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Secuencia didctica para la enseanza de la funcin cuadrtica Mara
Rey Genicio, Liliana Tapia, Hctor Tarifa, Clarisa Hernndez Facultad
de Ingeniera- Universidad Nacional de Jujuy- Argentina
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Consideraciones sobre la propuestaSi bien el aprendizaje y la
enseanza se estudian a partir de disciplinas diferentes y debe
evitarse el planteo de un hipottico nico proceso indiferenciado de
enseanza-aprendizaje, en tanto de-ben enfocarse sus componentes
desde la respectiva indagacin cientfica de sus propios campos, es
obvio que enseanza y aprendizaje se intersecan en el aula y obligan
a la integracin diferen-ciada de ambos procesos. Para el caso de la
matemtica escolar la situacin es idntica y obliga tanto a los
profesores de la asignatura como a quienes investigan en dicho
campo, a nutrirse de los aportes de la psicolo-ga educacional, las
teoras de aprendizaje conjuntamente con los de la Didctica, en
especial de la Didctica de la matemtica, cuyo desarrollo es amplio
y fecundo, al punto de haber dado ri-cas aportaciones a la
disciplina general. Y todo ello, a la vez, con un fuerte
conocimiento disci-plinar. Ambos aspectos, formacin disciplinar y
formacin pedaggica deben estar firmemente presentes para que exista
una adecuada transposicin didctica. Ahora bien, es obvio que tanto
el aprendizaje como la enseanza pueden enfocarse desde dife-rentes
paradigmas, con resultados muy distantes a nivel de la prctica
ulica. Este trabajo se sus-tenta en una concepcin cognitiva en la
cual el aprendizaje efectivo es mediado por los procesos de
pensamiento, de comprensin y de dotacin de significados y requiere
que el estudiante par-ticipe activamente en la construccin del
conocimiento. Sin embargo, como es muy frecuente que los
conocimientos construidos por la comunidad cientfica acerca de cmo
se aprende, co-mo es el caso del cognitivismo, se hayan traspolado
al aula an cuando hayan sido fruto de in-vestigaciones fuera de la
escuela o no sean de aplicacin didctica, es necesario que los
conoci-mientos tericos se transformen en la prctica y en manos del
docente en estrategias didcticas adecuadas. Cecilia Bixio utiliza
este concepto para designar al conjunto de las acciones que realiza
el docente con clara y explcita intencionalidad pedaggica (Bixio.
1998- p.35), las que deben: apoyarse en las construcciones previas
de los alumnos para garantizar la significatividad de
los contenidos a aprender. ser factibles de desarrollarse en el
transcurso del ciclo lectivo, con la cantidad de alumnos
con que se cuenta y con la carga horaria destinada. orientar las
construcciones de conocimientos lo ms significativos posibles, para
ello el ma-
terial debe ser potencialmente significativo ser pertinentes con
los objetivos adecuarse a las posibilidades reales del docente y a
las condiciones materiales de la institu-
cin donde se realiza dicha prctica. De todas las actividades y
recursos que el docente utiliza como estrategias didcticas, se
seala que algunos funcionan como mediacin instrumental , y son los
instrumentos psicolgicos que permiten presentar, ordenar, exponer,
etc. el contenido. Otros funcionan como mediacin so-cial, y son los
intercambios personales, las interacciones que se producen en las
actividades conjuntas o colectivas. Entonces el proceso de
aprendizaje equivale a un proceso de interioriza-cin que logra
mejores resultados en la medida en que los procesos de mediacin
instrumental y social se articulan, teniendo en cuenta las
condiciones objetivas del contenido a ensear y las condiciones
subjetivas de los docentes y alumnos. Se toma en cuenta tambin como
aspecto importante la Interaccin SocioCognitiva: la cogni-cin
humana ptima se lleva a cabo con la colaboracin de otras personas y
de objetos fsicos y simblicos que potencian las capacidades
individuales. As los procesos grupales de construc-cin de
conocimientos se constituyen en medios altamente eficaces para el
logro de un aprendi-zaje significativo, aunque en ellos se hace
necesaria una intervencin del docente cuidadosa, op-timizando las
actividades, facilitando los intercambios cognitivos, supervisando,
recuperando oportunamente lo producido en cada grupo, y logrando la
reorganizacin final de los conoci-mientos. Desde el campo de la
Didctica de la matemtica, este trabajo se apoya en las aportaciones
de Guy Brousseau y su Teora de las Situaciones Didcticas. Este
autor introduce como objeto de estudio de la Didctica de la
Matemtica la Situacin Didctica a la que define como: "Un conjunto
de relaciones establecidas explcita y/o implcitamente entre un
alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende
eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema
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educativo (representado por el profesor) con la finalidad de
lograr que estos alumnos se apro-pien de un saber constituido o en
vas de constitucin. (1986) Pegado a este concepto est el de
Situacin adidctica en la que el docente no muestra su
intencionalidad ni interviene para indicar al alumno lo que debe
hacer; lo que realiza es una devolucin del problema; provoca que el
alumno acepte la responsabilidad de una situacin de aprendizaje.
Denomina Situacin fundamental al conjunto de situaciones
a-didcticas que permiten responder a un conjunto de problemas que
constituyan una buena representacin del conocimiento en cuestin. De
este modo, el alumno habr aprendido un conocimiento matem-tico si
logr adaptarse a las situaciones a-didcticas que conforman la
situacin fundamental. Otra cuestin relevante en la mirada de este
autor es que, ante el hecho de que el matemtico despersonaliza y
descontextualiza el conocimiento que ha producido la ciencia
matemtica, el docente debe hacer el proceso inverso, realizando una
recontextualizacin y buscando situa-ciones que den sentido a los
conocimientos por ensear. Podr aprovechar el espacio socio-cultural
en el que est inmerso, valerse de situaciones de la vida diaria, de
otras disciplinas o de la misma matemtica y proponer un problema o
conjunto de problemas que apunten al cono-cimiento que se quiere
lograr. Una vez resueltos el docente proceder a la
descontextualiza-cin de ese conocimiento reconociendo lo que tenga
de general, haciendo de l un conoci-miento disponible para ser
reutilizado en otras situaciones, desprendido de las que le dieron
ori-gen. Tambin desde el campo de la Didctica de la Matemtica, la
propuesta se apoya en la Inge-niera Didctica: elaboracin de un
conjunto de secuencias de clases concebidas, organizadas y
articuladas en el tiempo para efectuar un proyecto de aprendizaje.
El docente debe buscar el conjunto de problemas diversos que
apuntan al concepto que se propone ensear, con niveles crecientes
de complejidad; esto permite identificar aspectos distintos del
concepto, aspectos que no se podran elaborar a partir de la
definicin. Los problemas diseados deben responder a las condiciones
del buen problema enunciadas por Douady: los enunciados deben tener
sentido en relacin con los conocimientos previos; todos los alumnos
deben estar en condiciones de dar alguna respuesta, al menos para
el problema inicial; admiten distintas estrategias de resolucin y
se pueden formular en distintos registros de representacin
(geomtrico, algebraico, funcional y grfico). Y, principalmente, el
conocimiento buscado es un conocimiento adaptativo en tanto es el
medio cientfico de responder eficazmente a los problemas. Entonces,
se trata de enfrentar a los alumnos ante una situacin donde el
conocimiento a aprender sea el nico medio eficaz para controlar
dicha situacin. Ese concepto no aparece aislado, se conecta con
otros en un en-tramado de relaciones que el alumno debe alcanzar a
conocer. Como puede apreciarse, tanto la concepcin de enseanza en
la posicin de Brousseau, como los aportes de Douady, son
compatibles con la concepcin de aprendizaje desde el cognitivismo
que se plantea como sustento de esta investigacin, ya que otorgan
un papel activo al sujeto que aprende, haciendo foco en la
comprensin y la contextualizacin significativa del conocimiento
matemtico. Propuesta didcticaEsta propuesta est basada en el marco
terico ya expuesto. En ella se pretende que los alumnos, a travs de
la secuencia de actividades presentada, alcancen la construccin del
concepto de funcin cuadrtica y el descubrimiento de la frmula de la
misma. Se puede apreciar en esta secuencia que, a la manera de
Brousseau, el docente organiza la acti-vidad otorgndoles a los
alumnos la responsabilidad de la construccin de un conocimiento
ma-temtico constitudo. Para ello, se comienza con una situacin
a-didctica donde no se expli-cita la intencionalidad final, tampoco
interviene diciendo qu deben hacer para resolver el pro-blema, pero
s se presenta una cadena de problemas (Situacin fundamental) que
representan el conocimiento a aprender. A la vez, la secuencia
permite la contextualizacin del saber matem-tico para luego llevar
a la descontextualizacin que ste implica en la frmula en cuestin.
Tambin se advierte que la lnea de Regine Douady est sustentando la
propuesta en lo que hace al diseo de actividades en crecientes
niveles de complejidad y la presencia del conocimiento en
diferentes marcos. Esta misma lnea sostiene la elaboracin de los
problemas sobre la base de las caractersitcas del buen problema;
as, se podr ver que la Actividad 1 se resuelve con co-nocimientos
previos de los alumnos, y la mayora tiene alguna respuesta posible
para dar. Las siguientes actividades, asimismo, apelan a los
diferentes marcos (geomtrico, numrico, alge-braico, funcional,
etc.), y evolucionan de modo que el saber matemtico a aprender es
el nico que efectivamente servir para resolver lo planteado. Para
introducir a los alumnos en el tema que nos proponemos ensear, es
conveniente que pre-viamente se organice la clase en grupos de 3 o
4 alumnos cada uno. Luego se le propondr a los
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grupos la siguiente actividad didctica, de la cual se pretende
la construccin por parte del alumno del concepto de funcin
cuadrtica. Es conveniente que el docente sea una gua sobre los
pasos a seguir en esta actividad. Actividad 1
a) Dado el cuadrado ABCD de 10 cm de lado y cuatro puntos M, N,
O y P ubicados segn los datos del grfico; encontrar el rea del
cuadrado MNOP
b) Repetir la actividad anterior considerando que las medidas de
las distancias de los puntos M, N, O y P a los respectivos vrtices
sean: 4; 6; 9; 2,4; 7,6. c) Encontrar una frmula que permita
calcular el rea del cuadrado MNOP cuando la dis-tancia a los
vrtices es x cm. d) Investigue cul ser la distancia de los puntos
M, N, O y P a los respectivos vrtices para que el rea sea mnima. En
la puesta en marcha de esta actividad los alumnos presentaron 3
estrategias distintas de reso-lucin. La mayora us el Teorema de
Pitgoras para obtener el lado del cuadrado menor. Un solo grupo
pens en obtener el rea de uno de los tringulos rectngulos,
multiplicarla por 4 y restrsela a la del cuadrado mayor. En otro
grupo apareci un procedimiento, similar al anterior, pero que
indica una variacin en el modo de pensar: juntaron los cuatro
tringulos formando un rectngulo (dibujados en un costado de la hoja
de trabajo), sacaron su rea y la restaron del cuadrado mayor. Se
realiz una puesta en comn en la que los alumnos expusieron sus
estrategias de resolucin. Para economizar tiempo solo lo hicieron
con el primer inciso, para los restantes se cotejaron los
resultados ya que la intencin del docente era principalmente la
socializacin de los distintos procedimientos. Por la intervencin
del profesor se us una tabla de valores como una forma ms cmoda y
perceptible de presentar los resultados en su relacin con la
variacin de los da-tos. En esta puesta en comn se pudo observar, y
as tambin se comprob en las hojas de trabajo, que los grupos que
resolvieron los problemas usando el teorema de Pitgoras calcularon
el valor de la hipotenusa sacando la raz cuadrada a la que luego
elevaban al cuadrado para obtener el rea. Fue llamativo que no
observaran lo innecesario de realizar estos dos clculos inversos;
ni siquiera en la reiteracin del procedimiento para los distintos
valores. Eso hace suponer que sus pensamientos se mantuvieron
ligados al problema concreto a resolver, que no reflexionaron
so-bre los clculos que estaban realizando sino que procedieron
mecnicamente. Que esto sucedie-ra, fue algo interesante, ya que los
resultados no fueron exactamente iguales a los que obtuvie-ron
quienes trabajaron la diferencia de reas. Esta variacin, provocada
por la prdida de cifras decimales al calcular las races, dio lugar
a debatir sobre: la relacin entre el cuadrado de un nmero como
operacin aritmtica y como rea de una figura cuadrangular; el
carcter inverso de las operaciones de radicacin y potenciacin, la
infinitud de las cifras decimales de los nme-ros irracionales y sus
valores aproximados; como as tambin, conjeturar la validez de los
distin-tos procedimientos. Otro rasgo general que se observ fue que
los alumnos rpidamente se dieron cuenta que para los pares de
valores que eran complemento a 10 era innecesario realizar los dos
clculos. Tam-bin encontraron fcilmente que el rea mnima la iban a
encontrar cuando el vrtice se ubicara en el medio del lado del
cuadrado mayor. Cuando se les pidi la generalizacin de los clculos
en una frmula, aparecieron, por cada pro-cedimiento, tres frmulas
distintas:
rea = x2 + (10 x )2 (los que usaron el Teorema de Pitgoras) rea
= 100 20 x + 2 x2 (los que restaron las reas de los 4 tringulos)
rea = 100 [ 2 x (10 x) ] (los que formaron un rectngulo con los 4
tringulos)
Pocos fueron los grupos que no llegaron a simbolizar
correctamente, algunos se limitaron a es-cribir que el rea era la
hipotenusa elevada al cuadrado y otros no presentaron nada. Pero,
como todos haban podido resolver el problema en el marco aritmtico,
en la puesta en comn se en-contraron suficientemente receptivos
para interpretar la resolucin en el marco algebraico.
AB
C
MN
OP
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
D
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Posteriormente se puso a los alumnos ante el conflicto de que
decidieran cul era la frmula co-rrecta, como inmediatamente
decidieron que las tres eran vlidas, se les propuso que
reconocie-ran la equivalencia entre ellas, cuestin que resolvieron
con sencillos pasos algebraicos. Despus de esto el docente se apoy
en las producciones presentadas para trabajar los conceptos de
funcin cuadrtica, variable independiente y variable dependiente y
formalizar la expresin: Area ( x ) = 100 20 x + 2 x 2
Actividad 2a) Con los resultados obtenidos en la actividad
anterior armar una tabla de valores. b) Volcar los datos en un
sistema de coordenadas cartesianas. c) Teniendo en cuenta lo
trabajado hasta el momento:
i) Cules son los valores que puede tomar la variable
independiente? ii) Cules son los valores que puede tomar la
variable dependiente? iii)Se pueden unir los puntos del grfico con
una curva? La discusin de esta actividad fue el momento propicio
para denominar el tipo de grfica, de-terminar el dominio y la
imagen de la funcin analizada e introducir la clasificacin de
variable continua y variable discreta. Se present la forma general
de la funcin cuadrtica y se dieron los nombres de los coeficientes
de los distintos trminos. Para caracterizar la parbola la docen-te
solicit a los alumnos que redactaran un mensaje que permitiera
construir una parbola sin que se la conozca. Despus de algunos
minutos, mientras la profesora escuchaba los mensajes realizaba las
grficas de otros tipos de curvas si las instrucciones eran
insuficientes o inadecua-das. De este modo los mensajes se fueron
ajustando y se lleg a obtener los elementos que ca-racterizan la
parbola: vrtice, eje de simetra y concavidad. Actividad 3a)
Realizar una tabla de valores y representar grficamente en un
sistema de coordenadas cartesianas la funcin: y = x2b) Del grfico
obtenido en el punto anterior escribir lo que se observa en cuanto
a eje de simetra y coordenadas del vrtice. c) Detallar las
similitudes y diferencias que se observan al comparar los grficos
de: y = x2con Area(x) = 2 x2 20 x + 100 d) Modificar la frmula de
la funcin y = x2 para que la parbola:
i) Quede abierta hacia abajo. ii) La curva sea ms cerrada iii)
La curva sea ms abierta. iv) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia
arriba. v) Se desplace 1, 2 y 3 unidades hacia abajo. vi) Se
desplace1, 2 y 3 unidades hacia la izquierda. vii) Se desplace 1,2
y 3 unidades hacia la derecha.
Esta actividad fue un desafo muy valioso para los alumnos. No
tuvieron inconvenientes para encontrar la frmula de la parbola
cncava hacia abajo, ni para encontrar los desplazamientos
verticales; demoraron un poco ms para lograr que la parbola fuera
ms abierta o ms cerrada que la parbola base. Lo llamativo fue que
sistemticamente todos los grupos usaron el nmero 2 multiplicando o
dividiendo a x2 segn el caso. Lo que no lograron fue el
desplazamiento horizontal, pero todos los grupos estuvieron
altamente motivados intentando diferentes modificaciones para
lograr ese desplazamiento. El docente de-bi explicar este punto, de
todos modos el aprendizaje fue significativo puesto que las
elabora-ciones previas realizadas por los alumnos permitieron un
fcil entendimiento. Tambin, con la gua del docente en un dilogo
dirigido a todo el grupo de clase, se generalizaron las
condicio-nes para que la parbola fuera ms abierta o ms cerrada que
la parbola base y la relacin entre el vrtice de la parbola y los
valores numricos intervinientes en las frmulas propuestas. El
trabajo siguiente fue inverso, se entreg a los alumnos un trabajo
prctico en el que se les da-ban distintas funciones cuadrticas y
deban determinar el sentido de la abertura, las coordena-das del
vrtice y su concavidad y desplazamientos respecto de la parbola
base. Esta actividad complet el aprendizaje permitiendo que los
alumnos resolvieran, con gran soltura, pasajes de la grfica a la
expresin cannica de la funcin y viceversa. El trabajo prctico
posterior estuvo referido a las expresiones polinmica y cannica de
la fun-cin cuadrtica. Previamente se retom la frmula que haban
encontrado para hallar el rea del cuadrado y se la compar con las
que ellos haban ido trabajando en las modificaciones realiza-
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das a la frmula de la parbola base para cambiar los
desplazamientos y las aberturas. A partir de all el docente comunic
los nombres de estos dos tipos de expresiones. Seguidamente se
tra-baj el pasaje de la forma cannica a la polinmica; esto no
present ninguna dificultad ya que solo exiga sencillos pasos
algebraicos. Por ser el pasaje inverso mucho ms complicado se pen-s
en una serie de problemas debidamente secuenciados para que
obtuvieran la forma general para realizar este pasaje. Actividad 4
En cada caso encuentra la frmula polinmica correspondiente a la
frmula cannica dada:
a) y = ( x + 3 ) 2 9 b) y = (x 2/3 ) 2 4/9 c) y = (x + 5/2 ) 2
25/4 d) y = ( x + 1 ) 2 + 3e) y = ( x 3 ) 2 1 f) y = (x + 2/3 ) 2
1/3
2. Sin hacer los grficos de las funciones cuadrticas dadas en el
ejercicio anterior, Podras decir cules de ellos pasan por el origen
del sistema cartesiano?
3. En las frmulas de las funciones cuyos grficos pasan por el
origen a) Indica qu caracterstica tiene la frmula cuadrtica
polinmica b) Indica qu caracterstica tiene la frmula cuadrtica
cannica. c) Establece una vinculacin entre la frmula cannica y la
polinmica.
4. En cada caso, encuentra la frmula cannica correspondiente a
la frmula polinmica da-da y las coordenadas del vrtice de la
parbola.
a) y = x 2 + 4x b) y = x 2 6x c) y = x 2 9x d) y = x 2 + 6x/5 e)
y = x 2 7x/3 f) y = x 2 + b x
5. Escribe cada una de las siguientes funciones de segundo grado
en la forma cannica y las coordenadas del vrtice de la parbola.
a) y = x 2 + 8 x 1 b) y = x 2 7 x + 5c) y = x 2 3 x + 1/2 d) y =
x 2 + 7x/5 + 11/20 e) y = x 2 + b x + c
6. Escribe cada una de las siguientes funciones de segundo grado
en la forma cannica y las coordenadas del vrtice de la parbola.
a) y = 3 x 2 + 6 x 3 b) y = 2 x 2 5 x + 3c) y = 4 x 2 3 x + 5 d)
y = 5 x 2 + 7 x + 2
7. Expresa y = ax 2 + b x + c en la forma cannica y escribe las
coordenadas del vr-tice de la parbola 8. Dada la siguiente funcin
de segundo grado y = 2 x 2 10x + 8
a) Exprsala en forma cannica. b) Escribe las coordenadas del
vrtice. c) Encuentra los ceros de la funcin d) Grafcala en
coordenadas cartesianas ortogonales.
9. Recordando el problema del rea del cuadrado dado Area ( x ) =
2x 2 20x + 100 Cun-to tiene que valer x para que el rea sea 58? 10.
Encuentra una frmula que te permita resolver la ecuacin: a x 2 + b
x + c = 0
Los alumnos no presentaron dificultades para resolver los
problemas 1 a 5. En el sexto, el do-cente debi explicar la forma de
sacar factor comn el coeficiente del trmino cuadrtico ya que los
alumnos no haban estado anteriormente ante situaciones en la que
deban sacar como factor comn a un coeficiente que no figurara en
los distintos trminos. La organizacin de esta secuencia fue muy
efectiva para la construccin de estos conocimientos ya que los
alumnos fueron pasando de una dificultad a otra usando como base lo
construido en la actividad anterior. Adems de los aprendizajes
logrados para pasar de la expresin polinmi-ca a la cannica, esto
fue una base firme para la obtencin de las frmulas de las
coordenadas del vrtice y la de la resolucin de la ecuacin de
segundo grado. Todo esto fue un valioso soporte que permiti
continuar con problemas que se resuelven me-diante ecuaciones de
segundo grado, con el anlisis del discriminante, las propiedades de
las races y la reconstruccin de la ecuacin de segundo grado.
Conclusin
Los actividades diseados responden a las condiciones del buen
problema ya que, los enunciados tienen sentido en relacin con los
conocimientos previos, todos los alumnos estn en condiciones de dar
alguna respuesta (al menos para el problema inicial), admiten
distintas estrategias de resolucin y se pueden formular en
distintos marcos (numrico, geomtrico, algebraico y grfico).
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En toda la propuesta se enfrenta a los alumnos a un conjunto de
problemas que evolucionan de manera tal que el conocimiento que se
quiere que aprendan sea el nico medio eficaz para re-solverlos, al
mismo tiempo las variables didcticas se hacen variar para que el
conocimiento evolucione en niveles crecientes de complejidad. A lo
largo de la propuesta se incluye una gran variedad de aplicaciones
de forma que el docente elija aquellas que considere ms apropiada
al grupo de alumnos.
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(1998) Ensear y aprender. Homo Sapiens. Bs.As.
