Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

loga(X · Y) = loga X + loga Y

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.

loga(X · Y) = loga (ax · ay) = loga ax + y = x + y = loga X + loga Y

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si X1 , X2 , X3 , ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,

loga(X1 · X2 ... Xn) = loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn

2. Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

log a X/Y = log a X - log a Y

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y

log a (X/Y) = log a (ax/ay) = log a (ax - y) = x - y = log a X - log a Y

3. Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

loga Xn = n loga X

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X

4. Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

Demostración:

Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.