Pronosticos Minimos Cuadrados Trabajo Presu

7/27/2019 Pronosticos Minimos Cuadrados Trabajo Presu

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

PRESUPUESTOS DE PRODUCCION

TEMA:

PRONOSTICOS POR MINIMOS CUADRADOS

DOCENTE

Ing. Sal Granados

INTEGRANTES

Carranza Martnez, YeniNathaly CM06021

Hernndez Amaya, Loida Eunice HA04010

Orantes Tobar, David Alberto OT 04001

Santos Vsquez, Sandra Maribel SV06002

Ciudad Universitaria, 14 de abril de 2011

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[PRONSTICOPOR MINIMOS CUADRADOS] UES

universidad de el salvador | ndice

ndice

ContenidoIntroduccin ........................................................................................................................ i

Objetivos ............................................................................................................................ ii

Objetivo General ............................................................................................................. ii

Objetivos Especficos ....................................................................................................... ii

Contenido ...........................................................................................................................1

Pronostico ..........................................................................................................................1

Historia del mtodo de mnimos cuadrados ........................................................................3

Definicin del mtodo .....................................................................................................4

Formulacin dimensional de los problemas.....................................................................5

Deduccin analtica de la aproximacin discreta mnimo cuadrtica lineal ......................6

Corolario .........................................................................................................................8

Deduccin geomtrica del problema discreto .................................................................9

Algunas Ventajas y restricciones del Modelo .................................................................12

Ventajas ....................................................................................................................12

Restricciones .............................................................................................................13

Pronostico por mnimos cuadrados ...................................................................................13

FRMULA GENERAL ......................................................................................................14

MTODO SIMPLIFICADO (PARES Y NONES) ....................................................................14

Ejemplos: ......................................................................................................................14

Mtodo general ........................................................................................................14

Mtodo simplificado .................................................................................................16

Conclusiones .....................................................................................................................22

Bibliografa .......................................................................................................................23


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universidad de el salvador | Introduccin i

Introduccin

Como sabemos, una descripcin matemtica de un fenmeno de la vida real, dadaen trminos como por ejemplo, de una funcin o de una ecuacin es lo que constituyeun modelo matemtico.

El consumo continuo de un producto en el mercado, el aumento o decremento enla produccin, el crecimiento en las ventas, el pronstico en la tendencia inflacionaria enlos precios del petrleo y otras materia primas, el costo de la reduccin de productoscontaminantes en una determinada zona, la necesidad de realizar pronsticos sobre lavariacin a futuro del PIB en un pas determinado, son ejemplos de fenmenos reales quese pueden modelar matemticamente por una funcin.

Tomando en cuenta lo anterior se puede hacer una inferencia en la necesidad deestablecer o tomar en cuenta diversos modelos de pronstico que pueden ayudarnos adeterminar el comportamiento o tendencia de la o las variables seleccionadas.

En el caso en particular, se presentan los pronsticos en base al mtodo de losmnimos cuadrados que es una de las herramientas de las ms usadas en la actualidadpara corregir tendencias y alinearlas hacia una tendencia lineal sobre el pronstico de localculado. Este como todos los pronsticos tiene la finalidad de comprender losfenmenos y, como consecuencia, hacer pronsticos acerca de su comportamiento.


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universidad de el salvador | Objetivos ii

Obj etivos

Obj etivo General

Dar a conocer el mtodo de Mnimos Cuadrados como una alternativa para

pronosticar tendencias dentro de una diversa alternativas para elaborar dichos

pronsticos.

Obj etivos Especficos

Establecer una formacin histrica de donde deriva el mtodo.

Conocer la forma de aplicacin del mtodo de mnimos cuadrados.

Dar a conocer el algoritmo para poder lograr hacer el ajuste de las tendencias

mediante el mtodo de mnimos cuadrados para usarla como herramienta de

pronstico.

Ejemplificar el uso de la tcnica para dar una mejor comprensin de la misma.

Establecer las ventajas y limitaciones del mtodo.


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universidad de el salvador | Contenido 1

Contenido

Para hablar de Mnimos Cuadrados, ser necesario definir primero algunasconsideraciones sobre la necesidad de pronosticar

Pronostico

Qu es un pronstico?

Es una serie de datos que en base a una serie de estudios determinan la demanda

en un futuro de un determinado producto.Es una inferencia a partir de ciertos datos.

Cmo se define el pronstico?

Es una tcnica que permite predecir lo que ocurrir en el futuro. El pronstico depender

de los cambios en las variables externas al sistema de produccin.

Es necesario pronosticar cundo se considera:

Un entorno altamente incierto.

La intuicin no necesariamente da los mejores resultados.

Mejorar la planeacin y la elaboracin presupuestal

Cuando se desea mejorar en competitividad y lograr un cambio en la bsqueda de

crecimiento


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universidad de el salvador | Pronostico 2

Para este efecto, hay varias clases de pronsticos que se pueden considerar y acontinuacin se presenta una tabla que nos describe una de las clasificaciones existentes.

Qu significa pronosticar?

Es predecir el futuro a partir de algunos indicios

Cules son los antecedentes de los pronsticos?

Tuvieron su origen en aspectos informales de la vida cotidiana. En otras pocas los Reyes,

los Polticos y personas adineradas acudan a los clarividentes para que les comentaran

acerca de sus vidas en el futuro. Al paso del tiempo estas ideas las adoptan los

comerciantes y empresarios y se fue formalizando poco a poco para el concepto de los

pronsticos hasta llegar a la que hoy se conoce como un importante tema.

Dnde se utilizan las tcnicas de pronsticos en una empresa para determinar la

demanda?

Estas tcnicas se utilizan en empresas para determinar la demanda futura de sus

productos, y en base a esto planear y controlar la cantidad de productos que deber

producir.

Cundo una empresa est en condiciones de optimizar?

Cuando una empresa determina la demanda futura de sus pronsticos, est en

condiciones de optimizar el uso de todos sus recursos, lograr sus objetivos y satisfacer la

demanda de sus clientes oportunamente.

Por su plazo: y De corto plazo y De largo plazo

Segn el entorno a pronosticar y Micro y Macro

Segn el procedimiento empleado y Cualitativo y Cuantitativo


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universidad de el salvador | Historia del mtodo de mnimos cuadrados 3

Quin utiliza las tcnicas de pronsticos?

Personal especializado y adscritos a las reas de produccin y mercadotecnia de las

productoras o bienes.

Cul es la validez de un pronstico?No es la verdad absoluta respecto a algn evento en el futuro, un pronstico solo es una

aproximacin a la realidad entre ms se acerque a ella mejor ser.

En una Sistema de produccin se presentan 2 grupos de problemas

a) Probabilidad de diseo

b) Probabilidad de la planeacin

Cmo se agrupan las tcnicas de pronsticos que utilizan en la actualidad?

Cualitativas

Cuantitativas

Combinacin de ambas

Historia del mtodo de mnimos cuadrados

Carl Friedrich Gauss.El da de Ao Nuevo de 1801, el astrnomo italiano Giuseppe Piazzi descubri el

planeta enano Ceres. Fue capaz de seguir su rbita durante 40 das. Durante el curso deese ao, muchos cientficos intentaron estimar su trayectoria con base en lasobservaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento esmuy difcil). La mayora de evaluaciones fueron intiles; el nico clculo suficientemente


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preciso para permitir aZach, astrnomo alemn, reencontrar a Ceres al final del ao fue elde un Carl Friedrich Gauss de 24 aos (los fundamentos de su enfoque ya los habaplanteado en 1795, cuando an tena 18 aos). Pero su mtodo de mnimos cuadrados nose public hasta 1809, apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecnica

celeste, TheoriaMotusCorporumCoelestium in sctionibusconicissolemambientium . Elfrancs Adrien-Marie Legendre desarroll el mismo mtodo de forma independiente en1805.

En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razn del xito maravilloso de esteprocedimiento: simplemente, el mtodo de mnimos cuadrados es ptimo en muchosaspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Mrkov.

Definicin del mtodo

Mnimos cuadrados: es una tcnica de anlisis numrico encuadrada dentro dela optimizacin matemtica, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), seintenta encontrar la funcin que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), deacuerdo con el criterio de mnimo error cuadrtico.

Su uso bsicamente se centra en que permite encontrar la ecuacin de una lnearecta a partir de datos previos o experimentales. Generalmente pueden ser datoshistricos de determinadas variables como ventas, costos de materias primas, tasas de

inflacin, etc.Es decir, que teniendo dichos datos histricos o experimentales, se pueden

obtener la pendiente y la ordenada de origen de la recta que mejor se ajuste a los valoresdados y con base a la ecuacin o funcin poder estimar hacia el futuro.

En su forma ms simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias

ordenadas (llamadas residuos ) entre los puntos generados por la funcin y loscorrespondientes en los datos. Especficamente, se llama mnimos cuadrados

promedio (LMS) cuando el nmero de datos medidos es 1 y se usa el mtodo de descensopor gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimizael residuo cuadrado esperado, con el mnimo de operaciones (por iteracin), perorequiere un gran nmero de iteraciones para converger.


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Desde un punto de vista estadstico, un requisito implcito para que funcione elmtodo de mnimos cuadrados es que los errores de cada medida estn distribuidos deforma aleatoria. Elteorema de Gauss-Mrkov prueba que los estimadores mnimoscuadrticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, porejemplo, a una distribucin normal. Tambin es importante que los datos recogidos estnbien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas(para dar ms peso a un dato en particular, vase mnimos cuadrados ponderados).

La tcnica de mnimos cuadrados se usa comnmente en el ajuste de curvas.Muchos otros problemas de optimizacin pueden expresarse tambin en forma demnimos cuadrados, minimizando la energa o maximizando la entropa.

Formulacin dimensional de los pro b lemas

Supngase el conjunto de puntos ( x k ,y k ), siendo . Sea f j ( x ),con una base de m funciones linealmente independientes. Queremos

encontrar una funcin combinacin lineal de las funciones base tal que ,esto es:

Se trata de hallar los m coeficientes c j que hagan que la funcin aproximante f(x)sea la mejor aproximacin a los puntos ( x k ,y k ). El criterio de mejor aproximacin puedevariar, pero en general se basa en aqul que d un menor error en la aproximacin. Elerror en un punto ( x k ,y k ) se podra definir como:

La aproximacin mnimo cuadrada se basa en la minimizacin del error cuadrticomedio, o, equivalentemente, en la minimizacin del radicando de dicho error, el llamado

error cuadrtico, definido como:


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Para alcanzar este objetivo, suponemos que la funcin f es de una forma particularque contenga algunos parmetros que necesitamos determinar. Por ejemplo,

supongamos que es cuadrtica, lo que quiere decir que , dondeno conocemos an , y . Ahora buscamos los valores de , y que minimicen la sumade los cuadrados de los residuos ( S):

Esto explica el nombre de mnimos cuadrados . A las funciones que multiplican a loscoeficientes buscados, esto es, a x 2, x y 1, se les conoce con el nombre de funciones basede la aproximacin. Dichas funciones base pueden ser cualesquiera funciones, y para esecaso se deduce a continuacin la frmula general en el caso de que la aproximacin sea

discreta y lineal.La aproximacin de mnimos cuadrados es la mejor aproximacin al conjunto de

puntos ( x k ,y k ), segn el criterio del error cuadrtico medio. Es posible generar otro tipo deaproximaciones si se toman los errores mximos o medios, pero la dificultad que entraaoperar con ellos debido al valor absoluto de su expresin hace que apenas se usen.

La aproximacin mnimo cuadrado tiene solucin general para el caso de unproblema de aproximacin lineal en sus coeficientes c j cualesquiera sean las funcionesbase f j ( x ) antes expuestas. Por lineal se entiende f(x) es una combinacin lineal de dichasfunciones base. Para hallar la expresin de la frmula general, es posible o bien minimizarel error cuadrtico arriba expuesto, para lo cual se hara uso del clculo multivariable (setratara de un problema de optimizacin en c j ), o alternativamente hacer uso del lgebralineal en la llamada deduccin geomtrica. Para los Modelos estticos uniecuacionales, elmtodo de mnimos cuadrados no ha sido superado, a pesar de diversos intentos paraello, desde principios del Siglo XIX. Se puede demostrar que, en su gnero, es el queproporciona la mejor aproximacin.

Deduccin analtica de la aproximacin discreta mnimo cuadrtica lineal

Sean n pares con abscisas distintas, y sean m funciones

cualesquiera linealmente independientes , que se llamarn funciones base.


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Se desea encontrar una funcin f ( x ) combinacin lineal de dichas funciones base, tomandopor ello la forma:

Ello equivale por tanto a hallar los m coeficientes . En concreto, se desea que

tal funcin f ( x ) sea la mejor aproximacin a los n pares empleando el criterio

de mnimo error cuadrtico medio de la funcin f ( x ) con respecto a los puntos .

El error cuadrtico medio ser para tal caso:

Minimizar el error cuadrtico medio es equivalente a minimizar el error cuadrtico,definido como el radicando del error cuadrtico medio, esto es:

As, losc j que minimizan E cm tambin minimizan E c, y podrn ser calculadosderivando e igualando a cero este ltimo:

Siendo i=1,2, . . .,m.

Se obtiene un sistema de m ecuaciones con m incgnitas, que recibe el nombrede " E cuaciones Normales de Gauss" . Operando con ellas:


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Si se desarrolla el sumatorio, se visualiza la ecuacin "i" del sistema de ecuacionesnormales:

.

En forma matricial, se obtiene que:

Siendo (a ,b)d el producto escalar discreto, definido para dos funciones dadas h(x) y g(x)como:

y para una funcin h(x) y vector cualquiera u, como:

La resolucin de dicho sistema permite obtener, para el saber de ellos paracualquier base de funciones derivables localmente, la mejor aproximacin mnimocuadrtica f(x) al conjunto de puntos antes mencionado. La solucin es ptima esto es,proporciona la mejor aproximacin siguiendo el criterio de mnimo error cuadrtico,puesto que se obtiene al optimizar el problema.

Corolario

Si se tratara de hallar el conjunto {c j } tal que f ( x ) pasara exactamente por todos los

pares , esto es, tales que f ( x )interpolara a , entoncestendra que cumplirse que:


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En forma matricial, ello se expresara:

Esto establece un sistema de n ecuaciones y m incgnitas, y como en general n>m,quedara sobre determinado: no tendra solucin general. Por tanto, la aproximacintratar en realidad de hallar el vector c que mejor aproxime .

Se puede demostrar que la matriz de coeficientes de las ecuaciones normales deGauss coincide con , siendo A la matriz de coeficientes exactas; y e le trminoindependiente de las ecuaciones normales de Gauss coincide con el vector , demanera que puede escribirse que los { c j } que mejor aproximan f(x) pueden calcularsecomo la solucin al sistema:

,

que son las ecuaciones normales de Gauss.

Deduccin geomtrica del pro b lema discreto

La mejor aproximacin deber tender a interpolar la funcin de la que proviene elconjunto de pares ( x k ,y k ), esto es, deber tender a pasar exactamente por todos lospuntos. Eso supone que se debera cumplir que:

Sustituyendo f(x) por su expresin:


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Esto es, se tendra que verificar exactamente un sistema de n ecuaciones y mincgnitas, pero como en general n>m, dicho sistema est sobredeterminado, no tienesolucin general. De ah surge la necesidad de aproximarlo.

Dicho sistema podra expresarse en forma matricial como:

Esto es:

La aproximacin trata de hallar el vector c aproximante que mejor aproxime elsistema A c = b .

Con dicho vector c aproximante, es posible definir el vector residuo como:

De manera que el mnimo error cuadrtico supone minimizar el residuo,definiendo su tamao en base a la norma eucldea o usual del residuo, que equivale alerror cuadrtico:

siendo (r ,r )2 el producto interior o escalar del vector residuo sobre s mismo.

Si atendemos al sistema A c = b , entonces se ve claramente que al multiplicar A y c,lo que se realiza es una combinacin lineal de las columnas de A:

El problema de aproximacin ser hallar aquella combinacin lineal de columnasde A lo ms cercana posible al vector b. Se comprueba que el conjunto de las columnas de


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A engendran un Span lineal: span ( A 1, A 2,..., A m), al que el vector b no tiene porqupertenecer (si lo hiciera, el sistema Ac=b tendra solucin).

Entonces, de los infinitos vectores del span ( A 1, A 2,..., A m) que son combinacin linealde los vectores de la base, se tratar de hallar el ms cercano al vector b.

De entre todos ellos, el que cumple esto con respecto a la norma eucldea es laproyeccin ortogonal del b sobre span ( A 1, A 2,..., A m), y que por tanto hace que el tamaodel vector r, que ser el vector que una los extremos de los vectores b y proyeccinortogonal de b sobre el span, sea mnimo, esto es, que minimiza su norma eucldea.

Es inmediato ver que si el residuo une b con su proyeccin ortogonal, entonces esa su vez ortogonal al span ( A 1, A 2,..., A m), y a cada uno de los vectores de la base, esto es,ortogonal a cada columna de A.

La condicin de minimizacin del residuo ser:

Esto solo es cierto si:

A su vez, cada una de las m condiciones de perpendicularidad se puede agrupar en unasola:

Sustituyendo el residuo por su expresin:

Por tanto, la mejor aproximacin mnimo cuadrada lineal para un conjunto depuntos discretos, sean cuales sean las funciones base, se obtiene al resolver el sistemacuadrado:

.

A esta ecuacin se le llama ecuacin normal de Gauss, y es vlida para cualquier

conjunto de funciones base. Si estas son la unidad y la funcin x, entonces la aproximacinse llama regresin lineal.

En el anlisis de regresin, se sustituye la relacin

por


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siendo el trmino de perturbacin una variable aleatoria con media cero. Obervese queestamos asumiendo que los valores x son exactos, y que todos los errores estn en losvalores y . De nuevo, distinguimos entre regresin lineal, en cuyo caso la funcin f es linealpara los parmetros a ser determinados (ej., f ( x ) =a x 2 + b x + c), y regresin no lineal.Como antes, la regresin lineal es mucho ms sencilla que la no lineal. (Es tentador pensarque la razn del nombre regresin lineal es que la grfica de la funcin f ( x ) = a x + b es unalnea. Ajustar una curva f ( x ) =a x 2 + b x + c, estimando a , b y c por mnimos cuadrados es unejemplo de regresin lineal porque el vector de estimadores mnimos cuadrticosde a , b y c es una transformacin lineal del vector cuyos componentes son f ( x i ) + i ).

Los parmetros (a , b y c en el ejemplo anterior) se estiman con frecuenciamediante mnimos cuadrados: se toman aquellos valores que minimicen la suma S.

El teorema de Gauss-Mrkov establece que los estimadores mnimos cuadrticos sonptimos en el sentido de que son los estimadores lineales insesgados de menor varianza, ypor tanto de menor error cuadrtico medio, si tomamos f ( x ) =a x + b estando a y b pordeterminar y con los trminos de perturbacin independientes y distribuidosidnticamente (vase el artculo si desea una explicacin ms detallada y con condicionesmenos restrictivas sobre los trminos de perturbacin).

La estimacin de mnimos cuadrados para modelos lineales es notoria por su faltade robustez frente a valores atpicos ( outliers ). Si la distribucin de los atpicos es

asimtrica, los estimadores pueden estar sesgados. En presencia de cualquier valoratpico, los estimadores mnimos cuadrticos son ineficientes y pueden serlo en extremo.Si aparecen valores atpicos en los datos, son ms apropiados los mtodos de regresinrobusta.

Algunas Venta jas y restricciones del Modelo

Venta jas

Es objetivo, solo depende de los resultados experimentales. Es reproducible, proporciona la misma ecuacin, no importando quien realice el

anlisis.


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universidad de el salvador | Pronostico por mnimos cuadrados 13

Proporciona una estimacin probabilstica, de la ecuacin que representa unosdatos experimentales.

Proporciona intervalos pequeos de error.

Restricciones

Slo sirve para ajustar modelos lineales. Los pronsticos elaborados con este modelo slo derivan en una tendencia lineal. Requiere tener al menos 20 mediciones bajo las mismas circunstancias

experimentales. Se requiere de algn equipo de clculo, de lo contrario es muy engorroso.

Luego de haber definido lo que es un pronstico y el mtodo de mnimos cuadradosdefiniremos nuestro tema que es pronstico por mnimos cuadrados.

Pronostico por mnimos cuadrados

Esta es otra tcnica de tipo cuantitativo que permite el clculo de los pronsticos paraperodos futuros, para lo cual requiere de registros histricos que sean consistentes,reales y precisos.Esta tcnica como su nombre lo indica se trata de sacar el total de las desviacioneselevadas al cuadrado a un valor mnimo: su objetivo es determinar los coeficientes a y b,que son conocidos como coeficientes de regresin, donde x es la variable independiente(tiempo), y es la variable dependiente (pronstico de la demanda).En la prctica se pueden utilizar dos mtodos para calcular los pronsticos a travs demnimos cuadrados: Frmula general y Mtodos simplificado.

Para aplicar este mtodo en el clculo de pronsticos de la demanda, se deben tener en

cuenta las siguientes expresiones matemticas:


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FR MUL A GENERAL

donde:

n = tamao de la muestra o el nmero de perodos x = perodo en el que se desea el pronstico y = el pronstico

MTODO SIMPLIFIC ADO (P ARES Y NONES)El mtodo simplificado como su nombre lo indica, en la prctica es ms simple y se llega alresultado de forma ms rpida. Las expresiones a usar son:

Donde:

n = tamao de la muestra o el nmero de perodos x = perodo en el que se desea el pronstico y = el pronstico

Cundo ser par y cuando ser non?Pares: Debemos entender por pares el numero de perodos expresados de dos en dos (2,4, 6, 8...)Nones: Es cuando los perodos considerados en los clculos son impares (1, 3, 5, 7, 9...)

Ejemplos:

Mtodo generalEjemplo 1:

Panasonic, empresa internacional en su rea de pilas desechables, desea calcular elpronstico de ventas para el ao 2003, teniendo como antecedentes los datos que se


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muestran en la tabla. El clculo del pronstico se deber emitir mediante la frmulageneral y corroborarse con el mtodo simplificado que corresponda.

Perodos Ventas(miles)

x xy x^2

1990 85 1 85 1

1991 89 2 178 4

1992 92 3 276 9

1993 95 4 380 16

1994 93 5 465 25

1995 98 6 588 36

552 21 1972 91

Clculo del pronstico

x son los perodos desde el primer dato histrico hasta el pronstico a calcular

Ejemplo 2:

Sabritas S.A de C.V. desea elaborar el pronstico de ventas para uno de sus productosen el ao 2003 y en torno a ste resultado, se har la planeacin de los recursos autilizar en el sistema; para lo cual cuenta con el volumen de ventas anuales que seindican en la siguiente tabla.


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El clculo de ste pronstico se deber hacer a travs de Frmula General y MtodoSimplificado.

Perodos Ventas(miles)

x xy x2

1987 120 1 120 1

1988 121 2 242 4

1989 117 3 351 9

1990 118 4 472 16

1991 124 5 620 25

1992 125 6 750 36

1993 120 7 840 49

1994 118 8 944 64

1995 130 9 1170 81

1093 45 5509 285

Clculo del pronstico

Mtodo simplificado

Ejemplo 1:


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Vaya mos a un ejemplo prctico: C a ntid a d de a os a consider a r imp a r

S upongamos una empresa con informacin desde el ao 1994 a 2004, queriendoconocer cul sera la tendencia para el 2005.

En el cuadro siguiente puede verse cmo se armara la tabla para calcular los totalesen base a los cuales calcularemos a y b.

El coeficiente X, dado que la cantidad de aos a analizar n es impar (n = 11), seobtiene de la siguiente forma:

0 para el ao que se encuentra exactamente a la mitad, en este caso ao 6, esdecir, 1999

Para cada ao anterior se resta 1 (uno) y para cada posterior se suma 1 (uno)

Perodo A o Vent a s ( y) U$S x1000

X X y x2

1 1994 408 -5 -2,040 252 1995 701 -4 -2,804 163 1996 803 -3 -2,409 94 1997 929 -2 -1,858 45 1998 230 -1 -230 16 1999 1,100 0 0 07 2000 1,160 1 1,160 18 2001 965 2 1,930 4

9 2002 1,050 3 3,150 910 2003 1,118 4 4,472 1611 2004 720 5 3,600 25

2005T ot a les 9,184 0 4,971 110

En funcin de las frmulas mencionadas obtendremos.

a = 9,184 / 11 = 834.90 $ 835

b = 4,971 / 110 = 45.19 $ 45

En el ao 2005, es decir para y = 6 (coeficiente que le correspondera al ao 2005),las ventas seran:

Y = 835 + 45 x 6 = 1,106


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Ejemplo 2:

Vaya mos a otro ejemplo prctico: C a ntid a d de a os a consider a r p a r

S upongamos una empresa con informacin desde el ao 1995 a 2004, queriendoconocer cul sera la tendencia para el 2005.

En el cuadro siguiente puede verse cmo se armara la tabla para calcular los totalesen base a los cuales calcularemos a y b.

El coeficiente X, dado que la cantidad de aos a analizar n es par (n = 10) se obtienede la siguiente forma:

En este caso no existe un ao medio. El ao que corresponde al total de aosdividido dos (2), llevar coeficiente 1 mientras que el que le sigue llevarcoeficiente 1.

El resto de los aos, hacia atrs y hacia adelante, llevarn el coeficiente menosdos o ms dos, segn corresponda.

Perodo Ao Ventas (y)U$S x 1000

x xy x2

1 1995 701 -9 -6,309 812 1996 803 -7 -5,621 493 1997 929 -5 -4,645 254 1998 230 -3 -690 95 1999 1,100 -1 -1,100 16 2000 1,160 1 1,160 17 2001 965 3 2,895 9

8 2002 1,050 5 5,250 259 2003 1,118 7 7,826 4910 2004 720 9 6,480 81

2005T ot a les 8,776 0 5,246 330

a = 9,882 / 11 = 877.6 $ 877

b = 5,246 / 330 = 15.90 $ 16

En el ao 2005, es decir para y = 11 (coeficiente que le correspondera al ao 2005),las ventas seran:

Y = 988 + 16 x 11 = 1,052


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Ejemplo 3:

Desarrollando el ejemplo de 1.

Panasonic, empresa internacional en su rea de pilas desechables, desea calcular el

pronstico de ventas para el ao 2003, teniendo como antecedentes los datos que semuestran en la tabla. El clculo del pronstico se deber emitir mediante la frmulageneral y corroborarse con el mtodo simplificado que corresponda.

Pares porque el nmero de perodos es par (6)

PerodosVentas(miles)

x xy x2

1990 85 -5 -425 25

1991 89 -3 -267 9

1992 92 -1 -92 1

0 0 0

1993 95 1 95 1

1994 93 3 279 9

1995 98 5 40 25

552 0 80 70

NOTA: A x se le asignan valore impares porque es un problema par.

*los perodos se cuentan a partir de 1993 con nmeros consecutivos impares de losasignados a x en un principio hasta llegar a 2003:


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96-7 2000-15

97-9 2001-17

98-11 2002-19

99-13 2003-21

Ejemplo 4:

Desarrollando el ejemplo de 2.

Sabritas S.A de C.V. desea elaborar el pronstico de ventas para uno de sus productos

en el ao 2003 y en torno a ste resultado, se har la planeacin de los recursos autilizar en el sistema; para lo cual cuenta con el volumen de ventas anuales que seindican en la siguiente tabla.

Nones porque el nmero de perodos es impar (9)

PerodosVentas(miles)

x xy x2

1987 120 -4 -480 16

1988 121 -3 -363 9

1989 117 -2 -234 4

1990 118 -1 -118 1

1991 124 0 0 0

1992 125 1 125 1

1993 120 2 240 4

1994 118 3 354 9

1995 130 4 520 16


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1093 0 44 60

NOTA: A x se le asignan valores consecutivos

*los perodos se cuentan a partir de 1992 con nmeros consecutivos de los asignadosa x en un principio hasta llegar a 2003:

96-5 2000-9

97-6 2001-10

98-7 2002-11

99-8 2003-12


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universidad de el salvador | 22

Conclusiones

No en todas las tendencias se puede aplicar con fiabilidad el mtodo de mnimoscuadrados.

El mtodo de mnimos cuadrados es una tcnica de las mejores aceptadas por susresultados de fiabilidad en cuanto a la reduccin del error derivado del ajuste enlos datos reales respecto de la lnea propuesta.

El mtodo tiende a ser un poco engorroso en su clculo de forma manual, peroeste se vuelve el ideal cuando existe un ajuste de la tendencia y un programamecanizado que nos permita su clculo.

Muchas veces el mtodo de mnimos cuadrados es el ms aceptado dentro de lasleyes tributarias y econmicas de un Estado, al mismo tiempo que es el de mayoruso dentro de las empresas.


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i id d d l l d | Bibli f 23

B ib liografa

www.monografias.com/trabajos13/.../placo.shtml

http://henalova.blogspot.es

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