PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOSSEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A,B]LONGITUD DEL SEGMENTO [A,B]Tambin se utiliza la siguiente notacin: d(A,B) = AB d(A,B) = aPROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS[A;B] y [C,D] son PROPORCIONALES a [E,F] Y [G,H], si se cumpleEjemplo:

Actividad 1La razn entre dos segmentos es 3/5. Si el segmento mayor mide 10 cm., Cunto mide el segmento menor?

TEOREMA DE TALESEntonces, los segmentos [O,A] y [O,B] son PROPORCIONALES a los segmentos [O,A] y [O,B]

Actividad 2Halla la longitud x, e y de los segmentos desconocidos de la figura siguiente:

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALESEs decir: AB/AM = AC/AN = BC/MN.

Actividad 3Calcula las longitudes x, e y desconocidas de la figura siguiente:

CONSTRUCCIONES GEOMTRICASTrazamos un segmento de longitud a + b + c, con origen en O.Trazamos paralelas (utilizando T. Tales), y obtenemos dicha divisina`

Actividad 4Dibuja en tu cuaderno un segmento de 11 cm. y divdelo en dos partes tales que una sea de la otra.

Cuarto, tercero y medio proporcionalDado 3 segmentos de longitudes a, b y c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el CUARTO PROPORCIONAL de a, b y c, si se cumple:Si b = c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el TERCERO PROPORCIONAL de a, b si se cumple:El segmento de longitud b es el MEDIO PROPORCIONAL

FIGURAS PLANAS SEMEJANTESDos figuras planas son SEMEJANTES si estn relacionadas de manera que una es una reduccin o ampliacin de la otra.POLGONOS SEMEJANTESDos POLGONOS de n lados son SEMEJANTES si tiene los mismos ngulos y los lados son proporcionales.Razn de semejanza =

Construccin de polgonos semejantes

Actividad 5Dibuja en tu cuaderno un tringulo que tenga un lado de 2,5 cm. y otro de 3,5 cm. Y un ngulo de 80 comprendido entre ellos. Sabras trazar ahora otro tringulo semejante dos de cuyos lados midiesen 7,5 cm. y 10,5 cm. respectivamente? Cul es la razn de semejanzas entre ambas figuras?

1 CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRINGULOSB = B

2 CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRINGULOSA = A

3 CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRINGULOS

TRINGULOS RECTNGULOS SEMEJANTES2.- Dos pares de lados homlogos son proporcionales

TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURADe donde se deducen los siguientes teoremas:Teorema del CATETO.- Cada cateto de un tringulo rectngulo es la media proporcional de la hipotenusa y su proyeccin sobre esta:Teorema de la ALTURA.- La altura de un tringulo rectngulo es la media proporcional de los dos segmentos que dividen la hipotenusa:

Actividad 6Los catetos de un tringulo rectngulo miden 6 cm. Y 8 cm., respectivamente:Cunto miden sus proyecciones sobre la hipotenusa? Cunto vale la altura del tringulo sobre la hipotenusa?

RELACIN ENTRE FIGURAS SEMEJANTESSi P y P son polgonos SEMEJANTES de lados a1, a2,.,an y de lados homologos a1, a2,, an. Si F y F son figuras planas semejantes:r 2 = REA de F / REA de F.Si C C son cuerpos semejantes :r 3 = VOLUMEN de C / VOLUMEN de c.La razn de semejanza es:Ejemplo: a+b+c+d+er = a+b+c+d+e (1/2).(a+b+c+d+e)= a+b+c+d+e= 1/2

Actividad 7La razn entre los radios de dos esferas es 5/7. Halla el volumen de la esfera grande, sabiendo que el de la pequea es 250 cm. 3 .

ESCALAS DE MAPAS Y PLANOSSe llama ESCALA a la razn de semejanza que existe entre la representacin grfica de un objeto cualquiera y la dimensin real del mismo.Usamos ESCALAS de AMPLIACIN para representar objetos pequeos.Usamos ESCALAS de REDUCCIN para representar objetos grandes.

Actividad 8Dos ciudades distan entre s 25 km. A qu distancia se hallarn en un plano de escala 1:25.000? Y en otro en el que se indica que 5 cm. Equivalen a 100 km.?

Mas ayuda del tema de la pgina Matemtica de DESCARTES del Ministerio de Educacin y ciencia(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)En la siguiente diapsitiva