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MATEMATICA 4TO AÑO
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PROPORCIONES
Una proporción es una igualdad entre dos razones , y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.
Por ejemplo:
2 = 6 5 15
Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2 = 6 = 5 15
2 · 15 = 6 · 5
30 = 30
Las proporciones expresan igualdades.
Ejemplo:
2 = 8 x 16
Ahora, se multiplica cruzado.
2 · 16 = 8 · x
32 = 8x Se resuelve la ecuación.
32 = 8x 8 8
4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:
2 = 8 4 16
Aplicación:
Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido ( que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle?
Hagamos una proporción:
harina = harina líquido líquido
3 tazas harina = 13 tazas 1 taza líquido x tazas líquido
x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina.
3 = 13 1 x
Ahora, se multiplica cruzado.
3 · x = 13 · 1 3x = 13
Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.
3x = 13 3 3
x = 4.3
La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos.
Otra aplicación:
Mi vecina ahora quiere hacer sorullitos, y ya sabemos que ella utiliza 3 tazas de harina por 1 taza de líquido. Ella ya tiene preparado 5.5 tazas de líquido. ¿Cuántas tazas de harina necesita para hacer los sorullitos?
harina = harina líquido líquido
3 tazas harina = x tazas harina 1 taza líquido 5.5 tazas líquido
3 = x 1 5.5
3 · 5.5 = x · 1
16.5 = x
Quiere decir, que para 5.5 tazas de líquido se necesitan 16.5 tazas de harina.
Proporciones utilizando por ciento
% = porción de un número 100 total del número
¿ Cuál es el 12% de 658?
12 = X 100 658
12 · 658 = 100 ·X
7896 = 100 · X
Estamos buscando una porción de 658 .En esta proporción, hay que ver que 12/100 está dado por 12%. Al otro lado de la proporción, va la proporción y porción/total. No sabemos la porción, así que la x va arriba. Abajo va el total, que es 658.
7896 = 100X 100 100
78.96 = X
¿ Cual es el 30% de 84?
30 = X 100 84
30 · 84 = 100 · X
2520 = 100X
2520 = 100X 100 100
25.2 = X
Sabemos que el 30% se expresa 30/100. Como estamos buscando la porción de 84, la X va arriba como numerador; y el total, que es 84, va abajo como denominador.
¿ El 3% de que número es 5.4?
3 = 5.4 100 X
3 · X = 5.4 · 100 3X = 540
3X = 540 3 3
X = 180
Tenemos el 3% dado por 3/100. Vemos que 5.4 es una porción de un número que no sabemos. Así que se está buscando el total. Por eso, la x va abajo, en el denominador.
¿ 85 es qué % No tenemos el porciento; y la porción es 85 y el total es 180. Así
de 180?
X = 85 100 180
X · 180 = 85 · 100
180X = 8500
180X = 8500 180 180
X = 47.2
que la x va en la parte izquierda de proporción, arriba.
Problemas de Aplicación:
A. Durante 25 minutos de ver televisión, hay 7 minutos de anuncios comerciales. Si ves 70 minutos de televisión, ¿cuántos minutos de anuncios verás?
25 minutos T.V. = 70 minutos T. V. 7 min. anuncios x min. anuncios
25 = 70 7 x
25 · x = 70 · 7 25x = 490 (Resolver Ecuación)
25x = 490 25 25
x = 19.6
Por lo tanto, en 70 minutos de ver televisión , hay 19.6 minutos de anuncios comerciales.
B. Si una docena de huevos cuesta $1.50, ¿cuál será el costo de 100 huevos?
docena huevos = 100 huevos 1.50 x
12 = 100 1.50 x
12 · x = 100 · 1.50 12x = 150 (Resolver Ecuación)
12x = 150 12 12
x = 12.5
Por lo tanto, si una docena de huevos cuesta $1.50, 100 huevos cuesta $12.50.
Las proporciones . La igualdad entre dos razones recibe el nombre de proporción. La teoría de las proporciones fue desarrollada por el gran matemático griego Eudoxio_de_Cnidos. Su obra original sobre la teoría de las proporciones no llegó hasta los tiempos actuales, pero gracias a uno de sus sucesores,Euclides de Alejandría, se pudo conocer dicha teoría, pues la recogió en su libro V de los Elementos.
Contenido [ocultar]
1 Razones y proporciones o 1.1 Razón
o 1.2 Proporción
2 Proporcionalidad
o 2.1 Proporcionalidad directa
o 2.2 Proporcionalidad inversa
3 Fuente
4 Véase también
Razones y proporciones
Razón
La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Entonces:
La razón entre dos números a y b es la fracción y se lee a es a b. Esta razón también puede escribirse a:b.
Para hallar la razón entre dos números, formas el cociente entre ellos y los simplificas tanto como sea posible.
Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que 10/2=5
Proporción
Dadas dos razones y diremos que están en proporción si =
Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios
= ⇒ a·d = b·c
ProporcionalidadMuchas veces en la práctica se nos presentan situaciones en las que el valor o cantidad de una magnitud depende del valor de la otra.
Por ejemplo, si un metro de tela tiene un precio de $ 10, el costo de un corte de tela depende del número de metros que tenga el largo. A mayor número de metros de tela corresponde un mayor costo.
Proporcionalidad directa
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los valores correspondientes en la otra, se dice que son directamente proporcionales
En el ejemplo de los metros de tela, el costo del corte de tela se obtiene multiplicando la longitud del corte por el precio de un metro que es $ 10. Podemos decir entonces que el costo de una tela es directamente proporcional a la longitud del corte. El número por el que se multiplica se llama factor de proporcionalidad. En este caso es 10 ese factor.
En una proporcionalidad directa dos cantidades cualesquiera de una magnitud y sus correspondientes en la otra forman una proporción.
Proporcionalidad inversa
Existen otras formas de relaciones entre magnitudes en las que el comportamiento es diferente al de los ejemplos dados de proporcionalidad directa, en estos casos, si los valores de una aumentan, los valores correspondientes en la otra disminuyen.
Por ejemplo, si un automóvil se desplaza con una cierta velocidad y la aumenta, el tiempo que demora en llegar a su destino disminuye.
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número los recíprocos de los valores correspondientes de la otra magnitud, se dice que son inversamente proporcionales
Razones y proporcionesRAZONES Y PROPORCIONES
1. RAZONES
La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.
2. PROPORCIONES.
Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:
a/b=c/d o a:b::c:d
Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.
PROPIEDADES.
A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a×d=b×c
B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los eztremos dividido por el otro MEDIO.
b= a×d ͟∕c
C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.
a=b×c∕d
PROPORCIONALIDAD DIRECTA.
Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.
EJEMPLO
Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?
1/3=1200/x → x=1200×3/1 x= $3600
EXAMPLE
1. Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 l ibras son de músculo. Calcular cuanto pesan los músculos en un niño de 4lb, 62Lb, 85Lb.
2.El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones,
3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla
N Vueltas
4 8 20 23 30
Tiempo 12 35 50
PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.
Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.
EJEMPLO.
En una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.
Nª DE GARRAFAS CAPACIDAD DE GARRAFA (L= PRODUCTO
10 28 280
20 14 280
40 7 280
70 4 280
140 2 280
Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número de garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.
EJERCICIOS.
1. Por cada 5 libras de peso de una persona, aproximadamente dos libras son de musculo. Calcular cuanto pesa un niño de 45 libras, 62 libras, 85 libras.
2. El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2 galones, 3 galones, 7 galones y 12 galones
3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla.
Nª DE VUELTAS 4 8 20 23
TIEMPO EMPLEADO 12 35 42 50
4. la tabla describe la relación entre el número de obrero y el número de días que tardan en hacer un trabajo.
OBREROS 6 12 40
DIAS 30 10
a) Completar la tabla
b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días?
c) ¿Cuántos días tardaran 14 obreros en hacer la misma obra?
5. Santiago dispone de $120000 para comprar algunos pantalones. Al llegar al almacén observa que hay pantalones de $4800, $5000, $6000, $8000 y $10000. Completa la tabla para saber cuántos pantalones podría llevar de una sola clase.
Nª DE PANTALONES 25
PRECIO 4800
PRECIOXPANTALON 12000
6. En la clase de Juan 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran comida suficiente para 10 días.
a) Si solo pueden ir 10 estudiantes ¿Podrían quedarse más días? Justifica tu respuesta.
b) Completa la siguiente tabla y determina cuantos días mas pueden quedarse en la excursión si solo van 5 estudiantes.
Nª DE ESTUDIANTES Nª DE DIAS PRODUCTO
15 10 150
10
8
5
Si solo van 8 estudiantes ¿Para cuantos días alcanzara la comida?
7. En la siguiente tabla se muestra la relación entre el diámetro de una tubería por la que desagua un tanque y el tiempo que tarda en vaciarse.
DIAMETRO(pul) ½ 1 2 2½ 3
TIEMPO(Seg) 80
a) Completa la tabla.
b) Explico si las magnitudes son inversamente proporcionales.
c) Determine el tiempo que tardara en vaciarse en una tubería de 6 pulgadas de diámetro.
ProporcionesLos arquitectos en la Grecia antigua tenían muy en cuenta las proporciones a la hora de diseñar los edificios importantes de la ciudad. Había una proporción en particular que era muy especial para quienes diseñaban las edificaciones. Se puede decir que era la preferida. Fue incluso llamada la proporción divina, o proporción áurea, y el número que la representaba era llamado el número de oro. En el diseño de una fachada rectangular como la siguiente, si la medida de la altura es a y la medida del ancho es b, entonces la proporción entre a y b ( para que sea la proporción áurea) debe cumplir lo siguiente:
Esa misma proporción se encuentra en algunos triángulos contenidos en el pentágono regular, considerado por los pitagóricos un símbolo universal de salud. belleza y amor.
Por ejemplo, los segmentos EG y FG guardan entre ellos la proporción áurea, porque
Es decir:
Como esta proporción, existen en total 20 dentro del pentágono regular.
Además, el pentágono FGIHJ que se construye al trazar las diagonales del pentágonoABCDE es también regular, y si se trazan las diagonales de FGIHJ obtenemos otra estrella de cinco puntas como la primera. Este proceso se lleva a cabo sucesivamente tantas veces como se desee y siempre se obtendrán pentágonos regulares dentro de estrellas de cinco puntas, con infinidad de proporciones áureas por dentro.
En el lenguaje común se expresa la idea de proporción con cierta frecuencia. Por ejemplo:
1) "La proporción de agua requerida para la preparación de un jugo a partir de un concentrado está especificada en las instrucciones de preparación del producto''.
2) "La reacción de Carlitos ante mi crítica fue desproporcionada''.
3) "El diseño de este edificio guarda proporciones armoniosas''.
4) "El sueldo mensual de cada trabajador es proporcional al número de horas semanales que trabaja''.
En el ejemplo 1), se usa la palabra "proporción'' para señalar la cantidad de agua que debe usarse para diluir cada lata o cartón de jugo concentrado en la preparación de jugo para el consumo. Por ejemplo, en las instrucciones podría leerse: "Mezcle 4 vasos de agua por cada lata de jugo concentrado".
La idea de proporción, en este caso, se refiere a la relación que debe mantenerse entre la cantidad de jugo concentrado y la cantidad de agua que se usará para diluirlo. Se están comparando dos cantidades: la de jugo concentrado con la de agua necesaria para su preparación.
Si se desea preparar jugo con 2 latas de concentrado, ¿cuántos vasos de agua se usarían?
En el ejemplo 2), se está comparando una crítica a Carlitos con su reacción. Al decir que ésta fue "desproporcionada'', generalmente se quiere expresar que la reacción fue mucho más violenta que la crítica que la generó. De nuevo, se están comparando dos magnitudes o cantidades: la "cantidad'' de ira, violencia o severidad que hubo en la crítica, con la que hubo en la reacción.
En el ejemplo 3), se habla de "proporciones armoniosas'' en una edificación. Una vez más, la palabra "proporción'' se refiere aquí a una relación o comparación entre las medidas del edificio. Podría ser la relación entre la altura y el ancho de la fachada principal, entre la altura y el ancho de las ventanas, etc.
Es muy importante notar que una misma proporción puede darse entre las medidas de un rectángulo pequeño así como entre las medidas de otro mucho más grande. Así, por ejemplo, la proporción entre el lado menor y el lado mayor en los siguientes rectángulos
es .
en ambos rectángulos, el lado mayor mide el doble de lo que mide el lado menor.En el ejemplo 4), se dice que el sueldo de cada trabajador es proporcional al número de horas semanales que trabaja. Supongamos que un trabajador labora 20 horas semanales. ¿Qué dato sería necesario conocer para determinar el sueldo mensual del trabajador?
Se observa en los cuatro ejemplos anteriores que el significado de la palabra PROPORCIÓN tiene que ver con la comparación de dos cantidades.
Cuando se comparan dos cantidades, puede intentarse precisar qué tanto mayor es una que la otra diciendo, por ejemplo, que una de ellas es es el doble de la otra. En este caso, se está estableciendo una proporción entre las dos cantidades.
Por ejemplo, si se dice que un grupo de jóvenes hay tres veces más muchachas que muchachos, se está expresando la proporción entre muchachas y muchachos que hay.
Si en ese grupo hay 14 varones, entonces habrá el triple de chicas, es decir, el número de chicas es:
Si en otro grupo de jóvenes hay 5 varones y la proporción es la misma que antes, se
concluye que hay muchachas.
Se tienen entonces, dos grupos distintos de jóvenes, con distinto número de personas, pero ambos con la misma proporción entre chicos y chicas. Esa proporción se expresa mediante la fracción
como se ha dicho que por cada chico habrá 3 chicas, con el número 1 del numerador se está expresando la cantidad de muchachos, y con el 3 del denominador, la cantidad de muchachas que habrá por la cantidad de chicos en el numerador. Esto se escribe así porque se habló de proporción entre chicos y chicas (al nombrar primero a los varones, el número que corresponde a estos va en el numerador).
Para cada uno de los grupos mencionados arriba, se escribirá en una fracción las cantidades de chicos y chicas en el numerador y el denominador respectivamente:
Primer grupo:
Segundo grupo:
Obsérvese ahora que
y
es decir, son fracciones equivalentes .Ejercicio: si quisiéramos ahora saber qué cantidad de muchachos habría en un grupo
que tenga la proporción entre chicos y chicas, y que tiene 90 muchachas, ¿qué
operación necesitaríamos hacer?
Considerando de nuevo el ejemplo 1), si una lata de jugo contiene la misma cantidad de
líquido que un vaso, entonces la proporción entre jugo y agua es , según lo que indican las instrucciones de preparación. ¿Cuántos vasos de agua habrá que añadir a 5 vasos de jugo concentrado para preparar jugo diluido en esa misma proporción?
Observando el ejemplo anterior, se concluye lo siguiente: lo único que hay que hacer es
encontrar el denominador de una fracción EQUIVALENTE a con numerador 5. En este
caso, como , el número buscado es 20. Habrá que añadir 20 vasos de agua a los 5 vasos de jugo concentrado.
Una manera de encontrar la respuesta a la pregunta anterior es la siguiente: se plantea la ecuación
para evitar que la x esté en el denominador de una fracción, se multiplican ambos miembros de la igualdad por x y se obtiene:
Multiplicando ambos miembros por 4:
para el que recuerde la "Regla de Tres'', será útil observar que puede usarse también en este caso y obtenerse el mismo resultado:
La solución se obtiene así:
Otro ejemplo:
para preparar una cierta masa, se sabe que la proporción entre agua y harina (atención
al orden en que se nombran) es de . Eso significa que para cada 5 tazas de harina deben agregarse 2 tazas de agua. Si se quiere preparar masa con otra medida, por ejemplo, con cucharadas, también debe mantenerse la proporción de 2 cucharadas de
agua por cada 5 cucharadas de harina.
Si se quiere preparar masa con 15 tazas de harina, ¿cuántas tazas de agua habrá que agregar?
Usando el método del planteamiento de la ecuación, se obtiene:
como en la fracción el numerador representa la cantidad de agua y el denominador, la
cantidad de harina, de la misma manera debe ubicarse en , el denominador 15, que es la cantidad de harina, y el numerador x, que es la cantidad de agua que se quiere determinar.
Resolviendo,
se necesitan 6 tazas de agua para amasar 15 tazas de harina, manteniendo la proporción dada.
Usando la Regla de Tres:
Ahora, se resuelve:
Puede verse ahora que la "Regla de Tres" no es más que una manera de resolver ecuaciones surgidas de problemas relativos a PROPORCIONES.
Si has acertado en tus respuestas, continúa tu lectura. Si no, revisa de nuevo los razonamientos empleados por ti para que detectes el error cometido. Puede ser
necesario que leas de nuevo las ideas básicas en torno a proporciones, que han sido expuestas hasta aquí.
En algunos casos se da la proporción de una PARTE en relación a la TOTALIDAD. Por
ejemplo, en el ejercicio anterior, la proporción entre vinagre y agua es de , se tiene que:2 litros de vinagre + 5 litros de agua = 7 litros de agua con
vinagre
Entonces, la proporción de agua con la totalidad es de La proporción de vinagre con la
totalidad es de
Cuando se compara una parte con la totalidad sólo se nombra a la parte, por ejemplo, se
diría: La proporción de vinagre en la mezcla es de , y la proporción de agua es de .
En el ejemplo del grupo de jóvenes, por cada varón hay 3 chicas, es decir, que en un grupo de
jóvenes, 1 es varón y 3 son muchachas.
Luego, la proporción de muchachas es , y la proporción de varones es .
cuando se habla de proporción y sólo se nombra a una parte, se está refiriendo a la proporción entre esa parte y el todo.
A continuación, otro ejemplo. Supongamos que se dice que en una población, la
proporción de analfabetas es de . Esto quiere decir que de cada 300 individuos, 1 es analfabeta, es decir, no sabe leer ni escribir. Si esa población tiene 6.000.000 de habitantes, y se quiere saber cuántos saben leer y escribir, se plantea una ecuación que permita encontrar el número de analfabetas que hay, usando la información que ya se tiene: por cada 300 habitantes, 1 es analfabeta.
Entonces hay 20.000 analfabetas, por lo tanto, hay
personas que saben leer y escribir en esa población.
Es importante que lo expuesto hasta aquí sea muy claro para ti, para que lo que se expone a continuación sea también asimilado con facilidad.
Porcentajes
Cuando se habla de porcentajes, en realidad se está hablando de proporciones entre una parte y la totalidad. Por ejemplo:
si se dice que el 12% de los estudiantes del liceo son nuevos este año, lo que se está diciendo es que por cada 100 estudiantes, 12 son nuevos, es decir, la PROPORCIÓN de
alumnos nuevos es de . Si en el liceo hay 600 estudiantes, para determinar el número exacto de alumnos nuevos, puede usarse la Regla de Tres:
por lo tanto,
Pero también puede plantearse directamente la ecuación siguiente:
Resolvemos:
Esta es, entonces, otra manera de resolver la ecuación original, que también es correcta.
Se resolverán a continuación otras ecuaciones que exigen un conocimiento adecuado acerca de las operaciones en Q, para su apropiada resolución.
Como se ha visto antes, no hay una única vía correcta para resolver estas ecuaciones, pero sí una única solución correcta.
El porcentaje es una de las expresiones matemáticas que más usamos en la vida cotidiana. Por otra parte, la información que aparece en los medios de comunicación está repleta de datos expresados en porcentajes. Por ejemplo,
¿quién no ha oído decir alguna vez?: "Rebajas del 10% en todos los artículos del hogar" o "El paro aumentó el último trimestre un 0,5%". Un porcentaje es la proporción de una cantidad respecto a otra y representa el número de partes que nos interesan de un total de 100.
Porcentaje o tanto por ciento
Cuando una familia invierte el 45% de sus ahorros en comprar una vivienda, se está gastando en ella 45 euros de cada 100 que ha ahorrado.
Se puede definir el tanto por ciento como una fracción que tiene denominador 100. En este caso, el 45% es la fracción decimal.
Como el porcentaje es una fracción decimal, se puede expresar también en
número decimal. Así, 45% = = 0,45 (se ha dividido 45 entre 100).
Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fracción o número decimal y, a su vez, cualquier número decimal o fracción se puede expresar en porcentaje:
Porcentaje Se lee Fracción Decimal Significado
10% Diez por ciento 10/100 0,1 10 de cada 100
30% Treinta por ciento 30/100 0,3 30 de cada 100
3% Tres por ciento 3/100 0,03 3 de cada 100
Cálculo de porcentajes
Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento
1. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100.
Ejemplo:El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100:
Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos.
2. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje.
Ejemplo:Observa esta igualdad:
Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2:
240 · 0,2 = 48
Variaciones: incrementos y descuentos
Incrementos
Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor.
Ejemplo:Si una camiseta, sin el 16% de IVA, cuesta 12,00 ¬, para saber cuánto cuesta con IVA hay que:
1. Calcular el incremento que sufre el precio de la camiseta. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (16% de 12,00): 12 · 0,16 = 1,92 (0,16 es la expresión decimal del porcentaje 16%).
2. Sumar la cantidad (12,00) y su incremento (1,92) para obtener el precio final: 12,00 + 1,92 = 13,92 ¬
El precio de la camiseta tiene un incremento debido al IVA y, por tanto, es necesario disponer de un total de 13,92 euros para comprarla.
Descuentos
Un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.
Ejemplo:
Vamos a calcular el precio de un libro que antes costaba 42,00 ¬ y ahora tiene el 5% de descuento:
1. Calculamos el descuento que sufre el precio del libro. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (5% de 42,00): 42,00 · 0,05 = 2,10 (0,05 es la expresión decimal del porcentaje 5%).
2. Restamos la cantidad (42,00) menos su descuento (2,10) para obtener el precio final: 42,00 - 2,10 = 39,90 ¬ El precio del libro tiene un recuento y, por tanto, habría que disponer de 39,90 euros para comprarlo.
Tanto por 1 y tanto por 1.000
Puesto que un tanto por ciento es una proporción de un número de partes por cada 100, el tanto por uno y el tanto por mil son proporciones de un número de partes por cada 1 o por cada 1.000 respectivamente. El tanto por ciento, por uno o por mil son sólo diferentes maneras de expresar un porcentaje.
Es lo mismo decir que se divide una tarta en 100 partes y se cogen 25 que decir que se cogen 0,25 de una tarta, o que se divide en 1.000 partes y se cogen 250. Por tanto, el 0,25, el 25 % o el 250 por mil son expresiones equivalentes y significan lo mismo.
En realidad, no es más que multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador por 10 ó 100, según cada caso.
Aplicaciones de los porcentajes
Los porcentajes se usan para:
Relacionar una parte con el todo: Ejemplo: "El 58% de los aspirantes a ingresar en la Universidad son mujeres".
Determinar una proporción entre dos cantidades: Ejemplo: "La proporción de levadura y harina para el bizcocho es del 3%".
Describir a la población, indicando el peso relativo de una magnitud sobre ella. Ejemplo: "El 16% de la población de Euskadi tiene estudios superiores". Gran parte de la estadística se expresa en porcentajes. En Euskadi, el Instituto Vasco de Estadística (EUSTAT), elabora numerosos estudios estadísticos sobre la población vasca.
Determinar la variación relativa de una cantidad: Ejemplo: "El nivel del agua almacenada en los embalses ha subido un 8% en lo que va de año".
El interés bancario
Las entidades financieras (bancos, cajas de ahorros, etc.) dan a sus clientes un interés por tener depositado su dinero. Es directamente proporcional a la cantidad guardada y al tiempo que dura el depósito, y se mide en tanto por ciento.
Cuando se pide un préstamo al banco también se paga un interés.
Ejemplo:La caja de ahorros local ofrece a Marta un 4% anual para los 6.000 ¬ que tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Marta por su capital a final de año?
Un interés del 4% anual significa que de cada 100 ¬ obtiene 4 al año.
Por tanto,
Pero ¿y si Marta guarda el dinero en la caja durante 4 años?
En cuatro años le producirá cuatro veces esa cantidad:
Cálculo del interés bancario
Donde:
I es el interés bancario. c es el capital.
r es el rédito. t es el tiempo.
El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones.
El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud
(una cifra o cantidad)con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como
unidad la centésima parte del todo.
Ejemplos:
1 centésimo =
5 centésimos =
50 centésimos =
Nota importante. No olvidar que las fracciones deben expresarse siempre lo más pequeñas posible, deben ser
fracciones irreductibles.
¿Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han tomado 50 de
ellas, o sea, la mitad.
¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ ( 25/100 al simplificar
por 5, se reduce a ¼).
Cálculo de Porcentaje
El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales (significa que si
una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).
En el cálculo intervienen cuatro componentes:
Cantidad Total ---- 100 %
Cantidad Parcial ---- Porcentaje Parcial
Ejemplo
(Cantidad total) $ 1.000 - equivale al - 100 % (porcentaje total)
(Cantidad parcial) $ 500 - equivale al - 50 % (porcentaje parcial)
Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son :
1.- Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%) parcial :
Ejemplo: ¿Cuál (cuanto) es el 20% de 80?
Cantidad Porcentaje
Total 80 100
Parcial x 20
Para resolverlo, se hace:
Resolvemos la incógnita (x):
Haciendo la operación, queda:
Simplificando, queda:
Respuesta: el 20 % de 80 es 16.
2.- Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él.
Ejemplo: Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 ¿Cuál es el total?
Cantidad Porcentaje
x 100
120 20
Para resolverlo, se hace:
Resolvemos la incógnita (x):
Haciendo la operación, queda:
Simplificando, queda:
Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.
3.- Dado el total y una parte de él calcular que % es esa parte del total.
Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 40 de 120?
Cantidad Porcentaje
120 100
40 x
Para resolverlo, se hace:
Resolvemos la incógnita (x):
Haciendo la operación, queda:
Simplificando y haciendo la división, queda:
Respuesta: 40 es el 33,33 % de 120.
Regla de tresLa regla de tres es una operación que consiste en encontrar el cuarto término de una proporción, a la que solo se le conocen tres términos. La proporción es una igualdad de dos razones.
Puede ser simple cuando solamente intervienen en ella dos variables o compuesta cuando intervienen tres o más variables.Toda regla de tres presenta una incógnita y una hipótesis. La hipótesis está constituida por los datos del problema que se conocen y la incógnita por el dato que se busca.
De acuerdo a la relación con la incógnita, puede ser directa cuando los aumentos en una variable provocan aumento en la otra variable o inversa cuando los aumentos en una variable provocan disminución en la otra variable.
ObservaSi con 20.500 bolívares compro 4 libros. ¿Cuántos libros compraré con 35.875 bolívares
Para buscar la solución a través de una regla de tres, se pueden utilizar varios métodos, a continuación se presenta uno fácil y rápido. Pon mucha atención ya que, de acuerdo a como se coloquen los elementos en el planteamiento, depende que se obtenga la repuesta correcta, es decir, el éxito. Se colocan dos filas, donde aparecen la hipótesis y la incógnita.
Se lee así:
Si con 20.500 bolívares compro 4 libros, con 35.875 Bs. ¿cuántos compraré?
Para resolver un problema aplicando la regla de tres se toma en cuenta la siguiente propiedad de las proporciones.
Los números 100 y 3 se llaman extremos de la proporción mientras que los números 150 y 2 se llaman medios. Observa que el producto de los medios (150 · 2 = 300) es igual al producto de los extremos (100 · 3 = 300).
100 150 --------- = ---------
2 3
Esta propiedad se cumple en cualquier proporción, es decir:
a b --- = ---- = a · c = c·d b c
y se traduce en palabras así: En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En nuestro ejemplo se establece la relación:
A más dinero más libros. Se trata entonces de una regla de tres simple directa. Esto quiere decir que el resultado debe ser mayor a 4libros.
35.875 x 4 = 143.500 = 7 Libros20.500 20.500
La incógnita se despeja aplicando la propiedad ya señalada:
Respuesta:
Con 35.875 bolívares se compran 7 libros (con más dinero se compran más libros).Esta es una regla de tres simple directa
Observa de nuevo
Si 30 obreros terminan un trabajo en 5 horas ¿En cuántas horas terminarán el mismo trabajo 60 obreros?.
Planteamineto y Razonamiento del problema:
Es evidente que entre más obreros, se necesitará menos tiempo; por lo que las magnitudes varían en razón inversa.
Se lee así:
Si 30 obreros utilizan 5 horas, 60 obreros. ¿Cuantas horas utilizarán?
Se establece la relación: A más obreros menos tiempo.
Se trata entonces de una regla de tres simple inversa. Esto quiere decir que el resultado debe ser menor a 5 horas.
Al ser una relación de proporcionalidad inversa, hay que invertir la segunda razón (la que está ubicada a la derecha); entonces el 5 estará en la línea inferior y la interrogación (¿) en la línea superior. De allí que tendremos:
Respuesta:
60 hombres realizan el trabajo en menos tiempo: 2 hora y media (con mas obreros menos tiempo).
Esta es una regla de tres simple inversa.
Porcentaje: Puede considerarse una variante de la regla de tres; pero se trata de una cantidad que expresa un número de partes por cien unidades. Es una razón, o sea, la relación de una cantidad con respecto a otra multiplicada por 100. Cualquier proporción se puede convertir en un porcentaje si se la multiplica por 100, pero no puede darse la situación inversa, no todo porcentaje puede ser traducido a una proporción. A diferencia de las proporciones, los porcentajes pueden ser mayores a 100. Se utiliza el porcentaje
como medida cuando el propósito del indicador es la comparación de cantidades relativas, es particularmente útil para el análisis comparativo.
La regla de tres:
Es una herramienta sencillo y fácil al mismo tiempo. Es una operación que permite determinar el
cuarto término de una proporción, de la que sólo se conocen tres términos. Así, por ejemplo,
permite saber cuánto cuestan dos kilos de patatas si el cartel del mercado marca el precio de un
kilo, o calcular el precio de 150 bolígrafos si la caja de cinco unidades vale 60 céntimos de euro.
Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos
como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido.
Las proporciones
Una proporción es la igualdad entre dos cocientes (a / b = c / d). Cuando dos cocientes son
iguales, el producto de los extremos (a y d) es igual al producto de los medios (b y c); por tanto,
en la proporción se cumple que: a · d = b · c.
Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando su cociente se mantiene constante, es
decir, si una de las dos magnitudes aumenta o disminuye, la otra magnitud también aumentará o
disminuirá en la misma medida. Por ejemplo, cuantos más kilómetros haga un coche, más
combustible gasta y, por tanto, se dice que ambas magnitudes son proporcionales (cociente
constante).
La regla de tres se utiliza para calcular valores desconocidos de magnitudes proporcionales. Las
operaciones con las que se resuelve son muy sencillas: la multiplicación y la división. Lo
realmente importante es saber plantear la regla de tres.
Determinación del cuarto término
Es una operación que nos sirve para calcular uno de los términos de una proporción conociendo
los otros tres. Se llama supuesto a la parte del problema que se conoce e incógnita a la que
debemos calcular.
Para plantear la relación de proporción requiere que los términos a y b sean parte de una misma
magnitud y que los términos c y d pertenezcan a otra magnitud, pero relacionada con la
anterior. Esta relación se expresa matemáticamente así: a / b = c / d.
Por ejemplo: Se desea determinar cuánto nos costarán 1.356 bolígrafos si una caja que contiene
10 bolígrafos cuesta 3 euros. El número de bolígrafos sería una magnitud (a = 10 bolígrafos y b =
1.356 bolígrafos) y el dinero sería la otra magnitud (c = 3 euros y d = x euros). De esta forma, si
10 bolígrafos cuestan tres euros, 1.356 bolígrafos nos costarán x (la incógnita que debemos
averiguar). Así, la relación de proporción que se plantea es: 10 / 1356 = 3 / x. Costará X =
0.4068 euros
La regla de tres simple
La relación entre ellas puede ser: directamente proporcional, si cuando una de ellas aumenta la
otra también (a más tiempo trabajado, más dinero ganado); o inversamente proporcional, si
cuando una aumenta la otra disminuye (más tiempo trabajado, menos tiempo de ocio).
Una de las formas de plantear la regla de tres es mediante el método tradicional. Si de a tenemos
b, entonces de c tendremos d: (a / b = c / d).Si la relación entre las dos magnitudes es
directamente proporcional, para resolver la regla de tres multiplicamos “en cruz”, es decir: ad = bc
Si la relación es inversamente proporcional, multiplicamos “por filas”, es decir: ac = ad
Por ejemplo, si Jon compró 15 cromos por 60 céntimos, ¿cuánto le costarán a Miren 25 cromos?
Si por 15 cromos pagamos 60 céntimos por 25 cromos pagaremos x céntimos. La relación de
proporción que se plantea será entonces: 25 cromos (60 céntimos = 15 cromos X . Miren pagará
100 céntimos.
Véalo de esta manera:
Para resolver multiplicamos “en cruz” y tenemos que 15 · x = 25·60. Por lo que x = 25 · 60 / 15 =
100 céntimos = 1 euro. Es decir, 25 cromos cuestan 1 euro.
Otros métodos de cálculo
La regla de tres mediante proporciones
Otra forma de resolver una regla de tres es mediante las proporciones. Una proporción es
la igualdad entre dos cocientes: (a / b = c / d).
Aplicando las proporciones al cálculo del cuarto término, o incógnita, de una regla de tres
tendríamos: (a / b = c / x).
Como el producto de los extremos (a y x) es igual al producto de los medios (b y c), a · x = b · c,
de donde obtendríamos el valor de la incógnita o cuarto término.
El ejemplo de los cromos que aparece en la pantalla anterior (la regla de tres simple) también
podemos resolverlo mediante las proporciones: (15 cromos / 25 cromos) = (60 céntimos / x
céntimos)
Luego 15 · x = 60 · 25, de donde x = 60 · 25 / 15 = 100 céntimos = 1 euro.
La regla de tres reduciendo a la unidad
Con este método lo que buscamos es que una de las razones (a, b, c ó d) sea 1 para simplificar
los cálculos.
Siguiendo con el ejemplo anterior, si por 15 cromos Jon pagó 60 céntimos, por un cromo pagó:
60 / 15 = 4 céntimos. Como queríamos saber cuánto le habría costado comprar 25 cromos,
tendremos que multiplicar 25 · 4 = 100 céntimos, o, lo que es lo mismo, 1 euro. En este ejemplo,
hemos calculado el precio de un cromo para poder calcular el precio de cualquier número de
cromos tan sólo multiplicando el precio unitario por el número de cromos comprado.
La regla de tres compuesta
Cuando aparecen más de dos tipos de magnitudes distintas, nos enfrentamos a un problema que
se puede resolver mediante una regla de tres compuesta.
Como casi todo en la regla de tres, la solución es en la práctica muy sencilla: descomponer en
reglas de tres simples, teniendo en cuenta que pueden ser directa o inversamente
proporcionales.
Veamos un ejemplo:
Koldo compra al carpintero de su barrio 3 mesas por 285 euros. Si sabemos que en hacer una
mesa el carpintero tarda 3 horas, ¿cuántas horas habrá trabajado el carpintero si Koldo se gasta
950 euros en mesas?
Para resolverlo, calculamos cuántos euros cuesta cada mesa (285 / 3 = 95 euros). Luego,
hallamos cuántas mesas nos dará el carpintero por 950 euros (950 / 95 = 10 mesas). Y por último
calcularemos cuántas horas tarda el carpintero en fabricar las mesas por las que Koldo ha
pagado los 950 euros (10 mesas · 3 horas que tarda en cada una = 30 horas). Por tanto, para
recibir los 950 euros de Koldo, el carpintero ha tenido que trabajar durante 10 horas.
Al utilizar el método tradicional, es más rápido plantear todas las reglas de tres simples a la vez
La regla de tres compuesta directa
La forma tradicional en la regla de tres compuesta se puede simplificar si utilizamos el método
directo en lugar de descomponer en pequeñas reglas de tres simples, ya que el planteamiento es
inmediato. Debemos recordar que hay que multiplicar “en cruz” si la relación entre las magnitudes
es directamente proporcional o “en fila” si la relación es inversamente proporcional.
Un ejemplo podrá ser el siguiente: para construir 0,5 km de autopista, 45 operarios han empleado
10 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 60 operarios trabajando 9 horas al día
en construir 2,7 km más de autopista?
La solución es: km construidos trabajadores días horas
1º caso 0,5 45 10 8
2º caso 2,7 60 x 9
Porque
2,7 · 45 · 10 · 8 = 0,5 · 60 · x · 9
x = (2,7 · 45 · 8 · 10) / (0,5 · 60 · 9) = 9.720 / 270 = 36 días.
La regla de tres en la resolución de problemas
Existen muchas operaciones que diariamente realizamos y en las que aplicamos reglas de tres
sin ser conscientes de que lo estamos haciendo..
Los casos o situaciones en los cuales aplicamos reglas de tres o porcentajes son muy diversos.
* Descuentos en los precios de artículos o incrementos.
* Cálculo del IVA de los productos.
* Cálculo de interés simple y compuesto.
* Cálculo del índice de precios al consumo.
