Meteorología Colombiana N2 pp. 33–38 Octubre, 2000 Bogotá D.C. ISSN-0124-6984

PROTOCOLO PARA LA MODELACION MATEMATICA DE PROCESOS HIDROLOGICOS

EFRAIN ANTONIO DOMINGUEZ CALLE Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales IDEAM

Dominguez, E. 2000: Protocolo para la modelación matemática de procesos hidrológicos. Meteorol. Colomb. 2:33-38. ISSN 0124 - 6984. Bogotá, D.C. – Colombia.

RESUMEN

En los últimos años, gracias al progreso de la tecnología en el campo de los ordenadores, principalmente en la rama de las computadoras personales, la introducción de los métodos matemáticos en todas las ciencias se ha acelerado. Como consecuencia directa los modelos matemáticos se han convertido en una valiosa herramienta de solución de problemas en el ámbito hidrológico. Con el fin de enmarcar el proceso de modelación en una secuencia lógica, discreta, de pasos orientados a la obtención de un resultado, en este artículo se plantea un “Protocolo de Modelación”. Previamente se introducen algunos conceptos necesarios para un entendimiento formal del tema.

ABSTRACT

During the last few years, due to technological progress in the field of information technologies, mainly in the use of personal computer’s frame, the numerical methods has become more widely use in many sciences in an accelerated way; as a direct result mathematical models are a valuable tool to solve hydrological problems. As an attempt to place the modelling process in to a logic sequence of finite and discrete steps guided to get defined goals, here is presented a “Modelling Protocol”. Previously some necessary concepts are introduced to facilitate a common ground for theme’s understanding.

1. INTRODUCCION

El universo es complejo y en el mundo moderno se necesitan soluciones más precisas, se ha intensificado así la búsqueda de nuevas herramientas para mejorar el entendimiento de esa complejidad. Los métodos para abordar el análisis de los procesos naturales fueron planteados durante el siglo XIX con base en el cálculo diferencial (desarrollado paralelamente por Newton y Leibnitz); de este modo las ecuaciones fundamentales de la Matemático–Física fueron formuladas hace más de 100 años, pero su solución numérica solo adquirió popularidad en nuestro siglo gracias a los avances en las máquinas de cálculo automático (desde la máquina de Babagge). Con el desarrollo del ordenador personal se hace viable la implementación de métodos numéricos

para resolver las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento espacio temporal de los procesos físicos (flujo de masa y energía), lo cual permite la realización de modelos matemáticos aplicados a la actividad investigativa. Con el fin de enmarcar el proceso de modelación en una secuencia lógica, discreta, de pasos orientados a la obtención de un resultado (la implementación de un modelo como herramienta para la evaluación de procesos hidrológicos). En este artículo se plantea un “Protocolo de Modelación”, el cual es producto de las experiencias propias del autor y de la revisión de opiniones de distintos autores internacionales (Kovalenko, 1993; Refsgaard, 1996; Refsgaard &

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Abbot, 1996; Kuchtment, 1980; Kuchtment et al, 1993; Rogunovich, 1989).

2. ASPECTOS GENERALES Con el fin de generar un léxico común que ayude a entender el “Protocolo de Modelación Matemática de Procesos Hidrológicos” a continuación se hace claridad sobre algunas percepciones y conceptos inherentes a la modelación matemática. Primero que todo es necesario dejar en claro que en la actividad formal e investigativa del científico o ingeniero, el modelo matemático per se no es un objetivo ni una finalidad y si es por el contrario una herramienta que apoya uno u otro proceso de toma de decisiones. Sin embargo, existe una situación en la cual el modelo es el objetivo o finalidad de la investigación, esto sucede cuando el investigador se plantea la necesidad de construir un modelo que describa algún proceso natural. Esta tarea puede comenzar de cero, con el desarrollo y demostración de las estructuras matemáticas necesarias, o desde el planteamiento de la algoritmización de estructuras matemáticas existentes. Para ser más concretos en este caso se persigue el objetivo de generar un modelo matemático de propósito general, implementado en algún tipo de plataforma informática que pueda ser utilizado por varios usuarios en distintas investigaciones. Teniendo claro lo anterior, es conveniente subrayar qué lugar ocupa la modelación en el variado espectro de la hidrología; acotando ese espectro a las tareas más relevantes de la hidrología observamos que en esta disciplina científica se resuelve, generalmente, uno de los siguientes problemas (Fig.1): Evaluación del estado actual del régimen hidrológico. Pronóstico o proyección de condiciones futuras. Uso sostenible del recurso.

La Modelación Matemática en laHidrología

P

Evaluación delEstado Actual delRégimen Hídrico

Proyección, Pronóstico

Uso Sostenible delRecurso Hídrico

Figura 1. La modelación matemática en la hidrología

En el primer aspecto, en la evaluación del estado actual del recurso, juega un papel muy importante la hidrometría

y su implementación en un sistema de muestreo regular que genere los datos suficientes para fijar un marco general de referencia del estado del recurso. Sin embargo las redes de observación no pueden constituirse de un número infinito de nodos, lo que haría imposible su viabilidad económica y pondría en duda los planteamientos de su diseño óptimo (Kovalenko, 1993); por ello en la mayoría de los casos los sistemas de muestreo se ven impedidos para generar información sobre el estado del régimen hidrológico de sectores muy locales. Es aquí donde la modelación puede complementar a la red de observaciones, soportándola para convertirla en una red óptima (viable desde el punto de vista económico y precisa desde el punto de vista técnico). Adicionalmente, implementada de una manera especial, la modelación matemática se puede aplicar como una herramienta de control de calidad de la información que producen las redes de observación, asegurando la veracidad física (es decir la posibilidad de ocurrencia) de los datos soportados en las mediciones y metodologías del sistema de muestreo en la red de observación. De otro lado el estado actual no es de suficiente información sobre el recurso, también es necesario plantear proyecciones hidrológicas, pronósticos, etc.; aquí también puede ser útil la modelación, que partiendo del estado actual puede generar escenarios, proyectando a un nivel futuro el estado y las tendencias actuales del régimen hidrológico. Para terminar, a los dos puntos anteriores se puede agregar que el uso sostenible del recurso hídrico no es posible sin la evaluación de las influencias antrópicas sobre el recurso, ejercicio que se puede realizar incluyendo en los modelos matemáticos el factor de la influencia antrópica (Refsgaard & Abbot,1996), cerrando así un ciclo de evaluación hidrológica no lineal y con retroalimentación continua. Como conclusión podemos fijar que la modelación de procesos hidrológicos tiene lugar en todos los aspectos, directos o indirectos, de la aplicación de la hidrología como herramienta del desarrollo sostenible. Adicionalmente la modelación matemática de procesos hidrológicos puede entenderse como el eslabón central del desarrollo del conocimiento, correspondiendo a la realización abstracta del entendimiento de lo real (Kovalenko, 1993); esto quiere decir que a través de los datos, obtenidos en un sistema de medición, podemos llegar a estructurar una abstracción de los procesos naturales en forma de un sistema de ecuaciones que nos ayuden a profundizar sobre el proceso en estudio. En la Fig.2., podemos ver una materialización práctica de esta idea. 2.1. Definiciones básicas En el área de la modelación matemática, tradicionalmente, se aplica el enfoque sistémico para abordar el planteamiento conceptual de esta materia. Ya que la noción de sistema es muy aplicada y dado que su

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definición y la de "Proceso" tienen fronteras muy difusas, para efectos de este artículo, las plantearemos como:

La Modelación Matemática en laHidrología

Figura 2. Modelación matemática, una abstracción de

la realidad Sistema Conjunto de elementos relacionados entre sí, que conforman un todo estructuralmente coherente y reaccionan como una unidad ante las influencias de su entorno. Proceso Serie de pasos o cambios a través de los cuales un sistema evoluciona de una condición a otra. Metafóricamente hablando el proceso consiste en un transcurrir, el sistema, a su vez, es lo que permite que transcurra (Verdugo, 1998). Por razones prácticas también es conveniente formalizar las siguientes nociones: Modelo Matemático Conjunto de expresiones matemáticas y/o lógicas destinadas a representar o simular un proceso. Entradas y Salidas Representan la influencia externa sobre el sistema (en forma de flujo de masa y energía) y la respuesta del sistema (o evolución del proceso) a las mismas.

3. CLASIFICACION DE LOS MODELOS MATEMATICOS

Existe gran variedad de modelos matemáticos y se han realizado esfuerzos por clasificarlos. Aunque no existe una clasificación única, la presentada a continuación mantiene los aspectos más generales de las clasificaciones existentes (Kovalenko, 1993; Refsgaard,

1996) los cuales se han complementado con la opinión personal del autor (Fig.3).

Clasificación de los Modelos Matemáticos

Determinísticos Estocásticos

AglutinadosEcuacionesDiferencialesOrdinarias

Distribuidos Ecuaciones Diferenciales Parciales

Lineales No Lineales

CoeficientesConstantes

CoeficientesVariables

M étodo de M ontecarlo

AnálisisRegresivo

HibridosEcuación de FokkerPlank Kolmogorov

Figura 3. Clasificación general de modelos matemáticos

De esta clasificación es necesario materializar las siguientes definiciones: Modelo determinístico Es un modelo que para dos juegos de parámetros idénticos produce una misma respuesta. Estos modelos obedecen a la relación unívoca causa–efecto sin considerar la posibilidad de respuesta con incertidumbre de realización. Modelo estocástico Es un modelo que para dos juegos idénticos de parámetros puede producir distintas respuestas. Esto se debe a que en él se considera el carácter aleatorio de algunas características del proceso que se está modelando, tomando en cuenta la incertidumbre de realización. Modelo aglutinado Es aquel en el cual las características del volumen de control de la modelación se reflejan en el modelo como concentradas en un punto. En el caso de una cuenca esto correspondería a describir su geometría a través de su área, pendiente media, altura media, etc., asociadas a su centroide (Fig.4).

M odelos M atem áticos - E jem plos

C lasificación :D eterm in ístico , d inám ico , ag lu tinado (S im ple-L ineal;M ejorado- N o L ineal)

b(x)

b (x )

q y

qq x

x

y

q

PkQ

dtdQ

C

11)2( 2

2

kPQ

dtdQ

kdt

QdkC

Varian te S im p le

Varian te M e jorada

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Figura 4. Ejemplo de modelos aglutinados

Modelo distribuido Toma en cuenta la variación espacial de las características del dominio de modelación así como la variación espacial de los parámetros y variables que gobiernan el proceso en simulación (Fig.5).

M odelos M atemáticos - Ejemplos

qy

qqx

x

y

q

0

Py

Q

xQ

tpr yx

0

xx SoSfx

pr0

yy SoSfy

pr

Clasificación:Determinístico, dinámico, distribuido, Basado en la físicadel sistema (No lineal)

Figura 5. Ejemplo de un modelo distribuido Como se puede ver en la Fig.3, la ultima línea de desarrollo corresponde a los modelos híbridos (Kovalenko, 1993), que pretenden combinar las bondades de los modelos basados en la física del sistema (dinámicos y con parámetros distribuidos) con la consideración probabilística de la distribución de sus parámetros y la incertidumbre de realización. Este tipo de modelos permite no solo simular el comportamiento de un proceso sino también la evolución de sus características probabilísticas en el tiempo.

4. ESQUEMA GENERAL DE UN MODELO MATEMATICO

Todo modelo matemático se compone de tres elementos, estos son: entradas, salidas y la estructura matemática. Los dos primeros elementos ya fueron definidos en este artículo, la estructura matemática por su parte es el operador que se encarga de transformar (desde el punto de vista numérico) las entradas en salidas (Fig.6).

Operador Matemático

Parámetros Variables

Estructura Matemática

Entradas Salidas

Figura 6. Esquema general de un modelo matemático

De acuerdo con el diagrama de la Fig.6, la estructura matemática a su vez contiene el operador matemático, los parámetros y las variables que gobiernan el proceso en modelación, de aquí se deduce que durante la modelación existen varios tipos de problemas que se pueden resolver: el problema directo y el problema inverso. 5. TIPOS DE PROBLEMA QUE SE RESUELVEN

DURANTE LA APLICACION DE LA MODELACIÓN MATEMATICA

El Problema directo En este planteamiento, se conocen: las entradas, la estructura matemática (Operador, Parámetros y Variables) y se desconocen las salidas. Así pues su solución consiste en la ejecución del modelo para obtener los resultados (salidas). El Problema inverso El problema directo es la situación más favorable en que se puede encontrar el modelador, ya que en ella no falta nada para ejecutar (calcular) el modelo. Sin embargo para llegar a ella es necesario resolver una gran cantidad de pasos, ya que por lo general hace falta algo. en la búsqueda de ese algo se plantea el problema inverso, el cual puede ser de dos tipos. Desde el punto de vista matemático se considera que el problema inverso es incorrecto, ya que no tiene solución unívoca y presenta gran inestabilidad; es decir, que para un mismo planteamiento del problema inverso pueden existir un numero infinito de soluciones o tal vez ninguna. Problema inverso tipo 1

Operador Matemático

Variables??????????

Estructura Matemática

Entradas Salidas

Figura 7. Esquema general del problema inverso tipo1

Consiste en hallar los parámetros para la estructura matemática, lo que se logra a través de la aplicación de la función objetivo para alcanzar la coherencia entre las salidas observadas y las obtenidas por el modelo. Problema inverso tipo 2

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Estructura Matemática

??????? SalidasOperador Matemático

VariablesParámetros

Figura 8. Esquema general del problema inverso

tipo2

Como no se conocen las entradas del modelo, es necesario restituirlas mediante su resolución. También se conoce como el problema paleogeológico, ya que ha sido utilizado para establecer el régimen de precipitaciones en épocas geológicas anteriores.

6. PROTOCOLO PARA LA MODELACION MATEMATICA DE PROCESOS HIDROLOGICOS

Para ejecutar el proceso de modelación a través de un flujograma con un número finito de pasos ordenados es conveniente ejecutar el siguiente protocolo (Figs.9 y 11): 6.1. Definición del objetivo de la modelación Este análisis permite establecer, que tipo de modelo es más apropiado (aglutinado, distribuido, determinístico o estocástico) y con que precisión se requiere trabajar. Es posible que durante el proceso de modelación sea necesario evaluar diferentes alternativas de trabajo acorde con requerimientos específicos y disponibilidad de información.

Protocolo de ModelaciónI

Definir el objetivo de la modelación

Formular el modelo conceptual

Definir el tipo de modelo a utilizar

Informaciónde campo,

Archivos TécnicosPercepción Remota...

1

Definición del Modelo3

Figura 9. Primera etapa del protocolo de modelación

6.2. Formulación del modelo conceptual Con base en el objetivo de la modelación, la disponibilidad de información existente y la factibilidad de realizar o no trabajo de campo, se establece el modelo conceptual, que determina la complejidad de los procesos a tomar en cuenta (cuales se modelan, cuales no se consideran en su totalidad o pueden simplificarse en gran medida) y comprende la percepción del usuario

sobre el proceso objeto de modelación. En el modelo conceptual también se plantean las presunciones generales sobre el proceso y las limitaciones planteadas por el nivel técnico de su realización. 6.3 Selección del tipo de modelo a utilizar De acuerdo con el modelo conceptual, se escoge que tipo de modelo se ajusta con mayor precisión al modelo conceptual (Fig.3). 6.4. Selección del código a utilizar Es posible que el tipo de modelo escogido, ya esté programado y sea parte de un sistema de modelación en venta o disponible a través de alguna transferencia tecnológica, o que sea producto de trabajos anteriores. Si existen varios códigos ya preparados, se revisan y se escoge el más adecuado a las necesidades técnicas y de disponibilidad informática y se pasa a la siguiente etapa, de lo contrario será necesario desarrollar el código lo cual implica cubrir las siguientes etapas:

Formulación Numérica. Codificación del programa. Verificación del código. ESTA FIGURA NO ESTA DISPONIBLE EN DIGITAL

Figura 10. Segunda etapa del protocolo de modelación

6.5. Parametrización o identificación del

modelo Con la información disponible, y en algunos casos apoyados en hipótesis de trabajo, se establecen las magnitudes de los parámetros que componen la estructura matemática. Si el valor de los parámetros se obtiene a través de mediciones de campo existentes o adicionalmente programadas, se dice que el modelo se parametrizó. Si el valor de los parámetros se establece a través de la solución del problema inverso tipo 1 (Fig.7), se dice que los parámetros se identificaron. 6.6. Validación del modelo Con el fin de probar cual es el rango de bondad del modelo, este se parametriza con una parte de la información existente, luego sin cambiar los parámetros encontrados, se prueba el modelo con un rango de datos no utilizados durante la parametrización, calculando el error promedio del modelo. Si este error está dentro de los límites permisibles, se considera que el modelo está

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validado, de lo contrario se repite el proceso de parametrización. 6.7. Simulación Con el modelo validado, se puede dar inicio a la simulación bajo las condiciones planteadas, este procedimiento es técnico y solamente hay que verificar que los parámetros e hipótesis planteados estén reflejados en el código implementado. 6.8. Análisis y presentación de resultados En esta etapa participa un equipo interdisciplinario que trata de obtener el mayor número de respuestas con los datos obtenidos por el modelo y verifica la coherencia de los resultados. Una vez analizado esto, se procede a consolidar el documento soporte del proceso de toma de decisiones.

Protocolo de Modelación

2

ParametrizaciónIdentificación

Validación

Informaciónde campo,

Archivos TécnicosPercepción Remota...

Simulación

Análisis y presentaciónde resultados

Post auditoría

3

3

Hac

ia la

re v

isió

n d

el

mo d

elo

con

cep

tual

Figura 11. Tercera etapa del protocolo de modulación 6.9. Post auditoria La modelación puede no detenerse en la etapa anterior, ya que si en el modelo realizado se incluye información nueva, obtenida por otros medios, o que no estaba disponible en el momento inicial de la modelación este puede mejorar y hacer cambiar nuestra percepción sobre el proceso real, provocando la inducción de mejoras en el modelo conceptual planteado. Por otro lado la realización del modelo puede ser tan acertada que el mismo, al aplicarlo, nos revele puntos importantes a mejorar en el modelo conceptual, formulando así un proceso de retroalimentación continua entre el desarrollo del modelo mismo y sus subsecuentes aplicaciones.

CONCLUSIONES La formulación del Protocolo de modelación obedece a la necesidad de aplicar en forma sistemática la modelación matemática, el flujograma planteado, asegura un desarrollo ordenado en cualquier proyecto de modelación, despreciarlo puede convertir la modelación matemática en una tarea en la que se puede derrochar un valioso recurso: tiempo, con un aumento considerable de los costos de aplicación, y disminución de la calidad de los resultados obtenidos. El protocolo facilita la definición de puntos de enlace con otras actividades en el proyecto en evaluación. También permite formular un cronograma de trabajo con tiempos muy aproximados a los de ejecución y orientar la programación de actividades de campo para dar cumplimiento al flujograma de desarrollo planteado. En la aplicación de la modelación matemática de procesos hidrológicos atendiendo al protocolo de modelación se puede integrar la participación de expertos en cada temática con el fin de optimizar la parametrización de los modelos y la interpretación de los resultados. El protocolo establece una base para la modelación integrada de procesos hidrológicos.

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