Matemticas avanzadas

Tema:Control de la vibracin: aislamiento de la vibracin.

Carrera:Ingeniera mecnica automotriz.

Grupo:N.- 1

Fecha:02 de junio del 2015.

Integrantes:Aguilar Romero Angel Yasmany.Delgado Calle Esteban Homero.

Profesor: Ing. Juan Pablo Montero.

Marzo 2015 Agosto 2015.

IntroduccinEl documento redactado contiene informacin sobre el control de vibracin, especficamente el aislamiento de la vibracin, que se representa mediante un sistema masa resorte, el mismo que nicamente requiere la teora bsica de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes, adems se muestra un anlisis profundo referente a solucin de las mencionadas ecuaciones, as como tambin se ilustrarn simulaciones en diversos software matemticos, que nos ayudarn a comprobar el comportamiento de los sistemas de los diversos ejercicios que se resuelven en este trabajo.Conforme avanza el desarrollo del proyecto se puede observar la deduccin de varias frmulas matemticas y la demostracin de las mismas, de manera que nos facilitan la solucin de los problemas planteados.Finalmente es factible observar que se puede realizar diversos diseos para el aislamiento de la vibracin, ya sea en el rea automotriz o en cualquier otro campo en donde las vibraciones sean un problema para el correcto funcionamiento de las mquinas, y para mayor claridad del desarrollo del proyecto se muestran las debidas conclusiones y los resultados obtenidos en el trabajo realizado.

1. Objetivo generalAnalizar las diversas ecuaciones diferenciales que facilitan el control de las vibraciones y el aislamiento de las mismas.

2. Objetivos especficos Generar un marco terico concreto sobre el control de vibracin. Realizar la demostracin de diversas ecuaciones. Graficar varias funciones, haciendo uso de un software matemtico. Analizar las caractersticas de las grficas obtenidas. Verificar resultados usando desigualdades.

3. Marco terico3.1 Control de la vibracin: aislamiento de la vibracinEn ingeniera mecnica es indispensable suprimir o tratar de disminuir lo mximo posible las vibraciones indeseables en maquinaria y estructuras. Si bien esta es un rea activa de investigacin y desarrollo, los principios bsicos que hay detrs de las estrategias de control de vibracin usados ms comnmente datan de hace 100 aos y pueden ilustrarse con modelos muy simples de masa resorte. Adems, el anlisis de estos modelos no requiere nada ms all de la teora bsica de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.Suponga que una mquina (por ejemplo un motor de automvil) que vibra en el curso de su operacin debe montarse sobre algn tipo de base. Si la maquina se monta rgidamente sobre la base, sus vibraciones se transmitirn hacia y a travs de la base. Esto podra ocasionar varios problemas, entre los que se incluye daar la base o los soportes o una incomodidad inaceptable para las personas que utilizan el motor.Una manera natural de tratar de minimizar tales efectos indeseables es insertar un aparato de montaje protector entre la maquinaria y la base. (En el caso de un motor de automvil, este ltimo no est unido rgidamente al auto, sino con partes llamadas soportes de motor). Este tipo de dispositivo protector, llamado aislador de vibraciones consiste por lo comn en uno o ms cojinetes de material elstico que puede ser de hule o corcho, un conjunto de resortes en espiral, una cmara sellada que contiene aire bajo presin o alguna combinacin de estos. La mquina que se muestra en la siguiente figura, se representa mediante una masa m, la elasticidad del aislador por un resorte que tiene constante de resorte k, y el amortiguamiento del aislador por medio de un amortiguador que tiene constante de resorte .

Figura 1. Representacin de un aislador de vibracin. [1]

La ecuacin que gobierna el movimiento de la masa m es:

Frmula 1. Ecuacin que gobierna el movimiento de la masa. [1]

Donde x representa el desplazamiento de la masa desde su posicin de equilibrio, es el tiempo, y la vibracin de la mquina se representa por medio de un trmino forzado senoidal de la forma . Cuantificaremos la eficacia de este arreglo a partir de su transmisibilidad T.

Puesto que los trminos transitorios en la solucin general de la ecuacin anterior decaen exponencialmente con el tiempo, calcularemos la transmisibilidad con base en la solucin de estado estable. A fin de cuenta deseamos entender como depende la transmisibilidad de los parmetros k y .

4. Desarrollo4.1 Recuerde que una solucin de estado permanente puede encontrarse en la forma:

Donde . Al sustituir la primera de estas formas demuestre C1 y C2 satisfacen el sistema de ecuaciones.

Y que

Generar un marco terico concreto sobre el control de vibracin. Realizar la demostracin de diversas ecuaciones. Graficar varias funciones, haciendo uso de un software matemtico. Analizar las caractersticas de las grficas obtenidas. Verificar resultados usando desigualdades.

Conclusiones:El sistema masa resorte, que adems consta de una fuerza externa, el cual se analiz en el desarrollo de este trabajo, depende de varios parmetros que tienen la misma importancia dentro de la ecuacin diferencial estudiada, en donde s se los modifica, se obtendr una variacin significativa en el resultado.Los parmetros de gran importancia en la ecuacin diferencial para el estudio del control de vibracin son; el coeficiente de amortiguamiento (), la constante del resorte (K) y la funcin que define la fuerza externa; los mismos que son los responsables de mantener el sistema controlado, o sea aislado de las vibraciones.Adems podemos definir que la utilizacin de algunos elementos aislantes de vibraciones o que controlen la vibracin es de vital importancia para que reduzcan la transmisin de las fuerzas de excitacin o de las propias vibraciones entre las diferentes partes que constituyen el sistema, que por ejemplo puede ser el motor de un automvil.Para obtener el aislamiento de vibraciones, bsicamente se debe introducir un elemento elstico (aislante) entre la masa vibrante y la fuente de vibracin, de forma que consigamos reducir la magnitud de la respuesta dinmica del sistema, bajo unas determinadas condiciones de la excitacin en vibracin.

La efectividad de un aislante de vibraciones se establece en trminos de su transmisibilidad, la misma que se define como el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitida y la de la fuerza mxima ejercida.Adems se realiz la demostracin de que las constantes de una solucin de estado permanente satisfacen un determinado sistema de ecuaciones, y tambin se comprob la frmula de la amplitud. Posteriormente se determin un anlisis de las grficas obtenidas en la simulacin de las funciones encontradas en las demostraciones.