Programación Tesela Matemáticas 2º Bach. … · Web viewAsimismo, en la sección Ejercicios resueltos se encuentran actividades que, gracias a la explicación detallada de su resolución,

PROYECTO TESELA

MATEMÁTICAS IISEGUNDO DE BACHILLERATO

(MODALIDAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA)

COMUNIDAD FORAL DE NAVARRA

Matemáticas 2º de Bachillerato. Comunidad Foral de Navarra.

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN 2

2. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD 6

3. CURRÍCULO 9Objetivos de la etapa 9Objetivos de la materia 10Contenidos 10Criterios de evaluación 11

4. PROGRAMACIÓN DE LAS UNIDADES 13

Bloque I. Álgebra 13Unidad 1. Sistemas de ecuaciones 13Unidad 2. Matrices 15Unidad 3. Determinantes 17

Bloque II. Geometría 19Unidad 4. Vectores en el espacio 19Unidad 5. Rectas y planos en el espacio 21Unidad 6. Métrica en el espacio 23

Bloque III. Análisis 25Unidad 7. Límites de funciones 25Unidad 8. Continuidad 27Unidad 9. Derivadas 29Unidad 10. Propiedades de las funciones derivables 31Unidad 11. Aplicaciones de la derivada 33Unidad 12. Primitivas e integrales 35Unidad 13. Aplicaciones de la integral 37

Bloque IV. Problemas y métodos 39Unidad 14. Resolución de problemas 39

Oxford EDUCACIÓN1


1. INTRODUCCIÓN

El Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, aprobado por el Ministerio de Educación y Ciencia (MEC) y que establece la estructura y las enseñanzas mínimas de Bachillerato como consecuencia de la implantación de la Ley Orgánica de Educación (LOE), ha sido desarrollado en la Comunidad Foral de Navarra por el Decreto Foral 49/2008, de 12 de mayo, por el que se establece el currículo de Bachillerato para esta comunidad. El presente documento aborda la programación de la materia de Matemáticas (modalidad de Ciencias y Tecnología) en el segundo curso de esta etapa educativa.

Según la LOE (artículo 32), esta etapa ha de cumplir diferentes finalidades educativas, que no son otras que proporcionar a los alumnos formación, madurez intelectual y hu-mana, conocimientos y habilidades que les permitan desarrollar funciones sociales e incorporarse a la vida activa con responsabilidad y competencia, así como para acce-der a la educación superior (estudios universitarios y de formación profesional de gra-do superior, entre otros). De acuerdo con estos objetivos, el Bachillerato se organiza bajo los complementarios principios de unidad y diversidad, es decir, le dota al alumno de una formación intelectual general y de una preparación específica en la modalidad que esté cursando (a través de las materias comunes, de modalidad —como esta— y optativas), y en las que la labor orientadora es fundamental para lograr esos objetivos. En consecuencia, la educación en conocimientos específicos de esta materia ha de in-corporar también la enseñanza en los valores de una sociedad democrática, libre, tole-rante, plural, etc., una de las finalidades expresas del sistema educativo, tal y como se pone de manifiesto en los objetivos de esta etapa educativa y en los específicos de esta materia —la educación moral y cívica, para la paz, para la salud... se integran transversalmente en todos los aspectos y materias del currículo—.

Las Matemáticas en el Bachillerato presentan tres funciones principales: instrumental, formativa y de fundamentación teórica:

Función instrumental: se corresponde con la aplicación de las herramientas y estrategias matemáticas a las actividades de las distintas materias científicas y a la actividad profesional.

Función formativa: contribuye al desarrollo práctico de las capacidades de análisis y de síntesis, de relación y de generalización, etc., en línea con las estructuras abstractas con las que trabaja También se pretende fomentar actitudes como el trabajo sistemático y ordenado, la constancia en la búsqueda de soluciones, la profundización en la interpretación de la realidad, y la precisión en el razonamiento y en el lenguaje que, entre otros, caracterizan el trabajo matemático. Estas capacidades y actitudes contribuyen, en gran medida, a la formación integral del alumno.

Función de fundamentación teórica: va dirigida a construir la base fundamental de los conocimientos matemáticos que deben adquirirse en el Bachillerato para realizar una preparación adecuada y suficiente previa a los estudios universitarios y/o profesionales. Esta fundamentación teórica de las Matemáticas implica superar la mera intuición, aunque sin prescindir de ella, para poner progresivamente en práctica la capacidad de abstracción.

Es por ello por lo que el proceso de enseñanza-aprendizaje de esta materia debe perseguir dos grandes objetivos:

Proporcionar a los alumnos una madurez intelectual y un conjunto de conocimientos y herramientas que les permitan desenvolverse con seguridad y con responsabilidad en su entorno social una vez terminados sus estudios.

Garantizarles una adecuada preparación para que puedan acceder a estudios posteriores de formación profesional de grado superior o universitarios.

Oxford EDUCACIÓN2


El proceso de enseñanza-aprendizaje debe basarse, en consecuencia, en que los alumnos construyan los distintos conceptos matemáticos, deduzcan las relaciones que existen entre ellos a partir de problemas que a menudo se presentan en su entorno social y apliquen los procedimientos a la resolución de problemas, problemas que contengan todas las características propias de la actividad matemática y que les ayuden a desarrollar su capacidad de razonamiento intelectual, a la vez que les provean de actitudes y hábitos propios del quehacer matemático (lo que se ha dado en llamar saber hacer matemáticas). El alumno debe ser consciente de que las Matemáticas son consecuencia de la necesidad histórica de resolver problemas prácticos (en línea con una formación competencial), y de ahí precisamente su interrelación con otras áreas de conocimiento y su aplicabilidad.

El conocimiento matemático se organiza en forma de sistema deductivo, de modo que postulados, definiciones, propiedades, teoremas y métodos se articulan lógicamente mediante encadenamientos conceptuales y demostraciones que justifican, y que, en última instancia, dan validez a las intuiciones y a las técnicas matemáticas (y desde la que se construye la ciencia moderna). Estos contenidos conceptuales son los que conforman y dan estructura a la matemática misma y, en la mayoría de los casos, requieren de una fundamentación teórica y de un lenguaje formal cuyo dominio resulta imprescindible para su mejor comprensión. Pero esos contenidos no tendrían sentido si no estuviesen destinados a ser aplicados, de ahí que las estrategias matemáticas en la resolución de problemas se convierten en el fin último de esta materia. Por ello, muchas veces el desarrollo de los contenidos conceptuales no son más que el punto de partida para poner en práctica estrategias matemáticas.

Debido a que una de las características más significativas de nuestro tiempo es el pujante desarrollo tecnológico, que se refleja, sobre todo, en el uso generalizado de la tecnología, existen una serie de recursos tecnológicos (calculadoras, programas y aplicaciones informáticos e Internet, por ejemplo) que pueden resultar adecuados para el desarrollo de determinados procedimientos rutinarios en la interpretación y análisis de situaciones diversas relacionadas con los números, el álgebra lineal, el análisis funcional o la estadística, así como en la resolución práctica de numerosas situaciones problemáticas relacionadas con la naturaleza, la tecnología o, simplemente, con la vida cotidiana y que, en consecuencia, es necesario incorporar al currículo de Matemáticas, y por ello desarrollar la capacidad para manejarlos de forma inteligente y razonada.

Asimismo, determinadas características cognitivas e intelectuales como el rigor formal, la abstracción o los procesos deductivos, que estructuran y definen el método matemático, no pueden estar ausentes de las Matemáticas de Bachillerato, cualquiera que sea su curso y modalidad, como tampoco lo están en otras materias. En este caso, los atributos anteriormente señalados se han debido aplicar de forma graduada a lo largo de los dos cursos de la etapa, respetando, en cualquier caso, las características metodológicas asignadas a cada uno de ellos (con mayor profundidad en este, último de la etapa, en el que el alumno deberá acostumbrarse a la emisión de hipótesis, a la generalización...).

Además de ser una etapa educativa terminal en sí misma, también tiene un carácter propedéutico: su currículo debe incluir los contenidos referidos a conceptos, procedimientos y actitudes que permitan abordar con éxito los estudios posteriores (universitarios o técnico-profesionales). Si la inclusión de contenidos relativos a procedimientos implica que los alumnos se familiaricen con las características del trabajo científico y sean capaces de aplicarlas a la resolución de problemas y a los trabajos prácticos, los contenidos relativos a actitudes suponen el conocimiento de las interacciones de la ciencia con la técnica y la sociedad, cada vez con mayores

Oxford EDUCACIÓN3


implicaciones, por lo que todos estos aspectos deben aparecer dentro del marco teórico que se estudia y no como meras actividades complementarias. Los contenidos relacionados con la resolución de problemas tienen un carácter transversal a los distintos bloques de contenidos de la legislación autonómica (Álgebra lineal, Geometría y Análisis), y en todos ellos se debe trabajar este contenido tan fundamental.

Como criterio metodológico básico, hemos de resaltar que en Bachillerato se ha de facilitar y de impulsar el trabajo autónomo del alumno y, simultáneamente, estimular sus capacidades para el trabajo en equipo, potenciar las técnicas de indagación e investigación y las aplicaciones y transferencias de lo aprendido a la vida real, sirviéndose para todo ello de las posibilidades que brindan las tecnologías de la información y la comunicación, aspectos todos ellos que deberá poner en práctica en sus posibles estudios posteriores o en la vida activa. El mismo criterio rige para las actividades y textos sugeridos y para la gran cantidad de material gráfico que se ha empleado en los materiales curriculares, para que el mensaje sea de extremada claridad expositiva, sin caer en la simplificación, y todo concepto científico sea explicado y aclarado, sin considerar que nada es sabido previamente por el alumno, independientemente de que durante el curso anterior se haya familiarizado con las técnicas de investigación propias de esta materia (de hecho, los contenidos de esta materia exige poseer los de su primer curso).

Todas estas consideraciones tienen su reflejo en la organización interna del libro del alumno que se va a utilizar (Matemáticas 2º de Bachillerato —Proyecto Tesela, de Oxford EDUCACIÓN, 2009—, cuyas autoras son Esther Bescós y Zoila Pena), de modo que cada unidad didáctica mantiene la siguiente estructura:

Presentación de la unidad, que consta de una página en la que se trata de manifestar, con un texto y una imagen representativa, la necesidad o el interés de abordar el estudio de los contenidos de la unidad, y en la que se incluyen cuestiones de diagnóstico inicial, es decir, actividades y ejercicios sobre procedimientos y conceptos previos que el alumno debe tener presentes y conocer.

Desarrollo de los contenidos:- Explicación detallada de los conceptos y procedimientos con gran cantidad

de material gráfico y Ejemplos que los ponen en práctica y resuelven (en el título de determinado epígrafes aparece un icono identificativo que indica que en el CD-ROM del alumno hay una serie de contenidos / actividades que los desarrollan, así como nuevas informaciones / actividades de ampliación y/o refuerzo, Ideas claras).

- Actividades de desarrollo y aplicación graduadas según su dificultad (de tres grados) para que el alumno pueda ejercitar sus conocimientos y autovalorar su aprendizaje (para ello figuran las soluciones).

- Textos de información complementaria (Observa, Recuerda...), vocabulario explicativo...

Páginas finales de la unidad:- Ejercicios resueltos, que permiten trabajar más a fondo estrategias

matemáticas para la resolución de problemas.- Ejercicios y problemas, que con diferente grado de dificultad pretenden

comprobar los aprendizajes del alumno (algunos de ellos, vinculados a pruebas de acceso a la universidad según indica el icono correspondiente).

El libro finaliza con un anexo: Índice analítico.

Oxford EDUCACIÓN4


El alumno dispone, además del libro de texto, de un CD-ROM en el que se incluye todo un conjunto de materiales que complementan aquel y sus distintos bloques de contenidos, tales como recursos (que incluyen animaciones, actividades interactivas, documentos y actividades PAU), así como las pruebas PAU de las últimas convocatorias. El profesor dispone de una Carpeta de recursos fotocopiables (actividades de refuerzo y ampliación, documento, síntesis de cada unidad, pruebas de evaluación, guía de explotación de los recursos multimedia), de un Solucionario de las actividades del libro del alumno y de un CD-ROM de recursos multimedia (presentaciones, animaciones, actividades interactivas, documentos, generador de pruebas de evaluación, actividades PAU...).

Oxford EDUCACIÓN5


2. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

En un proceso de enseñanza-aprendizaje basado en la identificación individual de las necesidades de los alumnos, es fundamental ofrecerles los recursos educativos necesarios para que su formación se ajuste a sus posibilidades, en unos casos porque estas son mayores que las del grupo, en otros porque necesitan reajustar su ritmo de aprendizaje. Para atender a la diversidad de niveles de conocimiento y de posibilidades de aprendizaje de los alumnos, se proponen nuevas actividades que figuran en los materiales didácticos del profesor y en los del propio alumno, y que por su propio carácter dependen de su aprendizaje para decidir cuáles y en qué momento se van a desarrollar:

1. Atención a la diversidad de preparación previa

Presentación de cuestiones de diagnóstico previo al inicio de cada unidad didáctica, con las que se podrá detectar el grado de conocimientos y motivación del alumnado y valorar las estrategias metodológicas que se van a utilizar. Conocer el nivel del que parten los alumnos en cada momento permitirá saber no solo quiénes precisan de unos conocimientos iniciales antes de comenzar la unidad para que puedan abordarla sin dificultades, sino también qué alumnos han trabajado antes ciertos aspectos del contenido para emplear adecuadamente las actividades de ampliación.

2. Atención a la diversidad de aptitudes y de ritmos de aprendizaje

Mediante la propuesta de actividades con diversos grados de dificultad, bien sean de contenidos mínimos, complementarios, de refuerzo o de ampliación, con el fin de seleccionar las más apropiadas para atender a las diferentes capacidades e intereses de los alumnos.

Los conceptos van acompañados sistemáticamente de Ejemplos que explican y detallan la estrategia para su resolución, de modo que se destacan los aspectos más importantes o complicados de su enunciado y se fomenta el aprendizaje reflexivo.

Al final de cada epígrafe o subepígrafe hay una serie de actividades en las que se plantean problemas y, a continuación, se indican las soluciones, lo que le permite al alumno reflexionar sobre los pasos a seguir y comprobar por sí mismo su solución (se indica el grado de dificultad de cada actividad).

En los márgenes de las páginas del Libro del alumno hay una serie de informaciones complementarias (Recuerda, Observa...) que permiten atender a la diversidad, puesto que refuerzan contenidos que no siempre el alumno tiene bien adquiridos.

Asimismo, en la sección Ejercicios resueltos se encuentran actividades que, gracias a la explicación detallada de su resolución, permiten que los alumnos refuercen explícitamente las estrategias matemáticas.

Para finalizar, la sección Ejercicios y problemas ofrece una amplia colección de cuestiones y actividades graduadas por su diferente nivel de complejidad (algunos directamente relacionados con las pruebas de acceso a la universidad).

Oxford EDUCACIÓN6


En el título de determinado epígrafes del Libro del alumno aparece un icono identificativo que indica que en el CD-ROM del alumno hay una serie de contenidos / actividades que los desarrollan, así como nuevas informaciones / actividades de ampliación y/o refuerzo.

Asimismo, en la Carpeta de recursos del profesor se incluyen actividades de ampliación y refuerzo que se pueden plantear durante el desarrollo del epígrafe correspondiente o en un momento posterior, si se considera más oportuno, y que son de diferente tipología (actividades de síntesis, ejercicios y problemas, ejercicios de representación gráfica, de documentación...), además de incorporar las actividades de evaluación.

3. Atención a la diversidad de gustos e intereses

Para facilitar la motivación de los alumnos conviene tener en cuenta la diversidad de gustos e intereses que ellos presentan, muy diversos generalmente. En el Libro del alumno, este aspecto se tiene en cuenta en la variedad de ejemplos, de actividades y de ilustraciones, que se corresponden con contextos y situaciones diversos, así como con la distinta tipología de actividades (conceptuales, procedimentales...).

En este apartado indicamos las posibilidades que permiten los recursos multimedia de que disponen los alumnos y el profesor:

CD-ROM del alumno: el material multimedia presenta una serie de actividades organizadas por bloques de contenidos y diseñadas mediante itinerarios pedagógicos y diversa tipología (actividades interactivas, animaciones, documentos, actividades PAU). En el grupo de actividades, las respuestas que el alumno dé a las preguntas que se formulan (arrastrar cajas, interrelacionar mediante flechas, rellenar huecos de texto, responder verdadero o falso, etc.) las corrige la propia aplicación, de forma que el alumno puede autoevaluarse, y cuando todas las actividades han sido realizadas correctamente se puede pasar al siguiente nivel. En las animaciones se presenta información complementaria, que combina información gráfica con información textual. En los documentos, actividades en formato fotocopiable a partir de textos y con actividades de desarrollo que refuerzan o amplían los contenidos más relevantes de la unidad. En las actividades PAU, modelos de ejercicios con una tipología similar a la de esa prueba. Además, un icono identificativo en el Libro del alumno indica la ampliación del contendido correspondiente en alguno de los bloques de contenido del CD-ROM (actividades de refuerzo y ampliación, pruebas PAU, Ideas claras...). Asimismo, se concede una especial relevancia a las actividades vinculadas con las tecnologías de la información y la comunicación.

CD-ROM de recursos del profesor: los recursos multimedia (animaciones, presentaciones, actividades, documentos, material fotocopiable en pdf, generador de evaluaciones, guía de recursos multimedia, actividades PAU...), en los que la búsqueda de información y la investigación tienen una gran relevancia, suponen un importante instrumento para adecuar el proceso educativo a las distintas posibilidades individuales de aprendizaje. Entre los principales recursos se encuentra el que desarrolla modelos de pruebas para el acceso a la universidad (PAU), recursos que se iniciaron en el curso anterior

Oxford EDUCACIÓN7


(Pensando en PAU), y que se encuentran vinculados en los de este curso a las pruebas específicas de cada comunidad autónoma.

Carpeta de recursos del profesor: actividades de ampliación y refuerzo asignadas a cada contenido desarrollado en el Libro del alumno, que el profesorado puede plantear durante el desarrollo del epígrafe correspondiente o en un momento posterior, si lo considera más oportuno; síntesis de cada unidad; pruebas de evaluación; y guía de explotación de los recursos multimedia.

Oxford EDUCACIÓN8


3. CURRÍCULO

En este apartado reproducimos el marco legal del currículo en esta comunidad foral (Decreto Foral 49/2008, de 12 de mayo), tal y como ha sido aprobado por su Administración educativa y publicado en su Boletín Oficial (6 de junio de 2008).

OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA

Según el citado decreto foral, esta etapa educativa contribuirá a desarrollar en los alumnos capacidades que les permitirán:

a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española así como por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa y favorezca la sostenibilidad.

b) Consolidar una madurez personal y social que les permita desarrollar su espíritu crítico y actuar de forma responsable y autónoma, tanto en el ámbito social como en el privado. Prever y resolver pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales.

c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades existentes e impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas por razón de discapacidad, raza, sexo o religión.

d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, la lengua vasca.

f) Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras.g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la

comunicación.h) Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus

antecedentes históricos y los principales factores de su evolución. Participar de forma solidaria en el desarrollo y mejora de su entorno social.

i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida.

j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente.

k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, perseverancia, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico.

l) Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentes de formación y enriquecimiento cultural.

m) Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal y social.

n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.ñ) Conocer, valorar y respetar el patrimonio natural, histórico, artístico y cultural de

Navarra y las aportaciones de hombres y mujeres al mismo.

Oxford EDUCACIÓN9


OBJETIVOS DE LA MATERIA

La enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:

1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del saber.

2. Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de demostraciones rigurosas sobre las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología, mostrando una actitud flexible, abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos.

3. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propias de las matemáticas (planteamiento de problemas, planificación y ensayo, experimentación, aplicación de la inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de las conjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y en general explorar situaciones y fenómenos nuevos.

4. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber.

5. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y servir como herramienta en la resolución de problemas.

6. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor científico.

7. Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el interés por el trabajo cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas.

8. Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, comprendiendo y manejando términos, notaciones y representaciones matemáticas.

CONTENIDOS

1. Álgebra lineal. Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos

estructurados en tablas y grafos. Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades

en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una

matriz. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

2. Geometría. Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto.

Significado geométrico.

Oxford EDUCACIÓN10


Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

3. Análisis. Concepto de límite de una función. Cálculo de límites. Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. Propiedades. Teorema de

Bolzano y Teorema de los valores intermedios. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en

un punto. Derivabilidad de una función. Propiedades elementales. Cálculo de derivadas.

Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones y de la función compuesta. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Teorema de L'Hôpital.

Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales y la representación gráfica de una función. Problemas de optimización.

Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos y relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas.Este criterio pretende comprobar la destreza para utilizar el lenguaje matricial como herramienta algebraica, útil para expresar y resolver problemas relacionados con la organización de datos; especialmente, si son capaces de distinguir y aplicar, de forma adecuada al contexto, operaciones elemento a elemento, operaciones con filas y columnas, operaciones con submatrices y operaciones con la matriz como objeto algebraico con identidad propia.

2. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones.La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el espacio de tres dimensiones.

3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto.Este criterio pretende evaluar la capacidad de representar un problema en lenguaje algebraico o gráfico y resolverlo aplicando procedimientos adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de evaluar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente.

4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en forma explícita.

Oxford EDUCACIÓN11


Se pretende comprobar con este criterio que los alumnos son capaces de utilizar los conceptos básicos del análisis y que han adquirido el conocimiento de la terminología adecuada y los aplican adecuadamente al estudio de una función concreta.

5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización.Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. En concreto, se pretende comprobar la capacidad de extraer conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar valores que optimicen algún criterio establecido.

6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables.Este criterio pretende evaluar la capacidad para medir el área de una región plana mediante el cálculo integral, utilizando técnicas de integración inmediata, integración por partes y cambios de variables sencillos.

7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso.Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse a situaciones nuevas procediendo a su observación, modelado, reflexión y argumentación adecuada, usando las destrezas matemáticas adquiridas. Tales situaciones no tienen que estar directamente relacionadas con contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidad para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en el que se hayan adquirido.

Oxford EDUCACIÓN12


4. PROGRAMACIÓN DE LAS UNIDADES

En este apartado se desarrollan, y para cada una de las 14 unidades en que se organiza el Libro del alumno, todos los aspectos que integran el currículo: objetivos, contenidos (conceptos, procedimientos y actitudes), contenidos transversales y criterios de evaluación.

OBJETIVOS

1. Conocer los conceptos de ecuación lineal y de sistema de ecuaciones lineales.2. Identificar un sistema homogéneo.3. Comprender el concepto de conjunto solución.4. Conocer los criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones.5. Clasificar los sistemas según su solución: compatibles determinados e

indeterminados, e incompatibles.6. Conocer el método de Gauss.7. Aplicar el método de Gauss a sistemas de ecuaciones con parámetros y

discutirlos en función de estos.8. Resolver problemas con enunciado textual usando sistemas de ecuaciones.

CONTENIDOS

Conceptos Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Conjunto solución de un sistema. Sistemas equivalentes. Sistemas homogéneos. Grados de libertad. Sistemas compatibles e incompatibles.

Procedimientos Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones. Eliminación de parámetros. Utilización del método de Gauss. Interpretación geométrica de la solución de un sistema.

Oxford EDUCACIÓN

ÁLGEBRA

UNIDAD DIDÁCTICA Nº 1

SISTEMAS DE ECUACIONES

13


Planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones extraídos de problemas relacionados con la vida cotidiana.

Actitudes Interés por la presentación clara y ordenada de los procedimientos

seguidos en la resolución de sistemas de ecuaciones. Disposición favorable a repasar de forma sistemática los cálculos que

deciden la compatibilidad y solución de un sistema. Valoración de la utilidad del método de Gauss para resolver un sistema.

CONTENIDOS TRANSVERSALES

Educación moral y cívicaEl trabajo algebraico precisa del rigor y de la capacidad de abstracción. El desarrollo de estas capacidades facilita el enfoque adecuado de los problemas éticos.

El orden y la constancia en la resolución de los problemas algebraicos contribuyen al desarrollo de estas facetas de modo general.


1. Diferenciar entre sistemas lineales y sistemas que no lo son.2. Determinar cuándo dos sistemas son equivalentes.3. Hallar la solución, si existe, de un sistema de ecuaciones lineales.4. Discutir un sistema en función de un parámetro.5. Interpretar geométricamente la solución de un sistema.6. Aplicar el método de Gauss para resolver un sistema.7. Traducir problemas con enunciado textual a lenguaje algebraico y convertirlos

en un sistema de ecuaciones, aplicando de esta forma los conocimientos adquiridos para su resolución.

Oxford EDUCACIÓN14


OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de matriz de dimensión m x n como tabla ordenada de números.

2. Conocer los distintos tipos de matrices.3. Definir y calcular la suma y el producto de matrices, y el producto de una matriz

por un número real.4. Definir y calcular la traspuesta de una matriz.5. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales.6. Calcular, cuando exista, la inversa de una matriz.7. Resolver un sistema de ecuaciones lineales calculando la inversa de la matriz

de los coeficientes.8. Expresar enunciados, cuando sea posible, en forma de matriz.9. Asociar una matriz a un grafo.10. Comprender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo.

CONTENIDOS

Conceptos Matriz. Dimensión y orden de una matriz. Tipos de matrices. Operaciones con matrices. Traspuesta de una matriz: matriz simétrica y antisimétrica. Matriz inversa. Matriz de los coeficientes, ampliada, de las incógnitas y de los términos

independientes, asociadas a un sistema de ecuaciones. Grafos. Rango de una matriz.

Procedimientos Adición de matrices y multiplicación por números reales. Multiplicación de matrices. Cálculo de potencias de matrices por inducción. Cálculo de la inversa de una matriz mediante el método de Gauss. Expresión de un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial. Resolución de sistemas mediante el método de la matriz inversa. Planteamiento y resolución de problemas con enunciado textual, utilizando

la notación matricial. Cálculo del rango de una matriz según el método de Gauss. Relación entre el rango y el orden de una matriz cuadrada con la existencia

de su inversa. Aplicación de las matrices: resolución de problemas y grafos.

Oxford EDUCACIÓN


MATRICES

15


Actitudes Valoración de la utilidad del cálculo matricial para la resolución de sistemas

de ecuaciones. Reconocimiento de la utilidad del método de Gauss para obtener la matriz

inversa de una matriz invertible y para hallar el rango de una matriz. Valoración de la importancia de las matrices por su aplicación a situaciones

reales.


Educación moral y cívicaLas matemáticas contribuyen a desarrollar el rigor en los razonamientos, modificar enfoques personales y ejercitar la constancia para buscar soluciones a diversos problemas.

Se potencia la secuenciación ordenada de contenidos, se plantean problemas relacionados con situaciones reales y cotidianas y se proponen actividades para realizar en grupo, con el fin de favorecer la colaboración entre compañeros.


1. Conocer los distintos tipos de matrices.2. Sumar matrices de igual dimensión. Multiplicar matrices por un número real.3. Multiplicar matrices, decidiendo cuándo es posible.4. Expresar un sistema de ecuaciones lineales en notación matricial.5. Expresar un enunciado textual en notación matricial.6. Aplicar el método de Gauss para hallar la inversa y el rango de una matriz.7. Utilizar la matriz inversa de la matriz de los coeficientes para resolver un

sistema de ecuaciones lineales.8. Decidir, en función del valor del rango, si una matriz cuadrada tiene inversa.9. Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices a

situaciones reales en las que hay que transmitir información estructurada en forma de tablas o grafos.

Oxford EDUCACIÓN16


OBJETIVOS

1. Conocer y comprender el concepto de determinante de una matriz cuadrada.2. Distinguir entre los conceptos de matriz y determinante.3. Conocer y aplicar las propiedades de los determinantes.4. Utilizar las fórmulas de Cramer para resolver sistemas de n ecuaciones con n

incógnitas.5. Utilizar los determinantes para decidir si una matriz cuadrada tiene inversa, y

saber calcularla.6. Emplear los determinantes para calcular el rango de una matriz.7. Enunciar y utilizar el teorema de Rouché-Fröbenius.

CONTENIDOS

Conceptos Determinantes. Propiedades. Menor complementario y adjunto de un elemento, aij, de una matriz

cuadrada. Regla de Sarrus. Fórmulas de Cramer. Matriz adjunta. Menor de orden k. Teorema de Rouché-Fröbenius.

Procedimientos Cálculo de determinantes mediante métodos distintos cuando sea posible. Utilización de las propiedades de los determinantes para simplificar su

cálculo. Resolución de sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer

cuando el sistema cumpla las condiciones necesarias. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada usando determinantes. Determinación del rango de una matriz mediante los determinantes

utilizando el procedimiento de orlar el menor. Aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius para la discusión de sistemas,

tanto si estos dependen de parámetros como si no.

Actitudes Adquisición del hábito de revisar de forma sistemática los resultados obtenidos,

comprobando, cuando sea posible, la validez de los mismos. Valoración de la utilidad de los determinantes en la resolución y discusión de

sistemas de ecuaciones lineales. Valoración de la utilidad del teorema de Rouché-Fröbenius para la discusión de

sistemas de ecuaciones.


Oxford EDUCACIÓN


DETERMINANTES

17


Educación para la pazLa formación matemática contribuye de modo importante al desarrollo de la idea de armonía. Con este fin, se presentan:

Actividades que puedan realizarse en grupo, para favorecer la colaboración y el respeto hacia los miembros del equipo.

La historia de los determinantes, para conocer y respetar otras culturas.


1. Calcular determinantes de cualquier orden.2. Aplicar la regla de Cramer cuando sea posible.3. Calcular la inversa de una matriz cuadrada mediante determinantes.4. Calcular el rango de una matriz, por el procedimiento de orlar el menor.5. Aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir sistemas.

Oxford EDUCACIÓN18


OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de vector libre.2. Conocer las operaciones con vectores libres: adición y multiplicación por un

escalar.3. Determinar cuándo varios vectores son linealmente dependientes e

independientes.4. Comprender el concepto de base.5. Expresar un mismo vector en distintas bases.6. Definir el módulo de un vector libre.7. Definir el producto escalar y el producto vectorial de vectores libres y conocer

sus propiedades y sus interpretaciones geométricas.8. Definir el producto mixto de vectores libres y conocer sus propiedades y su

interpretación geométrica.

CONTENIDOS

Conceptos Vector libre. Operaciones con vectores libres. Dependencia e independencia lineal. Producto escalar: interpretación geométrica y expresión analítica. Producto vectorial: interpretación geométrica y expresión analítica. Producto mixto: interpretación geométrica y expresión analítica.

Procedimientos Cálculo del módulo de un vector. Cálculo de un vector unitario en una dirección determinada. Expresión de vectores en distintas bases. Cálculo de productos escalares de vectores libres en el espacio. Cálculo de productos vectoriales de vectores libres en el espacio. Cálculo de productos mixtos de vectores libres en el espacio. Determinación de la alineación de varios puntos en el espacio.

Actitudes Valoración de la utilidad de la base canónica para operar con vectores en el

espacio. Interés por la interpretación geométrica de los productos escalar, vectorial y

mixto.

Oxford EDUCACIÓN

GEOMETRÍA


VECTORES EN EL ESPACIO

19



Educación vialLas matemáticas, tanto desde su aspecto instrumental como desde el formativo, pueden influir en gran medida en la educación vial. Para desarrollar este tema, se plantean:

Actividades que contribuyen al desarrollo del sentido de orientación y de la visión espacial.

Ilustraciones que muestran perspectivas.

Educación moral y cívicaLas matemáticas contribuyen a desarrollar el rigor en los razonamientos, modificar enfoques personales y ejercitar la constancia para buscar soluciones a diversos problemas. En este sentido, se potencia:

La secuenciación ordenada de contenidos. Rigor en las definiciones de los conceptos y en las demostraciones.


1. Calcular el módulo de un vector y un vector unitario en una dirección determinada.

2. Calcular productos escalares, vectoriales y mixtos de vectores en el espacio, y realizar la interpretación del resultado.

3. Determinar si varios puntos del espacio están alineados.4. Determinar si varios puntos del espacio son coplanarios.

Oxford EDUCACIÓN20


OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de vector director de una recta.2. Conocer las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta en el

espacio.3. Conocer todas las ecuaciones de un plano en el espacio.4. Reconocer un vector perpendicular a un plano dada su ecuación implícita.5. Resolver problemas relacionados con las posiciones relativas de rectas y

planos en el espacio.6. Aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius para discutir las posiciones relativas

de elementos en el espacio.7. Determinar las ecuaciones de rectas y planos en el espacio cuando se dan las

condiciones suficientes.

CONTENIDOS

Conceptos Ecuaciones de la recta en el espacio: vectorial, paramétricas y continua. Ecuaciones del plano en el espacio: vectorial, paramétricas y general o

implícita. Vector perpendicular a un plano. Posiciones relativas de planos, de una recta y un plano, y de dos rectas. Ecuaciones de una recta y un plano que cumplen determinadas

condiciones.

Procedimientos Determinación de cualesquiera de las ecuaciones de una recta dadas

ciertas condiciones. Cálculo de cualesquiera de las ecuaciones de un plano dadas ciertas

condiciones. Determinación de la coplanariedad de varios puntos en el espacio. Determinación de un vector perpendicular a un plano dado. Determinación de las posiciones relativas de dos y tres planos, entre

rectas, y entre una recta y un plano. Determinación de las ecuaciones de haces de planos. Determinación de las ecuaciones de una recta y un plano que cumplen

determinadas condiciones.

Actitudes Interés por asumir los conceptos de vector libre, vector director de una

recta y vectores directores de un plano. Valoración del teorema de Rouché-Fröbenius como instrumento apropiado

para la determinación de posiciones relativas de elementos en el espacio. Interpretación de las soluciones de los sistemas formados por las

ecuaciones de rectas y planos como elementos del espacio.

Oxford EDUCACIÓN


RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

21



Educación vialLas matemáticas, tanto desde su aspecto instrumental como desde el formativo, pueden influir en gran medida en la educación vial. Para desarrollar este tema, se plantean:

Actividades que contribuyen al desarrollo del sentido de orientación y de la visión espacial.


Educación para la saludLa salud está relacionada con el bienestar físico y psíquico. En relación con este tema, se presentan:

Un nivel de contenido adecuado a la edad de los estudiantes. Un orden de menor a mayor profundización en los contenidos y de

dificultad progresiva en la secuenciación de las actividades. Actividades que puedan realizarse en grupo para favorecer la colaboración

y el respeto hacia los miembros del equipo.


1. Escribir cualesquiera de las ecuaciones de una recta.2. Determinar si varios puntos del espacio están alineados.3. Escribir cualesquiera de las ecuaciones de un plano.4. Determinar si varios puntos del espacio son coplanarios.5. Determinar si una recta y un plano son perpendiculares.6. Determinar las posiciones relativas de rectas y planos en el espacio.7. Utilizando los conocimientos adquiridos en esta unidad y en la anterior, calcular

las ecuaciones de rectas y de planos que cumplen determinadas condiciones en cuanto a posición relativa con respecto a otros elementos del espacio.

Oxford EDUCACIÓN22


OBJETIVOS

1. Definir y calcular el ángulo que forman diversos elementos en el espacio.2. Definir y calcular la distancia entre diversos elementos del espacio.3. Distinguir las coordenadas cilíndricas, esféricas polares y paramétricas en el

espacio.4. Conocer la ecuación de la superficie esférica.5. Conocer las ecuaciones de superficies como el elipsoide, los hiperboloides y

los paraboloides.

CONTENIDOS

Conceptos Ángulo entre dos planos, entre recta y plano, y entre dos rectas que se

cortan. Distancia entre dos planos, entre recta y plano, y entre un punto y un plano. Distancia entre rectas paralelas, entre rectas que se cruzan, y entre un

punto y una recta. Ecuaciones de una recta y de un plano que cumplen determinadas

condiciones. Coordenadas cilíndricas, esféricas polares y paramétricas en el espacio. Superficies en el espacio: la esfera. Otras superficies en el espacio: elipsoide, hiperboloides y paraboloides.

Procedimientos Cálculo de los ángulos que forman dos planos, dos rectas que se cortan, y

una recta y un plano. Cálculo de las distancias entre planos paralelos, entre una recta y un plano,

entre un punto y una recta, y entre un punto y un plano. Determinación de las ecuaciones de haces de planos. Determinación de las ecuaciones de una recta y de un plano que cumplen

determinadas condiciones. Transformación de un sistema de coordenadas a otro en el espacio. Expresión de la superficie esférica en coordenadas paramétricas. Determinación de la intersección de una superficie y un plano en el

espacio.

Actitudes Globalización de todos los conocimientos adquiridos en primer y segundo

cursos de Bachillerato y valoración de la posibilidad de estudiar geometrías de dimensión n.

Valoración de la importancia de las coordenadas cilíndricas, esféricas y paramétricas para expresar superficies en el espacio.

Interés por la trascendencia de las superficies en el espacio en sus aplicaciones a la vida cotidiana.

Oxford EDUCACIÓN


MÉTRICA EN EL ESPACIO

23



Educación vialLas matemáticas, tanto desde su aspecto instrumental como desde el formativo, pueden influir en gran medida en la educación vial. Para desarrollar este tema se plantean:

Actividades que contribuyen al desarrollo del sentido de la orientación y de la visión espacial.


Educación para la pazLa paz indica armonía en la vida personal y en las relaciones sociales. La formación matemática contribuye de modo importante al desarrollo de la idea de armonía. Para ello, el material presenta:

Recursos gráficos de distintas culturas (construcciones, obras artísticas, etcétera).

Educación para la igualdad de oportunidades entre ambos sexosEl tipo de educación puede influir de manera determinante en las diferencias culturales entre las personas de distinto sexo. Para ello se ha procurado que el material incluya, sin estridencias:

Redacción dirigida a personas de distinto sexo.


1. Calcular el ángulo que forman diversos elementos en el espacio.2. Calcular la distancia entre diversos elementos en el espacio.3. Utilizando los conocimientos adquiridos en esta unidad y en la anterior, calcular

las ecuaciones de rectas y de planos que cumplen determinadas condiciones en cuanto a posición relativa, ángulo y distancia con respecto a otros elementos del espacio.

4. Expresar un punto, dado en un sistema de coordenadas, en otro de los sistemas estudiados en el espacio.

5. Expresar las ecuaciones de una superficie cuádrica cualquiera.6. Determinar la curva intersección de una superficie cuádrica y un plano paralelo

a uno de los planos coordenados.

Oxford EDUCACIÓN24


OBJETIVOS

1. Comprender la construcción del conjunto de los números reales.2. Conocer las principales propiedades de los números reales.3. Diferenciar los diversos conjuntos numéricos en la recta real y determinar si

están o no acotados.4. Comprender el concepto de función real de variable real.5. Operar correctamente con funciones.6. Determinar cuándo una función posee inversa respecto de la composición.7. Comprender el concepto de límite de una función en un punto.8. Determinar límites de funciones reales en un punto.9. Conocer las principales propiedades de las funciones convergentes.10. Comprender el concepto de límite de una función en el infinito.11. Conocer y aplicar las reglas de cálculo con límites.12. Reconocer y resolver las indeterminaciones que se producen en el cálculo de

límites.

CONTENIDOS

Conceptos El conjunto de los números reales. Relación de orden en el conjunto de los números reales. Acotación de conjuntos numéricos: máximo, mínimo, supremo e ínfimo. Función real de variable real. Dominio y recorrido de una función. Composición de funciones reales. Función inversa. Límite de una función en un punto. Límites laterales en un punto. Propiedades de las funciones convergentes. Límites de una función en el infinito. Indeterminaciones en el cálculo de límites. Asíntotas de una función.

Procedimientos Resolución analítica del dominio de una función. Composición de funciones y obtención del dominio de la función

compuesta.

Oxford EDUCACIÓN

ANÁLISIS


LÍMITES DE FUNCIONES

25


Expresión analítica de la inversa de una función dada respecto de la composición de funciones. Para casos sencillos, acotación del dominio concreto en el cual una función no inyectiva tiene inversa.

Cálculo de límites de funciones en un punto y en el infinito. Determinación de las asíntotas de una función. Cálculo de límites de operaciones con funciones. Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones:

, 0 · , /, 0/0, 1, (+)0 y 00. Aplicación de los logaritmos al cálculo de límites.

Actitudes Valoración de la importancia de la axiomatización de los números reales. Apreciación de la utilidad de los procedimientos del cálculo de límites para

la resolución de indeterminaciones. Espíritu crítico ante el resultado de cualquier ejercicio o problema. Interés y respeto por otros procedimientos y soluciones distintos de los

propios.


Educación moral y cívicaLas matemáticas contribuyen a desarrollar el rigor en los razonamientos y la flexibilidad para mantener o modificar los enfoques personales de los temas; también permiten ejercitar la constancia y el orden para buscar soluciones a diversos problemas.

Para facilitar este aspecto educativo, se ha procurado que los contenidos respondan a las siguientes características:

Rigor en las definiciones de los conceptos y en las demostraciones. Secuenciación ordenada de los contenidos. Actividades que permiten desarrollar la capacidad autocrítica.


1. Utilizar y escribir correctamente los diferentes conjuntos numéricos de la recta real.

2. Determinar, analíticamente, dominios de funciones reales de variable real.3. Determinar, analíticamente, el recorrido de funciones sencillas.4. Discutir la acotación y distinguir en casos sencillos, tanto gráfica como

analíticamente, los intervalos de monotonía de una función dada.5. Componer funciones, determinando previamente su dominio.6. Averiguar si una función es inyectiva y calcular su inversa respecto de la

composición.7. Acotar el dominio de una función no inyectiva para que tenga inversa.8. Calcular límites de funciones en un punto y en el infinito, tanto gráfica como

analíticamente.9. Reconocer y averiguar asíntotas verticales y horizontales de una función, tanto

gráfica como analíticamente.10. Resolver las indeterminaciones: , 0 · , /, 0/0, 1, (+)0 y 00 en el

cálculo de límites de funciones, utilizando la calculadora, si es preciso, en los dos últimos casos.

Oxford EDUCACIÓN26


OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de función continua en un punto.2. Conocer las propiedades de las operaciones con funciones continuas y sus

consecuencias.3. Establecer cuándo una función es continua en un punto y cuándo en su

dominio.4. Diferenciar dominio de definición y dominio de continuidad de una función.5. Averiguar el valor del parámetro o parámetros para que una función en cuya

expresión aparezcan sea continua en un punto.6. Determinar y clasificar los tipos de discontinuidad de una función dada en

forma analítica o gráfica.7. Conocer las condiciones de continuidad en un intervalo cerrado.8. Entender y aplicar los teoremas asociados a la continuidad de una función en

un intervalo: teoremas de Bolzano, de acotación, de Weierstrass y de los valores intermedios.

9. Acotar los ceros de una función en un intervalo mediante el teorema de Bolzano.

CONTENIDOS

Conceptos Función continua en un punto. Definición métrica de función continua en un punto. Continuidad de una función en un intervalo abierto. Adición, multiplicación, división y composición de funciones continuas. Teorema de la conservación del signo en un entorno de un punto en el que

la función es continua. Teorema de acotación de una función en un entorno de un punto en el que

la función es continua. Tipos de discontinuidades: evitable, de salto, esencial y asintótica. Función continua en un intervalo cerrado. Teorema de Bolzano. Teorema de acotación. Teorema de Weierstrass. Teorema de los valores intermedios.

Procedimientos Aplicación de las condiciones de continuidad en un punto para establecer si

una función es continua en un punto determinado. Determinación del dominio de continuidad de una función. Clasificación de las discontinuidades de una función. Transformación de la expresión de una función para salvar

discontinuidades evitables. Interpretación de los distintos tipos de discontinuidad.

Oxford EDUCACIÓN


CONTINUIDAD

27


Determinación de parámetros de funciones continuas imponiendo las condiciones de continuidad.

Discusión de la continuidad de una función en un intervalo cerrado. Verificación de las hipótesis del teorema de Bolzano para una función

definida en un intervalo cerrado. Demostración de cuándo una función posee ceros en un intervalo

determinado. Cálculo, por aproximación, de las soluciones de la ecuación f (x) = 0. Aplicación correcta de los teoremas asociados a la continuidad de una

función en un intervalo.

Actitudes Valoración de la utilidad del cálculo de límites para el estudio de la

continuidad de una función. Interés por los procesos de demostración de los teoremas que se estudian

en la unidad. Espíritu crítico ante el resultado de cualquier ejercicio o problema. Interés y respeto por los procedimientos distintos de los propios.


Educación para la saludLa salud está relacionada con el bienestar físico y mental. En relación con este tema se presenta:



y el respeto hacia los miembros del equipo. Una presentación formal que pretende el equilibrio entre el texto y la

ilustración para ofrecer una imagen estética y agradable.


1. Expresar la definición de función continua en un punto.2. Determinar el dominio de continuidad de una función.3. Clasificar las discontinuidades de una función.4. Modificar el criterio de definición de una función que posee una discontinuidad

evitable para que sea continua.5. Aplicar las propiedades de las operaciones con funciones continuas.6. Calcular el valor de un parámetro para que una función sea continua.7. Aplicar los teoremas asociados a la continuidad de una función en un intervalo.8. Obtener, por aproximación, las soluciones de la ecuación f(x) = 0.

Oxford EDUCACIÓN28


OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica y física.

2. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición.3. Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.4. Diferenciar cuándo es necesario calcular derivadas laterales de una función en

un punto para establecer si existe derivada en él.5. Caracterizar puntos angulosos y puntos de retroceso de una función a partir del

cálculo de las derivadas laterales en un punto.6. Relacionar continuidad y derivabilidad de una función en un punto.7. Definir el concepto de función derivada y disociarlo del de derivada de una

función en un punto.8. Conocer y utilizar las principales reglas de derivación y las derivadas de las

funciones más importantes.9. Aplicar correctamente la regla de la cadena.

CONTENIDOS

Conceptos Tasa de variación media de una función en un intervalo. Tasa de variación instantánea de una función en un punto: derivada de una

función en un punto. Recta tangente a una curva en un punto. Derivadas laterales de una función en un punto. Teorema sobre la relación entre derivabilidad y continuidad. Función derivada. Derivada de una suma, de un producto, de un cociente, de una

potenciación y de una composición de funciones.

Procedimientos Cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo. Cálculo de la derivada de una función en un punto a partir de su definición. Cálculo de derivadas de funciones, mediante las reglas de derivación, y

utilizando, si es preciso, la regla de la cadena. Obtención de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Estudio de la derivabilidad de una función en un punto, mediante el estudio

de su continuidad en él, y a través del cálculo de derivadas laterales. Determinación de parámetros en la expresión analítica de una función

derivable. Determinación de puntos angulosos y de puntos de retroceso. Derivación logarítmica. Obtención de derivadas sucesivas.

Oxford EDUCACIÓN


DERIVADAS

29


Actitudes Valoración de la necesidad del concepto de derivada para la resolución de

problemas geométricos y físicos. Valoración de la utilidad de los procedimientos de cálculo de límites en la

obtención de las derivadas de las funciones elementales. Confianza en las propias capacidades para afrontar y resolver problemas

relacionados con la derivabilidad de una función. Interés y respeto por los procedimientos distintos de los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados.


Educación para la igualdad de oportunidades entre ambos sexosEl tipo de educación puede influir de manera determinante en las diferencias culturales entre las personas de diferente sexo. Por consiguiente, en este tema se presentan:

Actividades que responden a diferentes gustos e intereses. Redacción dirigida a personas de distinto sexo. Actividades de grupo que fomenten la cooperación entre personas de

distinto sexo.

Educación ambientalMuestra el aspecto instrumental de las matemáticas mediante ejemplos de aplicación a cálculos de diversas ciencias (ciencias sociales, ciencias de la naturaleza, etcétera).


1. Establecer cuándo una curva tiene recta tangente en un punto y calcularla.2. Calcular (o determinar si no existiera) la derivada de una función en un punto,

utilizando, si es preciso, derivadas laterales.3. Determinar los parámetros para que una función sea derivable en un punto.4. Derivar funciones simples y compuestas.5. Determinar los puntos de una gráfica en los que la recta tangente tiene una

pendiente determinada.

Oxford EDUCACIÓN30


OBJETIVOS

1. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.2. Averiguar los extremos relativos de una función.3. Determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado.4. Conocer la condición suficiente para determinar la monotonía de una función

derivable en un intervalo abierto.5. Conocer la condición suficiente para que una función derivable tenga un

extremo relativo en x = a.6. Determinar la concavidad y la convexidad de una función en un intervalo

abierto.7. Concretar los intervalos de concavidad y convexidad de una función.8. Encontrar los puntos de inflexión de una función.9. Conocer los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy sobre derivadas.10. Utilizar la regla de L’Hôpital para resolver ciertas indeterminaciones.

CONTENIDOS

Conceptos Función creciente y función decreciente en un intervalo abierto. Extremos relativos y absolutos de una función. Puntos críticos de una función. Condiciones necesarias y suficientes para determinar la monotonía de una

función y sus extremos locales. Teoremas de Rolle, y del valor medio de Lagrange. Concavidad y convexidad de una función en un intervalo abierto. Condiciones necesarias y suficientes para determinar la curvatura de una

función derivable en un intervalo abierto. Condición necesaria y suficiente para determinar los puntos de inflexión. Criterio de la derivada segunda para establecer los extremos relativos. Teorema del valor medio de Cauchy.

Procedimientos Determinación de los siguientes elementos de una función: monotonía,

extremos relativos, concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Determinación de los extremos absolutos de una función en un intervalo

cerrado. Aplicación del teorema de Rolle a la determinación del número de

soluciones de una ecuación. Decisión sobre cuándo una función cumple las hipótesis de los teoremas de

Rolle o de Lagrange, y cálculo de los puntos en los cuales se cumplen las tesis de dichos teoremas.

Aplicación de la regla de L’Hôpital en el cálculo de límites cuando la situación lo requiera.

Oxford EDUCACIÓN


PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

31


Actitudes Disposición a la revisión y mejora de los procedimientos adquiridos en

estadios anteriores del proceso de aprendizaje. Observación de las normas sistemáticas y de precisión que regulan los

procedimientos que se utilizan en esta unidad. Confianza en la capacidad propia para afrontar y resolver problemas

relacionados con la derivabilidad de una función. Interés por los procedimientos distintos de los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados.


Educación moral y cívicaLas matemáticas contribuyen a desarrollar el rigor en los razonamientos y la flexibilidad para mantener o modificar los enfoques personales de los temas; también permiten ejercitar la constancia y el orden para buscar soluciones a diversos problemas. Para facilitar este aspecto educativo, se ha procurado que los contenidos respondan a las siguientes características:

Rigor en las definiciones de los conceptos y en las demostraciones. Secuenciación ordenada de los contenidos. Actividades que permiten desarrollar la capacidad autocrítica.


1. Calcular los intervalos de monotonía de una función.2. Distinguir, entre los puntos críticos de una función, cuáles son extremos.3. Calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado.4. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función, así como

sus puntos de inflexión.5. Deducir las propiedades de una función conocida la gráfica de la función

derivada, en casos sencillos.6. Aplicar los teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange.7. Resolver indeterminaciones mediante la regla de L’Hôpital.

Oxford EDUCACIÓN32


OBJETIVOS

1. Aplicar el cálculo de extremos absolutos y/o relativos en intervalos abiertos y/o cerrados para resolver problemas de optimización.

2. Determinar las principales características de una función a partir de su expresión analítica y del estudio de sus derivadas primera y segunda.

3. Establecer una sucesión de etapas para obtener la representación gráfica de una función, cuando dicha función lo permita.

4. Construir la gráfica de una función polinómica, racional, irracional sencilla, trigonométrica sencilla y de otras funciones trascendentes sencillas.

CONTENIDOS

Conceptos Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado. Extremos relativos de una función en un intervalo abierto o en un intervalo

cerrado. Características generales de una función: dominio, continuidad, signo,

simetría y periodicidad. Asíntotas de una función. Relación entre la derivada primera de una función y su monotonía. Extremos relativos de una función. Relación entre la derivada segunda de una función y su curvatura. Puntos de inflexión de una función.

Procedimientos Dado un problema en el que es necesario optimizar una función,

delimitación de su expresión analítica a partir de los datos del enunciado en función de la variable para la cual se desea averiguar los extremos de dicha función, así como en qué intervalo es necesario averiguarlos.

Determinación de máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado.

Determinación de máximos y mínimos relativos de una función en un intervalo abierto o cerrado, a partir de la obtención de los puntos críticos de la función en dicho intervalo y del estudio del signo de la función derivada.

Determinación de máximos y mínimos relativos de una función en un intervalo abierto o cerrado, a partir de la obtención de los puntos críticos de la función en dicho intervalo y del criterio de la derivada segunda.

Dada la expresión analítica de una función, determinación de su dominio, simetría, periodicidad, continuidad y signo.

Determinación de las ecuaciones de las asíntotas de una función mediante el cálculo de límites.

Obtención de los intervalos de crecimiento de una función a partir del cálculo de su derivada primera y del estudio de su signo, así como de sus extremos relativos.

Oxford EDUCACIÓN


APLICACIONES DE LA DERIVADA

33


Obtención de los intervalos de concavidad y convexidad de una función a partir del cálculo de su derivada segunda y del estudio de su signo, así como de sus puntos de inflexión.

Elaboración de un cuadro resumen que recoja toda la información que se ha obtenido a partir de las expresiones analíticas de f, f ’ y f ’’.

Construcción de la gráfica de una función, f, a partir de la información obtenida de f, f ’ y f ’’ .

Análisis de gráficas de funciones y determinación de sus principales características.

Actitudes Valoración de la importancia del cálculo diferencial en la resolución de

problemas prácticos. Disposición a la revisión y mejora de los procedimientos analíticos

adquiridos en estadios anteriores al proceso de aprendizaje. Gusto por la presentación clara y ordenada de los resultados obtenidos en

el proceso de la representación gráfica de funciones. Valoración de la utilidad de la representación gráfica de funciones. Interés y respeto por los procedimientos y soluciones que son distintos de

los propios. Perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas planteados. Valoración de los recursos que pueden proporcionar las calculadoras

gráficas o los programas que visualizan gráficas de funciones.


Educación del consumidorEsta faceta de la educación permite una relación adecuada entre la persona y los objetos para la satisfacción de las necesidades humanas y la realización personal. Para contribuir a esta relación, esta unidad contiene:

Actividades de cálculo. Actividades de valoración crítica de datos. Actividades de lectura y de representación de gráficos. Actividades que fomentan el uso adecuado y responsable de los recursos

materiales.

Educación ambientalMuestra el aspecto instrumental de las matemáticas mediante ejemplos de aplicación a cálculos de diversas ciencias (sociales, naturales…).


1. Dado un problema de optimización, determinar la función que se ha de optimizar y calcular qué valor alcanza en el extremo deseado.

2. Determinar el dominio, la continuidad y el signo de una función.3. Aplicar el cálculo de límites a la obtención de las asíntotas de una función.4. Averiguar los puntos críticos de una función y establecer sus intervalos de

monotonía. Decidir qué puntos críticos son extremos relativos de una función.5. Concretar los intervalos de concavidad y de convexidad de una función a partir

del estudio del signo de su derivada segunda. Localizar los puntos de inflexión, si los hay.

6. Realizar la representación gráfica de una función, f, a partir de los signos de f, f ’ y f ’’, y del conocimiento de sus asíntotas.

Oxford EDUCACIÓN34


OBJETIVOS

1. Introducir el concepto de función primitiva.2. Determinar la integral indefinida como el conjunto de las primitivas de una

función.3. Conocer las propiedades de la integral.4. Calcular integrales inmediatas y conocer los principales métodos de integración

por cambio de variable, por partes, e integración de funciones racionales.

CONTENIDOS

Conceptos Primitiva de una función. Integral indefinida. Propiedades de la integral. Diferencial de una función.

Procedimientos Cálculo de la primitiva de una función. Cálculo de integrales inmediatas y cuasi inmediatas. Cálculo de integrales por cambio de variable. Cálculo de integrales por partes. Cálculo de integrales de funciones racionales cuyo denominador no tenga

raíces complejas múltiples.

Actitudes Valoración de la integración como operación recíproca de la derivación. Interés por la comprobación de los resultados obtenidos. Valoración de la importancia del cálculo integral en la resolución de

problemas prácticos y en su aplicación en el ámbito de la ciencia y de la técnica.


Educación para la saludLa salud está relacionada con el bienestar físico y psíquico. En relación con este tema se presenta:



y el respeto hacia los miembros del equipo.

Oxford EDUCACIÓN


PRIMITIVAS E INTEGRALES

35


Educación para la pazLa paz implica armonía. La formación matemática contribuye a desarrollar la idea de armonía. En particular, en la presentación de la unidad se muestran situaciones en que es necesario el cálculo integral, en las que se observa la necesidad de colaboración y de respeto entre los miembros de un equipo de distintas nacionalidades para conseguir objetivos de gran importancia para el desarrollo de la ciencia y el enriquecimiento de la humanidad.


1. Comprender el concepto de primitiva y relacionarlo con el proceso inverso de la derivación.

2. Conocer la primitiva de las principales funciones.3. Decidir el método de integración según la función que se quiere integrar.4. Conseguir un elevado grado de corrección de los resultados.5. Comprobar los resultados mediante la derivación de las funciones obtenidas.6. Calcular las constantes de integración cuando en el enunciado se especifiquen

condiciones que lo permitan.

Oxford EDUCACIÓN36


OBJETIVOS

1. Aproximar, por acotación, el área de una región plana.2. Conocer y comprender el concepto de integral definida.3. Conocer y aplicar las propiedades de la integral definida.4. Distinguir entre la integral definida de una función, f, continua en un intervalo [a,

b], y el área que delimita la gráfica de dicha función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

5. Comprender el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo integral.

6. Aplicar la regla de Barrow para calcular integrales definidas.7. Calcular áreas de regiones del plano limitadas por curvas.8. Calcular volúmenes de sólidos de revolución.9. Conocer diversas aplicaciones de la integral definida.

CONTENIDOS

Conceptos Aproximación, por defecto y por exceso, del área de una región del plano

mediante rectángulos. Sumas, superior e inferior de f, asociadas a una partición P de un intervalo

[a, b]. Relación del límite de las sumas de f en el intervalo [a, b] con el área del

plano que delimita la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

Integral definida de una función continua. Propiedades. Valor medio de una función en un intervalo cerrado. Teorema fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow. Sólido de revolución.

Procedimientos Cálculo de primitivas. Aplicación de los métodos de integración. Determinación del valor medio de una función en un intervalo cerrado. Cálculo de integrales definidas mediante la regla de Barrow. Representación gráfica de funciones de forma esquemática. Cálculo del área que delimita la gráfica de una curva, el eje de abscisas y

las rectas de ecuación x = a y x = b. Cálculo del área de la región del plano delimitada por dos curvas. Cálculo del volumen que genera la región del plano delimitada por una

curva entre x = a y x = b, cuando gira alrededor del eje de abscisas. Obtención del volumen de cuerpos de revolución.

Oxford EDUCACIÓN


APLICACIONES DE LA INTEGRAL

37


Actitudes Valoración de la importancia del cálculo integral y de su utilidad para

calcular áreas y volúmenes. Interés por expresar con rigor los conceptos relacionados con el cálculo

integral. Utilización de los medios gráficos adecuados. Interés por la evolución histórica del cálculo integral. Disposición a la revisión y mejora de los resultados. Respeto por las estrategias y por los resultados obtenidos por los

compañeros y compañeras.


Educación vialLas matemáticas, tanto en su aspecto instrumental como en el formativo, pueden influir en gran medida en la educación vial. Para favorecer este aspecto se presentan:

Actividades que implican estrategias de cálculo y aplicación de procedimientos para la estimación de áreas.

Actividades que contribuyen al desarrollo de la percepción espacial. Ilustraciones y representaciones gráficas.

Educación moral y cívicaLas matemáticas contribuyen a desarrollar el rigor en los razonamientos y la flexibilidad para mantener o modificar los enfoques personales de los temas; también permiten ejercitar la constancia y el orden para buscar soluciones a diversos problemas. Este aspecto se pone de manifiesto en la transición histórica de las matemáticas entre los siglos XIX y XX, donde coexisten diversas tendencias o enfoques para el desarrollo de los problemas matemáticos que preocupaban a la comunidad científica en aquel momento, tal como se explica en la página dedicada al mundo de las matemáticas.


1. Calcular las sumas inferior y superior de una función sencilla en un intervalo cerrado, asociadas a una determinada partición.

2. Relacionar el área bajo una curva y = f(x) con la integral definida de f.3. Determinar el valor medio de una función continua en un intervalo cerrado. Si

se trata de una función sencilla, averiguar en qué punto se alcanza.4. Calcular el área de la región del plano delimitada por una curva y el eje de

abscisas.5. Calcular el área delimitada por la gráfica de la función f, el eje de abscisas y las

rectas de ecuación x = a y x = b.6. Calcular el área de la región del plano delimitada por dos curvas.7. Calcular el volumen que se genera al girar el recinto que determina y = f(x), el

eje de abscisas y las rectas de ecuación x = a y x = b.

Oxford EDUCACIÓN38


OBJETIVOS

1. Desarrollar la capacidad de los alumnos de abordar problemas y mejorar su rendimiento para alcanzar una visión más amplia, más abierta y menos estandarizada.

2. Llevar al aula actividades que se centren en fomentar guías estratégicas con el fin de ayudar al alumno en la resolución de problemas.

3. Enseñar al alumnado a incorporar, mediante casos particulares, una pauta. Posteriormente, formular una regla general, verbalmente o de forma algebraica.

4. Desarrollar protocolos en los problemas, es decir, describir y explicar los métodos utilizados y los resultados obtenidos.

5. Mostrar al alumnado que la elección y explicación de estrategias y la discusión de resultados son tan importantes como las respuestas obtenidas.

6. Utilizar y contrastar estrategias para resolver problemas. Y así proporcionar herramientas para enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia y creatividad.

7. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática: visión crítica, necesidad de verificación, valoración de la precisión, cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y apertura a nuevas ideas.

8. Elaborar juicios y criterios personales sobre resolución de problemas relacionados con el entorno cercano al alumno. Comunicar opiniones con precisión y rigor, aceptando la discrepancia como vía de entendimiento y enriquecimiento personal.

CONTENIDOS

Conceptos Significado de la resolución de problemas. Estudio detallado de las fases para la resolución de problemas. Utilización de estrategias de resolución de problemas como el estudio de

todos los casos posibles o la simplificación del problema resolviendo casos particulares.

Procedimientos Análisis de los protocolos de la resolución de problemas diversos para

determinar tanto sus estrategias como su eficacia. Concepción y ejecución del plan para la resolución de problemas aplicando

los algoritmos necesarios.

Oxford EDUCACIÓN

PROBLEMAS Y MÉTODOS


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

39


Trazado de dibujos o esquemas que permitan visualizar las posibles soluciones.

Intento de búsqueda de analogías y diferencias con otros problemas que ya se conocen. Planteamiento de paralelismos.

Contraste de las opiniones propias con las de los compañeros con el fin de potenciar el enriquecimiento mutuo y la aproximación juntos al resultado correcto.

Expresión correcta tanto de forma oral como escrita y gráfica en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente.

Registro del proceso seguido en la resolución del problema aportando la mayor cantidad de datos (protocolo de problemas).

Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas, tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines.

Comprobación del ajuste eficiente de la solución del problema a la situación planteada.

Actitudes Potenciación de un talante mental sano que nos ayude en la resolución de

problemas desechando las fobias, la no motivación y los bloqueos afectivos.

Favorecimiento del trabajo en equipo en los procesos de resolución de problemas para, de este modo, lograr el contraste de las distintas opiniones y la observación del problema desde diferentes planteamientos.

Fomento del espíritu crítico con las opiniones propias y con las de los demás.

Aceptación de otros razonamientos y reconocimiento de los errores y limitaciones propios.

Desarrollo de un método de trabajo que demuestre orden, sistematicidad, esfuerzo continuo e interés por la superación. Además capacidad de disfrute de los logros.

Implicación en las dudas planteadas por otros y participación en el debate mediante críticas constructivas acompañadas de propuestas de mejora.

Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de nuevas soluciones y en la mejora de las ya encontradas.


Educación moral y cívicaLa mente más diestra en la resolución de problemas procederá de la forma más ética en diferentes situaciones que la vida adulta determina y hay que afrontar.


1. Adquirir capacidad de comprender información presentada en forma verbal o gráfica y de traducir tal información al lenguaje matemático.

2. Reconocer los métodos matemáticos adecuados para la solución del problema que se está considerando.

3. Aplicar métodos y técnicas matemáticas para resolver problemas.4. Interpretar los resultados obtenidos en la resolución de problemas, rechazando

las soluciones absurdas.5. Valorar las explicaciones de los alumnos sobre lo que han intentado en cada

momento y lo que han descubierto.

Oxford EDUCACIÓN40


6. Transcribir problemas reales al lenguaje algebraico. Usar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso. Por último resolverlos y dar una interpretación ajustada al contexto de las soluciones obtenidas.

7. Ser capaz de utilizar con autonomía y eficacia las estrategias características de la investigación científica y los procedimientos propios de las matemáticas (plantear problemas, formular y contrastar hipótesis, etc.) para realizar investigaciones, es decir, explorar situaciones y fenómenos nuevos.

Oxford EDUCACIÓN41

Documents

Programación Tesela Matemáticas 2º Bach. … · Web viewAsimismo, en la sección Ejercicios resueltos se encuentran actividades que, gracias a la explicación detallada de su resolución,