mediano

22

7 Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos

fondos. Para ese fin, la administración de Pension Planners ha especificado las siguientes pautas:

a. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la

cartera. b. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la

cartera.


c. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la

cartera. Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo

en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Pension Planners ha especificado que la

cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.

Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar

la tasa esperada de retorno?

45. Birdeyes Real es propietaria de 800 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago

panorámico en el corazón de las Montañas Ozark. En el pasado, se aplicaban muy pocas regulaciones, o ninguna, a las nuevas urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las

playas del lago están salpicadas de casas para vacacionistas. Debido a la carencia de servicios

de aguas negras, se utilizan extensamente las fosas sépticas, que se instalan en forma por demás inapropiada. A lo largo de los años, las filtraciones de las fosas sépticas han dado por

resultado un grave problema de contaminación del agua. Para frenar una mayor degradación

en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones.

a. Sólo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles y triples y las viviendas

de una sola familia deben sumar por lo menos 50% del total. b. Para limitar el número de fosas sépticas, se requieren lotes de una superficie mínima de 2,

3 y 4 acres para las viviendas familiares individuales, dobles y triples, respectivamente.

c. Se deben establecer áreas recreativas de un acre cada una, en una proporción de un área por cada 200 familias.

d. Para preservar la ecología del lago, las aguas freáticas no pueden bombearse para uso

doméstico o de jardinería. El presidente de Birdeyes Real está estudiando la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la

compañía. La nueva urbanización incluirá viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se

calcula que 15% de la superficie se consumirá en abrir calles y en instalaciones para servicios públicos. Birdeyes calcula las utilidades de las diferentes unidades habitacionales como

Unidad habitacional Individual Doble Triple

Utilidad neta por unidad ($) 10000 12000 15000 El costo de conectar el servicio de agua al área es proporcional al número de unidades

construidas. Sin embargo, el condado estipula que se debe cobrar un mínimo de 100000

dólares para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema de agua, más allá de su capacidad actual, está limitada a 200000 galones al día durante los

períodos pico. Los siguientes datos resumen el costo de la conexión del servicio de agua, así

como el consumo de agua, suponiendo una familia promedio: Unidad habitacional Individual Doble Triple Área recreativa

Costo del servicio

de agua por unidad ($) 1000 1200 1400 800 Consumo de agua

por unidad (galones/día) 400 600 840 450

46. Cierta compañía tiene tres plantas cada una con cierta capacidad de producción. Las tres

pueden fabricar un determinado producto. El producto puede hacerse en tres tamaños:

grande, mediano y pequeño, que darán una ganancia neta de Bs. 420, Bs. 360 y Bs. 300,


respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750,

900 y 450 unidades diarias, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también

una limitación en las tasas de producción del nuevo producto Se cuenta con 13000, 12000 y

5000 metros cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se

produce requiere 20, 15 y 12 metros cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de

mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada

tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia.

47. Una tienda de alimentos naturistas empaca tres tipos de alimentos: Chewy, Crunchy y Nutty;

los cuales resultan de la mezcla de los ingredientes: girasol, pasas y maní. Las

especificaciones para las mezclas se presentan en la tabla siguiente:

Alimento Girasol Pasas Maní Bs/Kg

Chewy X Al menos 60% A lo sumo 20% 200

Crunchy Al menos 60% X X 160

Nutty A lo sumo 20% X Al menos 60% 120

Las equis en la tabla indican la no limitación de ingredientes en las respectivas mezclas. Los

suministros de los ingredientes se realizan de acuerdo a un máximo de 100 Kg de girasol a

razón de Bs. 100 por Kg, 80 Kg de pasas a razón de Bs. 150 por Kg y 60 Kg de maní a razón de Bs. 80 por Kg. Se desea determinar el esquema de mezcla que maximice la ganancia de la

tienda.

48. Una empresa elabora tres productos P1, P2 y P3, los cuales requieren procesarse en dos tipos

de máquinas A y B. La empresa posee dos máquinas tipo A (A1 y A2) y tres máquinas del tipo

B (B1, B2 y B3). El producto P1 puede elaborarse en cualquiera de las máquinas A y B. El producto P2 puede elaborarse en cualquiera de las máquinas tipo A, pero debe procesarse en

la máquina B1. El producto P3 puede elaborarse solamente en A2 y en B2. El tiempo (en

minutos) requerido por cada unidad de producto en cada máquina, el tiempo total disponible, T, en cada semana y los costos de operación por minuto (en bolívares), C, de cada máquina,

se muestran en la siguiente tabla:

P R O D U C T O

1 2 3 T C

A1 50 100 - 60000 0.5

A2 70 90 120 100000 1

B1 60 80 - 40000 0.25

B2 40 - 110 70000 1

B3 70 - 40000 0.5

El departamento de mercadeo estima que no se podrán vender más de 800 unidades del

producto P1. Los costos de la materia prima para elaborar los productos P1, P2 y P3, así como

los precios de venta son (en bolívares), respectivamente: 20, 50, 70 y 200, 350, 500. Suponga que el costo de operación de las máquinas es proporcional al tiempo de operación y

que este costo incluye todo a excepción del costo de la materia prima. Se desea determinar

cuánto debe producirse de cada producto a fin de maximizar las ganancias. Formule el modelo de programación lineal correspondiente.


49. La compañía manufacturera CASCADA, produce tres productos 1, 2 y 3 en cinco plantas de

producción. Los tiempos de máquinas en cada una de las plantas y por cada producto, se muestran en la siguiente tabla:

Tiempos de producción (min/un) en las plantas

Producto 1 2 3 4 5

1 4 5 6 4 6

2 8 - 7 6 -

3 - - 9 - 10

Total

Disponible 7000 4000 9000 6000 7000

(min) Los costos de operación (por minuto) en cada planta son:

Producto 1 2 3 4 5

1 10.0 2.0 9.0 8.0 4.0

2 2.4 - 18.0 3.2 -

3 - - 11.0 - 7.3

Las demandas mínimas de los productos 1, 2 y 3 son las siguientes:

Producto Demanda Mínima

1 750

2 500

3 250

Determine el programa de producción (cuánto producir y en cuáles plantas) que minimizan los

costos.

50. Dada la siguiente situación de demanda del material de unas minas, formule el modelo de

programación lineal para cumplir con la demanda al menor costo posible. La demanda

semanal de material de alta, media y baja pureza es de 12, 8 y 24 toneladas, respectivamente. La mina A produce 6, 2 y 4 toneladas diarias de alta, media y baja pureza,

respectivamente. La producción de la mina B es de 2, 2 y 12 toneladas, respectivamente. Los

costos diarios de operación son 200000 Bs. Para la mina A y 160000 Bs. Para la mina B. ¿Cuántos días por semana debe operar cada mina para cumplir con la demanda al menor

costo?


RESPUESTAS

PROBLEMA 1.

1 2

1 2

1 2

1 2

max z 60x 50x s.a.

2x 4x 48

3x 2x 36

x , x 0

= ++ ≤+ ≤

≥

PROBLEMA 2.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max z 10x 20x 12.5x s.a.

2x 4x 2x 60

2x x 2x 40

x 3x 3x 30

x , x , x 0

= + ++ + ≤+ + ≤+ + ≤

≥

PROBLEMA 3.

1 2

1

2

1 2

1 2

max z 6x 10x s.a.

2x 8

4x 24

6x 4x 36

x ,x 0

= +≤

≤+ ≤

≥

PROBLEMA 4.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max z 150x 200x 100x s.a.

500x 600x 350x 500000

7x 10x 8x 8000

x ,x ,x 0

= + ++ + ≤

+ + ≤≥

PROBLEMA 5.

1 2 3

1 2 3

2

1

3

1 2 3

min z 12.5x 15.5x 20x s.a.

x x x 1200

x 198

x 350

x 125

x , x , x 0

= + ++ + =

≥≤≥

≥

PROBLEMA 6.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

min z 153x 400x s.a.

x x 1 /2

10x 20x 6

2x x 1 /2

x ,x 0

= ++ ≤

+ ≥+ ≥

≥

PROBLEMA 7.

1 2

1 2

1 2

1 2

max z 15x 20x s.a.

2x 5x 120

4x 2x 80

x , x 0

= ++ ≤+ ≤

≥

PROBLEMA 8.

1 2

1 2

1 2

2

1 2

min z x x s.a.

100x 200x 2500

50x 10x 350

30x 150

x ,x 0

= ++ ≥

+ ≥≥

≥

PROBLEMA 9.

1 2

1 2

1

1 2

max z 3x 5x s.a.

10x 20x 16000

x 800

x , x 0

= ++ ≤

≤≥

PROBLEMA 10.

1 2

1

2

1 2

1 2

max z 30x 20x s.a.

x 60

x 75

10x 8x 800

x , x 0

= +≤≤

+ ≤≥

PROBLEMA 11.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

min z 7x 6x 5x s.a.

9x 2x 4x 20

3x 8x 6x 18

x 2x 6x 15

x ,x ,x 0

= + ++ + ≥+ + ≥+ + ≥

≥

PROBLEMA 12.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max z x 1.5x s.a.

2x 2x 160

x 2x 120

4x 2x 280

x , x 0

= ++ ≤+ ≤+ ≤

≥


PROBLEMA 13.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max z x x s.a.

6x 4x 432

5x 5x 412.8

4x 6x 422.4

x , x 0

= ++ ≤+ ≤

+ ≤≥

PROBLEMA 14.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1er añomin z 5x 10x

s.a. 6x 6x 108

2x 9x 85

8x 15x 235

x , x 0

= +

+ ≥+ ≥

+ ≥≥

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2do añomin z 6x x

s.a. 6x 6x 108

2x 9x 85

8x 15x 235

x , x 0

= +

+ ≥+ ≥

+ ≥≥

PROBLEMA 15.

1 2

1 2

1 2

1 2

min z 5000x 3000x s.a.

20x 30x 170

60x 10x 270

x , x 0

= ++ ≥+ ≥

≥

PROBLEMA 16.

1 2

1

2

1 2

1 2

max z 3x 5x s.a.

x 4

2x 12

3x 2x 18

x , x 0

= +≤≤

+ ≤≥

PROBLEMA 17.

1 2

1 2

1 2

1 2

max z 0.35x 0.63x s.a.

0.01x 0.02x 10000

0.05x 0.03x 40000

x ,x 0

= ++ ≤+ ≤

≥

PROBLEMA 18.

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

max z 3x 2x s.a.

x 2x 6

2x x 8

-x x 1

x 2

x , x 0

= ++ ≤

+ ≤+ ≤

≤≥

PROBLEMA 19. 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

min z 8.5x 6x 8.9x 5.7x 8.8x

s.a. x x x x x 1

0.3x 0.1x 0.5x 0.1x 0.5x 0.3

0.6x 0.2x 0.2x 0.1x 0.1x 0.2

0.1x 0.7x 0.3x 0.8x 0.4x 0.5

x

= + + + +

+ + + + =+ + + + =+ + + + =+ + + + =

1 2 3 4 5,x ,x ,x ,x 0≥

PROBLEMA 20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19

max z 2x 2x 3x 4x 4x 6x 5x 5x 6x

4x 2x 6x 5x 3x 4x 2x 2x x 5x 4x

s.a.10x 7x 9x 11x 11x 12x 14x 14x 10x 8x 14x

8x 11x 12x 9x 7x 10x 16x 11x

= + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + ++ + + + + + + 20

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 1

12 16

15x 5760

x 50, x 35, x 25, x 20, x 45, x 50, x 45,

x 40, x 30, x 50, x 35, x 50, x 20, x 25,

x 30, x 20, x 60, x 35, x 25, x 45, x 10,

x 10, x 10

+ ≤≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥≥ ≥ 17 i, x 10, x 0, i 1,...,20≥ ≥ =

PROBLEMA 21.

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

max z 8x 6x s.a.

5x 3x 30

2x 3x 24

x 3x 18

x , x 0

= ++ ≤+ ≤+ ≤

≥

PROBLEMA 22.

11 12 13 21 22

23 31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21

max z 5x 4x 7x 6x 6x

3x 8x 11x 2x s.a.

x x x 1

x x x 1

x x x 1

x x

= + + + + ++ + +

+ + =+ + =+ + =+ + 31

12 22 32

13 23 33

ij

x 1

x x x 1

x x x 1

x 0, i 1,...,3, j 1,...,3

=+ + =+ + =

≥ = =

PROBLEMA 23. 17

3A 2B10

1A 1B

172A 2B 1A10

173A 2A 1B10

ij

max z x 3x s.a.

x x 100000

x x x

x x 3x

x 0, i 1,2,3 , j A,B

= +

+ =

+ =

= +

≥ = =

PROBLEMA 24.

1 2

1 2

1 2

1 2

min z 100x 25x s.a.

1200x 400x 4000

125x 12x 200

x , x 0

= ++ ≥

+ ≥≥


PROBLEMA 25.

1 2 3

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

min z 20x 30x 24x

s.a. x x x 15

x 2x

200x 750x 300x 4000

x , x , x 0

= + +

+ + ≥≥

+ + ≤≥

PROBLEMA 26.

11 12 13

14 15 21 22

23 24 25 31

32 33 34 35

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

min Z 1.8x 2.4x 0.7x

5.6x 2.3x 4.1x 6.2x

5.0x 3.1x 1.8x 6.3x

4.9x 0.9x 0.8x 4.0x

s.a. x x x x x 250

x x x x x 600

x x x x x 800

= + + ++ + + ++ + + ++ + +

+ + + + =+ + + + =+ + + + =

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24 34

15 25 35

ij

x x x 200

x x x 400

x x x 300

x x x 450

x x x 300

x 0 , i 1,2,3, j 1,2,3,4,5

+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =

≥ = =

PROBLEMA 27. 1 2 3 4 5 6

7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8

min Z 82x 86x 116x 120x 152x 150x

146x 138x 146x

s.a. x x x x x x x x x 1

0.1x 0.1x 0.4x 0.6x 0.3x

0.3x 0.3x 0.5x

= + + + + + ++ +

+ + + + + + + + =+ + + + ++ + 9

1 2 3 4 5

6 7 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8 9

0.2x 0.3

0.1x 0.3x 0.5x 0.3x 0.3x

0.4x 0.2x 0.4x 0.3x 0.3

0.8x 0.6x 0.1x 0.1x 0.4x

0.3x 0.5x 0.1x 0.5x 0.4

+ =+ + + + ++ + + =+ + + + ++ + + =

i x 0, i 1,...,9≥ =

PROBLEMA 28.

1 2 3

1 2 3

1 2

1 3

3

i

max Z 300x 120x 150x

s.a. 9x 3x 5x 500

5x 4x 350

3x 2x 150

x 20

x 0, i 1,2,3

= + +

+ + ≤+ ≤+ ≤

≤≥ =

PROBLEMA 29. 11 12 13

21 22 23

31 32 33

41 42 43

11 12 13

min Z 1000x 100x 1000x

1200x 100x 1200x

800x 100x 800x

900x 100x 900x

s.a. x x x 50

= − + +− + +− + +− + +

+ − =

12

21 22 23 12

22

31 32 33 22

32

x 100

x x x x

x 100

x x x x

x 100

≤+ − =

≤+ − =

≤

41 42 43 32

42

ij

x x x x

x 100

x 0, i 1,2,3,4 j 1,2,3

+ − =≤

≥ = =

PROBLEMA 30.

4 3 2 5

1 1 1

2 2 2 2 1

3 3 3 2 1

4 4 2 1 3

5 3 2 4

max Z 1.3A 1.5B 1.7C 1.2D

s.a. A B R 10000

A B C R R

A B R R 1.3A

A R 1.3A 1.5B R

D 1.3A 1.5B R

= + + +

+ + =+ + + =+ + = +

+ = + += + +

t

t

2 5

t

A 0, t 1,2,3,4

B 0, t 1,2,3

C 0, D 0,

R 0, t 1,2,3,4

≥ =≥ =≥ ≥≥ =

PROBLEMA 31. 1 2 3 1 2 3

1

1 1

1 2 1

1 2 1 2

1 2

max z 12y 12y 15y 10x 11x 10x

s.a. 50 x 200

50 x y 0

50 x x y 200

50 x x y y 0

50 x x x

= + + − − −

+ ≤+ − ≥+ + − ≤+ + − − ≥+ + + 3 1 2

1 2 3 1 2 3

i i

y y 200

50 x x x y y y 0

x 0, y 0, i 1,2,3

− − ≤+ + + − − − ≥≥ ≥ =

PROBLEMA 32. 1 2 3 4 5 6

1 6

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

min Z x x x x x x

s.a.

x x 40

x x 80

x x 100

x x 70

x x 120

x x 40

= + + + + +

+ ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ ≥

i x 0, i 1,...,6≥ =


PROBLEMA 33.

1 2 4

1 2 3 4

1 2 3 4

i

max Z 5x 20x 15x

s.a.2x 3x 4x 2x 600

3x 2x x 2x 420

x 0, i 1,2,3,4

= + +

+ + + ≤+ + + ≤

≥ =

PROBLEMA 34.

1 2 3

4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3

max Z 90x 120x 150x

60x 180x

s.a.3x 4x 2x 2x 5x 700

8x 3x 2x 1x 4x 600

2x 1x 0x 3x 4x 400

6x 0x 2x 4x 3x 900

1x 0x 0x 0x 0x 100

0x 1x 0x 0x 0x 50

0x 0x 1x

= + + ++

+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3

0x 0x 90

0x 0x 0x 1x 0x 70

0x 0x 0x 0x 1x 130

1x 0x 0x 0x 0x 3

0x 0x 1x 0x 0x 4

0x 0x 0x 0x 1x 3

4x 7x 6x 1x 3x 600

2x 4x 2x 1x 0x 700

0x 4x 5x 6x 2x 300

1x 0x 7x

+ + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≥+ + + + ≥+ + + + ≥+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + 4 5

1 2 3 4 5

i

4x 3x 400

3x 4x 0x 2x 4x 1100

x 0, i 1,2,3,4,5

+ ≤+ + + + ≤

≥ =

PROBLEMA 35.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

max Z 30x 60x 45x 240x 450x

(miles)s.a.150x 240x 120x 360x 750x 930

180x 180x 0x 420x 900x 1290

210x 120x 0x 480x 1200x 1530

240x 0x 0x 510x 0x 1830

0x 0x 0x 630x 0x 2100

= + + + +

+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤+ + + + ≤

1 2 3 4 5

i

x 1, x 1, x 1, x 1, x 1

x 0, i 1,2,3,4,5

≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ =

PROBLEMA 36.

1 2 3

1 2 3

1 2

3 1 3

1 2 3

1 2 3

1 2

max Z 600x 250x 190x

s.a. (en miles) 50x 16x 10x 1120 (en miles)

x 14, x 35,

x 20, x 2, x 4

50x 90x 100x 1500 (en miles)

550x 160x 90x 6000 (en miles)

90x 70x

= + +

+ + ≤≤ ≤≤ ≥ ≥+ + ≥+ + ≥+ + 3

1 2 3

i

30x 2000 (en miles)

200x 80x 100x 2500 (en miles)

x 0, i 1,2,3

≤+ + ≥

≥ =

PROBLEMA 37.

1 2 3

1 2 3

2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

i

max Z 100x 380x 630x

s.a. (miles)10x 4x 100x 400 (miles)

x 100, x 20

x 7, x 2

7x x 50x 1.5 (miles)

10x 3x 75x 3 (miles)

5x 0.5x 25x 100 (miles)

x 0, i

= + +

+ + ≤≤ ≤≥ ≥+ + ≥

+ + ≥+ + ≥

≥ = 1,2,3

PROBLEMA 38.

1 2 3 4

5 6 7 8 9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 4 7

min Z 0.10x 0.12x 0.08x 0.20x

0.16x 0.25x 0.50x 0.40x 0.30x

s.a. x x x 12000

x x x 15000

x x x 4000

x / 6 x / 8 x / 3 100

= + + + ++ + + +

+ + ≥+ + ≥+ + ≥

+ + ≤

2 5 8

3 6 9

i

00

x / 10 x / 5 x / 4 15000

x / 12 x / 6 x / 2 25000

x 0, i 1,2,3,4,5,6,7,8,9

+ + ≤+ + ≤

≥ =


PROBLEMA 39.

Cada variable representativa de los días de producción estará compuesta por la letra X

seguida de un número que represente el

período de producción (1,2,3), de una letra que represente la máquina utilizada (K,L) y

de otra letra que represente el producto

elaborado (P,Q). Por ejemplo, la variable X1KP representa el número de días de

producción destinados en el primer período

(utilizando la máquina K) a la elaboración del producto P. Hay entonces 4 variables de

este tipo por cada período y un total de 12

variables en el modelo. Para las variables representativas de las

distintas combinaciones manufactura-retiro

de almacenes, se procederá de la siguiente manera: cada variable estará representada

por la letra X seguida de la letra W o la

letra A (dependiendo de la modalidad de almacenaje), de la letra P o la letra Q

(dependiendo del tipo de producto

elaborado) y de dos números que representan el período donde es

manufacturado el producto y el período

donde es retirado dicho producto de los almacenes, respectivamente. Por ejemplo,

la variable XWP12 expresa el número de

unidades del producto P, manufacturadas en el período 1 y sacadas del almacén

propio en el período 2. Hay 12 variables de

este tipo. min Z 100X1KP 102X1KQ 105X1LP 108X1LQ8XWP12 8XWP13 9XWQ12 9XWQ13 12XAP1214XAP13 13XAQ12 15XAQ13 90X2KP 92X2KQ95X2LP 98X2LQ 7XWP23 8XWQ23 11XAP2312XAQ23 80X3KP 82X3KQ 85X3LP 88X3LQ

s.a.40X1KP 50X1L

= + + + ++ + + + ++ + + + +

+ + + + ++ + + +

+ P 1200 XWP12 XWP13 XA12 XA1335X1KQ 42X1LQ 800 XWQ12 XWQ13 XAQ12 XAQ1340X2KP 50X2LP 1400 XWP23 XAP23-XWP12-XAP1235X2KQ 42X2LQ 900 XWQ23 XAQ23-XWQ12-XAQ1240X3KP 50X3LP 1550-XWP13-XAP13-XWP23-XAP23

35X3KQ

= + + + ++ = + + + ++ = + ++ = + ++ =

42X3LQ 1150-XWQ13-XAQ13-XWQ23-XAQ23 X1KP X1KQ 26 X1LP X1LQ 28 X2KP X2KQ 26 X2LP X2L

+ =+ ≤+ ≤+ ≤+ Q 27

X3KP X3KQ 29 X3LP X3LQ 30

todas las variables son no negativas.

≤+ ≤+ ≤

PROBLEMA 40.

Variables: X1: Número de días asignados al

producto P en la máquina K

X2: “ Q “ K

X3: “ P

“ L X4: “ Q

“ L

X5: Número de unidades de P transportadas de 1 a 2

X6: “ P

“ 2 a 1 X7,X8: Número de unidades de Q

transportadas de 1 a 2 y de 2 a 1

respectivamente. X9,...,X14: Número de días de

producción (en M, N y O) de los

productos P y Q. min Z 100x1 102x2 105x3 108x4 10x510x6 12x7 12x8 92x9 94x10 104x11

107x12 110x13 113x14 s.a. 40x1 50x3-x5 x6 1400 35x2 42x4-x7 x8 1020 35x9 50x11 60x13

= + + + + ++ + + + + +

+ ++ + =+ + =

+ + x5 x6 1350

32x10 45x12 58x14 x7 x8 1820 x1 x2 30 x3 x4 24

x9 x10 30 x11 x12 28

+ − =+ + + − =

+ ≤+ ≤

+ ≤+ ≤

x13 x14 30

xi 0, i 1,...,14

+ ≤≥ =


PROBLEMA 41.

SPAG: el número de 100 gramos de espagueti que incluir

PAVO: el número de 100 gramos de pavo que

incluir PAPA: el número de 100 gramos de papas que

incluir

SPIN: el número de 100 gramos de espinacas que incluir

MANZ: el número de 100 gramos de pastel de

manzana que incluir min Z 5000SPAG 5000PAVO 7900PAPA300SPIN 14300MANZ s.a.5000SPAG 29300PAVO 5300PAPA

3000SPIN 4000MANZ 630001.1SPAG 1.8PAVO 0.5PAPA 2.2SPIN 1.2MANZ 101.4SPAG 5.4PAVO 0.9PAPA 0.5SPIN 0.6MANZ 15

= + + ++

+ + ++ ≥

+ + + + ≥+ + + + ≥

10PAPA 28SPIN 3MANZ 500.18SPAG 0.06PAVO 0.06PAPA 0.07SPIN 0.15MANZ 1 SPAG 3, PAVO 3, PAPA 2, SPIN 1, MANZ 1

SPAG 0, PAVO 0, PAPA 0, SPIN 0, MANZ

+ + ≥+ + +

+ ≥≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0

PROBLEMA 42. max Z 7A 7E 6R s.a. 4A 3E 6R 8000 2A 2E 3R 6800 4A 2E 5R 10400 6A 9E 2R 17600 A 1000 E 500 R 400 A,E,R 0

= + ++ + ≤+ + ≤+ + ≤+ + ≤

≥≥≥

≥

PROBLEMA 43.

AP: el número de pies de tubo de tipo A por producir

BP: el número de pies de tubo de tipo B por

producir CP: el número de pies de tubo de tipo C por

producir

AJ: el número de pies de tubo de tipo A que comprar a Japón

BJ: el número de pies de tubo de tipo B que

comprar a Japón CJ: el número de pies de tubo de tipo C que

comprar a Japón max Z 7AP 8BP 5CP 4AJ 6BJ 2CJ s.a. AP AJ 2000 BP BJ 4000 CP CJ 5000 0.5AP 0.45BP 0.6CP 2400

= + + + + ++ =+ =+ =

+ + ≤ AP BP CP 5500

AP,BP,CP,AJ,BJ,CJ 0+ + ≤

≥

PROBLEMA 44.

F1: La fracción de la cartera por invertir en el fondo 1

F2: La fracción de la cartera por invertir

en el fondo 2 F3: La fracción de la cartera por invertir

en el fondo 3

F4: La fracción de la cartera por invertir en el fondo 4

F5: La fracción de la cartera por invertir

en el fondo 5 F6: La fracción de la cartera por invertir

en el fondo 6 max Z 0.30F1 0.20F2 0.15F30.12F4 0.10F5 0.07F6 s.a. F1 F2 F3 0.50 F1 F2 F3 0.75 F4 F5 0.20 F4 F5 0.30

= + + ++ +

+ + ≥+ + ≤

+ ≥+ ≤

F6 0.05 -2F1 F2 0 -3F1 F3 0 -2F4 F5 0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 1 F1,F2,F3,F4,F5,F6 0

≥+ =+ =+ =

+ + + + + =≥

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PROGRAMACIÓN LINEAL (8080741) - Jos Luis … Lineal/Guias... · Para cada caso, formule el modelo de programación lineal correspondiente. 1. En una pequeña empresa se fabrican