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Números RealesLos números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta
numérica.
Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se
dividen en números negativos, números positivos y cero (0).
Podemos verlo en esta tabla:
Un número real es racional si se puede
representar como cociente a/b, donde a sea un
entero y b sea un entero no igual a cero. Los
números racionales pueden escribirse en forma
decimal.
Existen dos maneras para hacerlo:
1) como decimales finitos
2) como decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser
expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no
tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente.
Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica.
En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir
más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números
complejos.
Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales.
Propiedades de los números realespPropiedades de la adiciónLa suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. Los
números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir
que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real.
Propiedad Asociativa de la adición:
Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es siempre el mismo:
(a + b) + c = a + (b + c).
También Es la llamada propiedad asociativa de la adición.
Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Elemento neutro de la adiciónDado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a.Elemento simétrico de la adiciónDado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco
de la suma), tal que a + (-a) = 0.
Propiedad Conmutativa de la adiciónCualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma: a + b = b + a.
También Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.
Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4
Propiedades de la multiplicaciónPara la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en la multiplicación hay que
prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o inverso.
El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.Propiedad Asociativa de la multiplicaciónCualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).
También Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.
Un ejemplo aritmético:
Elemento neutroDado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación,tal que a(1) = 1(a) = a.Elemento recíproco o inversoDado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recíproco
de la multiplicación), para el que a(a–1) = (a–1)a = 1.
Propiedad Conmutativa de la multiplicaciónCualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo: ab = ba.
También Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.
Un ejemplo aritmético:
Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma
siguiente:
a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + ca
También
Un ejemplo aritmético:
Regla de los Signos para sumar y restar:1. En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los
números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + –8 = –3
2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los
números y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 – 8 = –3
5 – (–8) = 13
Regla de los signos en la multiplicación y la división
En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son de signos
opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplos:
5 x 8 = 40 5 x –8 = –40
Multiplicación de polinomiosEl siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:
(ax + b) (cx2) = acx3 + bcx2
Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar
directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se
hace de la siguiente manera:
(ax3 + bx2 – cx) (dx + e) = adx4 +aex3 + bdx3 + bex2 – cdx2 - cex
Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible,
para simplificar la expresión:
= adx4 + (ae + bd)x3 + (be – cd) x2 – cex
Recta NuméricaPara construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le
llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica.
El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y
el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado
izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.
Es importante recordar que para cualesquiera dos números
reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es
mayor que el otro.
Si a – b es positivo, entonces a > b.
Si b – a es positivo, entonces a < b.
Valor AbsolutoLa distancia de un número en la recta numérica desde cero (0)
se llama valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El
valor absoluto de un número se calcula de la siguiente
manera:
si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos:
|7| = 7
|–7| = 7
Notación ExponencialLa notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima
potencia (n) de una base (X).
Ejemplos:
x2 = x x
22 = 2 234 = 3 3 3 3Término algebraicoTérmino algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal.
Ej:
7xy3
–2mnp2
π r2
En todo término algebraico hay:
Signo: positivo o negativo
Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico
Factor literal: son las letras y sus exponentes
Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos
Término algebraico Signo Coeficiente
numérico
Factor
literal
Grado
2m2n5 Positivo 2 m2n5 5
5 a3b6c8 Positivo 5 a3b6c8 8
- 1/3 zhk5 Negativo 1/3 zhk5 5
Expresiones AlgebraicasExpresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
monomio = un solo término.
Por ejemplo: 3x2
binomio = suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x
trinomio = suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x – 5
polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.
Monomio Binomio Trinomio Polinomio
8 x3y4 3 a2b3 + 8z a – b9 + a3b6 2/3 a2 + bc + a2b4c6– 2
x2 z5 +32 x3 9a – b2 + c3 ab – a6b3c + 8 – 26a
Reglas de los Exponentes:
Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.
Ejemplo: x2 . x4 = x2+4 = x6
Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual.
Ejemplo: (x2)4 = x2+4 = x6
En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las
variables m y n son enteros positivos, m > n.
Ejemplo: (xy)2 = x2 y2
En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente
numérico.
Productos Notables
1.
Por ejemplo:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Expresiones fraccionalesUna fracción es una expresión en la forma:
Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
Por ejemplo:
Multiplicación de expresiones algebraicasPara multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los
denominadores.
Por ejemplo:
División de expresiones algebraicasPara dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.
Por ejemplo:
Suma y resta de expresiones algebraicasEn suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo
denominador.
Por ejemplo:
Exponentes enterosReglas básicas para trabajar los exponentes:
Regla: Ejemplo:
Radicales (Raíces)Un radical es una expresión en la forma:
que se lee "raíz n de b"
Cada parte de un radical lleva su nombre,
El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.
Propiedades de los Radicales (de las raíces)
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Suma y Resta de Radicales (de raíces)Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y
agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando.
Ejemplos:
Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta sólo puede ser indicada. Se puede agrupar los términos
semejantes del radical.
Ejemplo:
