MODELOS MATEMATICOS

Programación no lineal

Julián David Molano Grautoff

Ingeniería Industrial

Profesor Luis Carlos Forero

Bogotá

Mayo 2016

MODELOS MATEMATICOS

ContenidoIntroducción.......................................................................................................................................3

Objetivo..............................................................................................................................................3

Objetivos Específicos..........................................................................................................................3

Concavidad y convexidad...................................................................................................................4

Caracterización de la convexidad.......................................................................................................4

Ejemplo 1...........................................................................................................................................5

Excel para resolver un ejercicio de programación no lineal...............................................................5

Conclusiones:...................................................................................................................................10

Bibliografía:......................................................................................................................................10

MODELOS MATEMATICOS

Introducción

En la industria se requiere en muchas ocasiones encontrar matemáticamente la mejor solución para un problema que matemáticamente podemos definir.

Los problemas cotidianos en la industria muchas veces los podemos modelar matemáticamente, para poder determinar que se requiere, podemos necesitar gastar la mínima cantidad de material o requerir el máximo potencial de una máquina y eso puede estar sujeto a diferentes condiciones.

Los modelos en la vida real, no suelen ser lineales, por lo que podemos aplicar modelos no lineales que se ajustan a la realidad y a la necesidad de la industria.

En la ingeniería, la optimización de problemas la podemos aplicar en cualquier punto del proceso en donde podamos traducir esto a modelos matemáticos y en donde se requiere tomar las mejores decisiones a partir de esta la información que se modela.

La programación no lineal, es una forma matemática de optimización de problemas, Minimizando o maximizando una función y trabaja con problemas no lineales que requieren ser optimizados.

Objetivo

Entender cómo realizar ejercicios de programación no lineal cuadrática y aplicarlo al ámbito académico y profesional.

Objetivos Específicos Poder realizar ejercicios de programación no lineal. Realizar ejercicios de programación no lineal utilizando la herramienta tecnológica Excel.

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Concavidad y convexidad

Para determinar la concavidad o convexidad de una función se puede tener en cuenta lo siguiente:

• Se dice que es una función convexa si se cumple:

f (λ x ' '+(1−λ)x ' )≤ λ f (x ' ' )+(1−λ) f (x ') ,∀ λ∈(0 ,1)

• Se dice que es una función estrictamente convexa si se cumple:

f (λ x ' '+(1−λ)x ' )<λ f (x ' ')+(1−λ) f ( x ') ,∀ λ∈(0 ,1)

• Se dice que es una función cóncava si se cumple:

f (λ x ' '+(1−λ)x ')≥ λ f (x ' ' )+(1− λ) f (x ' ) ,∀ λ∈(0 ,1)

• Se dice que es una función estrictamente cóncava si se cumple

f (λ x ' '+(1−λ)x ' )>λ f (x ' ')+(1−λ) f ( x ') ,∀ λ∈(0 ,1)

Caracterización de la convexidad

Si f(x) tiene derivadas de segundo orden para todo x, la caracterización de convexidad para funciones de una variable viene dada en la siguiente tabla:

Convexa

Estrictamente Convexa

Cóncava

Estrictamente Cóncava

≥ 0 > 0 ≤ 0 < 0

Cóncava y ConvexaConvexaCóncava

d2 fd x2

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Ejemplo 1

Minimizar la función:

2 x❑2 +2 y2−6 x−2 xy ;Sujetoa : x+ y≤2 ; x y y≥0

Podemos escribir la función de la siguiente forma:

2 x❑2 x2+2 y2−6 x−2xy=k

La idea es minimizar K, sacamos la primera derivada parcial de x

f ´ x=4 x−2 y−6=0

f ´ y=4 y−2x=0

x=2 ; y=1

x ' . f ' x+ y ' ⋅ f ' y+1 ⋅ f ' xy=0

Con lo que se tiene

(4 x '−2 y '−6) x+(4 y '−2 x ') y−(6 x '+k)=0

El valor mínimo de z será: minz

=−112

Excel para resolver un ejercicio de programación no lineal

Ejercicio para localizar unas instalaciones:

Una empresa distribuidora zapatos necesita determinar donde localizara un centro de distribución y abastecimiento para sus locales en el Colombia. En especial se busca estar a la menor distancia de los 3 principales locales de venta al público denominados 1, 2 y 3 respectivamente. Las coordenadas geográficas de dichos locales se presentan en el gráfico 1.

Formule y resuelva un modelo de optimización que permita determinar la localización óptima de la bodega y que minimice la distancia a los distintos locales de la empresa. Asuma que la bodega puede ser ubicada en cualquier coordenada o punto del mapa.

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Solución:

Vamos a considerar como variables de decisión X e Y que correspondan a las respectivas coordenadas de la bodega a instalar, vamos a definir el siguiente modelo de optimización no lineal sin restricciones, donde la siguiente función objetivo de minimización de distancia (Min f(x,y)) queda definido por:

Vamos a resolver este problema utilizando Solver de Excel y verificar que la solución óptima corresponde a X=13,6 y Y=15,81.

1- Generamos el cuadro con los valores de las distancias.Fi (Km) Gi (Km) Hi (Km)

0 0 86 19 2521 5 4411 21 6323 5 37

2- Agregamos dos columnas adicionales con Distancia y Costo, para que sea más sencillo el cálculo, quedando de la siguiente forma:

80 130

80

60

Figura 1

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Fi (Km) Gi (Km) Hi (Km) Distancia Costo0 0 86 19 2521 5 4411 21 6323 5 37

3- La fórmula para encontrar la distancia y el costo son las siguientes:a. Distancia: =((A6-$A$3)^2+(B6-$B$3)^2)^(1/2); en donde A3 y B3 son X y Y

respectivamente y la celda D3 es el valor objetivo.

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b. El costo lo calculamos Hi x la Distancia.

4- Ahora agregamos estas fórmulas a todas las columnas y queda de la siguiente forma:X Y Costo

3812,339468

Fi (Km) Gi (Km) Hi (Km) Distancia Costo0 0 8 0 06 19 25 19,92485885 498,121471121 5 44 21,58703314 949,829458411 21 63 23,70653918 1493,51196823 5 37 23,53720459 870,8765699

5- En el valor objetivo vamos a colocar la sumatoria de los costos.

6- Una vez tenemos todos los valores procedemos a abrir SOLVER

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7- El resultado es:

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X Y Costo13,06 15,81 1843,033543

Fi (Km) Gi (Km) Hi (Km) Distancia Costo0 0 8 20,50512483 164,04099866 19 25 7,745677102 193,6419275

21 5 44 13,41349997 590,193998711 21 63 5,583507056 351,760944623 5 37 14,68636955 543,3956734

Las coordenadas óptimas del nuevo emplazamiento son entonces: X=13,06 y Y = 15,81También se podría introducir restricciones para series de coordenadas en las que el emplazamiento es imposible de realizar.

Conclusiones:

Con la programación no lineal, somos capaces de modelar un proceso y poder determinar cuál es la solución óptima con base a lo que requerimos.

Gracias a las herramientas tecnológicas, podemos realizar los procesos de resolución de procesos no lineales de una manera rápida y precisa.

Bibliografía:

TAHA, HAMDY A. Investigación de operaciones. Novena edición http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_no_lineal.html Técnicas Clásicas de Optimización. Parte I: Programación Lineal y No Lineal,

http://www.ehu.eus/mae/html/prof/Maria_archivos/plnlapuntes.pdf