PROPEDEUTICO DE MATEMATICAS

I UNIDAD ARITMETICA

1.1 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS Los números REALES (denotados por R ) son el conjunto de números creados por el hombre para poder transmitir mediante un lenguaje unificado distintas cantidades expesadas por una serie de símbolos y 10 dígitos. Los números reales se clasifican en dos grandes grupos: números RACIONALES y los IRRACIONALES. Los números Racionales son los que pueden representarse en forma de fracción , donde p y q son enteros

y . Dentro de los números racionales se comprenden los enteros, las fracciones y los decimales.

1.1.1 NUMEROS NATURALES.- (N) son un subconjunto de los números enteros positivos y no incluyen el

cero.

1.1.2 NUMEROS ENTEROS

Enteros positivos = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ……………. Enteros negativos= -1, -2, -3, -4, -5, …….. Enteros pares=2, 4, 6, 8, 10, ……..-8, -12, -18… Enteros impares =1, 3, 5, 7, …-1, -17, -33…

2, 3, 5, 7, 11 ,13 ,17, 19, 23, 29……..son algunos números primos. El 67 es numero primo?.........sí, porque solo es divisible entre sí mismo y la unidad. El 99 es numero primo?.........no, porque lo dividen el 3, 9, 11, 33. Determine si los siguientes números son primos: 53, 65, 74, 78, 83, 89, 96.

Fracciones propias.- Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador: 1/2=0.5, 1/3=0.3, 4/5=0.8 Fracciones impropias.- Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador: 3/2=1.5, 4/3=1.3, 9/2=4.5 Fracciones iguales.-Son aquellas en las que el numerador y el denominador son iguales: 2/2=1, 4/4=1, 13/13=1 Decimales.- Son fracciones expresadas mediante el cociente de dos enteros. 5/2=2.5, 8/5=1.6, 22/4=5.5, 3/4=0.75, 12/15=0.8

1.1.3 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto se denota entre dos barras|….| o abs(….),donde el resultado siempre será positivo. |7|=7, |-7|= 7 , |6-8|=|-2|=2, |x|=2 ; (entonces x=2 y x=-2) |-(8+3)|=|-11|=11

1.1.4 LEY D E LOS SIGNOS

Multiplicación (+)(+)= + División (+)/(+)=+

(+)(-)= - (+)/(-)=- (-)(+)= - (-)/(+)=- (-)(-)= + (-)/(-)=+

1.1.5 OPERACIONES (SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISION)

12+7=19 8+3=11 -2-6=-8 -30-5=-25

10-3=7 10-15=-5 -6+10=4 20-60=-40

Suma.- En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adición; en esta operación se efectúa si los signos de los números son iguales: 2+5=7, -4-1-6=-11

Resta. Los elementos son el minuendo y el sustraendo, al resultado se le llama diferencia. La diferencia lleva el signo del número mayor. 9-2=7, 10-2= 8 , -6+4=-2, -15+5=-10, 23-7=16, 7-23=-16.

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K) |19-35|=

m) |-73+8-12|=

n) |-(4+7-9)-3|=

Multiplicación. Es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces; los elementos reciben el nombre de factores y el resultado producto o multiplicación.

5x6=30, (5)(60)=30, (-4)(7)=-28, (-8)(-3)=24 15x(-4)=-60

Producto de números de igual signo.- Si multiplicamos dos números de igual signo (positivo ,o negativo), el producto siempre será positivo.

(12)(3)=36 (5)(10)=50 (-4)(-8)=32 (-7)(-9)=63

Producto de números de diferente signo.- Si multiplicamos dos números de diferente signo, el producto siempre será negativo.

(12)(-3)=-36 (-5)(10)=-50

Todo numero multiplicado por cero siempre será cero……(15)(0)=0 (-760)(0)=0

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División.- a recibe el nombre de dividendo, b es el divisor y c es el cociente; si el cociente no es

entero, lo que sobra o queda se le llama residuo.

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1.1.6 ORDEN DE LAS OPERACIONES. Cuando se realizan operaciones se ha convenido en realizar primero las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y restas, procediendo siempre de izquierda a derecha. Ejemplo. 7+4x6= se realizan los productos 7+(4x6)=…….7+(24)=se realiza la suma…7+24=31 Ejemplo. 4x5-3x2= se realizan los productos….(4x5)-(3x2)= 20-6=se realiza la resta….20-6=14 Ejemplos: a) 16/2 x 7/4 x 6/3 x2={[(16/2)x7]/4}[(6/3)x2] =[(8x7)/4](2X2) =(56/4)X(4) =14 X 4 =56 b) 6+2/1= 6+2=8 c) 7-18/9= 7-2= 5 d) -2+60/(-5)= -2+(-12)= -2-12=-14 e) 2X3-4X8= 6-32= -26 f) 9X2+3X5= (9)(2)+(3)(5)= 18+15=33 g) 3(-4)-7= -12-7=-19 h) 5(-1)X4+2= -5X4+2= -20+2= -18 i) -30-48/12= -30-4=-34 j) -8+3x6= -8+18=10 k) 2+5x3-4x6= 2+15-24= 17-24= -7

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1.1.7 SIMBOLOS DE AGRUPACION : (….) PARENTESIS [….]CORCHETES {…..}LLAVES

{ [ (….) ] } Resolver primero lo que está dentro del paréntesis, después lo que está en el corchete y por ultimo lo que está entre las llaves.

? 3)= 10x2-15x

2[10x2-15x]=-20x2+30x

a) 4-2[8-3(-2+5x3)]= 4-2[8-3(-2+15)]= 4-2[8-3(13)]= 4-2[8-39]= 4-2(-31)= 4+62= 66 b) 3-6{3+0[5+1(4x2-7)]}= 3-6{3+0[5+1(8-7)]}= 3-6{3+0[5+1(1)]}= 3-6{3+0[6]}= 3-6{3}= 3-18=-15

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1.2.-Números racionales

Números racionales: es la razón entre dos números enteros a/b, donde b es distinto de cero. Ejemplos:

Nota: Todo número racional tiene una forma de representación decimal infinito periódico.

0.750…., 0.250…., 0.33333….., 0.542727….., etc.

Relación de equivalencia.

Dos números racionales son equivalentes: si al efectuar el producto del numerador del primero por el denominador del segundo el resultado es igual al producto del denominador del primero por el numerador del segundo

Tenemos si y solo si ad=bc

Donde a, b, c, y d son números enteros. Ejemplos:

Verificar si las siguientes fracciones son equivalentes.

(5)(12)=60 (4)(15)=60 los productos son iguales por lo

Tanto son fracciones equivalentes

Los productos no son iguales por lo

Tanto no son fracciones equivalentes

Es lo mismo 90

Actividades de aprendizaje

Propiedades

El valor de una fracción no cambia al multiplicar ambos números (numerador y denominador) por un mismo número

|

El valor de una fracción no cambia cuando el numerador y el denominador se les divide entre el mismo número. A esta operación se le conoce como simplificación de una fracción.

Simplificar la fracción

Para simplificar la fracción se divide el numerador y el denominador entre el máximo común divisor MCD) que en este caso es 2 12 14 2

06 07

Existe otra manera de simplificar una fracción y es de dividir al numerador y denominador por un número primo, este modo se realiza hasta que ya no exista un divisor primo común.

Simplificar

1.2.1.-Adición de números racionales

La adición de números racionales se define como:

Donde a, b, c, y d son números enteros y b y d son diferentes de cero. Ejemplos

Cuando se efectúan sumas de números racionales en mejor utilizar el mínimo común múltiplo (mcm).

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números, es el menor de los números que aparecen como múltiplos de varios números naturales o enteros al mismo tiempo.

a )Ejemplo: encuentra el mcm de 16 y 24.

Se descompone en factores primos cada uno de los números

No FP No FP

16 2 24 2

8 2 12 2 24=

4 2 6 2 El producto de los factores primos comunes y

2 2 3 3 no comunes, elevados a la mayor potencia

1 1 nos de el mcm.

Método abreviado.-Se dispone la operación de la siguiente forma: el lado derecho trabaja para todas las columnas del lado izquierdo, si la operación propuesta no es válida, el número se deja igual.

b )Ejemplo: encuentre el mcm de 21, 12 y 7

21 12 7 2

21 6 7 2

21 3 7 3

7 1 7 7

1 1 1 mcm=2X2X3X7=84

c )Ejemplo.- Encuentre el mcm de 18, 24 y 36

18 24 36 2

9 12 18 2

9 6 9 2

9 3 9 3

3 1 3 3

1 1 1

Adición de números racionales

Ejemplo efectué la siguiente operación

4 6 2

2 3 2

1 3 3

1 1 mcm=

En el caso en el que el denominador de las fracciones sea igual, los numeradores se suman o restan directamente

a )Ejemplo. Efectúa la siguiente operación

b )Ejemplo: Efectúa la siguiente operación

3 9 18 3

1 3 6 3

1 1 2 2

1 1 1 mcm=

c )Ejemplo.- Efectúa la siguiente operación

5 4 2 2

5 2 1 2

5 1 1 5

1 1 1 mcm=

d )Ejemplo.- Efectúa la siguiente operación

Sustracción de números racionales.

La sustracción de números racionales se considera como un caso particular de la suma, entendiendo por suma a la suma algebraica.

Donde a, b, c, y d son números enteros y b y d son distintos de cero

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones.

5 6 3 3

5 2 1 2

5 1 1 5

1 1 1 mcm=3X2X5=30

3 12 4 2

3 6 2 2

3 3 1 3

1 1 1 mcm=2X2X3=12

Producto de números racionales

El producto de números racionales se define como:

Donde a, b, c y d son números enteros y b y d son diferentes de cero.

Utilizando la regla de los signos para números enteros.

Ejemplos.- realiza las siguientes operaciones

Simplificando la fracción tenemos , lo cual se pudo obtener desde un principio con solo

cancelar el numero 3

Simplificando la fracción, tenemos

Si simplificamos desde el principio se cancelan el 3, 4 y 5 y el resultado es uno

División de números racionales

La división de números racionales se define como:

Donde a, b, c y d son números enteros y b y d son distintos de cero.

Ejemplos:

1 )

2 )

Otra forma de efectuar la división

3 )

Primero se efectúa la operacion de y las subsecuentes hasta obtener el resultado

4 ) cuando son más de dos divisiones de fracciones se realiza de la siguiente forma

Primero se divide por pareja ya sea ½ entre ¾ o ¾ entre 5/6

El resultado se divide entre la fracción restante

Se cancela el 6

5 )

Ejercicios

1.3 NUMEROS IRRACIONALES

1.3.1 RADICALES

1.3.2 LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

1.3.3 SIMPLIFICACION DE RADICALES

1.3.4 OPERACIONES BASICAS CON RADICALES