Proyecto de Matemáticas:Funciones

Presentado por:Jonathan Guberek

Daniel CroitoruMark Guberek

Presentado a:Patricia Caceres

COLEGIO COLOMBO HEBREOAREA DE MATEMATICA

Bogota D.CMayo 2010

GENERALIDADES• Una función es una correspondencia entre conjuntos que se

produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

• No es una función cuando:• De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna

flecha.• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más

flechas.• Una función se puede representar tanto de forma visual,

algebráica, numérica y verbal.

Punto de corte con YPara hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0 y se resuelve la ecuacion.Punto de corte con XPara hallarlo se iguala la funcion a 0 y se resuelve la ecuación. Dominio• El dominio de una función está formado por todos

los elementos que tienen imagen. Es el conjunto de salida.

Rango• Se denomina rango a todos los elementos del

conjunto de llegada que tienen relacion con algun elemento del conjunto de salida

Función Inyectiva

• En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o mas elementos con la misma imágen.

Función Sobreyectiva

• Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de conjunto de llegadaes la imagen de mínimo un elemento de conjunto de salida.

Función Biyectiva• Función expresada cuando se

cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva.

• Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que todos los elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva.

Función ParEs un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que

f(x)=f(-X)Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que

solo tiene c . Un ejemplo de esta sería:f(x) = x4 + 2

ejemplo

f(x) = x4 + 2corte con y 2

minimo relativo (0,2)eje de simetria x=0

d=realesr= (2,00)

cs= realescll reales

Función Impar

• Función en la que todo x perteneciente al dominio

Podría ser una función cubicao Polinómica de grado impar incompleta que solo tiene a. Un ejemplo de esta sería:f(x) = x3

ejemplo

f(x) = x3 d= realesr=realescs=realescll=realescorte con x= 0corte con y=0

Función Cuadrática.

Función Cubica.

Función de Grado par.

Función de Grado impar.

Función lineal.

Función Polinomica.

Constante.

MAPA GENERAL

Funciones Lineales

Generalidades

Afín Constante

Lineal

Idéntica

Mapa linealesMAPA GENERAL

Función linealGeneralidades

• Y= variable dependiente• X= variable independiente• M=pendiente (grado de inclinación de la recta con

respecto al eje horizontal)• B= punto de corte con el eje y.• Dominio=reales• Conjunto de Salida= Reales• Rango=Reales(con excepción a la función constante)• Conjunto de llegada= Reales

continuación

•Si , m > 0 la función es creciente.•Si m < 0 la función es decreciente.•Si m=0 la función es constante (recta horizontal).•Ecuación para hallar la pendiente:

Mapa lineales

Función lineal Afín

Es una función cuya ecuación matemática viene dada por: Y=mx+b

Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y,y hace el desplazamiento vertical.

El punto de corte con y es distinto a 0

Ejemplo

Y=5x+5Dominio: RealesRango: Reales corte con x= -1Conjunto Salida: Reales corte con y= 5Conjunto llegada: RealesPendiente=5

Mapa lineales

EJEMPLO

Función lineal

Es una función cuya ecuación matemática es:Y=mx

Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical .

Ejemplo

Y=5xDominio=Reales Conjunto Salida= RealesRango= Reales Conjunto Llegada= RealesCorte con x= 0Corte con y=0

Mapa lineales

EJEMPLO

Función lineal idéntica

• Es una función expresada con la fórmula:• Y=x• Donde y adquiere el mismo valor que x.• La pendiente es igual a 1.

Ejemplo

Dominio=RealesRango=RealesCS=Reales CLL=RealesCorte con x=0Corte con y=0

Mapa lineales

EJEMPLO

Función lineal constante

• Y=a• Siendo a cualquier número.• No tiene una pendiente por lo que su rango

siempre va a ser a.• Su corte con y es igual al a.

Ejemplo

Y=4Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4Rango={4} Conjunto Llegada=Reales

Mapa lineales

EJEMPLO

Función PolinómicaGeneralidades

• Según su grado se pueden clasificar como:

Grado Nombre Expresión0 función constante y = a1 función lineal y = ax + b (Binomio, 1er Grado)2 función cuadrática y = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado)3 función cúbica

Dominio= Conjunto de Salida= RConjunto de llegada=R

Función Polinómica cuadrática

• Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente.

• Donde a no se puede ser igual a 0

Continuación

• Su representación gráfica, representaría una parábola vertical• Siendo a negativo, estaría hacia abajo.• Siendo a positivo, estaría hacia arriba.• Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0• Corte con el eje X, al reemplazar la f(x) o Y por 0.• El máximo relativo o mínimo relativo en x se obtiene por

• Luego para saber cuanto es en Y , se reemplaza el resultado por y en la ecuación

Continuacion

• Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo relativo

• Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo.

• Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo relativo hasta infinito o desde menos infinito hasta el maximo relativo

ejemplo

Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Cs=reales corte con x=-1 Cll=reales mínimo relativo x=-1D=reales eje de simetriia x=-1R=reales positivos Creciente (-1,00)Decreciente (00,-1)

Función Polinómica cúbica

• Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación:

• Y=ax3+bx2+cx+d• Donde a,b,c,d son números reales• Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene

un maximo elemento elevado a la tres o al cubo

ejemplo

Corte con x= -1Corte con y= 1Cll= realesCs= realesD= realesR=reales

Función Grado Par

• Es el tipo de función que se rige según la condición de que:

• El mayor grado de la función es par• Si todos los terminos son de grado par, la funcion es

simetrica con respecto al eje X• Dominio=cs=reales rango= desde minimo relativo

hasta infinito o desde menos infinito hasta maximo relativo

• Cll= reales• Se rigen según la ecuación:

ejemplo

Corte con y =2No tiene corte con x eje de simetria x=0Vértice (0,2) minimo relativo (0,2)Dominio= reales creciente (0,00)Rango=(2,00) decreciente (-00,0)Cs=realesCll=reales

Función Grado Impar

• Es el tipo de función que se rige según la condición de que:

• El mayor grado de la función es impar• Si todos los terminos son de grado impar, la funcion es

simetrica con respecto al eje X• Dominio=cs=reales rango= desde minimo relativo

hasta infinito o desde menos infinito hasta maximo relativo

• Cll= reales• Se rigen según la ecuación:

Funcion Valor absoluto

• Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos:

• 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

• 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

• 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

• 4 Representamos la función resultante.ejemplo

Y=|x|

Funcion racional

• La función racional es una función matemática expresada de la forma

• Dond p , q son polinomios , x es una variable desconocida

• Q≠0

Continuacion

Asintotas

• Vertical: se reemplaza el parentesis de la ecuacion por 0, y se resuelve.

• Horizontal: cuando el denominador es 0

Continuacion

• Todas las funciones racionales, tienen una asintota vertical y horizontal, es decir, tienen excepciones, estas excepciones son numeros en los ejes "x" e "y" que no se pueden usar para reemplazar la variable "x" en la funcion racional.

• Todas sus funciones racionales es de clase infinita, es decir, que su grafica, al igual que sus soluciones, no tienen final.

ejemplo

Bibliografía

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/05/definicion.html

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante

• http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones

Bibliografía

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva

• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva

• http://www.amschool.edu.sv/paes/f8.htm