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>PROGRAMA DE INGENIERIA MECATRNICA ESCUELA DE ADMINISTRACION Y MERCADOTECNIA <
1
Resumen En el presente trabajo se ha investigado sobre el
principio de conservacin de energa y conceptos de dinmica
con el objetivo de lograr una mejor comprensin del
funcionamiento emprico y terico de una catapulta, para lo
cual se implement un modelo de dimensiones reducidas con el
cual realizamos una serie de suposiciones.
Abstract- In the present work we have investigated the principle of
conservation of energy and concepts of dynamics in order to
achieve a better understanding of empirical and theoretical
performance of a catapult, for which a model of reduced
dimensions was implemented which perform a series of
assumptions.
I. OBJETIVOS
-Entender los trminos que se manejan en este tema para
obtener un gran aprendizaje.
-Obtener una gran apreciacin con los resultados obtenidos
en este proyecto con todos los elementos que se manejan.
Ya que estos influyen demasiados en la elaboracin de este
proyecto.
- Identificar los componentes bsicos y las precauciones
necesarias para su buen funcionamiento.
- El experimento a explicar consiste en un trebuchet que es
una especie de catapulta solo que este acta por efecto de un
contrapeso que es el que impulsa el proyectil, generando una
velocidad que le permitir recorrer una distancia
proporcional a la carga del contrapeso, a diferencia de una
catapulta que opera por torsin de cuerdas o algn otro
mecanismo menos cuantificable fsicamente; Pero para
evitar confusin le seguiremos llamando catapulta porque
finalmente cumple la misma tarea que es arrojar algn
proyectil por accin de fuerzas ejercidas por otros objetos.
-El objetivo de este informe es explicar todos los efectos
fsicos que rigen a una catapulta como es la conservacin de
energa dentro de la cual actan efectos como momento de
inercia, la velocidad angular, energa cintica y energa
potencial adems de unos conceptos bsicos de dinmica
que tambin intervienen en este proyecto.
-Habiendo conocido todos los efectos fsicos que actan en
esta catapulta, se podrn analizar y cuantificar aplicando
formulas que permitir sacar la mayor cantidad de
informacin de esta, para as predecir el lanzamiento.
II. MATERIALES
Para la construccin de la catapulta de dimensiones
reducidas se utilizaron:
- Madera de cedro con dimensiones 34 cm de ancho por 39,5
cm de alto por 50 cm de largo para la estructura de la
catapulta
- clavos y silicona lquida para el ensamblaje de cada listn
- cuerda para reforzar la unin entre listones que estarn
afectados por la accin de fuerzas mayores
- Una porcin de neumatico como recipiente del proyectil
III. INTRODUCCIN
ebido a los avances de la ciencia y la tecnologa es
probable que nos encontremos con fenmenos fsicos
que ocurran en mbitos especiales, como puede ser aquellos
que toman lugar a mucha distancia de nuestro alcance
(espacio exterior) o en lugares de dimensiones reducidas
(interior del cuerpo humano) . Dado que estamos limitados
por nuestros sentidos, en especial la vista, recurrimos a
distintas herramientas, tales como microscopios, telescopios,
etc., para presenciar dichos fenmenos fsicos, y an as el
estudio de los mismos es complicado. Por esta razn, es que
utilizamos cmaras de vdeo, que nos permiten analizar estos
hechos, sin tener que presenciarlos. La idea de este proyecto
es estudiar que fenmenos se dan lugar en un tiro parablico
efectuado con catapulta calculando la parte de estabilidad,
esttica y resistencia de materiales.
Los clculos implican el uso de dinmica bsica.
IV. MARCO TERICO
Funcionamiento:
Fig. 1 El trebuchet est listo para disparar. El peso bajar
levantando el brazo y ste a su vez tirar de la onda.
Fig. 2 El peso sigue bajando haciendo que la onda tome
altura.
Fig. 3 La onda ha tomado ya la altura suficiente para que se
separe la anilla del pivote.
Fig. 4 La onda se ha abierto disparando el proyectil.
PROYECTO CATAPULTA
Luis Felipe Muoz, Juan Jos Cortez Gonzalez, Mateo Fernandez Saavedra, Esteba Moreno
Echeverry y Juan Camilo Torres.
Programa de Ingeniera Mecatrnica, Facultad de Ingeniera Mecatrnica, Escuela De
Administracin y Mercadotecnia- Colombia.
D
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Tenemos una serie de medidas que debemos tener en cuenta,
segn se muestra en el siguiente plano de la trebuchet:
A = Longitud total del brazo lanzador
La distancia B debe de ser de 4 veces la distancia C.
La longitud de la honda D, debe de ser 3/4 de la longitud de
B.
La masa W (Contrapeso), debe de ser 100 veces mayor que
el peso WP, del proyectil a lanzar.
Adems el ngulo del brazo lanzador "amartillado" debe de
ser de 45.
Estas son las proporciones mnimas que tiene que cumplir
nuestro Trebuchet para que sea funcional.
Otro elemento a tener en cuenta es el ngulo del pivote, si el
ngulo es mayor (fig A), conseguimos que el proyectil llegue
ms lejos pero toma menos altura, en el caso extremo
tendremos que el ngulo es casi 0. Con esta configuracin
conseguiremos que el proyectil alcance una altura mxima
perdiendo as algo de alcance. (Fig C.)
V. MONTAJES Y EXPERIMENTO
Antes de realizar el montaje de la catapulta se tendrn en
cuenta algunas instrucciones:
1. Se calcula el momento en el brazo de la catapulta. El
momento es igual a la fuerza que acta
perpendicularmente al brazo de la catapulta
multiplicado por su distancia desde el punto del
brazo de rotacin. Si la fuerza es suministrada por
un peso, la fuerza perpendicular es igual a las veces
el peso del seno del ngulo entre el cable y el peso
del brazo catapulta.
2. Calcula el momento polar de inercia del brazo de la
catapulta. El momento polar de inercia es una
medida de la resistencia de un objeto a la rotacin.
El momento polar de inercia de un objeto genrico
es igual a la integral de cada una de sus unidades
infinitesimales de masa por el cuadrado la distancia
de cada unidad de masa desde el punto de rotacin.
La integral es una funcin basada en el clculo. Es
posible que desees aproximar el brazo de la
catapulta como una barra uniforme, en cuyo caso el
momento polar de inercia se convertira en un
tercio de la masa el brazo multiplicado por el
cuadrado de su longitud: I = (m * L ^ 2) / 3.
3. Calcula la aceleracin angular. La aceleracin
angular se obtiene fcilmente dividiendo el
momento en cualquier punto en el tiempo por el
momento polar de inercia: una M = / I.
4. Calcula las aceleraciones normales y tangenciales
sobre el proyectil. La aceleracin tangencial
describe la rapidez con la velocidad lineal del
objeto que es cada vez mayor, y es igual a la
aceleracin angular multiplicada por la longitud del
brazo. La aceleracin normal, tambin conocida
como la aceleracin centrpeta, acta
perpendicularmente a la velocidad instantnea del
objeto y es igual a la velocidad al cuadrado
dividida por la longitud del brazo: a = (v ^ 2) / L.
Puedes aproximar la velocidad en cualquier punto
en el tiempo multiplicando el tiempo que ha
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transcurrido por la aceleracin angular media y la
longitud del brazo: v = a * t * L.
5. Usa la segunda ley de Newton, la fuerza es igual a
masa multiplicada por la aceleracin, para convertir
las aceleraciones del objeto en las fuerzas inducidas
por la catapulta. Multiplica ambos componentes
tangenciales y normales de la aceleracin de la
masa del objeto para obtener las dos fuerzas.
6. Combina los dos componentes de fuerza en una sola
fuerza resultante. Debido a que las fuerzas
normales y tangenciales actan perpendiculares
entre s, puedes utilizar el teorema de Pitgoras
para calcular la magnitud de la fuerza resultante: a
^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde "a" y "b" son fuerzas
componentes y "c" es la resultante.
Lo anterior fue para la parte esttica, lo siguiente es para
resistencia de materiales el cual se analiza la madera que es
el elemento en que pensamos realizar la catapulta.
La orientacin de las fibras que componen la madera da
lugar a la anisotropa de su estructura, por lo que a la hora de
definir sus propiedades mecnicas hay que distinguir
siempre entre la direccin perpendicular y la direccin
paralela a la fibra. En este hecho radica la principal
diferencia de comportamiento frente a otros materiales
utilizados en estructuras como el acero y el hormign. Las
resistencias y mdulos de elasticidad en la direccin paralela
a la fibra son mucho ms elevados que en la direccin
perpendicular.
A modo de introduccin podemos ver que los rboles estn
diseados por la naturaleza para resistir con eficacia los
esfuerzos a los que va a estar sometido en su vida;
principalmente los esfuerzos de flexin producidos por la
accin del viento y los de compresin producidos por las
acciones gravitatorias.
Sobre la madera como material se han realizado muchos
estudios e investigaciones mediante ensayos realizados sobre
probetas pequeas libres de defectos o madera limpia, pero
la madera estructural comprende piezas de grandes
escuadras en las que aparecen numerosos defectos o
particularidades como nudos, gemas, etc. Por eso, la
tendencia actual es la de estudiar e investigar piezas de
madera comerciales o reales que permiten evaluar mejor la
presencia e influencia de dichas particularidades. En los
productos estructurales de la madera es importante tener en
cuenta que se trata de productos que han sido clasificados
para su uso estructural, y por lo tanto no se pueden utilizar o
buscar correlaciones con otro tipo de clasificaciones; por
ejemplo en la madera aserrada no se pueden utilizar o
correlacionar las clasificaciones decorativas con las
estructurales o utilizar los valores obtenidos con probetas
pequeas. Para referirse a las propiedades mecnicas en
madera estructural se suelen dar los valores caractersticos,
que se definen como aquellos que son seguros con un 95 %
de probabilidad, y son los que se emplean, por ejemplo, para
comprobar la resistencia. Los valores medios son seguros
con una probabilidad del 50 %.
A continuacin se recogen las caractersticas ms
significativas de las propiedades mecnicas de la madera
estructural.
Traccin paralela a la fibra: La resistencia a traccin
paralela a la fibra es elevada. En la madera clasificada, los
valores caractersticos oscilan entre 8 y 18 N/mm2
.Como ejemplo de piezas solicitadas a este esfuerzo se
encuentran, principalmente, los tirantes y los pendolones de
las cerchas.
Compresin paralela a la fibra: Su resistencia a
compresin paralela a la fibra es elevada, alcanzando valores
caractersticos en la madera clasificada de 16 a 23 N/mm2
.En el clculo de los elementos comprimidos se ha de
realizar la comprobacin de la inestabilidad de la pieza
(pandeo), en el que influye decisivamente el mdulo de
elasticidad. El valor relativamente bajo de este mdulo
reduce en la prctica la resistencia a la compresin en piezas
esbeltas. Esta propiedad resulta importante en una gran
cantidad de tipos de piezas, como pilares, montantes de
muros entramados, pares de cubierta, etc.
Flexin: Su resistencia a flexin es muy elevada, sobre todo
comparada con su densidad. Sus valores caractersticos para
las conferas, que se utilizan habitualmente en estructuras,
varan entre 14 y 30 N/mm2
.En madera es preciso hablar de una resistencia a la flexin,
aunque est formada por la combinacin de una traccin y
una compresin, ya que el comportamiento mecnico de
estas dos propiedades es diferente, y por tanto resulta ms
prctico referirse al efecto conjunto de ambas en el caso de
flexin.
Esta propiedad es importante en piezas tales como vigas,
viguetas de forjado, pares de cubierta, etc.
Traccin perpendicular a la fibra: Su resistencia a la
traccin perpendicular a la fibra es muy baja (del orden de
30 a 70 veces menos que en la direccin paralela). Su valor
caracterstico es de 0,3 a 0,4 N/mm2
.
En la prctica y aplicado a las estructuras, esta solicitacin
resulta crtica en piezas especiales de directriz curva (arcos,
vigas curvas, etc) o en zonas de cambio brusco de directriz
(zonas de vrtice). Estas tensiones de traccin, tambin se
pueden producir como consecuencia de la coaccin del libre
movimiento transversal de la madera en soluciones
constructivas incorrectas, que pueden ser evitadas fcilmente
con el conocimiento del material.
Compresin perpendicular a la fibra: Su resistencia a
compresin perpendicular a la fibra es muy inferior a la de la
direccin paralela. Sus valores caractersticos varan entre
4,3 y 5,7 N/mm2 , lo que representa la cuarta parte de la
resistencia en direccin paralela a la fibra. Este tipo de
esfuerzo es caracterstico de las zonas de apoyo de las vigas,
donde se concentra toda la carga en pequeas superficies
que deben ser capaces de transmitir la reaccin sin sufrir
deformaciones importantes o aplastamiento.
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Cortante: El esfuerzo cortante origina tensiones
tangenciales que actan sobre las fibras de la madera segn
diversos modos.
- tensiones tangenciales de cortadura: las fibras son cortadas
transversalmente por el esfuerzo. El fallo se produce por
aplastamiento.
- tensiones tangenciales de deslizamiento: el fallo se produce
por el deslizamiento de unas fibras con respecto a otras en la
direccin longitudinal.
- tensiones tangenciales de rodadura: el fallo se produce por
rodadura de unas fibras sobre las otras.
En las piezas sometidas a flexin y a cortante, las tensiones
que intervienen son conjuntamente las de cortadura y
deslizamiento. Sus valores caractersticos (por
deslizamiento) varan entre 1,7 y 3,0 N/mm2 en las especies
y calidades utilizadas habitualmente en la construccin.
Las tensiones tangenciales por rodadura de fibras slo se
producen en casos muy concretos, como son las uniones
encoladas entre el alma y el ala de una vigueta con seccin
en doble T. El valor de la resistencia por rodadura es del
orden del 20 al 30% de la resistencia por deslizamiento.
Mdulo de elasticidad: En la madera, debido a su
anisotropa, el mdulo de elasticidad en direccin paralela a
la fibra adopta valores diferentes segn se trate de
solicitaciones de compresin o de traccin.
En la prctica se utiliza un nico valor del mdulo de
elasticidad para la direccin paralela a la fibra. Su valor
vara entre 7.000 y 12.000 N/mm2 dependiendo de la
calidad de la madera.
En la direccin perpendicular a la fibra se toma,
anlogamente, un nico mdulo de elasticidad, cuyo valor es
30 veces inferior al paralelo a la fibra.
Mdulo de cortante: En la madera tambin existe un
mdulo de cortante ligado a los esfuerzos cortantes. Su valor
es 16 veces inferior al mdulo de elasticidad paralelo a la
fibra.
VI. PROCEDIMIENTO
Luego de reunir los materiales se construir una catapulta de
dimensiones reducidas, cuyas medidas se dan a
continuacin:
-Altura de la base al eje (a): 39,5 cm.
- Longitud del brazo ms chico (b): 12,5 cm
- Longitud del brazo ms largo (c): 50 cm
Masa del brazo completo (): 20.2 g
Masa del brazo pequeo: 3,4 g
Masa del brazo largo: 16.8 g
Masa del contrapeso (M): 1 Kg
Masa del proyectil (m): 0.52 g
FIGURA 1: diagrama de la catapulta descrita anteriormente.
En la figura 1 se observa el contrapeso de masa M que
consiste en una canasta movible en donde se introducir la
carga deseada, tambien se puede ver el proyectil de masa m
que ser lanzado. Para efectuar un lanzamiento se debe
colocar en el contrapeso la carga deseada y en el extremo del
brazo algn proyectil a lanzar, despus se debe torcer el
brazo hacia atrs, como lo muestra la figura 2, de manera
que el proyectil salga despedido con un ngulo de 45 para
maximizar el alcance. Se deja el contrapeso libre de caer y el
brazo ms largo arroja el proyectil con ese ngulo.
FIGURA 2: diagrama reducido de la posicin inicial de la
catapulta, M es la masa del contrapeso y m es la masa del
proyectil.
Cuando el brazo queda a 90 del suelo, se ha puesto un tope
en la catapulta para que el contrapeso no siga oscilando y se
detenga bruscamente, as el proyectil saldr despedido con el
mismo ngulo que se torci el brazo, en este caso es 45 en
donde se conseguir una trayectoria optima como lo muestra
la figura 3.
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FUNDAMENTO TEORICO:
Para analizar la catapulta hay que partir de la base que en su
funcionamiento ocurre conservacin de la energa, es decir
la energa potencial existente en el momento en que el
contrapeso se encuentra suspendido en el aire se
transformar en energa cintica al momento en que el
proyectil abandone la catapulta, es por eso que estamos
frente a un sistema conservativo pues la energa existente
permanece constante.
Para poder entender el funcionamiento de la catapulta,
tambien hay que analizar los efectos fsicos que en ella
actan, es por eso que antes de entrar de lleno en las
formulas fsicas que rigen a la catapulta, a continuacin
definiremos claramente cada uno de estos efectos para que
as se haga mas fcil comprender el accionar de esta
catapulta.
- Energa mecnica(Em): es la suma de la energa cintica y
la energa potencial.
Energa cintica(Ec): es la energa que posee un cuerpo de
masa m por encontrarse en movimiento con cierta velocidad.
La formula de energa cintica anteriormente escrita es para
un movimiento rectilneo uniforme, pero para el movimiento
en rotacin es:
En el caso de un objeto que gira y se desplaza
simultneamente, la energa cintica es la suma de ambas:
Energa potencial(Ep): es la energa almacenada en un
sistema, o comola medida del trabajo que un sistema puede
entregar.
Centro de masa(CM): es el punto donde se supone
concentrada toda la masa del sistema.
Momento de inercia( I ): es la magnitud que indica como
esta distribuida la masa de un slido respecto del eje de
rotacin. Esta definida como la suma de los productos entre
las masas de las partculas que componen
un sistema, y el cuadrado de la distancia de cada partcula a
un origen cualquiera, comn para todas. Representa la
inercia de un cuerpo al rotar. Se mide en kgm en el SI.
Velocidad angular: es una medida de velocidad en
rotacin, se mide en radianes por segundo o simplemente s-1
porque los radianes son adimensionales.
Ahora comenzaremos a explicar el funcionamiento de la
catapulta reconociendo cada efecto anteriormente nombrado.
Cabe sealar que hemos establecido como situacin 1 al
escenario antes del lanzamiento, como lo muestra la figura 2;
y como situacin 2 al escenario en que ocurre el
lanzamiento, como lo muestra la figura 3. Esto es porque al
momento de plantearlo en la formula, se pondr el subndice
de la situacin que corresponda.
Una vez que hemos definido cada factor que afecta nuestra
catapulta y la manera de que ser planteado en la formula,
estamos preparados para analizar el funcionamiento de la
catapulta.
Como todo este proceso del lanzamiento comienza con el
proyectil de masa m en el suelo y en reposo, se puede asumir
que la energa total o mecnica del sistema es la energa
potencial del contrapeso de masa M donde g es la
aceleracin gravitatoria:
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Adems asumimos que el centro de masa del brazo esta
aproximadamente en el pivote que es el punto en donde el
brazo esta unido a la base o mejor dicho es el eje de
rotacin, entonces su energa potencial no necesita ser
tomada en cuenta.
Al momento del lanzamiento las dos masas tienen energa
potencial, y el brazo y las dos masas tienen tambien energa
cintica. Entonces se puede concluir que la energa total del
sistema al momento del lanzamiento o situacin 2 es:
Donde I es el momento de inercia del brazo con respecto a
su centro de masa. Si es la masa del brazo:
y su velocidad angular, que es la misma para ambas masas
y es la velocidad lineal dividida en el radio, entonces:
Ahora reemplazando en la ecuacin (2) podemos eliminar
tanto como V y se obtendr una ecuacin que tiene por
incgnitas solo Em2 y v:
Asumimos la conservacin de la energa entre la posicin
inicial y la posicin final de lanzamiento por lo tanto Em1 =
Em2
Si en esta ecuacin reemplazamos con los datos de nuestra
catapulta:
Podremos obtener analticamente la velocidad con que sale
despedido el proyectil de la catapulta que es v = 49.2 m/s y
adems sabemos que el ngulo con que sale despedido el
proyectil es 45. Con estos datos es suficiente para seguir
sacando ms informacin acerca del lanzamiento, como se
podr ver a continuacin.
Vamos a analizar las ecuaciones que rigen la posicin del
proyectil en funcin del tiempo, ya que encontrado el tiempo
t se obtiene la posicin x e y del proyectil y luego se podr
obtener la velocidad final.
El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y = 0 en la
segunda ecuacin y despejando el tiempo t. Se obtiene una
formula como se muestra a continuacin:
Luego de obtener la ecuacin anterior, reemplazamos los
datos que poseemos como es la velocidad inicial del
proyectil (Vo) y el ngulo de lanzamiento (45) y as
conseguiremos el tiempo que demoro el proyectil en caer.
En este caso demor 1,5 seg. Adems podremos conocer la
distancia en funcin del tiempo con una simple ecuacin:
X( t ) = 5 m/s t ( 0 < t < 1,5 seg )
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VII. ANEXOS CALCULOS MATEMATICOS
ANALISIS RESISTENCIA DE MATERIALES.
Determinamos los puntos de equilibrio del brazo.
Para la seccin
Se halla el factor de seguridad.
Para los tornillos se realizaron los siguientes clculos.
Pero,
Para determinar el mnimo espacio que se necesita para que
soporte la estructura seria.
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ANALISIS ESTATICO.
Para el punto A
Para el punto C
Para el punto D
VIII. CONCLUSIONES
Como conclusin se puede tomar demasiados debates as
que nos reunimos y concluimos lo siguiente:
- Es importante observar y analizar los clculos de este
proyecto, y de esta manera enfocarnos a su construccin
para poder tener un buen funcionamiento de este proyecto.
- Este proyecto va a demostrar que para el anlisis
mecnico, es igualmente efectivo cualquier anlisis mientras
se realice en las condiciones correctas y con mucho cuidado
de tener en cuenta todos los detalles, como marcas y escalas
de referencia en el montaje del experimento Adems, lo que
se va a deducir es que el tiro realizado en la prctica debera
tener las mismas caractersticas que un tiro del mismo tipo
pero analizado en condiciones ideales.
- En conclusin podemos decir que lo planteado en las
ecuaciones, explican muy bien el funcionamiento de una
catapulta, ya que una vez obtenidos todos los datos se
pueden comprobar llevndolos a la practica en donde se
puede ver que el margen de error es muy pequeo y por
consiguiente se puede predecir un lanzamiento sin mayor
dificultad.
Adems queda demostrado que mientras uno conozca las
caractersticas de su catapulta y lleve los datos con mucha
exactitud, sin importar los medios que ocupe, siempre
llegar al mismo resultado.
Igualmente uno puede suponer que los datos y valores
manejados en ecuaciones son en condiciones ideales,
entonces si no hubo gran diferencia entre las condiciones
ideales de las formulas y la experimentacin, se puede
concluir que los efectos externos como el aire, la presin
atmosfrica y la temperatura, no influyen tan notoriamente
en el rendimiento del lanzamiento por lo que se pueden
considerar despreciables.
REFERENCIAS
[1] http://issuu.com/juanmenr/docs/201423-
analisisdecircuitosac-
[2] http://www.asifunciona.com/electrotecnia/ke_corriente
_alterna/ke_corriente_alterna_1.htm
[3] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccio
n/generador/generador.htm
[4] http://www.nichese.com/alterna.html
[5] http://www.webelectronica.com.ar/news27/nota07.htm
[6] http://www.monografias.com/trabajos/osciloscopio/osci
loscopio.shtml
[7] http://es.wikipedia.org/wiki/Generador_de_se%C3%B1
ales